Revisão de Álgebra Linear
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- Izabel Damásio Imperial
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1 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole Revsão de Álger Ler Deção de mrz Um mrz rel ou comple é um ução que cd pr ordedo,j o cojuo S m ssoc um úmero rel ou compleo. Um orm muo comum e prác pr represer um mrz ded orm cm é rvés de um el coedo m úmeros res ou compleos. Idecremos mrz o com ler A. Oservções m m m dc o úmero de lhs e o úmero de colus d mrz A. Dzemos que ordem d mrz A é m. Se m, dzemos que mrz A é qudrd de ordem. N el cm posção de cd elemeo j,j é dcd pelo pr ordedo,j. # Idcmos um mrz A pelos seus elemeos como: A j A dgol prcpl d mrz é dcd pelos elemeos d orm j ode j. Um mrz qudrd é que em o úmero de lhs gul o úmero de colus,.e., m. A dgol secudár de um mrz qudrd de ordem é dcd pelos elemeos:, -, -, 4-, 5-4,..., -, Um mrz dgol é que em elemeos ulos or d dgol prcpl. Um mrz rel em odos os elemeos como úmeros res. Um mrz comple em odos os elemeos como úmeros compleos. m Revsão de Álger Ler
2 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole Revsão de Álger Ler Um mrz ul em odos os elemeos são gus zero. Um mrz dedde, deod por Id, em os elemeos d dgol prcpl gus e zero or d dgol prcpl. Um mrz dgol em odos os elemeos que esão or d dgol prcpl são gus zero, podedo ocorrer que lgus elemeos d dgol prcpl sejm ulos. Eemplos: Mrz 44 de úmeros res: Mrz 44 de úmeros compleos: Mrz ul com dus lhs e dus colus: Mrz ul com rês lhs e dus colus: Mrz dedde com rês lhs e rês colus: Mrz dgol com quro lhs e quro colus: 56
3 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole Mrzes gus Dus mrzes A j e B j, de mesm ordem m, são gus se odos os seus correspodees elemeos são gus, so é: j j pr odo pr ordedo,j em S m. Eercíco: Deermr os vlores de e y pr que sejm gus s mrzes: + y e 4 y Som de mrzes A som dção de dus mrzes A j e B j de mesm ordem m, é um our mrz C c j, ded por: c j j + j pr odo pr ordedo,j em S m. Eemplo: A som ds mrzes A e B, represeds respecvmee por: 7 8 e 5 é mrz C A+B, represed por: Propreddes d som de mrzes A: Assocv Pr qusquer mrzes A, B e C, de mesm ordem m, vle guldde: A + B + C A + B + C A: Comuv Pr qusquer mrzes A e B, de mesm ordem m, vle guldde: Revsão de Álger Ler
4 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole 4 A + B B + A A: Elemeo euro Ese um mrz ul que somd com qulquer our mrz A de mesm ordem, orecerá própr mrz A, so é: + A A A4: Elemeo oposo Pr cd mrz A, ese um mrz -A, deomd opos de A, cuj som ere ms orecerá mrz ul de mesm ordem, so é: A + -A Mulplcção de esclr por mrz Sej k um esclr e A j um mrz. Demos mulplcção do esclr k pel mrz A, como um our mrz CkA, ded por: c j k. j pr odo pr ordedo,j em S m. Eemplo: A mulplcção do esclr -4 pel mrz A, ded por: 7 é mrz C -4.A Propreddes d mulplcção de esclr por mrz E: Mulplcção pelo esclr A mulplcção do esclr por qulquer mrz A, orecerá própr mrz A, so é:.a A E: Mulplcção pelo esclr zero A mulplcção do esclr por qulquer mrz A, orecerá mrz ul, so é:.a Revsão de Álger Ler
5 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole 5 E: Dsruvdde ds mrzes Pr qusquer mrzes A e B de mesm ordem e pr qulquer esclr k, em-se: k.a+b k.a + k.b E4: Dsruvdde dos esclres Pr qulquer mrz A e pr qusquer esclres p e q, em-se: p+q.a p.a + q.a Mulplcção de mrzes Sej mrz A j de ordem m e mrz B kl de ordem r. Demos o produo ds mrzes A e B como um our mrz CA.B, ded por: c uv u. v + u. v um. mv pr odo pr u,v em S mr. Pr oer o elemeo d. lh e. colu d mrz produo CA.B, so é, o elemeo c, devemos: mulplcr os prmeros elemeos d. lh e. colu; mulplcr os segudos elemeos d. lh e. colu; mulplcr os erceros elemeos d. lh e. colu; mulplcr os quros elemeos d. lh e. colu; somr os quro produos odos eromee. Assm: c Podemos vsulzr es operção rvés ds mrzes segues. Bs oservr lh e colu em egro:. 4 4 c Oservção: Somee podemos mulplcr dus mrzes se o úmero de colus d prmer or gul o úmero de lhs d segud Revsão de Álger Ler
6 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole Revsão de Álger Ler 6 Propreddes d mulplcção de mrzes Pr ods s mrzes A, B e C que podem ser mulplcds, emos lgums propreddes: M: Nem sempre vle comuvdde Em gerl, A.B é deree de B.A, como é o cso do produo que segue: M: Dsruvdde d som à dre A.B+C A.B + A.C M: Dsruvdde d som à esquerd A+B.C A.C + B.C M4: Assocvdde A.B.C A.B.C M5: Nuldde do produo Pode coecer que o produo de dus mrzes sej mrz ul, so é: A.B, emor em A em B sejm mrzes uls, como é o cso do produo:. M6: Nem sempre vle o ccelmeo Se ocorrer guldde A.C B.C, eão em sempre será verddero que A B, pos esem mrzes como mrz C dd por: 5 e s mrzes A e B dds respecvmee por: e
7 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole 7 de orm que A.C B.C e ão emos que A B. Mrzes com propreddes especs. Um mrz A é lpoee de ídce k url, se: A k. Um mrz A é peródc de ídce k url, se: A k+ A. Um mrz A é dempoee, se: A A 4. As mrzes A e B são comuvs, se: A.B B.A 5. As mrzes A e B são -comuvs, se: A.B - B.A 6. A mrz dedde I d mulplcd por od mrz A, orecerá própr mrz A, qudo o produo zer sedo. I d. A A 7. A mrz A será vers d mrz B, se: A.B I d e B.A I d A rspos de um mrz Dd um mrz A,j de ordem m, demos rspos d mrz A como mrz A j, e se oserv qu, que s lhs de A se rsormm s colus de A. Propreddes d rsposção de mrzes : A rspos d rspos d mrz é própr mrz. A A : A rspos d mulplcção de um esclr por um mrz é gul o própro esclr mulplcdo pel rspos d mrz. ka ka Revsão de Álger Ler
8 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole 8 : A rspos d som de dus mrzes é som ds rsposs desss mrzes. A+B A + B 4: A rspos do produo de dus mrzes é gul o produo ds rsposs ds mrzes ordem rocd. A.B B. A Aálse Veorl Mrcl Deções Mrz cojugd A j + j A j Mrz rspos A A 4 4 rspos d cojugd A* é rspos d mrz cojugd A * A j Mrz smérc é quel que é gul su rspos - A A Mrz -smérc é quel que é gul egv de su rspos - A A Nos:. A som de qulquer mrz qudrd su rspos ger um mrz smérc - A + A B. Logo B é smérc;. A surção de qulquer mrz qudrd de su rspos ger um mrz -smérc: A A C. Logo C é -smérc.. A vers de um mrz smérc é smérc se vers esr. Eercíco: Podemos escrever qulquer mrz qudrd como som de um mrz smérc e um -smérc Prove? Revsão de Álger Ler
9 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole Mrz orogol: A A AA I ; A é rel A ± e eão A é ão sgulr; Mrz Herm: Mrz com elemeos compleos ode A * A ou j j. A mrz que ssz es codção é chmd mrz herm. Um mrz herm em que ser qudrd e os elemeos de su dgol prcpl devem ser res. Sej A B + jc ode A é herm e B e C Res; Eão B B B é smérc C C C é -smérc Nos:. A vers de um mrz herm é herm: A A *. O deerme de um mrz herm é sempre rel Mrz -herm: A* A; Se A B + jc, ode B e C são mrzes res, eão B B B é -smérc C C C é smérc. Mrz uár: Mrz comple em que vers é gul cojugd d rspos A A* ou AA * A* A I Mrz orml: Comu com su rspos cojugd AA * A* A ode A é um mrz comple, ou AA A A ode A é um mrz rel Deerme Sej um mrz A, eão dea A Pr um mrz em-se: de A + + A, logo Revsão de Álger Ler
10 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole Pr mrzes de dmesão mor que ulz-se segue méodo:. Dee-se o meor de um elemeo j de um mrz qudrd, o deerme d mrz que resulr o suprmrmos lh e colu j reeree ese elemeo. Eemplo: O meor do elemeo reeree mrz eror vle. O meor do elemeo d mrz eror vle.. Dee-se como coor de um elemeo j de um mrz qudrd, o meor dese elemeo com um sl que depede d lh e colu do elemeo j. Pr deermr o sl s clculr - +j. Se som d lh com colu j or um úmero pr, o sl será posvo, cso coráro, o sl será egvo.. Pr o cálculo do deerme de um mrz qudrd qulquer, s escolher um lh ou colu e somr cd elemeo des lh ou colu mulplcdo pelo seu respecvo coor. Propreddes do deerme. Se dus lhs ou colus são rocds, somee o sl do deerme é muddo;. O deerme é vre pel dção de um múlplo esclr de um lh ou colu;. Se um mrz em dus lhs ou colus dêcs, eão o deerme é gul zero. 4. Pr um mrz A,, de A de A, * de A de A ; 5. O deerme do produo de dus mrzes qudrds A e B vle: de AB de A de B de BA ; 6. Se um lh ou colu é mulplcd por um esclr K, eão o deerme é mulplcdo por K. 7. Se A,, eão de KA K de A. 8. Se os uovlores de A são λ,,...,, eão de A λ λ...λ. Revsão de Álger Ler
11 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole. Se A, m e B, m, eão de I + AB de I m + BA. Iversão de mrzes Pr um mrz qudrd ão sgulr dee-se { B BA AB I} eão B A. A vers de A ese se A or ão sgulr, ou o deerme de A or deree de zero, ou A ão eh lhs e/ou colus lermee depedees. As rês codções são dêcs. Um mrz qudrd é d sgulr qudo ão ese su vers, ou sej, se o deerme d mesm or ulo o que é mesm cos de rmr que esem lhs e/ou colus lermee depedees. Propreddes d mrz vers. Sej A, e K um esclr, eão KA A K. O deerme d mrz vers de A é gul o verso do deerme de A de A de A O cálculo d vers de um mrz pode ser eeudo do segue modo:. Clcul-se o deerme de A. Se ese esr, eão A possu vers.. Clcul-se os coores de odos os elemeos de ª. A vers de A será dd pelo produo do verso do deerme de A pel mrz rspos dos coores de ª A de A [ coores _ A] Dervd e egrl de um mrz Dervd Revsão de Álger Ler
12 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole Revsão de Álger Ler d d d d da m m # Iegrl A m m # Derecção de um mrz db da B A d + + db A B da AB d + dk A k da dak + db A AB B da. Dervd de um ução esclr em relção um veor, # coo: se um mrz, m, é um ução veorl de um -veor, eão: m m m # Veores e álse veorl
13 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole Idepedêc ler de veores: dz-se que veores são lermee depedees cso ocorr c c c, somee se c c... c + Produo ero <, y > y + y y y Um veor compleo ou rel é do ormlzdo se <, > Norm de um veor eucld coceo semelhe o de vlor soluo ou P.U. < > Dsâc ere dos poos y y + y y, Orogoldde de veores Se o produo ero de dos veores e y é gul zero, eão e y são orogos ere s. Eemplo:, e Um cojuo de veores é do oroorml se os mesmos esão ormlzdos e são orogos, ou sej, <, <, j > >, j Polômo crcerísco de um mrz qudrd Chm-se polômo crcerísco de um mrz A, o polômo pλ dea-λi Auovlores de um mrz Os uovlores de um mrz A são s rízes de seu respecvo polômo crcerísco. O deerme de um mrz A mém pode ser clculdo mulplcdo-se os uovlores de A. Revsão de Álger Ler
14 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole 4 Auoveores de um mrz Sej A e λ um uovlor de A, se ese um veor ão ulo v V v l que AV λv e V é ão ulo, eão V é chmdo de uoveor de A. Oserve que um mrz A com uovlores erá uoveores um veor ssocdo cd uovlor. Dgolzção de mrzes qudrds Um mrz A é dgolzável se, e somee se, el possu uoveores lermee depedees. Se um mrz A é dgolzável eão ese um mrz P l que: P - AP D, ode D é um mrz dgol e os elemeos des dgol são os uovlores de A oserve que o deerme deve ser vre. λ D λ mrz P será compos pelos # λ uoveores ssocdos cd uovlor d mrz A: P[V V... V ]. Forms qudrács Pr um mrz A rel e smérc e um -veor, orm A j j j ode j j é chmd orm qudrác rel em. Qulquer orm qudrác rel sempre pode ser escr como A. Por eemplo: [ ] 8 Créro de Sylveser pr deermr se um orm qudrác é posv ded: Um codção ecessár e sucee pr um orm qudrác A, ode A é Revsão de Álger Ler
15 UleseMG Curso de Especlzção em Auomção e Corole 5 um mrz rel smérc, ser posv ded é que o deerme de A sej posvo e que os deermes meores prcps e sucessvos do deerme A sejm posvos. Pseudo-verss O coceo de pseudo-vers de um mrz é um geerlzção d oção de um vers. Ele é úl pr se deermr um solução de um cojuo de equções lgércs em que o úmero de cógs e o úmero de equções lermee depedees ão são gus. Mrz pseudo-vers: Pr um equção veorlmrcl A ode A é um mrz m com poso, é um m-veor e é um -veor. A solução que mmz orm é dd por o A A - A Blogr Recomedd CALLIOLLI, C.A, Domgues, H. Cr, Roero C.F. Álger Ler e Aplcções. São Pulo, Edor Aul 8. LAWSON, erry. Álger Ler, São Pulo, Ed. Edgrd Blucher, 7. KALMAN, Berrd. Irodução à Álger Ler. Ro de ero. Ed. Prece Hll, 8. ANICH, Kl. Álger Ler, Ro de ero, LC, 8. LIPSCHUZ, Seymour. Álger Ler. São Pulo. Coleção Schum. McGrw-Hll, ª Edção UDICE, Edso D. Elemeos de Geomer Alíc. Belo Horzoe Edor Veg SANOS, Regldo. Um Curso de Geomer Alíc e Álger Ler - Belo Horzoe: Impres Uversár d UFMG,. Revsão de Álger Ler
Exemplo: y 3, já que sen 2 e log A matriz nula m n, indicada por O m n é tal que a ij 0, i {1, 2, 3,..., m} e j {1, 2, 3,..., n}.
Mrzes Mrz rel Defnção Sem m e n dos números neros Um mrz rel de ordem m n é um conuno de mn números res, dsrbuídos em m lnhs e n coluns, formndo um bel que se ndc em gerl por 9 Eemplo: A mrz A é um mrz
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EXEMPLO 3 - CONTINUAÇÃO
AJUSTE A U POLINÔIO Se curv f for jusd um polômo de gru, eremos f * () 0 Segudo o mesmo procedmeo eror, chegremos o segue ssem ler: m L O L L 0 EXEPLO Os ddos bo correspodem o volume do álcool ídrco em
MATRIZES 1. INTRODUÇÃO
Professor Murco Lu Professor Murco Lu MTRIZES INTRODUÇÃO Qudo u prole evolve u grde úero de ddos (coses ou vráves), dsposção deses u el regulr de dupl erd propc u vsão s glol do eso s els ss fords são
B é uma matriz 2 x2;
MTRIZES e DETERMINNTES Defiição: Mriz m é um bel de m, úmeros reis disposos em m lihs (fils horizois) e colus (fils vericis) Eemplos: é um mriz ; B é um mriz ; Como podemos or os eemplos e respecivmee,
Conceitos básicos População É constutuida por todos os elementos que são passíveis de ser analisados de tamanho N
sísc Coceos áscos opulção É cosuud por odos os elemeos que são pssíves de ser lsdos de mho mosrgem Sucojuo d populção que é eecvmee lsdo com um ddo mho mosr leór mosr ode cd elemeo d populção êm hpóeses
Definição: Sejam dois números inteiros. Uma matriz real é uma tabela de números reais com m linhas e n colunas, distribuídos como abaixo:
I MTRIZES Elemeos de Álgebr Lier - MTRIZES Prof Emíli / Edmé Defiição: Sem dois úmeros ieiros Um mriz rel é um bel de úmeros reis com m lihs e colus, disribuídos como bixo: ( ) i m m m m Cd elemeo d mriz
1.6- MÉTODOS ITERATIVOS DE SOLUÇÃO DE SISTEMAS LINEARES PRÉ-REQUISITOS PARA MÉTODOS ITERATIVOS
.6- MÉTODOS ITRATIVOS D SOLUÇÃO D SISTMAS LINARS PRÉ-RQUISITOS PARA MÉTODOS ITRATIVOS.6.- NORMAS D VTORS Defção.6.- Chm-se orm de um vetor,, qulquer fução defd um espço vetorl, com vlores em R, stsfzedo
Máximos, Mínimos e Pontos de Sela de funções f ( x,
Vsco Smões ISIG 3 Mámos Mímos e otos de Sel de uções ( w). Forms Qudrátcs Chm-se orm qudrátc em Q ) se: ( Q ) ( T ode.. é um vector colu e um mtr qudrd dt mtr d orm qudrátc sto é: Q( ) T [ ] s orms qudrátcs
Método de Eliminação de Gauss
étodo de Elmção de Guss A de ásc deste método é trsformr o sstem A um sstem equvlete A () (), ode A () é um mtrz trgulr superor, efectudo trsformções elemetres sore s lhs do sstem ddo. Cosdere-se o sstem
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