Um modelo de mínimos quadrados para a audição humana

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1 Uiversidde Federl de Mis Geris - UFMG Isiuo de Ciêcis Es - ICE Deprmeo de Memáic Um modelo de míimos qudrdos pr udição hum Deise Nues de Arrud Oriedor: Crisi Mrques Belo Horizoe Dezemro 5

2 AGRADECIMENOS A Deus que esá sempre presee ilumido e eçodo meu cmiho. Aos meus mdos pis Mri e Isrel que orrm possível cocreizção de odos os meus sohos. Ao meu oivo Mrcelo pel su compreesão e seu mor. A odos os meus mios pel orç dedicção e compheirismo. E de um orm especil rdeço à mih oriedor Crisi Mrques pel pciêci e criho.

3 INDICE Irodução... 4 Espços veoriis com produo iero Espço Veoril Espço Veoril ds Fuções Reis Coíus Produo Iero Produo Iero pr o Espço Veoril ds Fuções Reis Coíus... 9 Projeções Oroois em Espços com Produo Iero... 3 Aproimção por Míimos Qudrdos Poliômios riooméri e Série de Fourier Aproimção de Míimos Qudrdos um Od Soor... 9 Biliori... 3

4 INRODUÇÃO A percepção musicl hum ede comir iormções soors de cordo com o coeo sooro de orms muio vrids. Por eemplo se dus os musicis são similres e ocds muio próims o cérero pes percee um dels. mém se dois sos são dierees ms um muio mis ore que o ouro o cérero humo ão orá o som mis rco. Ess percepção do que é cpdo ou ão pelo ouvido humo id pode vrir de pesso pr pesso. O esudo desse eômeo é chmdo psicocúsic que uiliz modelos memái pr represer pdrões d udição hum descrios em els e qudros. O ouvido ise em 3 pres ásics - o ouvido eero o ouvido médio e o ouvido iero. Cd pre serve pr um ução especíic pr ierprer o som. O ouvido eero serve pr coler o som e o levr por um cl o ouvido médio. O ouvido médio serve pr rsormr eeri de um od soor em virções iers d esruur ósse do ouvido médio e ilmee rsormr ess virções em um od de compressão o ouvido iero. O ouvido iero serve pr rsormr eeri d od de compressão dero de um luido em impulsos ervosos que podem ser rsmiidos o cérero. As rês pres do ouvido podem ser viss iur. Fiur Pode-se irmr com um ru rzoável de eidão que o ouvido humo é um sisem lier. Isso quer dizer que se um od soor comple é um som ii de compoees seoidis de dierees mpliudes reqüêcis e âulos de se dimos q A A se... A se 4

5 eão respos do ouvido ise de impulsos ervosos o loo dos mesmos cmihos que serim esimuldos pelos compoees idividuis. Fiur O ojeivo desse rlho é mosrr um plicção d Áler Lier à udição hum. Aproimremos um od soor comple um od soor do ipo serr que produz o mesmo esímulo sooro pr o ouvido im de clculrmos s reqüêcis de seus compoees seoidis. 5

6 CAPÍULO - ESPAÇOS VEORIAIS COM PRODUO INERNO. - ESPAÇO VEORIAL Sej K um corpo e V um cojuo ão vzio com operções de dição e muliplicção por esclr que deermim pr qulquer u e v V um som u + v V e pr qulquer u V e K um produo v V. Eão V é chmdo de espço veoril sore K e os elemeos de V são chmdos veores se os seuies ioms são verddeiros: u + v = v + u Pr quisquer u v w V u+v+w = u+v+w 3 Eise um veor em V deodo e chmdo elemeo euro l que u+ = +u = u pr cd u V. 4 Pr cd u em V eise um veor u chmdo simérico de u l que u+-u = -u+u =. 5 Pr qulquer esclr K e quisquer veores uv V u+v = u+v. 6 Pr quisquer K e u V +u = u + u e u = u. 7.u = u 6

7 .. Espço Veoril ds uções reis coíus Se V é o cojuo ds uções reis coíus deiids re rel - com som de dus uções quisquer e em V sedo ução + em V deiid por + = + e o produo de um esclr K e de um ução V sedo ução deiid por = eão V é um espço veoril. O espço veoril ds uções reis coíus é deodo por F- + sedo o veor ução e ideicmee ul pr odos os vlores de e o veor eivo de ução - = -. Demosrção Cosidere e h uções reis quisquer em V e e esclres quisquer em K. + = + = + = + [ + + h] = + + h = + + h = + + h = [ + +h] 3 é ução e ideicmee ul pr odo R. + = + = + = + = 4 [ + -] = + - = [- + ] = - + = 5. + =.[ + ] = [+.] = +. =. +. =. +. 7

8 .. = = [.] =. 7. = pr od em V. Esudr espços veoriis mis eris que ão sejm o euclidio orece um errme poderos pr eseder visulizção eoméric um lr clsse de impores prolems memái os quis ormlmee ão poderímos cor com iuição eoméric. É rzoável usr produos ieros eerlizdos pr deiir s oções de comprimeo disâci e âulo em espços veoriis rirários... PRODUO INERNO Um produo iero em um espço veoril rel V é um ução que ssoci um úmero rel deodo por <uv> cd pr de veores u e v em V de l meir que os seuies ioms são siseios por quisquer veores uv e w de V e qulquer esclr : <uv> = <vu>. <u+vw> = <uw> + <vw> 3 <uv> = <uv> 4 <uu> <uu> = se e somee se u = Como dio eriormee o produo iero permie que se crie um eomeri um espço veoril qulquer. Oserve seuie deiição: 8

9 Se V é um espço veoril com produo iero eão orm ou comprimeo de um veor u de V é deod por u e deiid por u = <uu> / A disâci ere dois veores u e v é deod por duv e deiid por duv = u-v E id pode-se deiir um âulo ere u e v l que u v u. v.. Produo iero pr o espço veoril ds uções reis coíus Sejm = e = dus uções coíus em [] e dei d Ess órmul deie um produo iero em C[] pois sisz odos os ioms de produo iero. Demosrção Cosidere e h uções reis quisquer em V e esclr em K.. d. d h. h d [. h. h ] d. h d 9

10 h h d h. 3 d d ] [. d d

11 CAPÍULO - PROJEÇÕES OROGONAIS EM INERNO ESPAÇOS COM PRODUO Se W é um suespço de dimesão ii de um espço veoril com produo iero V eão cd veor u V pode ser epresso precismee de um úic meir como u = w + w ode w esá em W e w esá em W iur 3. u w w W Fiur 3 O veor w é chmdo de projeção orool de u em W e deodo por proj W u. O veor w é chmdo compoee de u orool W e é deodo por proj W u. A projeção de u em W é melhor proimção de u por veores de W ou sej u projw u u w pr qulquer w W iur 4. u proj W u u-proj W u w u - w W Fiur 4 Se iderrmos {v v... v r } um se oroorml de W eão eremos: proj W u u v v u v v... u v r v r

12 Lemrmos que se W ão possuir um se oroorml podemos uilizr o processo de Grm- Schmid pr orr seus veores oroois e depois dividi-los pelo vlor de su orm pr ormlizá-los.

13 CAPÍULO 3 - APROXIMAÇÃO POR MÍNIMOS QUADRADOS Imiemos seuie siução prolem: Ecore melhor proimção possível de um ução coíu em [] dere ods s uções de um suespço W especíico de C[]. Pr resolvermos esse prolem precisremos de um meir de medir o erro que resul qudo um ução coíu é proimd por our sore []. Se oss preocupção osse proimr somee um úico poo eão o erro cusdo por um proimção seri simplesmee que pode ser chmdo de desvio ere e em iur 5. Fiur 5 Ms esse momeo sure um dúvid: será que ução é melhor proimção d ução em odos os poos do iervlo? E se ão or como escolher ou ecorr melhor proimção? Vmos oservr o ráico ds dus uções iur 6: Fiur 6 3

14 A diereç ere e pode ser vis como áre ere os ráico de e. Ou melhor erro d Memái e cieiss umm vorecer um medid leriv do erro ol chmdo erro qudráico médio e.q.m e. q. m [ ] d O erro qudráico médio é mis vjoso ere ours coiss por os permiir uilizr eori dos espços veoriis com produo iero. Vejmos como. Supoh que sej um ução coíu em [] e queremos proimá-l por um ução em lum suespço W de C[] que em o produo iero sedo eremos eão erro qudráico médio iul d Ms [ ] d [ ] d Loo miimizr o erro qudráico médio será o mesmo que miimizr -. Poro ução que respode peru ei o iício dese cpíulo será ução em W que miimiz -. Ms vimos o cpíulo que melhor proimção de em W será su projeção orool eão: proj W 4

15 CAPÍULO 4 - POLINÔMIOS RIGONOMÉRICOS E A SÉRIE DE FOURIER Um ução d orm: c c c... c dse... dse é chmdo de poliômio rioomérico. Se c e d ão são simulemee ulos dizemos que é de ordem. Poliômios riooméri de ordem ou meor são s váris comições lieres possíveis de... se... se Esss + uções são liermee idepedees e poro pr qulquer iervlo [] ormm um se de um suespço + dimesiol de C[]. Demosrção Vmos provr que s uções cim cids são liermee idepedees mosrdo que els são oroois. Cosidere m e úmeros uris quisquer com m. se m se m i m m. d m m se m se m se m se m m m. Loo m. 5

16 ii se m se se m se m se m. se d m m se m. se. m se m. se. m m m Loo se m se. =. se m iii m. m d m Loo m. m iv se m. se m d m Loo se m. Vmos iderr o prolem de ecorr proimção de míimos qudrdos de um ução coíu sore o iervlo [] por poliômios riooméri de ordem ou meor. Como já vimos proimção de em W é projeção orool de sore W. Pr ecorr ess projeção vmos primeirmee ecorr um se oroorml pr W. Uilizremos pr l o produo iero de dus uções coíus..: Iso os dá:. d se 6

17 7 Poro um se oroorml pr W é: se se Loo W proj Se iroduzirmos oção: E susiuirmos equção cim oeremos: Ode: Ou sej A proj W dd por se se proj W se se proj W. d d d d se d d se se d d se se d d

18 pode ser reescri or como proj W se Os úmeros e são cohecidos como coeiciees de Fourier de. A proimção por míimos qudrdos melhor à medid que ume o úmero de ermos do poliômio rioomérico proime. Isso quer dizer que qudo o erro qudráico médio. Poro podemos iderr se. O ldo direio dess equção é Série de Fourier d ução. 8

19 9 CAPÍULO 5 APROXIMAÇÃO DE MÍNIMOS QUADRADOS A UMA ONDA SONORA Vmos or rvés do processo de proimção de míimos qudrdos viso o cpíulo erior clculr s reqüêcis dos compoees seoidis de um od soor comple uilizdo um od soor do ipo serr que produz o mesmo esímulo sooro pr o ouvido. Sej p um od do ipo serr com reqüêci ásic de 5 cps iur 7. Fiur 7 Supoh que mpliude máim d od sej A. O período ásico d od é =/5= seudo. De = = ução p em equção A p Eão pr solucior o prolem clculremos o poliômio rioomérico que mis se proim de p ou sej quele que miimiz o erro qudráico médio. Como p esá deiid em [] e ão em [] como vimos o cpíulo 4 emos os seuies coeiciees de Fourier como resuldo d mudç de escl: d se d e. Loo A A d A d p

20 A se A se A d A d p A se A A A d se A d se p 4 4 Aor ós podemos ivesir como od soor p é perceid pelo ouvido humo. Oserve que 4/ =. cps um vez que = seudo de modo que s vçr é = 4 s equções eriores. Poro o poliômio rioomérico que melhor se proim de p é ddo por se se se se A q Os ermos seoidis êm reqüêcis de e. N iur 8 êm-se os rái de p e q o loo de um período. Fiur 8

21 BIBLIOGRAFIA [] HOWARD A.; RORRES C. Áler Lier com plicções. 8 Ed. Poro Alere: Boom. [] LEIHOLD L. O cálculo com eomeri líic. 3 Ed.São Pulo: Edior Hrr 994. [3] GUYON A.C.; HALL J E. rdo de isioloi médic. 9 Ed. Rio de Jeiro: Gur Koo 997. [4] BERULANI C.A. O ouvido humo. Rio de Jeiro. Dispoível em hp:// Acesso em: 8 de jul. 8.

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