CÁLCULO II - MAT Em cada um dos seguintes campos vetoriais, aplicar o resultado do exercício 3 para mostrar que f

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA INTEGRAÇÃO LATINO-AMERIANA Instituto Latino-Americano de iências da Vida e da Natureza entro Interdisciplinar de iências da Natureza 1. Dado um campo vetorial bidimensional ÁLULO II - MAT a Lista de exercícios f(x, y) = P (x, y) i + Q(x, y) j, onde as derivadas parciais e Q são continuas em um conjunto aberto S. Se f é o gradiente de um certo potencial ϕ, mostrar que = Q em cada ponto de S. 2. Em cada um dos seguintes campos vetoriais, aplicar o resultado do exercício 1 para mostrar que f não é um gradiente. A continuação encontre uma curva fechada tal que f 0. (a) f(x, y) = y i x j. (b) f(x, y) = y i + (xy x) j. 3. Dado um campo vetorial tridimensional onde as derivadas parciais f(x, y, z) = P (x, y, z) i + Q(x, y, z) j + R(x, y, z) k,, z, Q, Q z, R, R, são continuas em um conjunto aberto S. Se f é o gradiente de um certo potencial ϕ, mostrar que em cada ponto de S. = Q, z = R e Q z = R 4. Em cada um dos seguintes campos vetoriais, aplicar o resultado do exercício 3 para mostrar que f não é um gradiente. A continuação encontre uma curva fechada tal que f 0. (a) f(x, y, z) = y i + x j + x k. (b) f(x, y, z) = xy i + (x 2 + 1) j + z 2 k. (c) f(x, y, z) = y i + (x + z) j y k. (d) f(x, y, z) = (z + y) i + z j + (y + x) k. 5. Um campo de forças f está definido no espaço de três dimensões pela equação (a) Determinar se f é ou não conservativo. f(x, y, z) = y i + z j + yz k (b) alcule o trabalho realizado ao mover uma partícula ao longo da curva de equação quanto t varia de 0 a π. α(t) = cos t i + sen t j + e t k 1

2 6. Um campo de forças bidimensional F tem por equação F (x, y) = (x + y) i + (x y) j. (a) Mostrar que o trabalho realizado por essa força ao mover uma partícula seguindo a curva curva α(t) = f(t) i + g(t) j, a t b. depende unicamente de f(a), f(b), g(a) e g(b). (b) Encontre o trabalho realizado quando f(a) = 1, f(b) = 2, g(a) = 3 e g(b) = Um campo de forças vem dado em coordenadas polares pela equação F (ρ, θ) = 4sen θ i + 4 cos θ j. alcule o trabalho realizado ao mover um partícula desde o ponto (1, 0) ao origem seguindo a espiral cuja equação polar é ρ = e θ. 8. Um campo de forças radial ou central F no plano pode-se expressar na forma F (x, y) = f(r)r, onde, r = x i + y j e r = r. Mostrar que um tal campo de forças é conservativo. 9. Encontre o trabalho realizado pela força F (x, y) = (3y 2 + 2) i + 16x j ao mover uma partícula desde ( 1, 0) a (1, 0) seguindo a metade superior da elipse b 2 x 2 + y 2 = b 2. Qual é a elipse (isto é, que valor de b) que faz trabalho mínimo? 10. (Segundo Teorema Fundamental da Integral de Linha) Seja S R n aberto e conexo. Seja f : S R diferenciável tal que f é continua, então para qualquer curva regular por partes contida em S desde A até B, tem-se 11. Encontre f dα = f(b) f(a). F dα onde é qualquer curva regular por partes que une (0, 3, 0) com (4, 3, 0); nesse ordem, sem passar pela origem; sendo F (x, y, z) = x i + y j + z k (x 2 + y 2 + z 2 ). 3/2 12. Seja S R n aberto e simplesmente conexo(isto é, sem buracos). Seja F : S R n continua com derivadas parciais de primeiro ordem continuas, F = (F 1, F 2,..., F n ). F é conservativo se e somente se F i j (x) = F j i (x) para todo x S, 1 i < j n. Em particular, se F = M i + N j + P k, F é conservativo se e somente se M = N, M z =, N z =. Em cada um dos exercícios de (13) a (18) está definido um campo vetorial F, determinar se F é ou não é gradiente de um campo escalar. Quando F seja um gradiente, encontrar a correspondente função potencial f. 13. f(x, y) = (3x 2 + 2y 2 ) i + (4xy + 6y 2 ) j. ( 14. f(x, y) = x 3 + x) y i + (y 2 ln x) j. ( ) x 15. f(x, y) = (cos x + ln y) i + y + ey j. 2

3 ( ) ( 2x 16. f(x, y) = y 3y2 2y i x 4 + x 3 x2 y ) j. y 17. f(x, y, z) = 2xy 3 i + x 2 z 3 j + 3x 2 yz 2 k. 18. f(x, y, z) = 3y 4 z 2 i + 4x 3 z 2 j 3x 2 y 2 k. 19. Um fluido desloca-se no plano xy de modo que cada partícula move-se em linha reta desde a origem. Se uma partícula está a uma distância r da origem sua velocidade é ar n, onde a e n são constantes. (a) Determinar os valores de a e n para os quais o campo vetorial velocidade é o gradiente de algum campo escalar. (b) Encontrar uma função potencial da velocidade sempre que está seja um gradiente. O caso n = 1 deve tratar-se separadamente. 20. (Primeiro Teorema Fundamental da Integral de Linha) Seja S R n aberto e conexo. Seja F : S R n continua, e suponhamos que a integral de linha de F é independente da curva em S. Seja a S e definamos um campo escalar f : S R como segue f(x) = F dα, onde é um curva qualquer que une a com x. Então existe o gradiente de f e é igual a F, isto é, f(x) = F (x), para todo x S. 21. Seja S R n aberto e conexo. Seja F : S R n continua, então são equivalentes as seguintes afirmações: (a) F é gradiente de uma certa função potencial em S. (b) A integral de linha de F é independente da curva em S. (c) A integral de linha de F ao redor de qualquer curva fechada regular por partes contida em S é zero. Em cada um dos exercícios do (22) a (25) mostre que a integral de linha é independente da curva no plano XY e encontre o valor da integral (1,2) (1,1) (1, 1) (y 2 + 2xy)dx + (x 2 + 2xy)dy. (2x 3y)dx + (2y 3x)dy. 2xe y dx + x 2 e y dy. 25. (π,π) (π/2,π/2) (sen y + y cos x)dx + (sen x + x cos y)dy. 26. Se ϕ e ψ são funções potenciais de um campo vetorial continuo F em um conjunto conexo aberto S de R n, mostrar que ϕ ψ é constante em S. 27. alcule ydx + 2xdy, onde é a elipse 5x 2 + 5y 2 6xy = 8 percorrida em sentido anti-horário. 28. Mostre que ydx + xdy + xyzdz não é independente da curva. 29. Seja F (x, y, z) = (cos x + 2yz) i + (sen y + 2xz) j + (z + 2xy) k. (a) Mostre que F é conservativo. (b) Encontre a função potencial f de F. 3

4 (c) alcule (π,π,π) (0,0,0) F dα. 30. Mostre que o campo F : R 4 R 4, dado por F (x, y, z, w) = (4wxy + 3yz, 2wx 2 + 3xz, 3xy + 3w 2 z 2, 2x 2 y + 2wz 3 ) é conservativo. alcule a integral de linha de F ao longo de alguma curva que uma (0, 1, 0, 1) com (1, 0, 1, 0). Determine uma função potencial de F. 31. Seja I um intervalo aberto de R e sejam ϕ, ψ : I R funções de classe 1. Mostre que ϕ(x)dx + ψ(y)dy = 0 onde é qualquer curva fechada cuja imagem está contida em I I. 32. Seja f : R R uma função de classe 1. Mostre que f(x 2 + y 2 )(xdx + ydy) = 0 onde é qualquer fechada. Mais geralmente, mostre que a integral de linha do campo F : R n R n cuja i ésima coordenada é F i : R n R, dado por F i (x) = x i f( x ), ao longo de qualquer curva fechada em R n, é igual a zero. 33. Seja S R n aberto. Mostre que se os campos F, G : S R n são conservativos, então o campo F + G : S R n, definido por (F + G)(x) = F (x) + G(x), onde R, é conservativo. 34. Seja U aberto e f : U, f(z) = u(x, y) + iv(x, y). Se f é diferenciável em z 0 U então existem todas as primeiras derivadas parciais de u e v em z 0 = x 0 + iy 0 e se satisfaz: u (x 0, y 0 ) = v (x 0, y 0 ) = Re(f (z 0 )) v (x 0, y 0 ) = u (x 0, y 0 ) = Im(f (z 0 )) estas equações são chamadas Equações de auchy-riemann. 35. Seja U aberto e f : U. Dizemos que f é Holomorfa em z 0 U se e somente se existe um r > 0 tal que f é diferenciável em D r (z 0 ) = {z ; z z 0 < r}. Dizemos que f é Holomorfa em U se e somente se f é holomorfa em z 0, para todo z 0 U. Seja U simplesmente conexo e seja f : U uma função holomorfa. Seja : [a, b] uma curva fechada de classe 1 cuja imagem está contida em U, então mostre que f(z)dz = alcule as seguintes integrais como aplicação do exercício anterior: (a) 2z 2 dz, onde é a curva cuja imagem é o triângulo com vértices em A = (0, 0), B = (1, 3), = (0, 4), percorrido em sentido anti-horário. (b) 2z 2 dz, onde é a curva cuja imagem é o círculo x 2 + y 2 = 1, percorrido em sentido antihorário. 37. Mostrar que as equações diferenciais dos seguintes itens são exatas, e em cada caso encontre uma família simplesmente infinita de curvas integrais. (a) (x + 2y)dx + (2x + y)dy = 0. (b) 2xydx + x 2 dy = 0. (c) (x 2 y)dx (x + sen 2 y)dy = 0. 4

5 (d) 4sen x sen 3y cos xdx 3 cos 3y cos 2x dy = 0. (e) (3x 2 y + 8xy 2 )dx + (x 3 + 8x 2 y + 12ye y )dy = Mostrar que uma equação linear de primeiro ordem y + P (x)y = Q(x), possui o fator integrante µ(x) = e P (x)dx. Resolver assim a equação. 39. Seja µ(x, y) um fator integrante da equação diferencial P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Mostrar que = Q log µ P log µ. Deduzir desta equação das seguintes regras para encontrar fatores integrantes: (a) Se (b) Se Q Q P é uma função f(x) só de uma variável x, então e f(x)dx é um fator integrante. é uma função g(y) só de uma variável y, então e g(y)dy é um fator integrante. 40. omo aplicação do exercício 7 encontre fatores integrantes, e encontre as famílias de curvas integrais para as equações seguintes: (a) ydx (2x + y)dy = 0. (b) (x 3 + y 3 )dx xy 2 dy = Se = f(x)q(x, y) g(y)p (x, y) mostre que e f(x)dx+ g(y)dy é um fator integrante da equação diferencial P (x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Encontre o correspondente fator integrante para cada uma das seguintes equações e sua família simplesmente infinita de curvas integrais: (a) (2x 2 y + y 2 )dx + (2x 3 xy)dy = 0. (b) (e x sec y tan y)dx + dy = As seguintes equações diferenciais tem um fator integrante comum. Encontrar-lo e determine a família de curvas integrais para cada equação. (a) (3y + 4xy 2 )dx + (4x + 5x 2 y)dy = 0. (b) (6y + x 2 y 2 )dx + (8x + x 3 y)dy = 0. Foz do Iguaçu, 21 de maio de 2017 Víctor Arturo Martínez León 5