Índice. Disciplina: Matemática Segundo Ano do Ensino Médio Matrizes Arquivo: Matrizes.doc 17/11/03, 17:13 h

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1 CCeenn rroo FFeeeerrl ll ee EEuuççããoo TTeennoo llóóggi l ii hhi ii. Disiplin: Memái Seguno no o Ensino Méio Mrizes rquivo: Mrizes.o //, : h Ínie Mrizes. Definição.. Noção e um mriz Mriz Qur. Mriz Digonl Mriz linh. Mriz olun. Mrizes iguis.. Mriz Trnspos.. Propriees mriz rnspos Mriz Nul. Mriz Opos Mriz ienie ou Mriz unie. ição e Mrizes. Prouo e Mrizes.. Propriees:.. :.. Mriz Involuiv. Mriz Siméri.. Mriz ni-siméri:.. Deerminne e um mriz e orem. Deerminne e um mriz e orem Regr e Srrus.. Definição.. :.. Propriees Mriz Invers Complemenos 9 s.. Resposs Os Memáios. Pierre Simon e Lple, 9,.. Crl Gusv Jo (Joi),..

2 rquivo: mrizes.o Pge / Mrizes Definição São números isposos em linhs (fils horizonis) e oluns (fils veriis), formno um el. Gsos e um fmíli (proimmene) - Ren Fmilir R$.. Desrição Ouuro Novemro Dezemro Méi Supermero Súe Trnspore Vesiário Higiene Pessol Lzer Poupnç Tois el que voê ou e preenher, poemos rnsformá-l num mriz: One os nomes supermero, súe, rnspore, vesiário, higiene pessol, lzer e poupnç são s linhs ( ) e ouuro, novemro, ezemro e Méi são s oluns ( ). ssim voê erá mriz que é um mriz om elemenos., e orem, Noção e um mriz. Um mriz e orem : Eemplo:,.. D é um mriz, om elemenos, one, -, /,,. Um mriz genéri e orem nn: ` m Mriz Qur é o mriz one o número e linhs é igul o número e oluns. ` m m n n n mn

3 rquivo: mrizes.o Pge / Eemplo: é um mriz qur e orem ; 9 é um mriz qur e orem. Mriz Digonl É mriz qur n qul os elemenos que não perenem à igonl prinipl são iguis zero. Eemplos: ; 9 e C Mriz linh é o mriz o ipo n. Eemplo: ( ) C, mriz e orem. Mriz olun é o mriz o ipo m. Eemplo: M, mriz e orem. Mrizes iguis us mrizes e são iguis, se e somene se, os elemenos mesm posição são iguis. Eemplo: D e E logo DE.. Deermine e, seno que s mrizes 9 são iguis.. Seno s mrizes n m n m e, hr os vlores e,, m e n pr que se enh.. Se, eermine,, e. Mriz Trnspos quno se ro orenmene s linhs pels oluns e um mriz, nov mriz é i um mriz rnspos.

4 rquivo: mrizes.o Pge / Eemplo: su rnspos é. Propriees mriz rnspos. ( ). ( ). ( ).. α α. Seno s mrizes e, lule e e moo que.. Sejm s mrizes z z e. Se, eermine,, z e.. Sejm s mrizes e, e mesm orem mn. Demonsre que: ( ). Mriz Nul é mriz que em oos os elemenos iguis zero. Mriz Opos mriz opos e um mriz é um que som om mriz, resul n mriz Nul. Eemplo: su opos é: Mriz ienie ou Mriz unie e orem n, é mriz qur e orem n que em os elemenos igonl prinipl iguis e os emis elemenos iguis zero.

5 rquivo: mrizes.o Pge / Eemplos: ; I, mriz ienie e orem ; I, mriz ienie e orem. I, mriz ienie e orem ição e Mrizes som e us mrizes ( ) e ( ) é mriz ( ) mn. ij, e C ) C. Ds s mrizes ) C ij, ms o mesmo ipo ij ij, lulr:. Deerminr, e z seno que: z z. Prouo e Mrizes Requisio: O número e oluns primeir mriz sej igul o número e linhs segun mriz. D ssim: ). 9. Sejm s mrizes e. Sejm s mrizes C ; ). e M, eermine., lule s mrizes prouos: ). ). )..? V ou F.. Se, eermine mriz X l que. X I. Propriees:. muliplição e mrizes não é omuiv.. muliplição e mrizes é ssoiiv: (.).C.(.C). muliplição e mrizes é isriuiv em relção à ição:.(c)..c. Muliplição e um número rel por um mriz: ( α. ). α. (. ). Muliplição pel mriz ienie:. I I. n n

6 rquivo: mrizes.o Pge / I. n, se.. p p., pr p N 9. P...., p fores. ( ).. :. Sej mriz, eermine mriz polinomil,... I. Mriz Involuiv Um mriz qur é involuiv quno I. Um mriz igonl, e orem, é involuiv. Deermine-. Fç. Mriz Siméri é um mriz qur [ ] nn j, j n. Os: Se é siméri enão ij, iz-se siméri quno ij ji. pr oo i, i n, pr oo. Deermine o número R, pr que mriz, sej siméri. ij. Sej mriz [ ]. Se siméri? sen α osα ( senα osα ), pr qul sen α os α ii ij ij ji i j, se i < j, eermine os números, e.. Sej mriz, qur e orem n. Demonsre que é siméri.. Deermine e. é Mriz ni-siméri: é um mriz qur [ ij ], iz-se ni-siméri quno nn ij ji pr oo i, i n pr oo j, j n.,

7 rquivo: mrizes.o Pge / Os: Se é siméri enão ; os elemenos igonl prinipl são oos nulos.. mriz é ni-siméri. sej ni- 9. Deermine os números reis,,,, e z pr que mriz siméri. z. Sej mriz, qur e orem n. Demonsre que - é ni-siméri. Deerminne e um mriz e orem o mriz qur esá ssoio um número rel hmo eerminne. Eemplos: Clulr os eerminnes s mrizes: ) ) o eerminne ess mriz é: e. (-) o eerminne ess mriz é: e.. - Deerminne e um mriz e orem Regr e Srrus. Clulr os eerminnes s mrizes pel regr e Srrus: ) ) ). Clule os eerminnes ) log π g senπ ln e se ( π ) ) π sen log π os Mriz Invers Definição Sej um mriz qur e orem n. mriz qur, e orem n, iz-se um invers e, se e somene se:.. I. n

8 rquivo: mrizes.o Pge / Propriee: invers e um mriz eise se o e. :. Deermine mriz invers mriz.. Sej mriz. Deermine -, se eisir.. Pr mriz seguir, eermine -, se eisir:, se θ gθ C gθ se θ. Sej mriz. Deermine -, se eisir. e. Sejm s mrizes e. Resolv equção mriil X.. os sen sen os. Sejm s mrizes e os sen, Resolv equção mriil. X. Propriees (. ). ) ( ) ( ) α.. α ) ( ) p ) ( ) ( ) p 9. Um mriz qur, não singulr, iz-se orogonl quno osθ senθ senθ osθ é orogonl?. mriz. Pr s mrizes, e C, simplifique: C.. ( C.. ).( C).. Sej mriz. Deermine mriz X, seno-se que:. X. I O..

9 rquivo: mrizes.o Pge 9/. Sejm s mrizes e. Deermine s mrizes X e Y, e orem, is que Y X Y.X.. Seno om,. e, <, X e C, é vere que: () e () () e.e () Se.XC, enão X () Se.X, enão X () e(.) 9 Mriz Invers Complemenos. Enonrr mriz invers - mriz.. Usno efinição Solução:fzeno resolveno os sisems: e, enonrmos mriz invers /.. Deerminção mriz invers usno o eerminne e mriz rnspos os ofores: Enonrr mriz invers - mriz. Solução: ) Cálulo o eerminne e : e.-.(-) ) Deerminção mriz os ofores mriz : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).... ) Diviir oos os elemenos mriz rnspos form pelos ofores pelo e: / / / /

10 rquivo: mrizes.o Pge / ) Mriz invers e é: /. Usno o eslonmeno: olo-se à irei mriz, mriz ienie; fz-se o eslonmeno e moo que mriz ienie psse oupr posição mriz. Solução: /, oserve que posição mriz foi oup pel mriz ienie e n posição mriz ienie enonr-se mriz invers /. s. Enonrr mriz invers mriz, usno mriz rnspos os ofores. / / /. Enonrr mriz invers mriz, usno mriz os ofores. onlu!? Se. Deerminr mriz invers s mrizes: (usr o eslonmeno) ). / / / / ) / / / / / / / Deermine mriz invers mriz. / / / / / / Resposs ) e ) ; ; m e n - ),, e ) e ),, z e ) (-) ( (-)) (-).. ) ) 9 ) ), - e 9)

11 rquivo: mrizes.o Pge / ) e ) ) 9 9 ),,, ) ou ), sim é um mriz siméri. ), e ) Vej o. ),,, -,, 9) ; - e ) Se um mriz é ni-siméri enão: - -. Fzeno (- ) (- ) -. O que prov que - é um mriz ni-siméri. ) ) - ) - ) ) - ) / ) ) Não eise, pois mriz é singulr. ), θ θ θ θ se se g g C, - não eise. ) Eise, pois e -. ) X ) X sen os 9) Sim, é um mriz orogonl. ) C ) ) 9 X e Y ) V, F,V,V,F,V, ol: Os Memáios Pierre Simon e Lple, 9, Nseu n Frnç e é onsiero um os grnes memáios o períoo Revolução Frnes. Esuou n Esol Milir, eereu rgos políios, enre eles o e Minisro o Inerior e Npoleão. Foi professor Esol Norml e Esol Poliéni e Pris, lém e priipr o Comiê e Pesos e Meis. Como ienis, Lple onriuiu pr o esenvolvimeno Físi, priniplmene om relção à Meâni Celese. N Memái, que ele onsierv um oleção e insrumenos, que ele mnejv om mui hilie, seus prinipis esuos volrm-se pr Teori s Proilies. Ns sus prinipis ors, Teori nlíi s Proilies, e, e Ensios Filosófios Proilies, e, Lple

12 rquivo: mrizes.o Pge / mosrou um grne onheimeno e nálise, plino s noções e Cálulo vnço no esuo s proilies, (José Ru Giovnni e José Roero onjorno, Memái Trigonomeri, Mrizes, nálise Cominóri e Geomeri, Volume, FTD, 99). Crl Gusv Jo (Joi), Nseu n lemnh, one fez seus esuos, eino-se priniplmene à Filosofi e à Memái, perfeiçono-se nes úlim. Diferenemene e muios memáios e seu empo, Joi er um professor no e gosv e ensinr. Seus prinipis rlhos form no mpo Teori s Funções Elípis e Teori os Deerminnes. Nes, Joi preoupou-se om noção equ pr os eerminnes, rino lgorimos e regrs práis pr su uilizção. Foi por esse moivo onsiero um os grnes responsáveis pelo esenvolvimeno Teori os Deerminnes, (José Ru Giovnni e José Roero onjorno, Memái Trigonomeri, Mrizes, nálise Cominóri e Geomeri, Volume, FTD, 99).