Lista de exercícios propostos n. o 05: Testes de hipóteses

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1 Lista de exercícios propostos. o 5: Testes de hipóteses Exercício 1. Uma pizzaria recebe diariamete ecomedas por telefoe, que se têm comportado segudo uma lei ormal. A empresa está dimesioada para uma procura média diária que ão ultrapassa as pizzas, admitido um desvio padrão de 15. Umacampahapromocioalrealizadaosúltimos dias levou aumaprocuramédiade1 pizzas. (a) Use um teste de hipóteses para avaliar a ecessidade de reforçar a capacidade média de veda, estudado se houve de facto uma alteração sigificativa a procura diária de pizzas. Use um ível de sigificâcia de, 1. (b) Com a decisão que tomou a alíea aterior, qual é o tipo de erro que pode estar a cometer Exercício. Os valores abaixo idicados são potuações de um teste de QI associados a uma amostra aleatória de 1 aluos de uma dada uiversidade Supodo que as potuações seguem uma distribuição ormal, teste se o desvio padrão das potuações do teste de QI é 1, cosideradoumaprobabilidade de 5 para o erro do tipo I. Exercício 3. Aespessuradeumtipodediscometálicosegueumadistribuição ormal e deverá ter uma variâcia iferior a mm. Existe a suspeita de que esse pricípio ão está a ser cumprido pelo que, para verificar se a variabilidade das espessuras é iferior a mm,cosiderou-seumaamostraaleatóriade 5 desses discos e obteve-se uma estimativa para a variâcia de 3, 4mm. Com este resultado, qual seria a coclusão a respeito da variabilidade das espessuras a um ível de sigificâcia de 1 Exercício 4. Odoodeumaervaariaproduzumcháqueafirmasereficazparacurar dores de cabeça em pelo meos 85 dos casos. Num iquérito feito a 5 pessoas, 18 cocordaram que o chá cura de facto as dores de cabeça. (a) Com um ível de sigificâcia de 1 poderá dizer-se que o doo da ervaaria tem razão (b) Na decisão que tomou, qual a probabilidade de estar a cometer um erro Exercício 5. Os dados seguites represetam os gahos em peso, em quilogramas, os primeiros 6 meses de vida de um grupo de criaças do sexo masculio escolhidas ao acaso: 4, 1 4, 5 3, 6, 8 3, 6 3, 4, 1. Admita que se pode cosiderar que os gahos em peso seguem uma distribuição ormal. Poderá afirmar-se, com um ível de sigificâcia de 5, que ogahomédioempesodascriaçasdosexomasculioésigificativamete iferior a 3, 1kg Exercício 6. Uma máquia está costruída de forma a assegurar que a medida padrão das peças que produz teha uma média igual a 4. Mas deseja-se também que a variabilidade dessa medida ão ultrapasse uma uidade de medida (cotrolo pelo desvio padrão). No último cotrolo de qualidade, as 16 peças aalisadas segudo a medida padrão revelaram uma média de 4, masumavariabilidade de 1, 5 uidades de medida. Será a difereça a variabilidade sigificativa, para um ível de sigificâcia de, 5 Assumaqueavariávelemestudose comporta de forma ormal. Exercício 7. Sabe-se que uma empresa de lavagem a seco que opera a zoa orte do país foi líder de vedas, os últimos três aos, em 8 do total de cidades as quais a empresa tem lojas a fucioar. Este ao, uma amostra de 4 cidades revelou uma percetagem de lideraça de 5, 4 as vedas do sector. Será que este resultado é sigificativamete mais baixo que o aterior, para um ível de sigificâcia de, 1 1/13 /13

2 Exercício 8. Opesodecadapacotedeaçúcar,embaladoumadetermiadamáquia, segue uma distribuição ormal, e deverá ser em média igual a 8 gramas. Seleccioou-se uma amostra de 4 pacotes e registaram-se os seguites resultados: 4ÿ i 1 x i 31 4ÿ i 1 px i xq 45. Realize um teste de hipóteses que lhe permita respoder à questão colocada, ao ível de sigificâcia de 5. Soluções: Exercício 1. (a) Seja a variável aleatória X - ecomedasdiáriasdepizzasportelefoe. Etão: Parâmetro a testar: µ Formulação das hipóteses: & H : µ ď H 1 : µ ą (teste uilateral à direita) Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 1 Dimesão da amostra: Estatística de teste: Z X µ σ N p 1q Outros dados: x 1, σ 15 Determiação da região crítica e da região de aceitação: Z com Z 1 Z,, 363. Obtemos assim as regiões, R.A. s 8, 363r e R.C. r, 363 `8r Cálculo do valor da estatística de teste: Z 1 15 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H,aoívelde sigificâcia de 1, ouseja,coclui-sequeaprocuramédiadiária éomáximode pizzas, pelo que a campaha de promoção ão teve efeito a procura de pizzas. 3/13 4/13

3 Op-valueémeoríveldesigificâciaapartirdoqualsedeverejeitar H,istoé,se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value P rz ě s 1 P rz ă s 1 Φ pq 1, 77, 8. (b) Como a decisão tomada foi de ão rejeitar H,podemosestaracometer um erro tipo II. Exercício. Seja a variável aleatória X - potuaçõesdeumtestedeqi. Etão: Parâmetro a testar: σ & H : σ 1 H 1 : σ 1 Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 5 Dimesão da amostra: 1 Estatística de teste: Q p 1qS σ (teste bilateral) χ 1 ř 1 Outros dados: x i 1 xi , 1, s ˆ13,1 115, 433 e s 1, 744 ř 1 i 1 x i 1ˆx Cálculo do valor da estatística de teste: Q ˆ115, , 38 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q 1, 38 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H, ao ível de sigificâcia de 5, ouseja,ãoexisteevidêciaestatísticasuficiete para rejeitar que o desvio padrão das potuações de QI é 1. p value mi P χ ď V.E.T. P χ ě V.E.T. ( mi P χ ď 1, 38 P χ ě 1, 38 (»» mi t, 65 1, 65u ˆ, 375, 75. Exercício 3. Seja a variável aleatória X - espessuradeumtipodedisco metálico. Etão: Parâmetro a testar: σ & H : σ ě H 1 : σ ă Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 1 (teste uilateral à esquerda) Dimesão da amostra: 5 / χ 1/ Não rejeição / χ 1/ Estatística de teste: Q p 1qS σ Outros dados: s 3, 4 χ 1 com χ 1 χ,5, 74 e χ 11 χ,75 1, 8. Obtemos assim as regiões, R.C. r, 74sYr1, 8 `8r e R.A. s, 74 1, 8r. 5/13 6/13

4 Determiação da região crítica e da região de aceitação: χ 1 Não rejeição Z com χ 1 χ 4,1 1, Obtemos assim as regiões, R.C. r 1, 8564s e R.A. s1, 8564 `8r. Cálculo do valor da estatística de teste: Q 4ˆ3,4 8, 64 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q 8, 64 pertece à região crítica deve-se rejeitar H,aoíveldesigificâcia de 1, ouseja,existeevidêciaestatísticasuficieteparacocluir que avariâciaéiferioramm. Exercício 4. p value P χ ď 8, 64, 5. (a) Seja a variável aleatória X - úmerodepessoasquecocordamqueo chá cura as dores de cabeça. Etão: Parâmetro a testar: p Formulação das hipóteses: & H : p ě, 85 H 1 : p ă, 85 Tipo de população: Beroulli Nível de sigificâcia:, 1 Dimesão da amostra: 5 Estatística de teste: Z c P p p p p1 p q Outros dados: p 18, 7 5 (teste uilateral à esquerda) N p 1q com Z 1 Z,, 363. Obtemos assim as regiões, R.C. s 8, 363s e R.A. s, 363 `8r Cálculo do valor da estatística de teste:z,7,85,85ˆ,15, 568 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z, 568 pertece à região critica deve-se rejeitar H,aoívelde sigificâcia de 1, ouseja,coclui-sequeodoodaervaaria ão tem razão. Op-valueémeoríveldesigificâciaapartirdoqualsedeverejeitar H,istoé,se ě p value etão deve-se rejeitar H : p value P rz ď, 568s Φ p, 568q, 51. (b) Como a decisão tomada foi de rejeitar H,podemosestaracometer um erro tipo I. Assim P rerro tipo Is P rrejeitar H H verdadeiras ď, 1. Exercício 5. Seja a variável aleatória X - gahoempeso,emquilogramas, os primeiros 6 meses de vida de criaças do sexo masculio. Etão: Parâmetro a testar: µ & H : µ ě 3, 1 H 1 : µ ă 3, 1 Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 5 5 (teste uilateral à esquerda) 7/13 8/13

5 Dimesão da amostra: 7 Estatística de teste: T X µ S t 1 Outros dados: x s, 5831 ř 7 i 1 xi 5, 3, 7, s ř 7 i 1 x i 7ˆx, 34 e Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 5 Dimesão da amostra: 16 Estatística de teste: Q p 1qS σ Outros dados: x 4 e s 1, 5 χ 1 t 1 com t 11 t 6,5 1, 43. Obtemosassimasregiões,R.A. s 1, 43 `8r e R.C. s 8 1, 43s Cálculo do valor da estatística de teste: T 3,7 3,1,5831, 74 7 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste T, 74 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H,aoíveldesigificâcia de 5, ouseja,ãoexisteevidêciaestatísticasuficietepara cocluir que o gaho médio em peso das criaças do sexo masculio é sigificativamete iferior a 3, 1kg. p value P rt ď, 74s», 85. Exercício 6. Seja a variável aleatória X - medidapadrãodaspeças.etão: Parâmetro a testar: σ & H : σ ď 1 H 1 : σ ą 1 (teste uilateral à direita) Não rejeição χ 1 com χ 11 χ 15,5 5. Obtemos assim as regiões, R.C. r5 `8r e R.A. r 5r. Cálculo do valor da estatística de teste: Q 15ˆ1,5 1 16, 5375 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Q 16, 5375 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H, ao ível de sigificâcia de 5, ouseja,ãoexisteevidêciaestatísticasuficiete para cocluir que a variabilidade da medida padrão ão é a estipulada. p value P χ ě 16, P χ ă 16, , 681, 31. Exercício 7. Seja a variável aleatória X - umutilizador,escolhidoao acaso, recorrer aos serviços da empresa de lavagem a seco. Etão: Parâmetro a testar: p & H : p, 8 H 1 : p ă, 8 (teste uilateral à esquerda) /13 1/13

6 Tipo de população: Beroulli Nível de sigificâcia:, 1 Dimesão da amostra: 4 Estatística de teste: Z c P p p p p1 p q Outros dados: p, 54 N p 1q Z com Z 1 Z,, 36. Obtemos assim as regiões, R.C. s 8, 36s e R.A. s, 36 `8r Cálculo do valor da estatística de teste: Z,54,8,8ˆ,7 4, 45 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z, 45 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H, ao ível de sigificâcia de 1, ouseja,ãoexisteevidêciaestatísticasuficiete para cocluir que o resultado é sigificativamete mais baixo do que a percetagem de mercado matida os últimos 3 aos. p value P rz ď, 45s Φ p, 41q, 34. Exercício 8. Seja a variável aleatória X - pesodecadapacotedeaçúcar. Etão: Parâmetro a testar: µ & H : µ 8 H 1 : µ 8 Tipo de população: ormal Nível de sigificâcia:, 5 Dimesão da amostra: 4 Estatística de teste: Z X µ σ N p 1q Outros dados: x e s, 56 (teste bilateral) ř 4 i 1 xi 31 ř 7, 8, s i 1 pxi xq 45 6, / / Z / Z / com Z 1 Z,75 1, 6 e Z 1 Z,75 1, 6. Obtemos assim as regiões, R.A. s 1, 6 1, 6r e R.C. s 8 1, 6sY r1, 6 `8r Cálculo do valor da estatística de teste: Z 7,8 8,56, 55 4 Tomada de decisão: Como o valor da estatística de teste Z, 55 pertece à região de aceitação ão se deve rejeitar H, ao ível de sigificâcia de 5, ouseja,ãoexisteevidêciaestatísticasuficiete para rejeitar a hipótese de que o peso médio de cada pacote de açúcar seja igual a 8 gramas, cocluido-se que a máquia está a fucioar correctamete. 11/13 1/13

7 p value ˆ P rz ě, 55 s ˆp1 P rz ă, 55sq ˆp1, 65q, /13