MATRIZES 1. INTRODUÇÃO

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1 Professor Murco Lu Professor Murco Lu MTRIZES INTRODUÇÃO Qudo u prole evolve u grde úero de ddos (coses ou vráves), dsposção deses u el regulr de dupl erd propc u vsão s glol do eso s els ss fords são chds res O crescee uso dos copudores e feo co que eor ds res ecore cd ve s plcções e seores s coo: ecoo, egehr, eác, físc, esísc, ec Eeplo: el o descreve s sfrs de lho, rgo, soj, rro e fejão, e oelds, dure os os de,, e Mlho Trgo Soj rro Fejão Co os ddos dsposos for de el (r), edee coseguos fer coprções, eselecer relções e é eso rr coclusões relvs s sfrs Iso osr o quo pode ser úl oção rcl Gerlee, s res são els de eleeos dsposos e lhs e colus, sedo represedos ere prêeses, colchees ou rrs dupls Des for, u represeção por r d el ds sfrs é: S pr dre s lhs são uerds de c pr o e s colus d esquerd DEFINIÇÃO Ch-se r de orde ( e *) od el cosuíd por e eleeos, dsposos e lhs e colus Oservção: Pr dcr orde de u r, deos prero o úero de lhs e e segud o úero de colus Eeplos: orde orde REPRESENTÇÃO LGÉBRIC s res cosu ser represeds por lers úsculs e seus eleeos por lers úsculs, cophds de ídces que dc, respecvee lh e colu ocupd pelo eleeo ss, u r do po é represed por: IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

2 Professor Murco Lu Professor Murco Lu ou revdee, =(j), ode represe lh e j represe colu que o eleeo ocup r, por eeplo é o eleeo d º lh e d º colu Dd r defque os eleeos d: ) º lh ) º lh c) d) U r possu quro eleeos Qus os pos possíves pr ess r? Deere r =(j), l que j= +j Eeplo: ode =-; =- e = Deere r =(j), l que j= -j = -=-; = -=-; = -=-; = -=; = -=; = -=-; = -=; = -=; = -= Cosru s res: ) M=(j), l que j=+j ) N=(j), l que j= -j j, se j c) Q=(j), l que j, se j MTRIZES COM DENOMINÇÕES ESPECIIS Mr lh É od r do po, so é, co u úc lh Por eeplo: ou B () Eercícos Mr colu Idefque orde ds res: ) ) B c) C d) D É od r do po, so é, co u úc colu Por eeplo: ou B IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

3 Professor Murco Lu Professor Murco Lu Mr regulr Mr ul É od r, sedo, ou sej, o úero de lhs e dferee do úero de colus Por eeplo: ou B Mr qudrd É od r do po, so é, co o eso úero de lhs e colus Nese cso deos que r é de orde Por eeplo: ou B ) Dgol prcpl: dgol prcpl de u r qudrd é o cojuo de eleeos dess r, s que =j ) Dgol secudár: dgol secudár de u r qudrd é o cojuo de eleeos dess r, s que +j=+ É dgol que se opõe dgol prcpl É r e que odos os eleeos são ulos Represe-se por O ou pes O Por eeplo: sej O Mr dgol É od r qudrd ode odos os eleeos que ão esão dgol prcpl são ulos Por eeplo: Mr esclr ou B É od r dgol ode os eleeos d dgol prcpl são odos gus Por eeplo ou B Eeplos: Sej segue r de orde : Sej B segue r de orde : Mr dedde É od r qudrd ode os eleeos d dgol prcpl são gus e os des são ulos Represe-se por I, ode dc orde d r dedde Por eeplo I ou I ss, u r dedde I j, se j j Tod r dedde é é r dgol, se j IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

4 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Mr rspos Chos de r rspos de u r r que é od prr de, rocdo-se ordedee sus lhs por colus ou sus colus por lhs Por eeplo e Desse odo, se r é do po, é do po Propreddes d r rspos Se r é u esclr e e B são res, eão: ) ( ) =; ) (+B) = +B ; c) (r) =r Mr opos Chos de r opos de r od prr de, rocdose o sl de odos os seus eleeos Represeos r opos de por - Por eeplo: sej opos é Mr sérc U r qudrd de orde é sérc qudo = por eeplo ou sej,, IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Mr -sérc U r é -sérc qudo su r rspos for gul à su r opos ou sej =- Por eeplo:, e Mr rgulr feror Os eleeos c d dgol prcpl são odos ulos (= e j= pr <j) Por eeplo: Mr rgulr superor Todos os eleeos o d dgol prcpl são ulos (= e j= pr >j) Por eeplo: IGULDDE DE MTRIZES Dus res, e B serão gus se fore do eso po e os eleeos correspodees fore gus ss, se =(j) e B(j) são res do po, eão j B j j

5 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Eeplos: Dds s res e B, clculr e pr que =B B Resolvedo o sse, eos: X= e =- Deerr e guldde: log log () Eercícos Quos eleeos e u r qudrd de orde? Deere e pr que r sej dgol Escrev r ( ), qudrd de orde, l que =(j) e j=j- Deere e pr que r M sej sérc Deere r rel qudrd B de orde, defd por: j j j j se se Dd r =(j), co j= -j, oer r opos de IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Sej log e c B, deere, e c pr que =B Deere os eleeos d dgol prcpl, sedo que é u r dgol Dd r dedde d c I, clcule ++c+d Deere, e c, de odo que r c, sej rgulr feror OPERÇÕES COM MTRIZES dção e surção de res dção de res Dds res de eso po =(j) e B=(j) deo-se r so (+B) r od dcodo-se os eleeos correspodees de e B (lerr que e B são res de es orde) +B=(j+j), ode e j

6 Professor Murco Lu Professor Murco Lu Eeplo: Dds s res +B e B, clcule () Eercícos che,, p e q, de odo que: p p q q B Sej s res =(j), co j=-j e B=(j), co j=j+ Clcule: ) -B ) B- c) (+B) d) -B Sedo =(j) l que j=-j e B=(j) l que j=-+j+, clcule +B Surção de res Sej e B dus res do po Deo-se dfereç ere e B, e vos represeá-l por -B, so d r co r opos de B, ou sej, -B=+(-B) Dds s res, B e C Clcule: ) -B ) B-C c) -B-C d) C-+B e) -C f) C-(B-) Eeplo: Dd s res e B, deere -B che,, e w, de odo que: w B Mulplcção de res Mulplcção de r por esclr Propreddes d dção e surção de res Dds u r e B de orde vle s segues propreddes: ) Couv: +B=B+ ) ssocv: (+B)+C=+(B+C) c) Eleeo euro: +=+= d) Eleeo oposo: +(-)=(-)+= e) Cceleo: =B +C=B+C Pr ulplcr u r por u esclr (úero rel ou copleo), ulplcos odos os eleeos d r por ese esclr Se =(j) e k é u esclr, eão k=(kj) Eeplo: Dd r, clcule IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

7 Professor Murco Lu Professor Murco Lu Mulplcção de r por r Dd u r =(j) e u r B=(j)p, o produo B é r C=(ck)p, l que o eleeo ck é clculdo ulplcdo-se ordedee os eleeos d lh d r pelos eleeos d colu k d r B e sodose os produos odos, ou sej: Ck=k+k+k++k D defção decorre que: O produo ds res e B ese qudo o úero de colu d r é gul o úero de lhs d r B O produo de dus res e B, se esr, e o eso úero de lhs de e o eso úero de colus d r B, so é, se é do po e B do po p, eão B é do po p, ss: ) Se é r do po e B é r do po, eão ese r B, pos o úero de colus de é gul o úero de lhs de B r B é do po Vej o esque o B Propreddes d ulplcção pós verfcds s codções de esêc pr ulplcção de res, são válds s segues propreddes: ) ssocv: (B)C=(BC) ) Dsruv e relção dção: (B+C)=B+C ou (+B)C=C+BC c) Eleeo euro: I=I, ode I é r dedde de orde Oservções: Não vle s segues propreddes: ) Couv, pos, e gerl BB ) Sedo O ão plc, ecessree que =O ou B=O ) Se é do po e B é do po, ão ese r B, pos o úero de colus de é dferee do úero de lhs de B Eeplo: Dds s res e B deere B () Eercícos Clcule os produos ds segues res, se esre: ) c) ) d) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

8 Professor Murco Lu Professor Murco Lu e) f) / Dds s res =(j), l que j=-j, B(j), l que j=j-, e C=B, deere o eleeo C Dds s res =(j) e B(j), qudrds de orde, co j=+j e j=- -j se C=+B, eão C é gul? Sej =(j) u r co > relção que ger, r, lhs cujos eleeos esão e P é ) j= j ) j= +j c) j=/j d) j=j e) j=(-) j+j O vlor de pr que o produo d res e B sej u r sérc, é? r Dds s res, B, clcule: ) (+B) ) +(B)+B Sedo que e B, clcule B-B ssle V (verdder) ou F (fls) pr cd u ds frções relcods co res rsposs ( ) Se r =(j) é l que j=j, eão = ( ) Qulquer que sej r, ( ) = ( ) Sej =(j) e B=(j)p, eão (B) = B sequêc corre é: ) V V V ) V F V c) F V F d) F F V e) V V F forece os preços (e res) por kg de erv-e, fejão, rro e çúcr os ercdos M, M, M e M Se u cosudor ecess coprr kg de erv-e, kg de fejão, e kg de rro e kg de çúcr, eão r que forece os cusos (e res) os ercdos M, M, M e M, respecvee, é ) [,,,,] ) [,,,,] c) [,,,,] d) [,,,,] e) [,,,,] Cosdere s res ) ( j j e B ( jk ) j k O eleeo j C d r produo C=B é ) / ) / c) / d) / e) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

9 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu MTRIZ INVERS U r qudrd, de orde, é versível se, e soee se, esr u r dcd por -, l que - = - =I Ese r vers soee qudo o deere d r for dferee de ero Oservções: I é u r dedde de es orde que s res e B; Se esr vers, deos que r é versível e, e cso coráro, ão versível ou sgulr; Se r qudrd é versível, el é úc Eeplo: Deerr vers d r Fedo d c Seos que - =I d c d c d c pel guldde de res, eos os sses: e c c c e d d d Poro IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu () Eercícos Deere vers ds res: ) ) B Dds s res e B, oeh r B+ - Se e B, eão oeh r X=(B - ) Mosre que vers d r é Dds res, P e B, deere os vlores de e, s que B=PP - () Eercícos copleeres O produo MN d r M pel r N : ) ão se defe ) é u r dedde de orde c) é u r de u lh e u colu d) é u r qudrd de orde e) ão é u r qudrd

10 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Cosdere r qudrd de orde, j j ) ( Se B é r vers de, eão B+B é gul : ) / ) / c) d) / / / / e) r qudrd =(j) de orde, ode se cos se se j j j j j e coo vers r - gul ) ) c) d) e) Cosdere s res qudrds de orde, =(j) ode ) ( j j e B=(j) ode j j r X= -B é gul ) ) c) d) e) Sedo que os produos ds res e B é l que B=I, podeos frr que: ) e B ) e B c) e B d) ods s opções erores são corres e) ehu respos Se j é u r de orde defd por j j j se, se,, eão o vlor de é: ) ) c) d) e) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Dds s res e B, os vlores de e, respecvee, pr que B : ) e ) e c) e d) e e) e Se, B, C e B=C, eão log é: ) ) c) d) ½ e) r =(j) é defd de l odo que j j j j se, se, ) (, eão é: ) ) c) d) e) Sej X e Y ode se X =Y, eão é: ) ) c) ½ d) e) ½

11 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu GBRITOS () ) ) c) d) ) - ) - c) = d) = - ; ; ) ) c) () eleeos = e = = e =½ B = -; = -; c= - =; = -; c= () =; =; q= -; p= ) ) c) d) ) ) c) d) e) f) = -; =; =; w= - () ) ) c) d) e) ão ese o produo f) C= = ) ) e d d c () ) ) X IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu = e = - () d c e d c DETERMINNTES DEFINIÇÃO od r qudrd de orde, podeos ssocr, rvés de cers operções, u úero rel chdo deere d r Represe-se o deere d r coo de ou DETERMINNTE D MTRIZ DE ORDEM O deere d r =() é o própro úero rel Eeplo: Sej r =() logo de = = MENOR COMPLEMENTR Ch-se eor copleer de u eleeo j de u deere, u ovo deere, represedo coo Dj, que se oé suprdo lh e colu j que pss por j de Eeplos: O eor copleer do eleeo (º lh e º colu) é: D O eor copleer do eleeo é:

12 Professor Murco Lu Professor Murco Lu D de =+=+(-)=- (I) DJUNTO OU COFTOR OU COMPLEMENTO LGÉBRICO IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Cofor (cof) de u eleeo j de u r, é o produo do eor copleer dese eleeo pelo for (-) +j Dj, ou sej, j=(-) +j Dj Eeplos: Clcule o cofor do eleeo do deere ( ) ( ) ( )( ) D O copleeo lgérco ou cofor do eleeo é: ( ) D ( ) ( ) DETERMINNTE D MTRIZ DE ORDEM Dd r eleeos de u fl qulquer pelos respecvos cofores Clculdo: =(-) + = =(-) + =- =(-) + =- =(-) + = Desevolvedo pel º lh:, o de é so dos produo dos IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Desevolvedo pel º lh: de =+=(-)+=-+ (II) Desevolvedo pel º colu: de =+=+(-)=- (III) Desevolvedo pel º colu: de =+=(-)+(-)=-+ (IV) Cocluí-se que (I)=(II)=(III)=(IV) Eeplo: Clcule o deere de Desevolvedo-se pel º lh eos: de =+=(-) + +(-) + =-=- Regr prác: Cosdereos r, o deere de u r de orde é dfereç ere o produo dos eleeos d dgol prcpl e o produo dos eleeos d dgol secudár, ou sej, Eeplo: de che o vlor do deere

13 Professor Murco Lu Professor Murco Lu ( ) che o vlor do deere Sedo =(j) u r de orde e j=j-, clculr o deere d r Sej =(j) u r qudrd de º orde, l que j= +j Clcule de Sedo e B, clcule de (B) () Eercícos che o vlor dos deeres: Clculr o cofor do eleeo d r =(j), ode j=j+, se j; +j, se =j Resolv s equções: ) d) ) e) c) ) ) c) DETERMINNTE D MTRIZ DE ORDEM se Sedo que, resolv equção se Clculr o cofor dos eleeos e d r Clculr o vlor do deere ds res segue, usdo defção ) ) B Clculr o vlor do deere, usdo regr prác cos se ) ) c) se cos Dd r, ch-se de so dos produos dos eleeos de u fl qulquer pelos respecvos cofores Desevolvedo-se pel º lh: de ( ) ( ) ( ( ) Desevolvedo-se pel º colu: ( ) ) ( ) (I) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

14 Professor Murco Lu Professor Murco Lu de ( ( ) ) ( ( ) Cocluí-se que (I)=(II) Eeplo: Clcule o deere d r colu º lh: ( ) ) ( ) ( II), pel º lh e º de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) º colu: de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Regr prác: Regr de Srrus Sedo u r qudrd de º orde, seu deere será clculdo rvés d Regr de Srrus : repee-se s dus prers colus dre d r (ou s dus prers lhs pós º lh) e dco-se o produo dos eleeos d dgol prcpl o produo de sus prlels, surí-se dese resuldo o produo d dgol secudár e o ds sus prlels el Eeplo: Clcule o deere d r () Eercícos ( )()() ()( )() ()()() ()()() ( )( )() ()()() Sej r qudrd de º orde e que j=-j, clculr o cofor do eleeo? Clculr o vlor do deere ds res segues usdo defção: ) ) B Clcule usdo regr de Srrus: ) ) c) Resolver s equções, sedo ) d) ), j Sej S=(sj) r qudrd de orde, ode s j j, j, clculr o vlor j, j do deere de S IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

15 Professor Murco Lu Professor Murco Lu O deere d r B=(j) de orde, ode ) ) c) d) e) j, se j, é gul : j, se j ( ) Clcule o vlor de de () de (B)+de (C)=, sedo B, C / ) ) c) d) e), MTRIZ COFTOR Dd r qudrd (j) ch-se r cofor de r B=(j) cujos eleeos são cofores dos eleeos correspodees de B cof j, e j j Sedo que e, clcule - che o vlor do deere d r P, sedo que P Cosdere s res, B e C que r B é gul à r C, clcule o deere d r DETERMINNTE D MTRIZ DE ORDEM Sedo O deere de u r é gul so dos produos dos eleeos de u fl qulquer pelos respecvos cofores (Teore de Lplce) Eeplo: Clcule o deere de ( ) Eeplo: Sej r, deere B cofor de ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Poro r B MTRIZ DJUNT rspos d r cofor de é chd r dju de IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

16 Professor Murco Lu Professor Murco Lu Eeplo: Sej r Cálculo d r cofor dj cof, deere r dj Pelo eeplo eror seos que r cofor de é B Cálculo d r rspos B e B Poro Logo dj cof B dj INVERSÃO DE MTRIZES COM UXÍLIO D TEORI DOS DETERMINNTES Dd r qudrd =(j) se de, eão ese vers de e es é dd por: de cof ou dj de de Cálculo d r cofor, cof B ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) Cálculo d r dju dj dj cof B Cálculo d vers d r Oservções: de de cof dj U r qudrd que possu seu deere dferee de ero é chd r regulr ou ão-sgulr Logo, é versível U r qudrd que possu seu deere gul ero é chd r ão regulr ou sgulr Logo, ão é versível Eeplo: Deere vers d r deeres Cálculo do deere IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur se esr, co o ulo dos () Eercícos Se e f ( ), clcule f de IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

17 Professor Murco Lu Professor Murco Lu se cos Deere vers d r, cso es cos se Verfque se r de vers, cso posvo, clcule- Clcule pr que es vers d r Clculr vers ds res, cso es: ) ) B PROPRIEDDES DOS DETERMINNTES º) Qudo odos os eleeos de u fl (lh ou colu) são ulos, o deere dess r é ulo Eeplos: ( ) ( ) ( ) ( ) º) Se dus fls prlels de u r são gus, eão seu deere é ulo Eeplos: ( ) ( ) ( ) ( ) º) Se dus prlels de u r são proporcos, eão o seu deere é ulo Eeplos: L C L ( ) ( ) C ( ) ( ) º) Se o eleeo de u fl de u r são coções leres dos eleeos correspodees de fls prlels, eão seu deere é ulo Coções leres de dus ou s fls prlels de u deere é u fl prlel às fls cosderds, represedos pel so dos produos ds fls por úeros res Eeplos: C C C - - ( ) ( ) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

18 Professor Murco Lu Professor Murco Lu L L L - ( ) ( ) - º) O deere de u r ão se ler qudo soos os eleeos de u fl u coção ler dos eleeos correspodees de fls prlels Eeplo: ( ) ( ) C C C ( ) ( ) L L L - - ( ) ( ) º) O deere de u r e o de su rspos são gus Eeplo: Sej r, clcule de e de de de ( ) ( ) Poro de =de º) Mulplcdo por u úero rel odos os eleeos de u fl e u r, o deere fc ulplcdo por esse úero Eeplo: C C ( ) ( ) ( ) ( ) ou sej, de =, coo ulplcos colu por o de fc ulplcdo é por, o ovo de = º) Qudo rocos s posções de dus fls prlels, o deere de u r ud de sl Eeplo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) º) Qudo e u r os eleeos c ou o d dgol prcpl são odos ulos, o deere é gul o produo dos eleeos dess dgol IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

19 Professor Murco Lu Professor Murco Lu Eeplos: ( ) ( ) ( ) ( ) º) O deere do produo ds res e B é gul o produo do deere pelo deere B, ou sej de de B de( B) Eeplo: Sejs s res e B B de( B) de de B de de B ( ) de( B) º) Mulplcdo-se r de orde pelo úero rel k oé-se r k, de odo que de( k ) k de Eeplo: Sej r de orde e k= k de( k ) de k de ( ) ( ), poro de( k ) k de () Eercícos O deere de u r é Se ulplcros segud lh dess r por e dvdros su prer colu por, o deere d ov r será: ) ) c) d) e) Dd r, clcule o deere de Se é u r qudrd de orde, l que deere de, +=, clcule de Se é u r qudrd de orde, de =, clculr o deere de Sedo e B res qudrds de orde, se de = e de B=, clcule de ( B ) Sedo que r é l que de =, clcule de - Clcule os deeres rvés ds propreddes, jusfcdo os vlores odos: ) ) c) d) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

20 Professor Murco Lu Professor Murco Lu Se de =, clcule de () ) ) c) d) e) Sej e B dus res qudrds de es orde Sedo que de = e de B=, clcule de (B) U r de ercer orde e deere O deere de é: ) ) c) d) e) O vlor de u deere de º orde é Se dvdros º lh por e ulplcros º colu por, o vlor do ovo deere será? Se é u r qudrd de º orde e de =, eão de é gul : ) ) c) d) e) O deere de u r qudrd vle Qudo vlerá o ovo deere, se ulplcros º lh d r por e dvdros º colu por? Se é u r qudrd de ercer orde e de =, des for de é gul : ) ) c) d) e) Se é u r qudrd, su rspos e de =, eão de é gul : ) ) c) d) ½ e) ¼ Mulplcdo-se º lh d r por e segud por, oé-se r B Se de =, eão de B é: ) ) c) d) e) O deere de u r qudrd é Trocdo-se ere s º lh co º lh e dvddo º colu por, o ovo vlor do deere será: ) ) c) d) e) Se, eão vle: ) ) / c) / d) e) Sej e B res qudrds de orde Se de = e B, eão de B é: ) ) c) d) e) () Eercícos copleeres Sej e B res qudrds de orde e O r ul de orde Eão, frv corre é segue: ) Se é r rspos de, eão de de ) Se de, ese r vers - e ( cof de ), ode cof é r dos cofores de c) Se B=O, eão =O ou B=O d) (-B) = -B+B e) Se k, eão de (k)=k(de ), pr odo k Se, eão c c é gul : Sej, B e C res res, s que B=C -, B= e de C= Eão o vlor de de é ) / ) / c) d) e) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

21 Professor Murco Lu Professor Murco Lu lse s frvs segur ( ) I r é versível se = c ( c ) II Se de (B)=, pode-se grr que ese de e de B III Se de = e de B=/, eão de (B)= Esá(ão) corre(s) ) pes I ) pes II c) pes III d) pes I e III e) I, II, III Esá(ão) corre(s) ) pes I ) pes I e II c) pes II e III d) pes III e) pes I e III Dds res qudrds, I e sedo u úero rel, cosdere r -I ssle V s frvs verdders e F s flss ( ) I ( ) de (-I) pr odo rel ( ) -I é versível se e Sej r co deere ão-ulo Se de =de (+), eão de é ) ) c) d) e) Sej e B res res qudrds de orde Se de =de B, eão de B é gul ) ) ½ c) de d) de e) Dd r é, co, o ervlo rel pr o qul de < ) (-, [ ) ], ) c) [-, [ d) ], ] e) ]-, /[ Cosdere u r, ode =(j) Pode()-se frr: / I de de II Se j=j, j, eão de = III Se de, eão de de - = sequêc corre é ) V F F ) F V F c) V V V d) F F V e) V F V s frções segur refere-se res e deeres ssle V s verdders e F s flss ( ) solução d equção é ( ) Se e B são res qudrds de orde e =kb, co k úero rel, eão de =k (de B) ( ) Se é u r de orde p e B é u r de orde q, o produo B é defdo se p=q e, esse cso, orde d r produo B será sequêc corre é ) V F V ) V F F c) F V F d) F V V e) F F V se cos Cosdere equção cos se IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

22 Professor Murco Lu Professor Murco Lu so de sus soluções, o ervlo, é gul ) -/ ) c) d) / e) / GBRITOS SISTEMS LINERES () ), S ) S c), S S, = - e = ) ) ) ) c) ) ) c) d) e) () ) ) - ) ) c) d) () ), S ), ) se cos S d D cos se ) Não ese vers () S / ' e " ), º propr ), º propr C), º propr d) -, º propr e e e d c d c () c c e e e d e DEFINIÇÃO Cosdereos u equção d for: ++++=, ode,,,, e são úeros cohecdos e,,,, são vráves U equção desse po é chd equção ler de cógs sore Eeplos: = += ++= -+-= Noeclur: Coefcees: são os úeros res,,,, Tero depedee: é o úero rel Icógs: são os úeros res,,,, Oservção: Não são leres, por eeplo, s equções:, pos cóg e epoee Ns equções leres, o epoee de cd cóg é sepre, pos cóg e epoee ½, pos cóg e epoee, pos ese u ero co o produo Ns equções leres, s cógs prece soldee e cd ero IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

23 Professor Murco Lu Professor Murco Lu SOLUÇÃO DE UM EQUÇÃO LINER Cosdereos equção ler de cógs sore : ++++= Ch-se solução dess equção u seqüêc de úeros res (,,,, ) l que, susudo-se respecvee s cógs: por, por, por,, por oé-se guldde verdder: Eeplos: O pr (,) é solução d equção: +=, pos += ++++= orded (,,,) ão é solução d equção: +--=, pos +--= EQUÇÕES LINERES Eeplos: É od equção d for ++++=, ode:,,,, são os coefcees;,,,, são s cógs +=, equção ler de cógs; +-=, equção ler de cógs; ++-=-, equção ler de cógs Oservções: Oserve que os epoee ds cógs são gus u; Qudo o ero depedee for gul ero, equção ler deo-se equção ler hoogê, por eeplo -=; U equção ler ão prese eros d for,, ½,, so é, cd ero d equção ler e u cóg, cujo epoee é sepre solução de u equção ler cógs é sequêc de úeros res, (,,,, ) que colocos respecvee o lugr de,,,, que or verdder guldde dd () Eercícos che dus soluções de equção += ) =- ) = Deere pr que (-,, -) sej solução d equção +-= Dd equção che pr que (, +) ore seeç verdder SISTEMS LINERES Defção Ch-se sse ler u cojuo fordo por dus ou s equções leres Eeplos: SL SL é u sse ler de dus equções e dus cógs SL SL é u sse ler de dus equções e rês cógs IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

24 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu SL SL é u sse ler de rês equções e dus cógs U sse ler de equções ( ) de cógs (,,,, ) pode ser ss escro: SL Vej que, es oção, os coefcees ds cógs possue dos ídces: o prero represe equção e o segudo represe cóg à qul o coefcee perece Por eeplo: represe, º equção, o coefcee de represe, º equção, o coefcee de represe, º equção, o coefcee de Solução e cojuo solução de u sse ler Já seos e que codções u sequêc de úeros res (,,,, ) é solução de u equção ler de cógs Pr que u sequêc de úeros res sej solução de u sse ler de equções cógs, el deve ser, suleee, solução de ods s equções desse sse Eeplos: Cosdere ese sse ler: IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Nese sse de dus equções dus cógs, od solução é u pr ordedo (pos são dus s cógs) Vej que o pr ordedo (, ) é solução do sse, pos: Cosdere o sse ler: Coo gor eos rês cógs, cd solução será u er orded de úeros Vej que s ers (,, ) e (,, ) são soluções do sse, pos: e O cojuo solução de u sse ler é o cojuo fordo por ods s soluções desse sse Se o cojuo ordedo de úeros res (,,,, ) ssfer ods s equções do sse, será deodo solução do sse ler Oservção: Se o ero depedee de ods s equções do sse for ulo, so é, ==== o sse ler será do hoogêeo Eeplo: U solução evdee do sse ler hoogêeo é === Es solução ch-se solução rvl do sse ler hoogêeo Our solução, ode s cógs ão são ods uls, será chd solução ão rvl

25 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Solução rvl: ===== Solução ão rvl: qulquer our solução s cógs ão são ods uls () Eercícos Sej o sse S ) Verfque se (, -, ) é solução do sse ) Verfque se (,, ) é solução do sse Sej o sse k k, clcule k pr que o sse sej hoogêeo SISTEMS LINERES EQUIVLENTES Se dos sses leres S e S de es solução, eles são dos sses equvlees Eeplo: Clculr e, de odo que sej equvlees os sses: e IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Cálculo do e : Susudo-se e o segudo sse, ve: ) ( Poro = e = () Eercícos Verfque se os sses S e S são equvlees Deere e de odo que sej equvlees os sses: e EXPRESSÃO MTRICIL DE UM SISTEM DE EQUÇÕES LINERES Dere sus vrds plcções, s res são ulds resolução de u sse de equções leres Sej o sse ler:

26 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Uldo res, podeos represer ese sse d segue for: () () () () r cosuíd pelos coefcees ds cógs; () r colu cosuíd pels cógs; () r colu dos eros depedees Eeplo: Represee o segue sse for rcl: Ele pode ser represedo por eo de res d segue for: Oserve que se efeuros ulplcção reos oer o sse ddo Oservção: Sej o sse Mr cople: é r ford pelos coefcees ds cógs e pelos eros depedees Mr cople: é r ford pelos coefcees ds cógs IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Mr ds cógs: é r colu ford pels cógs do sse Mr dos eros depedees: é r colu ford pelos eros depedees do sse () Eercícos Epresse rclee os sses: ) ) c c c epressão rcl de u sse S é, deere s equções de S Ddos os sses, oeh s res coples ssocds: ) ) Dds s res coples, escrever os sses els ssocdos: ) )

27 Professor Murco Lu Professor Murco Lu SISTEM LINER NORML REGR DE CRMER É u sse ler de equções e cógs e que o deere d r dos coefcees ds cógs é dferee de ero Cosdere os segues sses: ) S, S é u sse orl, pos ) S, S ão é u sse orl, porque o úero de equções é dferee do úero de cógs c) S, S ão é u sse orl pos º equções º cógs Resuo: Ss Ler Norl r coef ds cógs () Eercícos Verfque se os sses o são ors: ) ) Regr de Crer cosse u éodo pr se resolver u sse ler orl Cosdereos o sse de equções leres cógs Cosdereos os segues deeres, cujs res são fords co os coefcees do sse ddo: ) Deeres dos coefcees: ) Deeres ds cógs: é o deere odo de, susudo-se colu dos coefcees pel colu dos eos depedees Deere os vlores de k (k), pr que os sses sej ors: ( k ) k ) k ) ( k ) k k é o deere odo de, susudo-se colu dos coefcees pel colu dos eos depedees IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

28 Professor Murco Lu Professor Murco Lu () Eercícos do sse E ss sucessvee, é Pr oeros su solução, clculos: º) () deere d r ford pelos coefcees ds vráves º) (,,, ) deeres ds res ods prr de, susudo colu dos coefcees pel colu dos eros depedees do sse º) solução do sse ler é dd por:,,, Eeplo: Ecorr solução do sse S={(,)} Resolv os sses segur, uldo regr de crer ) ) c c) d) c c e) f) DISCUSSÃO DE UM SISTEM LINER Sej o sse ler de equções cógs Dscur o sse é ser se ele é possível, possível ou deerdo Uldo Regr de Crer, eos:,,, Sse possível ou copível (qudo de solução): Sse possível deerdo (de u úc solução), Sse possível e deerdo (de fs soluções), Sse possível ou copível (qudo ão de soluções), = e pelo eos u dos IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

29 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Eeplos: Ecorr solução do sse,, Dscussão: : SPD:, --, - S P I: Não ese, pos = SI: =, =- e Deere, de odo que o sse sej possível ou copível Fedo = --= =- = -= =- = += =- Sedo =- qudo = ou sej =-; o sse é possível, pos pr =- ereos: (possível), (possível) e (deerdo) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Dscu e resolv o sse Se =, o sse pode ser: SPI? ou SI?,, Sedo ====, logo o sse é SPI Vos gor descorr su solução gerl Fedo =k e usdo s dus prers equções, vos oer u sse de cógs e, ode k k k k Teos: =, =-, =k+ e k k Pordo solução gerl é {(-, k+,k)} () Eercícos Clssfque e resolv os sses: ) ) c) Dscu os sses: ) ) k

30 Professor Murco Lu Professor Murco Lu Deere k pr que o sse dcdo sej deerdo: k k Clcule os vlores de pr que o sse deerdo sej copível e Eeplos: Verfque se o sse é deerdo () ou deerdo (=) SPD, coo, o sse é deerdo Deere e pr que o sse sej deerdo Dscur e resolver o sse DISCUSSÃO DE UM SISTEM LINER HOMOGÊNEO Coo já vos, u sse ler hoogêeo é fordo por equções cujos eros depedees são odos ulos Todo o sse ler hoogêeo é sepre possível pos de solução (,, ), chd solução rvl Oserve que pr u sse hoogêeo ereos sepre =, =,, = (pos sepre u colu será od ero, logo, pel propredde, o deere é ulo) Poro, pr dscussão de u sse ler hoogêeo é sufcee o esudo dos deeres ds cógs Sse possível deerdo, (o sse de solução rvl e se soluções próprs) Sse possível e deerdo, = (o sse de solução rvl e soluções próprs) Clcule o vlor de pr que o sse eh soee solução rvl Pr que o sse eh soee solução rvl, so é, sej deerdo, é ecessáro que S / Clcule o vlor de pr que o sse eh soluções dferees d rvl Pr er soluções dferees d rvl o sse e que ser possível e deerdo, so é, = IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

31 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Poro {,} () Eercícos Clssfque, quo o úero de soluções, os segues sses hoogêeos ) ) c) Deere pr que o sse eh soluções próprs Clcule o vlor de, pr que o sse d soluções dss de (,, ) Qul deve ser o vlor de k pr que o sse k d soee solução ul? Clssfque e resolv os sses: ) ) c) IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu SISTEMS ESCLONDOS Defção U sse ler se d esclodo (e for de escd) se o úero e coefcees ulos, es do prero coefcee ão ulo, uer de equção equção, de c pr o, é que rese, eveulee, o fl, equções co odos os coefcees ds cógs ulos Eeplos: S S Méodo d elção guss Cosse e susur o sse ddos por ouro que lhe sej equvlee e s sples, chdo sse esclodo Ese éodo é é chdo de éodo de escloeo prcl Eeplos: S S Procedeos pr esclor u sse: Fos coo prer equção u ds que possu o coefcee d prer vrável dferee de ero; Uldo s operções eleeres, ulos odos os coefcees d prer vrável ds des equções; ulos odos os coefcees d segud vrável prr d ercer equção; Repeos o processo co s des vráves, é que o sse se ore esclodo,

32 Professor Murco Lu Professor Murco Lu O sse esclodo é: Eeplos: Resolver o sse º) Mulplcr prer equção por (-) e dcor co segud equção, susudo es: º) Mulplcr prer equção por (-/) e dcor co ercer equção, susudo es: º Mulplcr segud equção por (/) e dcor co ercer equção, susudo es: / -/ ( I) ( II ) ( III) De (III), oeos Susudo e (II), oeos e susudo esses vlores e (I), ereos Pordo solução do sse é S={(,, )} Resolver o sse - L L L - - L L L L ( / ) L / -/ L L L -/ -/ -/ -/ - / -/ -/ -/ Logo Susudo º equção, oeos, e susudo os vlores erores º equção oereos Poro S={(, -, )} IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

33 IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu () Eercícos Escloe e resolv os segues sses: ) ) c) d) e) f) Resolv, rvés do escloeo, os segues sses: ) ) c) d) e) f) () Eercícos copleeres Ddo o sse de equções leres co,, eão, ) se -, o sse é possível e deerdo ) se =- e, o sse é possível e deerdo c) se -, o sse é possível d) se - e =, o sse é possível e deerdo e) se =- e =, o sse é possível e deerdo IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur Professor Murco Lu Sej e úeros res s que o sse d solução Eão o vlor de e o vlor de deve ser, respecvee, ) e ) e c) e d) e e) e Cosdere o segue sse de equções leres: eão, pode-se frr que o sse é ) possível ) possível e deerdo c) possível e qulquer solução (,,, ) é l que os úeros,,, for, es orde, u progressão réc d) possível e qulquer solução (,,, ) é l que os úeros,,, for, es orde, u progressão geoérc e) possível, poré ão de solução ul Ddo o sse os vlores de,, e, es orde, que ssfe o sse, ) for u PG crescee ) for u PG decrescee c) for u P decrescee d) for u P crescee e) são odos gus

34 Professor Murco Lu Professor Murco Lu Cosdere o segue sse de equções leres: ( ) Eão pode-se frr que ) ese eee dos vlores res de pr os qus o sse ão e solução ) ese u úco vlor rel de pr o qul o sse de fs soluções c) o sse ão e solução pr odo d) o sse ão e solução pr =½ e) o sse de solução pr odo ½ Cosdere s frvs referees o sse ode,,, ( k ) k, dcdo se são verdders (V) ou flss (F) ( ) Se k/, o sse é possível e deerdo ( ) Se k=/, o sse é possível ( ) Se k=/, o sse é possível e deerdo sequêc corre é ) V F V ) F V F c) V V F d) V F F e) F F V O vlor d epressão ( ), ode, e são soluções do sse ssle V s frvs verdders e F s flss, co referêc o sse ler, co ( ) de ( ) Se, eão o sse é possível e deerdo ( ) Se, eão o sse é possível sequêc corre é ) V F V ) F V F c) F V V d) V F F e) V V F sse ler ) é possível e deerdo ) é possível e deerdo c) é possível d) e so de sus soluções gul e) e o produo de sus soluções gul é ) ) c) d) e) Cosdere o sse ler ode e são úeros res ssle V s frções verdders e F s flss ( ) Se =-, o sse é possível qulquer que sej ( ) Se, o sse e fs soluções qulquer que sej ( ) Se -, o sse é possível e deerdo qulquer que sej sequêc corre é ) V V F ) V V V c) V F V d) F F V e) F V F IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

35 Professor Murco Lu Professor Murco Lu GBRITOS () ) = - ) = = - () ) é solução ) ão é solução K= - () São equvlee =; = () ) ) ) ) c ) () ) É SLN ) Não é SLN ) k / k e k () ) S, ) S, c),, e) S, f) S,, () ) SPD; S, ) SPI; S k, k ) S ) S k / k S d) S,, c) SI ) SPD se - e SI se = - ) SPD se - e SI se = - k= ou k= - = e = SPI; S k, k, k () ) SPI ) SPI c) SPD = = REFERÊNCIS BIBLIOGRÁFICS BLD, elo loso, COGO, Sdr E Velo Mres e Sses de Equções Leres Cdero Ddáco S Mr: UFSM, CCNE, Depreo de Meác, Currículo Básco do PEIES Uversdde Federl de S Mr Progr de Igresso o Eso Superor V, S Mr, DECISÔ PRÉ-VESTIBULR Meác Polígrfo S Mr [s],, ão pgdo ESCOL ESTDUL DE º GRU CILON ROS Mres, Deeres, Sses de equções Leres e álse Coór Polígrfo S Mr [s],, p FÓTON VESTIBULRES Meác Polígrfo S Mr [s],, ão pgdo GIOVNNI, J R, BONJORNO, J R Meác V, Edor FTD S, São Pulo, IEZZI, G, DOLCE, O, DEGENSZJN, D, PÉRIGO, R Meác Volue Úco, Edor ul, São Pulo, SILV, J D, FERNNDES, V dos S, MBELINI, O D Meác: Novo Eso Médo Volúe Úco Curso Copleo Sse de Eso IPEP, São Pulo, k - ) S k, k, k () ),, k ) S, k k k S ) S,, k e) S,, f) S,, ), k k d) S,, k S ) k k e) S,, k c) S k,k, k c) S d) S, S c) S, f) S () e c d c d c d IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur IF Frrouplh - Cpus legree RS k Psso Novo Foe/F: () - wwwlffrrouplhedur

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