Geometria Analítica e Álgebra Linear

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1 NOTAS DE AULA Geomeri Alíi e Álger Lier Espços Veoriis Professor: Luiz Fero Nues Dr 8/Sem_

2 Geomeri Alíi e Álger Lier ii Íie 5 Espços Veoriis 5 Defiição e Espços Veoriis 5 Suespços Veoriis 5 Suespços Geros 5 Depeêi e Iepeêi Lier 55 Bse e um Espço Veoril 6 56 Eeríios Proposos 57 Referêis Biliográfis 5 Geomeri Alíi e Álger Lier

3 Prof Nues 5 Espços Veoriis 5 Defiição e Espços Veoriis Sej um ojuo V ão vzio sore o qul esão efiis us operções hms e ição e muliplição por eslr que são fehs em V iso é: Aição: u v V u v V Muliplição por eslr: e u V u V O ojuo V om ess us operções é hmo e Espço Veoril Rel (ou Espço Veoril sore ) se forem verifios os seguies ioms ( u v V e ): V) u v u v V) u v v u V) V; v v V) ( v) V; v ( v) V5) u v u v V6) v v v V7) v v V8) v v Eses Aioms são hmos e Aioms e Espço Veoril Algums propriees e um espço veoril: ) O veor ulo é úio ) C veor u V mie pes um simério ( u) V ) Pr quisquer veores u v V ) Qulquer que sej V u em-se u u se u + = v + eão u = v e) Quisquer que sejm os veores u v V eise um e somee um veor V l que: u v f) Qulquer que sej u V em-se u g) Qulquer que sej em-se h) u impli que ou u i) Qulquer que sej V u em-se u u j) Quisquer que sejm u V e Eemplos: em-se u u u ) Verifique que o ojuo V efiis: ; e Geomeri Alíi e Álger Lier om s operções ssim

4 Prof Nues Aição: Muliplição por eslr: (operções usuis e ição e muliplição por eslr pr o Devemos verifir oos os ioms osiero: V) z z z z z e Geomeri Alíi e Álger Lier ) é um espço veoril z z z = z z = z z = z z = z z z z = z V) = = = = = V) V; Tome eão: = = V) ( ) V; ( ) Tome eão: ( ) = + = = V5) = = = = = + = + = V6) = = = = = = V7) = = = = = V8) ) Verifique que o ojuo V efiis: ; e Aição: Muliplição por eslr: = om s operções ssim

5 (operções usuis e ição e muliplição por eslr pr o Geomeri Alíi e Álger Lier Prof Nues ) é um espço veoril ) Geerlize pr o iso é om se os eemplos eriores verifique que o ojuo V ; om s operções ssim efiis: Aição: Muliplição por eslr: (operções usuis e ição e muliplição por eslr pr o ) O espço osiuío o ojuo s mrizes M ição e mrizes e muliplição e mriz por úmero rel 5) O espço m ) é um espço veoril om s operções usuis e P osiuío pelo ojuo os poliômios e oefiiees reis om gru meor ou igul mis o poliômio ulo om s operções usuis e ição e poliômios e muliplição e poliômio por úmero rel p p Oservção: Verifique que: p 6) O espço I P p p P P p P C osiuío pelo ojuo s fuções oíus efiis e I em om s operções e ição e fuções e muliplição e fução por úmero rel efiis omo: f g f g e f f 7) Verifique que o ojuo V ; Aição: Muliplição por eslr: om s operções ssim efiis: é um espço veoril Oservção: ess operções ão são s operções usuis e ição e muliplição por eslr Por es rzão form uilizos os símolos iferees: e pr represeá-ls evio quisquer ofusões om s operções usuis Devemos verifir oos os ioms Pr iso osieremos: z z z e V) z z z = z z = z z = z z = z z = z z z z z V) = = = = = V) V; Tome eão: = = = =

6 Prof Nues V) V ( ) V; ( ) Tome eão: ( ) = = V5) = = = = = V6) = = = = V7) = = = = = = = = V8) 5 Suespços Veoriis 5 Defiição e suespços Veoriis V um espço veoril e Sejm os W V W ( W é um suojuo ão vzio ev ) W é eomio um suespço veoril e V quo: (i) u v W u v W (ii) u W u W Oservções: ) u W u W W = ) Do um espço veoril V eisem pelo meos ois suespços veoriis e V que são V e hmos e suespços riviis e são: { } Eemplos: ) Se W é um re que pss pel origem eão W é um suespço veoril o Geomeri Alíi e Álger Lier

7 Prof Nues 5 Demosrção: Sej equção resi e um re que pss pel origem Nese so W é o ojuo e oos os pres oreos que sisfzem es equção Eão evemos provr que se: (i) u v W u v W e (ii) u W u W Cosiero u e v emos: (i) Se u v W e Somo memro memro oemos: Logo o pr oreo u v mém sisfz à equção ssim oluímos que u v W (ii) u W u e Muliplio os ois memros epressão por oemos: Logo o pr oreo u mém sisfz à equção ssim oluímos que u W ) Se W é um plo que pss pel origem eão W é um suespço veoril o Demosrção: Sej z equção resi e um plo que pss pel origem Nese so W é o ojuo e os s ripls ores z que sisfzem es equção Eão evemos provr que se: (i) u v W u v W e (ii) u W u W Cosiero u z e v z emos: Geomeri Alíi e Álger Lier

8 Geomeri Alíi e Álger Lier Prof Nues 6 (i) Se u v W z e z Somo memro memro oemos: z z Logo ripl ore z z u v mém sisfz à equção z ssim oluímos que u v W (ii) u W u z e z Muliplio os ois memros epressão z por oemos: z z Logo ripl ore z u mém sisfz à equção z ssim oluímos que u W Oservção: Poemos provr mém que qulquer re que pss pel origem é mém um suespço veoril o ) O ojuo W s mrizes rigulres superiores (ou iferiores) é um suespço veoril e M { A [ ] ; } Iso sigifi que: ij (i) som e us mrizes rigulres superiores (ou iferiores) rigulr superior (ou iferior) e que: (ii) o prouo e um mriz rigulr superior (ou iferior) mém um mriz rigulr superior (ou iferior) V ) Sej M { ; } Eão o ojuo { W ; } é um suespço veoril e V Demosrção: ij é mém um mriz por um úmero rel é (i) som e us mrizes quisquer que possum os elemeos e iguis zero será um mriz que mém em os elemeos e ulos e que: (ii) o prouo e um mriz qulquer que possu os elemeos e iguis zero por um úmero rel será um mriz que mém em os elemeos e ulos 5) Do um sisem e equções lieres homogêeo o ipo A oe A é mriz os oefiiees s iógis é o veor s iógis e é o veor os ermos iepeees (oos ulos pois o sisem é homogêeo) eão o ojuo s soluções ese sisem é um suespço veoril e M Iso quer izer que: (i) som e us soluções ese sisem é mém solução o sisem e que:

9 Geomeri Alíi e Álger Lier Prof Nues 7 (ii) o prouo e um solução ese sisem por um úmero rel é mém solução ese sisem Demosrção: (i) Se e são soluções o referio sisem eão emos que A e A Somo eses resulos memro memro oemos A A A Logo o veor é mém solução o sisem (ii) Se é solução o sisem eão A Muliplio os ois los es igule pelo úmero rel oemos: A A Logo o veor é mém solução o sisem 6) N sequêi são preseos lgus suojuos o ou o Verifique quis eles são suespços veoriis (o ou o respeivmee) osiero s operções usuis e ição e muliplição por eslr ) S { / } Respos: Sim ) S { / } ) { / } Respos: Não S Respos: Sim ) S { / } Respos: Não e) S { z / z } f) { z / z } Respos: Sim S Respos: Não g) S { z / z } Respos: Não 7) Sej o suespço veoril o efiio por: S { z / z e } Verifique se os veores que seguem pereem S: ) Respos: Não ) 5 Respos: Sim Respos: Não )

10 Prof Nues 8 ) Respos: Sim 8) Sej o suespço veoril o M om s operções usuis e ição e mrizes e muliplição e mriz por úmero rel efiio por: S { ; } 5 6 ) o veor? S Respos: Sim k ) Qul o vlor e k pr que S? 5 Ierseção e Suespços Veoriis Respos: k Se W e W são suespços veoriis e V eão W W é mém um suespço veoril e V Demosrção: (i) u v W W u v W e u v W u v W e u v W u vw W (ii) u W W u W e u W u W e u W u W W As figurs que seguem presem ois sos pr ilusrr que ierseção e ois suespços veoriis e V é mém um suespço veoril e V: ) Se W e W são res que pssm pel origem (e poro são suespços veoriis o ) eão W W { } iso é ierseção e W e W é um ojuo uiário osiuío ) que já semos que é um os suespços pel origem o sisem resio ( riviis o ) Se W e W são plos que pssm pel origem (e poro são suespços veoriis o ) eão W W é um re que mém pss pel origem (o so figur é o eio s os iso é o eio z) que mém é um suespço veoril o Geomeri Alíi e Álger Lier

11 Prof Nues 9 Oservção: Eore lgus or-eemplos pr provr que se W e W são suespços veoriis e V eão W W ão é eessrimee um suespço veoril e V (iso é uião e ois suespços veoriis em sempre é um suespço veoril) 5 Som e suespços Veoriis Sejm W e W ois suespços veoriis e V Defiimos som eses ois suespços omo: W W { v V : v om W e W} Poemos provr que o ojuo W W ssim efiio é um suespço veoril e V Demosrção: Pr iso evemos provr que W W é feho em relção à som e veores e à muliplição e veor por úmero rel iso é evemos mosrr que: (i) u v W W u v W W (ii) v W W v W W Provemos primeirmee o iem (i): ' ' '' '' ' '' ' '' v W W u e v om W e ' ' '' '' ' '' ' '' u v u v u W W W W W Agor provemos o iem (ii): v W W v om W e W v W W e W W Oservções: ) W W e W W W ; W Bs lemrrmos que W W v V : v om W e } Se omrmos Se omrmos { W v logo W W W v logo W W W Geomeri Alíi e Álger Lier

12 Prof Nues ) W W é eomio som e W om W (ão é uião); ) Poe oorrer que W W { } iso é ierseção e W om W poe resulr em um ojuo uiário osiuío pes pelo veor ulo Nese so eoremos som por W e hmremos e som ire W 5 Comições Lieres v v v V Sejm os veores e os eslres Qulquer veor v V form v v v é um omição lier os veores v v v om oefiiees Eemplos: ) Cosiere os veores o : u e ) Esrev o veor 87 u v v omo omição lier e u e v ) Mosrr que o veor 6 e u v ão poe ser esrio omo omição lier e u e v Bs mosrr que o sisem é impossível 6 ) Deermie o vlor e k pr que o veor k 7 lier e u e v q poss ser esrio omo omição k Bs mosrr que pr que ese sisem sej SPD é eessário que k 7 ) Deermie relção que eve eisir ere z e moo que o veor z esrio omo omição lier e u e v Geomeri Alíi e Álger Lier poss ser Bs mosrr que pr que ese sisem sej SPD é eessário que z z

13 ) Mosre que o veor lieres e u v e u v Prof Nues poe ser esrio e ifiis meirs omo omições Bs mosrr pr que ese sisem é SPI 5 Suespços Geros Sej V um espço veoril e v v v Eão o ojuo: S v v v ; } V é eomio ojuo gero por { v v v Represeção: S v v v ] [ Oservções: ) v v v [ v v v ] pois: vi v v v om i e j se j i ) v v v ] s fzer i [ Proposição: O ojuo gero por v veoril e V Eão evemos provr que se: (i) u vs u vs e (ii) us us Demosrção: i V v v iso é S [ v v v ] é um suespço (i) u vs u v v v e v v v v Somo ess us úlims epressões memro memro oemos u v v v v u v (ii) u S u S S u v v v = v v v Eemplos: ) V e v eão o suespço gero por v é um re que pss pel origem o sisem resio e em v omo veor ireor iso é S [ v] { v ; } ) V e v v is que v v eão o suespço gero por v v é um plo que pss pel origem o sisem resio e em v v omo veores ireores iso é S v v ] { v v ; } [ Geomeri Alíi e Álger Lier

14 Geomeri Alíi e Álger Lier Prof Nues ) v e v eore o suespço veoril gero por v e v iso é he v ] V [ v [ { ; } = S v v ] { v v ; } = ; } = ) V v v e v v v e [ v v v v iso é he ] { S v v v ] { v v v ; } = [ eore o suespço veoril gero por ; } = ; } { = { 5) v e v eore o suespço veoril gero por v e v iso é he v ] V [ v S [ v v ] { v v ; } = { ; } = ; iso é é o plo que oém os eios e ( O) } { 6) v e v eore o suespço veoril gero por v e v iso é he v ] V [ v S [ v v ] { v v ; } = { ; } = ; iso é: } { [ v v ] { z / z ; S } Des form pr que um ripl ore z poss pereer ese suespço gero é eessário que: e iso oorrerá se: z 5z 5 z 5 z 5 5z 5 5z (que é um plo que pss pel origem) 7) Ahe um ojuo e gerores o seguie suespço: z / z } U { Logo evemos er

15 Fzeo z z eão: U { z / z } = { z / z } = { z z z } = { z / z } Assim U [ ] 8) Cosieremos o espço veoril U [ ] e [ ] V os seguies suespços veoriis: Geomeri Alíi e Álger Lier Prof Nues V Deermir um ojuo e gerores e U V U V U e V eão is que: logo: Assim os veores U V são o ipo ou Des form emos que U V = [ ] 9) São Suespços veoriis e C I os seguies suojuos: U { f CI / f f I } V { f CI / f f I } Mosre que CI U V iso é que I Primeiro mosrremos que CI U V : é o ojuo s fuções pres é o ojuo s fuções ímpres C é som ire e U om V To fução rel f efii em I poe ser eompos omo: f g h I oe f f e h g g f C I U V f g f f e h Agor mosrremos que CI U V Se f U V memro oemos: f f : f Como emos que: f h eão f f e f f CI U V ) Verifique que o espço veoril M eão g U e h V Poro I Logo somo memro iso é som é ire om s operções usuis e ição e mrizes e muliplição e mriz por úmero rel é gero pelo seguie ojuo e veores: { }

16 ) Quos veores o míimo são eessários pr gerr o espço veoril Respos: veores 5 Depeêi e Iepeêi Lier Sej V um espço veoril e v v v Geomeri Alíi e Álger Lier V Prof Nues? Diz-se que o ojuo v v v } é liermee iepeee (LI) quo: { v v v (Iso sigifi que o omição lier ul implirá que os oefiiees e l omição lier everão ser oos iguis zero) Cso orário iso é se v v v e pr lgum j izemos j que v v v } é um ojuo liermee epeee (LD) { Eemplos: ) Sej V e o ojuo formo pelos veores v e Eão ese ojuo v } é LI ou LD? { v v seo e v v Respos: É LD pois poemos osruir omições lieres uls sem que os oefiiees sejm oos ulos eemplo: v v iso é: ) Sej V e o ojuo formo pelos veores v e ojuo v } é LI ou LD? { v v seo v e v Ese Respos: É LI pois o omição lier ul eses veores impli que os oefiiees everão ser iguis zero: v v V e o ojuo formo pelos veores v e v { v v ) Sej v v e v seo v Eão ese ojuo v } é LI ou LD? Respos: É LD pois um omição lier ul ão implirá eessrimee que os oefiiees sejm ulos v v v Logo o sisem é SPI eo ifiis soluções Logo o referio ojuo é relmee LD V e o ojuo formo pelos veores v e v 55 { v v ) Sej v v e v seo v Eão ese ojuo v } é LI ou LD? Respos: É LD pois um omição lier ul ão implirá eessrimee que os oefiiees sejm ulos Pr ofirmr iso s fzer:

17 Prof Nues 5 5 v v v 55 5 Esloo poemos mosrr que ese sisem é SPI Logo o referio ojuo é relmee LD Poerímos hegr à mesm olusão oservo que v v v 55 iso é poemos osruir omições lieres uls sem que os oefiiees sejm oos ulos 5) Sej V e o ojuo formo pelos veores v v e v seo v v e v Eão ese ojuo v v } é LI ou LD? { v Respos: É LI pois o omição lier ul eses veores impli que os oefiiees everão ser iguis zero: v v v 6) Mosre que o ojuo { se os } e veores e C é LD Bs lemrr relção se os se os iso é emos um omição lier ul sem que os oefiiees sejm oos ulos 7) Mosre que o ojuo { } e e e veores e C é LI Vmos prir e um omição lier ul eses veores: e e erivo uo em relção oemos: e e iviio os ois memros igule por e oemos: e erivo ovmee uo em relção eormos: e iviio ovmee os ois memros igule por e oluímos que: logo e Ou sej o omição lier ul eses veores implirá que os oefiiees mém everão ser ulos Assim o referio ojuo é LI 8) Deermir os vlores e m e pr que os seguies ojuos e veores o LI ) { 5 m } ) { 5 } ) { 6 m m } m respos: m m respos: m 5 respos: m ou Resolução e : 5m m v v v sejm Geomeri Alíi e Álger Lier

18 Prof Nues 6 5m m 5m m m m 8 5 m 7m m Proposição: 5 m Pr que o sisem sej SPD evemos er: { v v v } é (LD) um os veores poe ser esrio omo omição lier os ouros Demosrção: { v v v } é (LD) v v v om j pr lgum j poemos isolr o veor v ( o veor que em oefiiee ) oeo v j omição lier os ouros j v v v j um os veores poe ser esrio omo j j 55 Bse e um Espço Veoril Sej V um espço veoril e v v v V v v v } é um se e V se e somee se: { (i) v v v ] =V [ (ii) v v v } é (LI) { Eemplos: ) Verifique que o ojuo } V { v v oe e v v é um se o espço veoril (Es se é hm e se ôi o Bs provr que ese ojuo ger o (i) ] [ =V (ii) } { é (LI) ) Verifique que o ojuo } veoril V { v ) e é um ojuo LI iso é: v oe e v v ão é um se o espço Bs provr que ese ojuo ão ger o ) Sej o espço veoril V e o ojuo e e e } oe: { e e e Geomeri Alíi e Álger Lier ou que o mesmo ão é LI Eão e e e } é um se o hmo e se ôi o { j

19 Prof Nues 7 Proposição: Sej v v v } um ojuo e veores ão ulos e um espço veoril { V Se [ v v v ] V eão poemos erir um se pr V ese ojuo Proposição: Sej V um espço veoril l que v v v } ger V Sejm i m veores quisquer e V: { m om m > Eão { m } Geomeri Alíi e Álger Lier é (LD) Iso sigifi que se veores germ um espço veoril V qulquer ojuo om mis o que veores é eessrimee LD Proposição: Qulquer se e um espço veoril em sempre o mesmo úmero e veores Demosrção: Vmos supor que um espço veoril V em us ses om iferees úmeros e veores iso é: { v v v } e { m } om m são ses e V Nese so poemos oluir que: (i) Como (ii) Como ] m V e v v } [ [ { v é (LI) emos que m v v v] V e { m } é (LI) emos que m Se emos Oservções: m e m eão só poe oorrer m = ) Ese úmero e veores que é ose pr os s ses e um espço veoril é eomio imesão o espço Poemos represer imesão e V por Dim V ) Nese meril rremos pes e espços veoriis e imesões fiis Proposição: D um se { v v v } e V eão veor v V é esrio e meir úi omo omição lier os veores e Demosrção: Sej v V um veor geério e V eão poemos esrever v v v v Supohmos por reução o suro que v v v v om j j pr lgum j Surio s us omições lieres memro memro oemos: v v v Fzeo: oemos: v v v om pr lgum j Iso os lev oluir que v v v } é (LD) o que é um suro j { pois { v v v } é um se e V Des form ão é possível e se esrever v omo us omições lieres iferees om veores mesm se Defiição: Sej V um espço veoril e v v v } um se ore e V Do { v V seo v v v v esrevemos: [ v] e izemos que [v] represe s oores e v se ore

20 Prof Nues 8 Geomeri Alíi e Álger Lier 55 Muç e Bse Sej V um espço veoril e: } { u u u e } { ' us ses ores e V Sej i V v um veor geério e V Supoo que v ] [ e v ' ] [ iso é: u u u v e v he relção ere ] [v e ' ] [ v Poemos esrever os veores se ore omo omições lieres os veores se ore ' : u u u Susiuio ess omições lieres em u u u v oemos: v Aplio propriee isriuiv e isolo os veores se ' oemos: v logo Logo ] [ ] [ ' ' v I v Oe mriz ' I é hm e mriz e muç se pr se '

21 Prof Nues 9 Eemplos: ) Dos (i) I ' (ii) (iii) [v] [ v ] ' (i) I? ' V e s ses { } I ' (ii) [ v ]? v?? v v v v v v v v v v v / v v Des form emos que (iii) [ v ] '? I [ v] ' ' [ v] [ v] ' e ' { } [v] v v / v v v / v v v / v v / ) Com s mesms ses e ' Geomeri Alíi e Álger Lier eermie: v v v v v / v v / / v v / I o eeríio erior eermie ' / /

22 Prof Nues Logo I ' / / Deermie mém [ v ] '? v / / / / v e [v] : [ ] ' v v [ v ]? I ' [ v] [ v] '?? / / / / v [ v] ' v v v / / v v v v Oservção: Nos ois eeríios eriores oservmos que: ' I I ' ' I I ' / / / / / / / / Eão poemos oluir que I ' ' I Ouros eeríios evolveo ses e um espço veoril: ) No espço veoril osieremos s ses { e e e } e ' { g g g } is que: g g g e e e Resposs: e e e e e ' I e I I eermie I ' e I ' ' ' M (om s operções usuis e ição e mrizes e muliplição e mriz por úmero rel) osiuío s mrizes siméris Deermie um se pr ese suespço ) Cosieremos o suespço veoril o espço Geomeri Alíi e Álger Lier

23 Prof Nues Geomeri Alíi e Álger Lier As mrizes siméris são form: f e e Poemos esrever ess mrizes omo: f e e = + + f e Logo o ojuo: { } ger o referio suespço Agor s provr que ese ojuo é LI ) Deermir s oores mriz e M em relção à se: } { 5 ) Deermir s oores o poliômio P em relção: ) à se ôi ese espço que é } { ) à se: } { ) e )

24 Prof Nues Geomeri Alíi e Álger Lier 5) Cosieremos o suespço veoril o espço M (om s operções usuis e ição e mrizes e muliplição e mriz por úmero rel) osiuío s mrizes } : { z z U ) Mosre que os seguies ojuos são ses e U: } { B } { C ) Ahr B C I e C B I ) Pr mosrr que B e C germ U oserve que: Fzeo z z z z z Fzeo z z Agor é só provr que B e C são LI ) Pr hr B C I vmos esrever os veores e B omo omições lieres os veores e C: f e i h g Resolveo os sisems e equções geros oemos: B C I Filmee emos que C B I = B C I =

25 Prof Nues 56 Eeríios Proposos ) Cosiere o ojuo V e oos os pres oreos e úmeros reis (ou sej om s operções ssim efiis: Aição: Muliplição por eslr (ão usul): Geomeri Alíi e Álger Lier V ) Verifique que o ojuo V om ess operções ão é um espço veoril Que ioms ão são verifios? Respos: O iom V6 ão é verifio ) Cosiere o ojuo V e oos os pres oreos e úmeros reis (ou sej om s operções ssim efiis: Aição (ão usul): Muliplição por eslr: V ) Verifique que o ojuo V om ess operções ão é um espço veoril Que ioms ão são verifios? Respos: Os ioms V e V6 ão são verifios ) Mosre que os seguies suojuos e são suespços veoriis: ) W = { ( z ) ; + = z - = } ) U = { ( z ) ; + - = z = } ) Sejm W = { ( z ) ; z } e W = { ( z ) ; z } suespços e Ei um se pr W W Respos: Bse = 5) Cosiere o seguie suespço e : S = [ ( ) ( ) ( 8) ] ) O veor (/ ) peree S? Respos: v S ) O veor ( ) peree S? Respos: v S ) Eseleç s oições pr que um veor ( z ) pereç S Respos: z 6) Sej W o suespço e M() gero por O veor peree W? Respos: Não 5 e 7) Quis s oores e = ( ) em relção à = {( ) ( ) ( )}? Respos: / / / 8) Cosiere o suespço e gero pelos veores u = ( ) v = ( ) e

26 = ( ) [ u v ] =? Iso é os rês veores u v germ o espço? Respos: Sim Geomeri Alíi e Álger Lier Prof Nues 9) Cosiere o suespço e gero pelos veores v = ( ) v = ( ) v = ( ) e v = ( ) ) O veor ( ) [v v v v ] jusifique Respos: Sim oição é = z ) Ei um se pr [v v v v ] Qul imesão? Respos: Dim é ) [v v v v ] =? Iso é os veores v v v v germ? Por quê? Respos: Não pois qulquer se o em veores e ese so Dim é ) Sejm A={( ) ( )} B= {( ) ( )} C={( ) ( )} e D={( ) ( )} ses ores e ) Ahe s seguies mrizes e muç e se: i) I B A ii) I A B iii) I A C iv) I A D B A Resposs: (i) I ; (ii) I ; (iii) (iv) I A D / A / B / / / / A I 6 C ; 6 ) Quis s oores o veor v = ( ) em relção um s ses? Resposs: (i) v ; (ii) v ; (iii) v ; (iv) v A B 5 / / C ) As oores e um veor u em relção à se B são s por [u] B = Quis s oores o veor u em relção às ours ses A C e D? Respos: (i) v A (6 ) / ( 6 ) / ; (ii) v ; (iii) v C D D / ) Ahe us ses isis e pr o espço veoril s mrizes rigulres superiores Qul imesão ese espço veoril? Eore s mrizes e muç e se: I e I Resposs:

27 Prof Nues 5 Geomeri Alíi e Álger Lier e ; Dim = I e I 57 Referêis Biliográfis BOLDRINI José Luiz e l Álger Lier Eição São Pulo: Hrper & Ro o Brsil 98 CALLIOLI Crlos A e l Álger Lier e Aplições 6 Eição São Pulo: Aul 99 LIPSCHULTZ S Álger Lier São Pulo: MGr-Hill o Brsil 98 STEINBRUCH A e WINTERLE P Iroução à Álger Lier São Pulo: MGr-Hill o Brsil 99