Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2015/2016

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2015/2016"

Heloísa Marroquim Pinto
8 Há anos
Visualizações:

1 Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 205/206 ō Teste, versão A (Cursos: LEIC-A, MEAmbi, MEBiol, MEQ). Considere a função u : R 2 R dada por onde a e b são duas constantes reais. 09 de Abril de 206, h 30m Duração: h 30m u(x,y) = ay 2 +bx 2 +e bx seny, (a) Calcule os valores de a e b, para os quais u é harmónica em R 2. (b) Para a escolha particular a =, b =, determine a função inteira f tal que (c) Calcule u(x,y) = Ref(x+iy) e f() = i. z =6 f(z) (z ) 2 dz, em que a curva é percorrida uma vez em sentido inverso. (a) Dado que a função é claramente de classe C 2 (R 2 ), u será harmónica em R 2 para os valores de a e b para os quais Assim, u 2 x 2 + u2 y 2 = 0, (x,y) R2. u 2 x 2 + u2 y 2 = 2b+b2 e bx seny+2a e bx seny = 2(a+b)+(b 2 )e bx seny = 0. Vamos supor que existem constantes a e b para os quais a+b 0 e b 2 0. Pela igualdae acima e bx seny = 2(a+b), x,y R b 2

(b) Para a escolha particular a =, b =, determine a função inteira f tal que (c) Calcule u(x,y) = Ref(x+iy) e f() = i. z =6 f(z) (z ) 2 dz, em que a curva é percorrida uma vez em sentido inverso.

2 e assim, para certos valores de a e b a função e bx seny teria que ser constante, o que é obviamente absurdo. Assim { { { a+b = 0 a = a = b 2 ou = 0 b = b =. (b) Sendo u(x,y) = x 2 y 2 +e x seny harmónica, a sua conjugada, v, é determinada, a menos de constante, pelas equações de Cauchy-Riemann. Assim, u x = v v(x,y) = (2x+e x seny)dy v(x,y) = 2xy e x cosy+c(x) y e, por outro lado, v x = u y x (2xy ex cosy +c(x)) = y (x2 y 2 +e x seny) 2y e x cosy +c (x) = 2y e x cosy Então, c(x) = c. v(x,y) = 2xy e x cosy +c, c R. Para que f() = i é necessário e suficiente que u(,0) =, o que se verifica, e que v(,0) =, o que se verifica sse c = 0. A função pedida é então, f(z) = f(x+iy) = x 2 y 2 +e x seny +i(2xy e x cosy). (c) Vamos considerar como sendo a curva z = 6 percorrida uma vez em sentido directo. Dado que f é uma função inteira; é uma curva de Jordan; int, estamos nas condições de aplicabilidade da Fórmula integral de Cauchy, pelo que f(z) ( u (z ) dz = 2 2πif () = 2πi x x) +i v z= ( = 2πi 2x+e x seny +i(2x e x cosy) ) z= = 2πi(2 i) = 2π(+2i). Conclui-se que o integral pedido é f(z) dz = 2π(+2i). (z ) 2 z =6

Assim, u x = v v(x,y) = (2x+e x seny)dy v(x,y) = 2xy e x cosy+c(x) y e, por outro lado, v x = u y x (2xy ex cosy +c(x)) = y (x2 y 2 +e x seny) 2y e x cosy +c (x) = 2y e x cosy Então, c(x) = c.

3 2. Considere as funções complexas definida nos seus domínios por f(z) = ze iπz2 e g(z) = 2 4i z. (a) Obtenha o desenvolvimento em série de Laurent centrado em z 0 = 0 da função g e indique o maior conjunto aberto onde esse desenvolvimento é válido. (b) Calcule o valor do integral ( ) f(z)+g(z) dz, em que é a curva parametrizada por z(θ) = 4cosθ 3 +5isenθ 3 com 0 θ 3 π. (c) Indique justificando se a função f(z)g(z) admite série de Taylor centrada em 2i. Em caso afirmativo indique o raio de convergência da série. (a) Visto f ser anaĺıtica em C\{4i} (pelo que é anaĺıtica em z 0 = 0) terá uma série de Taylor válida no disco z < 4i = 4 e uma série de Laurent válida no exterior do disco, isto é, na coroa 4 < z < +. Para qualquer z nesta coroa, f(z) = 2 4i z = 2 z 4i z = 2 z n=0 ( 4i ) n 4 n i n = 2 z z. n+ n=0 (b) A curva é uma curva aberta e simples que une os pontos 4 a -4. Para calcular f(z)dz observe-se que f é uma função inteira; F(z) = 2iπ e iπz2 é uma função inteira, e F (z) = f(z) para todo z C. Conclui-se que F é uma primitiva de f em C e assim, aplicando o Teorema Fundamental do Cálculo, obtem-se, Para calcular f(z)dz = 2iπ e iπz2 4 4 = ) (e 6iπ e 6iπ = 0. 2iπ 2 g(z)dz, considere g(z) =, e observe que z 4i g(z) é anaĺıtica em C \ {4i} (em particular é anaĺıtica num aberto que contem a curva, dado que z(θ) 4i para todo θ). G(z) = 2log(z 4i) com β Arg(z 4i) < β + 2π, é anaĺıtica no conjunto C\{z = 4i+re βi, r R + 0}. Para z 4i re βi, r 0 tem-se que G (z) = g(z).

(b) Calcule o valor do integral ( ) f(z)+g(z) dz, em que é a curva parametrizada por z(θ) = 4cosθ 3 +5isenθ 3 com 0 θ 3 π.

4 Conclui-se que G é uma primitiva de g em C\{z = 4i+re βi, r 0}. Para podermos aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo temos que escolher β de modo a que a curva C \ {z = 4i + re βi, r 0}. Por exemplo, para β = π existe um conjunto 2 aberto contendo e onde G é primitiva de g. Assim, usando a função logaritmo escolhida (logw = log w +iargw com Argw [ π, 3π [), teremos 2 2 g(z)dz = 2log(z 4i) 4 4 ( ) = 2 log( 4 4i) log(4 4i) ( ) = 2 log 4 4i +iarg( 4 4i) log 4 4i iarg(4 4i) Finalmente, = 2(i 5π 4 +iπ 4 ) = 3πi. ( ) f(z)+g(z) dz = 3πi. (c) A função fg éanaĺıtica em C\{4i} e, portanto, no círculo aberto centrado em z 0 = 2i e de raio R = 2i 4i = 2. Então, pelo teorema de Taylor, fg admite desenvolvimento em série de Taylor centrada em 2i, o qual consiste numa série de potências de z 2i, cuja soma dá o valor de f(z)g(z) em cada ponto z do círculo aberto centrado em 2i e de raio R = 2. Por outro lado, esse é o maior círculo aberto centrado em 2i em que essa série de potências converge, uma vez que fg tem um polo de ordem em 4i, o qual está na sua fronteira. Logo, o raio de convergência da série é R = Considere a função f : C\{0,2,3} C dada por f(z) = cos(πz) (z 2)(z 3) + z(z 3) 2 +z4 e z. (a) Classifique as singularidades de f e calcule os respetivos resíduos. (b) Aproveite o resultado anterior para calcular f(z)dz, z = 5 2 em que a curva é percorrida uma vez no sentido direto. (a) Vamos considerar f = f +f 2 +f 3. A função f 3 (z) = z 4 e z

$Finalmente, = 2(i 5π 4 +iπ 4 ) = 3πi. ( ) f(z)+g(z) dz = 3πi. (c) A função fg éanaĺıtica em C\{4i} e, portanto, no círculo aberto centrado em z 0 = 2i e de raio R = 2i 4i = 2.$

5 tem singularidade em 0. Para 0 < z <, ( ) n f 3 (z) = z 4 z z 4 n = = z 4 +z 3 + z2 n! n! 2! + z 3! + 4! + 5!z + 6!z + 2 7!z + 3 n=0 n=0 Esta série de Laurent tem parte principal com um número infinito de termos, pelo que 0 é uma singularidade essencial de f 3 e A função tem singularidades em 0 e 3. Visto Res(f 3,0) = 5!. f 2 (z) = conclui-se que 0 é um polo simples de f 2 e Visto z(z 3) 2 lim zf 2(z) = z 0 9, Res(f 2,0) = 9. lim (z z 3 3)2 f 2 (z) = 3, conclui-se que 3 é um polo de segunda ordem de f 2 e A função ( Res(f 2,3) = lim (z 3) 2 f 2 (z)) = lim (( z 3 z 3 z f (z) = cos(πz) (z 2)(z 3) tem singularidades em 2 e 3. Visto ) = 9. lim f (z) = lim z 2 z 2 z 3 lim cos(πz) = lim( πsen(πz)) = 0, z 2 z 2 z 2 onde se usou a Regra de Cauchy numa indeterminação 0/0 de funções inteiras, conclui-se que 2 é uma singularidade removível de f e que Res(f,2) = 0. Visto lim (z 3)f (z) = 2 z 3, conclui-se que 3 é um polo simples de f e Finalmente, Res(f,3) = 2.

. f 2 (z) = conclui-se que 0 é um polo simples de f 2 e Visto z(z 3) 2 lim zf 2(z) = z 0 9, Res(f 2,0) = 9.

6 0 é uma singularidade essencial de f e Res(f,0) = Res(f 2,0)+Res(f 3,0) = 9 + 5!. 2 é uma singularidade removível de f e 3 é um polo de segunda ordem de f e Res(f,2) = Res(f,2) = 0. Res(f,3) = Res(f,3)+Res(f 2,3) = 9 2. (b) Estamos em condições de aplicar o Teorema dos Resíduos dado que a função f tem um número finito de singularidades e a curva considerada é uma curva de Jordan. Dado que 0 < 5, 2 < 5 e 3 > 5, tem-se que ( ) ( f(z)dz = 2πi Res(f,0)+Res(f,2) = 2πi 9 5!) +. z = Use o Teorema dos resíduos para determinar o valor do integral Por ser um integral impróprio I = dx x 2 6x+0. dx R x 2 6x+0 = lim dx R R x 2 6x+0. Como a função integranda x 2 6x+0 éumafunçãoracionaldedomíniorecomograu(x2 6x+0) Grau () = 2 2, o integral existe. Para calcular I (usando o Teorema dos Resíduos como sugerido), vamos considerar a função de variável complexa F(z) = z 2 6z +0 e, para R suficientemente grande (neste caso basta R > 0), a curva C R como sendo a fronteira do semicírculio z = R em Imz 0 percorrida uma vez em sentido directo. Dado que F(z) = (z (3+i))(z (3 i))

Dado que 0 < 5, 2 < 5 e 3 > 5, tem-se que 2 2 2 ( ) ( f(z)dz = 2πi Res(f,0)+Res(f,2) = 2πi 9 5!) +. z = 5 2 4.

7 e 3+i int C R, 3 i int C R, tem-se por aplicação do teorema dos resíduos, F(z)dz = 2πiRes(F,3+i) = 2πi lim (z (3+i))F(z) = π, C z 2+i R isto por ambas as singularidades de F serem polos simples. Por outro lado, C R = I R S R = {z = x ] R,R[} { z = R, Imz 0}. Então, F(z)dz = F(z)dz + F(z)dz, C R I R S R pelo que, R dx π = lim R R x 2 6x+0 + F(z)dz. S R Fazendo R convergir para +, teremos π = I + lim F(z)dz. R S R Como já referido anteriormente, visto Grau(z 2 6z + 0) Grau () = 2 2 podemos concluir que lim F(z)dz = 0, R S R e assim sendo, dx x 2 6x+0 = π. 5. Seja f uma função anaĺıtica em C\{0} e que verifica f( z) = f(z) para todo z C. Mostre que f(z)dz = 0, para qualquer curva fechada que não passa no ponto 0. Visto f ser anaĺıtica na coroa circular 0 < z <, pelo Teorema de Laurent, f(z) = a n z n, z {z : 0 < z < }. Por outro lado, dado que para todo z 0 se tem f(z) = f( z), tem-se, para a série de Laurent considerada, a n z n = a n ( z) n,

S R Fazendo R convergir para +, teremos π = I + lim F(z)dz.

8 isto é, a n ( ( ) n )z n = 0, o que implica que todos os coeficientes desta última série terão que ser nulos, ou seja, n Z, a n ( ( ) n ) = 0, e isto implica que, para todos os números inteiros impares n, a n = 0. Assim, f(z) = a 2n z 2n. Vamos então calcular o valor do integral pedido. Se 0 não pertence à região interior a, (o que implica que f é anaĺıtica nessa região), por aplicação do Teorema de Cauchy, f(z)dz = 0. Se 0 pertence à região interior a, por aplicação do Teorema dos resíduos, f(z)dz = 2πiRes(f,0) = 0, visto que Res(f,0) é o coeficiente a da série de f convergente em 0 < z < o qual é zero pelas considerações feitas.

Se 0 não pertence à região interior a, (o que implica que f é anaĺıtica nessa região), por aplicação do Teorema de Cauchy, f(z)dz = 0.

Documentos relacionados

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2013/2014

Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 1/14 1 ō Teste Versão A (Cursos: LEIC-A, LEMat, MEAmbi, MEBiol, MEQ) de Novembro de 1, 11h 1. Seja v(x,y) = (x+1)α(y), em que α : R R é uma função