MATEMÁTICA II - Engenharias/Itatiba. 1 o Semestre de 2009 Prof. Maurício Fabbri RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO.

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1 MTEMÁTIC II - Engenhris/Ii o Semesre de 09 Prof. Muríio Fri 04-9 Série de Exeríios RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO sen = os = n = se = os os e = sen sen n = os o n = n ÂNGULOS NOTÁVEIS grus rdinos seno oseno ngene 0 o o π/6 /2 3 / 2 3 / 3 4 o π/4 2 / 2 2 / 2 60 o π/3 3 / 2 / o π/2 0 RELÇÕES TRIGONOMÉTRICS sen 2 + os 2 = sen(2) = 2sen()os() os(2)= os 2 () - sen 2 () 2 n( ) n(2 ) = 2 n ( ) sen(+b) = senosb + senbos os(+b) = ososb - sensenb RESOLUÇÃO DE TRIÂNGULOS 2 = B 2 + C 2-2.B.C.os() (lei dos ossenos) C sen() B C = sen(b) sen() = (lei dos senos) B S =.B.sen() (álulo d áre) Muriio Fri

2 CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICS y = sen() y z x = os() x z = n() sen(-) = -sen() os(-) = os() n(-) = -n() PROPRIEDDES sen(±π) = -sen() os(±π) = -os() n(±π) = n() sen() = os(-90 o ) FORM GERL f ( ) f() = os(ω + φ) = mpliude ω = frequeni ngulr φ = fse T 2π ω = T Se inerprermos vriável omo sendo o empo, senóide pode ser visulizd omo projeção de um veor girne: ω + φ f() UNIDDE NTURL DE ÂNGULOS R L medid do ângulo é definid omo rzão enre o omprimeno do ro suenendido pelo ângulo e o rio de um irunferêni om vérie no ângulo: omprimeno do ro L = = rio R Cosummos hmr ess rzão de rdino, ms n verdde é um número puro. 2π rd = 360 o s funções rigonoméris simples sen(x) e os(x) em mpliude e período 2π Muriio Fri

3 EXERCÍCIOS Exeríio : Enonre os ângulos e β, em grus e minuos: () 3 β 4 () 3 2 β Exeríio 2: Clule o omprimeno dos ldos desonheidos, om rês signifiivos: () () () 40 o o 0 o Exeríio 3: () inlinção de um ldeir é 2 o 7. Expresse ess inlinção em meros por quilômero (m/km), om rês signifiivos. () Qul inlinção de um enos, em grus e minuos, de delividde 40m/km? Exeríio 4: Um oservdor no solo, 0m do pé de um edifíio, vê o prédio so ângulo de 37 o, e um orre om nen no opo do prédio so ângulo de 3 o. Clule s lurs do prédio e d orre. (3 signifiivos) h 3 o H 37 o 0m Exeríio : Enonre os ldos desonheidos (3 signifiivos) : x y 4 o 60 o Exeríio 6: Enonre o ldo desonheido (3 signifiivos) e o ângulo (grus e minuos) : () 6 30 o () 3 o 8 2 Exeríio 7: Clule o mnho do veor r (3 signifiivos) e o ângulo (grus e minuos) : 3 40 o 04-9 Muriio Fri

4 Exeríio 8: Clule os rês ângulos do riângulo (grus e minuos) : Exeríio 9: qunos grus orresponde rdino? qunos rdinos orresponde o? Exeríio 0: (M. Kline, Mhemis nd he Physil World, Dover, 98) Erósenes (27-94 C) foi um fmoso erudio, poe, hisoridor, srônomo, geógrfo e memáio, que viveu durne os úlimos períodos d ivilizção greg nig, qundo o enro dess ulur esv em lexndri, no Egio. ssim omo miori dos gregos mis informdos, ele si que Terr er esféri, e enão preprou um experimeno pr enonrr seu perímero. Ele si que lexndri esv o nore d idde de Siene, e que disâni medid enre esss dus iddes, sore superfíie d Terr, er de quinhens milhs. No solsíio de verão, o Sol do meio-di rilhv diremene sore um poço, em Siene. Isso signifi, omo Erósenes oservou, que o Sol esv verilmene im nesse insne (direção OBS n figur). Já em lexndri, nesse mesmo insne direção do Sol er S, enquno que direção veril é OD. Ms o Sol esá ão longe que s direções S e BS são prlels. Erósenes mediu o ângulo DS (omo voê fri isso?) e enonrou see grus e meio. Qul o vlor do rio d Terr, de ordo om ess medição? (um milh orresponde.60 meros) Exeríio : O menor ângulo visul so o qul o olho humno vê dois ponos e B seprdmene é hmdo de uidde visul, e é, em médi, d ordem de um minuo de gru. B () Um pesso normlmene onsegue for em vis um disâni mínim de m. Dess disâni, qul seprção mínim enre dois ponos que pode ser disinguid? (respos om dois signifiivos) () O diâmero d Lu é de 3.480Km. Se ele é vis olho nu, num noie de lu hei, so um ângulo de meio gru, que disâni proximd el esá de nós? ( ompre om o ddo onheido pr disâni médi enre Lu e Terr : 380 mil quilômeros ) 04-9 Muriio Fri

5 Exeríio 2: Esrev fórmul ds funções senoidis ixo n form gerl f() = os(ω + φ). mpliude deve ser posiiv e espeifid om rês signifiivos, e fse em grus e minuos; deixe frequeni ngulr esri expliimene em ermos de π. 0 () 8 () -8 0,2 0,0 0 () Exeríio 3: Deermine e φ de modo que: () 30sen() + 40os() = os(+φ) () 30os(0π+30 o ) + 40os(0π-4 o ) = os(0π+φ) () 2sen(3π+43 o ) - sen(3π+7 o ) = os(3π+φ) ( deve ser posiivo e espeifido om rês signifiivos, e o ângulo φ em grus e minuos) 04-9 Muríio Fri MCT/INPE: hp:// Universidde São Frniso USF Ii/Cmpins hp:// São Pulo - Brzil Permiido uso livre pr fins eduionis, sem ônus, desde que sej id fone Muriio Fri

6 RESPOSTS Exeríio : () = 3 o 8 ; β = 36 o 2 () = 22 o 37 ; β = 67 o 23 Exeríio 2: () = 3,2 = 3,83 () = 0,4 = 2,68 () = 4,6 = 3,7 Exeríio 3: () 28 m/km ; () 24 o 4 Exeríio 4: H = 37,7m h = 4,28m Exeríio : x = 7,9 y = 4,6 Exeríio 6: () 0, ; 2 o 29 () há dus soluções: 3,9 e 9 o 2 ou,7 e o 38 Exeríio 7: = 3,32 ; = 3 o 3 Exeríio 8: 8 o 2 ; 73 o 24 ; 48 o Exeríio 9: 7 o 7 4 ; 0,07 rd Exeríio 0: 60Km (o vlor moderno é 6370Km) Exeríio : () 8µm () 399 mil quilômeros Exeríio 2: () f() = os(0π-66 o 2 ) () f() = 0os(0π+43 o 8 ) () 2π o = 0 os Exeríio 3: () =0 e φ=-36 o 2 ; () =,9 e φ=-3 o 4 ; () =7,98 e φ=27 o 49 ; 04-9 Muríio Fri MCT/INPE: hp:// Universidde São Frniso USF Ii/Cmpins hp:// São Pulo - Brzil Permiido uso livre pr fins eduionis, sem ônus, desde que sej id fone Muriio Fri