6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS

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1 6 SINGULARIDADES E RESÍDUOS Quando uma função f (z) não é diferenciável num complexo z 0 ; diremos que z 0 é uma singularidade de f (z) ; z 0 dir-se-á uma singularidade isolada de f (z) se, contudo, f (z) for holomorfa numa bola perfurada D " (z 0 ) fz : 0 < jz z 0 j < "g ; de centro em z 0 e raio " > 0; su cientemente pequeno. A independência do valor do integral (ver a secção 5, DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIES DE POTÊNCIAS) f (z) dz; i C r(z 0 ) relativamente às circunferências simples e positivamente orientadas, C r (z 0 ); de centro em z 0 e raio 0 < r < "; assume um papel de grande relevo. Constitui-se com ele o chamado resíduo de f em z 0 ; que representaremos por Res (f; z 0 ): Considerando o desenvolvimento de Laurent de f em D " (z 0 ); a série X a n (z z 0 ) n + X n X n b n (z z 0 ) n ; b n (z z 0 ) n ; z D "(z 0 ); () dita parte singular da série de Laurent, pode constituir a pedra-de-toque para a classi - cação dessas singularidades. Note-se que pelo teorema de Laurent (ver secção 5., SÉRIES DE LAURENT) o resíduo de f em z 0 coincide com o coe ciente b ; do primeiro termo da mesma parte singular. 6. CLASSIFICAÇÃO DE SINGULARIDADES Através daquela série podemos, de um modo bastante natural, distinguir os diversos tipos de singularidades de acordo com a seguinte de nição: De nição Seja z 0 uma singularidade isolada de f: Diremos que: i) z 0 é uma singularidade removível se todos os coe cientes b n forem nulos; ii) z 0 é um polo, se apenas um número nito dos coe cientes b n não forem nulos; se b k 6 0 e b n 0 para cada n > k; z 0 diz-se um polo de ordem k (usaremos a terminologia de polo simples quando k, de polo duplo quando k ; etc.). iii) z 0 é uma singularidade essencial de f; se uma in nidade dos coe cientes b n forem diferentes de zero. Observemos que quando z 0 C é uma singularidade removível da função f, temos que X a n (z z 0 ) n ;

2 para z D " (z 0 ); onde esta série é convergente. Como tal podemos tornar f diferenciável em z 0 ; mediante a chamada remoção da singularidade, a qual consiste simplesmente em atribuir à função o valor a 0 no ponto z 0 : De facto, desse modo, passamos a ter f analítica em z 0 : 6. TEOREMA DOS RESÍDUOS À custa do conceito de resíduo podemos entretanto proceder a uma extensão da teoria de Cauchy-Goursat através do importante teorema que a seguir estabelecemos. Teorema (Teorema dos Resíduos) Seja f uma função que no aberto e convexo U apenas tem um número nito de singularidades isoladas, z ; :::; z q : Se for uma linha fechada em U que não passe por estas singularidades, então qx f(z)dz i I( ; z j )Res(f; z j ): () j Dem.: Para cada j ; :::; q; existe, pelo teorema de Laurent, uma bola perfurada D rj (z j ) fz : 0 < jz z j j < r j g ; de centro em z j e raio r j > 0 su cientemente pequeno, na qual, X a jn (z z j ) n + X n b jn (z z j ) n : Para cada j ; :::; q; consideremos a família de funções X b jn j (z) (z z j ) : n n Observemos que cada uma destas séries é absolutamente convergente em K (z j ; 0; ) fz : 0 < jzjg (j ; :::; q)) e neste conjunto j (z) é uma função holomorfa (veja-se a este propósito as observações feitas no nal da secção 4., FUNÇÕES ANALÍTICAS). Assim, podemos a rmar que cada j é holomorfa em Cn fz j g (j ; :::; q) : Deste modo, através de qx g(z) f(z) j (z) constituímos uma função holomorfa em Un fz ; :::; z q g : Porém, em cada z j ; (j ; :::; q); g possui uma singularidade removível, já que na correspondente bola perfurada, D rj (z j ); é X qx g(z) a jn (z z j ) n k (z): Logo, após a remoção das respectivas singularidades, podemos tomar g como uma função holomorfa em U; vindo pelo teorema de Cauchy que qx f (z) dz j (z) dz: j j k k6j

3 Por outro lado, para cada j ; :::; q; tem-se X b jn j (z) dz (z z j ) dz; n e como n b jn dz 0; (z z j ) n para n ; podemos concluir que S j (z) dz ib j I(; z j ) ii(; z j ) Res(f; z j ); cando o teorema demonstrado. 6.3 CÁLCULO DE RESÍDUOS A importância do teorema dos resíduos levou a que se procurassem métodos de classi- cação de singularidades e de cálculo dos respectivos resíduos sem recorrer à utilização do correspondente desenvolvimento em série de Laurent. Tais métodos podem ser profícuos sobretudo na análise de singularidades removíveis e de polos. O comportamento das funções em torno de singularidades essenciais é signi cativamente mais complexo. Teorema 3 Seja z 0 uma singularidade isolada de f: i) z 0 é uma singularidade removível se e só se existir sendo então Res (f; z 0 ) 0: ii) z 0 é um polo de ordem k se e só se existir f (z) 6 ; (3) (z z 0 ) k f (z) 6 0; : (4) Então se k se k > Res (f; z 0 ) Res (f; z 0 ) z!z0 [(z z 0 ) f (z)] ; (5) h i (k )! Dz k (z z 0 ) k f (z) (6) Dem.: Relativamente a uma certa bola perfurada, D " (z 0 ); de centro em z 0 ; consideremos o correspondente desenvolvimento em série de Laurent de f: X a n (z z 0 ) n + X n b n (z z 0 ) n (z D " (z 0 )) : i) Se z 0 é uma singularidade removível então para z D " (z 0 ) X a n (z z 0 ) n : 3

4 Como tal, existe z!z0 f (z) a 0 : Inversamente, a existência deste ite implica que (z z 0 )f (z) 0: Isto signi ca que para qualquer > 0; existe r ]0; "[ ; su cientemente pequeno, digamos tal que r < ; de modo que para qualquer z B r (z 0 ); Ora sendo, para n ; temos que jb n j jf(z)(z z 0 )j < : b n f(z)(z z 0 ) n dz; i C r(z 0 ) max wc r(z 0 ) max jf(z)j jz z0 j n c (C(z 0 ; r)) jf(z)j jz z0 j jz z 0 j n r wc r(z 0 ) < r n < : Da arbitrariedade de ; concluímos que b n 0; para cada n ; ; ::: : Quanto ao resíduo, tem-se obviamente Res (f; z 0 ) 0: ii) Se z 0 é um polo de ordem k; então com b k 6 0; X a n (z z 0 ) n + para z D " (z 0 ): Nestas circunstâncias, temos (z z 0 ) k f (z) kx n b n (z z 0 ) n X a n (z z 0 ) n+k + b (z z 0 ) k + ::: + b k (z z 0 ) + b k ; pelo que existe z!z0 (z z 0 ) k f (z) b k 6 0; : Inversamente, se existe z!z0 (z z 0 ) k f (z) 6 0; ; por i), a função (z z 0 ) k f (z) tem uma singularidade removível em z 0 : Como tal, temos para z em torno de z 0 ; (z z 0 ) k f (z) X a n (z z 0 ) n ; em que a 0 z!z0 (z z 0 ) k f (z) 6 0: Deste modo, o desenvolvimento de Laurent de f em torno de z 0 é dado por f (z) X a n (z z 0 ) n k e, por conseguinte, z 0 é um polo de ordem k: a 0 (z z 0 ) k + ::: + a k 4 (z z 0 ) + X a n+k (z z 0 ) n ;

5 Quanto ao resíduo, notemos com base no desenvolvimento de Laurent de (z em torno de z 0 ; que por derivação termo-a-termo h i X Dz k (z z 0 ) k f (z) a n (n + k) :::n(z z 0 ) n+ + (k )!b ; resultando em consequência, Res (f; z 0 ) h i (k )! Dz k (z z 0 ) k f (z) : z 0 ) k f (z) Reanalisando o teorema de Goursat (ver secção., TEOREMA DE GOURSAT) podemos observar, à luz do ponto i) deste teorema, que a singularidade que ele refere é uma singularidade removível cuja remoção permite a aplicação imediata do teorema de Cauchy. 6.4 CASO DE FUNÇÕES g(z)h(z) Quando g(z) h(z) em que g e h são funções holomorfas num dado aberto U; as potenciais singularidades de f são os zeros da função h: Neste contexto, tem a chamada multiplicidade dos zeros de g e de h um papel relevante na classi cação da singularidade. Perante uma função,, holomorfa numa vizinhança de um ponto z 0 ; se z 0 é um zero de tal que 0 (z 0 ) 0; :::; (m ) (z 0 ) 0 e (m) (z 0 ) 6 0; (m ); diremos que tem em z 0 um zero de multiplicidade m: (Utilizaremos também as designações de zero simples, quando m ; zero duplo para m ; etc.). Exemplo 4 A função (z) z 3 z + z tem apenas dois zeros: 0 e : Como 0 (0) 6 0; temos que 0 é um zero simples de : Contudo 0 () 0 e 00 () 6 0; o que signi ca que é um zero duplo de : Se numa vizinhança de z 0 ; a função, não possuir outros zeros para além de z 0 ; diremos que z 0 é um zero isolado de : Neste sentido, notemos que se z 0 é um zero de multiplicidade m; então através do desenvolvimento em série de Taylor de em torno de z 0 ; se tem (z) (z z 0 ) m (z) ; para z numa certa bola aberta, B " (z 0 ) ; de centro em z 0 e raio " > 0; onde (z) (m) (z 0 ) m! Sendo (z) contínua e + (m+) (z 0 ) (m + )! (z z 0 ) + (m+) (z 0 ) (m + )! (z z 0 ) + ::: : (z 0 ) (m) (z 0 ) 6 0 m! podemos escolher " su cientemente pequeno de modo que seja (z) 6 0 para qualquer z B " (z 0 ) : Como tal, z 0 é um zero isolado de : 5

6 Teorema 5 Seja g(z)h(z); com g e h holomorfas num dado aberto U; e z 0 U um zero de h de multiplicidade m: i) Se g(z 0 ) 6 0; então z 0 é um polo de ordem m de f: ii) Se z 0 é um zero de g de multiplicidade k m então z 0 é uma singularidade removível de f: iii) Se z 0 é um zero de g de multiplicidade k < m então z 0 é um polo de f de ordem q m k: Dem.: É claro que sendo z 0 um zero isolado de h; z 0 será uma singularidade isolada de f: Consideremos então os desenvolvimentos de Taylor de g e de h em torno de z 0 : g(z) g(k) (z 0 ) k! h(z) h(m) (z 0 ) m! (z z 0 ) k + g(k+) (z 0 ) (k + )! (z z 0 ) m + h(m+) (z 0 ) (m + )! g(z) (z z 0 ) k g (k) (z 0 ) k! (z z 0 ) k+ + ::: g (k) (z 0 ) 6 0 ; (z z 0 ) m+ + ::: h (m) (z 0 ) 6 0 : Então, para " > 0 su cientemente pequeno, temos na bola aberta, B " (z 0 ) ; de centro em z 0 e raio ": (z z 0 ) + ::: ; (7) h(z) (z z 0 ) m h (m) (z 0 ) m! e consequentemente, g(z) h(z) (z z 0) k 4 (z z 0 ) m i) Se g(z 0 ) 6 0; então k 0 e + g(k+) (z 0 ) (k + )! + h(m+) (z 0 ) (m + )! (z z 0 ) m f (z) m!g(z 0) h (m) (z 0 ) Logo z 0 é um polo de ordem m de f (z) : ii) Se k m também g (k) (z 0 ) k! + g(k+) (z 0 ) (k+)! (z z 0 ) + ::: h (m) (z 0 ) m! + h(m+) (z 0 ) (m+)! (z z 0 ) + ::: (z z 0 ) + ::: ; (8) 6 0; : 3 5 : f (z) m! g (k) (z 0 ) k! h (m) (z 0 ) 6 : Logo z 0 é uma singularidade removível. Note-se que depois de removida a singularidade, ca f(z 0 ) 6 0; se k m; e f com um zero em z 0 de multiplicidade k m; se k > m: 6

7 iii) Se m > k ; com q m k; temos que (z z 0 ) q f (z) m! g (k) (z 0 ) 6 0; ; k! h (m) (z 0 ) pelo que z 0 é um polo de ordem q: No que respeita ao cálculo dos resíduos, pode proceder-se segundo as fórmulas (5) ou (6). Argumentos semelhantes aos usados no teorema anterior permitem-nos uma generalização às funções holomorfas da conhecida regra de Cauchy. Teorema 6 (Regra de Cauchy) Sejam g e h holomorfas num dado aberto U; e z 0 U tais que g (z 0 ) h (z 0 ) 0: Então g (z) h (z) g 0 (z) h 0 (z) e z!z0 g(z) h(z) z!z0 0 g(z) h(z) onde a não existência de um dos ites implica a não existência do outro. Dem.: Suponhamos tal como acima que z 0 é uma zero de multiplicidade k de g (z) e um zero de multiplicidade m de h (z) : Então por (7) e (8) temos, respectivamente, onde 0 ; g (z) (z z 0 ) k g (z) e h (z) (z z 0 ) m h (z) ; g (z) g(k) (z 0 ) k! h (z) h(m) (z 0 ) m! + g(k+) (z 0 ) (k + )! + h(m+) (z 0 ) (m + )! (z z 0 ) + ::: (z z 0 ) + ::: são funções holomorfas e não nulas numa vizinhança de z 0 : Notemos que g (z) h (z) g (z 0 ) h (z 0 ) (z z 0 ) k m : De resulta também g 0 (z) k (z z 0 ) k g (z) + (z z 0 ) k g 0 (z) ; h 0 (z) m (z z 0 ) m h (z) + (z z 0 ) m h 0 (z) ; g 0 (z) h 0 (z) Assim, se k m temos (z z 0 ) k [kg (z) + (z z 0 ) g 0 (z)] z!z0 (z z 0 ) m [mh (z) + (z z 0 ) h 0 (z)] kg (z 0 ) mh (z 0 ) (z z 0 ) k m : g (z) h (z) g 0 (z) h 0 (z) ; 7

8 o mesmo acontecendo quer quando k > m; caso em que ambos os ites são zero, quer quando k < m; caso em que os dois ites são : Analogamente, e 0 g(z) h(z) g(z) h(z) 0 z!z0 donde resulta igualmente z!z0 (z z 0 ) k g (z) (z z 0 ) m h (z) k(z z 0 ) k g (z)+(z z 0 ) k g 0 (z) [(z z 0 ) k g (z)] m(z z 0 ) m h (z)+(z z 0 ) m h 0 (z) [(z z 0 ) m h (z)] h (z 0 ) g (z 0 ) (z z 0 ) m k (z z 0 ) (m k) [h (z)] (z z 0 ) k m [kg (z) + (z z 0 ) g 0 (z)] z!z0 [g (z)] [mh (z) + (z z 0 ) m h 0 (z)] (z z 0 ) (m k) [h (z 0 )] z!z0 [g (z 0 )] (z z 0) k m [kg (z 0 )] [mh (z 0 )] kh (z 0 ) mg (z 0 ) (z z 0 ) m k ; g(z) h(z) z!z0 0 g(z) Pelos argumentos usados podemos ainda concluir que a não existência de um dos ites implica a não existência do outro. h(z) 0 : 6.5 RESÍDUO NO PONTO INFINITO Se f é uma função holomorfa num conjunto D " () fz : jzj > "g ; também o ponto in nito pode ser tomado, com algumas vantagens em certos casos, como uma singularidade de f: Notemos que também os valores dos integrais i C r f (z) dz; relativos a qualquer circunferência simples e negativamente orientada, C r ; de centro na origem e raio r > "; são invariantes com r; constitui-se com eles o chamado resíduo de f no ponto in nito, que representaremos por Res(f; ): Observemos que parametrizando a circunferência C r através da função (t) re it ; 8

9 com t a variar no intervalo [0; ] ; então com (z) f(z) f (z) dz f re it ire it dt i C r i 0! f ir dt i eit pelo que i i Re s (f; ) 0 0 f C + (0;r) Re s e it r! e it r (z) z i r eit dt e it r dz; (z) z ; 0 ; (9) tendo em conta que a função (z)z é holomorfa em D " (0) fz : 0 < jzj < "g com uma singularidade em z 0: É no âmbito do teorema dos resíduos que o resíduo no ponto in nito de uma função assume alguma relevância prática de acordo com o que se explicita no teorema seguinte. Teorema 7 Se f for uma função com um número nito de singularidades isoladas, z ; :::; z m ; em C; então mx Res(f; z j ) + Re s(f; ) 0: (0) j De facto, considerando uma circunferência simples e positivamente orientada, C r ; de centro na origem e raio r su cientemente grande de modo que fz ; :::; z m g intc r ; então pelo teorema dos resíduos temos f (z) dz i C r Exemplo 8 Com mx Re s(f; z j ) j f (z) dz Re s(f; ): i C r (t) e it ; t [0; ] ; pelo teorema dos resíduos e por (0), o integral Re s z ; + Re s z ; ire s (f; ) : dz i z Aplicando (9) obtemos que já que neste caso z (z) z dz i Re s z f é uma função diferenciável em z 0: z (z) z ; 0 0; z z z 9

10 6.6 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS. Através dos correspondentes desenvolvimentos em série de Laurent, classi que as singularidades das funções indicadas a seguir e indique os respectivos resíduos: a) sin z z : b) z 3 e iz : c) ( z) : d) z z + : e) z( z) :. Sem recorrer aos desenvolvimentos em série de Laurent, classi que as singularidades das funções indicadas a seguir e determine os respectivos resíduos: a) sin z z 3 : b) (eiz i) : z c) z+ (z )(z z+) : d) eiz sin z : 3. Com respeito ao caminho dado por (t) e it ; t [0; ] ; calcule os seguintes integrais: a) R e( z) dz: b) R dz: (z +) c) R sec z dz: 0

11 6.6. RESOLUÇÕES.a): A função sin z z possui uma única singularidade na origem. Podemos construir o desenvolvimento de Laurent de f em torno da origem através do desenvolvimento de Mac-Laurin da função sen z; obtendo-se z sen z z X ( ) n (n + )! zn+ X ( ) n (n + )! zn ; válido para z D (0) fz : 0 < jzjg : Podemos então concluir imediatamente que a origem é uma singularidade removível de f e que, como em qualquer singularidade desse tipo, Res (f; 0) 0: Note-se que após a remoção da singularidade se obtém f (0) e por conseguinte sin z : z!0 z.b): Tal como no exemplo anterior, a função z 3 e z tem na origem a sua única singularidade. O desenvolvimento de Laurent de f em torno da origem pode agora ser obtido à custa do desenvolvimento de Mac-Laurin da função exponencial. Temos então, para z D (0) fz : 0 < jzjg ; z 3 e z z 3 X n! z X n n! z n 3 z3 + z +! z + 3! + X n! z : n 3 Esta última série constitui a parte singular da correspondente série de Laurent de f em D (0); o que nos permite concluir que a origem é uma singularidade essencial de f e que Res(f; 0) 4! 4: A parte regular da mesma série é constituída apenas por.c): Como 3! +! z + z + z 3 : ( z) (z ) ; o desenvolvimento em série de Laurent de f(z) em torno de z ; única singularidade da função, resume-se a f (z) (z ) : Isto signi ca que z é um polo duplo e que Res(f; ) 0: d): As singularidades de z z + z (z + i)(z i) ; n4

12 são z i: Podemos determinar o desenvolvimento de Laurent da função em torno de z i; através da decomposição Como para z tal que jz ij < ; (z + i) + (z i) : (z + i) (i + z i) 4i + z i i X n (z i) n 4i i X n i (z i) n 4i X i n (z n+ i)n ; obtemos X i n (z n+ i)n + (z i) ; para z D (i): Por comparação com () temos que a n in ; n 0; n+ e que b ; b n 0; para n > ; o que nos permite concluir imediatamente que z i é um polo simples de f e que Res(f; i) : Analogamente em torno de z i temos para z D ( i) (z + i) 4i z+i i z + i X n+ i (z + n+ i)n ; e, por conseguinte, f tem também naquele ponto um polo simples, sendo Res(f; i) :.e): z 0 e z são as singularidades de z ( z) : Para obtermos o desenvolvimento de Laurent em torno de z 0; notemos primeiramente que ( z) D z : z

13 Como para z B fz : jzj < g se tem z X z n ; então dada a possibildade de derivarmos termo-a-termo uma série de potências, obtemos ( z) D z! X z n Assim, para z D fz : 0 < jzj < g ; é ou seja, z X nz n n z + X nz n n X nz n : n X nz n ; n z + X (n + ) z: Por comparação com () podemos concluir que para n 0; a n n+ e que b ; b n 0 para n > : Logo z 0 é um polo simples e Res (f; 0) : No que respeita a z ; a série de Laurent em D () fz : 0 < jz j < g pode ser obtida através de (z ) z (z ) + z X (z ) ( ) n (z ) n X ( ) n (z ) n (z ) (z ) + X ( ) n (z ) n n (z ) (z ) + X ( ) n (z ) n : Comparando com () temos que para n 0; a n ( ) n enquanto que que b ; b ; b n 0 para n > : Logo z é um polo duplo e Res (f; 0) :.a): A única singularidade da função é a origem. Notando que sin z z 3 z sin z z!0 z 3 z!0 sin z z 6 0; ; 3

14 podemos concluir que f tem na origem um polo simples, e que Res (f; 0) :.b): Neste caso, (eiz i) z possui também uma única singularidade, agora em z : Considerando as funções g(z) (e iz i) e h(z) z ; observamos que g( ) 0 e h( ) 0: Como g 0 (z) ie iz (e iz i); g 0 ( ) 0; g 00 (z) e iz (e iz i) e iz ; g 00 ( ) 6 0; e h 0 6 0; temos que que z é um zero duplo de g(z) e um zero simples de h(z): Então pelo Teorema 5 ii) concluímos que f possui em z uma singularidade removível. O respectivo resíduo é naturalmente igual a zero..c): As singularidades de são z e as raízes de z + (z ) (z z + ) ; Deste modo podemos escrever z z + 0, z p 4 8 i: o que permite observar que z + (z ) (z i) (z + i) : ; ; z! ( i) i 3 + i (z i) z!+i ii 3 i 6 0; ; 3 i (z + i) z! i i ( i) 3 + i 6 0; : Logo todas as singularidades de f(z) são polos simples e Re s (f; ) 3; Re s (f; + i) 3 i; Re s (f; i) 3 + i:.d): Sendo eiz sin z 4

15 consideremos as funções auxiliares g (z) e iz ; h (z) sin z: Os zeros de h (z) são z k (k 0; ; ; :::) e simultaneamente as singularidades da função f: Como h 0 (k) cos (k) ( ) k 6 0; podemos concluir que z k são zeros de h (z) de multiplicidade. Distingamos os casos k ímpar e k par, ou seja quando z (n + ) e z n (n ) : Ora como g ((n + ) ) 6 0; pelo Teorema 5 i) os reais z (n + ) (n ) são polos de ordem de f: Aplicando (5) vem (z (n + ) ) (e iz ) Res (f; (n + ) ) : z!(n+) sinz Por aplicação da regra de Cauchy obtemos Logo (z (n + ) ) (e iz ) z!(n+) sin z Nos reais z n (n ) temos que e iz + (z (n + ) ) ie iz z!(n+) cos z Res (f; (n + ) ) : g (n) 0; g 0 (n) ie in i 6 0; ou seja, g (z) tem em z n zeros de multiplicidade. Como z n também são zeros de h (z) de multiplicidade, podemos concluir, pelo Teorema 5 ii), que z n são singularidades removíveis de f (z) : Os respectivos resíduos são todos nulos. 3.a): Como f (z) e ( z) possui uma única singularidade em z 0; e pelo teorema dos resíduos tem-se e (z+z) dz ii (; 0) Res (f; 0) : O desenvolvimento de Laurent de f em torno de z 0 vem dado por e ( z) e e z n z e X n! n0 X e ( ) n n! n0 z n ; o que permite concluir que z 0 é uma singularidade essencial e que Res (f; 0) e: 5 :

16 Como I (; 0) então 3.b): As singularidades de são z i e por conseguinte Como I (; i) Tendo em atenção que e ( z) dz ei: (z + ) (z i) (z + i) : temos pelo teorema dos resíduos (z dz i [Res (f; i) + Res (f; i)] : + ) (z i) z!i (z + z! i i) (i) 6 0; ; 4 ( i) 6 0; ; 4 pelo Teorema 3 ii) ambas as singularidades são polos duplos. Quanto aos valores dos resíduos podemos utilizar (6) com k e obter Res (f; i) D z (z i) f(z) z!i D z z!i (z + i) Analogamente z! i (i) 3 i 4 : (z + i) 3 Re s (f; i) D z (z + i) f(z) z! i D z z! i (z i) z! i (z i) 3 ( i) 3 i 4 : 6

17 Logo (z + ) dz i i 4 + i 0: 4 NOTA: Observemos que poderia ter sido utilizada aqui a relação (0) do Teorema 6, segundo a qual Res (f; i) + Res (f; i) Res (f; ) : Como por (9) sendo (z) z z f z Res (f; ) Res z z + z uma função diferenciável em z 0; temos que Res (f; i) + Res (f; i) Res 3.c): As singularidades de são os reais Porém, em int apenas se encontram (z) z ; 0 ; sec z cos z ; z + k; (k ) : z : z4 ( + z ) z ( + z ) (z) z ; 0 0: Como I ; temos novamente pelo teorema dos resíduos h sec z dz i Res f; i + Res f; : Façamos g (z) ; h (z) cos z: Temos h () 0; e h 0 (z) sin z cos z; h 0 0; h 00 (z) cos z + sin z; h ; o que mostra que h (z) tem em z zeros de multiplicidade. Como g 6 0, pelo Teorema 5 i) estamos perante polos duplos da função f: Por (6) com k obtemos " # Res (f; ) z! z D z cos z z cos z + z sin z cos z z! cos 4 z z! z cos z + z sin z : cos 3 z 7

18 Então por aplicação sucessiva da regra de Cauchy, vem Res (f; ) cos z + z sin z + z cos z z! 3 cos z sin z 3 z cos z z sin z z! 6 cos z sin z 3 cos 3 z 3 cos z 5 z sin z z cos z z! 6 sin 3 z + cos z sin z + 9 cos z sin z 0 6 sin 3 0: Logo sec z dz i [0 + 0] 0: 8

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