IFT. Generalizações do Movimento Browniano e suas Aplicações. Dennis Fernandes Alves Bessada. Orientador. Prof. Dr.

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1 IFT Isiuo de Física Teórica Uiversidade Esadual Paulisa DISSERTAÇÃO DE MESTRADO IFT D9/5 Geeralizações do Movimeo Browiao e suas Aplicações à Física e a Fiaças Deis Ferades Alves Bessada Orieador Prof Dr Gerso Fracisco Abril de 5

2 À Glória de Deus Todo Poderoso e de Jesus Criso o Salvador Ex Deo Nascimur I Jesu Morimur Per Sacum Spirium Reviviscimus

3 A virude ão em padrão: coforme cada um a hore ou despreze dela erá mais ou meos Plaão Não se deve dar ouvidos àqueles que acoselham ao homem por ser moral que se limie a pesar coisas humaas e morais; ao corário porém à medida do possível precisamos os comporar como imorais e udo fazer para viver segudo a pare mais obre que há em ós Arisóeles

4 Dedicaória Dedico ese rabalho à Aparecida miha mãe à Elaie miha esposa à memória de meu pai Aoio à memória de meus avós Luzia Juveal Mauel e Aia e aos meus irmãos Pedro e Tâia

5 AGRADECIMENTOS - Agradeço ao Professor Gerso Fracisco ão somee pela esmerada orieação mas ambém pela amizade e pela cofiaça em mim deposiada; - Agradeço ao saudoso amigo de odas as horas Aoio Peres Rubbi pelo cosae apoio; - Agradeço aos grades amigos Vico dos Saos Filho Waler Miguel e Eliezer Baisa aos quais eho em profuda esima; - Agradeço ao Professor Zimerma meu primeiro orieador a quem devo muio de meu cohecimeo e apredizado as veredas da pesquisa cieífica; - Agradeço ao Professor Naha Berovis por sua orieação e grades lições que me proporcioara; - Agradeço aos Professores Bruo Pimeel Diógees Galei Gerhard Bud Maria Crisia Abdalla Paulo Leal Ferreira Rogério Rosefeld José Fracisco Gomes Luiz Agosiho Ferreira Aoio Aciolly Hélio Fagudes Alexadr Dorohov com os quais muio apredi em agradáveis coversas fossem o campo da Física ou da culura geral; - Agradeço ambém a odos os fucioários do IFT do presee e do passado em especial Sussumu Fuai Luiz Carlos Sr Jorge Édia Zezé Rosae Maria Alexadre José Geraldo e Marcelo; - Agradeço aos Professores Ferado Mauel Ramos e Reialdo Rosas do INPE ão somee pelas discussões sobre os emas aqui apreseados mas fudamealmee pela grade amizade

6 ÍNDICE INTRODUÇÃO i CAPÍTULO I I A TEORIA DA PROBABILIDADE I A Teoria da Probabilidade em Espaços Fiios I Coceios Iiciais I Propriedades das Medidas de Probabilidade 3 I3 Variáveis Aleaórias e Fuções de Disribuição 7 I4 Probabilidade Codicioal e Idepedêcia I5 Valor Esperado e Variâcia de uma Variável Aleaória 5 I6 O Passeio Aleaório 8 I A Teoria Axiomáica da Probabilidade 3 I O Espaço de Probabilidade 3 I Variáveis Aleaórias Fuções de Disribuição 7 I3 Momeos 33 I4 Covergêcia de Seqüêcias de Variáveis Aleaórias 38 I5 Fuções Caracerísicas 4 I6 Teoremas de Limie 46 CAPÍTULO II 53 II A TEORIA DOS PROCESSOS ESTOCÁSTICOS 53 II Coceios Iiciais 53 II Processos de Poisso e Processos de Wieer 6 II3 Marigales 64 II4 Processos de Marov 66 CAPÍTULO III 69 III A TEORIA DE LÉVY 69 III Irodução 69 III Disribuições Ifiiamee Divisíveis Coceios Iiciais 7 III3 A Represeação Caôica de Kolmogorov 76 III4 As Represeações Caôicas de Lévy-Khichie e de Lévy 8 III5 Disribuições Esáveis 83 CAPÍTULO IV 9 IV O MOVIMENTO BROWNIANO 9 IV Irodução 9 IV A Teoria de Eisei do Movimeo Browiao 9 IV A Teoria da Difusão 9 IV O Coceio de Pressão Osmóica 95 IV3 O Movimeo de Parículas suspesas em um Líquido 98 IV4 O Movimeo Browiao 5 IV3 A Teoria de Lagevi 6

7 CAPÍTULO V 9 V A TEORIA MATEMÁTICA DO MOVIMENTO BROWNIANO 9 V O Movimeo Browiao como um Processo Esocásico 9 V O Passeio Aleaório e o Movimeo Browiao 9 V O Movimeo Browiao Coíuo a Tempos Discreos V3 A Defiição Geral do Movimeo Browiao Processos de Wieer 3 V A Iegral de Iô 6 V3 Equações Difereciais Esocásicas V3 O Processo de Wieer 4 V3 O Movimeo Browiao Geomérico 4 CAPÍTULO VI 7 VI APLICAÇÕES DO MOVIMENTO BROWNIANO: A TEORIA DE BLACK & SCHOLES 7 VI Irodução 7 VI Fiaças Coceios Básicos 8 VI Taxas de Juros 8 VI Arbiragem e a Hipóese do Mercado Eficiee 3 VI3 O Coceio de Derivaivos 3 VI4 Opções 33 VI4 Defiições 33 VI4 Precificado Opções 35 VI43 O Modelo Biomial de Precificação de Opções 37 VI5 A Teoria de Blac & Scholes 4 VI5 A Equação de Blac & Scholes 4 VI5 A Solução da Equação de Blac & Scholes para uma Opção Européia 45 CAPÍTULO VII 53 VII GENERALIZAÇÕES DO MOVIMENTO BROWNIANO E SUAS APLICAÇÕES ÀS SÉRIES FINANCEIRAS E À FÍSICA 53 VII Processos de Lévy 53 VII Cálculo do Expoee de Esabilidade para Processos Esocásicos Simulados 55 VII Cálculo do Expoee de Esabilidade para um Movimeo Browiao Simulado 56 VII Cálculo do Expoee de Esabilidade para um Processo de Cauchy 6 VII3 Cálculo do Expoee de Esabilidade para Séries Fiaceiras 66 CONCLUSÕES7 BIBLIOGRAFIA73 APÊNDICE75 Aplicações da Teoria de Lévy à Precificação de Opções75

8 RESUMO Realizamos ese rabalho uma exposição geral da Teoria do Movimeo Browiao desde suas primeiras observações feias o âmbio da Biologia aé sua complea descrição segudo as leis da Mecâica Esaísica formulação esa efeuada por Eisei em 95 Com base eses pricípios físicos aalisamos a Teoria do Movimeo Browiao de Eisei como sedo um processo esocásico o que permie sua geeralização para um processo de Lévy Fazemos uma exposição da Teoria de Lévy e aplicamo-la em seguida a aálise de dados proveiees do ídice IBOVESPA Comparamos os resulados com as disribuições empírica e a modelada via disribuição gaussiaa demosrado efeivamee que a série fiaceira aalisada apresea um comporameo ão-gaussiao Palavras-Chave: Movimeo Browiao Processos Esocásicos ão-gaussiaos Áreas do Cohecimeo: Mecâica Esaísica Teoria dos Processos Esocásicos

9 ABSTRACT We review i his wor he foudaios of he Theory of Browia Moio from he firs observaios made i Biology o is complee descripio accordig o he laws of Saisical Mechaics performed by Eisei i 95 Aferwards we discuss he Eisei s Theory of Browia Moio as a sochasic process sice his coecio allows is geeralizaio o a Lévy process Afer a brief review of Lévy Theory we aalyze IBOVESPA daa wihi his framewor We compare he oucomes wih he empirical ad gaussia disribuios showig effecively ha he aalyzed fiacial series behaves exacly as a o-gaussia sochasic process Keywords: Browia Moio o-gaussia Processes Research Fields : Saisical Mechaics Theory of Sochasic Processes

10 i INTRODUÇÃO O Movimeo Browiao surgiu o âmbio da Biologia como fruo da observação do movimeo iermiee de parículas orgâicas e iorgâicas em suspesão em líquidos Foi Alber Eisei [8] quem primeiramee aalisou ese feômeo do poo de visa físico e os legou a Teoria do Movimeo Browiao al qual cohecemos A pricipal caracerísica desa eoria se deve à solução obida para a desidade de disribuição de parículas dispersas o líquido cuja forma maemáica segue uma fução de desidade de probabilidade gaussiaa A Teoria do Movimeo Browiao orou-se eão a mais uilizada para a modelagem de feômeos que evolvem um processo de difusão Com isso orou-se sólida base para a aálise de muios feômeos os mais diversos ramos do cohecimeo dere os quais a Biologia a Química e aé mesmo Fiaças sem coar é claro a Física Na área de Fiaças a Teoria do Movimeo Browiao ecorou uma grade aplicação aravés da famosa eoria de Blac & Scholes ([7] [] [3] [35]) Eses dois pesquisadores assumiram que a diâmica de preços de um deermiado aivo segue um Movimeo Browiao e obiveram a parir desa proposição uma equação esocásica cuja solução permie a precificação de um objeo fiaceiro deomiado opção (para uma irodução elemear ver []) Esa eoria alcaçou um esrodoso sucesso os aos 7 e 8 edo orado-se uma das pricipais ferrameas de aálise de ivesimeos desde eão Porém com os avassaladores avaços da ecologia de iformação pricipalmee a úlima década as medições da evolução emporal de preços aigiu uma ala resolução o que sigifica dizer que se é possível ober dados da variação do preço de um aivo fiaceiro a cada miuo por exemplo Com isso a complexidade do sisema aumeou sigificaivamee devido à grade profusão de dados o que permiiu efeuar aálises mais precisas quao à real diâmica de preços do mercado Em fução disso pode-se hoje perguar: a diâmica de preços do mercado segue realmee um Movimeo Browiao? A aálise dealhada das disribuições de probabilidade empíricas de dados do mercado fiaceiro mosrou que a disribuição gaussiaa ão é a mais adequada para a modelagem dos chamados eveos raros ou seja eveos cuja probabilidade de ocorrêcia apesar de ser muio pequea é ão ula Para ais eveos a probabilidade de ocorrêcia segudo uma disribuição gaussiaa é ula Com isso vemos uma discrepâcia ere a disribuição empírica e a disribuição eórica que assume a proposição de Blac & Scholes a de que a diâmica de preços de um dado aivo segue um Movimeo Browiao Esa icosisêcia ere o empírico e o eórico levou muios pesquisadores a década passada pricipalmee físicos e maemáicos a quesioar o uso do Movimeo Browiao como modelo de diâmica de preços ([3] [4]) Pesquisaram eão qual seria a melhor aleraiva para ear recociliar a observação com a eoria Ecoraram uma possível resposa em uma eoria formulada por um brilhae maemáico fracês da década de : a eoria de Paul Lévy ([3] [] [3] [9]) A Teoria de Lévy apresea uma fórmula para a desidade de disribuição de uma variável aleaória esável e ifiiamee divisível que depede de dois parâmeros básicos: o expoee de esabilidade α ( <α ) e o expoee de assimeria δ ( δ ) Eses dois parâmeros dão origem a uma família ifiia de fuções desidade de probabilidade dere as quais figura a desidade de probabilidade gaussiaa cujo expoee de esabilidade é α = Com isso pode-se dizer que a Teoria de Lévy geeraliza a Teoria do Movimeo Browiao já que esa úlima é um caso paricular da primeira

11 ii A aplicação da Teoria de Lévy para a aálise do comporameo emporal de séries fiaceiras em dado muio bos resulados os úlimos aos [4] O presee rabalho em como pricipal objeivo razer à oa esas quesões e aalisar a Teoria do Movimeo Browiao discuido os coceios subjacees e idicado os poos a parir dos quais uma eoria mais geral é ecessária Discuimos a Teoria de Lévy do poo de visa maemáico e aplicamos a mesma para aalisar o comporameo de séries fiaceiras do mercado brasileiro Aalisamos a disribuição de probabilidades associada aos dados do ídice fiaceiro deomiado IBOVESPA usado pricipalmee algorimos escrios em MATLAB para calcular seu expoee de esabilidade Com isso comparamos as curvas empírica e a eórica calculada segudo a expressão de uma fução desidade de probabilidade de Lévy A presee disseração de mesrado esá esruurada da seguie maeira: No Capíulo I discuimos fudamealmee a Teoria da Probabilidade que é a base sobre a qual oda a eoria do Movimeo Browiao e a de Lévy são cosruídas No Capíulo II discuimos a Teoria dos Processos Esocásicos ode aalisamos a esruura emporal de diversas variáveis aleaórias No Capíulo III iroduzimos a Teoria de Lévy ode ambém discuimos a quesão do expoee de esabilidade o poo-chave para se difereciar as soluções possíveis equao fuções de disribuição de probabilidade No Capíulo IV apreseamos a Teoria do Movimeo Browiao coforme discuida por Eisei em seu famoso arigo de 95 No Capíulo V discuimos a Teoria do Movimeo Browiao como sedo pare da Teoria dos Processos Esocásicos No Capíulo VI iroduzimos a Teoria de Blac & Scholes como sedo uma aplicação da Teoria do Movimeo Browiao à área de Fiaças Fialmee o Capíulo VII efeuamos as aplicações da eoria discuida para dados do ídice IBOVESPA

12 CAPÍTULO I A TEORIA DA PROBABILIDADE I A Teoria da Probabilidade em Espaços Fiios I Coceios Iiciais Para iroduzirmos as idéias básicas da Teoria da Probabilidade vamos recorrer aos seus primórdios a Idade Média ([] [9] [3] [33]) Remoemos aos campos de baalha ode os soldados medievais os iervalos ere combaes iham como pricipal passaempo o jogo de dados Jogavam da seguie maeira: após laçar dois dados somava-se os poos obidos em suas faces voladas para cima Veceria o jogo quem adivihasse qual seria o resulado após um dado úmero de jogadas Após iúmeras jogadas em aos e aos de observações os soldados perceberam que dere odos os poos possíveis o úmero 7 era o que mais freqüeemee ocorria Além disso a observação mosrara que o úmero 6 apesar de ocorrer em meor freqüêcia que o úmero 7 ocorria com maior freqüêcia em relação ao úmero 5 Assim aravés da observação os soldados perceberam que mesmo ser poder predizer com cereza qual seria o resulado do jogo sabiam que eriam mais chaces de gahar caso aposassem os úmeros que mais freqüeemee ocorriam Vamos aalisar agora as observações dos soldados em ermos mais maemáicos Os poos possíveis de se ober são dados pelo cojuo discreo Ω ={ } I Deoemos os resulados possíveis de cada laçameo de dados como o par ordeado ( ) ode a primeira posição colocaremos o resulado obido do primeiro dado e a seguda posição colocaremos o resulado obido do segudo Com isso os resulados possíveis são: () () (3) (4) (5) (6) () () (3) (4) (5) (6) (3) (3) (33) (34) (35) (36) (4) (4) (43) (44) (45) (46) (5) (5) (53) (54) (55) (56) (6) (6) (63) (64) (65) (66) Tabela I Resulados possíveis de se ober após o laçameo de dois dados A parir da abela I podemos verificar as ocorrêcias dos poos possíveis do cojuo I:

13 Poos Ocorrêcias Tabela I Ocorrêcias dos poos possíveis Com isso cofirmam-se as observações dos soldados medievais: o úmero 7 é o que ocorre com maior freqüêcia com 6 ocorrêcias dere as 36 possíveis O úmero 6 ocorre mais freqüeemee que o 5 coforme se observa da abela (o úmero 6 ocorre cico vezes ao passo que o 5 ocorre apeas quaro) Dese modo em maior chace de acerar quem aposar os úmeros 6 7 e 8 pois são eles que ocorrem com maior freqüêcia Dese simples e hisórico exemplo observamos que é de fao possível avaliarmos quais são dero de um cojuo de resulados possíveis quais erão maior chace de ocorrer E é ese coexo que surge a idéia de probabilidade Aes de discuirmos seu sigificado iroduzamos algus coceios iiciais moivados pelo exemplo acima:? Experimeo : É o feômeo que será objeo de uma aálise maemáica devedo ser repeido iúmeras vezes em idêicas codições;? Espaço Amosral : É o cojuo ão-vazio de odos os resulados possíveis a serem obidos de um experimeo; deoaremo-lo pela lera Ω Os elemeosω Ω são deomiados poos amosrais? Eveo : É o cojuo de odos os resulados que dispoham de alguma semelhaça ere si; são porao subcojuos do espaço amosral Como exemplos de experimeos podemos ciar o movimeo de parículas em um gás o movimeo de subida e descida de ações o mercado fiaceiro a urbulêcia de um fluido o cruzameo de gees ere muios ouros O espaço amosral pode ser qualquer cojuo aé mesmo o dos úmeros reais; o eao esa seção raaremos apeas de cojuos fiios como o I Já como exemplo de eveo podemos omar os resulados da abela I: lá ecoramos o eveo de ocorrêcia de úmeros pares ímpares maiores que seis ec Para formarmos um eveo basa apeas esabelecer sua lei de formação como por exemplo o cojuo dos resulados pares Com eses coceios em mee podemos agora iroduzir o coceio de probabilidade Devemos saliear que há ouras defiições possíveis mas os resrigiremos aqui à mais usual Tomemos como fudameo osso exemplo: vimos que os resulados que ocorriam com maior freqüêcia eram os úmeros 6 7 e 8; ou seja podemos dizer iuiivamee que eses são os mais prováveis de ocorrer Podemos apresear iúmeros exemplos ode a maior freqüêcia de ocorrêcia de um dado eveo esá iimamee relacioada com a idéia de ese ser o mais provável Esa coexão da idéia de probabilidade com a de freqüêcia o caso relaiva ao espaço amosral é a base de oda a eoria em espaços fiios Eão em face de ais colocações iroduzimos o seguie coceio:? Medida de Probabilidade : É a medida associada à freqüêcia relaiva de um eveo A a seu espaço amosral discreo Ω ; deoado-se a probabilidade do eveo A como P [A] segue-se que #( A) P [ A] : = I #( Ω)

14 3 ode #( ) deoa a cardialidade do respecivo cojuo A ideificação da probabilidade de um eveo A com sua freqüêcia relaiva em como premissa básica o fao experimeal de que para um valor muio grade de # (Ω) o raio # ( A ) /# ( Ω) ede a ser cosae Volado ao exemplo hisórico vemos que em ermos de probabilidades a abela I realmee demosra que o eveo {7} é o mais provável de ocorrer Com isso podemos cocluir que a Teoria da Probabilidade é a realização maemáica do processo de medição experimeal I Propriedades das Medidas de Probabilidade Vamos explorar um pouco mais a oção de eveo apreseada aeriormee Da Teoria de Cojuos segue-se que se A B Ω eão A B Ω A B Ω A c : = Ω \ A Ω I3a I3b I3c ou seja as operações de uião iersecção e difereça ere eveos resula ambém em um eveo No caso do exemplo hisórico cosideremos o eveo A = {468} dos resulados pares e o eveo B = {3579} dos resulados ímpares Das operações acima segue-se que A B = Ω A B = A c = B I4a I4b I4c iso é o cojuo ambém é um eveo Com isso podemos defiir? Eveo Complemear : Se A é um eveo eão somee se o eveo A ão ocorrer; c A é o eveo que ocorre se e? Eveo Impossível : é o eveo que ão pode ocorrer;? Eveos muuamee Exclusivos : Se A B Ω al que A B = dizemos que A e B são eveos muuamee exclusivos ou seja a ocorrêcia de um impede a ocorrêcia do ouro Coforme o exposo acima uiões iersecções complemeares e o cojuo vazio ambém são eveos Com eses cojuos esgoamos odas as possibilidades de eveos possíveis para um dado espaço amosral discreo; podemos formar uma classe com eses que cosisiria a classe dos eveos de Ω Esa classe recebe um ome especial sigma-álgebra defiida como

15 4 I Defiição : Seja Ω um cojuo ão-vazio Uma σ - álgebra é uma classe F de subcojuos de Ω com as seguies propriedades:? F ;? Se A F eão A c F ;? Se A A é uma seqüêcia de cojuos em F eão A ambém esá em F = Com ese coceio podemos euciar a seguie propriedade válida para espaços amosrais fiios: I Proposição [5] : Seja Ω um cojuo fiio ão-vazio e P (Ω) a classe formada por odos os seus subcojuos (que deomiaremos de power se ) Nese caso F = P (Ω) Uma sub-sigma-álgebra é uma sigma-álgebra G al que G F Uma vez esabelecida esa propriedade vamos aalisar o que segue as probabilidades associadas a uma σ - álgebra fiia Da defiição de probabilidade equação I vemos que esa é uma fução defiida sobre P (Ω) cujo coradomíio é um cojuo X R Tal subcojuo é ecorado aravés da seguie propriedade: como para qualquer eveo A vale a relação A Ω cocluímos que X é limiado pois é válida a relação A Ω P[ ] P[ A] P[ Ω] I5 Da equação I seguem imediaamee as seguies propriedades: P [ Ω] = ; P [ ] = ; I6 I7 de ode cocluímos que P : P (Ω) [ ] I8 Pela relação acima vemos porao que a sigma-álgebra associada ao espaço amosral de um dado experimeo cosise o domíio da medida de probabilidade E é por ese faor que as sigma-álgebras desempeham um papel ão fudameal a eoria Para obermos o valor da fução P sobre uiões e iersecções ere elemeos perecees à σ - álgebra P (Ω) podemos recorrer às relações I7 e I8 da seguie maeira: à parir das relações Ω = Ω Ω = I9a I9b

16 5 obemos P [ Ω ] = P [ Ω ] = Ia Ib As relações acima sugerem que P [ Ω ] = P[ Ω] + P[ ] P [ Ω ] = P[ Ω] P[ ] I Com isso moivados pela defiição acima podemos defiir a probabilidade da uião de dois eveos em ermos da medida I da seguie forma: I3 Defiição : Sejam A e B eveos muuamee exclusivos; eão a probabilidade da uião deses eveos é igual à soma das probabilidades dos eveos idividuais: P [ A B] = P[ A] + P[ B] I A equação acima é esedida facilmee para a medida de probabilidade (I) aravés da relação P [ A B] # : = ( A B) #( Ω) para quaisquer eveos A B Ω al que A B = A equação I é essecial para que possamos equadrar a Teoria da Probabilidade em espaços fiios o escopo da Teoria da Medida o que resulará em um gaho formidável do poo de visa maemáico Isso porque a Teoria da Medida em bases lógicas exremamee bem fudameadas o que ão acoecia com a Teoria da Probabilidade aé o adveo do rabalho de emiees maemáicos do século passado Na realidade muios dos grades maemáicos aeriores ao século XVIII ão crediavam a Teoria da Probabilidade como uma disciplia da Maemáica e sim como uma eoria à margem da mesma A cosrução da Teoria da Probabilidade como uma Teoria da Medida coforme ilusraremos a seção (I) represea a formalização ecessária para sua iclusão o escopo das eorias maemáicas mais fudameais para a descrição dos feômeos aurais A equação (I) os permie deermiar imediaamee odas as operações básicas da medida de probabilidade sobre P (Ω) : ([4] [5] [5]) I4 Proposição [4] [5] - [5] : Para os eveos discrimiados abaixo odos perecees a P (Ω) valem as propriedades I Se { A } = l segue-se que A II P[ A ] c P[ A] for uma seqüêcia de eveos muuamee exclusivos (i e para = ; A l = ) é válida a seguie relação: P A = P[ A ]; = = I3

17 6 III Se A B eão P[ A B] = P[ A] + P[ B] P[ A B] ; IV A Para quaisquer eveos { } vale = P A P[ A ] = = Para ilusrar as propriedades acima cosideremos o exemplo hisórico Tomemos dois eveos quaisquer como por exemplo o eveo A = {468} dos resulados pares e o eveo B = {789} dos resulados com valor acima de 7 As probabilidades associadas a eses eveos são de acordo com a equação (I) iguais a P [ A] = P[ B] = 6 I4 Tomemos agora os complemeares desses eveos c c A = {3579} e B = {3456} Suas probabilidades de ocorrêcia são dadas respecivamee por c c [ A ] = P[ B ] 5 P = I5 Aplicado-se a propriedade II ao resulado (I4) obemos o mesmo valor que o obido em (I5) Calculemos agora as probabilidades associadas à uião e à iersecção de eveos em P (Ω) Pela equação (I) as probabilidades associadas à uião dos eveos A e B A B = {46789} e associadas à sua iersecção A B = {8} são dadas por P [ A B] = 9 3 P [ A B] = I6a I6b Aplicado-se a propriedade III obemos a parir de (I4) e (I6b) o mesmo valor que obido em (I6a) Noemos que aida fala a equação que relacioa a probabilidade da iersecção ere dois eveos; para melhor discuirmo-la com maior clareza faz-se ecessária a irodução de algus coceios adicioais como probabilidade codicioal e idepedêcia que serão objeos da subseção I Com os coceios discuidos aé eão podemos cocluir vários faos de capial imporâcia Vimos que para aalisarmos um experimeo em ermos probabilísicos é fudameal ermos rês elemeos:

18 7? um espaço amosral que os dá os possíveis resulados de um dado experimeo aleaório;? uma sigma-álgebra que os forece odas as relações possíveis ere os eveos do espaço amosral? e uma medida de probabilidade que os idica a probabilidade de ocorrêcia de qualquer eveo da sigma-álgebra Com eses rês elemeos emos um sisema fechado pois podemos assim calcular as probabilidades de odos os eveos de Ω viso que esamos cosiderado sua sigma-álgebra associada Ese fao somee é possível se iroduzirmos a medida de probabilidade P doada da propriedade advida da Defiição I3 (coseqüeemee raduzida pela equação (I3)) Assim vemos que a esruura maemáica mais elemear para se cosruir um modelo probabilísico sobre um espaço fiio cosise em uma ripla (Ω P ( Ω ) P) iroduzida pela seguie I5 Defiição : Seja Ω um espaço amosral fiio e P (Ω) sua sigma-álgebra associada Sedo a fução P : P ( Ω ) [] uma medida de probabilidade doada da propriedade [ A B] = P[ A] P[ B] P + deomiamos a ripla ( Ω P ( Ω )P) de espaço de probabilidade fiio I Será a parir da Defiição I5 que laçaremos as bases da Teoria Axiomáica a seção I3 Variáveis Aleaórias e Fuções de Disribuição Após a esruuração maemáica apreseada a subseção aerior reoremos ao exemplo hisórico da subseção I a fim de elucidar algus coceios adicioais Tomamos como eveos os resulados obidos a parir da soma dos poos presees as faces superiores de dois dados laçados cujos valores possíveis foram coligidos a abela I Cosiderado os dados desa abela verificamos que a cada dois pares ordeados siméricos correspode um mesmo úmero que é exaamee igual à soma das coordeadas de cada par Maemaicamee esa relação se raduz como [ x y) ] = x y X ( + I7 ou seja o cojuo dos resulados R x = { } dos eveos é gerado pela fução X defiida acima Em ouras palavras a iformação sobre o resulado obido decorre da fução (I7) Aalisado sob ese prisma surge a seguie quesão: dado o resulado é possível iferirmos maemaicamee os eveos que lhe dão origem?

19 8 Para respodermos esa quesão vamos aalisar o mapeameo iverso de (I7): omado-se X ( x) = {( a b) Ω : a + b x} I8 vemos que X P ( Ω ) ou seja o mapeameo iverso de X preserva a esruura de sigma-álgebra do espaço de probabilidades ( Ω P ( Ω ) P) Com isso podemos a parir do espaço de resulados e da fução (I8) recosruir o espaço dos eveos do jogo de dados Esa imporae propriedade os leva a iroduzir a seguie I6 Defiição : Seja ( Ω P ( Ω ) P) um espaço de probabilidades fiio Uma variável aleaória simples é uma fução X : Ω R x I9 al que A x = { ω Ω : X ( ω) = x} P (Ω) para odo x R x A fução mais simples que pode ser cosiderada como variável aleaória é a fução idicadora χ que em como forma A ω A χ A ( ω) = ω A Eão para o caso de uma fução discrea que oma apeas algus poucos valores X (ω ) = x segue-se que podemos represeá-la em ermos de fuções idicadoras; para iso dividamos N o espaço amosral Ω em uma parição } de subcojuos disjuos de al modo que { A = N A = Ω = Dese modo podemos cosruir uma variável aleaória como se fosse um veor expadido em uma base χ } { A X ω χ χ + ( ) = x A + x A + x N A N χ No caso específico a parição A { ω } = X (ω ) = x a expasão acima somee é possível se escolhermos O ermo variável aleaória pode às vezes dar margem a cofusões uma vez que esas ão são variáveis mas simplesmee fuções a valores reais Ademais esas ão são aleaórias viso que seu domíio de defiição é um espaço amosral e ão um espaço gerado pela fução de cojuos P [ ] Apesar deses faores preservou-se o ermo variável aleaória para desigar fuções como as da Defiição I6

20 9 A irodução do coceio de variáveis aleaórias represea um grade gaho do poo de visa maemáico uma vez que a esruura de espaço de medida é ivariae sob ais fuções Para complearmos aida mais a abragêcia do coceio de variáveis aleaórias podemos os perguar se é possível criarmos um espaço de medida iduzido pela aplicação da variável aleaória sobre o espaço de probabilidades discreo A resposa é afirmaiva pois coforme já fora exposo a Proposição I a sigma-álgebra associada ao espaço dos resulados R x é simplesmee seu power se P (R x ) Lembrado-se que o espaço de resulados é gerado pela variável aleaória X podemos eão fazer a seguie associação: I7 Defiição : Seja X uma variável aleaória sobre ( Ω P ( Ω ) P); a sigma-álgebra gerada por X [X ] σ é a classe de odos os cojuos { Ω : X ( ω) A} ω ode A R x Assim a sigma-álgebra P (R x ) é a realidade igual à σ [X ] Resa-os agora saber qual seria a medida associada à esa sigma-álgebra Esa medida deve maer as mesmas propriedades da medida de probabilidade pois assim garairíamos a preservação da esruura do espaço de probabilidades A medida a ser cosiderada deve er eão como domíios p : R x [] I Dese modo a medida em quesão seria uma fução a valores reais e ão uma fução de cojuos Esa caracerísica represea uma grade simplificação esruural Para ecorarmos sua forma explícia cosideremos as relações X : R x P ( ) Ω e : de ode se segue imediaamee a seguie composição: P P ( ) Ω [] P $ X : R x [] I Com isso a fução defiida acima possui o domíio e o coradomíio requeridos em (I) Para ecorarmos a expressão desa ova fução basa usarmos o cojuo A x = { ω Ω : X ( ω) = x} ode X é a variável aleaória defiida em (I7) e x R x : [ Ω : X ( x] p ( x) = P ω ω) = I É evidee que a fução real acima somada em odos os valores de x assume como resulado: x R x p ( x) = P[ X ( ω ) = x] x R x = P ) x R x = { X (ω = x}

21 pois { X ) = x} x R x (ω = Ω Porao podemos cocluir que as fuções (I) preservam a esruura das medidas de probabilidades uma vez que a soma desas fuções sobre odos os valores do espaço dos resulados é igual a Iroduzamos eão a seguie I 8 Defiição : Seja ( Ω P ( Ω ) P) um espaço de probabilidades fiio e X uma variável aleaória defiida sobre ese; a fução à valores reais [ ω Ω : X ( x] p ( x) : = P ω) = é deomiada fução desidade de probabilidade discrea O cojuo { p ( x) p( x N )} cosise a disribuição de probabilidades de Ω e saisfaz N = p( ) = x A parir do coceio de variáveis aleaórias e de desidades de probabilidade podemos eão cocluir que a relação ( Ω P ( Ω ) P) X (R x P (R x ) p) I3 é válida em espaços fiios A vaagem dese mapeameo é que em sedo as fuções de desidade de probabilidade defiidas em um subcojuo dos reais é sempre possível esabelecermos uma fórmula simples para as mesmas Veremos em seções e capíulos poseriores a imesa uilidade e imporâcia das fuções desidade de probabilidade I4 Probabilidade Codicioal e Idepedêcia Na seção aerior discuimos as propriedades fudameais da medida de probabilidade em espaços fiios decorrees do axioma I3 Euciamos al axioma em fução de duas propriedades da eoria de cojuos relacioadas ao espaço amosral e ao eveo impossível (I9a) e (I9b ) que levou ao resulado I Noe-se que a relação P [ Ω ] = P[ Ω] P[ ] I4 é sugerida em fução do fao de Ω e serem obviamee muuamee exclusivos A pergua que surge em face disso é: qual seria a relação ere dois eveos que ão são muuamee exclusivos? Para respodermos a esa pergua vamos aalisar dealhadamee o coceio de iersecção de eveos Para ao vamos recorrer a um exemplo Supohamos que dero de uma empresa Ω com # ( Ω ) fucioários hajam # ( A ) direores e # ( B ) profissioais formados em Física É evidee que se houver direores formados em física esarão eles equadrados em A B; porao se houver uma escolha ao acaso de um fucioário da empresa exise uma probabilidade ão-ula P[ A B] dese ser um direor e formado em Física

22 Aalisemos eão os eveos de modo a calcularmos esa probabilidade Dividido-se o processo de escolha em duas eapas ode a primeira se refere à escolha propriamee dia e a seguda à verificação do resulado e esabelecedo-se as combiações possíveis chegamos à seguie abela: Eapas Escolher a pessoa ao acaso Verificar se é formado em Física Eveos ω A (Direor) ω A (Não é um Direor) ω B ω B ω B ω B Tabela I3 Possibilidades de escolha ao acaso dos fucioários da empresa Por esa abela podemos observar que se A ocorrer eão há # ( A B) possibilidades de escolha em # ( A ) possíveis; por ouro lado se A ão ocorrer observamos que ão há ehuma possibilidade dese fucioário escolhido ser direor muio meos eão ser um direor formado em Física Com isso verificamos que o eveo escolha de um direor formado em Física depede ou de oura maeira esá codicioado à ocorrêcia do eveo escolha de um direor Eão podemos cocluir que ese caso ais eveos apreseam uma relação de depedêcia ere si implicado que a ocorrêcia de um eveo possibilia a ocorrêcia do ouro Aes de defiir mais formalmee eses eveos depedees calculemos a probabilidade de ocorrêcia do eveo A dado que o eveo B ocorreu Como vimos se A ocorreu eão a probabilidade que B ocorra é # ( A B) # ( A) ou eão [ A B] P P[A] Com isso iroduzimos a seguie

23 I 9 Defiição : Seja A um eveo com P [ A] > ; Eão a probabilidade codicioal de um eveo B dado que A ocorreu (ou probabilidade de B dado A) é dada pela equação P [ B A] [ A B] P = P[ A] A probabilidade codicioal I7 saisfaz odas as propriedades de uma medida de probabilidade ([] [4] [5] [9] [] [5] [3]) : I Teorema : São válidas as seguies relações: I P [ A A] = ; II P [ A] = ; III P[ A B C] = P[ A C] + P[ B C] P[ A B C]; = IV Para os eveos { } Ω A vale P A = P[ A ] P[ A A ] P[ A3 A A ] P A A = = Observemos que a defiição de probabilidade codicioal mecioamos um exemplo ode um eveo A precedia um ouro eveo B guardado ese úlimo uma relação de depedêcia com o primeiro Vimos que ese caso ais eveos são muuamee exclusivos No eao há iúmeros casos ode dois eveos que ão são muuamee exclusivos apreseam idepedêcia ere si i e a ocorrêcia de um ão afea o resulado do ouro Para ilusrarmos melhor ese coceio vamos recorrer a um exemplo: supohamos que um dado jogo é cosiuído por duas eapas simulâeas ode a primeira eapa cosise a reirada de uma cara e a seguda cosise o laçameo de um dado Seria vecedor o jogador que coseguisse reirar uma cara vermelha e ober a face com cico poos o dado A pergua que colocamos é: qual a probabilidade de gaho dese jogador? Para aalisarmos ese jogo cosideremos que Ω seja o espaço amosral dos resulados possíveis do eveo reirar uma cara e Ω seja o espaço amosral do eveo laçar um dado Podemos cosiderar que Ω o espaço amosral do jogo em quesão seja o produo caresiao Ω Ω uma vez que al jogo é resulado de duas eapas simulâeas A parir disso cosideremos A o eveo cara vermelha (com qualquer pouação obida o dado) e B o eveo cico poos (idepedeemee da cor da cara) com cardialidades # ( A ) = 56 e # ( B ) = 5 Usado o fao que # ( Ω ) = 3 obemos I5 P [ A] = P [ B] = 6 I6a A parir do resulado # ( A B) = 6 segue-se que P [ A B] = I6b

24 3 Usado-se a fórmula I7 vemos que P [ B A] = 6 I6c o que os idica o seguie resulado: P [ B A] = P[ B] e P[ A B] = P[ A] P[ B] I7 Vamos aalisar melhor a iformação coida a equação I9 Pelo exemplo poso podemos observar que a ocorrêcia de A ão ierfere a ocorrêcia de B; com isso o coceio de probabilidade codicioal pelos cálculos acima se reduz simplesmee ao de probabilidade usual Isso sigifica que se dois eveos forem idepedees a iformação eveo A ocorreu ão alera o resulado da iformação eveo B ocorreu O resulado acima é imporaíssimo dero do escopo da Teoria da Probabilidade e cosisirá a base de oda a discussão que faremos a respeio da Teoria do Movimeo Browiao Aes de defiirmos eão ese coceio ão imporae vamos provar o resulado I9 para um caso mais geral Cosideremos como o exemplo acima que um experimeo seja cosiuído por duas eapas ode o espaço amosral de cada eapa é represeado por Ω e Ω Nese caso Ω = Ω Ω e # ( Ω ) = # ( Ω ) # ( Ω ) Seja A um dado eveo caracerizado por um cojuo A Ω de resulados (o exemplo acima A era simplesmee o cojuo das caras vermelhas) e B ouro eveo caracerizado por um cojuo A Ω de resulados (pelo mesmo exemplo A era o cojuo cico poos ); com isso A = {( x y) : x A y Ω } e B = {( x y) : x Ω y A} As cardialidades associadas a eses eveos são respecivamee dadas por # ( A ) = # ( A )# ( Ω ) e # ( B) = # ( Ω )# ( A ) A iersecção dos eveos A e B é dada por A B = {( x y) : x A y A} com cardialidade # ( A B) = # ( A )# ( A ) Com os resulados acima podemos calcular a probabilidade codicioal P [ B A] a parir da equação I7: P [ B A] # = = ( A B) #( A) ( A )# ( A ) # ( A) # = # ( A) [ B] = P # # ( A ) # ( B) ( Ω ) # ( Ω ) Com isso provamos que o resulado I9 é válido para casos mais gerais Podemos eão iroduzir a seguie

25 4 I Defiição : Dois eveos são esocasicamee idepedees se [ B A] P[ B] P = I8 ou seja a iformação relaiva à ocorrêcia do eveo A ão ierfere o resulado da iformação relaiva à ocorrêcia do eveo B Ademais P [ A B] = P[ A] P[ B] A propriedade I pode ser esedida para um úmero arbirário de eveos coforme demosra a proposição a seguir ([] [4] [5] [9] [] [5] [3]) : = I Proposição : Os eveos { } Ω valerem as seguies relações: ode K = { } A são deomiados muuamee idepedees se [ A A ] P[ A ] P[ A ] P = i j K i j [ A A A ] P[ A ] P[ A ] P[ A ] i j i i j P = i j K P A = P[ A ] = Aé o momeo em ossa discussão acerca de probabilidade codicioal e idepedêcia ão mecioamos o uso de sigma-álgebras Tampouco esedemos al coceio para variáveis aleaórias Faria seido falarmos de sigma-álgebras e variáveis aleaórias idepedees? A resposa é posiiva para a primeira quesão: como sigma-álgebras são composas de eveos e como já sabemos deermiar se dois eveos são idepedees faz seido eão cosiderar que duas sigma-álgebras sejam idepedees se eveos de uma sejam idepedees em relação a eveos da oura; em ouras palavras I3 Defiição : Sejam G e H sub-sigma-álgebras de F Dizemos que G e H são idepedees se [ A B] P[ A] P[ B] P = A G B H Um exemplo isruivo de se cosiderar é o caso de variáveis aleaórias defiidas sobre um par caresiao Sejam X e Y duas variáveis aleaórias sobre Ω ; cosideremos agora o espaço amosral Ω e o seguie cojuo: A B = {( X Y ) : X A Y B} j I9 Pela defiição acima vemos que o produo caresiao seguie eveo: A B cosise simplesmee o

26 5 { X Y ) A B} = { X A} { Y B} ( ou seja para que X e Y sejam idepedees basa que P[( X Y ) A B] = P[{ X A} { Y B}] = P[ X A] P[ Y B] I3 I3 Para a seguda quesão ambém é afirmaiva a resposa: como podemos gerar sigmaálgebras a parir da ação de variáveis aleaórias ora-se fácil pela defiição acima decidir se ais sigma-álgebras geradas são idepedees; assim vale a seguie I4 Defiição : Dizemos que duas variáveis aleaórias X e Y são idepedees se as sigmaálgebras geradas σ [X ] e σ [Y ] são idepedees Nas seções que seguem discuiremos mais dealhadamee as imporaes implicações que os coceios de probabilidade codicioal e idepedêcia razem à Teoria da Probabilidade Será com base o coceio de probabilidade codicioal por exemplo que cosruiremos os imporaes coceios da Teoria dos Processos Esocásicos como Processos de Marov e Marigales fudameais para uma complea discussão do Movimeo Browiao e suas coseqüees geeralizações I5 Valor Esperado e Variâcia de uma Variável Aleaória Nas subseções que se sucederam aé o momeo vimos que a base de qualquer eoria probabilísica cosise em um espaço de probabilidades ( Ω P ( Ω ) P) Toda a esruura de eveos de um dado experimeo se ecora o bojo de sua sigma-álgebra associada P (Ω) ; em ouras palavras podemos dizer que oda a iformação respeciva a um dado experimeo esá coida em sua sigma-álgebra Podemos eão caegorizar um dado sisema simplesmee em se cohecedo sua sigma-álgebra Para ermos uma idéia da abragêcia dese coceio cosideremos um exemplo bem cohecido: um ceso demográfico Nese os pesquisadores colhem iúmeras iformações relevaes para um melhor cohecimeo da população de uma ação: idade sexo grau de escolaridade aividade profissioal reda familiar ere ouras Com odos eses dados compomos o perfil de oda uma população Pesado em ermos de cojuos fica fácil ideificarmos uma sigma-álgebra associada ao experimeo ceso demográfico : F = {Toda a população ( Ω ) {cojuo dos joves (J)}{cojuo dos homes (H)} {cojuo das mulheres (M)}{cojuo dos homes joves ( H J )} {cojuo das mulheres joves ( M J ) }} Por ese exemplo oamos realmee que odas as iformações relacioadas à uma dada população esão em sua sigma-álgebra No eao aida os fala algo para complemear esas iformações Temos subcojuos das populações mas aida ão dispomos de um elemeo que represee a população como um odo Tal elemeo os permiiria por exemplo comparar dois cojuos de dados diferees Para melhor esclarecermos ese poo omemos o seguie exemplo: supohamos que o govero suíço eha ecomedado uma pesquisa que vise deermiar algus ídices de desevolvimeo como reda per capia Isso sigifica que o govero deseja ober um úmero que melhor represee a reda da população oal do país Assim um úmero represearia a população como um odo que é ese caso simplesmee obido

27 6 dividido-se a reda oal arrecadada em um dado exercício fiscal pelo úmero oal da população Um ouro úmero que ambém poderia quaificar a reda de uma população seria sua reda média ou seja uma quaia que é iermediária em relação aos maiores e meores valores de reda desa população Para calcularmos o valor desa reda média basa simplesmee omarmos odas as redas idividuais somá-las e fialmee dividi-las pelo úmero oal de redas cosideradas Assim se r i é o valor da reda do i-ésimo habiae e N é o úmero de habiaes eão a reda média será dada por r = N N r i i= Dese modo em sedo a reda média um úmero podemos fazer comparações ere diferees cojuos de dados; assim se $7 for a reda média da Suíça e $65 for a da Alemaha vemos que proporcioalmee um suíço gaha mais que um alemão É claro que dero dese exemplo ão podemos afirmar que odo suíço gaha melhor que odo alemão; sem dúvida podem haver alemães que gahem muio mais que algus suíços e pode aé acoecer que a reda oal alemã seja maior que a Suíça (como aliás o é) No eao o que a média reflee é a proporção ere a reda oal e a população por isso é que a Suíça em média (ou seja proporcioalmee) se gaha mais do que a Alemaha Pela discussão acima oamos que a média ariméica é um bom criério para compararmos cojuos de dados Cosideremos agora ais médias dero do coexo da Teoria da Probabilidade Sedo o espaço amosral Ω ={população suíça} iroduzamos a variável aleaória ( ) r X ω = ode ω represea um habiae da Suíça e r represea sua reda É oável que podem haver pessoas obedo redas iguais; supohamos que hajam m < redas que se repiam Porao sedo (={m}) o úmero de vezes que a reda r comparece a aálise segue-se que o valor médio da reda será dado pela equação EX = N m = r No coexo da Teoria da Probabilidade em espaços fiios sabemos que a razão / N represea a probabilidade de que a reda de uma pessoa escolhida ao acaso seja igual a r ; com isso rescrevedo-se a equação acima em ermos de probabilidades obemos a seguie I 5 Defiição : Seja ( Ω P ( Ω ) P) um espaço de probabilidades fiio e X uma variável aleaória sobre Ω O valor esperado de X é defiido por EX : = X ( ω ) P[{ ω}] ω Ω A equação acima pode aida ser rescria observado-se o seguie fao: como o espaço amosral Ω é fiio a variável aleaória X pode assumir apeas algus poucos valores

28 7 { x x x m }; paricioado-se Ω os subcojuos { X ( ω ) = x } { X ( ω ) = x } X (ω ) = x } segue-se que { m m EX : = X ( ω ) P[{ ω}] = = = ω Ω m = ω { X = x } m x X ( ω ) P[{ ω}] = ω { X = x } m = x P[ X = x P[{ ω }] ] = m = x p( ) x I3 Uma vez esabelecido o coceio de valores esperados discuamos algumas de suas propriedades ([] [4] [5] [9] [] [5] [3]) : I6 Teorema : Sejam X e Y duas variáveis aleaórias idepedees e α um úmero real Eão vale: I E [ X + Y ] = EX + EY ; II III E[ α X ] = αex ; E[ XY] = EX EY I33 Em ossa discussão aerior foi-se colocado que o valor esperado de uma variável aleaória represearia o cojuo formado por odos os seus valores uméricos possíveis; o eao podemos os perguar: quão boa é esa represeação? Em ouras palavras em quao os valores da variável aleaória se desviam do seu valor médio? Poderíamos pesar em ermos da soma dos desvios idividuais X (ω ) EX ; o eao ais desvios poderiam ser siméricos e assim cacelarem-se us aos ouros Iso é poderíamos er um desvio oal igual à zero mesmo que a variável aleaória apreseasse uma oscilação em oro de seu valor esperado Poderíamos elimiar ese fao se omarmos X (ω ) EX ; o eao a expressão do desvio seria ão-difereciável porao impraicável O melhor a se fazer eão seria omar os quadrados de cada ermo e somá-los para assim obermos um valor para o desvio da variável aleaória em ermos de seu valor médio Com isso iroduzimos eão a seguie I 6 Defiição : Seja ( Ω P ( Ω ) P) um espaço de probabilidades fiio e X uma variável aleaória sobre Ω A variâcia de X é defiida como sedo a seguie expressão: var X : = { X ( ω ) EX} P[{ ω}] ω Ω

29 8 Ou seja m var X = ( x EX ) p( ) = x ou aida var X [ X EX ] = E Desevolvedo-se o lado direio da equação acima obemos a equação var X ( EX ) = EX I34 muio mais úil do poo de visa operacioal A variâcia possui propriedades semelhaes às dos valores esperados ([] [4] [5] [9] [] [5] [3]) : I7 Teorema : Sejam X e Y duas variáveis aleaórias idepedees e α um úmero real Eão vale: I var[ X + Y ] = var[ X ] + var[ Y ]; II var[ α X ] = α var[ X ] Pela defiição de variâcia podemos iroduzir um coceio mais geral o de covariâcia Cosideremos uma cera variável aleaória Y com valor esperado EY ; defiamos agora a seguie expressão: ( X Y ) = E[ ( X EX )( Y EY )] cov ; é fácil observar que se X e Y forem idepedees cov ( X Y ) = ; porao a covariâcia serve como um idicador de idepedêcia de duas variáveis aleaórias Ademais ambém é fácil mosrar que I6 O Passeio Aleaório ( X X ) var X cov = Vimos o iício dese capíulo que a eoria da probabilidade asceu arelada aos jogos de azar Tao isso é verdade que os primeiros problemas que evolviam o coceio de probabilidade iham como foe as possibilidades de resulados de jogos de dados de moedas de caras e assim por diae As correspodêcias ere Pascal e Ferma cosideradas como a gêese da eoria da probabilidade como pare da maemáica coiham vários problemas associados a eses mesmos jogos Nesa subseção os ceraremos em um jogo que de ão simples ão mereceria a pricípio aeção; ereao suas coseqüêcias são ão abragees que ecoraremos iúmeros exemplos em ouros campos do cohecimeo de seu uso Isso porque o jogo que cosideraremos o jogo de moedas em como esruura básica um coceio de aplicação uiversal: o passeio aleaório Ese coceio é

30 9 ão imporae que é aravés dele que se deriva o pricipal eorema da eoria da probabilidade: o eorema ceral do limie Cosideremos um jogo que cosisa o laçameo de uma moeda rês vezes Supohamos que a ôica do jogo seja a seguie: a cada cara obida gaha-se $ ao passo que a cada coroa obida ão se gaha ada Qual seriam eão as probabilidades de gahos ese jogo a cada passo? Iiciemos ossa aálise fazedo algumas cosiderações iiciais Chamaremos cada laçameo realizado de passo Deomiemos o resulado cara como H e o resulado coroa como T Assim o primeiro passo podemos ober ou H ou T ; o segudo passo o resulado associado ao laçameo da moeda ambém é H ou T mas em ermos de resulado acumulado oberíamos HH HT TH ou TT depededo do resulado do primeiro passo Os eveos acumulados cosisem porao de seqüêcias dos resulados aeriores; assim mais aural eão represeá-los como sedo -uplas do ipo( H T H ) e assim por diae Porao o espaço amosral associado a cada laçameo de moeda é Ω = HT ao passo que o espaço amosral associado ao resulado acumulado o -ésimo { } passo é dado pelo produo caresiao Ω = Ω = Os resulados obidos a cada passo podem ser represeados por meio de um diagrama muio úil deomiado árvore biomial: HH HHH H HHT HTH HT TH HTT THH T THT TTH TT TTT 3 Figura I Represeação gráfica dos resulados do laçameo de uma moeda rês vezes De acordo com esas duas siuações disias eremos ambém dois ipos diferees de gahos O primeiro ipo se relacioa ao gaho obido a cada passo; já o segudo se relacioa ao gaho acumulado aé um deermiado passo Em relação à primeira siuação como a cada passo ou o jogador gaha $ ou ão gaha ada podemos represear ese gaho por meio da variável aleaória X : Ω R X ( H ) = + ( T ) = X

31 ode idica o passo Já para a seguda siuação o resulado acumulado cosise o úmero de caras obidas aé o -ésimo passo que por sua vez é dado pela soma do úmero de caras obidas a cada passo ; porao se S Ω : R é a variável aleaória que os forece ese úmero esa assume a forma ( ) = ( ω ) S ω X = I35 ode ω ( ω ω ) ω = Uma vez esabelecidas as variáveis aleaórias que cosisem a base de osso jogo passemos ao cálculo da probabilidade de ocorrêcia de cada resulado Cosideremos que a probabilidade de se ober uma cara a cada passo seja igual a [ X ( ) = + ] p P ω = ode < p < e que a probabilidade de obermos coroa seja igual a I36a [ X ( ) = ] q P ω = I36b ode auralmee q = p Com eses resulados em mão podemos deduzir as probabilidades para cada resulado acumulado Vimos a subseção I4 como calcular a probabilidade de variáveis aleaórias defiidas sobre um produo caresiao; uilizemos ese coceio eão para calcularmos as probabilidades associadas a ese jogo Defiamos iicialmee a ova variável Z : Ω R ( ω ω ) ( X ( ω ) ( ω ) X ; por esa defiição ora-se claro que cada -upla ω ( ω ω ω ) deermiada por Z ( ω) Porao P [( ω ω ω )] = P[ ( X ( ω ) X ( ω ) ( ω ))] X = fica uivocamee [{ X ( ω )} { X ( ω )} { ( ω )} ] = P X ode usamos a defiição (I3) Os eveos em iersecção o lado direio da úlima igualdade acima são idepedees ere si uma vez que o resulado do laçameo da moeda em um passo ão iflui a obeção da iformação do resulado do passo seguie Devemos oar que somee o resulado acumulado depede dos resulados aeriores Com isso a equação (I37) ora-se P [( ω ω ω )] P[ X ( ω )] P[ X ( ω )] P[ ( ω )] X = Tomemos como exemplo os poos amosrais ( H H ) e ( H ) probabilidades de ocorrêcia são iguais a P [( H H )] = p e P [( T H )] = pq I37 I38 T em Ω ; suas respecivamee

32 Com ese aparao desevolvido aé aqui esamos apos a calcular a probabilidade de ocorrêcia de um deermiado valor para S Cosideremos por exemplo que um jogador queira saber qual a probabilidade de se gahar $κ após passos ou seja P [ ω Ω : S ( ω) = κ ] Noemos que um dado poo amosral ω Ω pode levar a idêicos valores para S H H T S H T H S T H H S ; assim por exemplo 3 ( ) é igual a 3 ( ) e a ( ) uma vez que a soma das variáveis aleaórias 3 X correspodees a cada poo amosral ω Ω é igual a Porao devemos cosiderar eses valores iguais o cômpuo de cada probabilidade Supodo-se que a -upla ω ( ω ω )! κ!( κ )! -uplas ω = hajam κ caras exisem ω Ω diferees que resularão o mesmo valor para S ; dese modo como a probabilidade de ocorrêcia de cada -upla ω ( ω ω ) = ω é igual a segue-se que a probabilidade de gaharmos $κ caras em jogadas será igual a κ κ p q κ κ [ ω Ω S ( ω) = κ ] = p q P : κ I39 De acordo com a defiição I8 a expressão acima correspode à fução desidade de probabilidade de um passeio aleaório deermiado pela variável S ; deomiamos esa por fução desidade de probabilidade de Beroulli Calculemos agora a valor esperado e a variâcia dese processo De acordo com a defiição I5 o valor esperado de S será igual a ES = S ω Ω [ = κ ] ( ω) P ω Ω : S ( ω) = = κ = κ P [ ω Ω : S ( ω) = κ ]! ( κ )! ( κ ) κ =! p κ q κ = p I4 ode efeuamos algumas maipulações riviais com os somaórios A variâcia de um passeio aleaório pode ser deermiada por meio das equações (I3) e (I4) resulado em var S = pq I4 Resa-os agora ober o valor da probabilidade de ocorrêcia de uma cara p Experimealmee ao realizarmos uma série de laçameos de uma moeda observamos que quao maior for o valor de mais próximo de 5 será o valor de p Ese fao experimeal moivou Beroulli a desevolver o primeiro eorema de limie o eorema áureo (que poseriormee viria a ser chamado por Poisso de Lei dos Grades Números)

33 que valida eoricamee o valor p = 5 Volaremos a ese ema a subseção I6 ode raaremos dese assuo mais pormeorizadamee Por meio da equação (I39) podemos fialmee respoder a quesão colocada o iício desa subseção assumido-se eão p = 5: um jogador que ere ese jogo de moedas erá uma probabilidade de 5 de gahar $3 uma probabilidade 375 de gahar $ uma probabilidade 375 de gahar $ e uma probabilidade 5 de ão gahar ada O passeio aleaório cosiderado aé agora ão admie valores egaivos em sua formulação Para orarmo-lo mais compleo aalisemos sua versão simérica; como aeriormee cosideremos que o experimeo-base cosisa em um jogo de moedas com as seguies regras: para cada cara obida gaha-se $; só que desa vez para cada coroa obida perde-se $ Perguamos eão: quais são as probabilidades de perdas e de gahos dese jogo ao fial do erceiro laçameo? Os espaços amosrais são idêicos em relação ao jogo aerior Em ermos de variáveis aleaórias cosideraremos X ( H ) = + ( T ) = X I4 sedo a soma desas variáveis o -ésimo passo igual à variável aleaória S : Ω R : ode ω ( ω ω ) ω ( ) = ( ω ) S ω X = I33 I43 = Para fis de simplicidade podemos separar a variável aleaória S em ermos de suas pares posiiva e egaiva X ± ± ( ) = X ( ω ) ω = I44a ode X + ( ω ) + ω = H = ω = T X ( ω ) ω = T = ω = H I44b É fácil observar que as variáveis X + e X são idepedees; ademais apreseam a mesma disribuição a de Beroulli O gaho obido o -ésimo passo é dado pela soma S + ( ω) X ( ω) + X ( ω) = I45 Se em laçameos obivermos caras eremos assume a expressão coroas; com isso S S = I46 Supohamos que ao fial do -ésimo passo ehamos obido $ξ ; calculemos agora [ ω = ξ ] probabilidade de se coseguir ese valor Ω S ( ω) P : Usado a equação (I46) é