Diferença entre duas médias. Diferença entre duas proporções (π 1 - π 2 = ) Igualdade entre duas variâncias. Prof. Lorí Viali, Dr.

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1 Prof. Lorí Viali, Dr. a.ufrgs..ufrgs.br hp:// :// br/~viali/ Depedees Idepedees Tese para aosras eparelhadas Variâcias Cohecidas Variâcias Descohecidas Tese z uposas iguais uposas diferees Difereça ere duas édias (µ - µ ) Difereça ere duas proporções (π - π ) Igualdade ere duas variâcias ( )

2 Nese caso a variável vel ese é: Z > z c (ese uilaeral/uicaudal à direia) Z µ Z < z c (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) Z > z c Ode z c é al que: Φ(z c ) (ese uilaeral/uicaudal à direia) Φ(z c ) (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) Φ(z c ) / ou Φ(z c ) / Ua grade epresa quer coprar peças de dois forecedores diferees. O forecedor A alega que a durabilidade é de 000 horas co desvio de 0 horas, equao que o forecedor B diz que a duração édia é de 050 horas co desvio padrão de 40 horas. Para esar se a durabilidade de B é realee aior, duas aosras de aaho 64, de cada u dos forecedores, fora obidas. A duração édia da aosra A foi de 995 horas e a B foi de 05. Qual a coclusão a 5% de sigificâcia?

3 Hipóeses: H 0 : µ µ H 0 : µ < µ Dados: 64 0; e 05 5% Traa-se de u ese uilaeral à esquerda co e cohecidos. A variável vel ese é: µ Z Eão: Z , O valor críico z c é al que: Φ(z c ) 0,05 5%. Eão z c Φ (0,05) -,645. Assi RC (- ( ; -,645] DECIÃO e CONCLUÃO: Coo z -,30 RC ou -,30 > -,645, Aceio H 0, iso é,, a 5% de sigificâcia ão se pode afirar que a édia de A é eor que a édia de B 5%,30 RC ( ;,645;] OPÇÃO: Trabalhar co a sigificâcia do resulado obido (-,30), ( iso é,, o valor-p. Para iso, deve-se calcular P(Z < -,30), iso é,, p P(Z < -,30) Φ(-,30) 9,68%. Coo a sigificâcia do resulado (9,68% 9,68%) é aior que a sigificâcia do ese (5% 5%) ) ão é possível rejeiar a hipóese ula. Nese caso a variável vel ese é: µ ˆ s 3

4 Ode s é dado por: s ( ) s ( ) s e v é dado por: - U relaório da defesa do cosuidor osrou que u ese co oio peus da arca A apreseara ua vida édia de k co u desvio padrão de 3500 k e que doze de ua arca cocorree B, esados as esas codições, ivera ua durabilidade édia de 4400 k co variabilidade de 400 k. upodo que as variâcias populacioais seja as esas e adiido ua sigificâcia de 5%, verifique se é possível afirar que as duas arcas difere quao a durabilidade édia. E se a sigificâcia fosse % qual seria a coclusão? Hipóeses: H 0 : µ µ H 0 : µ µ Dados: 8; s A 3500; s B ; % ; Traa-se de u ese bilaeral co e suposaee iguais. A B Ode: s A variável vel ese é: µ ˆ s. ( ) A ( ) B 4

5 s Eão: 8., ,965 40,965 8 O valor críico c é al que: P( Τ 8 > c ) 0,05 5%. Eão c T (0,9750),0. Assi RC (- ; -,0] [,0; ) DECIÃO e CONCLUÃO: Coo -,9 RC ou -,9 < -,0, Rejeio H 0, iso é,, a 5% de sigificâcia posso afirar que a vida édia das duas arcas difere. ν 8 8 ν 8,9,5% %,5 RC ( ;,0] U[,0; ) O valor críico c é al que: P( Τ 8 > c ) 0,0 %. Eão c T (0,9950),878. Assi RC (- ( ; -,878],878] [ [,878; ) DECIÃO e CONCLUÃO: Coo -,9 RC ou -,9 > -,878, Aceio H 0, iso é,, a % de sigificâcia ão posso afirar que a vida édia das duas arcas difere. ν 8 8,9 ν 8 Nese caso a variável vel ese é: 0,5% % 0,5 RC ( ;,878] U[,878; ) ˆ µ s s 5

6 Ode v é dado por: v > c (ese uilaeral/uicaudal à direia) v < c (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) v > c Ode c é al que: P( v < c ) (ese uilaeral/uicaudal à direia) P( v < c ) (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) P( v < c ) / ou P( v > c ) / Ua epresa fabrica rasisores do ipo A e do ipo B. A arca A, ais cara, é suposaee pelo eos 60 horas ais durável do que a arca B. U usuário quer saber se vale a pea pagar ais pela arca A e resolve esar se, de fao, ela é ais durável. Tesa 0 ies de A ecorado ua vida édia de 000 horas co desvio de 60 horas, equao que 0 ies da arca B apresea ua vida édia de 90 horas co desvio de 40 horas. Qual a coclusão a 5% de sigificâcia? 6

7 Hipóeses: H 0 : µ - µ 60 H 0 : µ - µ > 60 Dados: 0 s A 60; s B ; 90 5% ; Traa-se de u ese uilaeral à direia co e suposaee desiguais. A B Ode: A variável vel ese é: µ ˆ s s ( ) ( ) E: s s , O valor críico c é al que: P(Τ 33 > c ) 0,05 5%. Eão c T (0,95),69. Assi RC [,69; ) DECIÃO e CONCLUÃO: Coo,86 RC ou,86 >,69, Rejeio H 0, iso é,, a 5% de sigificâcia posso afirar que a vida édia da arca é pelo eos 60 horas aior que a arca B ν ,86 0 RC [ 5%, 69 ; ) H 0 : π π H : π π > (ese uilaeral/uicaudal à direia) π π < (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) π π 7

8 Nese caso a variável vel ese é: P Z P ˆ µ P P P P P P P( P) P( P ) Z > z c (ese uilaeral/uicaudal à direia) Z < z c (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) Z > z c Ode z c é al que: Φ(z c ) (ese uilaeral/uicaudal à direia) Φ(z c ) (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) Φ(z c ) / ou Φ(z c ) - / A reioria de ua grade uiversidade erevisou 600 aluos, 350 ulheres e 50 hoes, para colher a opiião sobre a roca do sisea de avaliação da uiversidade. Da aosra 40 ulheres e 5 hoes esava a favor. Tese a 5% se exise difereça sigificaiva de opiião ere hoes e ulheres. Hipóeses: H 0 : π π H 0 : π π Dados: 350; 50 p 40/350 40% p 5/50 46% 5% ; Traa-se de u ese bilaeral para a proporção. 8

9 A variável vel ese é: P P Z P ( P ) P ( P ) 0,40 0,46 0 0,40( 0,40 ) 0,46( 0,46 ) ,06, 0,078 O valor críico z c é al que: P( Ζ > z c ) 0,05 5%. Eão z c Φ (0,05) -,96. Assi RC (- ( ; -,96],96] [ [,96; ) DECIÃO e CONCLUÃO: Coo z -, RC ou -, < -,96, Rejeio H 0, iso é,, a 5% de sigificâcia posso afirar que as opiiões difere ere hoes e ulheres.,,5% %,5 RC ( ;,96] U[,96; ) H 0 : H : > (ese uilaeral/uicaudal à direia) < (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) Nese caso a variável vel ese é: F, F -,- > f (ese uilaeral/uicaudal à direia) F f -, - < (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) F -,- > f ou F-,- < f c c c c 9

10 Ode F -; é al que: ;- P ( F, - > F c ) (ese uilaeral/uicaudal à direia) P ( F, - < F (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) P( F, - c ) > Fc ) / ou P( F, - < F ) / c O desvio padrão de ua diesão paricular de u copoee de eal é saisfaório para a oage do copoee. U ovo forecedor esá sedo cosiderado e ele será preferível se o desvio padrão é eor do que o do aual forecedor. Ua aosra de 00 ies de cada forecedor é obido. Forecedor aual: s 0,0058 Novo forecedor: s 0,004 A epresa deve rocar de forecedor se for cosiderado ua sigificâcia de 5%? Hipóeses: H 0 : H 0 : > Dados: 00 s 0,0058 s 0,004 5% Traa-se de u ese uilaeral à direia para a igualdade de variâcias. F A variável vel ese é: Eão: f Que apresea ua disribuição F co g.l. o uerador e g.l. o deoiador. s s 0,0058,4 0,004 0

11 O valor críico f c é al que: P( F > f c ) 0,05 5%. Eão f c F (0,05),39. Assi RC [,39; ) F -;- F99; 99 DECIÃO e CONCLUÃO: Coo f,4 RC ou,4 <,39, Rejeio H 0, iso é,, a 5% de sigificâcia posso afirar que a variâcia do forecedor aual é aior do que a do ovo forecedor.,4 5% RC [,39 ; ) H 0 : µ D H : µ D > (ese uilaeral/uicaudal à direia) µ D < (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) µ D Nese caso a variável vel ese é: D µ ˆ D D D D Ode : d d ( d i d ) s i d i d e v é dado por: -

12 - > c (ese uilaeral/uicaudal à direia) - < c (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) - > c Ode c é al que: P( - < c ) (ese uilaeral/uicaudal à direia) P( - < c ) (ese uilaeral/uicaudal à esquerda) P( - < c ) / ou P( - > c ) / (ese bilaeral/bicaudal) U laboraório possui dois equipaeos de precisão. O direor suspeia que exise ua pequea difereça de calibração ere os dois (ele ão sabe e qual deles) de odo que u ede a dar leiuras u pouco aiores do que o ouro. Ele propõe esar os dois aparelhos aravés da leiura de 0 edidas (abela a próxia lâia) e cada u dos aparelhos. Faça o ese adequado a ua sigificâcia de 5%. Aparelho A Aparelho B,,5,, 0,55 0,57 3,33 3,3,4,47 0,30 0,30,3,36 3,7 3,9,93,9,50,6

13 Hipóeses: H 0 : µ D 0 H : µ D 0 Dados: 0 5% Ua vez que as aosras ão são idepedees, raa-se do ese para aosras eparelhadas. Ode: s A variável vel ese é: D µ ˆ ( d i d ) D D D D d d d i d i A,, 0,55 3,33,4 0,30,3 3,7,93,50 -- B,5, 0,57 3,3,44 0,30,36 3,9,90,6 -- d i 0,30 0,0 0,0-0,0 0,0 0,00 0,04 0,0-0,03 0, 0,56 d i 0,0900 0,000 0,0004 0,0004 0,0004 0,0000 0,006 0,0004 0,0009 0,0 0,6 s Te-se: A variável vel ese é: d d d d 0,56 0 0,0560 i D 0, , D 0,097 0,097 0,84 i 0,6 0.0, ,097 O valor críico z c é al que: P( T > c ) 0,05 5%. Eão c T (0,05),6. Assi RC [,6; ] ν 9 DECIÃO e CONCLUÃO: Coo,84 RC ou,84 <,6, Aceio H 0, iso é,, a 5% de sigificâcia ão se pode afirar que as leiuras são diferees.,84 5% RC [,6 ; ) 3