O T E O R E M A F U N D A M E N TA L D O C Á L C U L O. Prof. Benito Frazão Pires

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1 4 O T E O R E M A F U N D A M E N TA L D O C Á L C U L O Prof. Benio Frzão Pires Conforme foi viso n Aul, se f : [, b] R for conínu, enão inegrl b f() eisirá e será igul à áre líqui (conbilizno o sinl) elimi pelo gráfico e f e pelo eio. O mesmo vle se rocrmos b por qulquer um número rbirário [, b], nesse cso inegrl gráfico e f, pelo eio e pels res = e =. f() será igul à áre líqui elimi pelo y = f() y = f() b b () () Figur : As inegris b f() e f() Sej F : [, b] R função que ssoci c [, b], o número F() = f(). O Teorem Funmenl o Cálculo firm que função F é um nieriv e f, isoé, ele iz que F é conínu em [, b], iferenciável em (, b) e F () = f() pr oo (, b). Eemplo 4.. Sej f : [, 4] R função f() =. Fç um gráfico função F() = f() pr 4. Resolução. A função f poe ser escri seguine form se f() =. se 4

2 A inegrl F() = F() = f() = f() = f() será por: ( ) = ( ) + = se ( ) = ( ) se 4. Assim, função F é efini por se F() =. + 4 se 4 f() Inegrção 4 F() 4 4 Figur O que o eemplo 4.. mosr é que o processo e inegrção reorn um função melhor o que função originl. Mis precismene, o processo e inegrção rnsformou um função conínu não-erivável num função erivável. O Teorem Funmenl o Cálculo firm que o compormeno observo no Eemplo 4.. é regr, iso é, o processo e inegrção rnsform o função conínu num função erivável. Teorem 4.. (Teorem Funmenl o Cálculo) Sej f : [, b] R um função conínu. A função F : [, b] R efini por F() = [, b], erivável em (, b) e F () = f() pr oo (, b). f(s) s é um função conínu em Prov. Ver pênice. O Teorem Funmenl o Cálculo firm que o função conínu f : [, b] R mie um nieriv. De mneir equivlene, l eorem iz que o função conínu é um e vrição.

3 Embor o Teorem Funmenl o Cálculo ssegure eisênci e um nieriv F e o função conínu f : [, b] R, nem sempre é possível escrever um fórmul eplícic e F envolveno funções elemenres (polinômios, log, funções rigonomérics, ec... ). Ese é emene o cso função f(s) = e s. O Teorem Funmenl o Cálculo mbém poe ser enuncio seguine mneir. Teorem 4..3 Sej f : [, b] R um função conínu, enão f(s) s = f() pr oo (, b). Enuncio es mneir, o Teorem Funmenl o Cálculo iz que operção e erivção é um operção invers à operção e inegrção, iso é, erivção cncel inegrção. Eemplo 4..4 Clcule s s e ois moos iferenes: = () Usno o Teorem Funmenl o Cálculo (b) Inegrno e epois clculno eriv Resolução. Pelo Teorem Funmenl o Cálculo, emos que s s = f() =, o que resolve o iem (). Pr seguir o procei- = meno sugerio no iem (b), observe que F() = s s é áre e um riângulo reângulo com bse e lur. Porno, F() =. Seno ssim, s s = F() = F () =. = = O proceimeno (b) uilizo no Eemplo 4..4 nem sempre poe ser implemeno conforme mosr o seguine eemplo. Eemplo 4..5 Clcule s seguines erivs: u () e s s; u u= π (b) e s s. = π 3

4 Resolução. () Pelo Teorem Funmenl o Cálculo, função F(u) = u π e s s é erivável. Enreno, não é possível eibir F em ermos e funções elemenres (polinômios, funções rigonomérics, logrimos, ec... ). Mesmo ssim, poemos enconrr su eriv eplicimene plicno o Teorem Fzeno isso, obemos: (b) Observe que F (u) = u u u= e pelo iem (), emos que e s s = e s = π π s=u= e. π π e s s = F( ). Porno, pel Regr Cei o Cálculo I e s s = F ( ) = π = F () = e. = π 4. pênice Prov o Teorem Funmenl o Cálculo. D f : [, b] R conínu, sej F : [, b] R função efini por F() = que pr oo (, b) e + h (, b), f(s) s pr oo [, b]. Afirmmos F( + h) F() = A equção () segue os seguines fos: +h f(s) s. () F( + h) F() = +h f() f() = f() f() = +h = f() = +h +h f(). Diviino () por h e clculno o limie, obemos: F F( + h) F() () = lim = lim h h h F () = lim h +h f(s) s = lim h h +h f(s) s ( + h). () Do Teorem o Vlor Méio (Teorem 3.3.) segue que eise c [, + h] l que +h f(s) s = f(c). O vlor c epene e h e ene conforme h ene. D ( + h) coninuie e f e equção () segue que +h f(s) s ( + h) lim h f(c) = f(). 4

5 Em priculr, F é conínu em (, b). Afirmmos que f é conínu em [, b]. De fo, segue coninuie e f que eisem consnes m R e M R is que pr oo [, b], m f() M. Inegrno no inervlo [, + h] e usno () resul em mh F( + h) F() = +h f() Mh. Assim, F( + h) F() quno h. Iso mosr que F é conínu em. Anlogmene, provmos que F é conínu em b. Aulizo em 5 e Agoso e 5. 5