Teorema da Mudança de Variáveis

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1 Instituto Superior écnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires eorema da Mudança de Variáveis 1 Mudança de Variáveis Definição 1 Seja R n um aberto. Di-se que uma função g : R n é uma Mudança ou ransformação de Variáveis em se verificar as seguintes condições: i) g é de classe C 1. ii) g é injectiva. iii) A derivada de g é injectiva, ou seja, detdg(t) ; t. Eemplo 1.1 Coordenadas Polares (r,θ) em R As coordenadas polares (r, θ) são definidas por = rcosθ = rsenθ De acordo com a figura 1, r = + designa a distância de cada ponto de coordenadas (,) à origem e θ é o ângulo formado entre o semi-eio positivo e o vector (,). (,) r θ Figura 1: Coordenadas Polares (r,θ) em R 1

2 Seja g(r,θ) = (rcosθ,rsenθ) = (,). Então, g é de classe C 1 em R e a derivada é injectiva em R \{(,)}. De facto temos [ ] cosθ rsenθ detdg(r,θ) = = r(cos θ+sen θ) = r. senθ rcosθ Dado que as funções trigonométricas são periódicas, a função g não é injectiva em R \{(,)}. Mas, se definirmos = {(r,θ) R : r > ; < θ < π} então, a função g : R é uma mudança de variáveis. A função g transforma no conjunto g() = R \{(,) : = ; } Dado que + = r, para cada r fio em obtemos, em (,), uma circunferência de raio r e centro na origem tal como se representa na figura. θ π θ r R θ r R r Figura : Por outro lado, para cada θ fio em obtemos, em (,) um segmento de recta tal como se mostra na figura. Portanto, ao círculo centrado na origem e de raio R e do qual se retire o semi-eio positivo corresponde, nas coordenadas polares (r, θ), o rectângulo ],R[ ],π[ tal como se apresenta na figura. Eemplo 1. Coordenadas Cilíndricas (ρ,θ,) em R 3 As coordenadas cilíndricas (ρ, θ, ) são definidas por = ρcosθ = ρsenθ =

3 De acordo com a figura 3, ρ = + designa a distância de cada ponto de coordenadas (,,) ao eio e θ é o ângulo formado entre o semi-eio positivo e o vector (,,). (,,) θ ρ (,,) Figura 3: Coordenadas Cilíndricas (ρ,θ,) em R 3 Seja então a função g : R 3 definida por = {(ρ,θ,) R 3 : ρ > ; < θ < π; R} g(ρ,θ,) = (ρcosθ,ρsenθ,) é de classe C 1, injectiva e a respectiva derivada é injectiva porque cosθ ρsenθ detdg(ρ,θ,) = det senθ ρcosθ = ρ > 1 Portanto a função g : R 3 é uma mudança de variáveis. Facilmente se verifica que ao cilindro com eio, de raio R e altura h e do qual se retire o plano { ; = } corresponde, em coordenadas cilíndricas, o paralelipípedo ],R[ ],π[ ],h[ tal como se mostra na figura 4. 3

4 PSfrag h h X ρ R π θ R Figura 4: Eemplo 1.3 Coordenadas Esféricas (r,θ,φ) em R 3 As coordenadas esféricas (r, θ, φ) são definidas por = rsenφcosθ = rsenφsenθ = rcosφ De acordo com a figura 5, r = + + designa a distância de cada ponto de coordenadas (,,) à origem, θ é o ângulo formado entre o semi-eio positivo e o vector (,,) e φ designa o ângulo entre o semieio positivo o vector (,,). φ r (,,) θ (,,) Figura 5: Coordenadas Esféricas (r,θ,φ) em R 3 Seja = {(r,θ,φ) R 3 : r > ; < θ < π; < φ < π} então a função g : R 3 definida por g(r,θ,φ) = (rsenφcosθ,rsenφsenθ,rcosφ) 4

5 é de classe C 1, injectiva e a respectiva derivada é injectiva porque senφcosθ rsenφsenθ rcosφcosθ detdg(r,θ,φ) = det senφsenθ rsenφcosθ rcosφsenθ = r senφ cosφ rsenφ Portanto, a função g : R 3 é uma mudança de variáveis. X φ π r R π θ Figura 6: Assim, à bola centrada na origem, de raio R e da qual se retire o plano { ; = } corresponde o paralelipípedo [, R[ ], π[ ], π[ tal como se representa na figura 6. *** Devemos notar que as coordenadas cilíndricas e as esféricas podem ser vistas no mesmo diagrama para mais facilmente as relacionarmos tal como se ilustra na figura 7. É claro que temos = rcos(φ) ; r = ρ + ; ρ = rsen(φ) e, portanto, basta ter presente o diagrama bidimensional em ρ,, representado na figura 7, para podermos descrever subconjuntos de R 3 em coordenadas cilíndricas e/ou esféricas, como veremos nos eemplos. *** 5

6 φ r (,,) φ r (ρ,) θ ρ (,,) ρ Figura 7: Coordenadas esféricas e cilíndricas Eemplo 1.4 ransformação Linear de Variáveis em R n Seja g : R n R n uma transformação linear e seja A a matri que a representa, ou seja g(v) = Av; v R n. endo em conta que uma transformação linear é de classe C 1 e que a respectiva derivada é representada pela matri A, então g é uma mudança de variáveis em R n desde que se verifique a condição deta. Na figura 8 encontra-se representada uma transformação linear em R. Se designarmos por {e 1,e } a base canónica de R, teremos g(e 1 ) = g(1,) = v 1 ; g(e ) = g(,1) = v, e, portanto, a função g transforma o quadrado no paralelogramo X, ou seja, X = g(). Note-se que a matri A que representa a transformação g é a que se obtém colocando em colunas os vectores v 1 e v. É sabido da Álgebra Linear que o módulo do determinante da matri A é precisamente a área do paralelogramo X. Assim, fica claro que temos e, portanto, vol (X) = det(a)vol () X dd = det(a) dudv. 6

7 Se notarmos que, por ser linear, a derivada de g é a matri A, ou seja, Dg(u,v) = A, teremos dd = det(dg(u, v) dudv. X É claro que esta fórmula se verifica em R n substituindo o conceito de área pelo de volume de dimensão n. Veremos adiante que, para uma transformação de variáveis qualquer, teremos a mesma fórmula de transformação do integral e constituirá a essência do teorema da mudança de variáveis. v v e v 1 X e 1 u Figura 8: ransformação linear em R Eemplo 1.5 ransformações Primitivas em R Seja φ : R R uma função de classe C 1 tal que φ (u,v), e consideremos a função u p : R R definida por p(u,v) = (φ(u,v),v). É claro que p é de classe C 1, injectiva e detdp(u,v) = φ (u,v) e, portanto é uma u mudança de variáveis em R. Seja ψ : R R uma função de classe C 1 tal que ψ (u,v), e consideremos a função v q : R R definida por q(u,v) = (u,ψ(u,v)). É também claro que q é uma mudança de variáveis em R e que detdq(u,v) = ψ (u,v) v Nas figuras 9 e 1 mostra-se como um intervalo se transforma sob a acção de p e de q, respectivamente. Note-se que p mantém as arestas horiontais e q matém as arestas verticais. Às transformações definidas deste modo chamamos transformações primitivas. Qualquer mudança de variáveis em R pode ser dada, localmente, pela composição de duas primitivas. De facto, seja g : R R uma mudança de variáveis definida por g(u,v) = (φ(u,v),ψ(u,v)). 7

8 v d d X = p() = φ(u,v) c c a b u Figura 9: ransformação Primitiva (,) = p(u,v) = (φ(u,v),v) v d = ψ(u,v) c X = q() a b u a b Figura 1: ransformação Primitiva (,) = q(u,v) = (u,ψ(u,v)) Sendo, detdg(u,v) = φ ψ u v φ ψ v u, pelo menos uma das derivadas parciais de φ ou de ψ deve ser não nula. Se tivermos φ u (u,v ), então, pelo teorema da função implícita, a equação = φ(u,v) define localmente u como função de (,v), ou seja, teremos u = u(,v) em algum intervalo que contém o ponto (u,v ) e em algum intervalo que contém = φ(u,v ). Se definirmos p(u,v) = (φ(u,v),v) e q(,v) = (,ψ(u(,v),v)), então g(u,v) = (q p)(u,v) = (φ(u,v),ψ(u,v)). Portanto, eiste um intervalo que contém o ponto (u,v ) e um intervalo que contém o ponto(, ) = g(u,v ),emqueatransformaçãog éacomposição deduastransformações primitivas. 8

9 eorema da Mudança de Variáveis Muitas vees o cálculo do integral simplifica-se bastante mudando de variáveis. O volume de conjuntos que apresentam simetria cilíndrica ou esférica pode ser calculado mais facilmente em coordenadas cilíndicas ou esféricas respectivamente, como veremos nos eemplos. eorema.1 Seja R n um conjunto aberto e limitado, g : R n uma mudança de variáveis tal que X = g() e f : X R uma função integrável em X. Então, f()d = f(g(t)) det Dg(t) dt. X A demonstração do caso geral pode ser vista na bibliografia (cf. [, 1]). No entanto, não é difícil aceitá-lo como verdadeiro bastando ter em conta o caso em que a mudança de variáveis é linear tal como foi visto no eemplo 1.4. Por ser muito instrutivo, veremos com algum detalhe o caso em R, usando a noção de transformações primitivas. Do eemplo 1.5, sabemos que uma mudança de variáveis g : R pode ser dada, localmente, pela composição de duas transformações primitivas, ou seja, em que g(u,v) = (q p)(u,v) = (φ(u,v),ψ(u,v)), p(u,v) = (φ(u,v),v) ; q(u,v) = (u,ψ(u,v)) são funções de classe C 1. Suponhamos, por simplicidade, que temos Seja e, portanto, φ u > ; ψ v >. S = p() = {(φ(u,v),v) : (u,v) } X = g() = q(p()) = q(s) = {(,ψ(,v) : (,v) S}. Seja I um intervalo tal que S I e consideremos uma partição de I dada pelos pontos j, j = 1,...,M e pelos pontos v k, k = 1,...,N. Sejam I jk os subintervalos dessa partição tal como se ilustra na figura 11. Seja R = q(i) e R jk = q(i jk ). É claro que, o conjunto R jk é limitado pelas linhas paralelas = j e = j+1 e pelas linhas = ψ(,v k ) e = ψ(,v k+1 ), tal como se ilustra na figura 1. 9

10 v v S = p() I I jk u Figura 11: Mudança de variáveis: S = p() v v k+1 I jk Rjk v k j j+1 j j+1 Figura 1: Mudança de variáveis: R jk = q(i jk ) Assim, teremos vol (R jk ) = j+1 j (ψ(,v k+1 ) ψ(,v k+1 ))d. Pelo teorema do valor médio em R, eiste um ponto j ] j, j+1 [, tal que vol (R jk ) = (ψ( j,v k+1 ) ψ( j,v k ))( j+1 j ). Pelo teorema de Lagrange em R, eiste um ponto v k ]v k,v k+1 [, tal que vol (R jk ) = ψ v ( j,v k )( j+1 j )(v k+1 v k ). Dado que f é integrável em X então a soma f( j,v k ) ψ v ( j,v k )( j+1 j )(v k+1 v k ) j,k converge para o integral de f em X. Mas, sendo vol (I jk ) = ( j+1 j )(v k+1 v k ), então f(,)dd = f(,v) ψ v (,v)ddv. X S 1

11 Argumentando da mesma forma trocando os papéis de, e de φ,ψ, respectivamente, obtemos f(,v) ψ v (,v)ddv = f(φ(u,v),ψ(φ(u,v),v)) ψ v (φ(u,v),v) φ u (u,v)dudv. S Notando que teremos então, X detdg(u,v) = ψ v (φ(u,v),v) φ u (u,v), f(,)dd = f(g(u, v)) det Dg(u, v) dudv. Dado que é limitado, então pode ser decomposto numa união finita de intervalos em que a mudança de variáveis g é a composição de transformações primitivas e, portanto, teremos a fórmula da mudança de variáveis. *** Eemplo.1 Área de um círculo em R : Seja S o círculo centrado na origem de R e de raio R S = {(,) R : + < R } Seja X o conjunto que se obtém de S retirando-lhe o semi-eio positivo X = S \{(,) : } Considerando a mudança de variáveis para coordenadas polares em R sabemos que em que g(r,θ) = (rcosθ,rsenθ) = (,) X = g() = {(r,θ) : < r < R; < θ < π} Notando que o segmento de recta {(,) : < R} tem conteúdo nulo em R e, aplicando o teorema da mudança de variáveis e o teorema de Fubini, obtemos π ( R ) vol (S) = vol (X) = rdrdθ = rdr dθ = πr. É de salientar que o conjunto é um intervalo e, portanto, a aplicação do teorema de Fubini no cálculo do integral duplo é muito simples. 11

12 Eemplo. Volume de um cilindro em R 3 : Seja S o cilindro vertical de raio R e altura h dado por S = {(,,) R 3 : + < R ; < < h} Seja X o conjunto que se obtém de S retirando-lhe o semi-plano { = ; }, ou seja, X = S \{(,,) : < R; = ; < < h} e consideremos a mudança de variáveis para coordenadas cilíndricas em R 3 g(ρ,θ,) = (ρcosθ,ρsenθ,) = (,,) Então, em que X = g() = {(ρ,θ,) : < ρ < R; < θ < π; < < h} Sabendo que o rectângulo {(,,) : < R; = ; < < h} tem contedo nulo em R 3 e, aplicando o teorema da mudança de variáveis e o teorema de Fubini, obtemos π ( h ( R ) ) vol 3 (S) = vol 3 (X) = ρdρdθd = ρdr d dθ = πr h Note-se que é um intervalo e, portanto, a aplicação do teorema de Fubini ao cálculo do integral é simples. Eemplo.3 Volume de uma bola em R 3 : Seja B a bola centrada na origem de R 3 e de raio R B = {(,,) R 3 : + + < R } Seja X o conjunto que se obtém de B retirando-lhe o semi-plano { = ; } X = S \{(,,) : = ; + < R } e consideremos a mudança de variáveis para coordenadas esféricas em R 3 g(r,θ,φ) = (rsenφcosθ,rsenφsenθ,rcosφ) = (,,) sendo Então, X = g() = {(r,θ,φ) : < r < R; < θ < π; < φ < π} 1

13 endo em conta que o semi-círculo {(,,) : = ; + < R } tem conteúdo nulo em R 3 e, aplicando o teorema da mudança de variáveis e o teorema de Fubini, obtemos π ( π ( R ) ) vol 3 (B) = vol 3 (X) = r senφdrdθdφ = r senφdr dφ dθ = 4 3 πr3. al como nos eemplos anteriores, o conjunto é um intervalo e a aplicação do teorema de Fubini ao cálculo do integral triplo é bastante simples. Eemplo.4 Volume de uma calote esférica em R 3 : Seja S a calote esférica, representada na figura 13 e definida por S = {(,,) R 3 : + + < R ; > h} e seja X o conjunto que se obtém de S retirando-lhe o semi-plano { = ; } X = S \{(,,) : = ; } R h X R h ρ + = R ρ Figura 13: Calote esférica em coordenadas esféricas e cilíndricas Sendo S uma porção de uma bola em R 3, consideremos a mudança de variáveis para coordenadas esféricas g(r,θ,φ) = (rsenφcosθ,rsenφsenθ,rcosφ) = (,,) Da condição > h, obtemos r > h cosφ e, portanto, X = g() em que = {(r,θ,φ) : < θ < π; < φ < arccos( h R ); h cosφ < r < R} 13

14 Assim, o volume de S é dado por e, tendo em conta que vol 3 (S) = vol 3 (X) ( π ( arccos( h ) ) R ) R = r senφdr dφ dθ h cosφ = π arccos( h R ) ) senφ (R 3 h3 dφ 3 cos 3 φ ( ) d 1 = sen d cos cos 3 obtemos vol 3 (S) = π ( R 3 3R h+h 3) 3 Por outro lado, a calote esférica S também apresenta simetria cilíndrica em torno do eio e, portanto, consideremos a mudança para coordenadas cilíndricas g(ρ,θ,) = (ρcosθ,ρsenθ,) = (,,) Da inequação + < R obtemos ρ < R e então em que X = g() = {(ρ,θ,) : h < < R; < θ < π; < ρ < R } Assim, o volume de S é dado por vol 3 (S) = vol 3 (X) = ρdρdθd ( π ( R ) ) R = ρdρ d dθ = π = π 3 R h h (R )d ( R 3 3R h+h 3) Eemplo.5 Volume de um cone em R 3 : Seja S o cone representado na figura 14 e definido por S = {(,,) R 3 : + < < h} 14

15 h X h = ρ h ρ Figura 14: Cone em R 3 em que h >. Para cada valor de temos um círculo de raio, ou seja, S apresenta simetria cilíndrica com eio em e, portanto, consideremos a mudança para coordenadas cilíndricas g(ρ,θ,) = (ρcosθ,ρsenθ,) = (,,) Seja X o conjunto que se obtém de S retirando-lhe o plano { = ; }. Das condições + < < h obtemos ρ < < h e, portanto, em que X = g() = {(ρ,θ,) : < θ < π; < ρ < h; ρ < < h} O volume de S é, então, dado por vol 3 (S) = vol 3 (X) π ( h ( h = = π h = π 3 h3 ρ ρ(h ρ)dρ ) ) ρd dρ dθ Eemplo.6 Consideremos o sólido V representado na figura 15 e descrito por V = {(,,) R 3 : + < 1+ ; + + < 5; > } 15

16 5 5 ρ + = 5 1 ρ = 1+ 1 ρ Figura 15: Das inequações + + < 5 e >, obtemos < < 5. Por outro lado, as superfícies dadas, respectivamente, por + = 1+ e + + = 5 intersectam-se segundo a linha dada pelas equações = ; + = 3 É claro que V apresenta simetria cilíndrica relativa ao eio. Assim, em coordenadas cilíndricas (ρ,θ,), V é descrito por i) Para < <, temos < θ < π ; < ρ < 1+ ii) Para < < 5, temos < θ < π ; < ρ < 5 Portanto, pelo teorema da mudança de variáveis, o volume de V pode ser calculado da seguinte maneira ( π ( ) ) 1+ ( π ( 5 ) ) 5 vol 3 (V) = ρdρ d dθ+ ρdρ d dθ = π (1+ )d +π = π (5 )d Eemplo.7 Consideremos o sólido limitado por um cone e uma esfera, representado na figura 16 e descrito por V = {(,,) R 3 : + + < ; + < }. 16

17 1 ρ + = ρ = 1 ρ Figura 16: É claro que este sólido apresenta simetria cilíndrica em torno do eio O. De facto, temos ρ + < ; > ρ, ou seja, < θ < π ; < ρ < 1 ; ρ < < ρ, tal como se ilustra na figura 16. Assim, o respectivo volume será dado por ( π ( 1 ρ ) ) vol 3 (V) = ρd dρ dθ = π 1 = 4π 3 ( 1). ρ ) ρ( ρ ρ dρ Da figura 16 também é claro que podemos recorrer às coordenadas esféricas para calcular o volume de V. Sendo > ρ é claro que < φ < π e, portanto, teremos 4 < θ < π ; < φ < π 4 ; < r <, e o respectivo volume será dado pelo integral ( π ( π/4 ) ) vol 3 (V) = r sen(φ)dr dφ dθ = 4π 3 ( 1). 17

18 Eemplo.8 Consideremos o toro de raios R e r que se representa na figura 17 e descrito por X = {(,,) R 3 : ( + R) + < r }. X r s φ (ρ,) R ρ N r Figura 17: oro de raios R,r É claro que este toro pode ser descrito em coordenadas cilíndricas mas iremos faê-lo nas coordenadas (s, θ, φ), chamadas coordenadas toroidais. Para isso, recorrendo à figura 17, é claro que temos ρ R = scosφ ; = ssenφ e, portanto = (R+scosφ)cosθ = (R+scosφ)senθ = ssenφ. Note-se que o toro resulta da rotação do círculo centrado no ponto (ρ,) = (R,) e raio r, em torno do eio O. Seja = {(s,θ,φ) R 3 : < θ < π ; < φ < π ; < s < r} e g : R 3 a função definida por g(s,θ,φ) = ((R+scosφ)cosθ,(R+scosφ)senθ,ssenφ). É fácil verificar que g é uma mudança de variáveis e que g() = X \N, em que N é o conjunto definido por N = {(,,)} {(,,)}, tal como se representa na figura 17. Para além disso temos detdg(s,θ,φ) = (R+scosφ)s. Assim, o volume do toro será dado pelo integral π ( π ( r vol 3 (X) = (R+scosφ)sds = π Rr. 18 ) ) dφ dθ

19 Eemplo.9 Seja S R a região representada na figura 18 e definida por S = {(,) R : π, e consideremos função f : R R definida por f(,) = sen(+)cos( ) π 4 } = v π π u S = Figura 18: Para calcular o integral f consideremos a transformação linear (u,v) = g(,) definida S por u = + v = Note-se que através desta transformação a função f passa a ser o produto de duas funções de uma variável cada. Este facto irá certamente simplificar o cálculo do integral. Sendo linear, para que g seja uma mudança de variáveis basta que a matri que a representa seja não singular. (Recorde-se que para uma transformação linear a matri que a representa e a sua derivada coincidem). Assim, g é uma mudança de variáveis porque [ ] 1 1 detdg(,) = = 3 1 É de salientar que a transformação g permite mudar das coordenadas (u,v) para as coordenadas (,) e o que se pretende é a mudança inversa. No entanto, a transformação inversa g 1 é também uma mudança de variáveis e detdg 1 (u,v) =

20 Assim, seja R tal que S = g 1 (). Da definição de S, obtemos = {(u,v) : u π ; v π } Usando o teorema da mudança de variáveis, obtemos, f(,)dd = f(g 1 (u,v)) detdg 1 (u,v) dudv S = 1 ( π π ) sen(u) cos(v)dv du 3 = 1 ( π ) ( ) π sen(u)du cos(v)dv 3 = 3 Eemplo.1 Seja S R a região representada na figura 19 e definida por S = {(,) R : 1 < < ; > ; < < 3}. e consideremos o integral em S da função definida por f(,) = (1+ ) v 3 = 3 1 S = = = 1 1 u Figura 19: Note-se que S é um conjunto limitado e que a função f é limitada e contínua em S e, portanto, o respectivo integral eiste.

21 endo em conta que S pode ser dado por S = {(,) R : 1 < < ; > ; 1 < < 3}. e a função f depende do produto e da raão, consideremos a transformação (u,v) = g(, ) definida por Então, u = v = = g(s) = {(u,v) : 1 < u < ; 1 < v < 3} ou seja, a função g transforma S no rectângulo = g(s). Vejamos que g é uma mudança de variáveis em S. É claro que g é de classe C 1. Da definição de g, obtemos u = v = uv e, portanto, g é invertível, ou seja, injectiva. A derivada de g é dada pela matri Dg(,) = e, tendo em conta que, > >, temos [ 1 ] detdg(,) = > Portanto, g é uma mudança de variáveis. Aplicando o teorema da mudança de variáveis e, tendo o cuidado de notar que a transformação a usar é a função g 1 e que obtemos S detdg 1 (u,v) = 1 v f(,)dd = f(g 1 (u,v)) detdg 1 (u,v) dudv = 1 3 ( ) u du dv = arctan() arctan(1) 1

22 Eemplo.11 Seja S o círculo centrado na origem de R e de raio R e consideremos a função definida por f(,) = e ( + ) Para calcular o integral de f em S consideremos a mudança para coordenadas polares Do eemplo 1.1 sabemos que em que Assim, temos S g(r,θ) = (rcosθ,rsenθ) g() = S = {(r,θ) : < r < R; < θ < π} f(,)dd = = π = π f(g(r,θ)) detdg(r,θ) drdθ ( R ) re r dr dθ R re r dr = π(1 e R ) Note-se que se aplicarmos o teorema de Fubini ao cálculo do integral em coordenadas (, ), obtemos ( R ) R f(,)dd = e d d S R R e e este integral não é facilmente calculável por não termos à disposição uma primitiva para a função e. Em coordendas polares este problema não eiste porque a função a integrar é dada por re r cuja primitivação é imediata. *** Referências [1] Luís. Magalhães. Integrais Múltiplos. eto Editora, [] W. Rudin. Principles of Mathematical Analsis. McGraw Hill, 1996.