CAPÍTULO 4 BASE E DIMENSÃO

Transcrição

1 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru CAPÍTULO BASE E DIMENSÃO Inrodução Em muis plicções não é ineressne rblhr com um espço veoril ineiro ms com um pre dese espço ou sej um subespço que sej consiuído pels combinções lineres de um ddo conjuno de veores. Será enão conveniene escrever os elemenos desse subespço como combinções lineres de um conjuno que conenh o menor número possível de veores e que eses sejm escrios de form simplificd. Ese cpíulo rrá desse ssuno. Bse Definição: Um bse de um espço veoril V sobre um corpo K é um subconjuno finio B V sisfendo s condições: ) B ger V ou sej o subespço gerdo por B é igul V. b) B é LI. Eemplos: ) Verificr se o conjuno B {( ) ( )( ) é um bse do espço veoril rel É preciso mosrr que são sisfeis s dus condições d definição. () Sej ( ) v um veor genérico do R. R. Mosrr-se-á que esse veor se escreve como combinção liner dos veores de B. Pr isso escreve-se combinção liner: v ( ) ( ) b( ) c( ) e mosr-se que é possível enconrr os esclres b e c que ornm equção verddeir. Tem-se: ( ) ( ) ( b b) ( c c c) ( c b c b c) D iguldde de veores vem: c b c ; b c Resolve-se esse sisem com o objeivo de se deerminr os esclres b e c obendo-se:.

2 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru 5 7 b. 5 c 5 Observ-se ssim que o sisem em solução iso é pr cd veor ( ) um vlor pr b e c ou sej odo veor do veores do B. Logo B ger o R. do R em-se R pode ser escrio como combinção liner dos (b) Mosrr-se-á que os veores de B são LI. Pr isso escreve-se equção: ( ) b( ) c( ) ( ) de onde vem que: ( c b c b c) ( ). Porno: c b c. b c A resolução desse sisem por qulquer méodo lev à solução rivil: b c mosrndo que os veores são LI. De () e (b) conclui-se que o conjuno B é um bse do Observe-se que esses veores não são coplnres (iso é não perencem um mesmo plno) pois resolvendo-se o deerminne de ª ordem cujs linhs são consiuíds pels coordends dos rês veores em-se: ( ) ( ) 5. Sendo o deerminne diferene de ero conclui-se por resuldo d Geomeri Anlíic que os veores não são coplnres. Verificou-se ssim que os veores de B são LI e não são coplnres. R. Esse resuldo pode ser generlido: rês veores não coplnres do ) Verificr se o conjuno B { R são LI. é um bse do espço veoril rel ( R) s operções usuis de dição de polinômios e muliplicção por esclr. P com Verificr-se-á nese eemplo que embor os veores (que qui são polinômios de gru menor ou igul com coeficienes reis) sejm LI eles não germ o espço ( R) De fo escrevendo-se equção: ( ) b ( ) vem: ( b ) ( b ). P.

3 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru D iguldde de polinômios obém-se o sisem: b b que dmie pens solução rivil b Logo o conjuno B é LI. Pr verificr se o conjuno B ger o espço ( R) P é preciso verificr se odo elemeno desse espço é combinção liner dos elemenos de B. Tom-se ssim um elemeno genérico de ( R) P e escreve-se equção: ( ) ( ) β α ; O objeivo é verificr se é possível enconrr os esclres α e β que ornem ess equção verddeir. Tem-se: ( α β) ( α β) α de onde segue-se que: ( α β) ( α β) α e porno α α β. α β D ª equção segue-se que α. Subsiuindo-se esse vlor n ª equção obém-se: β. Esses vlores de α e β subsiuídos n ª equção levm o resuldo:. Isso mosr que os elemenos de B germ pens os polinômios de ( R) relção iso é o subespço veoril gerdo por B é: { / [ ] P ( R) B que esá conido em P ( R) ou sej B ger pens um pre de ( R) Por eemplo o polinômio 5 [ B] P. P que sisfem pois 5 iso é esá sisfei pr os coeficienes desse polinômio relção. Logo esse polinômio pode ser escrio como combinção liner dos polinômios de B: 9 ( ) ( ) 5. Por ouro ldo o polinômio 5 7 é um elemeno de P ( R) ms não perence [ ] B pois seus coeficienes não sisfem relção. Pode-se ver que esse polinômio não é um combinção liner dos elemenos de B pois escrevendo-se equção ( ) ( ) 5 7 β α

4 obém-se: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru ( α β) ( α β) 5 7 d qul se segue: α 5 α β. 7 α β α D ª equção em-se que α ; subsiuindo-se esse vlor n ª equção obém-se 9 β ; enreno subsiuindo-se n ª equção obém-se 5 β ou sej o sisem é incompível mosrndo que não é possível enconrr esclres α e β que ornem verddeir equção ( ) ( ) 5 7 β α. Se nem odos os elemenos de ( R) P podem ser escrios como combinção liner dos elemenos de B conclui-se que esse conjuno não é um bse desse espço veoril. Observções: ) Conforme se viu no Cpíulo o veor nulo é LD. Assim considerndo-se o espço veoril nulo iso é o espço veoril que coném pens o veor nulo ese não possui bse. ) Todos os demis espços veoriis possuem infinis bses. De ods ess infinis bses um dels é considerd mis simples e chmd de bse cnônic. As bses cnônics dos principis espços veoriis são: R :{ R :{( )( ) R :{( ) ( )( ) M nveorescomncoordends n R : ( L ) ( L ) L ( L ) : M ( R) n Pn( R ):{ L Processo práico pr ober um bse de um subespço do n R S u u Lu r R prir A bse será enconrd prir do conjuno de gerdores [ ] n ds seguines proprieddes:

5 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru () permundo-se dois dos veores do conjuno não se ler o espço gerdo; () muliplicndo-se um dos veores do conjuno por um esclr não nulo α não se ler o subespço gerdo iso é: [ u u Lu Lu ] [ u u L αu L u ] i r i r ; () somndo-se um dos veores do conjuno com um ouro veor do conjuno muliplicdo por um esclr não nulo α não se ler o subespço gerdo iso é: [ u u Lu Lu ] [ u u Lu u αu L u ] i r i j i r ( i r) ; ( j r) ; () se u u Lur se presen n form esclond ou sej se o número de eros iniciis de u é mior do que o de u se ssim sucessivmene enão os veores LI. L u u ur são Dess form o processo consise em dispor os veores de um sisem de gerdores do espço veoril como linhs de um mri e escloná-l. As linhs não nuls d mri resulne do esclonmeno serão veores LI os quis formrão bse procurd. Eemplo: Sej W um subespço do [( )( )( )( 6) ]. Deerminr um bse pr W. R que possui o seguine sisem de gerdores: Consrói-se um mri com os veores do conjuno de gerdores considerdos em um ordem qulquer. Aqui colocou-se o veor ( ) esclonmeno d mri que se frá seguir:. 6 Esclonndo-se mri por linhs vem: L L L L 6 n primeir linh pr fcilir o L L Reirndo-se s linhs nuls resm os veores ( ) e ( ). Logo de cordo com o processo cim esses veores formm um bse pr W iso é o conjuno {( )( ) W é um bse de W. De fo os veores são LI pois d equção ( ) b( ) ( ) vem: ( ) ( b b b) ( )

6 ou sej ( b b b) ( ) INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru de onde se segue que b e porno os veores são LI. Por ouro ldo considerndo-se um veor genérico ( w) ( w) ( ) β( ) vem: α ( w) ( α α α) ( β β β) iso é ( w) ( α β α β α β). Enão: α β. α β w α β de W R e escrevendo-se: Porno um veor genérico de W em sus coordends escris em função de α e β. Aribuindo-se leorimene vlores os esclres α e β obém-se veores de W. Por eemplo se α e β obém-se o veor ( ) que é um combinção liner dos veores d bse: ( ) ( ) ( ). Se α e β obém-se o veor nulo ( ) ; se α e β obém-se o veor 5 e ssim por dine. Logo os veores ( ) e ( ) porno o conjuno {( )( ) W é um bse de W. germ W e Definição: Sej V um espço veoril sobre um corpo K. Um conjuno de veores { v v L v V n é dio LI-miml se: ) { v v L v n é LI b) { v v Lv w n é LD w V Proposição: Um conjuno de veores { v v L v n é bse de um espço veoril V se for LImiml. Demonsrção: Hipóese: o conjuno { v v L Tese: o conjuno { v v L v n é LI-miml v n é bse de V Se por hipóese o conjuno de veores o conjuno { v v L definição o conjuno é LI. Pr mosrr que o conjuno { v v L v n é LI-miml enão por v n é bse de V res

7 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru mosrr que o conjuno ger V. De fo omndo-se um veor genérico u V em-se que o conjuno { v v Lvnu é LD pois { v v L v n é LI-miml. Porno um dos veores é um combinção liner dos demis veores do conjuno. Or o único veor que pode ser escrio como combinção liner dos demis é u já que v v Lvn são LI. Conclui-se ssim que { v v Lv n ger V e porno é um bse de V. Dimensão Definição: Sej V um espço veoril finimene gerdo. Denomin-se dimensão do espço V o número de veores de qulquer um de sus bses. Noção: dim ( V) Observções: ) Se o número de veores de um bse de um espço veoril é finio di-se que o espço é de dimensão fini. Nese eo não serão esuddos os espços de dimensão infini. ) As dimensões dos principis espços veoriis são: dim ({ ) (qui { dim ( R) dim ( R ) dim ( R ) M dim( R ) n n dim( M ( R) ) m n m n dim( M n ( R )) n n n ( P ( R) ) n dim n represen o espço que coném pens o veor nulo) Eemplos: ) Sej ( ) { R / W. Deerminr dimensão de W. Pr deerminr dimensão de W é necessário deerminr um de sus bses. Os elemenos ( ) de W são is que iso é. Logo odo veor de W pode ser escrio n form: ( ) sendo e números reis. Deermin-se gor um sisem de gerdores pr W; pr isso observe-se que se pode escrever: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Assim o conjuno S {( ) ( )( ) é um sisem de gerdores pr W. Pr

8 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru deerminr um bse pr W uili-se o processo práico pr obenção de bse. Assim consrói-se um mri com os veores do conjuno de gerdores: ou equivlenemene A ordem em que os veores são colocdos ns linhs d mri não inerfere obvimene no resuldo. Esclonndo-se mri por linhs vem: L L. Observe-se que mri esá esclond e não presen nenhum linh nul. Logo os veores são LI e consiuem um bse de W ou sej S é bse de W. Porno ( W). dim. Observção: Um erro muio comum que se comee é confundir qunidde de coordends de um veor com qunidde de veores de um bse. No eemplo nerior bse de W é consiuíd de veores qudri-dimensionis iso é com coordends ms dim ( W) é o número de veores LI que consiuem bse. ) Deerminr dimensão de U [ 6 ] Observe-se que U é um subconjuno de ( R). que P que é o conjuno dos polinômios de gru menor ou igul com coeficienes reis; U é gerdo pelos polinômios e 6 que são chmdos simplesmene de veores. Esses veores podem ser escrios n form: ; ; ; 6. Assim os coeficienes dos polinômios podem ser ssocidos respecivmene os veores: ( ) ( ) ( ) e ( 6 ). Pr deerminr um bse de U consrói-se um mri com os coeficienes dos polinômios que o germ ou sej com os veores ssocidos os polinômios: 6. A seguir esclon-se mri por linh:

9 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru 6 L L L L L L L L. Observ-se ssim que resrm pens dus linhs não nuls n mri esclond e porno há pens dois veores LI no conjuno de gerdores os quis consiuem um bse pr U: ( ) ( ). Logo os polinômios ssocidos eles e são os elemenos d bse de U iso é { B é bse de U e porno ( ) U dim. ) Deerminr um bse e dimensão pr o espço ds soluções do sisem liner ( ) : L Sendo o sisem homogêneo ele dmie pelo menos solução rivil iso é em-se solução ( ). Pr deerminr se ess é únic solução ou se há mis de um solução (nese cso serão infinis) resolve-se o sisem. Uilir-se-á pr l finlidde o méodo de Guss ou sej o méodo do esclonmeno rblhndo pens com mri dos coeficienes; sendo o sisem homogêneo não é necessário crescenr colun dos ermos independenes. Tem-se: L L. Observe-se que mri já esá esclond e ssim o sisem obido equivlene o sisem ddo é: ( ) : L. D ª equção segue-se que ; subsiuindo n ª equção obém-se: 5. Subsiuindo-se esses vlores de e n ª equção vem: 5. Assim s soluções do sisem podem ser colocds n form: ( ) R / S 5 ou equivlenemene ( ) { R / S 5.

10 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru Observe-se que o conjuno S ds soluções do sisem ( L ) é um subconjuno do espço veoril rel R que pode ser escrio ind n form: {( ) R S 5 ; Assim um elemeno genérico de S é d form ( 5 ) ( 5 ) ( 5 ) ou sej: o que indic que S é gerdo pelo veor ( 5 ). Logo conjuno B {( 5 ) é um bse de S e porno ( S) dim. Teorem d Invriânci: Sej V um espço veoril de dimensão fini. Enão ods s bses de V êm o mesmo número de veores. Demonsrção: Hipóese: V é um espço veoril de dimensão fini Tese: dus bses quisquer de V êm o mesmo número (finio) de elemenos Sejm B { v v L e B { u u L v n hipóese em dimensão fini. u m bses do espço veoril V o qul por Sendo B um bse segue-se que B ger V; como B é LI conclui-se pel proposição nerior que m n. Por ouro ldo B é bse e porno ger V; um ve que B é LI conclui-se pel mesm proposição que Logo n m. m n ou sej s bses de V êm o mesmo número de veores. Lem: Sejm V um espço veoril de dimensão fini e S um subconjuno LI de V. Se v é um veor de V que não esá no subespço gerdo por S enão o conjuno obido crescenndo-se v S é LI. Demonsrção: Hipóeses: V é um espço veoril de dimensão fini; S é um subconjuno LI de V; perence o subespço gerdo por S Tese: o conjuno obido crescenndo-se v S é LI Sejm v v V não v Lvn veores disinos de S; se v v... n vn bv deve-se er necessrimene b pois cso conrário escrever-se-i: v b b b v v... n v n ; e concluir-se-i que v perenceri o subespço gerdo por S conrrindo hipóese. Sendo b em-se: v v... n v n e como S é LI segue-se que n L iso é o conjuno { v v Lv v n é LI. Teorem do Complemeno: Sej V um espço veoril de dimensão fini n. Se { u u Lu V r é um conjuno LI com r veores sendo n r < enão eisem ( n r)

11 veores u r INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru ur L un u u Lurur ur L un é um bse de V. em V is que { Ese eorem pode ser enuncido de form equivlene d seguine mneir: Teorem do Complemeno: Qulquer conjuno de veores LI de um espço veoril V de dimensão fini pode ser compledo de modo formr um bse de V. Demonsrção: Hipóeses: V é um espço veoril de dimensão fini n; { u u Lur V é um conjuno LI com r veores sendo Tese: eisem de V u r < n r ur L un em V is que { u u Lurur ur L un é um bse Se dimensão de V é n enão od bse B de V em n veores LI ou sej B é LI-miml e qulquer conjuno com com n veores é LD. Sej S { u u L r < n. Pelo lem nerior eisem no máimo o conjuno S { u u u u u L u u r um subconjuno LI de V n r veores u u L u r r n is que L r r r n é LI e S S. Logo S é um conjuno LImiml e porno S é bse de V qul foi compled prir de S. Têm-se ind os resuldos seguines: Teorem: Sej V um espço veoril l que dim ( V) n. Enão: () qulquer conjuno com n ou mis veores é LD; (b) qulquer conjuno LI com n veores é bse de V. Demonsrção: () Hipóeses: dim ( V) n Tese: qulquer conjuno com n ou mis veores é LD Sej B { v v L um bse de V. Suponh-se que o conjuno B' { v v Lv u v n LI. Mosrr-se-á que B' ger V iso é que odo elemeno n sej v V é combinção liner dos veores de B'. De fo como B é um bse de V enão o veor v é um combinção liner dos elemenos d bse iso é eisem esclres v v v L n v n. Pode-se escrever: v v v L nvn u L n is que ou sej v é combinção liner dos veores de B' de onde se conclui que B' ger V. Por ouro ldo se B' é LI e ger V enão B' é bse de V e porno pode-se concluir que ( V) o que conrri hipóese. Porno B' não pode ser LI iso é B' é LD. dim n

12 (b) Hipóeses: INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru dim V ( ) n Tese: qulquer conjuno LI com n veores é bse de V Sej B' { u u L Enão u n um conjuno LI do espço veoril V e Suponh-se que B' não ger V. v V l que v não é combinção liner dos elemenos de B'. Considere-se gor { u u Lu v B. Pelo lem demonsrdo neriormene segue-se que B é LI o que n conrri o iem (). Logo B' ger V e porno é bse de V. Proposição: Sej W V um subespço de V. Se dim ( W) dimv ( ) enão W V. Demonsrção: Hipóeses: W V é um subespço de V; dim ( W) dimv ( ) Tese: W V Suponh-se que dim ( W) dimv ( ) n e que B { v v L v n sej um bse de W. Como W V enão B é mbém bse de V. Logo [ B ] W V e porno W V. Proposição: Sej B { v v L v n um ds bses de um espço veoril V. Enão odo elemeno de V se escreve de mneir únic como combinção liner dos veores d bse B. Demonsrção: Hipóeses: B { v v L v n é bse de V Tese: odo elemeno de V se escreve de mneir únic como combinção liner dos veores de B Sej v V ; enão v se escreve como combinção liner dos veores d bse B ou sej eisem esclres L v v v L n v n is que n. Suponh-se que v poss ser escrio como our combinção liner dos veores de B iso é suponh-se que eism esclres Enão em-se: b b Lb v v v bv b v L b L n n n n iso é v v L nvn bv bv Lbnvn ou ind ( b ) v ( b ) v L ( b ) v n n n Como B { v v L v n é LI conclui-se que: ( i n) i bi iso é i bi ( i n) v bv b v L b n v n is que n. v

13 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru Porno combinção liner é únic. Eemplo: Considere-se seguine bse do R : B { v ( ) v ( ); enão odo veor do R é gerdo pelos veores de B iso é odo veor do veores de B. R é um combinção liner dos Tomndo-se por eemplo o veor u ( 5) ese se escreve como combinção liner dos veores d bse B. Pr enconrr ess combinção liner bs que se escrev equção: ( 5) ( ) b( ) e se deerminem os vlores de e b. Tem-se: ( 5) ( ) ( bb) ( b b) de onde se segue que: b. b 5 A solução desse sisem liner é: e b. Porno pode-se escrever: ( 5) ( ) b( ) ou sej u v v. Supondo-se que o veor u dmi um our combinção liner diferene des por eemplo u α v βv vem: u v v α v βv ou sej α v βv v v ou ind ( ) v ( β) v α. Sendo os veores LI ess equção só se verific se α e β ou sej se α e β o que mosr que combinção liner é únic. Teorem: Sejm U e W subespços de um espço veoril V. Enão: dim ( U W) dimu ( ) dimw ( ) dimu ( W). Demonsrção: Hipóese: U e W são subespços de um espço veoril V Tese: dim( U W) dimu ( ) dimw ( ) dimu ( W) Sej B { e e L e U W r um bse de U W. Sendo os veores dess bse LI em U e em W enão pelo Teorem do Complemeno eisem u u L us U e w w L w W is que B { e e e u u L u é bse de U e B { e e e w w L w U bse de W. L r Observe-se que dim ( U W) r dim ( U) r s e dim ( W) r ( U) dimw ( ) dimu ( W) r s r r r s s W é. Porno: L r dim ()

14 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru BU W ee Leruu Lusww L w é um bse de Mosrr-se-á gor que { U W. É clro que esse conjuno de veores ger U W pois se v U W enão v u w sendo u escrio como combinção liner d bse de U e w como combinção liner d bse de W. Assim [ ] U W Os veores de B U W. B U W são LI. De fo supondo-se que eism esclres b b b c L r L s L is que: e e L rer bu bu L bsus cw cw L cw () pode-se escrever: e e e b u b u b u c w c w Lc w L r r L s s. Como o veor e e e bu b u L b u L r r s s é um veor de U e c w c w Lc w é um veor de W enão pel úlim iguldde r-se do mesmo veor e porno is que: c w c w c w cw Lcw U W. Logo eisem esclres β β L βr c w β e e L β L βr r de onde vem que β e βe L βrer cw cw L cw. Como { e e e w w L e L r w é bse de W seus elemenos são LI e porno segue-se que β β L βr c c L c. Assim epressão () fic: e e L rer bu bu L bsus. Lembrndo que { e e e u u L L r u s é bse de U o que crre que os veores são LI segue-se que L r b b L bs. Conclui-se ssim que o conjuno { e e e u u Lu w w L w L r s é LI o que demonsr que é um bse de W Porno ( U W) r s dim. () De () e () segue-se que dim( U W) dimu ( ) dimw ( ) dimu ( W) eorem. c c U. o que demonsr o Eemplos: { ) Sejm U ( ) R / e W ( ) R. Temse: - os elemenos de U perencem à re { R / ; logo ( U) dim ; dois subespços do - os elemenos de W perencem à re - U W {( ) ; logo ( U W) dim. ; logo ( W) dim ; Enão um ve que dim( U W) dimu ( ) dimw ( ) dimu ( W) vem:

15 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru dim U W. ( ) Por ouro ldo sbe-se que dim ( R ) ; ssim em-se: ( W) R U e ( U W) dim( R ) dim de onde se conclui que U W R. ) Considerem-se os subespços do R : U {( ) R / e ( ) Deerminr um bse pr U We { R / W. U W e sus respecivs dimensões. Em seguid verificr se R U W onde indic som dire de U e W. Observe-se que os elemenos de U perencem o plno conido em R de equção ; seus ponos (ou veores) são d form: ( ) e porno pode-se escrever: ( ) ( ) ( ). Logo o conjuno {( )( ) é um bse de U o que indic que dim ( U) B U ouro ldo os elemenos de W perencem o plno conido em ; seus ponos (ou veores) são d form: ( ) escrever: ( ) ( ) ( ) ; ssim o conjuno {( ) ( ) ( W) dim.. Por R de equção e porno pode-se B W é um bse de W de onde se conclui que Com o objeivo de se deerminr um bse pr sisem de gerdores fendo união ds bses de U e W: {( )( )( ) ( ) S B B U W. U W obém-se primeirmene um Deerminm-se gor rvés do processo práico de obenção de bse quis são os veores LI desse sisem de gerdores. Os veores do conjuno de gerdores podem ser colocdos em qulquer linh d mri sem que hj um ordem obrigóri. Como o objeivo é esclonr mri por linh escolhe-se pr primeir linh o veor cuj primeir componene é por fcilidde; n segund linh opou-se por colocr um veor cuj primeir coordend já é nul. Tem-se enão: L L L L L L 6 8 L L.

16 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru Há porno rês veores LI em S e porno bse de U W é: {( ) ( ) ( ) B U W ; dim. ssim ( U W) dim dim ( R ) e Um ve que ( U W) U W R segue-se que U W R. Isso signific que o subespço deermindo pel som de U e W coincide com o espço Ober-se-ão gor informções pr o espço dim enão: ( U W) dimu ( ) dimw ( ) dimu ( W) ; dim( U W) ou sej ( U W) Porno bse de Isso signific que um veor ( ) dim. U W. Sbe-se que: R. U W deve coner pens um veor o qul deve ser comum U e W. de U W deve ser escrio como combinção liner dos veores d bse de U e como combinção liner dos elemenos d bse de W iso é: ( ) ( ) b( ) e ( ) ( ) β( ) α. Igulndo s epressões de ( ) vem: ( ) b( ) ( ) β( ) iso é ( bb) ( α β α β) de onde se segue que: b α β. b α β α Subsiuindo-se ª e ª equções n ª obém-se: ( b) b b Considerndo-se epressão: ( ) ( ) b( ) e subsiuindo-se b obém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; por ouro ldo considerndo-se epressão: ( ) α ( ) β( ) e subsiuindo-se α e β obém-se: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) que é mesm epressão obid neriormene. Conclui-se ssim que os elemenos de são gerdos pelo veor ( ) iso é o conjuno {( ) Pr que o espço B U W é bse de W U. R sej som dire de U e W devem ser sisfeis s condições: U W

17 () U W R (b) U W {( ). INTRODUÇÃO AO ESTUDO DA ÁLGEBRA LINERAR Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru A condição () se verific pois sendo ( U W) que U W R. dim e dim ( R ) e U W R segue-se A condição (b) não é sisfei pois se U W {( ) er-se-i dim ( U W) pois o espço que coném pens o veor nulo em dimensão ero; enreno conforme se mosrou cim dim ( U W) o que crre que U W {( ) R não é som dire de U e W. Tmbém se pode concluir que U W {( ) {( ). Conclui-se ssim que espço lembrndo que bse de U W é B U W o que signific que o subespço U W é consiuído pelos ponos que perencem à re de inerseção dos plnos e. Su equção n form siméric é:. A Figur 7 mosr os plnos e re de inerseção enre eles. FIGURA 7 Coordends de um Veor Trblhr-se-á no que se segue com bses ordends que são quels em que s posições dos veores esão fids. Assim dd um bse qulquer B { v v L v n v será sempre o primeiro veor v será o segundo v será o erceiro e ssim por dine v n será o úlimo. Considerndo-se um espço veoril V sobre um corpo K e um de sus bses ordends { v v L B v n sbe-se que qulquer veor v V se escreve de mneir únic como combinção liner dos veores d bse B ou sej eisem esclres que: L n K is

18 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru v v v L n v n. () Ess combinção liner é únic conforme se mosrou neriormene. Definição: os esclres bse B. L n são chmdos de coordends do veor v em relção à Noção: [ v] B M n. Eemplos: ) Deerminr s coordends do veor ( 5 8) () bse cnônic do R (b) B {( )( ) ( ) () A bse cnônic do v em relção às seguines bses: R é C {( ) ( )( ). Pr enconrr s coordends do veor v em relção ess bse deve-se escrevê-lo como combinção liner dos veores d bse ou sej escreve-se: ( 5 8) ( ) b( ) c( ) ( bc) v de onde se segue que b 5 e c 8. Assim s coordends de v n bse cnônic são: [ v ] C 5 8 (b) Deve-se gor escrever v como combinção dos veores d bse B iso é: ( 5 8) ( ) b( ) c( ) ( b ccb c) v de onde vem que: b c c 5. b c 8 A resolução desse sisem liner condu à seguine solução: 5 b 8 e c e porno s coordends de v n bse B são: [ v ] B 5 8 Observções: ) Observe-se que qundo se considerm bses diferenes de um espço veoril s coordends de um mesmo veor são diferenes (em gerl).

19 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru ) O iem () do eemplo nerior mosrou que s coordends do veor v ( 5 8) relção à bse cnônic do em R são s própris coordends do veor. Esse resuldo é sempre verddeiro: considerdo um espço veoril V qulquer s coordends de um veor qulquer de V em relção à bse cnônic de V coincidem com s própris coordends do veor. A menos que se dig lgo em conrário considerr-se-ão s coordends de um veor ddo sempre em relção à bse cnônic do espço o qul ele perence. ) Considere-se o espço veoril rel ( R) e muliplicção por esclr e o polinômio ( ) coordends em relção à bse B { P com s operções usuis de dição de polinômios p dese espço. Deerminr sus. É preciso lembrr que odo elemeno de um espço veoril é chmdo de veor. Assim deve-se escrever o veor ddo como combinção liner dos veores d bse iso é escrevese: p ( ) ( ) b( ) c( ) ou sej ( b c) ( b c) ( c). D iguldde de polinômios vem: b c b c c de onde se segue que relção à bse B são: 7 p B. [ ( ) ] 7 b e c Assim s coordends do veor ddo em Eercícios Proposos { / 5 e ) Sej W P ( R). Deer-minr um bse pr W e su dimensão. R: B { 5 ; dim( W) ) Deerminr um bse e dimensão pr W U e {( ) R / e W e {( ) R / U W U onde:

20 Lui Frncisco d Cru Deprmeno de Memáic Unesp/Buru R: ( ) ( ) ( ) ( ) { ( ) U dimw ; B U W ( ) 7 U dimw ; B U W ) Sej ( ) R c d b / M d c b W e. Deerminr um bse pr W e su dimensão. Esender bse de W pr ober um bse de ( ) R M. R: B W ; ( ) R B M ) Sej S o espço ds soluções do sisem liner ( ) L. Deerminr um bse pr S e su dimensão. ( ) : L R: ( ) ( ) { ( ) S dim ; B 5) Mosre que o espço veoril rel R é som dire dos subespços: ( ) { 5 R / V e ( ) R / W.