Analyses of the Spurious Oscillations in the Lumped Parameters Line Model

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1 IEEE LTIN MERIC TRNSCTIONS, VOL. 3, NO. 7, JULY 5 83 alyses of he Spurious Oscillaios i he Lumpe Parameers Lie Moel. R. J.e raújo, R. C. a Silva a S. Kurokawa bsrac The curres a volages i he muliphase rasmissio lie are escribe by iffereial equaios ha someimes ca be ifficul o solve ue he muual couplig a ski effec ha have o be cosiere for accurae resuls. aleraive cosiss i usig a marix o ecompose he muliphase rasmissio lie i sigle-phase syss ucouple. For evaluaig moal volages a curres, each sys will be represee by wo moels well-kow for suies i elecromageic rasies i rasmissio lie. The firs moel uses he lumpe parameers o represe he rasmissio lie a i is evelope irecly i he ime omai. The seco moel uses he isribue parameers a rasforms he iffereial equaios i he ime omai o algebraic equaios i he frequecy omai usig Laplace Trasform. Oce solve h, i ca be applie he iverse rasformaio a he soluios are obaie i he ime omai. I ca be observe he presece of spurious oscillaios i he lumpe moel simulaios. This work will aalyze he spurious oscillaios i he volages i he ope receivig e usig, cosierig a fixe-legh rasmissio lie, represee by iffere quaiies of π-circuis urig eergizaio process. Keywors Time-Frequecy omai, lumpe a isribue parameers moels, elecromageics rasies, moel rasformaio. I. INTRODUÇÃO S CORRENTES e esões e uma liha e rasmissão polifásica são escrias por equações ifereciais e ifícil resolução evio ao seu acoplameo múuo e aos efeios pelicular e solo presees. Uma aleraiva para o esuo os rasiórios eleromagéicos sisas e eergia elérica e fases cosise ecompô-lo sisas moofásicos esacoplaos ere si, eomiaos e moos e propagação, e maaicamee iêicos ao sisa origial. Caa moo e propagação é esuao separaamee, e uma vez obias as correes e esões o omíio moal, as correes e esões o sisa polifásico são calculaas uilizao marizes e rasformação []-[]; Para a obeção as correes e esões caa moo, poe-se represear a liha e rasmissão por iversos moelos. Nese rabalho caa liha e rasmissão moal será represeaa por ois moelos: O primeiro moelo é cohecio como Moelo a Parâmeros Discreos que cosiera a liha represeaa por circuios π coecaos cascaa e ouro moelo uiliza os parâmeros isribuíos a. R. J. e raujo, Uiversiae Esaual Paulisa (UNESP), Ilha Soleira, São Paulo, rasil, aerjuso@yahoo.com.br R. C. a Silva, Isiuo Feeral e São Paulo,Campus e Vouporaga, São Paulo, rasil, rcleber@gmail.com S. Kurokawa, Uiversiae Esaual Paulisa (UNESP), Ilha Soleira, São Paulo, rasil, kurokawa@ee.feis.uesp.br. liha e as equações hiperbólicas a liha e rasmissão, seo eomiao e Uiversal Lie Moel (ULM). T-se recohecio que um os mais imporaes aspecos a moelag e lihas e rasmissão para esuos rasiórios eleromagéicos cosise cosierar a epeêcia a frequêcia os parâmeros e peras isribuías [3]. Marí cia que moelos que cosieram parâmeros cosaes ão são aequaos para simular a resposa rasiória para uma ampla faixa e frequêcias que esão presees urae o rasiório. Na maioria os casos, usao a represeação por parâmeros cosaes, se prouz siais e elevaas harmôicas e como cosequêcia, uma isorção geral o formao a oa o rasiório com picos e exageraas magiues [3]. Nas resposas o moelo a parâmeros iscreos são observaas oscilações uméricas eomiaas (picos e exageraas magiues) que ão correspo ao valor real o rasiório eleromagéico. Essas oscilações serão eomiaas e que oscilações espúrias. Sabe que as oscilações espúrias epe a quaiae e circuios π uilizaa a represeação a liha e rasmissão, assim como o seu próprio comprimeo. Nese rabalho serão mosraas as oscilações espúrias para simulações e uma liha e rasmissão rifásica abero submeia a um processo e eergização e serão feias aálises o seu coeúo especral cosierao a liha represeaa por iferees quaiaes e circuios π, verificao a sua ifluêcia os resulaos obios. II. TRNSFORMÇÃO MODL Para um sisa polifásico geérico, são uilizaas as marizes impeâcia logiuial por uiae e comprimeo [Z] e a mariz e amiâcia rasversal por uiae e comprimeo [Y] a liha. Para o prouo [Z][Y] exis iversos cojuos e auoveores que esacoplam a liha seus moos exaos e propagação [3]. Os moos exaos são oalmee esacoplaos ere si e são obios a parir a uilização as marizes [T I ] e [T V ] como seo as marizes e rasformação. s marizes [T I ] e [T V ] são os auoveores associaos aos prouos [Y][Z] e [Z][Y]. Oura possibiliae cosise uilizar os quase-moos que são obios a parir o uso a mariz e Clarke [T clarke ] como seo uma mariz e rasformação. [T clarke ] é uma mariz real e cosae, cujos eleos são iepeees a frequêcia, e fácil impleação sofwares que realizam simulações ireamee o omíio o po [4]. Se a liha e rasmissão é iealmee rasposa a [T clarke ] e ecompõe a liha os seus moos exaos. Quao a liha e rasmissão é iealmee rasposa, a [T clarke ] separa a liha seus moos exaos. Em siuações que uma liha ão poe ser cosieraa iealmee rasposa, mas possui um plao e

2 84 IEEE LTIN MERIC TRNSCTIONS, VOL. 3, NO. 7, JULY 5 simeria verical, poe-se, com algumas aproximações, uilizar a [T clarke ] paraa eermiar os seus moos exaos. Nesas coições obém-se a liha ecomposa seus quase-moos. Para lihas ecomposas seus quase-moos, eleos ão ulos fora a as marizes [Y qm ] e [Z qm ] possu algus iagoal pricipal, que serão esprezaos e ese caso obém- ou se seus quase-moos []. Porao, cosierao a liha rifásica, rasposa ão, os moos exaos po ser cosieraos equivalees aos quase-moos, que serão eomiaos como alfa, bea e zero, respecivamee. [T clarke ] é expressa como seo coforme (): [T T ] () clarke 3 3 s marizes e impeâcias e amiâcias os quase- moos a liha são expressass como mosram () e (3): T [ Tclarke ] [ Z][ Tclarke ] [ ] [ Y ][ T ] Z qm [Y Y qm T clarke clarke e ] T Se a liha e rasmissão é iealmee rasposa, as marizes [Z qm ] e [Y qm ] são iêicas às marizes moais e impeâcia e amiâcia [Z m ] e [Y m ]. Ou seja, essas coições a [T clarke] ecompõe a liha seus moos exaos. Caso a liha possua um plao e simeria verical, mas ão possa ser cosieraa iealmee rasposa, as marizes [Z qm ] e [Y qm ] são escrias como mosram (4) e (5): Zα Zα Z qm Z β Zα Z (4) Yα Yα Y qm Y β Yα Y s equações (4) e (5) mosram que quao a liha ão é iealmee rasposa, exise acoplameo ere os quase- moos e propagação, que aqui são eomiaos e alfa, bea e zero. No eao, eermiaas siuações, o acoplameo ere os moos alfa, bea e zero poe ser escosierao. Nesas coições, as marizes [Z qm ] e [Y qm ] oram-se (5): () (3) s esões mosram (). [V qm Uma vez obios os valores e esõess os moos alfa, bea e zero, as esões rifásicass a liha são obias por (7). V 3 ] [ T ] clarke [ ] T os quase-moos são obias coforme [ V 3 ] T T clarke V qm Na equação (7), o veor [V 3 ] represea as esõess as fases, e 3 a liha rifásica respecivamee obia a parir a combiação liear as esões os moos alfa, bea e zero. III. SOLUÇÕES DS EQUÇÕES DIFERENCIIS D LINH DE TRNSMISÃO s equações ifereciais que moelam uma liha polifásica são e ifícil soluçãoo o omíio o po, porém o omíio a frequêcia esas equações são simples e suas soluções são cohecias. solução o omíio a frequêcia é geérica e poe ser aplicaa para qualquer coiçãoo a liha, cosierao os parâmeros fixos e/ou variáveis fução a frequêcia. Quao à solução o omíio o po, essas são epeees as iegrais e covolução cujas soluções ão são facilmee obias. Serão apreseaos os moelos a parâmeros isribuíos e iscreos e as soluções as equações a liha e rasmissão o omíio o po e a frequêcia. Cosierao que a liha e rasmissão rifásica foi ecomposas 3 lihas e rasmissão moofásicas, serão escrias as equações as correes e esões que moelam uma liha moofásica para o moo e propagação geérico coforme a Fig. [4]. Figura. Liha e rasmissão e comprimeo. () (7) liha mosraa a Fig. possui uma impeâcia moal logiuial e uma amiâcia rasversal a a por (8): Z Y qm qm Z α Y α Z β Z Y β Y (5) Z ( ω ) R + j ω L Y ( ω) G Oe R e L são a resisêcia e a iuâcia logiuiais, C e G são a capaciâcia e a couâcia rasversais a liha por uiae e comprimeo. Na Fig. I (ω) e I (ω) são as correes os ermiais e a liha, equao que V (ω) e V (ω) são as esões esess ermiais. s equações as correes o omíio a frequêcia são aas por: + jωc (8) I ( ω ) Y ( ω)v ( ω ) + Y ( ω )V ( ω ) (9)

3 JUSTO DE RÚJO e al.: NLYSES OF THE SPURIOUS 85 I ( ω ) Y Oe os ermos Y (ω), Y (ω), Y (ω) e Y ( ω) são calculaos por : ( ω )V ( ω ) + Y ( ω ) V ( ω ) C Y Y - csch γ (ω)) Z Y Y coh ( γ (ω ω) ) Z C ( () () represeaa por circuios π coecaos cascaa e po- coroa. Será mosraa uma liha e rasmissão moofásica represeaa por uma cascaa e circuios π, b comoo as se cosierar as peras, o efeio a frequêcia e o efeio écicas e obeção as correes e esões a liha uilizao o moelo proposo. Uma liha e rasmissão moofásica poer ser represeaa por parâmeros iscreos, como seo uma cascaa e circuios π [] coforme mosra a Fig.. Em () Z c(ω) e γ (ω) são a impeâcia caracerísica e a fução e propagação a liha e são escrios como seo: Z ( ω) Z C (ω) () Y ( ω) γ (ω) Z ( ω) Y ( ω) (3) rasformação e (9) e () para o omíio o po ão é facilmee obia e mooo aalíico evio às iegrais e covolução observaas. Uma aleraiva cosise rasformar as equações ifereciais o omíio o po equações algébricas para o omíio a frequêcia. Esse moelo cosiera que os parâmeros a liha são isribuíos ao logo o seu comprimeo, e uiliza as equações algébricas hiperbólicas o omíio a frequêcia seo eomiao por Uiversal Lie Moel [5]. Uma vez ecoraas as soluções, uilizao a Trasformaa Iversa e Laplace, são obias as resposas o omíio o po. rasformaa e Laplace e uma fução f() é efiia como mosrao (4): F() s L f ( ) f ( e ) plicao a Trasformaa Iversa e Laplace (9) e () e cosierao que s jωω obém-se: I I () π () π { + j j + j j Y Y } ( ω ) V ( ω ) + Y ( ω ) V ( ω) V ( ω) + Y ( ω) V s Geralmee essas equações são e ifícil resolução seo que ão é possível eermiar uma solução aalíica para as graezas I (), I (), V () e V () []. Porao, são uilizaos méoos uméricos que resolv (9) e () o omíio a frequêcia e uilizao a Trasformaa Iversa e Laplace impleaa umericamee, coforme o algorimo proposo [,], poe-see ober a resposa o omíio o po. IV. MODELO PRÂMETROS DISCRETOS O moeloo a parâmeros iscreos é muio uilizao a represeação e lihas e rasmissão para o esuo e rasiórios eleromagéicos. Nesse moelo a liha é jω ( ω) e ω ( ω) e ω jω (4) (5) () Figura. Liha represeaa por cascaas e circuios π. Na Fig., os parâmeros R e L são, respecivamee, a resisêcia e a iuâcia logiuiais e caa segmeo e liha. Os parâmeros G e C são, respecivamee, a couâcia e a capaciâciaa o segmeo e liha. Os parâmeros R, L, G e C são escrios como seo: R R' Em (7) os ermos R' e L' são os parâmeros logiuiais a liha por uiae e comprimeo e os ermos e C' e G' são os parâmeros rasversais a liha por uiae e comprimeo. O moelo a parâmeros iscreos mosraoo a Fig. forece as correes e esões a liha ireamee o omíio o po e po ser facilmee impleao qualquer liguag compuacioal [7]-[8]. Cosiere uma liha e rasmissão e comprimeo, represeaa por circuios π, como mosra a Fig. s correes logiuiais e as esões rasversais a liha po ser escrias a forma e equações e esao. x [ ][ x] + [ ] u () x i () v () i() v() Em (8), [x] é um veor com as correes e esões caa um os circuios π, equao que [] e [] são marizes e esaos a cascaa. Para uma liha e rasmissão represeaa por circuios π coecaos cascaa, as marizes [] e [] são aas por: [ ] [ ] L L' C C' G G' i () () T v R / L / L / C G/ C / C / C G/ C / C / L R / L T L (7) (8) (9) ()

4 8 IEEE LTIN MERIC TRNSCTIONS, VOL. 3, NO. 7, JULY 5 mariz [] é uma mariz quaraa e or e a mariz [] possui a imesão (x). equação e esao mosraa (8) serão resolvias por meio o méoo e iegração umérica e Heu que são impleaas com qualquer liguag compuacioal. s oscilações espúrias são ierees ao méoo umérico e iegração uilizao para as equações e esao. V. RESULTDOS Fig. 3 mosra uma liha e rasmissão rifásica que será uilizaa as simulações ese rabalho. liha será cosieraa rasposa e com plao e simeria verical, seo as fases, e 3 cosiuías por 4 subcouores o ipo Grosbeak, raio e, cm caa fase, e os couores 4 e 5 são cabos para-raios o ipo EHSW-3/8.. [ Y li ha ] j,554 -j,7i -j,7 j,747 -j,7 -j,7 -j,7 -j,7 j,747 Serão calculaas as esões o ermial recepor abero para uma liha eergizaa por uma foe e esão seoial rifásica e equilibraa. Uilizao a [T clarke ] a liha rifásica será ecomposa rês lihas moofásicas iepeees. Caa liha moofásica será represeaa pelos ois moelos escrios aeriormee. Verificam-se as resposas o moelo a parâmeros iscreos oscilações espúrias as simulações. Serão mosraas as oscilações espúrias e feias aálises o seu coeúo especral cosierao a liha represeaa por iferees quaiaes e circuios π. Figura 4. Liha rifásica com ermial recepor abero usao as simulações. Fig. 5 mosra um moo e propagação geérico m represeao pelo moelo a parâmeros iscreos. Figura 3. Liha rifásica uilizaa as simulações. Os parâmeros logiuiais a liha foram calculaos cosierao os efeios solo e pelicular. Cosierao a liha mosraa a Fig. 5 são cohecias para a frequêcia e Hz as marizes [L liha ] (mh/km) e [C li iha] (F/km) são, respecivamee:,,855,7,7 [ L liha ],,7,34,93,,7,93,34 4,5 -,74 -,74 [CC liha ] -,74 9,858 -,783 -,74 -,783 9,858 Cosierao o efeio ski e o efeio solo, as marizes [Z liha ] (Ω/km) e [Y liha ] (µs/km), para a frequêcia e Hz, são aas por:,738 + j,3,58 + j,343,58 + j,,343 [ZZ liha],58 + j,343,74 + j,53,58 + j,345,58 + j,343,58 + j,345,74 + j,53 Figura 5. Liha geérica para o moo m. Fig. mosra o iagrama os proceimeos para o esacoplameo a liha rifásica e cálculo as esões moais e rifásicas (o omíio as fases). (7) () Figura. Proceimeo para o calculo as esões rifásicas moais. abela I mosra os parâmeros a liha e rasmissão para caaa moo e propagação m:

5 JUSTO DE RÚJO e al.: NLYSES OF THE SPURIOUS 87 Tabela I. PRÂMETROS ELÉTRICOS PR CD MODO M. MODO PRÂMETROS LF ET ZERO Rm(Ω/km),59,59,79 Lm(mH/km),3, 4,9 Cm(F/km),939,59,355 Gm(µS/km) s esões meias o ermial recepor abero, V (), cosierao o moelo a parâmeros isribuíos po ser observaas coforme a Fig. 7. Tesão (pu) po (ms) Figura 7. Tesões V () cosierao a liha represeaa pelo moelo a parâmeros isribuíos. liha rifásica foi represeaa pela quaiae e 5, e circuios π para verificar a ifluêcia a quaiae e circuios π o surgimeo as oscilações espúrias as simulações. s resposas serão comparaas com as simulações obias pelo ULM. Fig. 8 mosra as esões o ermial recepor a liha e rasmissão represeaa por 5 circuios. Tesão (pu) Figura 8. Tesões V () cosierao a liha represeaa por 5 circuios π. Fig. 9 mosra as esões o ermial recepor represeaa por circuios π. fase fase fase fase po (ms) Tesão (pu) po (ms) Figura 9. Tesões V () cosierao a liha represeaa por circuios π. Fig. mosra as esões o ermial recepor represeaa por circuios π. esão (pu) Figura. Tesões V () para a liha represeaa por circuios π. fase fase po (ms) s Figs. 9 e represeam as esões o ermial aequaamee. Verifica-se que as resposas são selhaes oas as simulações, porém as Figs. 8 a coêm oscilações espúrias. s oscilações ocorrer evio à represeação e um pequeo segmeo e liha, cujos parâmeros são isribuíos, por cascaa e circuios π que uiliza eleos iscreos e circuios e iepe o méoo umérico uilizao para resolução as equações e esao [9]. ssim poe-se uilizar o moelo a parâmeros iscreos para esuar rasiórios eleromagéicos lihas e rasmissão. s oscilações ão represeam o valor real a esão rasiória. Nas Figs. 9 e, cosierao a primeira oscilação, essa esá 3% acima o valor esperao). Esse pico, caso cosierao, poe resular a auação ievia e sisas e proeção ou sobreimesioameo e isolaores urae seu projeo, orao-o mais cusoso. Diversos programas como TP, EMTP, PSCD usam o moelo a parâmeros iscreos a represeação e lihas e isios méoos e iegração rapezoial e as oscilações po ser observaas os rasiórios eleromagéicos. Para esuar o coeúo especral as oscilações espúrias será aplicaa a Trasformaa e Fourier as simulações obias. Na Fig. são mosraas as esões V () a fase urae a primeira reflexão e oa para a liha e rasmissão represeaa por circuios π cascaa, cosierao um comprimeo fixo e km.

6 88 IEEE LTIN MERIC TRNSCTIONS, VOL. 3, NO. 7, JULY 5 Tesao (pu) Tesäo a fase para liha represeaa por circuios pi. 5 5 s Figs. 3-5 mosram o especro as esões V () o ermial recepor abero obias com o moelo a parâmeros iscreos com 5, e circuios π. mpliue (%) 8 mpliue (%) fase fase po (ms) Figura. Tesões V () cosierao a liha represeaa circuios π. s oscilações espúrias epe a quaiae e circuios π uilizaa a represeação a liha. Para as quaiaes acima e,5 π/km, o rasiório é mais b represeao. Os resulaos ambém mosram que para e circuios π o rasiório ão apresea uma ifereça sigificaiva. Iso sugere que ocorre uma sauração a resposa, para ao comprimeo fixo a liha. Mamis [3] calcula o erro obio o cálculo a esão V () evio à represeação a liha e rasmissão moofásica por circuios π com a resposa obia para o moelo a parâmeros isribuíos. Nesse esuo a variação o erro perceual é iversamee proporcioal com o úmero e circuios π usao. Mamis ambém propõe que para um ao erro olerável, poe-se ecorar o úmero exao e circuios π para represear a liha, eviao o úmero excessivo e circuios π e os esforços compuacioais e erros acumulaivos são elimiaos. s Figs. a 5 mosram os especros e frequêcia as esões o ermial abero com a liha represeaa por iversas quaiaes e circuios e seguia será feia uma aálise sobre os resulaos obios. Fig. mosra o especro e frequêcia as esões obio pelo moelo a parâmeros isribuíos. mpliue (%) 8 4 mpliue (%) 5 5 fase fase Frequêcia (Hz) Frequêcia (Hz) Figura. Especro e V () para o moelo a parâmeros isribuíos Frequêcia (Hz) Frequêcia (Hz) Figura 3. Especro e V () para moelo a parâmeros iscreos com 5 circuios π. Na Fig. mosra o especro as esões o ermial recepor a liha cosierao o moelo a parâmeros isribuíos. s ampliues são apreseaas valores porceuais (valor e base é a ampliue a compoee fuameal as esões). ssim por explo, a ampliue a compoee o especro e frequêcia para 5 Hz é equivalee a 3% a compoee fuameal. mpliue (%) mpliue (%) 8 4 mpliue (%) Frequêcia (Hz) Figura 3. Especro e V () para moelo a parâmeros iscreos com circuios π. 8 4 mpliue (%) Figura 5. Especro e V () para moelo a parâmeros iscreos com circuios π. quaiae e circuios π ifluecia o especro e frequêcia. Para uma quaiae e 5 circuios π, a esão apresea poucas compoees e elevaas frequêcias quao comparaa com uma liha represeaa por ou fase fase Frequêcia (Hz) Frequêcia (Hz)

7 JUSTO DE RÚJO e al.: NLYSES OF THE SPURIOUS 89 circuios π. Para a liha represeaa com circuios π, a resposa coém maior coeúo especral, porém as ampliues são iferiores quao comparaas com a Fig.. Para o especro a esão com a liha represeaa por circuios π verifica-se que ão há ifereças sigificaivas, sugerio uma sauração a quaiae e circuios π a ser uilizaa a represeação e lihas e rasmissão. ssim a quaiae e circuios π isere frequêcias a resposa e essas esão ireamee ligaas às oscilações espúrias observaas as resposas o omíio o po. VI. CONCLUSÕES Nesse rabalho a liha e rasmissão rifásica foi represeaa por ois moelos e liha e rasmissão para o cálculo as esões o ermial recepor abero. liha e rasmissão rifásica foi represeaa por ois moelos. O primeiro moelo é o moelo a parâmeros iscreos que cosiera a liha represeaa por uma cascaa e circuios π e esevolvio ireamee o omíio o po. O ouro moelo é eomiao e o moelo a parâmeros isribuíos esevolvio o omíio a frequêcia e seguia aplica-se a Trasformaa Iversa e Laplace impleaa umericamee, obeo as resposa o omíio o po. Observou-se a preseça e oscilações espúrias oas as simulações cosierao o moelo a parâmeros iscreos para a liha submeia a iversas coições e eergização. Os resulaos mosraram que o espeho o moelo a parâmeros iscreos epe a quaiae e eleos iscreos uilizaos para represear a liha e que as oscilações espúrias são ierees ao méoo e iegração umérica usao para resolver as equações e esao. Verifica-se o especro e frequêcias as esões rifásicas, cosierao o comprimeo e liha fixo, que a meia que se aumea a quaiae e circuios π, as ampliues as compoees especrais as oscilações espúrias são reuzias e são iserias mais compoees o seu especro. Os resulaos ambém mosraram que ocorre sauração as oscilações presees as resposas com o aumeo a quaiae e circuios π usaos a represeação e lihas e rasmissão. ssim a quaiae e circuios π ifluêcia ireamee a resposa o omíio o po e a sua composição especral, e ev s levaas cosieração para o esuo e rasiórios eleromagéicos liha e rasmissão. VII. GRDECIMENTOS Os auores agraec pelo apoio a Fuação e mparo à Pesquisa o Esao e São Paulo - FPESP (/3857-4) e o Coselhoo Nacioal e Desevolvimeo Cieífico e Tecológico - CNPq. REFERÊNCIS [] Tavares, C., Pissolao J., Porela C.M., Moe Domai Muliphase Trasmissio Lie Moel-Use i Trasie Suies, IEEE Trasacios o Power Delivery, vol. 4, o 4, pp , ocober 999. [3] Mari, J. R., "ccurae Moellig of Frequecy-Depee Trasmissio Lies i Elecromageic Trasie Simulaios", IEEE Trasacios o Power pparaus a Syss.vol. PS-. issue, pp.47-57, jauary 98. [4] S. Kurokawa, R.C. 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Rorigo Cleber a Silva Grauao () mesree egeharia elérica pela Faculae e Egeharia Ilha Soleira. ualmee esá o ouorao a mesma uiversiae. Professor o Isiuo Feeral e São Paulo (IFSP). Suas pricipais áreas e ieresse são rasiórios eleromagéicos sisas e poêcia, moelos maáicos para lihas e rasmissão e méoos uméricos para aálise rasiória. Sérgio Kurokawa (S -M 4) Grauao Egeharia Elérica (99). Dese 994 aua como Professor a Faculae e Egeharia e Ilha Soleira a Uiversiae Esaual Paulisa (UNESP). Obeve o íulo e Douor Egeharia Elérica a Faculae e Egeharia Elérica e a Compuação a Uiversiae Esaual Paulisa (UNICMP). Suas pricipais áreas e ieresse são rasiórios eleromagéicos sisas eléricos e poêcia e moelos e lihas e rasmissão para simulações e rasiórios eleromagéicos sisas e poêcia. [] S. Kurokawa, F. N. R. Yamaaka,. J. Prao, J. Pissolao, Represeação e Lihas e Trasmissão por meio e Variáveis e Esao Levao Cosieraçãoo o Efeio a Frequêcia sobre os Parâmeros Logiuiais, Revisa Corole & uomação, vol. 8, o 3, pp , july, augus, seber 7.