Apontamentos de Análise de Sinais

Transcrição

1 LICENCIATURA EM ENGENHARIA DE SISTEMAS DE TELECOMUNICAÇÕES E ELECTRÓNICA Apomeos de Aálise de Siis Módulo Prof. José Amrl Versão. 6-- Secção de Comuicções e Processmeo de Sil ISEL-CEDET, Gbiee C jd@isel.p

2 Ídice OBJECTIVOS.... ESPAÇO DE SINAIS... PRODUTO INTERNO... SINAIS ORTOGONAIS... EXEMPLO.... EXEMPLO.... ESPAÇO DE SINAIS... ERRO QUADRÁTICO MÉDIO... EXEMPLO.... COEFICIENTES ÓPTIMOS... EXEMPLO. CONT.... EXERCÍCIO MATLAB... 8 EXERCÍCIO... MATLAB... EXERCÍCIO...5 MATLAB...9 DEMO : ORTOGONALIDADE ENTRE SENOS... APÊNDICE : ESPAÇO DE VECTORES... APÊNDICE : ESPAÇO DE SINAIS 5 EXERCÍCIOS M... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... FICHA DE AVALIAÇÃO M... 6 GRUPO C... 6 EXERCÍCIO... 6 GRUPO B... 6 EXERCÍCIO... 6 GRUPO A... 7 EXERCÍCIO... 7

3 Módulo Espço de siis TÓPICOS Espço de siis Produo iero Siis orogois Espço de siis Erro qudráico médio Coeficiees ópimos Os coceios presedos ese módulo são impores ão só por fudmerem eori d Aálise de Fourier, presed os próimos Módulos, ms, e priciplmee, porque cosiuem géese d miori ds écics de processmeo de sil, que serão preseds um sigificivo úmero de cdeirs do seu curso, omedmee quels ssocids Secção de Comuicções e Processmeo de Sil. No Apêdice relembrm-se lgus coceios presedos s cdeirs de Álgebr e Aálise Vecoril, de modo que mis fcilmee compreed logi que é possível esbelecer ere vecores e siis, que se desevolve o Apêdice, e que permie cocepulizção de um espço de siis, com os ierees coceios de produo iero e orogolidde ere siis. O presee módulo é composo priciplmee por um vso cojuo de eercício fudmedos s pricipis relções deduzids o Apêdice, relções esss preseds em desque o iício dese Módulo. Pr lém disso, e ddo que ese Módulo ecerr o º erço d méri d cdeir de Aálise de Siis, são presedos e resolvidos diversos eercícios que cobrem od méri presed é qui. Teh em especil eção bordgem fei rvés do Mlb. Objecivos No fim dese módulo o luo deverá :. Compreeder o coceio e sber clculr o produo iero ere siis.. Compreeder o coceio e sber verificr se dois siis são orogois.. Sber clculr os coeficiees ópimos de represeção de um sil um espço de siis oroormdo.

4 . Espço de siis Produo iero Defie-se o produo iero ere dois siis coíuos, e, um iervlo [, ], como, d Defie-se o produo iero ere dois siis discreos, [ ] [], um iervlo [ ], como, [] [] [] [], Por logi com o espço de vecores é possível esbelecer os seguies coceios ere siis: e cos se cosse Dois siis coíuos, e, dizem-se siis orogois, se o seu produo iero for ulo, um iervlo [ ], d Dois siis discreos, [ ] e [] um iervlo [, ] Siis orogois, dizem-se siis orogois,, se o seu produo iero for ulo [ ] [ ] Figur M. cos cos Eemplo. Observe figur M.. A áre sob curv do sil cos se cim e bio do eio ds bcisss é igul, ou sej, o produo iero ere os siis, cos e se, o iervlo [ π, π], ddo por π π cos se d, é ulo, pelo que os siis são orogois o iervlo [ π π], coscos Figur M. Eemplo. Observe figur M.. A áre sob curv do sil cos cos cim e bio do eio ds bcisss é igul, ou sej, o produo iero ere os siis, cos e cos, o iervlo [ π π] iervlo [ ],, ddo por π cos cos d, é ulo, pelo que os siis são orogois o π π, π. Prof. José Amrl M - Versão. 6--

5 Espço de siis Um cojuo de siis coíuos { } orogois um iervlo [, ], com,, K,,, defie um espço orogol de siis, sedo qulquer sil coíuo represeável ese espço meos de um sil de erro e.5.5 π π + Um cojuo de siis discreos { [ ] } orogois um iervlo [, ], com,, K,,, defie um espço orogol de siis, sedo qulquer sil discreo [] represeável ese espço meos de um sil de erro [] e e [] [ ] [ ] + O erro qudráico médio d represeção um iervlo [, ] de um sil coíuo, um espço de siis { }, é ddo por C e d e d O erro qudráico médio d represeção um iervlo [, ] de um sil discreo [], um espço de siis, é ddo por { [ ]} Erro qudráico médio π π Figur M. Figur M. C [ ] [ ] π π Eemplo. É possível demosrr que os siis se ω e se mω, com e m ieiros, e diferees ere si, são orogois em qulquer iervlo [, + π ω]. Assim sedo, e cosiderdo ω e, os cojuo de siis { se } defie um espço orogol de siis o iervlo [, π], pelo que, cosiderdo por eemplo o sil que se mosr figur M., e 7, podemos represer o iervlo [, π] meos de um sil 7 de erro e : se + e. A figur M. mosr o sil.5.5 Figur M Figur M.6 Prof. José Amrl M - Versão. 6--

6 Coeficiees ópimos De modo miimizr do erro qudráico médio d represeção de um sil coíuo um espço de siis { }, os coeficiees ópimos,, são ddos por 7 se e figur M.5 mosr o qudrdo do erro comeido. e d d De modo miimizr do erro qudráico médio d represeção de um sil discreo [], um espço de siis { [ ] }, os coeficiees ópimos,, são ddos por Figur M.7 [ ] [ ] [ ] [ ] Pr os coeficiees ópimos, o erro qudráico médio d represeção um iervlo [, ] de um sil coíuo,, é ddo por um espço de siis { } C d d Pr os coeficiees ópimos, o erro qudráico médio d represeção um iervlo [, ] de um sil discreo [ ],, é ddo por um espço de siis { [ ]} C [ ] [ ] Figur M.8 Noe que epressão dos coeficiees ópimos o umerdor correspode o produo iero ere o sil represer e os siis de bse que defiem o espço de represeção, sedo poro um medid de semelhç do sil com cd um dos siis bse. O deomidor correspode à eergi de cd um dos siis bse, edo pes fução de ormlizr os vlores dos coeficiees. Se os siis bse iverem orm uiári, ou sej, se forem versores do espço que defiem, o deomidor em vlor, ão ifluecido o vlor do coeficiee. Eemplo. co. De modo que eergi do sil de erro o iervlo [, π], ou, o que é proporciol, o erro qudráico médio π π C e d sej o meor possível, os coeficiees devem ser coveieemee clculdos, sedo pr ese eemplo cos π. A figur M.6 π mosr evolução dos coeficiees pr sucessivos vlores de, o cso pr os primeiros coeficiees. A figur M.7 mosr evolução do erro qudráico médio à medid que se vão somdo os sucessivos ermos de. A figur M.8 mosr proimção coseguid se uilizássemos coeficiees. Prof. José Amrl M - Versão. 6--

7 Eercício. Cosidere o sil < π π < π coforme represedo figur M.9. Aproime pelo sil se de modo miimizr o erro qudráico médio o iervlo [, π]. b Trce o gráfico d evolução do erro qudráico médio em fução do coeficiee de semelhç. c Aproime pelo sil 7 se de modo miimizr o erro qudráico médio o iervlo [, π] π π Figur M.9. d Trce o gráfico d evolução do erro qudráico médio em fução do úmero de coeficiee de semelhç. Preedemos deermir relção + e de modo miimizr o erro, π. Sedo os coeficiees ópimos ddos geericmee por qudráico médio o iervlo [ ] d d Temos, pr o eemplo em cus em que pes eise um coeficiee e fução de bse é rel, π d π d Desevolvedo epressão resul π se d π se d π π se d se d π π π pelo que se π π π Figur M. Prof. José Amrl M - 5 Versão. 6--

8 o iervlo [, π] iervlo [, π].. A figur M. mosr o gráfico do sil e d proimção o b O erro qudráico médio é ddo geericmee por C e d Temos eão pr o eemplo em cus C π π se d π d + π π + π 8 π π d se d π se d A figur M. mosr evolução do erro qudráico médio em fução do coeficiee de semelhç. Observe que curv em um dmeo qudráico obvimee com um míimo bem defiido correspodee o coeficiee ópimo. Podemos verificr o vlor do míimo do erro qudráico médio dc d dc d d d π π + π π 8 π 8 π 8 π Figur M. c O problem já foi borddo o Módulo, ão edo eão sido dd jusificção pr epressão dos coeficiees. Pr proimr pelo sil de modo miimizr o erro qudráico médio o iervlo [, π] é ecessário clculr os coeficiees ópimos rvés d epressão d d emos eão π se d π se d Prof. José Amrl M - 6 Versão. 6--

9 π π se d se d π π se d π π [ cos cos ] π π cos π π π π ou sej π pr impr Figur M. logo 7 se se + se + π 5 se + 7 se A figur M. mosr comprivmee o sil e proimção obid. d Pr os coeficiees ópimos o erro qudráico médio é ddo por Sedo e C d π d d π m m Resul eão π d C π π se d π π A figur M. mosr evolução do erro qudráico em fução do úmero de ermos uilizdos proimção de Figur M. Prof. José Amrl M - 7 Versão. 6--

10 Mlb. Resolv o Eercício. recorredo o Mlb. O coeficiee pode ser deermido recorredo o cálculo simbólico. Sedo d d π se d π Temos, ededo que o sil se d vle o iervlo [, π[ >> sms >> fsm'si' f si >> if,,,pi-if,,pi,*pi >> dif.^,,,*pi d pi >> /d /pi >> e o iervlo [ π π[,, Clculdo o coeficiee represeção do sil se é rivil, correspodedo à figur M.. b Sedo erro qudráico médio ddo por C d π π se d Temos eão >> sms >>fsm'si'; >>Ci-*si.^,,,pi+i--*si.^,,pi,*pi; >>CC//pi; >>prec pi - + / pi pi >>.9:.:.7; >>CsubsC,,; >>plo,c;grid o;is[ ] >> O gráfico resule correspode à figur M.. c A respos es quesão foi já dd em Mlb. pági M-8. d Pr os coeficiees ópimos, o erro qudráico médio d represeção um iervlo [, ] de um sil coíuo, um espço de siis { }, é ddo por C d d Prof. José Amrl M - 8 Versão. 6--

11 Pr o problem em álise resul, sem ecessidde de recurso o Mlb π d d π e, já clculdo líe, π d se d π Temos eão C, sedo que foi previmee clculdo líe c. Bs poro fzer N7... Czeros,N; for i:n Ci-.5*sum:i.^ ed sem,c,'filled'; grid o is[ N.], obedo-se o gráfico d figur M.. Um úlim o sobre o recurso operções mriciis. Algum do código rscrio, e pr que sej mis clr su fuciolidde, segue de pero s epressões líics, recorredo desecessrimee ciclos for. Cosidere por eemplo obeção d figur M. em que se represe N se Admi, pr clrez de eposição, que cohece epressão dos coeficiees cos π π Nese momeo já deve ser clro pr si que ão deve fzer Ms sim N7 zeros,n; for :N./*pi.*-cos*pi; ed N7 :N;./*pi.*-cos*pi; Epressão que, liás, é um rdução direc d epressão líic dos coeficiees. Cosideremos gor o cálculo de. Provvelmee erá edêci pr crir um ciclo for, sedo é provável que ope pelo cálculo dos coeficiees dero desse ciclo, escrevedo lgo como Prof. José Amrl M - 9 Versão. 6--

12 ou N7 :.:*pi; zeros,n; zerosn,legh; for :N./*pi.*-cos*pi;,:.*si*; ed zeros,legh; for :N +,:; ed N7 :.:*pi; zeros,n; zeros,legh; for :N./*pi.*-cos*pi; +.*si*; ed Noe que pode fzer simplesmee N7 :.:*pi; :N;./*pi.*-cos*pi *si'*; A isrução si'* cri um mriz em que cd lih vle se. se M se7 L L se M se7 A epressão N se pode, e deve, ser ierpred como um produo mricil [ L ] 7 se M se7 L L se M se7 Recorddo s regrs de cálculo mricil, fcilmee recohecerá que do produo resul um vecor de dimesão, em que o º elemeo correspode se + L + 7 se7 o segudo elemeo correspode se + L + 7 se7 ec. Assim, com epressão *si'*, obemos o sil desejdo se. N Prof. José Amrl M - Versão. 6--

13 Eercício. Cosidere os siis represedos s figurs M. M [] Deermie o vlor de de modo que os siis [ ] e [] sejm orogois. b Deermie s compoees pr e impr do sil [ ]. c Represee [ ]. d Clcule eergi dos siis [ ], e [ ]. e Deermie os vlores dos coeficiees e d epressão [ ] [ ] + [ ] + e [ ] de form e sej míim. que eergi do sil [ ] Pr que os siis [ ] e [ ] sejm orogois é ecessário que o seu produo iero sej ulo. Por defiição de produo iero ere siis discreos, emos [], [] [ ] [ ] [] [] [ ] [ ], logo [ ] [ ] + 6 implic que,.5 b Comecemos por represer [ ]. Observe figur M.7. As compoees pr e impr de um sil [] são dds por p i [ ] [ ] [ ] + [ ] [ ] [ ] pelo que, prir ds figurs M.6 e M.7, resulm os siis represedos respecivmee figur M.8 e M.9. c Queremos represer o sil [ ] [ ]. Podemos simplesmee recohecer que se operou um epsão de um fcor do sil [] Figur M. Figur M.5 [] Figur M.6 [-] Figur M.7 Prof. José Amrl M - Versão. 6--

14 [ ] e proceder de imedio à represeção do sil, ou cosruir previmee bel de correspodêcis A figur M. mosr [ ]. 6 5 [ ] [ ] -8 [ 8] [ ] -6 [ 6] [ ] - [ ] [ ]... Ec. d A eergi do sil [ ] é dd pel epressão E Pr [] emos [] [ ] [] E e De form que eergi do sil [ ] e sej míim, os coeficiees i são clculdos pel epressão Temos eão [ ] [ ] [ ] Figur M.8 Figur M Figur M. E [ ] [ ] [ + + ] 9 9 [ ] [ ] E [ 5 + ] Prof. José Amrl M - Versão. 6--

15 Mlb. Resolv o Eercício. recorredo o Mlb. Pr que os siis [ ] e [ ] sejm orogois é ecessário que [ ] [ ] Aededo os gráficos emos >> sms >> [ * - * -]; >> [ ]; >> *' -* >> solve / >> Noe como [ ] [ ] por *'., sedo o produo iero ere os vecores, é simplesmee clculdo b Recorredo à fução fucio [p,i,m] p_i, escri em Fich M Eercício 5 emos de imedio >> -:; >> [ ]; >> [p,i,m] p_i,; >> [p,i,m] p_i, p i m >> semm,p,'filled';grid o;is[-,,-,6]; >> semm,i,'filled';grid o;is[-,,-,6]; >> Os gráficos resules podem ver-se s figurs M.8 e M.9 c Recorredo à fução fucio [m,] rsf_,,,b escri em Eercícios M Eemplo emos de imedio >> -5:5; >> [ - - ]; >>.5; >> b; >> [m,] rsf_,,,b; >> semm,,'filled';grid o;is[-,,-,6]; >> O gráfico resule pode ver-se figur M.. d Aededo à defiição de eergi de um sil discreo [ ] E [ ] Prof. José Amrl M - Versão. 6--

16 Resul de imedio, como se viu o Módulo, >> [ - -]; >> Esum.^ E >> [5 - - ]; >> Esum.^ E 9 >> Noe que E [ ] [] [] mesmo, podedo ser simplesmee clculdo por >> E*' E >> E*' E 9 >> correspode o produo iero do sil por ele e De form que eergi do sil e [ ] sej míim, os coeficiees i são clculdos pel epressão [] [] [] Assim >> [ ]; >> [ - -]; >> [ ]; >> *'/E.667 >> *'/E.8 Mis um vez oe que [ ] [ ] correspode um produo iero podedo ser clculdo simplesmee por *'. Noe id que o deomidor d epressão dos coeficiees correspode à eergi dos siis de bse, pelo que se ão repeiu o seu cálculo, feio líe erior. Prof. José Amrl M - Versão. 6--

17 Eercício. Cosidere os seguies siis Π Π 8 o Π o o sg Π Deermie o vlor de o de modo que os siis e sejm orogois. b Clcule eergi dos siis e. c Represee s compoees pr e impr do sil. d Clcule os vlores dos coeficiees e d epressão + + e de form que eergi do sil e sej míim. A prir ds epressões líics, comecemos por represer grficmee os siis. As figurs M. M. rduzem evolução dos, 5. siis os iervlo [ ] Pr que os siis e sejm orogois é ecessário que o seu produo iero sej ulo. Por defiição de produo iero ere siis coíuos, emos Figur M o Figur M., d 8 6 Vmos começr por dmiir siuções possíveis: < o <, < o <, e o >. Pr cd um ds siuções, o sil produo em form que se mosr s figurs M. M.6. É evidee prir d represeção gráfic que o produo iero, correspodee pr cd um ds hipóeses à áre sob o sil Figur M. represedo, só pode ulr-se pr hipóese < o <, já que pr < o < áre é olmee egiv, e pr o > compoee egiv é muio meor que posiiv Embor desecessário, vmos id ssim clculr liicmee o produo iero pr cd um ds rês hipóeses. Prof. José Amrl M - 5 Versão. 6--

18 . < < o, d o 8 d o o d o o o 6o pr que e sejm orogois deve ser 6 o, ão eisido, como previmos, solução o < o Figur M.. > o, d 8 8 d + d o o o d + + o + 8 o 8 o d pr que e sejm orogois deve ser 8 o, ão eisido, como previmos, solução.. < < o < o o Figur M.5 < o < o Figur M.6, o 8 d + o d o d + o + o + o o o d 8 d o Prof. José Amrl M - 6 Versão. 6--

19 pr que e sejm orogois deve ser o + o 8 o b A eergi do sil é dd pel epressão E o 6 o 6 o o o 6 o 8 pr emos d 8 d o d Figur M.7 E d d d + d e c Comecemos por represer, o que é rivil prir d figur M., e se mosr figur M.7. As compoees pr e impr de um sil coíuo são dds por p i + pelo que, fcilmee prir ds figurs M. e M.7 resulm os siis represedos s figurs M.8 e M Figur M.8 o Figur M.9 Prof. José Amrl M - 7 Versão. 6--

20 Prof. José Amrl M - 8 Versão. 6-- d De form que eergi do sil e sej míim, os coeficiees são clculdos pels epressão d d Temos eão o o o d d E d d d d o e d d E d d d d

21 Mlb. Resolv o Eercício. recorredo o Mlb. A prir ds epressões líics, comecemos por represer grficmee os siis, recorredo o cálculo simbólico. sms sm'**heviside-heviside--*heviside--heviside-' sm'8/**heviside-heviside-' sm'*-+*heviside-*heviside-heviside-' g-:.:5; gsubs,,g; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[ ] gsubs,,g; gdoublesubsg,,.9; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[ ] gsubs,,g; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[ ] Obemos ssim s figurs M. M., que rduzem evolução dos siis o iervlo [, 5] rbirou-se. 9 com meros objecivos de represeção.. A deermição de prir ds epressões cim defiids pr cd um dos siis é um problem demsido geérico pr que se poss ecorr um solução por recurso o cálculo simbólico. Nomedmee é icoorável o descohecimeo de Heviside. É por isso ecessário subdividir o problem s siuções possíveis:, < o <, < o <, e o >, l como foi feio o Eercício.. Prosseguido prir dí emos. <. Nes siução pelo que o produo iero resul < o d d i-*,,-if,if s -6*, pelo que ão eise possibilidde do produo iero se ulr.. >. Nes siução resul pr o produo iero o 8 8 d d + d o o ism'-*/',,,+ism'*/',, s 8/, pelo que ão eise possibilidde do produo iero se ulr.. <. Nes siução resul pr o produo iero < o 8 o 8 d d + d o o Prof. José Amrl M - 9 Versão. 6--

22 rsimplifism'-*/',,,+ism'*/',, r 6*-8+^/ solver s [ *^/] [ -*^/] A riz posiiv cosiui solução do problems proposo. Temos eão. b As eergis dos siis são riviis de clculr prir d defiição sm'8/sqr8**heviside-heviside-sqr8'; sm'*-+*heviside-*heviside-heviside-'; Ei.^,-if,if E 8/*^/ Ei.^,-if,if E 6 c A represeção ds compoees pr e impr do sil é rivil prir d defiição sms sm'**heviside-heviside--*heviside--heviside-' fsubs,,-; p+f/; i-f/; g-5:.:5; gsubsp,,g; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[ ] gsubsi,,g; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[ ] Obemos ssim s figurs M.8 e M.9. d A prir d defiição dos coeficiees emos de imedio sms sm'**heviside-heviside--*heviside--heviside-' sm'8/sqr8**heviside-heviside-sqr8'; sm'*-+*heviside-*heviside-heviside-'; i*,,-if,if/e /8 i*,,-if,if/e - Noe uilizção dos vlores d eergi clculdos líe erior. Prof. José Amrl M - Versão. 6--

23 Demo : Orogolidde ere seos É fácil demosrr que os siis se ω e se mω si, são orogois em qulquer iervlo [, + π ω ]. Pr que dois siis, e, sejm orogois o iervlo [ ] deve ser ulo Devemos er eão d, com e m ieiros e diferees ere, o seu produo iero + π ω se ω se mω d + π ω cos m ω cos + m ω d + π ω se se m ω + m ω ω m + m É desecessário desevolver epressão pr verificr que é ul. Como e m são ieiros, eão m e + m mbém o são, pelo que o vlor dos seos em mbos os limies de iegrção é igul, já que é clculdo em ω o e ω + π, uldo-se muumee. Cocluímos ssim que s fuções se ω e se mω, com e m ieiros, e diferee, + π ω. ere si, são orogois em qulquer iervlo [ ] Prof. José Amrl M - Versão. 6--

24 Apêdice : Espço de vecores Cosidere os vecores represedos figur M.. Como V e V são colieres, qulquer deles pode ser especificdo ecmee em fução do ouro. Por eemplo, especificdo V em fução de V, podemos escrever V V V e V V, em que é um coeficiee rel que pode ser clculdo se forem cohecidos os módulos dos vecores V e V u u V V Figur M. V V Se os dois vecores fossem iguis seri. Sedo diferees, fs-se o mis d uidde quo mis V e V se diferecirem. Nese seido podemos dizer que o coeficiee é um medid de semelhç ere os dois vecores. V V e V V Cosidere os vecores V e V. Temos gor um siução mis gerl de dois vecores ão colieres. Podemos id ssim eprimir um em fução do ouro V V e V V + V e A solução ão é úic. Observe figur M.. Podemos escrever quisquer ds rês relções bv V V V V bv cv + V + V + V e e e V V e É óbvio d figur M., e poder-se-i demosrr liicmee, que primeir ds relções, em que V Figur M. e é perpediculr V, correspode à siução em que o vecor V e em o meor módulo. Ierpredo o vecor V e como o erro comeido quo preedemos represer o vecor V em fução do vecor V, pssremos desig-lo por vecor de erro. Podemos cocluir que represeção de um vecor, V, rvés de ouro, V, devemos, de modo miimizr o erro comeido, decompor V em dus compoees: um perpediculr V, que cosiui o vecor de erro; e our segudo direcção de V, que, por isso mesmo, é desigd por compoee do primeiro vecor segudo direcção do segudo. V V + V e Observe figur M.. Quo meor for o vecor de erro, mior será compoee do primeiro vecor segudo direcção do segudo vecor, mis se ssemelhdo os dois vecores. cv Prof. José Amrl M - Versão. 6--

25 Se os vecores forem orogois projecção de um sobre o ouro é ul. O coeficiee de semelhç ere eles é ulo,, ão podedo um ser represedo em fução do ouro. Sedo θ o âgulo ere os dois vecores, podemos escrever V V e cos θ V Ve V,se θ V V V, logo, compoee de um vecor segudo ouro pode ser epress em fução do âgulo ere os dois vecores V V θ cos Ficdo clro que o cso em que os dois vecores ão são colieres o coeficiee de semelhç ere eles, pr lém d relção ere os módulos depede mbém do âgulo por eles formdo V V bv V e V e V V cos θ cv Recorde d cdeir de Aálise Vecoril que se defie o produo iero ere dois vecores, V e V, como Figur M. V V V V cos θ, em que θ é o âgulo ere os dois vecores. Assim sedo V θ V se θ V V V V V V V cos θ V Figur M., pelo que podemos escrever o coeficiee de semelhç ere os dois vecores form V V V V Cosidere figur M.. Os vecores u e u el represedos, por serem um cojuo de vecores orogois de crdil igul à dimesão do espço, diz-se um espço vecoril orogol. V u u u V V u Figur M. Qulquer vecor em R pode ser represedo em fução deses dois vecores. Por eemplo, pr o vecor V será V V + u V u em que V u e V u são s compoees do vecor V segudo u e u respecivmee. Prof. José Amrl M - Versão. 6--

26 Como vimos V V u u u u z V Ve e u u V u V u V V u u u Figur M.5 Porque u e u podem represer qulquer vecor em R, o espço vecoril por eles defiido diz-se um espço vecoril compleo. Admi gor que V ão pereci o espço defiido por u e u, coforme se eemplific figur M.5. Nes siução V só poderi ser defiido em fução de u e u meos de um vecor de erro V u + V Vu + V e Pr ober-mos um espço vecoril compleo seri ecessário um ouro vecor, perpediculr os dois primeiros, u z, com V Vu + Vu + Vz u z V z V u z u u z z Geerlizdo um espço -dimesiol, podemos dizer que, ddo um espço vecoril u, com m,, K, orogol compleo { } m u i u j u i, i j, i j, qulquer vecor, V, pode ser represedo ese espço sedo V V u K + V i V u u u i + Vu + Vu i i Prof. José Amrl M - Versão. 6--

27 Apêdice : Espço de siis Cosidere dois siis reis, e um iervlo [, ] rvés dum relção do ipo e +, e dmi que quer eprimir em fução de de modo que o sil sej o mis semelhe possível, ou sej, de modo comeer o meor erro possível. Por logi com o espço de vecores podemos dizer que procurmos o sil colier com que melhor o proim. Sedo fução de erro e um criério pr miimizr o erro comeido pel proimção o iervlo [ ] miimizr o erro médio comeido esse iervlo C e d, seri o de N medid em que es fução preede medir o cuso d proimção, o seido em que o seu vlor deverá ser o mior quo mior for o erro comeido proimção, e poro mior o prejuízo cuso de se fzer proimção, vmos chmr-lhe fução de cuso. Acoece que fução de cuso erro médio ão é um bo fução de cuso ddo que os erros posiivos comeidos pel proimção o iervlo [, ] coribuirão pr eur os erros egivos, resuldo um vlor fil do cuso que ão rduz desdequção d proimção escolhid. De modo evir es siução podemos, por eemplo, vlir o qudrdo d fução de erro, uilizdo como fução de cuso fução erro qudráico médio C e d Noe que o que vmos fzer é miimizr poêci médi do erro o iervlo [, ]. Vmos eão procurr o coeficiee de semelhç ere s dus fuções proimr que miimiz o erro qudráico médio C e d d Sedo que implic ou sej dc d d d [ ] d Prof. José Amrl M - 5 Versão. 6--

28 d d + d d [ ] d d d d d eão o coeficiee de semelhç ópimo, segudo um criério de miimizção do erro qudráico médio, é d d Por logi com equção obid pr os vecores V V V V defiimos o produo iero ere dois siis e, d, o iervlo [ ],, como Resul id por logi, que dois siis e são siis orogois, o iervlo, se [, ] d Fcilmee se deduziri que pr o cso de dois siis discreos, [ ] e [], o coeficiee de semelhç ópimo, segudo um criério de miimizção do erro qudráico médio, o iervlo, é [ ], [] [] [ ] sedo o produo iero, o iervlo [, ], defiido por [ ] [ ] [ ] [ ], Prossigmos com logi ere vecores e siis. Um vez que esá defiido o produo iero ere siis, podemos gor defiir um espço de siis orogol. Cosidere-se um cojuo de siis orogois { }, com,, K,, um iervlo [, ] Prof. José Amrl M - 6 Versão. 6--

29 Prof. José Amrl M - 7 Versão. 6-- j i m j i d i j i j i, Pr ermos gri que qulquer sil pode ser represedo ese espço ese deve ser compleo, ou sej, ão poderá eisir ehum sil o l que m d m o,,,, K ddo que se l se verificr o é orogol odos os siis do cojuo { } e poro deverá mbém ser cosiderdo um elemeo do cojuo. De qulquer modo, é sempre possível represer meos de um sil de erro e i e K Miimizdo o erro qudráico médio um iervlo [ ], d resul, + d d Ddo que ods s derivds prciis em ordem de odos os ermos que ão depederem dese coeficiee são ulos, e odos os iegris de produos cruzdos de siis de bse de diferees ídices, já que por defiição os siis são orogois, são igulmee ulos, resul simplesmee [ ] d pelo que os coeficiees ópimos, o seido d miimizção do erro qudráico médio, são ddos por d d Admiido que o espço de siis { } é ormdo, iso é, que m d

30 Prof. José Amrl M - 8 Versão. 6-- resul simplesmee, d Pr os coeficiees ópimos o erro qudráico médio é + + i i i i i d d d d d C ededo ovmee à orogolidde dos siis de bse, e subsiuido os coeficiees pelo seu vlor ópimo, resul simplesmee m d C 6 Podemos cosiderr dus siuções em que o erro se ul.. Se o espço de siis for compleo eão o sil é complemee represeável por um combição lier dos siis de bse resul eão de 6 que m d que pr o cso do espço ser ormdo é simplesmee d ou sej i. Se umermos idefiidmee o úmero de ermos do somório em 6 ese poderá covergir pr o iegrl d m Diz-se es siução que série coverge em médi. O sil é eão complemee represeável pel série ifii

31 N siução mis gerl em que os siis sejm compleos, há que er o devido cuiddo o desevolvimeo líico. Resumem-se seguidmee os resuldos que se lcçrim. Por logi com o espço de vecores, defiimos o produo iero ere siis um iervlo, como [ ],, d Cosidere-se um cojuo de siis orogois compleos { } iervlo [, ], com,, K,, um, i j i j d mi i j i j Ese espço orogol de siis diz-se compleo se ão eisir ehum sil l que * m d, m,, K, Qulquer sil é represeável ese espço meos de um erro + e em que os coeficiees ópimos, o seido d miimizção do erro qudráico médio, são ddos por d d Se o espço for ormdo e compleo, eão Prof. José Amrl M - 9 Versão. 6--

32 Eercícios M Eemplo Cosidere os seguies siis [ ] δ[ + ] δ[ + ] + δ[ ] + δ[ ] [ ] δ[ + ] + δ[ ] + δ[ ] [ ] δ[ + ] + δ[ ] + δ[ ] Represee os siis. b Verifique se os siis [ ] e [ ] são orogois. c Clcule eergi dos siis [ ] e [ ]. d Represee s compoees pr e ímpr do sil [ ]. e Deermie os vlores dos coeficiees e d epressão [ ] [ ] + [ ] + e [ ] de form que eergi do sil e [] sej míim. f Clcule eergi do erro e [ ] s codições d líe erior. 6. g Represee [ ] A prir d represeção líic emos [- - - ]; [ - - ]; [ ]; [ - ]; figure;sem,,'filled' grid o; is[- - ] figure;sem,,'filled' grid o; is[- - ] figure;sem,,'filled' grid o; is[- - ] Os siis mosrm-se s figurs M.6 M.8 b Aededo à defiição deve ser [ ] [ ] podemos verificr que o produo iero é ulo >> *' s c A prir d defiição Figur M Figur M.7 E [ ] Figur M.8 Prof. José Amrl M - Versão. 6--

33 , eergi dos siis [ ] e [ ] é >> E*' E 6 >> E*' E 6 d Recorredo à fução fucio [p,i,m] p_i, escri em Fich M Eercício 5 emos de imedio [p,i,m] p_i,; figure;semm,p,'filled'; grid o; is[- - ] figure5;semm,i,'filled'; grid o; is[- - ] Figur M.9 Os gráficos resules podem ver-se s figurs M.9 e M. e De form que eergi do sil [ ] e sej míim, os coeficiees são clculdos pel epressão Assim [] [] [] Figur M. >> *'/E.5 >> *'/E.8 f Sedo e [ ] [ ] [ ] + [ ] emos >> *+*; >> e-; >> Eee*e' Ee.8 c Recorredo à fução fucio [m,] rsf_,,,b escri em Eercícios M Eemplo emos de imedio [m,] rsf_,,,6 figure6;semm,,'filled'; grid o; is[ 6 - ] O gráfico resule pode ver-se figur M Figur M. Prof. José Amrl M - Versão. 6--

34 Eemplo Cosidere os seguies siis [ ] δ[ ] [] m δ[ m ] m - Represee os siis. b Verifique se os siis [ ] e [ ] orogois. são c Deermie eergi dos siis [ ] []. e d Represee s compoees pr e ímpr do sil [ ]. 5 e Represee o sil [ ] A simplicidde dos siis permie su represeção prir de um coveiee ierpreção ds epressões líics, ão jusificdo escri de um código de represeção sisemáico que seri ecessrimee mis compleo. Assim o primeiro sil é obvimee cosiuído por impulso uiários resules de [,, ], siudos em, 5, Figur M Figur M., odos de mpliude, ou sej, d epsão do somório resul [ ] δ[ ] + δ[ 5] + δ[ 6] O segudo sil em um somório ierior de cuj epsão pr resul [ ] δ[ ] + δ [ ] + δ[ ] + δ[ ] D epsão do somório eerior resul repeição periódic dese sil, com N, hvedo um réplic, pr ec. [ ] δ[ ] + δ [ ] + δ[ ] + δ[ ] Assim, podemos, por eemplo, escrever N; -*N:*N-; [zeros,*n+ zeros,*n-7]; figure;sem,,'filled' grid o is[-*n *N - ] b[ zeros,n-]; [b b b b]; figure;sem,,'filled' grid o is[-*n *N - ] De ode resulm s figurs M. e M. que rduzem o compormeo dos siis o,. iervlo [ [ Prof. José Amrl M - Versão. 6--

35 b A coclusão de que os siis são orogois é imedi um vez que qulquer deles é ulo os poos em que o ouro om vlores ão ulos. Aid ssim, e ededo à defiição [ ] [ ] podemos verificr que o produo iero é ulo *' s c A prir d defiição E [ ], eergi do sil é E*' E Sedo um sil periódico, eergi do sil é ifii d Recorredo à fução fucio [p,i,m] p_i, escri em Fich M Eercício 5 emos de imedio Figur M. [p,i,m] p_i,; figure;semm,p,'filled'; grid o; is[-*n *N - ] figure;semm,i,'filled'; grid o; is[-*n *N - ] Os gráficos resules podem ver-se s figurs M. e M.5 c Recorredo à fução fucio [m,] rsf_,,,b escri em Eercícios M Eemplo emos de imedio [m,] rsf_,,,5 figure5;semm,,'filled'; grid o; is[mim mm - ] O gráfico resule pode ver-se figur M Figur M Figur M.6 Prof. José Amrl M - Versão. 6--

36 Eemplo Cosidere os siis Π.5 5 sg.5 Π.5 Represee os siis. b Deermie s compoees pr e ímpr do sil. c Clcule eergi dos siis p e i. d Deermie os vlores dos coeficiees e d epressão p + ii + e de form que eergi do sil e sej míim Figur M.7 A prir ds epressões líics dos siis e, e recorredo o cálculo simbólico - sms sm'**heviside- Heviside-' sm'5*-+*heviside-.5*heviside-heviside- ' Figur M.8 g-:.:5; gsubs,,g; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[- 5 - ] gsubs,,g; gdoublesubsg,,.9; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[ ] Obemos s figurs M.7 M.8, que mosrm evolução dos siis o iervlo [, 5] b A represeção ds compoees pr e impr do sil, prir d defiição p i +, é imedi fsubs,,-; p+f/; i-f/; g-5:.:5; gsubsp,,g; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[ ] gsubsi,,g; figure;plog,g,'liewidh',; grid o; is[ ] Prof. José Amrl M - Versão. 6--

37 Obemos ssim s figurs M.9 e M.5. c A prir d defiição 6 E d, s eergis dos siis são riviis de clculr - Epdoubleip.^,-if,if Ep 7.5 Eidoubleii.^,-if,if Ei 7.5 d A prir d defiição dos coeficiees Figur M.9 d d, emos de imedio - doublei*p,,-if,if/ep.5 doublei*i,,-if,if/ei Figur M.5 Prof. José Amrl M - 5 Versão. 6--

38 Fich de Avlição M N: Nome: Turm: D limie de ereg -- A fich deve ser colocd, é à d limie, o recipiee proprido eisee juo o Gbiee C CEDET Grupo C Eercício Cosidere os seguies siis [] δ[ ] [] δ[ ] [] δ[ ] Represee os siis. b Verifique se os siis [ ] e [ ] são orogois. c Clcule e represee s compoees pr e ímpr do sil [ ]. d Deermie os vlores dos coeficiees e d epressão [ ] [ ] + [ ] + e [ ] de form que eergi do sil e [ ] sej míim.. e Represee o sil [ ] f Clcule e represee covolução ere os siis [ ] e [ ]. Grupo B Eercício Cosidere os seguies siis + Π Π.5.5 Π Π 5 sg Represee os siis cosidere qulquer.5 < <. b Deermie o vlor de de modo que os siis e sejm orogois. c Deermie e represee s compoees pr e ímpr do sil. d Clcule eergi dos siis e. e Deermie os vlores dos coeficiees e d epressão + + e de form que eergi do sil e sej míim. Prof. José Amrl M - 6 Versão. 6--

39 Grupo A Eercício Cosidere os seguies siis [ ] se [ ] δ[ ] π l l [ ] δ[ l] [ ] δ[ l] Represee os siis. b Verifique se os siis [ ], [ ] e [ ] c Deermie os vlores dos coeficiees, e são orogois. d epressão [ ] [ ] + [ ] + [ ] + [ ] de form que eergi do sil [ ] d Represee o sil [ ] e sej míim.. e Prof. José Amrl M - 7 Versão. 6--