Cálculo Diferencial e Integral II

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1 1 álculo Diferencial e Integral II Exercícios para as aulas práticas alcule o integral estendido a, ds, em que é o segmento de recta de x y extremos A(0, 2) e B(4, 0), percorrido de A para B. 2. alcule o integral estendido à região, (x2 + y 2 ) n ds, em que : { x = a cos t y = asent, t [0, 2π], a > 0 e n IN fixo. 3. alcule o valor de y 2 x dx + 2xydy e dx y dy, em que é a x 2 +y 2 x 2 +y 2 circunferência centrada na origem e raio r > 0 percorrida uma vez no sentido antihorário. 4. alcule o integral xdy+ydx xy, em que é o segmento de recta de extremos A(1, 1) e B(2, 3), percorrido de A para B. 5. alcule o valor de xdy ydx, em que é o contorno OABO percorrido uma vez no sentido anti-horário, com A(2, 0), B(1, 1), (0, 1), AB-arco de circunferência de centro P (1, 0) e raio 1 e [OA], [B] e [O] segmentos de recta. 6. Seja B = {(x, y, z) IR 3 : 0 x 2 + y 2 4} e considere a função G : B IR 3 1 definida por G(x, y, z) = ( xz, yz, r 2), em que r = x (r 2) 2 +z 2 r r 2 + y 2. alcule o integral de linha da função G ao longo da circunferência de raio 1 centrada no ponto P (2, 0, 0) e que está contida no plano y = 0. onsidere que a circunferência é percorrida no sentido dos ponteiros do relógio para quem observa de um ponto (x, y, z) com y > onsidere uma curva definida parametricamente pelo caminho g : [ π, π] IR 2, g(t) = (2sent, cos t) e o campo vectorial F : IR 2 \{(0, 0)} IR 2, definido por F (x, y) = ( y x, ). x 2 +4y 2 x 2 +4y 2

2 2 alcule o valor de F.dg. 8. alcule (1,2) (0,1) (x2 y)dx + (y 2 + x)dy : 8.1. ao longo dos segmentos de recta de A(0, 1) para B(1, 1) e deste para (1, 2) ao longo do arco de parábola x = t, y = t Sabendo que F (x, y, z) = (3x 2 6yz, 2y + xxz, 1 4xyz 2 ), calcule F.dg para cada um dos seguintes percursos: 9.1. x = t, y = t 2, z = t 3, 0 t Segmentos de recta de A(0, 0, 0) para B(0, 0, 1) e deste para (1, 1, 1). 10. alcule o integral curvilíneo do campo vectorial F segundo o caminho g, em cada um dos seguintes casos: F (x, y) = (x 2 + y 2, x 2 y 2 ); g(t) = (t, 1 1 t ), 0 t F (x, y, z) = (y 2 z 2, 2yz, x 2 ); g(t) = (t, t 2, t 3 ), 0 t alcule o integral de f(x, y) = (x + y, x y) uma vez á volta da elipse b 2 x 2 + a 2 y 2 = a 2 b 2, a > b > 0, no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio. 12. alcule o (x2 2xy)dx + (y 2 + 2xy)dy, em que é o arco de parábola que une os pontos ( 2, 4) e (1, 1). 13. alcule o trabalho realizado pelo campo de forças f(x, y) = (x 2 y 2, 2xy) ao mover uma partícula, no sentido anti-horário, uma vez à volta do quadrado definido pelos eixos coordenados e pelas rectas x = a e y = a, com a > O campo de forças f(x, y) = (cxy, x 6 y 2 ), c > 0, actua sobre uma partícula que se move do ponto (0, 0) até à recta x = 1, ao longo da curva y = ax b, com a, b > 0. Determine o trabalho realizado pelo campo de forças. 15. alcule o trabalho realizado pelo campo de forças f(x, y, z) = (xy, xz, x(y+1)) ao mover uma partícula uma vez à volta do triângulo com vértices (0, 0, 0), (1, 1, 1) e ( 1, 1, 1) percorrido nesta ordem. 16. Verifique se os seguintes campos vectoriais são gradientes: F (x, y, z) = (x 2 y 2, 2xy, z3 3 ).

3 F (x, y) = (2y, x + y) F (x, y, z) = (2xyz + z, x 2 z + 1, x 2 y + x) F (x, y) = (2xe y + y, x 2 e y + x 2y) F (x, y, z) = (2xy 3, x 2 z 3, 3x 2 yz 2 ) F (x, y) = (seny ysenx + x, cos x + x cos y + y) F (x, y, z) = (2x cos y 3, (x 2 seny + z 2 ), (2yz 2)) F (x, y, z) = (e y cos z, xe y cos z, xe y seny). 17. onsidere o campo vectorial F : IR 2 IR 2, definido por F (x, y) = (2x + y 3, 3xy 2 + 4). Sejam A(0, 1) e B(2, 3) dois pontos e uma curva de A para B parametrizada por um caminho de classe 1, g. Mostre que F.dg é independente do caminho escolhido e calcule o referido integral. 18. Mostre que o campo vectorial F não é conservativo, calculando: F.dg, em que F (x, y) = (3, x), g(t) = (cos t, sent), t [0, 2π] F.dg, em que F (x, y, z) = (y, y, 1) e é a curva composta pelos segmentos de recta que unem os pontosa(0, 0, 0), B(0, 1, 0), (1, 1, 0) e A(0, 0, 0). 19. Seja a curva x 2 + y 2 = 1 no plano xy e seja F : IR 3 IR 3, F (x, y, z) = (z 3 + 2xy, x 2, 3xz 2 ). Mostre que F.dg = 0 por dois processos distintos. 20. alcule o trabalho realizado pelo campo de forças F (x, y) = (x, y) sobre uma partícula que se move entre os pontos (0, 0) e (1, 1) ao longo de: Um segmento de recta Um arco da curva y = x 3. O campo é conservativo? 21. Um campo de forças em IR 3 é definido por F (x, y, z) = (y 2, 2xy + z, y + 5) Verifique se F é conservativo alcule o trabalho realizado pela força F sobre uma partícula cuja trajectória é descrita por α(t) = (cos t, sent, e t ), 0 t π.

4 4 22. Seja F : IR 2 IR 2, F (x, y) = (x 2 + y 2, αxy) com α IR. onsidere o caminho g : [0, 1] IR 2 definido por g(t) = (t, e t2 1) alcule o valor de α para o qual F é um gradiente alcule o trabalho do campo F realizado ao longo do caminho g com o valor de α determinado na alínea anterior. 23. Seja F (x, y) = ( x y x, y x ) O campo F é um gradiente no seu domínio de definição? alcule a função potencial φ(x, y) de F que satisfaz φ(0, 1) = onsidere o campo vectorial F : IR 2 \{(0, 0)} IR 2 definido por F (x, y) = ( y x 2 +y 2, x ). x 2 +y Mostre que F é fechado alcule o integral F.dg, em que é a circunferência de raio 1, centrada na origem, percorrida uma vez no sentido directo F é um gradiente? 25. Seja α[0, 4π] IR 2, o caminho definido pela expressão α(t) = (e t cos t, e t sent) e seja F : IR 2 IR 2 o campo vectorial definido por F (x, y) = ( alcule o comprimento do caminho α. x y, ). 1+x 2 +y 2 1+x 2 +y alcule o trabalho realizado pela força F ao longo do caminho α Escreva uma equação reduzida do lugar geométrico de todos os pontos P (x, y) tais que: se é uma curva seccionalmente regular unindo os pontos A(1, 1) a P (x, y), então F.dα = 0. t π. 26. onsidere o campo vectorial F 8x, y) = (x x 2 + y 2 4, y x 2 + y 2 4) Verifique se F é um gradiente no seu domínio alcule o integral de F ao longo do caminho α(t) = (3 + 2e t, sent), 0 y 2 xy 27. alcule dx dy, com y > 0, sendo uma curva 1 de (4, 3) (x 2 +y 2 ) 2 3 (x 2 +y 2 ) 3 2 para ( 3, 4). 28. alcule, utilizando o Teorema de Green, o integral y 2 dx + xdy :

5 é a circunferência de raio 2 percorrida uma vez no sentido positivo é o quadrado com vértices (0, 0), (2, 0), (2, 2) e (0, 2). 29. alcule o integral de linha xe y2 dx + ( x 2 ye y2 + 1 )dy, x 2 +y 2 em que é a fronteira do quadrado definido pelas equações x a e y a percorrida uma vez no sentido dos ponteiros do relógio. 30. Usando integrais de linha, determine a área da região D de IR 2, definida do modo indicado: ircunferência centrada na origem e com raio D = {(x, y) IR 2 : 0 x y 2, 1 y 3} 31. Usando o Teorema de Green e o campo vectorial F (x, y) = ( y, x), calcule a área do { conjunto } S = (x, y) IR 2 : x 2 + y 2 x 1, 2 + y onsidere o campo vectorial em IR 2, F = h + g, em que h : IR 2 IR e g(x, y) = (2y + cos x, x + e y seny). Sendo S um subconjunto de IR 2 de área π, cuja fronteira é com representação paramétrica α : [a, b] IR 2, calcule F.dα.

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