6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS
|
|
- Antônia Assunção Nunes
- 8 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS Quando uma função f (z) não é diferenciável num complexo z 0 ; diremos que z 0 é uma singularidade de f (z) ; z 0 dir-se-á uma singularidade isolada de f (z) se, contudo, f (z) for holomorfa numa bola perfurada D " (z 0 ) fz : 0 < jz z 0 j < "g ; de centro em z 0 e raio " > 0; su cientemente pequeno. A independência do valor do integral (ver a secção 5, DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIES DE POTÊNCIAS) f (z) dz; i C r(z 0 ) relativamente às circunferências simples e positivamente orientadas, C r (z 0 ); de centro em z 0 e raio 0 < r < "; assume um papel de grande relevo. Constitui-se com ele o chamado resíduo de f em z 0 ; que representaremos por Res (f; z 0 ): Considerando o desenvolvimento de Laurent de f em D " (z 0 ); a série X a n (z z 0 ) n + X n X n b n (z z 0 ) n ; b n (z z 0 ) n ; z D "(z 0 ); () dita parte singular da série de Laurent, pode constituir a pedra-de-toque para a classi - cação dessas singularidades. Note-se que pelo teorema de Laurent (ver secção 5., SÉRIES DE LAURENT) o resíduo de f em z 0 coincide com o coe ciente b ; do primeiro termo da mesma parte singular. 6. CLASSIFICAÇÃO DE SINGULARIDADES Através daquela série podemos, de um modo bastante natural, distinguir os diversos tipos de singularidades de acordo com a seguinte de nição: De nição Seja z 0 uma singularidade isolada de f: Diremos que: i) z 0 é uma singularidade removível se todos os coe cientes b n forem nulos; ii) z 0 é um polo, se apenas um número nito dos coe cientes b n não forem nulos; se b k 6 0 e b n 0 para cada n > k; z 0 diz-se um polo de ordem k (usaremos a terminologia de polo simples quando k, de polo duplo quando k ; etc.). iii) z 0 é uma singularidade essencial de f; se uma in nidade dos coe cientes b n forem diferentes de zero. Observemos que quando z 0 C é uma singularidade removível da função f, temos que X a n (z z 0 ) n ;
2 para z D " (z 0 ); onde esta série é convergente. Como tal podemos tornar f diferenciável em z 0 ; mediante a chamada remoção da singularidade, a qual consiste simplesmente em atribuir à função o valor a 0 no ponto z 0 : De facto, desse modo, passamos a ter f analítica em z 0 : 6. TEOREMA DOS RESÍDUOS À custa do conceito de resíduo podemos entretanto proceder a uma extensão da teoria de Cauchy-Goursat através do importante teorema que a seguir estabelecemos. Teorema (Teorema dos Resíduos) Seja f uma função que no aberto e convexo U apenas tem um número nito de singularidades isoladas, z ; :::; z q : Se for uma linha fechada em U que não passe por estas singularidades, então qx f(z)dz i I( ; z j )Res(f; z j ): () j Dem.: Para cada j ; :::; q; existe, pelo teorema de Laurent, uma bola perfurada D rj (z j ) fz : 0 < jz z j j < r j g ; de centro em z j e raio r j > 0 su cientemente pequeno, na qual, X a jn (z z j ) n + X n b jn (z z j ) n : Para cada j ; :::; q; consideremos a família de funções X b jn j (z) (z z j ) : n n Observemos que cada uma destas séries é absolutamente convergente em K (z j ; 0; ) fz : 0 < jzjg (j ; :::; q)) e neste conjunto j (z) é uma função holomorfa (veja-se a este propósito as observações feitas no nal da secção 4., FUNÇÕES ANALÍTICAS). Assim, podemos a rmar que cada j é holomorfa em Cn fz j g (j ; :::; q) : Deste modo, através de qx g(z) f(z) j (z) constituímos uma função holomorfa em Un fz ; :::; z q g : Porém, em cada z j ; (j ; :::; q); g possui uma singularidade removível, já que na correspondente bola perfurada, D rj (z j ); é X qx g(z) a jn (z z j ) n k (z): Logo, após a remoção das respectivas singularidades, podemos tomar g como uma função holomorfa em U; vindo pelo teorema de Cauchy que qx f (z) dz j (z) dz: j j k k6j
3 Por outro lado, para cada j ; :::; q; tem-se X b jn j (z) dz (z z j ) dz; n e como n b jn dz 0; (z z j ) n para n ; podemos concluir que S j (z) dz ib j I(; z j ) ii(; z j ) Res(f; z j ); cando o teorema demonstrado. 6.3 CÁLCULO DE RESÍDUOS A importância do teorema dos resíduos levou a que se procurassem métodos de classi- cação de singularidades e de cálculo dos respectivos resíduos sem recorrer à utilização do correspondente desenvolvimento em série de Laurent. Tais métodos podem ser profícuos sobretudo na análise de singularidades removíveis e de polos. O comportamento das funções em torno de singularidades essenciais é signi cativamente mais complexo. Teorema 3 Seja z 0 uma singularidade isolada de f: i) z 0 é uma singularidade removível se e só se existir sendo então Res (f; z 0 ) 0: ii) z 0 é um polo de ordem k se e só se existir f (z) 6 ; (3) (z z 0 ) k f (z) 6 0; : (4) Então se k se k > Res (f; z 0 ) Res (f; z 0 ) z!z0 [(z z 0 ) f (z)] ; (5) h i (k )! Dz k (z z 0 ) k f (z) (6) Dem.: Relativamente a uma certa bola perfurada, D " (z 0 ); de centro em z 0 ; consideremos o correspondente desenvolvimento em série de Laurent de f: X a n (z z 0 ) n + X n b n (z z 0 ) n (z D " (z 0 )) : i) Se z 0 é uma singularidade removível então para z D " (z 0 ) X a n (z z 0 ) n : 3
4 Como tal, existe z!z0 f (z) a 0 : Inversamente, a existência deste ite implica que (z z 0 )f (z) 0: Isto signi ca que para qualquer > 0; existe r ]0; "[ ; su cientemente pequeno, digamos tal que r < ; de modo que para qualquer z B r (z 0 ); Ora sendo, para n ; temos que jb n j jf(z)(z z 0 )j < : b n f(z)(z z 0 ) n dz; i C r(z 0 ) max wc r(z 0 ) max jf(z)j jz z0 j n c (C(z 0 ; r)) jf(z)j jz z0 j jz z 0 j n r wc r(z 0 ) < r n < : Da arbitrariedade de ; concluímos que b n 0; para cada n ; ; ::: : Quanto ao resíduo, tem-se obviamente Res (f; z 0 ) 0: ii) Se z 0 é um polo de ordem k; então com b k 6 0; X a n (z z 0 ) n + para z D " (z 0 ): Nestas circunstâncias, temos (z z 0 ) k f (z) kx n b n (z z 0 ) n X a n (z z 0 ) n+k + b (z z 0 ) k + ::: + b k (z z 0 ) + b k ; pelo que existe z!z0 (z z 0 ) k f (z) b k 6 0; : Inversamente, se existe z!z0 (z z 0 ) k f (z) 6 0; ; por i), a função (z z 0 ) k f (z) tem uma singularidade removível em z 0 : Como tal, temos para z em torno de z 0 ; (z z 0 ) k f (z) X a n (z z 0 ) n ; em que a 0 z!z0 (z z 0 ) k f (z) 6 0: Deste modo, o desenvolvimento de Laurent de f em torno de z 0 é dado por f (z) X a n (z z 0 ) n k e, por conseguinte, z 0 é um polo de ordem k: a 0 (z z 0 ) k + ::: + a k 4 (z z 0 ) + X a n+k (z z 0 ) n ;
5 Quanto ao resíduo, notemos com base no desenvolvimento de Laurent de (z em torno de z 0 ; que por derivação termo-a-termo h i X Dz k (z z 0 ) k f (z) a n (n + k) :::n(z z 0 ) n+ + (k )!b ; resultando em consequência, Res (f; z 0 ) h i (k )! Dz k (z z 0 ) k f (z) : z 0 ) k f (z) Reanalisando o teorema de Goursat (ver secção., TEOREMA DE GOURSAT) podemos observar, à luz do ponto i) deste teorema, que a singularidade que ele refere é uma singularidade removível cuja remoção permite a aplicação imediata do teorema de Cauchy. 6.4 CASO DE FUNÇÕES g(z)h(z) Quando g(z) h(z) em que g e h são funções holomorfas num dado aberto U; as potenciais singularidades de f são os zeros da função h: Neste contexto, tem a chamada multiplicidade dos zeros de g e de h um papel relevante na classi cação da singularidade. Perante uma função,, holomorfa numa vizinhança de um ponto z 0 ; se z 0 é um zero de tal que 0 (z 0 ) 0; :::; (m ) (z 0 ) 0 e (m) (z 0 ) 6 0; (m ); diremos que tem em z 0 um zero de multiplicidade m: (Utilizaremos também as designações de zero simples, quando m ; zero duplo para m ; etc.). Exemplo 4 A função (z) z 3 z + z tem apenas dois zeros: 0 e : Como 0 (0) 6 0; temos que 0 é um zero simples de : Contudo 0 () 0 e 00 () 6 0; o que signi ca que é um zero duplo de : Se numa vizinhança de z 0 ; a função, não possuir outros zeros para além de z 0 ; diremos que z 0 é um zero isolado de : Neste sentido, notemos que se z 0 é um zero de multiplicidade m; então através do desenvolvimento em série de Taylor de em torno de z 0 ; se tem (z) (z z 0 ) m (z) ; para z numa certa bola aberta, B " (z 0 ) ; de centro em z 0 e raio " > 0; onde (z) (m) (z 0 ) m! Sendo (z) contínua e + (m+) (z 0 ) (m + )! (z z 0 ) + (m+) (z 0 ) (m + )! (z z 0 ) + ::: : (z 0 ) (m) (z 0 ) 6 0 m! podemos escolher " su cientemente pequeno de modo que seja (z) 6 0 para qualquer z B " (z 0 ) : Como tal, z 0 é um zero isolado de : 5
6 Teorema 5 Seja g(z)h(z); com g e h holomorfas num dado aberto U; e z 0 U um zero de h de multiplicidade m: i) Se g(z 0 ) 6 0; então z 0 é um polo de ordem m de f: ii) Se z 0 é um zero de g de multiplicidade k m então z 0 é uma singularidade removível de f: iii) Se z 0 é um zero de g de multiplicidade k < m então z 0 é um polo de f de ordem q m k: Dem.: É claro que sendo z 0 um zero isolado de h; z 0 será uma singularidade isolada de f: Consideremos então os desenvolvimentos de Taylor de g e de h em torno de z 0 : g(z) g(k) (z 0 ) k! h(z) h(m) (z 0 ) m! (z z 0 ) k + g(k+) (z 0 ) (k + )! (z z 0 ) m + h(m+) (z 0 ) (m + )! g(z) (z z 0 ) k g (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k+ + ::: g (k) (z 0 ) 6 0 ; (z z 0 ) m+ + ::: h (m) (z 0 ) 6 0 : Então, para " > 0 su cientemente pequeno, temos na bola aberta, B " (z 0 ) ; de centro em z 0 e raio ": (z z 0 ) + ::: ; (7) h(z) (z z 0 ) m h (m) (z 0 ) m! e consequentemente, g(z) h(z) (z z 0) k 4 (z z 0 ) m i) Se g(z 0 ) 6 0; então k 0 e + g(k+) (z 0 ) (k + )! + h(m+) (z 0 ) (m + )! (z z 0 ) m f (z) m!g(z 0) h (m) (z 0 ) Logo z 0 é um polo de ordem m de f (z) : ii) Se k m também g (k) (z 0 ) k! + g(k+) (z 0 ) (k+)! (z z 0 ) + ::: h (m) (z 0 ) m! + h(m+) (z 0 ) (m+)! (z z 0 ) + ::: (z z 0 ) + ::: ; (8) 6 0; : 3 5 : f (z) m! g (k) (z 0 ) k! h (m) (z 0 ) 6 : Logo z 0 é uma singularidade removível. Note-se que depois de removida a singularidade, ca f(z 0 ) 6 0; se k m; e f com um zero em z 0 de multiplicidade k m; se k > m: 6
7 iii) Se m > k ; com q m k; temos que (z z 0 ) q f (z) m! g (k) (z 0 ) 6 0; ; k! h (m) (z 0 ) pelo que z 0 é um polo de ordem q: No que respeita ao cálculo dos resíduos, pode proceder-se segundo as fórmulas (5) ou (6). Argumentos semelhantes aos usados no teorema anterior permitem-nos uma generalização às funções holomorfas da conhecida regra de Cauchy. Teorema 6 (Regra de Cauchy) Sejam g e h holomorfas num dado aberto U; e z 0 U tais que g (z 0 ) h (z 0 ) 0: Então g (z) h (z) g 0 (z) h 0 (z) e z!z0 g(z) h(z) z!z0 0 g(z) h(z) onde a não existência de um dos ites implica a não existência do outro. Dem.: Suponhamos tal como acima que z 0 é uma zero de multiplicidade k de g (z) e um zero de multiplicidade m de h (z) : Então por (7) e (8) temos, respectivamente, onde 0 ; g (z) (z z 0 ) k g (z) e h (z) (z z 0 ) m h (z) ; g (z) g(k) (z 0 ) k! h (z) h(m) (z 0 ) m! + g(k+) (z 0 ) (k + )! + h(m+) (z 0 ) (m + )! (z z 0 ) + ::: (z z 0 ) + ::: são funções holomorfas e não nulas numa vizinhança de z 0 : Notemos que g (z) h (z) g (z 0 ) h (z 0 ) (z z 0 ) k m : De resulta também g 0 (z) k (z z 0 ) k g (z) + (z z 0 ) k g 0 (z) ; h 0 (z) m (z z 0 ) m h (z) + (z z 0 ) m h 0 (z) ; g 0 (z) h 0 (z) Assim, se k m temos (z z 0 ) k [kg (z) + (z z 0 ) g 0 (z)] z!z0 (z z 0 ) m [mh (z) + (z z 0 ) h 0 (z)] kg (z 0 ) mh (z 0 ) (z z 0 ) k m : g (z) h (z) g 0 (z) h 0 (z) ; 7
8 o mesmo acontecendo quer quando k > m; caso em que ambos os ites são zero, quer quando k < m; caso em que os dois ites são : Analogamente, e 0 g(z) h(z) g(z) h(z) 0 z!z0 donde resulta igualmente z!z0 (z z 0 ) k g (z) (z z 0 ) m h (z) k(z z 0 ) k g (z)+(z z 0 ) k g 0 (z) [(z z 0 ) k g (z)] m(z z 0 ) m h (z)+(z z 0 ) m h 0 (z) [(z z 0 ) m h (z)] h (z 0 ) g (z 0 ) (z z 0 ) m k (z z 0 ) (m k) [h (z)] (z z 0 ) k m [kg (z) + (z z 0 ) g 0 (z)] z!z0 [g (z)] [mh (z) + (z z 0 ) m h 0 (z)] (z z 0 ) (m k) [h (z 0 )] z!z0 [g (z 0 )] (z z 0) k m [kg (z 0 )] [mh (z 0 )] kh (z 0 ) mg (z 0 ) (z z 0 ) m k ; g(z) h(z) z!z0 0 g(z) Pelos argumentos usados podemos ainda concluir que a não existência de um dos ites implica a não existência do outro. h(z) 0 : 6.5 RESÍDUO NO PONTO INFINITO Se f é uma função holomorfa num conjunto D " () fz : jzj > "g ; também o ponto in nito pode ser tomado, com algumas vantagens em certos casos, como uma singularidade de f: Notemos que também os valores dos integrais i C r f (z) dz; relativos a qualquer circunferência simples e negativamente orientada, C r ; de centro na origem e raio r > "; são invariantes com r; constitui-se com eles o chamado resíduo de f no ponto in nito, que representaremos por Res(f; ): Observemos que parametrizando a circunferência C r através da função (t) re it ; 8
9 com t a variar no intervalo [0; ] ; então com (z) f(z) f (z) dz f re it ire it dt i C r i 0! f ir dt i eit pelo que i i Re s (f; ) 0 0 f C + (0;r) Re s e it r! e it r (z) z i r eit dt e it r dz; (z) z ; 0 ; (9) tendo em conta que a função (z)z é holomorfa em D " (0) fz : 0 < jzj < "g com uma singularidade em z 0: É no âmbito do teorema dos resíduos que o resíduo no ponto in nito de uma função assume alguma relevância prática de acordo com o que se explicita no teorema seguinte. Teorema 7 Se f for uma função com um número nito de singularidades isoladas, z ; :::; z m ; em C; então mx Res(f; z j ) + Re s(f; ) 0: (0) j De facto, considerando uma circunferência simples e positivamente orientada, C r ; de centro na origem e raio r su cientemente grande de modo que fz ; :::; z m g intc r ; então pelo teorema dos resíduos temos f (z) dz i C r Exemplo 8 Com mx Re s(f; z j ) j f (z) dz Re s(f; ): i C r (t) e it ; t [0; ] ; pelo teorema dos resíduos e por (0), o integral Re s z ; + Re s z ; ire s (f; ) : dz i z Aplicando (9) obtemos que já que neste caso z (z) z dz i Re s z f é uma função diferenciável em z 0: z (z) z ; 0 0; z z z 9
10 6.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Através dos correspondentes desenvolvimentos em série de Laurent, classi que as singularidades das funções indicadas a seguir e indique os respectivos resíduos: a) sin z z : b) z 3 e iz : c) ( z) : d) z z + : e) z( z) :. Sem recorrer aos desenvolvimentos em série de Laurent, classi que as singularidades das funções indicadas a seguir e determine os respectivos resíduos: a) sin z z 3 : b) (eiz i) : z c) z+ (z )(z z+) : d) eiz sin z : 3. Com respeito ao caminho dado por (t) e it ; t [0; ] ; calcule os seguintes integrais: a) R e( z) dz: b) R dz: (z +) c) R sec z dz: 0
11 6.6. RESOLUÇÕES.a): A função sin z z possui uma única singularidade na origem. Podemos construir o desenvolvimento de Laurent de f em torno da origem através do desenvolvimento de Mac-Laurin da função sen z; obtendo-se z sen z z X ( ) n (n + )! zn+ X ( ) n (n + )! zn ; válido para z D (0) fz : 0 < jzjg : Podemos então concluir imediatamente que a origem é uma singularidade removível de f e que, como em qualquer singularidade desse tipo, Res (f; 0) 0: Note-se que após a remoção da singularidade se obtém f (0) e por conseguinte sin z : z!0 z.b): Tal como no exemplo anterior, a função z 3 e z tem na origem a sua única singularidade. O desenvolvimento de Laurent de f em torno da origem pode agora ser obtido à custa do desenvolvimento de Mac-Laurin da função exponencial. Temos então, para z D (0) fz : 0 < jzjg ; z 3 e z z 3 X n! z X n n! z n 3 z3 + z +! z + 3! + X n! z : n 3 Esta última série constitui a parte singular da correspondente série de Laurent de f em D (0); o que nos permite concluir que a origem é uma singularidade essencial de f e que Res(f; 0) 4! 4: A parte regular da mesma série é constituída apenas por.c): Como 3! +! z + z + z 3 : ( z) (z ) ; o desenvolvimento em série de Laurent de f(z) em torno de z ; única singularidade da função, resume-se a f (z) (z ) : Isto signi ca que z é um polo duplo e que Res(f; ) 0: d): As singularidades de z z + z (z + i)(z i) ; n4
12 são z i: Podemos determinar o desenvolvimento de Laurent da função em torno de z i; através da decomposição Como para z tal que jz ij < ; (z + i) + (z i) : (z + i) (i + z i) 4i + z i i X n (z i) n 4i i X n i (z i) n 4i X i n (z n+ i)n ; obtemos X i n (z n+ i)n + (z i) ; para z D (i): Por comparação com () temos que a n in ; n 0; n+ e que b ; b n 0; para n > ; o que nos permite concluir imediatamente que z i é um polo simples de f e que Res(f; i) : Analogamente em torno de z i temos para z D ( i) (z + i) 4i z+i i z + i X n+ i (z + n+ i)n ; e, por conseguinte, f tem também naquele ponto um polo simples, sendo Res(f; i) :.e): z 0 e z são as singularidades de z ( z) : Para obtermos o desenvolvimento de Laurent em torno de z 0; notemos primeiramente que ( z) D z : z
13 Como para z B fz : jzj < g se tem z X z n ; então dada a possibildade de derivarmos termo-a-termo uma série de potências, obtemos ( z) D z! X z n Assim, para z D fz : 0 < jzj < g ; é ou seja, z X nz n n z + X nz n n X nz n : n X nz n ; n z + X (n + ) z: Por comparação com () podemos concluir que para n 0; a n n+ e que b ; b n 0 para n > : Logo z 0 é um polo simples e Res (f; 0) : No que respeita a z ; a série de Laurent em D () fz : 0 < jz j < g pode ser obtida através de (z ) z (z ) + z X (z ) ( ) n (z ) n X ( ) n (z ) n (z ) (z ) + X ( ) n (z ) n n (z ) (z ) + X ( ) n (z ) n : Comparando com () temos que para n 0; a n ( ) n enquanto que que b ; b ; b n 0 para n > : Logo z é um polo duplo e Res (f; 0) :.a): A única singularidade da função é a origem. Notando que sin z z 3 z sin z z!0 z 3 z!0 sin z z 6 0; ; 3
14 podemos concluir que f tem na origem um polo simples, e que Res (f; 0) :.b): Neste caso, (eiz i) z possui também uma única singularidade, agora em z : Considerando as funções g(z) (e iz i) e h(z) z ; observamos que g( ) 0 e h( ) 0: Como g 0 (z) ie iz (e iz i); g 0 ( ) 0; g 00 (z) e iz (e iz i) e iz ; g 00 ( ) 6 0; e h 0 6 0; temos que que z é um zero duplo de g(z) e um zero simples de h(z): Então pelo Teorema 5 ii) concluímos que f possui em z uma singularidade removível. O respectivo resíduo é naturalmente igual a zero..c): As singularidades de são z e as raízes de z + (z ) (z z + ) ; Deste modo podemos escrever z z + 0, z p 4 8 i: o que permite observar que z + (z ) (z i) (z + i) : ; ; z! ( i) i 3 + i (z i) z!+i ii 3 i 6 0; ; 3 i (z + i) z! i i ( i) 3 + i 6 0; : Logo todas as singularidades de f(z) são polos simples e Re s (f; ) 3; Re s (f; + i) 3 i; Re s (f; i) 3 + i:.d): Sendo eiz sin z 4
15 consideremos as funções auxiliares g (z) e iz ; h (z) sin z: Os zeros de h (z) são z k (k 0; ; ; :::) e simultaneamente as singularidades da função f: Como h 0 (k) cos (k) ( ) k 6 0; podemos concluir que z k são zeros de h (z) de multiplicidade. Distingamos os casos k ímpar e k par, ou seja quando z (n + ) e z n (n ) : Ora como g ((n + ) ) 6 0; pelo Teorema 5 i) os reais z (n + ) (n ) são polos de ordem de f: Aplicando (5) vem (z (n + ) ) (e iz ) Res (f; (n + ) ) : z!(n+) sinz Por aplicação da regra de Cauchy obtemos Logo (z (n + ) ) (e iz ) z!(n+) sin z Nos reais z n (n ) temos que e iz + (z (n + ) ) ie iz z!(n+) cos z Res (f; (n + ) ) : g (n) 0; g 0 (n) ie in i 6 0; ou seja, g (z) tem em z n zeros de multiplicidade. Como z n também são zeros de h (z) de multiplicidade, podemos concluir, pelo Teorema 5 ii), que z n são singularidades removíveis de f (z) : Os respectivos resíduos são todos nulos. 3.a): Como f (z) e ( z) possui uma única singularidade em z 0; e pelo teorema dos resíduos tem-se e (z+z) dz ii (; 0) Res (f; 0) : O desenvolvimento de Laurent de f em torno de z 0 vem dado por e ( z) e e z n z e X n! n0 X e ( ) n n! n0 z n ; o que permite concluir que z 0 é uma singularidade essencial e que Res (f; 0) e: 5 :
16 Como I (; 0) então 3.b): As singularidades de são z i e por conseguinte Como I (; i) Tendo em atenção que e ( z) dz ei: (z + ) (z i) (z + i) : temos pelo teorema dos resíduos (z dz i [Res (f; i) + Res (f; i)] : + ) (z i) z!i (z + z! i i) (i) 6 0; ; 4 ( i) 6 0; ; 4 pelo Teorema 3 ii) ambas as singularidades são polos duplos. Quanto aos valores dos resíduos podemos utilizar (6) com k e obter Res (f; i) D z (z i) f(z) z!i D z z!i (z + i) Analogamente z! i (i) 3 i 4 : (z + i) 3 Re s (f; i) D z (z + i) f(z) z! i D z z! i (z i) z! i (z i) 3 ( i) 3 i 4 : 6
17 Logo (z + ) dz i i 4 + i 0: 4 NOTA: Observemos que poderia ter sido utilizada aqui a relação (0) do Teorema 6, segundo a qual Res (f; i) + Res (f; i) Res (f; ) : Como por (9) sendo (z) z z f z Res (f; ) Res z z + z uma função diferenciável em z 0; temos que Res (f; i) + Res (f; i) Res 3.c): As singularidades de são os reais Porém, em int apenas se encontram (z) z ; 0 ; sec z cos z ; z + k; (k ) : z : z4 ( + z ) z ( + z ) (z) z ; 0 0: Como I ; temos novamente pelo teorema dos resíduos h sec z dz i Res f; i + Res f; : Façamos g (z) ; h (z) cos z: Temos h () 0; e h 0 (z) sin z cos z; h 0 0; h 00 (z) cos z + sin z; h ; o que mostra que h (z) tem em z zeros de multiplicidade. Como g 6 0, pelo Teorema 5 i) estamos perante polos duplos da função f: Por (6) com k obtemos " # Res (f; ) z! z D z cos z z cos z + z sin z cos z z! cos 4 z z! z cos z + z sin z : cos 3 z 7
18 Então por aplicação sucessiva da regra de Cauchy, vem Res (f; ) cos z + z sin z + z cos z z! 3 cos z sin z 3 z cos z z sin z z! 6 cos z sin z 3 cos 3 z 3 cos z 5 z sin z z cos z z! 6 sin 3 z + cos z sin z + 9 cos z sin z 0 6 sin 3 0: Logo sec z dz i [0 + 0] 0: 8
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas
Singularidades de Funções de Variáveis Complexas AULA 11 META: Introduzir o conceito de singularidades de funções de variáveis complexas. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 ō Semestre 2015/2016
Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 205/206 ō Teste, versão A (Cursos: LEIC-A, MEAmbi, MEBiol, MEQ). Considere a função u : R 2 R dada por onde a e b são duas constantes reais. 09 de Abril
Leia mais13 a Aula 2004.10.13 AMIV LEAN, LEC Apontamentos
3 a Aula 2004.0.3 AMIV LEAN, LEC Apontamentos (Ricardo.Coutinho@math.ist.utl.pt) 3. Singularidades isoladas Para na prática podermos aplicar o teorema dos resíduos com eficiência, precisamos de conhecer
Leia maisNotas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de extremos
Notas sobre a Fórmula de Taylor e o estudo de etremos O Teorema de Taylor estabelece que sob certas condições) uma função pode ser aproimada na proimidade de algum ponto dado) por um polinómio, de modo
Leia maisEquações Diferenciais Ordinárias
Equações Diferenciais Ordinárias Uma equação diferencial é uma equação que relaciona uma ou mais funções (desconhecidas com uma ou mais das suas derivadas. Eemplos: ( t dt ( t, u t d u ( cos( ( t d u +
Leia maisIntrodução ao estudo de equações diferenciais
Matemática (AP) - 2008/09 - Introdução ao estudo de equações diferenciais 77 Introdução ao estudo de equações diferenciais Introdução e de nição de equação diferencial Existe uma grande variedade de situações
Leia maisInstituto Superior Técnico Departamento de Matemática Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Última actualização: 11/Dez/2003 ÁLGEBRA LINEAR A FICHA 8 APLICAÇÕES E COMPLEMENTOS Sistemas Dinâmicos Discretos (1) (Problema
Leia maisCapítulo 5: Aplicações da Derivada
Instituto de Ciências Exatas - Departamento de Matemática Cálculo I Profª Maria Julieta Ventura Carvalho de Araujo Capítulo 5: Aplicações da Derivada 5- Acréscimos e Diferenciais - Acréscimos Seja y f
Leia maisMATEMÁTICA A - 12o Ano N o s Complexos - Equações e problemas
MATEMÁTICA A - 1o Ano N o s Complexos - Equações e problemas Exercícios de exames e testes intermédios 1. Em C, conjunto dos números complexos, considere z = + i19 cis θ Determine os valores de θ pertencentes
Leia maisPotenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z
Rua Oto de Alencar nº 5-9, Maracanã/RJ - tel. 04-98/4-98 Potenciação no Conjunto dos Números Inteiros - Z Podemos epressar o produto de quatro fatores iguais a.... por meio de uma potência de base e epoente
Leia maispor séries de potências
Seção 23: Resolução de equações diferenciais por séries de potências Até este ponto, quando resolvemos equações diferenciais ordinárias, nosso objetivo foi sempre encontrar as soluções expressas por meio
Leia maisINSTITUTO TECNOLÓGICO
PAC - PROGRAMA DE APRIMORAMENTO DE CONTEÚDOS. ATIVIDADES DE NIVELAMENTO BÁSICO. DISCIPLINAS: MATEMÁTICA & ESTATÍSTICA. PROFº.: PROF. DR. AUSTER RUZANTE 1ª SEMANA DE ATIVIDADES DOS CURSOS DE TECNOLOGIA
Leia maisx As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas.
Å 6pULHV GH SRWrQFLDV As VpULHVGHSRWrQFLDV são um caso particularmente importante das séries de funções, com inúmeras aplicações tanto teóricas como práticas. Um eemplo típico é a série, O cálculo do valor
Leia mais3 CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY
3 CONSEQUÊNCIAS DA TEORIA DE CAUCHY A teoria de Cauchy-Goursat, desenvolvida na secção 2 (TEORIA DE CAUCHY- GOUR- SAT), permite-nos tirar algumas propriedades importantes sobre as funções f que são diferenciáveis
Leia maisExercícios Teóricos Resolvidos
Universidade Federal de Minas Gerais Instituto de Ciências Exatas Departamento de Matemática Exercícios Teóricos Resolvidos O propósito deste texto é tentar mostrar aos alunos várias maneiras de raciocinar
Leia maisCurvas em coordenadas polares
1 Curvas em coordenadas polares As coordenadas polares nos dão uma maneira alternativa de localizar pontos no plano e são especialmente adequadas para expressar certas situações, como veremos a seguir.
Leia maisCálculo em Computadores - 2007 - trajectórias 1. Trajectórias Planas. 1 Trajectórias. 4.3 exercícios... 6. 4 Coordenadas polares 5
Cálculo em Computadores - 2007 - trajectórias Trajectórias Planas Índice Trajectórias. exercícios............................................... 2 2 Velocidade, pontos regulares e singulares 2 2. exercícios...............................................
Leia mais1 Propagação de Onda Livre ao Longo de um Guia de Ondas Estreito.
1 I-projeto do campus Programa Sobre Mecânica dos Fluidos Módulos Sobre Ondas em Fluidos T. R. Akylas & C. C. Mei CAPÍTULO SEIS ONDAS DISPERSIVAS FORÇADAS AO LONGO DE UM CANAL ESTREITO As ondas de gravidade
Leia maisTeorema da Mudança de Coordenadas
Instituto uperior écnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires eorema da Mudança de Coordenadas 1 Mudança de Coordenadas Definição 1 eja n um aberto. Diz-se que uma
Leia mais36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase
36 a Olimpíada Brasileira de Matemática Nível Universitário Primeira Fase Problema 1 Turbo, o caracol, está participando de uma corrida Nos últimos 1000 mm, Turbo, que está a 1 mm por hora, se motiva e
Leia maisFaculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa TÓPICOS DE CORRECÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I. Ano Lectivo 2007-08 - 1 o Semestre
Faculdade de Economia Universidade Nova de Lisboa TÓPICOS DE COECÇÃO DO EXAME DE CÁLCULO I Ano Lectivo 7-8 - o Semestre Exame Final em 7 de Janeiro de 8 Versão B Duração: horas e 3 minutos Não é permitido
Leia maisResolução dos Exercícios sobre Derivadas
Resolução dos Eercícios sobre Derivadas Eercício Utilizando a idéia do eemplo anterior, encontre a reta tangente à curva nos pontos onde e Vamos determinar a reta tangente à curva nos pontos de abscissas
Leia mais1 Sistemas de Controle e Princípio do Máximo
Sistemas de Controle & Controle Ótimo & Princípio do Máximo Lúcio Fassarella (215) 1 Sistemas de Controle e Princípio do Máximo Essencialmente, sistemas de controle são sistemas dinâmicos cuja evolução
Leia maisUm estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto
Um estudo sobre funções contínuas que não são diferenciáveis em nenhum ponto Maria Angélica Araújo Universidade Federal de Uberlândia - Faculdade de Matemática Graduanda em Matemática - Programa de Educação
Leia maisMÓDULO 4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIAS
MÓDULO 4 DISTRIBUIÇÃO DE FREQÜÊNCIS Como vimos no módulo 1, para que nós possamos extrair dos dados estatísticos de que dispomos a correta análise e interpretação, o primeiro passo deverá ser a correta
Leia maisUNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura. (Números Complexos)
UNIVERSIDADE ESTADUAL DE CAMPINAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E COMPUTAÇÃO CIENTÍFICA Matemática Licenciatura (Números Complexos) Jéssica Roldão de Oliveira Assis RA 160332 Campinas 2014 1 HISTÓRIA
Leia maisx 1 f(x) f(a) f (a) = lim x a
Capítulo 27 Regras de L Hôpital 27. Formas indeterminadas Suponha que desejamos traçar o gráfico da função F () = 2. Embora F não esteja definida em =, para traçar o seu gráfico precisamos conhecer o comportamento
Leia maisChapter 2. 2.1 Noções Preliminares
Chapter 2 Seqüências de Números Reais Na Análise os conceitos e resultados mais importantes se referem a limites, direto ou indiretamente. Daí, num primeiro momento, estudaremos os limites de seqüências
Leia maisTruques e Dicas. = 7 30 Para multiplicar fracções basta multiplicar os numeradores e os denominadores: 2 30 = 12 5
Truques e Dicas O que se segue serve para esclarecer alguma questão que possa surgir ao resolver um exercício de matemática. Espero que lhe seja útil! Cap. I Fracções. Soma e Produto de Fracções Para somar
Leia mais4.1 Em cada caso use a definição para calcular f 0 (x). (a) f (x) =x 3,x R (b) f (x) =1/x, x 6= 0 (c) f (x) =1/ x, x > 0.
4. Em cada caso use a definição para calcular f 0 (). (a) f () = 3, R (b) f () =/, 6= 0 (c) f () =/, > 0. 4.2 Mostre que a função f () = /3, R, não é diferenciável em =0. 4.3 Considere a função f : R R
Leia maisCAPÍTULO 2. Grafos e Redes
CAPÍTULO 2 1. Introdução Um grafo é uma representação visual de um determinado conjunto de dados e da ligação existente entre alguns dos elementos desse conjunto. Desta forma, em muitos dos problemas que
Leia maisProblemas sobre Sistemas Não Lineares
Mestrado Integrado em Engenharia Electrotécnica e de Computadores Controlo em Espaço de Estados Problemas sobre Sistemas Não Lineares Organizada por J. Miranda Lemos 0 J. M. Lemos IST P. (Construção do
Leia maisNotas de Cálculo Numérico
Notas de Cálculo Numérico Túlio Carvalho 6 de novembro de 2002 2 Cálculo Numérico Capítulo 1 Elementos sobre erros numéricos Neste primeiro capítulo, vamos falar de uma limitação importante do cálculo
Leia maisRetas e Planos. Equação Paramétrica da Reta no Espaço
Retas e lanos Equações de Retas Equação aramétrica da Reta no Espaço Considere o espaço ambiente como o espaço tridimensional Um vetor v = (a, b, c) determina uma direção no espaço Dado um ponto 0 = (x
Leia maisTexto 07 - Sistemas de Partículas. A figura ao lado mostra uma bola lançada por um malabarista, descrevendo uma trajetória parabólica.
Texto 07 - Sistemas de Partículas Um ponto especial A figura ao lado mostra uma bola lançada por um malabarista, descrevendo uma trajetória parabólica. Porém objetos que apresentam uma geometria, diferenciada,
Leia maisCoordenadas Polares. Prof. Márcio Nascimento. marcio@matematicauva.org
Coordenadas Polares Prof. Márcio Nascimento marcio@matematicauva.org Universidade Estadual Vale do Acaraú Centro de Ciências Exatas e Tecnologia Curso de Licenciatura em Matemática Disciplina: Matemática
Leia mais1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1.
2.1 Domínio e Imagem EXERCÍCIOS & COMPLEMENTOS 1.1 1. Dê o domínio e esboce o grá co de cada uma das funções abaixo. (a) f (x) = 3x (b) g (x) = x (c) h (x) = x + 1 (d) f (x) = 1 3 x + 5 1 3 (e) g (x) 2x
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2009/2010
Análise Complexa e Equações Diferenciais ō Semestre 9/ ō Teste - Versão A (Cursos: Todos) 4 de Abril de, h Duração: h 3m. Seja u(x,y) = xe x cos(y) e x y sen(y)+β(x), em que β : R R é uma função de classe
Leia maisCoordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru
Coordenadas Polares Mauri C. Nascimento Dep. De Matemática FC Unesp/Bauru Dado um ponto P do plano, utilizando coordenadas cartesianas (retangulares), descrevemos sua localização no plano escrevendo P
Leia mais2 TEORIA DE CAUCHY-GOURSAT
TEORIA DE CAUCHY-GOURSAT Quando é uma unção primitivável num dado conjunto aberto U; isto é, sempre que exista uma unção, F; dierenciável em U; tal que F 0 = ; então para qualquer linha em U; : [a; b]!
Leia maisNúmeros Complexos. Capítulo 1. 1.1 Unidade Imaginária. 1.2 Números complexos. 1.3 O Plano Complexo
Capítulo 1 Números Complexos 11 Unidade Imaginária O fato da equação x 2 + 1 = 0 (11) não ser satisfeita por nenhum número real levou à denição dos números complexos Para solucionar (11) denimos a unidade
Leia maisExercícios Resolvidos Integral de Linha de um Campo Vectorial
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise ercícios Resolvidos Integral de inha de um ampo Vectorial ercício onsidere o campo vectorial F,, z =,, z. alcule o integral
Leia maisExercícios resolvidos P2
Exercícios resolvidos P Questão 1 Dena as funções seno hiperbólico e cosseno hiperbólico, respectivamente, por sinh(t) = et e t e cosh(t) = et + e t. (1) 1. Verique que estas funções satisfazem a seguinte
Leia maisEscola Básica e Secundária de Velas
Escola Básica e Secundária de Velas Planificação Anual do 12º Ano Matemática A Ano letivo 2015 /2016 1º Período 2º Período 3º Período Nº DE BLOCOS PREVISTOS 39 32 24 Apresentação 0,5 1º Período 2º Período
Leia maisNuma turma de 26 alunos, o número de raparigas excede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma?
GUIÃO REVISÕES Equações e Inequações Equações Numa turma de 6 alunos, o número de raparigas ecede em 4 o número de rapazes. Quantos rapazes há nesta turma? O objectivo do problema é determinar o número
Leia mais1) Eficiência e Equilíbrio Walrasiano: Uma Empresa
1) Eficiência e Equilíbrio Walrasiano: Uma Empresa Suponha que há dois consumidores, Roberto e Tomás, dois bens abóbora (bem 1) e bananas (bem ), e uma empresa. Suponha que a empresa 1 transforme 1 abóbora
Leia maisRESOLUÇÃO DO PRIMEIRO TESTE 31 DE OUTUBRO DE 2015 MEMEC,LEAN. f(x + iy) = x + x 3 + i(1 + y + y 2 )
ANÁLISE COMPLEXA E EQUAÇÕES DIFEENCIAIS ESOLUÇÃO DO PIMEIO TESTE 3 DE OUTUBO DE 205 MEMEC,LEAN Considere a função f : C C definida pela expressão fx + iy = x + x 3 + i + y + y 2 a Determine o domínio de
Leia maisLista 1 para a P2. Operações com subespaços
Lista 1 para a P2 Observação 1: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós sugerimos
Leia maisCorpos. Um domínio de integridade finito é um corpo. Demonstração. Seja D um domínio de integridade com elemento identidade
Corpos Definição Um corpo é um anel comutativo com elemento identidade em que todo o elemento não nulo é invertível. Muitas vezes é conveniente pensar em ab 1 como sendo a b, quando a e b são elementos
Leia maisExercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green
Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Exercícios Resolvidos Integrais de Linha. Teorema de Green Exercício 1 Um aro circular de raio 1 rola sem deslizar ao longo
Leia maisPlano de aula. 5. Metodologia: Aula expositiva dialógica orientada pela interação: alunos professor conhecimento.
Campus Jataí Plano de aula Disciplina: Ondas, Ótica e Termodinâmica Turma: Engenharia Elétrica (4º ano 2009/2) Professor: Rodrigo Claudino Diogo Data da aula: 30/11/2009 Duração: 1h00min 1. Tema: Lentes
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 2012/2013
Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 01/013 Cursos: 1 o Teste Versão A LEGM, LEMat, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEC, MEEC, MEQ) 3 de Novembro de 01, 8h Duração: 1h 30m 1. Considere a função
Leia maisCap. 7 - Fontes de Campo Magnético
Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Física Física III 2014/2 Cap. 7 - Fontes de Campo Magnético Prof. Elvis Soares Nesse capítulo, exploramos a origem do campo magnético - cargas em movimento.
Leia maisEste procedimento gera contribuições não só a φ 2 e φ 4, mas também a ordens superiores. O termo por exemplo:
Teoria Quântica de Campos II 168 Este procedimento gera contribuições não só a φ 2 e φ 4, mas também a ordens superiores. O termo por exemplo: Obtemos acoplamentos com derivadas também. Para o diagrama
Leia maisMATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de exercícios 1 (2012/2013)
Universidade da Beira Interior - Departamento de Matemática MATEMÁTICA I ECONOMIA (5598) Ficha de eercícios (0/03). Determine o conjunto dos pontos interiores, eteriores e fronteiros dos seguintes conjuntos:
Leia maisTodos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. MATEMÁTICA I 1 FUNÇÃO DO 1º GRAU
FUNÇÃO IDENTIDADE... FUNÇÃO LINEAR... FUNÇÃO AFIM... GRÁFICO DA FUNÇÃO DO º GRAU... IMAGEM... COEFICIENTES DA FUNÇÃO AFIM... ZERO DA FUNÇÃO AFIM... 8 FUNÇÕES CRESCENTES OU DECRESCENTES... 9 SINAL DE UMA
Leia mais1.1 Domínios e Regiões
1.1 Domínios e Regiões 1.1A Esboce a região R do plano R 2 dada abaixo e determine sua fronteira. Classi que R em: aberto (A), fechado (F), limitado (L), compacto (K), ou conexo (C). (a) R = (x; y) 2 R
Leia maisPropriedades das Funções Deriváveis. Prof. Doherty Andrade
Propriedades das Funções Deriváveis Prof Doerty Andrade 2005 Sumário Funções Deriváveis 2 Introdução 2 2 Propriedades 3 3 Teste da derivada segunda para máimos e mínimos 7 2 Formas indeterminadas 8 2 Introdução
Leia maisLIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES. : R R + o x x
LIMITES e CONTINUIDADE de FUNÇÕES Noções prévias 1. Valor absoluto de um número real: Chama-se valor absoluto ou módulo de um número real ao número x tal que: x se x 0 x = x se x < 0 Está assim denida
Leia mais(Testes intermédios e exames 2005/2006)
158. Indique o conjunto dos números reais que são soluções da inequação log 3 (1 ) 1 (A) [,1[ (B) [ 1,[ (C) ], ] (D) [, [ 159. Na figura abaio estão representadas, em referencial o. n. Oy: parte do gráfico
Leia maisA ideia de coordenatização (2/2)
8 a : aula (1h) 12/10/2010 a ideia de coordenatização (2/2) 8-1 Instituto Superior Técnico 2010/11 1 o semestre Álgebra Linear 1 o ano das Lics. em Engenharia Informática e de Computadores A ideia de coordenatização
Leia maisUniversidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro De Ciências Exatas e da Terra. Departamento de Física Teórica e Experimental
Universidade Federal do Rio Grande do Norte Centro De Ciências Exatas e da Terra Departamento de Física Teórica e Experimental Programa de Educação Tutorial Curso de Nivelamento: Pré-Cálculo PET DE FÍSICA:
Leia maisExercícios 1. Determinar x de modo que a matriz
setor 08 080509 080509-SP Aula 35 MATRIZ INVERSA Uma matriz quadrada A de ordem n diz-se invertível, ou não singular, se, e somente se, existir uma matriz que indicamos por A, tal que: A A = A A = I n
Leia mais29/Abril/2015 Aula 17
4/Abril/015 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda
Leia maisBreve referência à Teoria de Anéis. Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204
Breve referência à Teoria de Anéis Álgebra (Curso de CC) Ano lectivo 2005/2006 191 / 204 Anéis Há muitos conjuntos, como é o caso dos inteiros, dos inteiros módulo n ou dos números reais, que consideramos
Leia maisCálculoDiferencialem R n Limites
ROSÁRIO LAUREANO 1 CálculoDiferencialem R n Limites [Elaborado por Rosário Laureano] [2012/13] Esteficheirocontém: 1. Tópicosdeteoria-ites(p. 1) 2. Exercícios resolvidos(p. 5) 1 Tópicosdeteoria-ites DistânciaEuclidiana
Leia maisProva de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007
Prova de Admissão para o Mestrado em Matemática IME-USP - 23.11.2007 A Nome: RG: Assinatura: Instruções A duração da prova é de duas horas. Assinale as alternativas corretas na folha de respostas que está
Leia maisITA - 2004 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR
ITA - 2004 3º DIA MATEMÁTICA BERNOULLI COLÉGIO E PRÉ-VESTIBULAR Matemática Questão 01 Considere as seguintes afirmações sobre o conjunto U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} I. U e n(u) = 10 III. 5 U e {5}
Leia maisMiguel Abreu. Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro.
Centro de Análise Matemática, Geometria e Sistemas Dinâmicos Instituto Superior Técnico Encontro Nacional do Programa Gulbenkian Novos Talentos em Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 7-8.Setembro.27
Leia maisEduardo Camponogara. DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação. Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina
Eduardo Camponogara Departamento de Automação e Sistemas Universidade Federal de Santa Catarina DAS-5103: Cálculo Numérico para Controle e Automação 1/48 Sumário Arredondamentos Erros 2/48 Sumário Arredondamentos
Leia maisNotas de aula: MTM 5186 - Cálculo IV
Departamento de Matemática - MTM Universidade Federal de Santa Catarina - UFSC Notas de aula: MTM 5186 - Cálculo IV Prof. Matheus Cheque Bortolan Florianópolis - SC 2015/1 ii Sumário 1 Introdução 5 2 O
Leia maisTeorema da Mudança de Variáveis
Instituto Superior écnico Departamento de Matemática Secção de Álgebra e Análise Prof. Gabriel Pires eorema da Mudança de Variáveis 1 Mudança de Variáveis Definição 1 Seja R n um aberto. Di-se que uma
Leia maisXXVI Olimpíada de Matemática da Unicamp. Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas
Gabarito da Prova da Primeira Fase 15 de Maio de 010 1 Questão 1 Um tanque de combustível, cuja capacidade é de 000 litros, tinha 600 litros de uma mistura homogênea formada por 5 % de álcool e 75 % de
Leia maisUNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
UNIVERSIDADE DO ALGARVE ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA CURSO BIETÁPICO EM ENGENHARIA CIVIL º ciclo Regime Diurno/Nocturno Disciplina de COMPLEMENTOS DE MATEMÁTICA Ano lectivo de 7/8 - º Semestre Etremos
Leia maisConstrução dos números racionais, Números fracionários e operações com frações
Construção dos números racionais, Números fracionários e operações com frações O número racional pode ser definido a partir da aritmética fechamento da operação de divisão entre inteiros ou partir da geometria
Leia mais9. Derivadas de ordem superior
9. Derivadas de ordem superior Se uma função f for derivável, então f é chamada a derivada primeira de f (ou de ordem 1). Se a derivada de f eistir, então ela será chamada derivada segunda de f (ou de
Leia mais2ª fase. 19 de Julho de 2010
Proposta de resolução da Prova de Matemática A (código 635) ª fase 19 de Julho de 010 Grupo I 1. Como só existem bolas de dois tipos na caixa e a probabilidade de sair bola azul é 1, existem tantas bolas
Leia maisAula 11 Root Locus LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I
Aula 11 Root Locus LGR (Lugar Geométrico das Raízes) parte I Sistema de malha fechada G(s) G(s) G(s) Sistema de malha fechada K O Root Locus é o lugar geométrico dos polos do sistema de malha fechada,
Leia maisCálculo de Resíduos AULA 12
AULA 2 META: Apresentar cálculo de resíduos. OBJETIVOS: Ao fim da aula os alunos deverão ser capazes de: Definir resíduo de uma função de variáveis complexas em um ponto dado e calcular o resíduo de uma
Leia maisExercícios Adicionais
Exercícios Adicionais Observação: Estes exercícios são um complemento àqueles apresentados no livro. Eles foram elaborados com o objetivo de oferecer aos alunos exercícios de cunho mais teórico. Nós recomendamos
Leia maisQUANTIFICADORES. Existem frases declarativas que não há como decidir se são verdadeiras ou falsas. Por exemplo: (a) Ele é um campeão da Fórmula 1.
LIÇÃO 4 QUANTIFICADORES Existem frases declarativas que não há como decidir se são verdadeiras ou falsas. Por exemplo: (a) Ele é um campeão da Fórmula 1. (b) x 2 2x + 1 = 0. (c) x é um país. (d) Ele e
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 2013/2014
Cursos: Análise Complexa e Equações Diferenciais 2 ō Semestre 23/24 ō Teste, versão A LEIC, MEEC, LEMat, MEAer, MEBiol, MEQ, MEAmbi) 5 de Abril de 24, h3m Duração: h 3m. Seja α C 2 R) e u : R 2 R uma função
Leia maisESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO
ESPAÇOS MUNIDOS DE PRODUTO INTERNO Angelo Fernando Fiori 1 Bruna Larissa Cecco 2 Grazielli Vassoler 3 Resumo: O presente trabalho apresenta um estudo sobre os espaços vetoriais munidos de produto interno.
Leia maisResolução de sistemas lineares
Resolução de sistemas lineares J M Martínez A Friedlander 1 Alguns exemplos Comecemos mostrando alguns exemplos de sistemas lineares: 3x + 2y = 5 x 2y = 1 (1) 045x 1 2x 2 + 6x 3 x 4 = 10 x 2 x 5 = 0 (2)
Leia maisAnálise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 2012/2013
Análise Complexa e Equações Diferenciais 1 o Semestre 01/013 1 o Teste Versão A Cursos: LEGM, LEMat, MEAer, MEAmbi, MEBiol, MEC, MEEC, MEQ) 3 de Novembro de 01, 8h Duração: 1h 30m 1. Considere a função
Leia maisUm jogo de preencher casas
Um jogo de preencher casas 12 de Janeiro de 2015 Resumo Objetivos principais da aula de hoje: resolver um jogo com a ajuda de problemas de divisibilidade. Descrevemos nestas notas um jogo que estudamos
Leia maisAlém do Modelo de Bohr
Além do Modelo de Bor Como conseqüência do princípio de incerteza de Heisenberg, o conceito de órbita não pode ser mantido numa descrição quântica do átomo. O que podemos calcular é apenas a probabilidade
Leia maisINE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA
INE5403 FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA DISCRETA PARA A COMPUTAÇÃO PROF. DANIEL S. FREITAS UFSC - CTC - INE Prof. Daniel S. Freitas - UFSC/CTC/INE/2007 p.1/59 2 - FUNDAMENTOS 2.1) Teoria dos Conjuntos 2.2) Números
Leia maisCOMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
COMENTÁRIO DA PROA DE MATEMÁTICA Quanto ao nível: A prova apresentou questões simples, médias e de melhor nível, o que traduz uma virtude num processo de seleção. Quanto à abrangência: Uma prova com 9
Leia maisEA616B Análise Linear de Sistemas Resposta em Frequência
EA616B Análise Linear de Sistemas Resposta em Frequência Prof. Pedro L. D. Peres Faculdade de Engenharia Elétrica e de Computação Universidade Estadual de Campinas 2 o Semestre 2013 Resposta em Frequência
Leia mais11.1 EQUAÇÃO GERAL DOS BALANÇOS DE ENERGIA. Acúmulo = Entrada Saída + Geração Consumo. Acúmulo = acúmulo de energia dentro do sistema
11 BALANÇOS DE ENERGIA EM PROCESSOS FÍSICOS E QUÍMICOS Para utilizar adequadamente a energia nos processos é preciso que sejam entendidos os princípios básicos envolvidos na geração, utilização e transformação
Leia maisValores e Vectores Próprios. Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal
Valores e Vectores Próprios Carlos Luz Departamento de Matemática Escola Superior de Tecnologia de Setúbal Ano Lectivo 24/25 Conteúdo Definição de Valor e Vector Próprios 2 2 Um Eemplo de Aplicação 8 3
Leia maisIntrodução ao MATLAB
Introdução ao MATLAB O MATLAB é um programa cálculo numérico que pode ser usado interactivamente. A sua estrutura de dados fundamental é a matriz, que pode ter elementos reais ou complexos. Embora na sua
Leia maisConcentração física de minerais
Concentração física de minerais 2. Definição de concentração e balanço de massa Prof. Dr. André Carlos Silva CONCENTRAÇÃO A concentração de minérios ocorre quando é preciso separar os minerais de interesse
Leia mais1. Extremos de uma função
Máximo e Mínimo de Funções de Várias Variáveis 1. Extremos de uma função Def: Máximo Absoluto, mínimo absoluto Seja f : D R R função (i) Dizemos que f assume um máximo absoluto (ou simplesmente um máximo)
Leia maisCAPÍTULO 4 - BALANÇOS MATERIAIS. Existem dois tipos fundamentais de entidade em termodinâmica, estados de um sistema, e os processos de um sistema.
Existem dois tipos fundamentais de entidade em termodinâmica, estados de um sistema, e os processos de um sistema. Sempre que duas ou mais propriedades de um sistema variam, diz-se que ocorreu um processo.
Leia maisEXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO VERSÃO 1
EXAME NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO 12.º Ano de Escolaridade (Decreto-Lei n.º 286/89, de 29 de Agosto) Cursos Gerais e Cursos Tecnológicos PROVA 435/9 Págs. Duração da prova: 120 minutos 2005 1.ª FASE
Leia maisProblemas de Otimização. Problemas de Otimização. Solução: Exemplo 1: Determinação do Volume Máximo
UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I Eemplo 1: Determinação
Leia mais4. Curvas planas. T = κn, N = κt, B = 0.
4. CURVAS PLANAS 35 4. Curvas planas Nesta secção veremos que no caso planar é possível refinar a definição de curvatura, de modo a dar-lhe uma interpretação geométrica interessante. Provaremos ainda o
Leia maisMATEMÁTICA 3. Resposta: 29
MATEMÁTICA 3 17. Uma ponte deve ser construída sobre um rio, unindo os pontos A e, como ilustrado na figura abaixo. Para calcular o comprimento A, escolhe-se um ponto C, na mesma margem em que está, e
Leia mais