Uso da Simulação de Monte Carlo e da Curva de Gatilho na Avaliação de Opções de Venda Americanas

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1 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Uso da imulação de Moe Carlo e da Curva de Gailho a Avaliação de Opções de Veda Americaas Javier Guiérrez Casro Tara K. Nada Baidya Ferado A. Lucea Aiube Deparameo de Egeharia Idusrial (DEI Poifícia Uiversidade Caólica do Rio de Jaeiro (PUC-Rio Rua Marquês de ão Vicee 225, C.E.P Gávea, Rio de Jaeiro, Brasil. javiergc@aluo.puc-rio.br baidya@id.puc-rio.br aiube@id.puc-rio.br Absrac I 973 Black ad choles [2] published heir aricle o he valuaio of Europea opio. ice he, here have bee may works exedig his work i may direcios. Oe such direcio is he valuaio of America opios. O he maer, o exac aalyical formula has bee developed ye. I sead, umerical mehods have bee used i heir valuaios. Moe Carlo simulaio has bee he mehod which has become more ad more popular amog researchers i his field. The hreshold curve mehod, used by Gra, Vora ad Weeks [7] o value America opios, is calculaed hrough Moe Carlo simulaio. This is he radiioal mehod used i fiace. We propose o modify he mehodology of Ibáñez ad Zapaero [9], which also uses he hreshold curve, o obai a more efficie ad more accurae mehod ha ha of Gra, Vora ad Weeks [7]. I his work, he described procedures ad umerical ess are focused i America Pu Opios. Resumo Em 973 Black e holes [2] publicaram um semial arigo o qual, pela primeira vez, se avaliava aaliicamee uma opção do ipo européia. Desde eão, em surgido uma grade quaidade de rabalhos esededo esse arigo para diversas áreas e aplicações. O apreçameo de opções americaas é uma das verees. obre isso, ão exise aé o momeo uma fórmula aalíica que permia calcular de maeira exaa o preço de uma opção americaa. Porao, méodos uméricos vêm sedo uilizados esa arefa. Ere eles, o méodo da simulação de Moe Carlo em se orado o de maior popularidade ere os pesquisadores dessa área. A curva de gailho, méodo uilizado por Gra, Vora e Weeks [7] para avaliar opções americaas, é calculada aravés da simulação de Moe Carlo. Ese é o méodo radicioal uilizado em Fiaças. Nossa proposa cosise em modificar a meodologia desevolvida por Ibáñez e Zapaero [9], que ambém calcula a curva de gailho, para ober um méodo mais eficiee e mais preciso do que o apreseado por Gra, Vora e Weeks [7]. Nese rabalho, os procedimeos descrios e os eses uméricos realizados, foram orieados para opções de veda americaas. Keywords: America Pu Opios, Moe Carlo imulaio, Threshold Curve. Tile: Uilizaio of Moe Carlo imulaio ad Threshold Curve o Value America Pu Opios Associação Poruguesa de Ivesigação Operacioal

2 68 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Irodução Em 973 Black e choles [2] apresearam um arigo semial em que foi apreçada aaliicamee uma opção fiaceira do ipo européia. Aé eão, ese era um grade desafio para os pesquisadores essa área. Mas, o caso de opções americaas, ão exise ehum procedimeo aalíico que permie avaliá-las com exaidão. Iicialmee a lieraura propôs méodos que aproximam aaliicamee o valor da opção americaa, como é o caso de Baroe-Adesi e Whaley []. Por ouro lado, o méodo biomial, uilizado por Cox, Ross e Rubisei [5] para avaliar opções européias, resula ambém úil o apreçameo de opções americaas Mas odos esses procedimeos êm a desvaagem de ficarem resrigidos a uma série de codições, ais como er o máximo uma variável esocásica e o aivo subjacee ser modelado por um processo esocásico de Movimeo Geomérico Browiao. Esas resrições iviabilizam sua aplicação em problemas complexos. Em relação à écica de simulação de Moe Carlo, exise um hisórico relaivamee recee o que diz respeio à sua uilização o apreçameo de opções americaas. As primeiras abordages proposas foram realizadas por Boyle e al. [3] e Broadie e Glasserma [4], orado-se referêcias para os rabalhos que poseriormee desevolveram-se essa área de pesquisa. Esas meodologias eam aproximar o preço da opção usado os coceios da programação diâmica, iso é, uilizado procedimeos recursivos de cálculo (de rás para free a parir de simulações dos valores do aivo subjacee ao logo do empo. Nese coexo, um méodo que em ido uma ampla difusão devido a sua facilidade de aplicação é o desevolvido por Gra, Vora e Weeks [7]. Ese méodo em a paricularidade de calcular previamee a curva de gailho (hreshold curve ou curva de preços críicos de exercício, sedo uma das primeiras meodologias que iroduziram ese coceio o apreçameo de opções americaas por simulação. A deermiação dos isaes óimos de exercício da opção (ou preços críicos de exercício, ao logo de odo o período de mauração, defie o que a lieraura se cohece como curva de gailho. A curva de gailho é um coceio basae úil, sobreudo quado são aalisadas opções reais. O raameo de opções reais é aálogo ao de opções fiaceiras, em que o aivo subjacee passa a ser um aivo real, por exemplo, o valor de um projeo. Assim, é possível por meio desa curva ideificar o período adequado para realizar um ivesimeo de valor K (preço de exercício. Ese ivesimeo ocorrerá quado o valor do projeo aija um ível igual ou superior àquele defiido a curva. Caso exisa a possibilidade de abadoar o projeo (obedo um valor de recuperação K, a opção de abadoo deverá ser exercida assim que o valor do projeo seja igual ou iferior àquele defiido a curva. Eses são algus exemplos da uilidade práica da curva de gailho. As opções fiaceiras ou reais do ipo americaa podem ser exercidas ao logo do iervalo de empo que vai de 0 = 0, aé N =T (empo de mauridade. O prazo aé a mauridade ou vecimeo é dividido em N iervalos, sedo que a opção pode ser exercida em qualquer um desses iervalos. Ao uilizar a simulação de Moe Carlo, a modelagem da opção americaa assemelha-se a uma opção bermuda, a qual se caraceriza por er mais de uma daa de exercício aé o vecimeo. Quao mais iervalos discreos forem cosiderados o iervalo [ 0 ;T], melhor será o modelo que descreve o comporameo real de uma opção americaa (que se exerce em empo coíuo e ão discreo. Uma meodologia aleraiva é a desevolvida por Ibáñez e Zapaero [9]. Como feio por Gra, Vora e Weeks [7], eles ambém deermiam primeiramee a curva de gailho.

3 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( A ovidade que razem os auores é uma maeira diferee de calcular os preços críicos de exercício, o que se mosra muio eficiee. Nese arigo é aalisado com especial êfase o algorimo de Ibáñez e Zapaero [9]. Por ouro lado, foram feias modificações esse algorimo que aprimoram a cosrução da curva de gailho. Iso permiiu melhorar a precisão dos resulados usado os eses origiais proposos pelos auores. O efoque dado o rabalho esá a avaliação de opções de veda americaas cosiderado que o aivo subjacee é a úica variável esocásica. ão comparadas rês meodologias: o algorimo de Gra, Vora e Weeks [7], Ibáñez e Zapaero [9] e Ibáñez e Zapaero modificado (aqui proposo. O arigo esá assim orgaizado: a seção 2 descreve o algorimo desevolvido por Gra, Vora e Weeks [7] aplicado-o a uma série de eses uméricos; a seção 3 apresea o algorimo de Ibáñez e Zapaero [9]; a seção 4 aplica o algorimo descrio a seção 3 aos mesmos eses uméricos da seção, dealhado as modificações que serão realizadas a implemeação do algorimo; a seção 5 compara os resulados obidos com as diferees meodologias; e a seção 6 apresea as coclusões e cosiderações fiais. 2 O Méodo de Gra, Vora e Weeks 2. Defiição de Curva de Gailho O algorimo de Gra, Vora e Weeks [7] deermia primeiramee a curva de gailho ou froeira de exercício óima. Esa é formada pelo cojuo de poos os quais o valor de maer viva a opção (esperar é igual ao valor iríseco (exercer, ode é o valor do aivo subjacee, que é uma variável esocásica, e o sobrescrio idica que é o preço críico de exercício o isae. Deoe-se por P (,K o preço da opção de veda, e I(,K = K- é o valor iríseco ou valor da opção de veda quado é exercida, sedo K o preço de exercício. Porao, a curva de gailho se dá que P (, K I(, K. = Dado um isae iicial 0, e um isae T (mauridade da opção ou prazo máximo de exercício, pode-se subdividir o horizoe de empo T- 0 em N iervalos, com daas de exercício discreas em {, 2,..., N =T}. Em algum isae de empo, assume-se que o exercício da opção é óimo se eja r a axa livre de risco de curo prazo, e Q a medida de probabilidade marigale. Logo, em alguma daa ( є {, N-2,...,}, o preço da opção é calculado por: τ r d Q s s P (, K = E [e I(τ, K] ( Ode τ Є { +, +2,...,T} é o chamado empo óimo de parada, defiido como o primeiro +i o qual ; ouro caso τ=. Em ouras palavras, é o primeiro + i + i isae em que o preço do aivo fica abaixo da curva de gailho. Assumido que segue um Movimeo Geomérico Browiao (MGB, sob a medida marigale, escreve-se: d / = αd + σ dz, ode α = r-q é o drif ou edêcia eura ao risco, q é a axa de dividedos, σ é a volailidade do preço do aivo, e, dz = ε (d /2 é o icremeo do processo padrão de Wieer com ε ~ NID(0,. Dado que é uma variável esocásica a ser gerada por simulação de Moe Carlo, é coveiee uilizar um MGB discreizado, da seguie forma:

4 70 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Δ = exp [(α σ 2 /2Δ + σ (Δ /2 ε + Δ] (2 Ode Δ é o iervalo de empo ere e +. Desa maeira, é possível discreizar a equação ( sob a mesma medida de probabilidade, resulado a seguie equação: A (τ P (, K e r a (K = τa M a= (3 Ode A é o úmero oal de camihos Browiaos, dere os M simulados a parir de um isae de empo, os quais um isae de empo (o primeiro +i em-se + i + i (podem exisir camihos que em ehum +i acoeça al siuação. Por coseqüêcia exisem A períodos τ, ideificados por τ a (a=,...,a correspodees a um deermiado em que a mecioada resrição é saisfeia. τ a 2.2 Descrição do algorimo de Gra, Vora e Weeks O méodo de Gra, Vora e Weeks [7] foi um dos primeiros em uilizar o coceio de curva de gailho, e serviu de base para o algorimo de Ibáñez e Zapaero [9], que será abordado poseriormee. Nascimeo [0] apresea de forma basae ampla esa meodologia, iclusive com diversas experimeações uméricas. Para calcular os preços críicos de exercício, o algorimo uiliza a codição de valor óimo (value machig codiio. A codição é ilusrada a seguir para uma opção de veda americaa P sobre um aivo base e com preço de exercício K: P (, K = K - (4 Ode represea o preço críico de exercício do aivo base o isae. Na mauridade da opção, o valor críico é dado pelo preço de exercício K: P ( T, K = máx(k- T,0 T =K (5 No isae de empo =T, o preço críico de exercício é igual ao preço de exercício da opção, represeado pela lera K. Por defiição, o preço da opção de compra é a difereça ere o preço do aivo e o preço de exercício K (ou seja -K. Para a opção de veda emos K-. e o empo =T (úlimo período para decidir o exercício é igual a K, o valor da opção seria zero, porao, exercer ou ão a opção foreceria o mesmo resulado (zero para essa daa. Assim, o preço críico de exercício é igual a K. Na equação (5, T é a daa de vecimeo da opção. Já para um isae qualquer aes do vecimeo, a decisão óima depede do cohecimeo prévio do preço críico imediaamee poserior o fuuro,, como pode ser viso a seguir: + Δ P (, K = máx(k-, e-r E [ P + (, K ] (6 + Δ T

5 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Ode o úlimo ermo à direia cosiui o valor de coiuação, ou o valor de maer a opção viva. E é o valor esperado codicioal à iformação dispoível o isae e é o amaho de uma discreização do empo. A dificuldade surge quado são calculados os preços críicos que depedem de preços fuuros. Como a iformação fuura é descohecida o isae aual, uiliza-se a simulação de Moe Carlo como auxílio o cálculo deses valores. Para ilusrar o processo de cálculo do preço críico de exercício, supõe-se que o valor a ser deermiado é T- Δ, ou seja, o preço críico de exercício do isae imediaamee aerior ao vecimeo da opção. Primeiramee, adoa-se como codição iicial A parir de T-, simula-se valores para T e P T. Obém-se eão o valor de P T, uilizadose a média das simulações execuadas. A seguir, verifica-se se valor óimo dada pela equação (6, o que sigificaria escrever: T- Δ T- = T. saisfaz a codição de K- Δ = e-r E T- [P T (, K ] (7 T- T Caso a codição acima ão seja saisfeia, icremea-se T- de um valor - (um valor pequeo e simula-se ovamee valores para T e P T, repeido-se o procedimeo aé que o valor críico T- Δ seja ecorado. A curva de gailho é obida repeido-se o procedimeo acima, recursivamee, aé o isae iicial. 2.3 Resumo do Algorimo de Gra, Vora e Weeks O algorimo Gra, Vora e Weeks [7], para o cálculo do preço de uma opção de veda americaa, pode ser resumido os seguies passos:. Discreiza-se a vida úil da opção em N=T/ pares, ode é o amaho de cada iervalo, e adoa-se a codição ermial =K. T 2. No isae T-, adoa-se como aproximação de T- um valor igual ou próximo de T. Em seguida, uiliza-se a simulação de Moe Carlo para se ober diferees valores de T e, coseqüeemee, de P T. O valor de P T é calculado aravés da média das simulações execuadas. 3. Verifica-se se a codição de valor óimo, expressa pela equação (7, é saisfeia. Caso afirmaivo, iicia-se o próximo passo. Caso corário, icremea-se T- de um valor - e repee-se o passo aerior. 4. Repee-se o segudo e o erceiro passos para os isaes aeriores, aé chegar a 0. Para calcular o preço da opção de veda devem-se simular camihos em odos os isaes poseriores ao momeo avaliado, e aplicado a equação (3, obém-se esse valor. 5. Uma vez obida a curva de gailho, o preço da opção de veda é obido aravés da aplicação da equação (3, a parir de simulações do preço do aivo subjacee. Dealhado passo a passo, faz-se: (i imular uma grade quaidade de camihos (M a parir do valor iicial do aivo subjacee 0 = 0. As simulações são feias em iervalos de empos discreos {, 2,..., N =T}.

6 72 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( (ii Para cada camiho simulado, o primeiro isae de empo ( =,2,...,N em que o valor do aivo seja meor ou igual ao poo críico da curva de gailho (, será exercida a opção, sedo o preço da opção de veda em o valor iríseco: K-. A seguir, descoa-se ese preço com a axa livre de risco: P m = e -(-0r.(K-, ode P m (m є {,2,...,M} represea o preço da opção de veda em 0 para um camiho simulado dere as M realizações. É provável que exisam camihos os quais, em odo momeo, os preços fiquem acima da curva de gailho; para eses casos P m = 0, auralmee. (iii O preço da opção de veda será a média ariméica de odos os P m s: P 0 (, K = /M 0 M m= P m A Figura apresea um exemplo ilusraivo que calcula o preço de uma opção de veda com rês camihos simulados a parir de um preço iicial do aivo 0 = 35, em um horizoe de empo dividido em seis períodos. ( Camiho : Não se exerce a opção. P =0 K=50 Curva de Gailho Camiho Camiho 2 40 Camiho Camiho 2: Exercer opção em 5. P 2 = e -5r ( Camiho 3: Exercer opção em 4. P 3 = e -4r ( T= 6 empo Figura : Exemplo de Cálculo do Preço da Opção de Veda. Faz-se a média ariméica dos rês -5r -4r Pm s. P ( = 35, K = 50 = ( 0 + e (50-32 e (50-20 / Teses Numéricos com o algorimo de Gra, Vora e Weeks Para esar a meodologia de Gra, Vora e Weeks [7] cosideraram-se eses uméricos com os mesmos parâmeros dos realizados por Huag, ubrahmayam e Yu [6], que uilizaram o méodo biomial, e cujos resulados são usados como bechmark. Dado que esse algorimo ão especifica claramee o valor que os icremeos - devem er, esipulou-se um valor muio pequeo igual a 0,0 (a seção 3 será viso ese valor se fez igual ao erro ξ uilizado o passo 5 do algorimo de Ibáñez e Zapaero [9], só para uiformizar o erro de covergêcia. Foram empregadas simulações para o cálculo da curva de gailho a cada eaiva de ecorar os preços críicos de exercício e ouras para o preço do aivo subjacee que permie calcular o preço da opção de

7 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( veda edo já racejada a curva de gailho. Repee-se esa úlima eapa 50 vezes, com o fim de ober um preço médio da opção e um desvio padrão. Na Tabela exibem-se os resulados. A seguir são apreseadas as explicações referees à Tabela : O úmero de daas de exercício refere-se à quaidade de iervalos discreos em que o espaço de empo compreedido ere 0 =0 e N = T foi subdividido. Foram cosideradas 5 e 25 daas de exercício para efeios de comparar com os resulados obidos por Ibáñez e Zapaero [9], os quais fizeram os eses somee com essas daas. Para exemplificar, o primeiro ese umérico em como parâmeros K=35, σ=20% ao ao, T= mês (0,0833 aos. O preço médio da opção de veda calculado pelo algorimo de Gra, Vora e Weeks modificado (com 5 daas de exercício resulou o mesmo valor do bechmark, com um desvio padrão de 0,0002. A colua % difereça mede a porceagem, em valor absoluo, em que o preço da opção de veda calculado por meio das simulações se disacia do valor verdadeiro. ua fórmula é: Preço Opção de Veda Opção de Veda Verdadeira /(Opção de Veda Verdadeira. Tabela : Resulados do Preço da Opção de Veda aplicado o algorimo Gra, Vora e Weeks (0 = 40; r = 0,0488; q = 0 K σ T (aos Opção de Veda Verdadeira 5 daas de exercício 25 daas de exercício Preço Desvio % Desvio Opção de Padrão difereça Padrão Veda Preço Opção de Veda % difereça 35 0,2 0,0833 0,0062 0,0062 0,0002 0,00% 0,006 0,0002,6% 35 0,2 0,5833 0,4328 0,4270 0,003,34% 0,4300 0,0032 0,65% 40 0,2 0,0833 0,8522 0,8485 0,0024 0,43% 0,8499 0,0022 0,27% 40 0,2 0,5833,9904,9643 0,0056,3%,984 0,0040 0,32% 45 0,2 0,0833 5,0000 4,9654 0,0009 0,69% 4,9927 0,000 0,5% 45 0,2 0,5833 5,2670 5,2077 0,0066,3% 5,2559 0,0063 0,2% 35 0,4 0,0833 0,2466 0,2463 0,0026 0,2% 0,2457 0,0026 0,36% 35 0,4 0,5833 2,549 2,382 0,0084 0,77% 2,496 0,009 0,25% 40 0,4 0,0833,768,7645 0,0049 0,20%,765 0,0038 0,7% 40 0,4 0,5833 4,3526 4,3240 0,0066 0,66% 4,3457 0,0086 0,6% 45 0,4 0,0833 5,2868 5,278 0,0055 0,6% 5,278 0,0055 0,6% 45 0,4 0,5833 7,3830 7,345 0,0089 0,56% 7,3733 0,0079 0,3% MAPE 0,656% MAPE 0,3698% RME 2,6379% RME 0,6355% Os preços verdadeiros da opção de veda americaa em cada ese umérico (2 em oal são os obidos por Huag, ubrahmayam e Yu [8] usado um modelo biomial com passos. Eses resulados servem como bechmark para o cálculo das medidas de erro: MAPE e RME. O MAPE é uma medida esaísica do erro para um cojuo de eses. No oal foram realizados 2 eses uméricos (um em cada liha da Tabela. Em cada ese a % de difereça varia. Porao, uma maeira de cosolidar uma medida de erro para um cojuo de eses realizados sob ceros parâmeros comus e um deermiado úmero de daas de exercício, é por meio desa medida. Numericamee, o MAPE é a média ariméica da colua % difereça (explicada o parágrafo aerior. O RME é oura medida esaísica do erro de um cojuo de eses, que para o caso de 2 eses sua fórmula seria: 2 RME = (Preço Pu Pu Verdadeira 2. Em ouras palavras, é a raiz quadrada do erro médio quadráico. 2 i= i i

8 74 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Chame-se de experimeo ao cojuo de eses uméricos realizados sob uma cera quaidade de daas de exercício. Por exemplo, a Tabela exibe dois experimeos, os quais agrupam 2 diferees eses uméricos. Em cada experimeo o cojuo de eses uméricos são os mesmos, só varia o valor do parâmero úmero de daas de exercício. Quao meor for a porceagem esas medidas de erro, melhor será a aproximação para os valores de referêcia ou bechmarks. Nos experimeos apreseados a Tabela oa-se que um maior úmero de daas de exercício (esa é a variável que muda de um experimeo para ouro faz que os valores do MAPE e do RME sejam reduzidos. 3 O algorimo de Ibáñez e Zapaero A seguir será descria a meodologia de Ibáñez e Zapaero [9] para o cálculo do preço de opções americaas via imulação de Moe Carlo, e que ambém uiliza o coceio de curva de gailho. 3. Deermiar a froeira de exercício óima um período aes da mauridade Dado que o preço críico de exercício o isae de empo N =T ( N é igual a K (como explicado a seção 2.2, o rabalho eão, cocera-se em calcular recursivamee os ouros poos da curva de gailho. Iicia-se eão pelo preço críico de exercício o período. ( Passo : Deseja-se achar o poo. Começa-se com um poo iicial escolhido arbirariamee. Normalmee oma-se ese valor igual ao preço de exercício K. ( Passo 2: Depois, calcula-se o preço da opção: P (, K em, aplicado para isso a simulação de Moe Carlo coforme a equação (3. Por ouro lado, e só o isae, seria ambém possível empregar a cohecida fórmula de Black e choles [2], viso que ( ere e N exise um só período. Assim, omado como valor iicial do aivo e o preço de exercício K em N, calcula-se o preço da opção de veda com a exaidão que forece esa fórmula, sem ser ecessário (ese paricular caso realizar as simulações. (2 Passo 3: Para ecorar um ovo preço que se aproxime mais do, é ecessário ecorar uma regra eficiee para ir de um poo de aproximação a ouro. Uma forma basae rápida para covergir ao preço críico de exercício é uilizar o méodo de aproximações sucessivas de Newo. A covexidade da fução preço da opção garae a covergêcia aé o poo fixado. Assim: Para s =,2,3,..,, usa-se a aproximação: P (s+ (s+ (, K + P (.( - I( = N- N- N- N-, K (9 ode P ( P(, K =. Reorgaizado a equação (9 ecora-se o valor (s+ : ( K - P (, K + P ( ( P ( (s+ = + N - N- N- N- N- (0

9 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Para resolver a equação (0 deve-se calcular aes dificuldade a aplicação do méodo de Newo. P (, que é a pricipal O cálculo aalíico de P ( para uma opção de veda americaa, a cada ieração s, ão é possível (só em opções européias exise expressão aalíica para P (. É um fao amplamee cohecido a lieraura de Fiaças que à medida que (є {, N- 2,...,}se aproxima mais do preço críico de exercício, a derivada se iclia mais ededo a -. Por esa razão, Ibáñez e Zapaero [9] sugerem iicializar as ierações com ( um valor P =-0.60, e gradaivamee realizar icremeos (egaivos a cada ieração ( ( aé um máximo de P ( = (2 (2 Passo 4: Achado calcula-se o preço da opção, aplicado a equação P N - (, K (3, ou a equação de Black e choles (lembrado que esa só serve o período. Após, (3 calcula-se uma ova aproximação usado a equação (0. N- ( Passo 5: Repee-se o procedimeo s vezes aé covergir ao valor =, sedo N- que (s- ξ, para algum úmero ξ muio pequeo. < N - A covergêcia para o poo fixado ( se realiza de maeira mooôica, iso é, para ( (2 ( uma opção de veda em-se que: > >...>. As ierações fializam quado se (s- ecora ou quado exisa uma mudaça o sial da covergêcia: < ξ N - (s-. Em qualquer dos dois casos esima-se o poo médio das duas úlimas > ( (s- ( ierações: Ŝ = ( /2, sedo esa a esimaiva do valor de. + N Deermiar a froeira de exercício óima um período aes da mauridade eguidamee, repee-se o mesmo procedimeo para os poos N-2,,..., 0 (de maeira recursiva. A cada poo, sugere-se reiiciar o algorimo omado como preço iicial do ( ( aivo = (o poo fixado do período à free, calculado previamee. + ( = Assim, o fial ecora-se um cojuo de poos ( ( ( ( ={ 0,,...,, }, que N T ( formam a froeira de exercício óima ou curva de gailho: Fˆ. Uma maeira eficiee de achar a fução é fazedo uma regressão quadráica ou cúbica do cojuo Fˆ ( com os empos { 0,,...,T}, embora resule ambém aceiável fazer uma simples ierpolação ere dois períodos discreos. A uilidade da curva de gailho esá o fao que, o primeiro isae de empo em que o valor do aivo subjacee fique abaixo desa curva, dever-se-á opar pelo exercício, sedo o preço da opção de veda em algum isae o valor iríseco: K-. = (

10 76 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Deermiar a froeira de exercício óima um período aes da mauridade Uma vez raçada a curva de gailho, para calcular o preço da opção de veda, ao igual que em Gra, Vora e Weeks [7] (seção 2.3, aplica-se a equação (3 a parir de simulações do aivo subjacee. 4 O algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado Nesa seção apreseamos uma proposa de aprimorameo do algorimo de Ibáñez e Zapaero [9]. Poseriormee realizamos os experimeos uméricos. 4. Aprimorameo o cálculo da curva de gailho A primeira melhoria que se pode efeuar o cálculo do poo é empregar a fórmula de Black e choles [2] para calcular o preço exao da opção de veda os passos 2 e 4 do algorimo, dado que exise um úico período aé a mauridade da opção. Ibáñez e Zapaero [9] ambém fazem esa sugesão. A ovidade esaria o passo 3, ode deve ser esimado P. Quado exise só um período aé a mauridade da opção, o valor da ( derivada do preço da opção com relação ao preço do aivo subjacee é calculado por uma expressão aalíica fechada proveiee da fórmula de Black e choles [2] dada por: ( ode: P ( d q(t- = e [N(d ] = l K N + r q + σ 2 2 ( T N σ T N ( N(. = fução disribuição ormal padrão acumulada. q = axa de dividedos. r = axa de descoo livre de risco. K = preço de exercício. σ = volailidade do preço do aivo subjacee. Porao, o passo 3 do algorimo, referee ao período é coveiee usar a expressão aalíica exaa de P (. Iso permiirá uma melhor covergêcia para o ( poo. Ibáñez e Zapaero [9] sugerem aplicar o algorimo em duas eapas para ober um melhor cálculo da curva de gailho os períodos, N-2,..., 0. eguido esa sugesão, o algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado ambém se aplicam as duas eapas os mesmos períodos com exceção do poo fixado o período, que já foi calculado empregado valores aalíicos exaos do preço da opção de veda e da sua derivada. A seguir se explica cada eapa. (i Primeira eapa Deermiar uma curva de gailho simulado uma quaidade ão muio grade de camihos Browiaos aleaórios, por exemplo, 5.000, a cada vez que se uilize a equação (3 os passos 2 e 4. Para efeios de redução de variâcia, as simulações devem esar cosiuídas por simulações mais seus respecivos valores aiéicos.

11 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Variável aiéica é uma das pricipais e mais simples écicas para reduzir variâcia. Cosise em gerar uma variável esocásica egaivamee correlacioada à variável de esado do aivo objeo. Assim, cada rajeória deve ser associada a um par de seqüêcias, iso é, duas rajeórias egaivamee correlacioadas. Para maior iformação sugere-se cosular Froa [6]. Melhoria proposa: No passo 3 do algorimo, Ibáñez e Zapaero [9] ão forecem maiores dealhes de como fazer os acréscimos de P a cada ieração. Eles sugerem ( ( começar com um valor P =-0.60, e depois fazer icremeos (egaivos a cada ( ( ieração aé um valor máximo de P ( = Mas, que valores devem er ais icremeos? A curva de gailho a ser calculada esa eapa é uma primeira eaiva de aproximar ( ( ( ( os preços críicos { 0,,...,, }, assim, observou-se aravés de diversos N-3 N- 2 experimeos uméricos, que uma maeira rápida de achar a covergêcia é realizado acréscimos de -0,05 (- =-0,05 começado com um valor de P ( ( = -0,60. De acordo com as experimeações realizadas, a erceira ou quara ieração já ecora-se o preço críico de exercício, com um erro ξ=0,0 (erro de covergêcia descrio o passo 5 do algorimo, que é do mesmo valor cosiderado por Ibáñez e Zapaero [9] os eses que realizaram. (ii eguda eapa Os preços críicos de exercício achados a primeira eapa, servirão de poo de parida a cada (={0,,...,N-2} em um ovo cálculo da curva de gailho. Assim, ( ( da eapa 2 é igual a ( da eapa. Eses poos iiciais esão muio mais próximos do ( verdadeiro valor, e coseqüeemee se aproxima mais de -. Porao, ao P ( aplicar ovamee o algorimo espera-se ober uma melhor aproximação da curva de gailho. Para melhorar aida mais a precisão, foram simulados camihos Browiaos aleaórios ( mais seus respecivos valores aiéicos a cada vez que se uilize a equação (3 os passos 2 e 4. Melhoria proposa: Nesa eapa, Ibáñez e Zapaero [9] ão falam como fazer os acréscimos em P (. Eão, viso que os poos iiciais ecoram-se muio próximos dos preços críicos de exercício, diversos eses práicos efeuados idicam que, começado as ierações com um P ( ( =-0,85 e fazedo poseriormee icremeos (- pequeos de -0,0, cosegue-se uma boa aproximação. No máximo em 0 ierações ecorar-se-á o ovo preço críico de exercício, cosiderado um erro ξ=0, Experimeos uilizado o algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado Ibáñez e Zapaero [9] fizeram eses uméricos com os mesmos parâmeros dos realizados por Huag, ubrahmayam e Yu [6], que uilizaram o méodo biomial, e cujos resulados são usados como bechmark. O algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado ambém replica esses eses e logo ambas as meodologias são comparadas.

12 78 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Na Tabela 2 são exibidos doze eses uméricos os quais é calculado o preço da opção de veda americaa. Os parâmeros comus são os seguies: r = 0,0488 aual; q=0. Aplicam-se as duas eapas (como foram descrias a deermiação da curva de gailho. Uma vez obida a curva, para calcular o preço da opção de veda simulam-se camihos Browiaos ( com seus valores aiéicos a parir do preço iicial do aivo 0 = 40. imulam-se eses camihos 50 vezes (sob a mesma curva de gailho calculada previamee, e o preço da opção de veda provém da média ariméica do preço da opção obido a cada vez em que se realizaram as simulações de camihos. K σ T (aos Tabela 2: Resulados do algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado (0 = 40; r = 0,0488; q = 0 Opção de Veda Verdadeira 5 daas de exercício 25 daas de exercício Preço Desvio % Desvio Opção de Padrão difereça Padrão Veda Preço Opção de Veda % difereça 35 0,2 0,0833 0,0062 0,0062 0,0003 0,00% 0,0062 0,0002 0,00% 35 0,2 0,5833 0,4328 0,4263 0,0035,50% 0,435 0,0038 0,30% 40 0,2 0,0833 0,8522 0,8487 0,0023 0,4% 0,852 0,009 0,2% 40 0,2 0,5833,9904,9654 0,0046,26%,985 0,0050 0,27% 45 0,2 0,0833 5,0000 4,9659 0,00 0,68% 4,9927 0,0002 0,5% 45 0,2 0,5833 5,2670 5,2076 0,0053,3% 5,2562 0,0058 0,2% 35 0,4 0,0833 0,2466 0,2465 0,0027 0,04% 0,2467 0,0026 0,04% 35 0,4 0,5833 2,549 2,408 0,0075 0,65% 2,528 0,0089 0,0% 40 0,4 0,0833,768,7654 0,0040 0,5%,7676 0,0046 0,03% 40 0,4 0,5833 4,3526 4,3243 0,0093 0,65% 4,3477 0,0084 0,% 45 0,4 0,0833 5,2868 5,279 0,0054 0,5% 5,2853 0,0045 0,03% 45 0,4 0,5833 7,3830 7,3406 0,0090 0,57% 7,3748 0,0094 0,% MAPE 0,5997% MAPE 0,2% RME 2,696% RME 0,499% Os preços verdadeiros da opção de veda americaa em cada ese umérico (2 em oal são os obidos por Huag, ubrahmayam e Yu [8] usado um modelo biomial com passos. Eses resulados servem como bechmark para o cálculo das medidas de erro: MAPE e RME. 4.3 Comparação dos resulados em Ibáñez e Zapaero (I&Z e I&Z modificado Nesa seção se realiza uma comparação baseada os resulados das medidas de erro ere os algorimos de Ibáñez e Zapaero [9] e Ibáñez e Zapaero modificado, sedo que em ambos os casos são cosiderados os eses uméricos da Tabela 2. Na Tabela 3, são exibidos ais resulados. Tabela 3: Medidas de erro: Ibáñez e Zapaero (I&Z versus I & Z Modificado 5 daas de exercício 25 daas de exercício Algorimo uilizado MAPE RME MAPE RME Ibáñez e Zapaero (I & Z,088% 2,7295% 0,65% 0,9567% I & Z Modificado 0,5997% 2,696% 0,2% 0,499% Foe: Elaboração própria a parir dos resulados obidos por I&Z. Resulados proveiees da Tabela 2.

13 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Observa-se a Tabela 3, que o algorimo I&Z modificado gera meores erros em ambas as daas de exercício. Desa maeira, verifica-se que as modificações realizadas o algorimo de Ibáñez e Zapaero [9] foram apropriadas. Esa melhora a precisão dos resulados é devido ao aprimorameo realizado a deermiação da curva de gailho. Na esimação do poo críico de exercício do peúlimo período, por exemplo, ao ivés de simular camihos ere uma ieração e oura aé aigir o preço críico de exercício, emprega-se a fórmula de Black e choles [2], e, além disso, ao uilizar as aproximações sucessivas de Newo usou-se a fórmula aalíica da derivada da opção. Por ouro lado, a esimação dos ouros poos críicos de exercício, o fao de que em cada uma das duas eapas de aplicação do algorimo er sido uilizado diferees valores iicias da derivada e dos acréscimos (passo 3 do algorimo, coribuiu ambém para ober uma melhor aproximação. 4.4 Aálise de sesibilidade do algorimo de I&Z modificado Nesa seção são realizadas aálises de sesibilidade de ceros parâmeros, como o úmero de daas de exercício, o úmero de simulações para ober o preço da opção e o cálculo de uma curva de gailho média. A seguir dealham-se esas experimeações Número de Daas de Exercício Na Tabela 3, observa-se que o úmero de daas de exercício melhora a precisão dos resulados, obedo meores valores para os erros. Foram realizados experimeos adicioais alerado-se o valor desa variável. Os eses uméricos são sempre os exibidos a Tabela 2, maedo os mesmos parâmeros para o cálculo da curva de gailho e para o cálculo do preço da opção de veda. Os resulados dessas experimeações são exibidos a seguir a Figura 2. De acordo com a Figura 2, oa-se que exise uma sigificaiva redução das medidas de erro à medida que o úmero de daas de exercício vai crescedo aé um valor aproximado de 25. A parir daí a redução das medidas de erro coiua, mas já ão é ão sigificaivo o gaho obido pelo acréscimo de maior quaidade de daas. O empo de processameo compuacioal cresce à medida que se icremea o úmero de daas de exercício. A Figura 3 exibe os empos médios despedidos o cálculo do preço da opção de veda americaa um ese umérico, em fução do úmero de daas de exercício. Em relação ao empo de processameo compuacioal oa-se uma sigificaiva elevação à medida que o úmero de daas de exercício aumea. Observa-se que, o empo médio que se leva em compuar um ese umérico com 25 daas de exercício é de 65,6 segudos ( miuo aprox., mas ao se dobrar o úmero de daas de exercício (50 daas o empo de processameo sobe para 85,40 segudos (3 miuos aproximadamee. O gaho a melhora do erro de passar de 25 para 50 daas alvez ão jusifique o cuso compuacioal. O programa que compuou os diferees eses uméricos foi desevolvido em MaLab, rodado em um compuador Peium IV de 2,8 GHz e 480 MB de RAM.

14 80 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( ,00% 2,50% 2,62% MAPE RME 2,00%,50%,27%,00% 0,60% 0,50% 0,4% 0,50% 0,3% 0,25% 0,2% 0,0% 0,07% 0,00% Número de Daas de Exercício Figura 2: Valor das medidas de erro em fução do úmero de daas de exercício ,40 egudos ,6 82, ,83 7, Nro. Daas de Exercício Figura 3: Tempo compuacioal em fução do úmero de daas de exercício Ouras Aálises de esibilidade Foram realizados experimeos uméricos para aalisar o comporameo de algumas variáveis, por exemplo, o úmero de simulações de camihos Browiaos do preço do aivo subjacee, que permie calcular o preço da opção de veda americaa uma vez que se eha deermiado a curva de gailho. Dividido o empo aé a mauridade em 25 daas de exercício, cosaou-se que a parir de simulações cosegue-se uma esabilidade as medidas de erro MAPE e RME, e, em relação ao empo de processameo compuacioal, exise uma difereça de poucos segudos ere o que se cosome com e simulações. No eao, opou-se por fazer os eses com

15 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( simulações, pois Ibáñez e Zapaero [9] uilizaram essa quaidade de simulações. Desa forma, e para efeios de comparação, maeve-se o mesmo valor do parâmero. Adicioalmee realizou-se um experimeo para aalisar se a média de várias curvas de gailho melhoraria a precisão dos resulados. Os resulados mosraram que o fao de calcular várias curvas de gailho e com esas se ober uma curva média (irado a média dos valores dos preços críicos de exercício em cada isae de empo, ão implicou em uma melhora as medidas de erro. Coclui-se eão que basa calcular uma úica curva aplicado sempre as duas eapas descrias. A média de várias curvas de gailho resulou ser desecessária aumeado expoecialmee o empo de processameo compuacioal. 5 Aálise dos resulados e comparações das meodologias esadas Apresea-se a Figura 4 um resumo das medidas de erro para os rês algorimos esados, sedo que o empo aé a mauridade foi dividido em 25 daas de exercício, o que mosrou ser uma quaidade razoável para coseguir uma boa precisão os resulados. Noa-se que o algorimo I&Z modificado ofereceu as meores medidas de erro. No que diz respeio ao empo de processameo compuacioal (ver Figura 5 os algorimos de Ibáñez e Zapaero [9] e Ibáñez e Zapaero modificado empregam empos basae similares, mas o algorimo de Gra, Vora e Weeks [7] demada um empo muio maior, iso porque ão exise uma regra específica que acelere a covergêcia para os poos críicos de exercício. empre uiliza-se o mesmo valor - e coseqüeemee em deermiados períodos são requeridas muias ierações aé aproximar o poo críico.,20% Medidas de Erro para os Algorimos Esudados,00% 0,96% 0,80% 0,60% 0,62% 0,50% 0,64% MAPE RME 0,40% 0,37% 0,20% 0,2% 0,00% Ibáñez e Zapaero (I & Z I & Z Modificado Gra Vora e Weeks Figura 4: Medidas de Erro os rês algorimos abordados

16 82 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Tempo Compuacioal GVW I & Z I & Z Modif icado 20 egudos Nro. Daas de Exercício Figura 5: Tempo compuacioal em fução do úmero de daas de exercício 6 Coclusões e Cosiderações Fiais O grade apelo a uilização do algorimo de Gra, Vora e Weeks [7], deve-se ao fao de que esa meodologia permie o cálculo prévio de uma curva de gailho, a qual é muio relevae, especialmee quado são avaliadas opções reais. A curva de gailho permie ideificar o momeo óimo de exercer a opção, ao em opções fiaceiras bem como em opções de projeos de ivesimeo, por exemplo, ivesir ou abadoar o projeo. No presee rabalho foram avaliados os algorimos de Gra, Vora e Weeks [7] e Ibáñez e Zapaero [9]. Ese úlimo ambém deermia uma curva de gailho, e porao, ambos os algorimos são possíveis de serem comparados em quao à eficiêcia a deermiação da curva de gailho e a exaidão dos resulados. Adicioalmee foram proposas modificações o algorimo de Ibáñez e Zapaero [9], de forma a ober uma melhor precisão o cálculo dos preços das opções de veda americaas. O resulado fial dos eses é exibido a Figura 4. Por ouro lado, observou-se que o úmero de daas de exercício é um parâmero que ifluecia de maeira relevae a precisão dos resulados (ver Figura 2. É lógico que ao aumear as daas de exercício os resulados fiquem mais próximos dos verdadeiros, já que represea melhor o comporameo real de uma opção americaa, a qual o exercício dá-se em empo coíuo e ão por iervalos de empo discreos (opção bermuda. A proposa feia para melhorar a covergêcia para os preços críicos de exercício, esabelecedo valores iiciais das derivadas do preço da opção e dos icremeos a cada ieração (passo 3 do algorimo Ibáñez e Zapaero [9], mosrou ser basae eficiee, permiido melhorar os resulados obidos por Ibáñez e Zapaero [9]. Da mesma forma, o algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado obeve erros bem meores do que Gra, Vora e Weeks [7]. Todos eses algorimos êm em comum a ecessidade de deermiar previamee a curva de gailho. O que varia é como as aproximações para os preços críicos de exercício são realizadas.

17 J.G. Casro e al. / Ivesigação Operacioal, 27 ( Com relação ao empo compuacioal, o algorimo de Ibáñez e Zapaero modificado cosome um empo muio meor do que a meodologia de Gra, Vora e Weeks [7], sedo esa úlima ão práica em problemas complexos. 7 Referêcias [] Baroe-Adesi, G. & Whaley, R.E. Efficie Aaliic Approximaio of America Opio Value. Joural of Fiace, v.42, 987, pp [2] Black, F. & choles, M. The Pricig of Opios ad Corporae Liabiliies. Joural of Poliical Ecoomy, v.8, 973, pp [3] Boyle, P. & Broadie, M. & Glasserma, P. Moe Carlo Mehods for ecuriy Pricig. Joural of Ecoomic Dyamics ad Corol, v.2, 997, pp [4] Broadie, M. & Glasserma, P. Pricig America-yle ecuriies Usig imulaio. Joural of Ecoomic Dyamics ad Corol, v.2, 997, pp [5] Cox, J.C. & Ross,.A. & Rubisei, M. Opio Pricig: A implified Approach. Joural of Fiacial Ecoomics,.7, 979, pp [6] Froa, A.E.F. Avaliação de Opções Americaas Tradicioais e Complexas. Disseração de Mesrado, Deparameo de Egeharia Idusrial, PUC-Rio, Rio de Jaeiro, [7] Gra, D. & Vora, G. & Weeks, D.E. Pah-Depede Opios: Exedig he Moe Carlo imulaio Approach. Maageme ciece, v.43, 997, pp [8] Huag, J. & ubrahmayam, M.G. & Yu, G.G. Pricig ad Hedgig America Opios; A Recursive Iegraio Mehod. Review of Fiacial udies, v.9, 996, pp [9] Ibáñez, A. & Zapaero, F. Moe Carlo Valuaio of America Opios Through Compuaio of he Opimal Exercise Froier. Joural of Fiacial ad Quaiaive Aalysis, v.39, 2004, pp [0] Nascimeo, A. F. Avaliação de Ivesimeos em Tecologia da Iformação: uma Perspeciva de Opções Reais. Disseração de Mesrado, Deparameo de Egeharia Idusrial, PUC-Rio, Rio de Jaeiro, 2005.

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