Delfim Soares Júnior. Aprovada por: Prof. Webe João Mansur, Ph.D. Prof. José Claudio de Faria Telles, Ph.D. Prof. Fernando Alves Rochinha, D.Sc.

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1 ANÁLISE DINÂMIA DE SISTEMAS NÃO LINEARES OM AOPLAMENTO DO TIPO SOLO-LIDO-ESTRTRA POR INTERMÉDIO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS INITOS E DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE ONTORNO Delfim Soares Júior TESE SBMETIDA AO ORPO DOENTE DA OORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE PÓS-GRADAÇÃO DE ENGENHARIA DA NIVERSIDADE EDERAL DO RIO DE JANEIRO OMO PARTE DOS REQISITOS NEESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRA DE DOTOR EM IÊNIAS EM ENGENHARIA IVIL. Aprovada por: Prof. Webe João Masur, Ph.D. Prof. José laudio de aria Telles, Ph.D. Prof. erado Alves Rochiha, D.Sc. Prof. Álvaro Luiz Gayoso de Azeredo ouiho, D.Sc. Prof. José Aoio Marques arrer, D.Sc. Prof. Paulo Baisa Goçalves, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL NOVEMBRO DE 4

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3 SOARES JÚNIOR, DELIM Aálise diâmica de sisemas ão lieares com acoplameo do ipo solo-fluido-esruura por iermédio do méodo dos elemeos fiios e do méodo dos elemeos de cooro [Rio de Jaeiro] 4 XXIV, 35 p. 9,7 cm OPPE/RJ, D.Sc., Egeharia ivil, 4 Tese iversidade ederal do Rio de Jaeiro, OPPE. Aálise rasiee acoplada. Elemeos de cooro 3. Elemeos fiios 4. Aálise ão-liear 5. Meios porosos I. OPPE/RJ II. Tíulo série ii

4 À miha família. iii

5 Agradecimeos O auor possui grade débio com o Prof. Webe João Masur pela sua preciosa orieação. Os valorosos coselhos, discussões e coribuições forecidos ao logo dos aos, bem como a desacável dedicação acadêmica do Prof. Webe João Masur, merecem especiais agradecimeos por pare do auor. De igual forma o auor esá em débio com o Prof. Oo vo Esorff por sua calorosa acolhida quado da esadia do auor a Alemaha, bem como por sua imporae coribuição e colaboração para a presee pesquisa. Agradecimeos são esedidos aos professores J.A.M. arrer, J... Telles e M. Schaz pelo apoio e coribuição forecidos. Especiais cosiderações ambém são presadas aos colegas e amigos da iversidade ederal do Rio de Jaeiro RJ e Techische iversiä Hamburg-Harburg THH pelo iceivo e colaboração. O auor agradece, por fim, à oordeação de Aperfeiçoameo de Pessoal de Nível Superior APES e Deuscher Aademischer Ausauschdies DAAD pelo apoio fiaceiro. iv

6 Resumo da Tese apreseada à OPPE/RJ como pare dos requisios ecessários para a obeção do grau de Douor em iêcias D.Sc. ANÁLISE DINÂMIA DE SISTEMAS NÃO LINEARES OM AOPLAMENTO DO TIPO SOLO-LIDO-ESTRTRA POR INTERMÉDIO DO MÉTODO DOS ELEMENTOS INITOS E DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE ONTORNO Delfim Soares Júior Novembro/4 Orieador: Webe João Masur Programa: Egeharia ivil No presee rabalho, sisemas acoplados são esudados com especial aeção focada a problemas de ieração do ipo solo-fluido-esruura. Diferees abordages uméricas baseadas o méodo de elemeos de cooro ME e o méodo de elemeos fiios ME são desevolvidas, bem como procedimeos de acoplameo ME-ME. Eficiêcia e boa precisão são obidas por iermédio das ovas meodologias. Algus exemplos relaivos a aálises rasiees ão-lieares são apreseados ao logo do exo, ilusrado a viabilidade dos procedimeos proposos. v

7 Absrac of Thesis preseed o OPPE/RJ as a parial fulfillme of he requiremes for he degree of Docor of Sciece D.Sc. DYNAMI ANALYSIS O NONLINEAR SOIL-LID-STRTRE OPLED SYSTEMS BY THE INITE ELEMENT METHOD AND THE BONDARY ELEMENT METHOD Delfim Soares Júior November/4 Advisor: Webe João Masur Deparme: ivil Egieerig I he prese wor, coupled sysems are sudied wih special aeio focused o soil-fluid-srucure ieracio problems. Differe umerical approaches based o he boudary eleme mehod BEM ad o he fiie eleme mehod EM are developed, as well as BEM-EM couplig procedures. Efficiecy ad good accuracy are obaied wih he ew mehodologies. Some examples cocerig oliear rasie aalysis are preseed alog he ex, illusraig he viabiliy of he proposed procedures. vi

8 Idice. Irodução.. Observações prelimiares.. Breve revisão bibliográfica 6.3. Objeivos e coeúdo do rabalho 3. Sisemas ão acoplados 7.. Irodução 8.. Modelagem acúsica 9... Equações goveraes 9... Solução com elemeos de cooro..3. Solução com elemeos fiios 7.3. Modelagem diâmica Equações goveraes Solução com elemeos de cooro Aálise baseada em soluções fudameais diâmicas Aálise baseada em soluções fudameais esáicas Solução com elemeos fiios Méodo de Newmar / Newo-Raphso Méodo implício de Gree / pseudo-forças Aplicações uméricas Elemeos de cooro Elemeos fiios Sisemas com acoplameo de ierface Irodução Acoplameo de sisemas fisicamee similares 74 vii

9 Ídice 3... Acoplameo ME-ME Acoplameo padrão Acoplameo ieraivo Acoplameo direo Acoplameo ME-ME Acoplameo de sisemas fisicamee disios Acoplameo ME-ME Acoplameo padrão Acoplameo ieraivo Acoplameo direo Acoplameo ME-ME 3.4. Aplicações uméricas Acoplameo acúsico-acúsico Membraa de vibração Acoplameo esruura-esruura Barra egasada Viga egasada Acoplameo solo-solo Meio semi-ifiio avidade circular Acoplameo fluido-esruura Duo submerso Represa de armazeameo Acoplameo solo-fluido-esruura aal de abasecimeo 5 viii

10 Ídice 3 4. Sisemas com acoplameo de domíio Irodução Modelagem poro-diâmica Equações goveraes Solução com elemeos de cooro Aálise baseada em soluções fudameais diâmicas Aálise baseada em soluções fudameais esáicas Solução com elemeos fiios Méodo de Newmar / Newo-Raphso Méodo implício de Gree / pseudo-forças Solução com algorimos ieraivos de acoplameo Aplicações uméricas oluas de solo udação ipo sapaa Solo esraificado 5. oclusões osiderações gerais Sugesões para desevolvimeos fuuros 7 6. Referêcias bibliográficas ix

11 Ídice de figuras igura. Zoas de esabilidade e isabilidade para o méodo de Gree-Newmar, como fução dos parâmeros de Newmar γ e β e do passo de empo ormalizado /T, para ξ = : superfície limie do raio especral χ A = 57 igura. Aálise com elemeos de cooro: a modelo esquemáico; b malha de elemeos de cooro; c malha de células de iegração 6 igura.3 Deslocameos, forças de superfície e esões o modelo cosiderado aálise por elemeos de cooro: ME com soluções fudameais diâmicas; OOO ME com soluções fudameais esáicas; Solução aalíica 6 igura.4 Erros resulaes do rucameo da covolução cosiderado-se diversos valores para os parâmeros Φ e κ: ierpolação muli-liear a Θ =.; b Θ =.5; c ierpolação com poliômios de hebyschev-lagrage 63 igura.5 Deslocameos o poo A a/,b levado-se em cosideração rucameo do processo de covolução 66 igura.6 Aálise com elemeos fiios: a modelo esquemáico; b malha de elemeos fiios 69 igura.7 Deslocameos o poo A,b/ cosiderado-se aálise elásica e elasoplásica por elemeos fiios: solução o empo pelos méodos de Newmar e de Gree-Newmar 69 igura.8. Decaimeo de ampliude E e alogameo de período E cosideradose algumas escolhas de β e γ para os méodos de Newmar e Gree-Newmar: a β =. e γ =.5; b β =.7563 e γ =.55; c β =.35 e γ =.6 Regra rapezoidal: β =.5 e γ =.5 7 x

12 Ídice de figuras igura 3. Procedimeos de ierpolação o espaço: obeção de valores v a parir de ierpolações de valores v e d a ierface correspodee ierpolação liear: v = v d v d / d d 8 i j j i j i igura 3. Procedimeos de ierpolação-exrapolação o empo: a exrapolação o empo de para se ober = / / ; b ierpolação o empo de T para se ober T T = T 8 igura 3.3 Procedimeos de ierpolação-exrapolação o empo: a exrapolação o empo de N & para se ober N & & = & ; b ierpolação o empo de N N P para se ober P P = / P P / 96 igura 3.4 Modelo esquemáico da membraa de vibração 7 igura 3.5 Discreização espacial do modelo da membraa: a aálise acoplada ME- ME 4 elemeos de cooro; 7 elemeos fiios; b aálise com ME 3 elemeos de cooro; 4 células de iegração; c aálise com ME malha com 8 elemeos; malha com 5 elemeos 8 igura 3.6 Vibração o poo A cosiderado soluções por elemeos de cooro, elemeos fiios e acoplameo de elemeos de cooro com elemeos fiios 9 igura 3.7 Resulados ao logo da membraa empo =.5s cosiderado-se aálise com elemeos fiios malha 9 igura 3.8 Barra egasada: a modelo esquemáico; b malha ME-ME igura 3.9 Resulados os poos A e B do modelo cosiderado-se acoplameo ieraivo ME-ME e diferees discreizações emporais: a deslocameos; b forças de superfície xi

13 Ídice de figuras 3 igura 3. Resulados os poos A e B do modelo cosiderado-se acoplameo direo ME-ME e diferees discreizações emporais: a deslocameos; b forças de superfície 3 igura 3. Acoplameo ieraivo ME-ME: úmero médio de ierações por passo de empo em fução do parâmero de relaxameo α e de diferees discreizações emporais 5 igura 3. overgêcia do acoplameo ieraivo ME-ME cosiderado-se parâmero de relaxameo α =.5 e diferees discreizações emporais: a =.5 ; b =.5 ; c =. 7 igura 3.3 orças de superfície o poo B da ierface, cosiderado-se acoplameo direo ME-ME e rucameo do processo de covolucão: a =.5 ; b =.5 8 igura 3.4 Viga egasada: a modelo esquemáico; b malhas acopladas ME- ME e ME-ME; c malhas ão acopladas: elemeos fiios, elemeos de cooro e células de iegração igura 3.5 Resulados o poo A do modelo para aálise liear e ão-liear: a acoplameo ieraivo ME-ME; b acoplameo ieraivo ME-ME igura 3.6 Acoplameo ieraivo ME-ME e ME-ME: úmero médio de ierações por passo de empo em fução do parâmero de relaxameo α igura 3.7 overgêcia do acoplameo ieraivo cosiderado-se parâmero de relaxameo α =.5: a acoplameo ME-ME; b acoplameo ME-ME 3 igura 3.8 Meio semi-ifiio: a modelo esquemáico; b malha ME-ME 6 xii

14 Ídice de figuras 4 igura 3.9 Deslocameos cosiderado-se acoplameo padrão, ieraivo e direo ME-ME: a = =.s; b diferees discreizações emporais 7 igura 3. Acoplameo ieraivo ME-ME: úmero médio de ierações por passo de empo em fução do parâmero de relaxameo α e de diferees discreizações emporais 8 igura 3. Deslocameos vericais o poo, cosiderado-se acoplameo direo ME-ME e rucameo do processo de covolucão =. : a ierpolação por poliômios de hebyshev-lagrage; b ierpolação muli-liear 8 igura 3. Módulo dos deslocameos ao logo da malha de elemeos fiios, cosiderado-se acoplameo ieraivo ME-ME =. : a =.s; b =.4s; c =.6s; d =.8s; e =.s 3 igura 3.3 Modelo esquemáico da cavidade 33 igura 3.4 Malhas de elemeos fiios, elemeos de cooro e células de iegração adoadas: a acoplameo ME-ME; b acoplameo ME-ME uso de simeria 33 igura 3.5 Tesões lieares cosiderado-se acoplameo ME-ME 34 igura 3.6 Tesões ão-lieares cosiderado-se acoplameo ME-ME 34 igura 3.7 Deslocameos a lieares e b ão-lieares cosiderado-se acoplameo ME-ME e ME-ME 34 igura 3.8 Esado de esões as malhas de ME e ME para o empo = s cosiderado-se aálise elásica: a σ xx ; b σ xy ; c σ yy 35 xiii

15 Ídice de figuras 5 igura 3.9 Esado de esões as malhas de ME e ME para o empo = s cosiderado-se aálise elasoplásica: a σ xx ; b σ xy ; c σ yy 36 igura 3.3 Evolução do esado σ xy de esões, ao logo do empo e do espaço, para aálise elasoplásica: a = 4s; b = 8s; c = s; d = 6s 37 igura 3.3 Evolução dos deslocameos em módulo ao logo do empo e do espaço, para aálise elasoplásica: a = 4s; b = 8s; c = s; d = 6s 37 igura 3.3 Modelo esquemáico do duo submerso 4 igura 3.33 Evolução da ampliude da explosão S, ao logo do empo 4 igura 3.34 Deslocameos para os poos A, B e do modelo cosiderado-se acoplameo ME-ME ieraivo e direo 4 igura 3.35 Pressões hidrodiâmicas a superfície do duo cosiderado-se acoplameo ME-ME ieraivo e direo: a poo A; b poo B; c poo 4 igura 3.36 Deslocameos horizoais o poo A do modelo cosiderado-se acoplameo ieraivo ME-ME: aálise com rucameo da covolução Φ = %; κ = ; Θ =.5 e aálise sem processo ieraivo limie máximo de ieração por passo de empo 43 igura 3.37 Modelo esquemáico da barragem de coeção e do reservaório de ível d água H: poo A 3,6; poo B 35, 45 igura 3.38 Discreização da barragem: a malha de elemeos fiios; b malha de elemeos de cooro; c malha de células de iegração 45 xiv

16 Ídice de figuras 6 igura 3.39 Resulados referees aos acoplameos ME-ME padrão, ieraivo e direo =.35s em fução do ível d água a represa H = 35m ou H = 5m: a deslocameos vericais o poo A; b pressões hidrodiâmicas o poo B 46 igura 3.4 Resulados referees aos acoplameos ieraivos ME-ME e ME- ME =.3s em fução do ível d água a represa H = 35m ou H = 5m: a deslocameos vericais o poo A; b pressões hidrodiâmicas o poo B 47 igura 3.4 Acoplameo ieraivo ME-ME e ME-ME: úmero médio de ierações por passo de empo em fução do parâmero de relaxameo α H = 5m 48 igura 3.4 Resulados relaivos ao acoplameo ME-ME D cosiderado-se diferees relações a ierface ere os deslocameos de ME D e as acelerações ormais de ME: a deslocameos vericais o poo A; b pressões hidrodiâmicas o poo B 48 igura 3.43 Esado de esões σ yy o isae de empo =.6s para ível d água H = 5m: a acoplameo ieraivo ME-ME; b acoplameo ieraivo ME-ME 49 igura 3.44 Esado de esões σ yy o isae de empo =.6s para ível d água H = 35m: a acoplameo ieraivo ME-ME; b acoplameo ieraivo ME-ME 49 igura 3.45 Modelo esquemáico do caal 53 igura 3.46 Discreização do modelo: a fluido; b solo; c esruura 53 igura 3.47 Modelagem do caal cosiderado-se diferees ipos de ieração: modelo esruura; b modelo ieração fluido-esruura; c modelo 3 ieração solo-esruura; d modelo 4 ieração solo-fluido-esruura 54 xv

17 Ídice de figuras 7 igura 3.48 Deslocameos para o poo A aálise elásica cosiderado-se os modelos,, 3 e 4: a deslocameos horizoais; b deslocameos vericais 55 igura 3.49 Deslocameos para o poo A aálise elasoplásica cosiderado-se os modelos,, 3 e 4: a deslocameos horizoais; b deslocameos vericais 56 igura 4. olua de solo: a modelo esquemáico; b malhas adoadas elemeos fiios; elemeos de cooro; células de iegração 89 igura 4. Deslocameos o poo A do modelo cosiderado-se aálise com elemeos de cooro e com elemeos fiios 89 igura 4.3 Deslocameos o poo A do modelo : a aálise com elemeos de cooro; b aálise com elemeos fiios 9 igura 4.4 Poro-pressões o poo B do modelo : a aálise com elemeos de cooro; b aálise com elemeos fiios 93 igura 4.5 Sapaa: a modelo esquemáico; b malhas adoadas elemeos fiios; elemeos de cooro e células de iegração 94 igura 4.6 Deslocameos vericais o poo A aálise liear e ão-liear: a modelo ; b modelo ; c modelo 3 97 igura 4.7 Poro-pressões ao logo do empo e da malha ME para o modelo : a =.s; b =.4s; c =.86s 98 igura 4.8 Poro-pressões ao logo da malha ME =.4s para o modelo, cosiderado-se: a aálise elásica; b aálise elasoplásica 99 xvi

18 Ídice de figuras 8 igura 4.9 Poro-pressões ao logo da malha ME =.4s para o modelo 3, cosiderado-se: a aálise elásica; b aálise elasoplásica 99 igura 4. Solo esraificado: a modelo esquemáico; b malha adoada igura 4. Deslocameos o modelo cosiderado-se diferees valores para alura da ierface h h = ; h = H/; h = H: a poo A; b poo B xvii

19 Ídice de abelas Tabela. álculo do veor de rucameo Λ usado ierpolação muli-liear e ierpolação com poliômios de hebyshev-lagrage 4 Tabela. Termos da mariz de amplificação e do veor operador de carga para os méodos de Gree-Newmar e Newmar 56 Tabela.3 uso da aálise cosiderado rucameo da covolução 64 Tabela 3. Algorimo para acoplameo padrão ME-ME sólido-sólido 78 Tabela 3. Algorimo para acoplameo ieraivo ME-ME sólido-sólido 83 Tabela 3.3 Algorimo para acoplameo direo ME-ME sólido-sólido 87 Tabela 3.4 Algorimo para acoplameo ME D -ME E sólido-sólido 88 Tabela 3.5 Algorimo para acoplameo padrão ME-ME fluido-sólido 94 Tabela 3.6 Algorimo para acoplameo ieraivo ME-ME fluido-sólido 97 Tabela 3.7 Algorimo para acoplameo direo ME-ME fluido-sólido Tabela 3.8 Algorimo para acoplameo ME-ME E fluido-sólido 3 Tabela 3.9 Algorimo para acoplameo ME-ME D fluido-sólido 4 Tabela 3. Barra egasada: gaho compuacioal o acoplameo direo 9 Tabela 3. Meio semi-ifiio: gaho compuacioal o acoplameo direo 3 xviii

20 Lisa de símbolos Símbolos romaos: a A b i B c D e E E G H H K K i I l L m orças de domíio. Mariz de ifluêcia de ME; mariz efeiva de ME; mariz de amplificação. orças de domíio. Mariz de ifluêcia de ME; veor efeivo de ME; mariz de deformação. Velocidade de propagação de oda; coeficiee geomérico; coeficiee de coesão. Mariz de ifluêcia geomérica; mariz de amorecimeo. Mariz cosiuiva. ução expoecial; úmero de Euler. Módulo de Youg. Mariz de rasformação. Veor de forças odais. Mariz de ifluêcia; mariz de Gree. ução Heaviside. Mariz de ifluêcia; mariz de permeabilidade. Permeabilidade iríseca do esqueleo sólido. Módulo de compressibilidade; fução de Bessel. Mariz de rigidez. Ideidade complexa; fução de ierpolação. Mariz ideidade. ução logarímica logarimo Neperiao. Veor de ermos de passos de empo precedees; veor operador de carga. Mariz relaiva ao dela de Kroecer. xix

21 Lisa de símbolos M Mariz de massa; mariz de ifluêcia de domíio mariz de iércia. N O p P q Q Q r R s S T Veor ormal. Mariz de ierpolação. Veor de esões. Pressão hidro-diâmica e poro-diâmica. Veor de pressões. luxo hidro-diâmico e poro-diâmico. Parâmero de Bio. Veor de fluxos. Disâcia ere poo foe e poo campo. Veor associado a: resíduos; pseudo-forças; forças de acoplameo. Desidade de foe; domíio de Laplace. Mariz de compressibilidade; Veor de iegrais de domíio. Tempo. Veor agee. Veor de forças de superfície. u i Deslocameos. v i V w Veor de deslocameos. Velocidades. Veor geérico veor auxiliar. uções de peso; freqüêcia aural. w i Deslocameos médios relaivos do fluido. W Mariz de ifluêcia de domíio mariz de esões; mariz de acoplameo. xx

22 Lisa de símbolos 3 X X Y z Espaço coordeadas caresiaas; poo campo. Veor de variáveis icógias de elemeos de cooro. Veor de variáveis prescrias de elemeos de cooro. Parâmero auxiliar poro-diâmico. Símbolos gregos α β γ Γ δ δ ij osae de proporcioalidade; parâmero de relaxameo; parâmero de Bio. Parâmero de discreização de elemeos de cooro; parâmero de Newmar. Parâmero de Newmar. ooro do corpo. ução dela de Dirac. Dela de Kroecer. ε ij Deformações. ζ η Parâmero auxiliar poro-diâmico. uções de ierpolação o espaço. ϑ Viscosidade diâmica do fluido. θ Θ Variação do volume de fluido por uidade de volume; parâmero de Newmar. Parâmero de corole para ierpolação muli-liear. Θ Mariz de acoplameo aálise poro-diâmica. κ Parâmero de corole de rucameo; coeficiee de permeabilidade. κ Mariz de coeficiees de permeabilidade. λ osae de Lamé. Λ Veor do rucameo do processo de covolução. xxi

23 Lisa de símbolos 4 µ osae de Lamé. ν ξ ρ ς Porosidade. Poo foe; axa de amorecimeo. Desidade de massa. oeficiee de amorecimeo viscoso. σ ij Tesões. τ i υ φ ϕ Φ χ orças de superfície. oeficiee de Poisso. uções de ierpolação o empo; âgulo de ario iero. ução relacioada ao méodo de Lubich; parâmero de poderação. Parâmero de corole de rucameo. Raio especral. Ψ Veor de resíduos. ω ij Roações. Ω Domíio do corpo. Abreviauras: P DT T ME ME eral Processig i. Discree ourier Trasform. as ourier Trasform. Méodo de Elemeos de ooro. Méodo de Elemeos iios. xxii

24 Lisa de símbolos 5 Noações: Y i Y ii Termo i do veor Y Y = Y, Y, Y 3 em 3D e Y = Y, Y em D. Noação caresiaa idicial Y ii =Y Y Y 33 em 3D e Y ii =Y Y em D. Y i Y i Noação caresiaa idicial Y i Y i =Y Y Y 3 em 3D e Y ii =Y Y em D. Y & Derivada emporal de Y Y & = Y /. Y, i Derivada espacial de Y Y, i = Y / X i. Y Operador Nabla Y = Y i, i ode Y é um veor. Operador de Laplace Y = Y, ii ode Y é um escalar. Variável o domíio de Laplace. Y* Solução fudameal. xxiii

25 Os loucos abrem camihos que mais arde percorrem os sábios arlo Albero Pisai Dossi Diplomaa e escrior ialiao. xxiv

26 Irodução

27 .. Observações prelimiares reqüeemee dois ou mais sisemas físicos ieragem ere si, orado impossível a solução idepedee de qualquer um deses sisemas sem que as soluções dos demais sejam simulaeamee cosideradas. Tais sisemas são deomiados acoplados, sedo a iesidade do acoplameo fução do grau de ieração ere os sisemas compoees. Segudo ZIENKIEWIZ & TAYLOR, formulações e sisemas acoplados são aqueles aplicáveis a variáveis depedees e domíios múliplos, os quais usualmee mas ão ecessariamee descrevem diferees feômeos físicos e os quais: a ehum dos domíios pode ser resolvido de forma separada dos demais; b ehum cojuo de variáveis pode ser expliciamee elimiado ao ível de equações difereciais. Aida segudo ZIENKIEWIZ & TAYLOR, os sisemas acoplados podem ser classificados segudo duas caegorias: i aegoria : Nesa caegoria equadram-se problemas os quais o acoplameo ocorre as ierfaces dos domíios, via codições de cooro imposas em ais regiões. Geralmee os domíios em quesão descrevem diferees siuações físicas, sedo, coudo, possível a cosideração de acoplameo ere domíios que são fisicamee similares edo sido os mesmos discreizados por diferees processos; ii aegoria : Nesa caegoria equadram-se problemas os quais os vários domíios se sobrepõem oal ou parcialmee. Nese caso o acoplameo ocorre

28 aravés das equações difereciais goveraes descrevedo os diferees feômeos físicos evolvidos. De forma mais exesa à acima apreseada, o arigo uorial de ELIPPA e al. apresea uma série de coceios e defiições relaivos a aálises de sisemas acoplados, bem como discussão relacioada à simulação compuacioal de ais sisemas. O presee rabalho aborda sisemas acoplados que se equadram as caegorias e acima descrias. Exemplos ípicos de sisemas que compõem a caegoria acoplameos de ierface são os que cosideram ieração fluido-esruura, soloesruura, esruura-esruura ec.. Nese escopo, pode-se mecioar as mais variadas aplicações: fluidos, ais como água, ar, ou lubrificaes, ieragido com elemeos esruurais, ais como edifícios, barrages, esruuras offshore, compoees mecâicos, vasos de pressão ec.; solo ieragido com fudações de edifícios, vias férreas, maquiários de grade pore ec.; aálise de sisemas modelados por diferees méodos uméricos acoplados difereças fiias, elemeos fiios, elemeos de cooro, ec. e/ou diferees íveis de refiameos. A caegoria acoplameos de domíio previamee descria pode, por sua vez, ser exemplificada em específico por sisemas cosiderado ieração sólido-poro fluido modelagem de meios porosos. A eoria poro-elásica, coforme desacado por WANG, é hisoricamee de grade aplicabilidade em áreas ais como geomecâica adesameo de solos, resisêcia de esruuras de coeção e supore ec., hidrogeologia armazeameo em aqüíferos cofiados, exploração de recursos hidrológicos suberrâeos ec. e egeharia do peróleo aálise de escavação de poços 3

29 de peróleo, esimaivas de reservaórios ec.. Ouros campos de aplicação, ais como biomecâica modelagem de esruuras ósseas embebidas em fluidos corpóreos ec., êm apreseado sigificaivo avaço os úlimos aos. Na aálise de sisemas acoplados é usual que um ou mais dos domíios cosiderados possuam comporameo ão-liear, devedo a ão liearidade do feômeo ser cosiderada de forma apropriada. Assim sedo, sigificaiva evolução eórico-compuacioal deve ser cosiderada quado da modelagem, a fim de se aalisar com propriedade os sisemas físicos ão-lieares em quesão. Vasa lisa de referêcias bibliográficas, correlacioada a aálises cosiderado ão liearidades física e geomérica, pode ser aualmee ecorada a lieraura especializada; com especial efoque à modelagem umérica, iclusive. Oura ocorrêcia usual quado da aálise de sisemas acoplados diz respeio ao fao de um ou mais dos subdomíios do modelo caracerizarem-se por possuir uma ou mais das suas dimesões cosideradas como sedo ifiias. omo exemplo cia-se, em paricular, a aálise de sisemas com ieração solo-esruura, caracerizado-se o solo como sedo um meio semi-ifiio ípico. Para aálise esáica do modelo supraciado, mesmo a aleraiva mais simples que cosise a irodução de um cooro ficício a uma disâcia suficiee da esruura, ode a resposa é esperada como sedo sem sigificâcia sob um poo de visa práico, pode em muios casos forecer resulados saisfaórios. Tem-se assim um domíio fiio para o solo em cosideração, o qual pode ser facilmee modelado e aálise acoplada realizada. Todavia, cosiderado-se aálise diâmica, o rucameo da malha aravés de um cooro ficício ora-se iapropriado WOL, 985. Assim se cosidera já que o cooro ficício iroduzido reflee as odas origiárias da 4

30 vibração da esruura de vola para a região discreizada do solo ao ivés de propagá-las ao ifiio. Várias écicas exisem aualmee para se cosiderar cooros ão reflexivos GIVOLI, 99-99, sedo, odavia, ese um problema de modelagem aida em abero. Pesquisas ese campo êm sido de grade ieresse para idúsria idúsria do peróleo, geofísica, egeharia civil, aval, aeroespacial ec., uma vez que a modelagem de meios ifiios esá relacioada a uma grade gama de casos usuais de aálise. O méodo dos elemeos fiios ME em se desacado as úlimas décadas como sedo uma poderosa ferramea de aálise, sedo versáil e de boa precisão para os mais diversos ipos de modelagem. O méodo dos elemeos de cooro ME ambém se caraceriza como sedo uma preciosa écica de modelagem, sedo algumas de suas aplicabilidades desacáveis. Desa forma, o acoplameo ME-ME em grade valor, possibiliado que sisemas complexos sejam modelados irado-se vaagem da ieração desas duas écicas, sedo as mesmas uilizadas em subdomíios ode modelagem mais apropriada seja proporcioada. O ME geralmee forece melhores resulados, quado comparado ao ME, em regiões de coceração de esão ou fluxo. Pode-se, desa forma, defiir-se elemeos de cooro especiais para regiões com sigularidades e combiá-los a elemeos fiios. Oura desacável aplicabilidade do ME diz respeio à aálise de meios ifiios. Elemeos de cooro ou variaes do ME são freqüeemee aplicados a al modelagem, uma vez que os mesmos saisfazem as codições de radiação, as quais são de difícil represeação por iermédio de elemeos fiios. O ME, por sua vez, é mais apropriado a modelages ão lieares, bem como modelages cosiderado meios mais geéricos meios heerogêeos sujeios a forças de volume geéricas ec.. Em 5

31 algumas caegorias de problemas iimamee associadas a sisemas acoplados, ambas meodologias são isoladamee iapropriadas, sedo aural, por coseqüêcia, esforços visado combiar-vaages / reduzir-limiações, de forma a se criar um procedimeo fial mais versáil, flexível e geérico de aálise. A aálise diâmica de sisemas ão lieares acoplados, cosiderado modelagem por iermédio de elemeos fiios e elemeos de cooro, mosra-se desa forma como sedo um esudo de ala relevâcia e de elevado grau de aplicabilidade, bem como de complexidade... Breve revisão bibliográfica A simulação umérica de sisemas mecâicos com acoplameo de ierface eve seu iício a década de 7, edo por foco sisemas de ieração do ipo sólido-sólido e fluido-sólido. As primeiras pesquisas relacioadas ao raameo parcioado de sisemas acoplados foram realizadas cosiderado-se elemeos fiios: BELYTSHKO & MLLEN 976, 978 e BELYTSHKO e al. 979 esudaram écicas de parcioameo ó-a-ó; Hughes e co-auores desevolveram parições implícioexplício elemeo-a-elemeo HGHES & LI, 978; HGHES e al., 979; HGHES & STEPHENSON, 98. O rabalho de Par, elippa, arha e co-auores ambém é de relevâcia a área PARK & ELIPPA, 983. m acoplameo ME- ME foi realizado por ese grupo de pesquisa PARK e al., 977, edo sido implemeado o acoplameo de uma esruura submersa, modelada por elemeos fiios, uilizado-se a écica de cooro de Geers GEERS, 97; GEERS & ELIPPA, 98 para se modelar o fluido acúsico exerior. 6

32 Ere as primeiras pricipais referêcias cosiderado acoplameo ME-ME podem-se ciar os rabalhos de ZIENKIEWIZ e al. 977b, 979, os quais sugerem um mariage à la mode o melhor de dois mudos. Desde eão, um cosiderável úmero de pesquisadores em volado sua aeção para o ópico. BREBBIA & GEORGIO 979, LI e al. 986, DE PALA e al. 987, por exemplo, ivesigaram problemas esáicos geéricos, equao BEER & MEEK 98, SWOBODA e al. 987, BEER & SWOBODA 987 aalisaram com sucesso problemas esáicos relacioados a escavações, levado em cosideração iclusive plasicidade localizada. Logo se percebeu que o acoplameo ME-ME seria exremamee vaajoso em aálises relacioadas à egeharia de fudações. Desa forma, HEN & QIAN 986 adoaram a écica acoplada para aálise esáica de esões em esruuras modeladas por ME em fudações ifiias modeladas por ME, equao VALLABHAN & SIVAKMAR 986 ivesigaram a resposa de esacas de cocreo em solo elásico homogêeo. ma visão ampla a cerca do acoplameo ME-ME cosiderado-se problemas esáicos, paricularmee em aplicações geomecâicas, pode ser ecorada em VALLABHAN 987. O procedimeo híbrido ME-ME ambém se mosrou promissor quado aplicado a problemas de mecâica da fraura. Sigificaiva pesquisa esse campo foi realizada, por exemplo, por SHNAK 987 e SHNAK e al. 988, edo sido resolvidos problemas de fraura usado-se formulação variacioal misa. TSAMASPHYROS 987, por ouro lado, ivesigou corpos fraurados com geomeria complexa, uilizado diferees abordages de acoplameo, comparado os mérios e limiações relacioados. 7

33 Nas úlimas décadas, o acoplameo ME-ME em se desacado quado relacioado a problemas diâmicos. Em paricular, aálises de sisemas com ieração do ipo solo-esruura e fluido-esruura êm desperado ieresse a comuidade cieífica. KOBAYASHI & KAWAKAMI 985, KOBAYASHI & MORI 986 e MITA & LO 987 ivesiram esforços a aálise de sisemas de ieração do ipo solo-esruura, cosiderado acoplameo ME-ME o domíio da freqüêcia. Esudo relaivo a acoplameo elasodiâmico ME-ME, o domíio do empo, foi cosiderado por KARABALIS & BESKOS 985, SPYRAKOS & BESKOS 986, KI 987, VON ESTOR & KASEL 989, VON ESTOR & PRABKI 99, VON ESTOR 99, ARAJO 994, ere ouros, edo de igual forma, como foco, sisemas com ieração do ipo solo-esruura. Aida sob o escopo de sisemas com ieração solo-esruura, MOHAMMADI & KARABALIS 995 e ADAM e al. aplicaram o acoplameo ME-ME para aálise de vias férreas, esudado-se o efeio do ráfico de res. osiderado aplicações mais geéricas, os rabalhos de BELYTSHKO & L 99, 994 e Y e al. esão de igual forma relacioados a aálises o domíio do empo. Nos úlimos aos, acoplameo diâmico ME-ME em sido aplicado com sucesso em aálises ão-lieares. Nese seido, os rabalhos pioeiros de PAVLATOS & BESKOS 994, ABOSEEDA & DAKOLAS 998 e YAZDHI e al. 999 podem ser ciados, esado a meodologia de acoplameo ME-ME aplicada à aálise de sisemas de ieração do ipo solo-barrages. Nos rabalhos supraciados modela-se a esruura e o solo circudae de forma ielásica e por iermédio de elemeos fiios, sedo a região remaescee de solo, suposa liear, modelada por elemeos de cooro. Abordagem similar é cosiderada por ADAM 997, VON ESTOR & 8

34 IRZIAAN e IRZIAAN & VON ESTOR, edo-se em cosideração aplicações mais amplas. om relação a problemas diâmicos de ieração do ipo fluido-esruura, é usual a adoção de elemeos fiios para modelagem da esruura e de elemeos de cooro para modelagem do fluido acúsico acoplado. Tedo-se em visa ese campo de aplicação, pode-se ciar os rabalhos de OYETTE e al. 989, RAJAKMAR e al. 989, JEANS & MATHEWS 99, EVERSTINE & HENDERSON 99, AMINI e al. 99, ere ouros, cosiderado-se aálise o domíio da freqüêcia. Em aálises o domíio do empo, os rabalhos de VON ESTOR & ANTES 99, VON ESTOR 99, KOH e al. 998, LIE e al. e Y e al. podem ser ciados como referêcia. Receemee, aálises ão lieares ambém êm sido implemeadas com sucesso cosiderado-se acoplameo ME-ME e problemas de ieração do ipo fluido-esruura. Pesquisa esa área pode ser ecorada os rabalhos de ZYGAN & VON ESTOR e ZYGAN 3. É imporae ressalar que, coforme desacado por Y e al. e ZYGAN 3, problemas de isabilidade são aceuados eses ipos de aálises acopladas. Ampla discussão sobre acoplameos ME-ME pode ser ecorada os rabalhos de BESKOS 987, 997, 3. Nos esquemas de acoplameo ME-ME acima cosiderados, um sisema global uificado de equações é gerado. O raameo de al sisema uificado é cosideravelmee mais oeroso e complicado que o raameo de forma idepedee dos sisemas relaivos ao ME e ao ME. Tedo-se por objeivo superar esa desvaagem quado do acoplameo ME-ME, algorimos ieraivos de acoplameo êm sido desevolvidos. Em algorimos ieraivos, os subdomíios de ME e ME são 9

35 raados separadamee, sedo as variáveis a ierface de acoplameo ieraivamee aualizadas aé que haja covergêcia. A fim de se raar a reovação das icógias a ierface, GERSTLE e al. 99, PERERA e al. 993 e KAMIYA & IWASE 997 uilizaram o méodo dos gradiees cojugados, complemeo de Schur e codesação. KAMIYA e al. 996 empregaram o esquema de reovação Schwarz Neuma-Neuma e Schwarz Dirichle-Neuma, edo sido o méodo de Schwarz Dirichle-Neuma empregado de forma seqüecial por LIN e al. 996 e ENG & OWEN 996. ELLEITHY & AL-GAHTANI apresearam um méodo ieraivo de decomposição de domíio para acoplameo ME-ME, sedo mais arde al meodologia aplicada à aálise elaso-esáica ELLEITHY e al., a, mecâica da fraura ELLEITHY e al., b e resolução da equação de Laplace ELLEITHY & TANAKA,. Esquema aleraivo de acoplameo ME-ME, cosiderado raameo idepedee dos sisemas de equações de ME e de ME e fazedo uso de roca de codições iiciais ere os subdomíios, é apreseado por RIZOS & WANG cosiderado-se aálises diâmicas lieares. Receemee, SOARES JR e al. 4a e SOARES JR & VON ESTOR 4 empregaram acoplameo ieraivo ME-ME para solução de problemas diâmicos ão-lieares. om relação à simulação umérica de problemas relaivos a acoplameo de domíio, mais em específico aálise de meios porosos, os primeiros rabalhos daam do fial da década de 6, iício da década de 7, edo como foco elemeos fiios. SANDH & WILSON 969, SHIMAN e al. 969, HRISTIAN & BOEHMER 97, HWANG e al. 97 e YOKOO e al. 97 aplicaram écicas de elemeos fiios para aálise umérica de problemas de adesameo, seguido a liha de pesquisa iroduzida por Bio BIOT, 94, 956a. ompressibilidade do fluido foi iroduzida por GHABOSSI & WILSON 973. SMALL e al. 976

36 iroduziram plasicidade à aálise, adoado o modelo de Mohr-oulomb, equao RNESSON 978 e DESAI & SIRIWARDANE 979 adoaram o modelo de esado críico. ZIENKIENWIZ e al. 977a ambém cosideraram elasoplasicidade e iroduziram compressibilidade à fase sólido. RNESSON 978 e PREVOST 98 implemearam modelo umérico baseado a eoria de misuras. ormulação para adesameo cosiderado deformações fiias foi apreseada o rabalho de ARTER e al NORRIS 98 esudou modelos cosiuivos iroduzido edurecimeo ciemáico. Todos os rabalhos supraciados fazem uso de deslocameos e poro-pressões como variáveis básicas: modelagem com elemeos fiios baseada em esões oais e poro-pressões como variáveis básicas foi iroduzida por IVIDINI & GIODA 98. Aálise diâmica de solos saurados foi esudada por ZIENKIEWIZ 98 edo sido a exesão para aálise com deformações fiias cosiderada em ZIENKIEWIZ & SHIOMI 984. Aálises diâmicas sauradas, baseadas a eoria de misuras, foram apreseadas por PREVOST e al. 985, EHLERS & KBIK 994 e DIEBELS & EHLERS 996. m modelo para aálise quaiaiva do comporameo isoérmico esáico e diâmico de solo oal ou parcialmee saurado foi apreseado por Zieiewicz e co-auores os arigos clássicos: ZIENKIEWIZ e al. 99a-b. O modelo em cosideração era baseado a eoria esedida de Bio, ode a aálise ão saurada a pressão do ar foi cosiderada como em cosâcia com a pressão amosférica. O modelo em quesão foi esedido poseriormee por MEROI e al. 995 de forma a se cosiderar grades deformações. Desde eão a modelagem umérica em evoluído de forma cosiderável, empregado-se elemeos fiios em campos mais amplos de aplicação: escoameo mulifásico, acoplameo érmico, aálise reversa, fraura ec.. As obras de LEWIS & SHRELER 998 e ZIENKIEWIZ e al. 999, ere

37 muias ouras, são referêcia para algumas aálises mais amplas, além do escopo do presee rabalho. om relação à modelagem por elemeos de cooro, os primeiros rabalhos desevolvidos com relação a problemas poroelásicos esavam volados para aálise quase-esáica. Nese ema, os rabalhos de LEARY 977, BANERJEE & BTTERIELD 98 e HENG & LIGGETT 984 podem ser ciados como de relevâcia. Soluções somee por cooro, o domíio do empo, foram apreseadas por NISHIMRA & KOBAYASHI 989 e DARGSH & BANERJEE 989. Receemee, soluções por cooro e domíio foram apreseadas por AVALANTI & TELLES 3. osiderado-se aálises poro-elasodiâmicas, PREDELEAN 984 e MANOLIS & BESKOS 989 apresearam formulações iegrais de elemeos de cooro baseadas em seis equações com seis icógias deslocameos do esqueleo sólido e deslocameos relaivos médios do fluido. As soluções fudameais para as equações acima mecioadas foram obidas por MANOLIS & BESKOS 989, o domíio rasformado de Laplace, e por NORRIS 985 o domíio rasformado da freqüêcia. Tais formulações ão se mosraram saisfaórias uma vez que BONNET 987 e BOTIN e al. 987 mosraram que somee quaro variáveis deslocameos da fase sólido e poro-pressão da fase fluido são idepedees o problema poro-elásico. HENG e al. 99 e DOMINGEZ 99 desevolveram méodos de elemeos de cooro para aálise poro-elasodiâmica, o domíio da freqüêcia, em fução das variáveis idepedees. Em ambos rabalhos, implemeação umérica e aplicações esavam limiados a aálises bidimesioais e de problemas harmôicos.

38 As aálises poro-diâmicas aé eão mecioadas são relaivas a domíios rasformados. ormulação o domíio do empo foi desevolvida por WIEBE & ANTES 99, mas com a resrição de ão se cosiderar relação de amorecimeo ere esqueleo sólido e fluido. ormulação empo-depedee aleraiva e geérica foi proposa por HEN & DARGSH 995, baseado-se em rasformação iversa aalíica das soluções fudameais o domíio de Laplace. Todavia, coforme o auor admie, al formulação é muio oerosa compuacioalmee. Baseado o méodo da quadraura de covolução desevolvido por LBIH 988a-b, SHANZ a apreseou solução empo-depedee com elemeos de cooro baseada em soluções fudameais o domíio de Laplace. Bibliografia relacioada à simulação compuacioal de sisemas acoplados é exesa e rica, sedo usual a cosideração de diferees abordages uméricas. ma grade gama de rabalhos relacioados à aálise de sisemas acoplados em geral, realizada por grupos europeus de pesquisa as décadas de 8-9, pode ser ecorada as obras ediadas por HINTON e al. 98, LEWIS 984, LEWIS 987, EHLERS & BLHM 998 ec., proporcioado uma visão mais ampla à por ese rabalho focada..3. Objeivos e coeúdo do presee rabalho O presee rabalho em por objeivo o esudo de sisemas acoplados; mais em específico: sisemas com acoplameo de ierface cosiderado-se ieração ME- ME, e sisemas com acoplameo de domíio meios porosos cosiderado-se aálise 3

39 por elemeos fiios e por elemeos de cooro. O esudo realizado em como foco sisemas com ieração do ipo solo-fluido-esruura. ma série de abordages origiais é apreseada ao logo dese rabalho, ao com relação aos acoplameos de ierface aqui efocados, quao com relação aos acoplameos de domíio. Abordages clássicas são de igual forma apreseadas, possibiliado ao leior melhor comparação dos mérios e limiações correlacioados. om relação a acoplameos ME-ME em aálises diâmicas, diversos problemas surgem em fução deses dois méodos uméricos exigirem usualmee diferees íveis de refiameo e discreização. A ão cosideração dese fao implica em procedimeos isáveis ou pouco acurados de solução. oforme desacado pela lieraura especializada, isabilidade relacioada a acoplameos ME-ME é um problema sigificaivo, edo merecido o mesmo especial aeção da comuidade cieífica. O presee rabalho em como um dos seus pricipais objeivos desevolver algorimos de acoplameo ão só mais esáveis como ambém mais acurados, geéricos, flexíveis e eficiees. om relação à aálise de sisemas com acoplameo de domíio, o presee rabalho foca exclusivamee meios porosos saurados. A modelagem diâmica, o domíio do empo, de solos saurados por iermédio de elemeos de cooro aida é um campo de pesquisa em abero. Soluções fudameais apropriadas para al aálise são descohecidas, resado como aleraiva procedimeos misos, i.e., adoção de soluções fudameais em domíios rasformados. Tais procedimeos misos possuem a limiação de serem compuacioalmee oerosos. O presee rabalho apresea um esquema aleraivo para aálise poro-diâmica por iermédio de 4

40 elemeos de cooro cosiderado iclusive modelagem ão-liear sem fazer uso de formulações misas. Todavia, a meodologia aqui apreseada possui ouras limiações, uma vez que iegrais de domíio se fazem ecessárias. A aálise diâmica de solos saurados por iermédio de elemeos fiios, por ouro lado, é bem esabelecida a lieraura coemporâea. O presee rabalho apresea ese caso um algorimo aleraivo de solução, sedo ese araivo a um cosiderável campo de aplicações, uma vez que o mesmo possui elevada eficiêcia compuacioal. Aálises bidimesioais são cosideradas o presee exo, sedo rivial a expasão da maioria dos coceios aqui apreseados para aálises ridimesioais. É imporae ressalar que acoplameos ME-ME são aida mais idicados quado problemas ridimesioais são cosiderados. Assim o é uma vez que para ese ipo de aálise a exesão das malhas de elemeos fiios problemas de meios ifiios é cosideravelmee oerosa e, mais aida, a formulação ridimesioal de elemeos de cooro é usualmee mais leve que a formulação bidimesioal, uma vez que o processo de covolução relacioado a problemas 3D é auralmee simplificado, ão sedo o mesmo ão oeroso compuacioalmee quao em problemas D. No segudo capíulo do presee rabalho, sisemas ão acoplados são iicialmee cosiderados. Apreseam-se eão as formulações básicas de elemeos de cooro e de elemeos fiios a serem adoadas para as aálises cosiderado-se acoplameos de ierface. Modelagem acúsica e modelagem diâmica liear e ão-liear são cosideradas. Em ambos os casos, acúsico e diâmico, iicialmee as equações goveraes do modelo são suciamee apreseadas, sedo a seqüêcia discuida a 5

41 simulação umérica dos modelos por iermédio de elemeos de cooro e de elemeos fiios. Ao fim do capíulo algumas aplicações uméricas são cosideradas, edo por foco as coribuições origiais do presee rabalho. No erceiro capíulo, sisemas com acoplameos de ierface são cosiderados. Aálises de ieração do ipo sólido-sólido e fluido-sólido são efocadas. Diferees procedimeos de acoplameo ME-ME, bem como de acoplameo ME-ME, são apreseados e discuidos. Ao fial do erceiro capíulo, uma série de exemplos uméricos é abordada, esededo a discussão relacioada às diferees meodologias apreseadas ao logo do capíulo. Sisemas com acoplameo de domíio são cosiderados o quaro capíulo. Aálise diâmica de solos saurados é cosiderada, edo-se em foco a modelagem por elemeos fiios e de cooro. Assim como o segudo capíulo, iicialmee as equações goveraes relaivas à aálise poro-diâmica são suciamee apreseadas, sedo discussão relacioada à simulação umérica cosiderada a seqüêcia. Mais uma vez, ao fim do capíulo, algus exemplos uméricos são abordados, edo-se por foco as coribuições origiais do rabalho. No quio capíulo, por fim, coclusões relaivas ao presee rabalho são apreseadas, bem como sugesões para fuuras pesquisas correlacioadas. 6

42 Sisemas ão acoplados

43 .. Irodução O presee capíulo aborda a aálise de sisemas ão acoplados ou isolados. Aspecos eóricos e compuacioais relaivos à modelagem acúsica e diâmica liear e ão-liear são aqui apreseados, edo-se em cosideração o méodo de elemeos de cooro e o méodo de elemeos fiios. Iicialmee a modelagem acúsica é efocada. As equações básicas que regem o modelo são apreseadas, sedo em seguida a implemeação umérica cosiderada: a solução do modelo por iermédio de elemeos de cooro e de elemeos fiios é descria, de forma sucia. Na seqüêcia a aálise diâmica é cosiderada, edo-se em visa abordagem liear e ão-liear. De forma aáloga à modelagem acúsica, iicialmee as equações básicas que regem o modelo são desacadas. Para aálise diâmica duas formulações disias, ao cosiderado elemeos de cooro, quao cosiderado elemeos fiios, são o presee capíulo apreseadas. A primeira formulação de elemeos de cooro aqui cosiderada faz uso de soluções fudameais diâmicas; a seguda faz uso de soluções fudameais esáicas. As vaages e limiações de ambas formulações são discuidas ao logo do exo. om relação a elemeos fiios, a primeira formulação que aqui se apresea faz uso dos méodos de Newmar e de Newo-Raphso para raameo do problema diâmico ão-liear. A seguda formulação, por sua vez, usa fuções implícias de Gree associadas ao méodo de pseudo-forças para solução do problema. 8

44 Ao fim do capíulo algus exemplos uméricos são apreseados. Os exemplos em quesão focam as coribuições origiais do presee rabalho, ampliado a discussão correlacioada, provida dos ies precedees. Devido à grade exesão dos assuos abordados ese rabalho, uma ampla gama de ópicos ieressaes e periees ão é aqui explorada a fudo. Desa forma, procura-se idicar ao leior referêcias apropriadas ao logo do presee exo, guiadoo para uma aálise mais rica, relacioada aos diferees emas aqui cosiderados... Modelagem Acúsica No presee subiem, a propagação de odas de pressão em fluidos será resumidamee abordada. Iicialmee se apreseam as equações básicas que regem o modelo, sedo em seguida a solução do problema por iermédio de elemeos de cooro e de elemeos fiios desacada.... Equações goveraes A equação de equilíbrio hidrodiâmica que rege o comporameo de um fluido compressível, descosiderado-se a ifluêcia graviacioal, pode ser obida a parir da equação de Navier-Soes BAHELOR, 967, coforme idicado a seguir: ρ v& i p, i =. Na equação., a pressão hidrodiâmica é represeada por p; v é a velocidade das parículas do fluido; e ρ é a desidade do fluido em quesão. Noação idicial para 9

45 eixos caresiaos é aqui adoada; virgulas idicam derivada parcial espacial e poos sobre-escrios idicam derivada parcial emporal. sado a equação de equilíbrio. e a equação de coiuidade., ρ s p& / c. v i, i = pode-se deduzir facilmee a equação da oda: & p / c ρ s&.3 p, ii = que descreve o movimeo irroacioal e de pequea ampliude das parículas de fluido. Nas equações. e.3, c é a velocidade de oda acúsica e s represea a disribuição espacial e emporal de possíveis desidades de foe o fluido. Para se fializar a defiição do problema acúsico, além da equação da oda equação.3, faz-se ecessário cosiderar as codições de cooro e codições iiciais auaes. As codições de cooro e codições iiciais apropriadas para o problema em quesão podem ser resumidas coforme se segue: i odições de cooro empo >, ao logo do cooro Γ = Γ Γ : p X, = p X, para X Γ q X, = p, j X, j X = q X, para X Γ.4a.4b ii odições iiciais empo =, ao logo do cooro Γ e domíio Ω : p X, = p X.5a p & X, = p& X.5b

46 ode os valores prescrios esão idicados por barras sobreposas e q represea o fluxo ao logo do cooro de ormal represeada pelo veor j. Para aprofudameo eórico relacioado às equações aqui apreseadas, as seguies referêcias são idicadas: MORSE & ESHBAK, 953; BAHELOR, 967; MALVERN, Solução com elemeos de cooro A equação iegral que solucioa o problema descrio pelas equações.3-.5 é dada por MANSR, 983:, ;,,, ;, *,, ;, *, τ ξ τ τ τ ξ τ τ τ ξ ξ ξ X s d X d X p X q d X d X q X p p c Γ Γ = Γ Γ.6 ode ξ represea o poo foe e X represea o poo campo. ξ c é fução de parâmeros geoméricos e, ;, τ ξ X s represea possíveis iegrais de domíio, relaivas a codições iiciais e/ou foes o domíio. As soluções fudameais p* e q* presees em.6 são dadas por: [ ] / / /, ;, * r c c r c H X p = τ π τ τ ξ.7 [ ] { [ ] } / 3 / / / / / / /, ;, * r c c r r c H r c cr r c H r X q = τ π τ τ π τ τ ξ.8

47 ode H[ c r] τ represea a fução Heaviside e r = r X ; ξ é a disâcia ere o poo foe e o poo campo. Para se resolver a equação iegral.6 umericamee, faz-se ecessária a irodução de aproximações ao logo do cooro e do empo. Assim sedo, as seguies aproximações são adoadas: = J M p X, φ η X p.9a = J j= m= M j= m= m p m q j p j q m j q X, φ η X q.9b m j Nas equações.9, j η p e j η q são fuções de ierpolação espaciais relacioadas a p e q, respecivamee, correspodedo a um ó X j do cooro; m φ p e m φ q são fuções de ierpolação emporais relacioadas a p e q, respecivamee, correspodedo a um empo discreo m ; por fim, em-se a seguie correspodêcia m m relaiva às equações.9: p = p X, e q = q X,. j j m j j m Em aálises com elemeos de cooro é usual a adoção de fuções lieares de ierpolação para m φ p e fuções cosaes por pares para m φ q formulações aleraivas podem ser ecoras, por exemplo, em MANSR e al. 998; Y e al. 998b ec.. om relação às fuções de ierpolação espaciais adoção de diferees íveis de aproximação. j η p e j η q, é usual a

48 Adoado-se oação maricial e levado-se em cosideração as aproximações uméricas acima apreseadas, a equação.6 pode ser escria, para cada ó do cooro e para um passo de empo geérico, coforme idica a equação.: = G Q H P m= m m m m G Q H P S P. Na equação., P e Q são veores de pressão e fluxo, respecivamee, o passo de empo ; S é o veor relacioado às iegrais de domíio em.6; é a mariz relacioada ao parâmero geomérico c ξ ; e H e G são as marizes de ifluêcia calculadas para o empo. Para maiores dealhes a cerca da dedução e implemeação umérica relacioada à equação., as seguies referêcias bibliográficas são recomedadas: MANSR 983; DOMINGEZ 993. Iroduzido-se as codições de cooro.4 ao modelo, o sisema de equações. pode ser re-escrio como segue: A X = B Y L S. ode os ermos de discreo, equao os ermos de X represeam os valores icógios de pressão ou fluxo o empo Y represeam valores correspodees, prescrios o cooro. L é o veor relacioado ao processo de covolução presee em., represeado a evolução da solução o empo, aé o passo de empo aual de aálise. O cálculo do veor L exige um processo de covolução m =,,..., que deve ser cosiderado a cada passo de empo, =,,..., N, ode o empo fial de aálise é dado por N = N, sedo o passo de empo em cosideração. 3

49 4 Tabela. álculo do veor de rucameo Λ usado ierpolação muli-liear e ierpolação com poliômios de hebyshev-lagrage a Ierpolação muli-liear álculo dos empos base para ierpolação. para κ,, = K alcular: Θ = κ κ T L N L álculo de Λ. P = e Q = κ,, = K. para L m =,, K.. alcular: m =.. Ober e : [ ], = T T..3 alcular: / ; / T T T T T T T T = = T T T T Q Q Q Q Q Q P P P P P P ; ; = = = =.3 = = κ P H Q G Λ b Ierpolação hebyshev-lagrage álculo dos empos base para ierpolação. para κ,, = K alcular: = cos L N L N T π κ álculo de Λ. Λ =. para κ,, = K.. Q P = = ;.. para L m =,, K... alcular: m =... alcular: = = κ i i i i T T T T ; /...3 alcular: m m T T Q Q Q P P P = = ;..3 P H Q G Λ Λ =

50 oforme apreseado por SOARES JR & MANSR 4a, um eficiee rucameo do processo de covolução pode ser cosiderado, efeuado-se as operações mariciais associadas ao cálculo de L ão somee em um iervalo de empo limiado L m < empo recee, sedo as operações relacioadas à coribuição de empos disaes m < L aproximadas. A aproximação em quesão cosise em se calcular as marizes H -m e G -m como ierpolação de algumas poucas marizes H e G =,,..., κ calculadas em passos de empo apropriados T L T N. O cálculo de L, que é o empo limie após o qual as aproximações são Φκ cosideradas, pode ser esimado por = N r / c L med, ode r med represea a disâcia média ere os ós do cooro o modelo e Φ é um parâmero de corole, relacioado ao ível de aproximação que se deseja associar à meodologia. osiderado-se a discussão acima, o cálculo do veor L pode ser expresso por: m= L m m m m [ G Q H P ] Λ L =.a κ L L, m, m, m, m Λ = G I Q H I P.b = m= m= ode I,m, é o parâmero de ierpolação que descreve as marizes H -m e G -m como fução de κ marizes H e G, respecivamee. Em., Λ é o veor que represea o rucameo do processo de covolução. Vários procedimeos de ierpolação I,m, podem ser adoados. No presee rabalho dois ipos de ierpolação são cosiderados: i ierpolação muli-liear ierpolação liear ere os κ empos discreos T ; ii ierpolação com poliômios de 5

51 hebyshev-lagrage. O cálculo do veor Λ por iermédio deses dois procedimeos de ierpolação é mosrado a Tabela.. omo se observa a Tabela., os valores de T que são base para o procedimeo muli-liear de ierpolação, ão ecessariamee são igualmee espaçados. O esquema de espaçameo escaloado é aqui adoado, uma vez que melhores aproximações são obidas caso se eha mais poos de ierpolação a vizihaça de L. Os empos discreos T oram-se igualmee espaçados, caso se adoe a variável Θ Tabela. como sedo ula a variável Θ é resposável pelo corole do espaçameo ere os empos T, o méodo de ierpolação muli-liear. Para maiores dealhes sobre o rucameo do processo de covolução em quesão, a referêcia SOARES JR & MANSR 4a é idicada ao leior. Demais iformações sobre rucameo podem ser ecoradas em DEMIREL & WANG 987 e MANSR & DE LIMA SILVA 99. Por iermédio de. o modelo acúsico pode ser solucioado a cada passo de empo usado-se o méodo dos elemeos de cooro. aso o leior possua ieresse em um esudo mais aprofudado sobre a formulação de elemeos de cooro aqui apreseada, o rabalho de MANSR & ARRER 993 é idicado para aálise dealhada relacioada aos erels do problema rasiee. Para maiores dealhes sobre implemeação compuacioal, o rabalho de GALLEGO & DOMINGEZ 994a é sugerido como referêcia. Iformações relaivas ao cálculo de derivadas emporais e espaciais das variáveis do modelo podem ser ecoradas em ARRER & MANSR 994 e SOARES JR e al.. O raameo de codições iiciais é dealhado em ARRER & MANSR 996. Para o esudo de algumas formulações o domíio do empo, aleraivas à apreseada o presee subiem, as seguies referêcias podem ser idicadas, ere ouras: Y e al. 6

52 998a e ; RANGI ; ARRER & MANSR ec. Abragedo variados aspecos correlacioados, idica-se aida VON ESTOR...3. Solução com elemeos fiios A equação.3 pode ser reescria, de forma a se adoar uma oação mais geérica e apropriada para aálise com elemeos fiios. Reescrevedo-se a equação da oda e iroduzido amorecimeo a aálise, em-se MANSR e al., 4: ρ & p ς p& K p S =.3 ode é o operador de Laplace; K é o coeficiee de compressibilidade; ς é o coeficiee de amorecimeo viscoso; e S represea o ermo foe auae o domíio. A velocidade de oda pode ser obida por c = K /ρ /. Escrevedo-se a equação.3 uilizado-se o méodo dos resíduos poderados, formulação fraca, a seguie equação base para aálise com elemeos fiios é obida ZIENKIEWIZ & TAYLOR, : Ω K w p dω w p& dω ρ w& p dω = ws dω wq Ω Ω ς dγ.4 Ω Γ ode w represea as fuções de peso sedo uilizadas, iguais às fuções de ierpolação, uma vez que se adoa a formulação de Galeri. As fuções de ierpolação, por sua vez, são usadas para aproximar as variáveis de campo exisees ao logo dos elemeos fiios. Desa forma, pode-se escrever: 7

53 p X, η X p.5 = J j= j p j ode J são os úmeros de ós do elemeo fiio em quesão e represea fução de ierpolação espacial. j η p mais uma vez ilizado aproximações uméricas do ipo.5, a equação.4 pode ser rabalhada e re-escria de forma maricial coforme se segue: P & P & KP.6 M = ode P é o veor de pressão o empo ; é o veor de forças odais auaes; e M, e K são as marizes de massa, amorecimeo e rigidez, respecivamee. As expressões para as marizes de massa, amorecimeo e rigidez são dadas por: Ω T M = N ρ N dω.7 Ω T = N ς N dω.8 Ω T K = B DB dω.9 ode N é a mariz de ierpolação; B é a mariz de deformação; e D é a mariz cosiuiva. Para maiores dealhes sobre a dedução da equação.6, bem como sobre as marizes acima apreseadas, o leior é direcioado às seguies referêcias, ere ouras: BATHE 996; HGHES ; ZIENKIEWIZ & TAYLOR. Para se raar a iegração o empo em.6, algum esquema baseado em difereças fiias pode ser adoado. O presee rabalho faz uso do méodo de Newmar 8

54 para al fialidade NEWMARK, 959. Levado-se em cosideração o méodo de Newmar, as seguies aproximações podem ser adoadas: P & = / & β P P / β P /β P. & P & P& P&& = γ γ P&. ode γ e β são parâmeros do méodo e é o passo de empo em cosideração. ilizado as expressões. e., o sisema fial. a seguir pode ser obido, parido-se de.6: A P B =. ode A e B represeam a mariz e o veor efeivos do sisema, respecivamee: A = K / β M γ / β B = M{ / β P / β P& /β P&& } { γ / β P γ / β P& γ /β P&& }.3.4 Por iermédio de. o modelo acúsico pode ser solucioado a cada passo de empo usado-se o méodo dos elemeos fiios. Algorimos de iegração o empo, baseados em esquemas de difereças fiias aleraivos às expressões.-., podem ser ecorados em HOBOLT 95; WILSON e al. 973, HILBER e al. 977 ec. Algus pesquisadores ivesiram esforços a adoção de elemeos fiios para iegração o empo ARGYRIS & SHAR, 969; RIED, 969 ec., mas al ipo de formulação em sido pouco 9

55 aplicado em fução do seu elevado cuso compuacioal. ormulações baseadas em elemeos fiios do ipo Galeri descoíuo êm se mosrado como aleraivas ieressaes ao uso de esquemas de difereças fiias para iegração o empo HGHES & HLBERT, 988; LI & WIBERG, 996; HIEN e al., 3 ec.. aso o leior se ieresse por um esudo mais amplo relacioado ao ema, o rabalho de KANE e al. é idicado, abordado aspecos relaivos à coservação de eergia. É imporae ressalar que os rabalhos supraciados ão ecessariamee êm a modelagem acúsica como foco da aeção, sedo, coudo, os emas abordados de imporâcia esa aplicação..3. Modelagem diâmica O presee subiem aborda aálise diâmica liear e ão-liear. Assim como fora aeriormee realizado, quado da cosideração de modelagem acúsica, iicialmee se apreseam as equações básicas que regem o modelo. Em seguida, a solução do problema por iermédio de elemeos de cooro e de elemeos fiios é desacada. Diferees abordages são cosideradas, ao para a aálise com elemeos de cooro meodologias baseadas em uso de soluções fudameais diâmicas e esáicas quao para a aálise com elemeos fiios méodo de Newmar / Newo- Raphso e méodo implício de Gree / pseudo-forças..3.. Equações goveraes A equação de equilíbrio de momeo, edo-se em cosideração um volume uiário de um corpo coíuo, é dada por: 3

56 σ ij, j ρ u& i ρ bi =.5 ode σ ij represea as esões de auchy, usado-se a usual oação idicial para eixos caresiaos; u i represea deslocameos; b i esá associado a forças de domíio e ρ é a desidade de massa. A equação cosiuiva pode ser expressa, de forma icremeal, por: dσ = D dε dε σ dω σ ij ijl l l i j j dω i.6 ode os dois úlimos ermos dizem respeio às variações de esão roacioal de Zaremba-Jauma geralmee desprezíveis em casos de pequeas deformações. Em.6, Dijl é a mariz agecial, defiida por iermédio de variáveis de esado apropriadas e da direção do icremeo; ε ij é referee a possíveis deformações causadas por ações exeras, ais como variações de emperaura, creep ec.; e os compoees icremeais de deformação dε e roação dω são defiidos a parir dos deslocameos, coforme se idica a seguir: ij ij dε ij dω ij = / du = / du i, j j, i du du j, i i, j.7 osiderado-se comporameo liear para o modelo, a equação.8 é obida, relacioado o esado de esão e deformação auaes. A equação.8, cohecida como lei de Hooe, é uma simplificação da equação cosiuiva.6. σ =.8 ij λδ ij ε µε ij 3

57 Em.8, δ ij represea o dela de Kroecer δ ij =, para i=j e δ ij =, para i j. λ e µ são as cosaes de Lamé, defiidas em ermos de módulo de Youg E e do coeficiee de Poisso υ coforme se idica a seguir: µ = E / λ = Eυ [ υ ] / [ υ υ ].9 A equação de movimeo de Navier pode ser obida a parir das equações de equilíbrio.5, relações ciemáicas.7 e lei de Hooe.8, resulado em: c d cs u j, ji cs ui, jj u& b =.3 i i ode c d é a velocidade de oda de dilaação e c s é a velocidade de oda cisalhae: c c d s = λ µ / ρ = µ / ρ.3 Para se fializar a defiição do problema diâmico faz-se ecessário cosiderar as codições de cooro e codições iiciais auaes. Tais codições podem ser resumidas coforme se segue: i odições de cooro empo >, ao logo do cooro Γ = Γ Γ : ui X, = ui X, para X Γ τ i X, = σ ij X, j X = τ i X, para X Γ.3a.3b ii odições iiciais empo =, ao logo do cooro Γ e domíio Ω : ui X, = ui X.33a 3

58 u& X, = u& X.33b i i ode os valores prescrios esão idicados por barras sobreposas e τ i represea forças de superfície ao logo do cooro de ormal represeada pelo veor j. Para maiores dealhes relaivos à eoria da elasicidade, as seguies referêcias são idicadas: NOVOZHILOV 96; DYM & SHAMES 985; MARSDEN & HGHES 994. Aprofudameo eórico com relação à propagação de odas em meios elásicos pode ser alcaçado por iermédio das obras de AHENBAH 973 e ERIGEN & SHBI 975, ere ouras. Para uma abordagem mais ampla a cerca das relações ciemáicas e leis cosiuivas aqui cosideradas com especial efoque à eoria da plasicidade, recomeda-se os rabalhos de MALVERN 969; MENDELSON 983; HEN & HAN 988 e KHAN & HANG Solução com elemeos de cooro Aborda-se ese subiem duas meodologias de solução para o problema diâmico usado-se elemeos de cooro. A primeira meodologia aqui raada faz uso de soluções fudameais diâmicas MANSR, 983. Esa formulação permie que o problema rasiee seja cosiderado de forma aural, uma vez que as fuções de Gree empregadas são empo-depedee e aedem a pricípios diâmicos básicos, ais como o pricípio da causalidade. Desa forma, a solução do modelo pode ser realizada ão somee por iegrais de cooro forças de domíio e codições iiciais ão sedo cosideradas, orado o méodo em 33

59 quesão uma poderosa ferramea, em especial quado da cosideração de meios ifiios. Todavia, a formulação de elemeos de cooro baseada o uso de soluções fudameais diâmicas é cosideravelmee elaborada e pode se orar dispediosa para algus ipos de aplicação. A aálise de algus problemas ão-lieares, por exemplo, ora-se proibiiva com ese ipo de formulação, em virude do elevado grau de complexidade associado ao apropriado raameo das equações iegrais relacioadas e do elevado cuso compuacioal de al procedimeo TELLES e al., 999. A fim de se superar esa limiação, a uilização de formulações diâmicas de elemeos de cooro baseadas em soluções fudameais esáicas surge como aleraiva TELLES & ARRER, 994. Sedo a complexidade maemáica relacioada ao raameo das soluções fudameais esáicas iferior à das soluções fudameais diâmicas, algus problemas podem ser cosideravelmee simplificados uilizado-se ese ipo de formulação. ma vez que as soluções fudameais esáicas ão são empo-depedee, a iércia relaiva ao modelo diâmico precisa ser iroduzida arificialmee a formulação, fazedo-se uso de iegrais de domíio para al: iroduz-se uma mariz de iércia ou massa à aálise NARDINI & BREBBIA, 985. Para o raameo desas iegrais de domíio duas abordages básicas podem ser adoadas: méodo da dupla reciprocidade ou uso de células de iegração. No caso do méodo da dupla reciprocidade NARDINI & BREBBIA, 98, as iegrais de domíio relaivas ao ermo de iércia são subsiuídas por iegrais de 34

60 cooro, adoado-se, para al, rasformações apropriadas e ierpolação das variáveis de domíio. No presee rabalho, adoam-se células de iegração para o raameo dos ermos de iércia ARRER & TELLES, 99. Esa abordagem se mosra mais apropriada aos objeivos do presee rabalho. élulas de iegração ambém são adoadas para o raameo dos ermos ielásicos exisees a formulação. No erceiro capíulo acoplam-se as formulações diâmicas e esáicas aqui apreseadas, podedo-se eão limiar a uilização de células de iegração ão somee à zoa plásica do modelo Aálise baseada em soluções fudameais diâmicas A equação iegral que solucioa o problema descrio pelas equações é dada por MANSR, 983: c i ξ u ξ, = Γ Γ u τ i i * X, ; ξ, τ τ * X, ; ξ, τ u X, τ dγ X dτ X, τ dγ X dτ s X, ; ξ, τ.34 ode s X, ; ξ, τ represea possíveis iegrais de domíio, relaivas a codições iiciais e/ou forças o domíio. As soluções fudameais u i * e τ i * presees em.34 e obidas a parir de um impulso uiário aplicado o poo foe ξ, a direção i e quado = τ, são dadas por: πρ c u * X, ; ξ, τ = s i Ei Ls i Ls J i Ls N s H s cs / cd i Ld J i Ld N d H d.35 35

61 πρ c τ s i * X, ; ξ, τ = A i B D D i i 3 rls H s Ls [ H s / csτ ] N s Ls H s N d Ld H d cs / cd 3 3 r Ls H s N s Ls [ H s / csτ ] 3 3 r L H N L [ H / c τ ] i / r c / c / r d d d d d d s d.36 Nas equações.35 e.36 as seguies abreviações são adoadas os subscrios s e d referem-se a oda de cisalhameo e de dilaação, respecivamee. As equações relaivas a H d, L en podem ser facilmee obidas, basado subsiuir d d c s por c d em.37: H s [ c τ r] = H s L / s = cs τ r.37 N s = τ cs r Os esores A i, B i e D i a equação.36 e E i, i e J i a equação.35 são defiidos por: i ψ r, r / r A = µ δ,.38 i i i B i 3 r / r, r, 4 r / r, r, / = µ δ r.39 i i i i i r, r / r, r D = µ ψ,.4 i i Ei = δ.4 i i = δ i / r.4 J i = r, i r, / r.43 ode r = r X ; ξ é a disâcia ere o poo foe e o poo campo e as fuções ψ e r, i são dadas por: ψ = c c / c e r, = r r, respecivamee. d s s i i / 36

62 oforme fora realizado o subiem..., a fim de se implemear um esquema umérico empo depedee para a aálise bi-dimesioal com elemeos de cooro, ora-se ecessária a cosideração de poos discreos X j, j =,,..., J, ao logo do cooro Γ, e discreização emporal, =,,..., N. As compoees de deslocameo u X, e forças de superfície τ X, podem ser eão aproximadas coforme se segue: = J M u X, φ η X u.44a τ = J j= m= M j= m= m u j u X, φ τ m j m j m τ ητ X j.44b ode j η u e j η τ são fuções de ierpolação espaciais relacioadas a u e τ, respecivamee, correspodedo a um ó X j do cooro; m φ u e m φ τ são fuções de ierpolação emporais relacioadas a u e τ, respecivamee, correspodedo a um empo discreo m ; por fim, em-se a seguie correspodêcia relaiva às equações m m.44: u = u X, e τ = τ X,. j j m j j m Adoado-se oação maricial e levado-se em cosideração as aproximações uméricas acima apreseadas, a equação.34 pode ser escria para cada ó do cooro e para um passo de empo geérico, coforme idica a equação.45: = G T H m= m m m m G T H S.45 37

63 Na equação.45, e T são veores de deslocameo e de força de superfície, respecivamee, o passo de empo ; S é o veor relacioado às iegrais de domíio em.34; é a mariz relacioada ao parâmero geomérico c ξ ; e H e G são as marizes de ifluêcia calculadas para o empo. Para maiores dealhes a cerca da dedução e implemeação umérica relacioada à equação.45, as seguies referêcias bibliográficas são recomedadas, ere ouras: MANSR 983 e DOMINGEZ 993. i Iroduzido-se as codições de cooro.3 ao modelo, o sisema de equações.45 pode ser re-escrio como segue: A X = B Y L S.46 ode os ermos de X represeam os valores icógios de deslocameo ou força de superfície o empo discreo, equao os ermos de Y represeam valores correspodees, prescrios o cooro. L é o veor relacioado ao processo de covolução presee em.45, represeado a evolução da solução o empo, aé o passo de empo aual de aálise. O cálculo do veor L pode ser realizado de forma mais eficiee adoado-se rucameo do processo de covolução, coforme brevemee discuido o subiem.. e mais dealhadamee apreseado em SOARES JR & MANSR 4a. Por iermédio de.46 o modelo elasodiâmico pode ser solucioado a cada passo de empo. Para raameo de problemas diâmicos elasoplásicos, com elemeos de cooro, a formulação apreseada o subiem.3..., que se segue, é aqui adoada. 38

64 39 aso o leior se ieresse por mais dealhes a cerca da implemeação umérica relacioada à meodologia apreseada ese subiem, o rabalho de GALLEGO & DOMINGEZ 994b é idicado. Para o cálculo de gradezas derivadas, ais como esões e velocidades, o leior é direcioado às obras de ARRER & MANSR 999 e SOARES JR e al.. Problemas de isabilidade são discuidos em SIEBRITS & PEIRE 995 e Aálise baseada em soluções fudameais esáicas As equações iegrais que solucioam o problema diâmico deslocameos e esões, cosiderado soluções fudameais esáicas e esões iiciais, são dadas por TELLES & ARRER, 994: { } Ω Ω Γ Γ Ω Ω Γ Γ =, ; *,, ; *, ; *, ; *, X d X X X d X b X u X u X d X u X X d X X u u c P j ij i i i i σ ξ ε ρ ξ ξ τ τ ξ ξ ξ &&.47 { },, ; *,, ; *, ; *, ; *, X g X d X X X d X b X u X u X d X u X X d X X u P jl i P jl ijl j j ij j ij j ij i σ σ ξ ε ρ ξ ξ τ τ ξ ξ σ Ω Ω Γ Γ = Ω Ω Γ Γ &&.48

65 ode P σ jl represea os compoees da esão iicial plásica. As soluções fudameais u i *,τ i * e ε ij * presees em.47 e u ij *,τ ij * e ε ijl * presees em.48 são dadas por: u i * X ; ξ = [3 4υ l r δ i r, i r, ].49 8π υ µ / r τ i * X ; ξ = {[ υ δ i r, i r, ] r υ r, i r, i }.5 4π υ [ υ r, δ r, δ r, r, r, r ] / r ε ij * X ; ξ = j i ij i δ j i, j.5 8π υ µ u ij [ υ r, δ r, δ r, r, r, r, ] / r * X ; ξ = ij i j j δ i i j.5 4π υ τ ε ij ijl * X ; ξ = * X ; ξ = { µ /[ π υ r ]} { r [ υ r, δ υ r, δ r, δ 4r, r, r, ] υ r, r, j i r, i r, j 4υ jδ υ r, r, δ δ } i j i { µ / [ 4π υ r ]} { υ δ δ δ υ r, r, i j jl ij r, δ r, δ li i r, 8r, i l j r, j j i li r, δ r, j ij r, l i r, } l ij δ δ δ i jl j i r, r, δ ij j l i r, l j r, δ l j i r, δ l j ode r P = r /. O ermo livre g σ em.48 é dado por TELLES, 983: i jl p p { σ 4υ σ δ }/ { 8 υ } g i = i jj i.55 4

66 Para se resolver as equações.47 e.48, o cooro e o domíio do modelo são discreizados, empregado-se elemeos de cooro e células de iegração, respecivamee. Desa forma aproximações do ipo.56 são adoadas: J j u X, = η X u.56 j= u j ode j represea a variação das fuções de ierpolação pelos ós dos elemeos de cooro, o caso de resolução de iegrais de cooro, ou pelos ós das células de iegração, o caso de resolução de iegrais de domíio. Subsiuido aproximações uméricas do ipo.56 em.47 e.48, os seguies sisemas mariciais podem ser obidos sub-ídice c represea cooro; subídice d represea domíio: I c d = cc dc cc dc G G M M cd dd M M c c d T && && cc dc cc dc H H W W cd dd W W c d c d O O p p S.57 c d O O = cc dc dc G' G' M' dd M' c c d T && && cc dc cc dc H' H' W' W' dd c d W' dd W' c d O O p p S'.58 Escrevedo as equações.57 e.58 de forma mais cocisa, obém-se: = GT H M& WO p S.59 O = G'T H' M'& W'O p S'.6 4

67 ode H, H, G, G são marizes de ifluêcia providas de iegrais de cooro e M, M, W, W são marizes de ifluêcia providas de iegrais de domíio. é a mariz geomérica I é a mariz ideidade, relaiva aos parâmeros c i em.47. O é o veor de esões e O P é o veor de esões plásicas. e S e W ' diz respeio aos ermos livres.55 S' são referees a forças de domíio. Para maiores dealhes sobre dedução e implemeação umérica relacioada às equações.57-.6, as seguies referêcias bibliográficas são recomedadas: ARRER, 99; ARRER & TELLES, 993. Para se raar as iegrações o empo, resaes em.59 e.6, algum esquema baseado em difereças fiias pode ser adoado. O presee rabalho faz uso do méodo de Houbol para al fialidade HOBOLT, 95. Levado-se em cosideração o méodo de Houbol, em-se: 3 & = 5 4 /.6 3 & = 8 9 /6.6 Subsiuido-se.6 em.59 e.6, obém-se: H GT = L WO p S.63 O = G'T H' L' W'O p S'.64 ode H = H M / e 3 L = M 5 4 / em.63. Em.64, em-se: H ' = H' M' / e 3 L ' = M' 5 4 /. Iroduzido-se as codições de cooro.3 ao modelo, os sisemas de equações.63 e.64 podem ser re-escrios como segue: 4

68 A X = B Y L WO p S.65 O = B'Y A'X L' W'O p S'.66 Por fim, os sisemas.65 e.66 podem ser escrios de forma mais compaca, coforme idicado em.67 e.68, respecivamee: X Y = WO.67 p O Y' = W'O.68 p ode os veores efeivos Y e Y ' e as marizes efeivas W e W ' são dados por: B Y L S Y = A.69 Y ' = B 'Y A'Y L' S'.7 W = A W.7 W' = W A'W.7 Para se resolver o problema ão-liear em quesão equações.67 e.68, adoa-se um esquema ieraivo para o cálculo das esões do modelo resolução do problema.68. ma vez que se obeha covergêcia o esquema ieraivo do cálculo das esões, resolve-se o sisema.67 e pare-se para o próximo passo de empo, dado coiuidade à aálise. A seguie relação icremeal ere as esões plásicas e elásicas é aqui adoada para formulação do algorimo ieraivo de solução das esões: 43

69 O p = D P O e = O e O.73 ode D P é a mariz cosiuiva plásica e O é o icremeo de esões. Por iermédio de.68 e.73, o seguie algorimo ieraivo implício de solução pode ser obido ARRER & TELLES, 994: Wp O e = Ψ.74 Ψ = Y' WI O p O e.75 ode W p = I W D e W = I W' I P I. Por iermédio de o modelo diâmico ão-liear em quesão pode ser solucioado a cada passo de empo. Para maiores dealhes sobre o problema elasoplásico e sua solução por elemeos de cooro, as seguies referêcias são sugeridas ao leior: TELLES 983; TELLES & ARRER 99. Para algumas abordages elasoplásicas em aálise diâmica, com elemeos de cooro, aleraivas à apreseada ese subiem, os rabalhos de KONTONI & BESKOS 993 e TELLES e al. 999 podem ser idicados, ere ouros. Para o esudo de algus esquemas de iegração o empo, em problemas elasodiâmicos, aleraivos ao méodo de Houbol equações.6-.6, as seguies referêcias são apoadas ao leior: HIEN & W e ARRER & MANSR Solução com elemeos fiios Nese subiem apresea-se a solução do problema diâmico ão-liear por iermédio de elemeos fiios. Duas abordages ciemáicas semi-discreas são aqui 44

70 adoadas: méodo de Newmar / Newo-Raphso e méodo implício de Gree / pseudo-forças. No méodo de Newmar / Newo-Raphso, para a solução o empo do sisema de equações que se obém pela discreização espacial usado elemeos fiios, adoamse relações ere deslocameos e suas derivadas emporais baseadas em esquemas de difereças fiias méodo de Newmar; o méodo de Newo-Raphso é uilizado para o raameo do problema ão-liear, sedo base para o esquema ieraivo ZIENKIEWIZ & TAYLOR,. No méodo implício de Gree, a solução o empo do sisema de equações se dá pela uilização de fuções de Gree, calculadas impliciamee SOARES JR,. Esa meodologia propicia, o passo de empo corree, o desacoplameo ere as icógias deslocameo e forças odais auaes. Desa forma, processos ieraivos oram-se desecessários em várias aplicações, orado a meodologia em quesão basae araiva. O méodo implício de Gree é icodicioalmee esável e de seguda ordem, depededo dos parâmeros que se adoe para o cálculo das fuções de Gree, coforme será discuido. Associado ao méodo implício de Gree, o méodo das pseudo-forças é aqui uilizado para o raameo do problema ão-liear STRIKLIN & HAISLER, Méodo de Newmar / Newo-Raphso As seguies equações icremeal-ieraivas descrevem o modelo diâmico ãoliear, cosiderado-se discreização espacial por elemeos fiios JAOB & EBEKEN, 994: 45

71 M & & K T = R.76 = = ode M, e K T são marizes de massa, amorecimeo e rigidez mariz agee, respecivamee; R é o veor resíduo; é o veor icremeal de deslocameos e é a variação do veor icremeal de deslocameos, calculados a cada passo ieraivo. osiderado-se a mariz de amorecimeo como sedo proporcioal às marizes de massa e rigidez, em-se: = α M α K.79 m T ode α m e α são coeficiees de proporcioalidade. Adoado-se - = e levado-se em cosideração a relação.77, o méodo de Newmar forece: & = ' && / β = ' & / β.8 & = ' & γ / β = ' & γ / β.8 ode os prediores de aceleração & ' e velocidade & ' são dados por: & ' = / & ' = & & β /β.8 & & γ / β γ /β.83 46

72 azedo-se uso das equações.79 e.8-.8, a equação.76 pode ser reescria como segue: M K T { [ ' && / β ] [ ' & γ / β ] αm} { [ ' & γ / β ] α } = R.84 Esado a equação.84 esabelecida, pode-se eão raspor os ermos cohecidos a ieração para o lado direio da equação de movimeo, formadose assim um veor efeivo de resíduos. oudo, al procedimeo resula em diversas muliplicações pela mariz global K T, orado desa forma o algorimo compuacioalmee oeroso. A fim de se er um algorimo mais eficiee, defie-se o veor como o ermo ere parêeses que muliplica K T em.84, ou seja: = { ' γ / β } α &.85 e de forma reversa, escreve-se em fução de como segue: { α ' γ / β }/ { α γ / β } = &.86 Iroduzido-se em.84 a defiição.85, e rasferido-se os ermos já cohecidos a ieração para o lado direio da equação, obém-se: M = { / β α mγ / β } K T = R M {[ ' && / β ] α [ ' & γ / β ] } m.87 47

73 Subsiuido.86 em.87 e mais uma vez rasferido-se os ermos já cohecidos a ieração para o lado direio da equação de movimeo, o seguie sisema fial efeivo pode ser obido: A = B.88 ode a mariz efeiva A, bem como o veor efeivo B, são defiidos por: A Mα = B = M K T R { ' && / β α α α ' & γ / β } m.89.9 sedo a cosae α dada por: { / β α γ / β }/ { α γ / β } α.9 = m Por iermédio de.88 o modelo diâmico ão-liear pode ser solucioado usado-se o méodo dos elemeos fiios com formulação de Newmar / Newo- Raphso. Para uma abordagem mais dealhada sobre a formulação aqui apreseada, o rabalho de JAOB e EBEKEN 994 é idicado. As seguies referêcias de igual forma são idicadas para aprofudameo o ópico: RISIELD 99; BATHE 996; BELYTSHKO e al. ; ZIENKIEWIZ & TAYLOR. Para efoque cosiderado-se aálises elasoplásicas com elemeos fiios, as obras de HINTON & OWEN 98 e SIMO & HGHES 998 são aqui sugeridas, ere muias ouras. 48

74 Méodo implício de Gree / pseudo-forças As expressões aalíicas para deslocameos e velocidades, respecivamee, que resolvem a versão liear das equações de movimeo.76 são dadas por SOARES JR & MANSR, 4b: & = G = G& G& M G&& M G M& G& M& G G&.9 ode e & são os veores codições iiciais do problema; G represea as marizes fuções de Gree do modelo; e o símbolo idica covolução. As marizes G podem ser obidas pela solução do modelo usado elemeos fiios e supodo forças odais auaes do ipo impulsivas. Desa forma, o carregameo ao logo do empo, para o cálculo das marizes G, é dado coforme se idica a seguir: = Iδ.93 ode I é a mariz ideidade e δ represea a fução dela de Dirac. O presee rabalho, odavia, faz uso da relação física impulso = variação de movimeo equação.94, e as fuções de Gree são obidas pela solução de um problema de codição iicial de velocidade. M G & = I δ d.94 49

75 5 Desa forma, para o cálculo das fuções de Gree do modelo, o seguie problema de codições iiciais é aqui cosiderado a equação.95 é obida a parir de.94: =M G &.95 G =.96 No presee rabalho, ehuma expressão aalíica é adoada para o cálculo das marizes de Gree G e de suas derivadas. Méodos uméricos são aqui empregados para al fialidade, em especial o méodo de Newmar. osiderado-se um passo de empo suficieemee pequeo, as iegrais de covolução exisees em.9 podem ser aproximadas como se segue: d d G G G G & & τ τ τ τ τ τ.97 [ ] [ ] / / d d G G G G G G & & & τ τ τ τ τ τ.98 ode as expressões.98, quadraura de Newo-oes de dois poos é adoada. As aproximações.97, em cora-parida, são equivalees ao resulado que se oberia usado-se aálise discrea algorimos DT/T o domíio da freqüêcia SOARES JR & MANSR, 3.

76 As aproximações.97 podem parecer demasiado simplificadas em relação às aproximações.98 ou muias ouras possíveis aproximações; coudo, coforme se irá demosrar maemaicamee, as aproximações.97 forecem os mesmos resulados que as aproximações.98 para a maior pare dos problemas usuais de egeharia. No presee exo, as aproximações.97 são cosideradas as deduções que se seguem; subsiuição pelas aproximações.98 a formulação é rivial. osiderado-se as aproximações.97, relações recursivas podem ser obidas a parir das equações.9, o passo de empo, supodo-se que a aálise se iicia o passo de empo aecedee codições iiciais relacioadas ao passo de empo -. Desa forma: & = = G G& M G M& G G& G&& M G& M& G&.99 Nas equações.99, as marizes iiciais de Gree G são dadas pelas expressões , e as marizes de Gree relaivas ao primeiro passo de empo, G, são aqui calculadas pelo méodo de Newmar. Resolvedo-se o problema de codições iiciais pelo méodo de Newmar, as seguies expressões baseadas a formulação de elemeos fiios são obidas para as marizes de Gree o primeiro passo de empo: G {/ β I γ / β /β M γ /β M } = A M. & = G γ / β γ / β M γ /β M M. G G & = G / β / β M /β M M. ode a mariz efeiva A é dada por: 5

77 A = K / β M γ / β.3 Esado as expressões para as marizes de Gree G descrias em.-., basa eão subsiui-las as relações de recorrêcia.99, obedo-se assim o algorimo implício de Gree para o cálculo dos deslocameos e velocidades. Todavia, coforme se mosra em SOARES JR & MANSR 4b, al procedimeo gera um algorimo compuacioalmee oeroso. A fim de se ober um algorimo eficiee, algumas simplificações devem ser cosideradas a formulação. As simplificações aqui adoadas são: i cosidera-se a mariz de amorecimeo proporcioal à mariz de massa = M; ii cosidera-se αm γ = β o méodo de Newmar o que é aedido pela regra rapezoidal, por exemplo. osiderado-se as aproximações acima discuidas e as expressões.-., bem como as expressões , o seguie algorimo implício de Gree pode ser obido a parir das equações.99: A = M c c &.4 = c3.5 & = c c c & B.6 ode a mariz efeiva A é dada por.3 e o veor efeivo B é dado por.7. B = M.7 As cosaes c i presees em.4-.6 são defiidas como: 5

78 c c c c c c = = = /β α m / β γ / β α m / γ / β α c c = γ α = α m m c 3 5 c = γ / β m γ c α m c.8 O algorimo de solução defiido pelas equações.4-.6 permie o desacoplameo ere os deslocameos relaivos ao passo de empo aual e as forças odais auaes ese mesmo passo de empo. oforme idica a equação.6, as forças odais auaes o passo de empo só iflueciam o cálculo das velocidades o empo ; os deslocameos são fução ão somee de variáveis relaivas a passos de empo precedees equação.5. Ese fao permie que a aálise do problema ãoliear elasoplásico o processo ieraivo de solução possa ser elimiado. No presee subiem, faz-se uso do méodo das pseudo-forças STRIKILIN & HAISLER, 977; OTINHO e al., 988 para o raameo elasoplásico do modelo. A equação ão-liear de movimeo pode ser escria, de forma aleraiva a equação.76, como segue: & & f.9 M = ode f é um veor de forças elásicas ou elasoplásicas que depede das icógias deslocameo odal; f represea o veor de forças odais equivalee ao esado aual de esões. osiderado pequeas deformações, as deformações oais podem ser defiidas como combiação de duas compoees: uma liear e oura ão-liear. Assim sedo, o veor f pode ser expresso como a soma de coribuições lieares e ãolieares, como segue: 53

79 { K K } f. = L NL ode K L é a mariz de rigidez liear e K NL é a mariz resposável por possíveis coribuições ão lieares e cujos elemeos depedem dos deslocameos odais. Tedo-se em visa as equações.9 e., o algorimo.4-.6 pode ser facilmee adapado a fim de se cosiderar as coribuições ão-lieares acima discuidas, basado para isso se redefiir o veor efeivo B como segue: B = M R. ode o veor pseudo-forças R é dado por: { K } R = NL. Para uma maior eficiêcia a meodologia de solução proposa, deve-se adoar mariz de massa diagoal, o que ora o cálculo do veor efeivo B rivial. As simplificações aqui adoadas para o desevolvimeo do algorimo.4-.6 são usuais em muias meodologias uméricas, comumee uilizadas em egeharia. O algorimo.4-.6 pode ser redefiido de forma ieraiva, coudo, caso as simplificações em quesão orem-se iapropriadas. Escrevedo-se a mariz de massa como a soma de duas marizes, M = M M D, ode M D é diagoal, e adoado-se a mariz de amorecimeo como defiida em.79, o seguie sisema ieraivo de equações pode ser obido a exigêcia γ = β permaece: 54

80 55 m D m D K M R K M M & & && & && α α α = =.3 Desa forma, a base do algorimo.4-.6 pode ser maida subsiui-se M por M D em.4 e o ovo veor efeivo relacioado ao algorimo ieraivo que se obém é dado por: { } m D = K M R M B & & && α α.4 aso a mariz de massa seja diagoal domiae e M m α seja a coribuição mais sigificaiva às forças de amorecimeo o algorimo ieraivo proposo deve covergir rapidamee. A fim de se esudar a esabilidade e precisão do algorimo.4-.6, cosidera-se o problema de um grau de liberdade. A equação liear de movimeo relaiva a ese modelo é dada por: w w = & & & ξ.5 ode ξ é a axa de amorecimeo e w é a freqüêcia aural do modelo. A solução da equação.5 pode ser escria, de forma recursiva, a parir de: A L = = L L A A A A & & &.6

81 Tabela. Termos da mariz de amplificação e do veor operador de carga para os méodos de Gree-Newmar e Newmar Mariz de amplificação Veor operador de carga Gree-Newmar A w ξ 8β 4γ ξ γ β = / w ξ 4γ β γ wξγ A = { w ξ 4β γ wξγ } / A { w ξ 4β γ wξ } A 3 3 { w ξ γ β w β γ wξ } A A = w γ / A = γ / A L = ; L = equação.97 ou L =. 5 A ; { L = A. 5 } equação.98 Newmar 3 3 { w ξ β γ w β.5 wξ } A A = { w ξ 4β γ wξ γ } / A A = w { w β.5γ } / A 3 3 { w ξ γ β w β γ wξ } A A = γ / A = γ / L.5 wξγ = / 3 L.5 β wξβ γ β γ 3 = / w γ β w β γ β γ A A ode A = w β wξγ 56

82 ode os ermos da mariz A mariz de amplificação e do veor L operador de carga, levado-se em cosideração o méodo de Gree-Newmar marizes de Gree calculadas pelo méodo de Newmar e o méodo de Newmar, são apreseados a Tabela.. Apresea-se a seguir uma breve discussão a cerca da mariz de amplificação A e do veor operador de carga L: i Mariz de amplificação omparado-se as expressões apreseadas a Tabela., pode-se perceber que os ermos A e A são sempre os mesmos, ao para o méodo de Gree-Newmar, quao para o méodo de Newmar. A difereça ere as duas meodologias esá eão focada a forma como deslocameos iiciais e forças aplicadas são raados; velocidades iiciais são igualmee cosideradas por ambas meodologias. zoa de esabilidade zoa de isabilidade /T β γ igura. Zoas de esabilidade e isabilidade para o méodo de Gree-Newmar, como fução dos parâmeros de Newmar γ e β e do passo de empo ormalizado /T, para ξ = : superfície limie do raio especral χ A =. 57

83 osiderado-se a regra rapezoidal γ =.5 e β =.5 e supodo modelo ão amorecido ξ =., pode-se perceber que ambas marizes de amplificação oram-se por compleo idêicas. Nese caso ambos os méodos são icodicioalmee esáveis e de seguda ordem. De forma geral, a ordem de precisão dos dois procedimeos é basicamee a mesma, de acordo com os parâmeros de Newmar adoados. A esabilidade do méodo de Gree-Newmar pode ser deermiada em fução do raio especral da mariz de amplificação. Na igura., as regiões de esabilidade e isabilidade do méodo de Gree-Newmar são mosradas como fução dos parâmeros de Newmar γ e β e do passo de empo ormalizado /T, T é o período aural, para ξ =.. A superfície mosrada a igura., que é a froeira ere as regiões esável e isável, é obida cosiderado-se o raio especral da mariz de amplificação como sedo uiário χa =. Para χa o méodo é cosiderado esável. Para uma discussão mais ampla a cerca da mariz de amplificação A, cosiderado iclusive resulados relaivos ao uso de ouras meodologias uméricas que ão Newmar para o cálculo das fuções de Gree do modelo, a seguie referêcia é idicada: SOARES JR & MANSR 4b. A adoção do méodo implício de Gree gera ormalmee propriedades uméricas disias das dos méodos com os quais o cálculo das fuções de Gree esá associado. Esas ovas propriedades uméricas podem ser uilizadas para o desevolvimeo de abordages mais apropriadas a algus problemas específicos dissipação de modos de freqüêcias elevadas ec.. ii Veor operador de carga No méodo implício de Gree, o veor operador de carga, apreseado a Tabela., esá baseado as aproximações.97 ou.98. É imporae se oar que as aproximações idicadas em.97 para o processo de covolução são complemeares: 58

84 59 a solução de deslocameos e velocidades, a ifluêcia das forças auaes é subesimada e superesimada, respecivamee, pelas expressões.97. Resolvedo-se os deslocameos e velocidades complemearmee, coforme idicado o algorimo.4-.6, os erros relacioados às aproximações.97 são desa forma miimizados. Em verdade, as aproximações.97 e.98 forecem o mesmo resulado para a variável deslocameo, coforme se mosra a seguir. Supodo =, em-se para os primeiros 3 passos de empo a parir das expressões.99 a seguie oação é adoada M G G Φ & = ; M G Φ = ; M G G Φ && & & = ; M G Φ & & = : Adoado-se as aproximações.97: = = = M V M Φ Φ Φ Φ & & & & & = = = M V M G V Φ Φ G V Φ Φ & & & & = = = M V M G V Φ Φ G V Φ Φ & & & & Adoado-se as aproximações.98: / / = = = M V M Φ Φ Φ Φ & & & & & / / / / / = = = M V M G G V Φ Φ G G V Φ Φ & & & & & / / / / / = = = M V M G G V Φ Φ G G V Φ Φ & & & &

85 oforme se pode oar, os deslocameos são os mesmos, a cada passo de empo, para as duas formulações. O mesmo ão ocorre com as velocidades, ereao. Aalisado-se a Tabela., pode-se oar que se os parâmeros de Newmar γ =.5 e β =. são cosiderados difereça ceral, bem como ξ =., os ermos dos operadores de carga são os mesmos para o méodo de Gree-Newmar aproximações.98 e méodo de Newmar. Demais comparações podem ser realizadas ere as duas meodologias, em fução dos parâmeros de Newmar adoados. De acordo com a experiêcia do auor, aproximações do ipo.97 ou.98 forecem bos resulados, adoado-se passos de empo usualmee cosiderados para se eviar erros subsaciais em relação à mariz de amplificação. Desa forma, a escolha do passo de empo de aálise, as resrições relaivas aos operadores de carga geralmee ão são cosideravelmee mais sigificaivas do que as resrições relaivas à mariz de amplificação. Para uma abordagem mais ampla a cerca do méodo implício de Gree / pseudoforças, as seguies referêcias são idicadas: SOARES JR & MANSR 3, 4b, 4c. omo lieraura correlacioada, o rabalho de NG 997 é mecioado..4. Aplicações uméricas Nese subiem, algus resulados relaivos ao méodo de elemeos de cooro e ao méodo de elemeos fiios são apreseados problema diâmico. As abordages aqui cosideradas focam as coribuições origiais do presee rabalho a lieraura e.g., rucameo do processo de covolução, méodo implício de Gree ec.. 6

86 .4.. Elemeos de cooro O primeiro exemplo de aplicação é referee à aálise de uma colua reagular esado plao de deformação, sujeia a um carregameo do ipo Heaviside MANSR, 983. m modelo esquemáico da colua em quesão é apreseado a igura.a. Para o raameo umérico do modelo proposo, adoa-se o méodo dos elemeos de cooro com formulações baseadas em soluções fudameais diâmicas e esáicas. A malha de elemeos de cooro adoada é composa de 48 elemeos lieares igura.b. Para o caso da solução por elemeos de cooro com soluções fudameais esáicas, adoam-se 56 células riagulares lieares de iegração ao logo do domíio igura.c. As propriedades físicas da colua são: υ =.5 Poisso; µ = 4MPa Módulo de cisalhameo; c d = 346.4m/s velocidade da oda de dilaação; c s = m/s velocidade da oda de cisalhameo. Geomericamee a colua é defiida por: a = m; b = 4m. O carregameo aplicado é uiformemee disribuído a exremidade superior da colua, sedo ese, ao logo do empo, do ipo Heaviside com ampliude uiária. Para aálise com elemeos de cooro baseada em soluções fudameais diâmicas, o passo de empo adoado é: = s β, ode β = c d / l, sedo l o comprimeo do elemeo de cooro; usado-se formulação baseada em soluções fudameais esáicas, o passo de empo cosiderado é: =.5-4 s β /3. De acordo com a lieraura especializada, esas discreizações emporais são idicadas para o modelo e os méodos uméricos em aálise MANSR, 983; ARRER, 99. 6

87 f A B b a b c a igura. Aálise com elemeos de cooro: a modelo esquemáico; b malha de elemeos de cooro; c malha de células de iegração...5 Deslocameos o poo A mm Tempo s Deslocameos o poo B mm Tempo s orças de superfície o poo N/m Tempo s Tesões o poo B N/m Tempo s igura.3 Deslocameos, forças de superfície e esões o modelo cosiderado aálise por elemeos de cooro: ME com soluções fudameais diâmicas; OOO ME com soluções fudameais esáicas; Solução aalíica. 6

88 Erro % Passo de empo κ = κ = 3 κ = Erro % Passo de empo κ = 5 κ = Erro % Passo de empo κ = Φκ = 3% Φκ = 5% Φκ = 75% Erro % Passo de empo κ = 5 κ = Erro % Passo de empo κ = Erro % Passo de empo κ = κ = κ = Φκ = 5% Φκ = 75% Φκ = 5% Erro % Passo de empo κ = κ = Erro % Passo de empo κ = κ = κ = Erro % Passo de empo κ = 3 κ = Φκ = 5% Φκ = 5% Φκ = 3% Erro % Passo de empo κ = κ = 4 κ =.6.4. Erro % Passo de empo κ = 4 κ = Erro % Passo de empo κ = 4 κ = Φκ = % Φκ = % Φκ = % a b c igura.4 Erros resulaes do rucameo da covolução cosiderado-se diversos valores para os parâmeros Φ e κ: ierpolação muli-liear a Θ =.; b Θ =.5; c ierpolação com poliômios de hebyschev-lagrage 63

89 Tabela.3 uso da aálise cosiderado rucameo da covolução Tempo de P* % Memória* % Φ κ % Muli-liear hebyschev-lagrage % quado Φ = % 64

90 Apresea-se a igura.3 resulados de deslocameos, forças de superfície e esões, para algus poos da colua poos A, B e, ver igura.a. Resulados aalíicos MILES, 96 ambém são apreseados a igura.3. oforme se pode oar, ambas meodologias de elemeos de cooro forecem bos resulados em ermos de precisão. Os resulados para esões o poo B ME com soluções fudameais diâmicas, apreseados a igura.3, são obidos pelo méodo da derivada complexa, de acordo com SOARES JR e al.. Embora a precisão dos resulados baseados em soluções fudameais diâmicas seja boa, seu cuso compuacioal é elevado: o processo de covolução desa formulação é compuacioalmee muio oeroso. Para se ober uma formulação mais eficiee, adoa-se a presee aplicação os procedimeos de rucameo do processo de covolução previamee discuidos Tabela.. osiderado-se diversos valores para os parâmeros de rucameo κ, Φ e Θ, gráficos de erro soluções rucadas em relação a soluções sem rucameo ao logo dos passos de empo são apreseados a igura.4. Os gahos compuacioais obidos com a adoção do rucameo do processo de covolução em relação a aálises ão rucadas são apreseados a Tabela.3. oforme se pode oar, grade ecoomia o processameo compuacioal pode ser obida por iermédio do rucameo proposo, sem grade perda de precisão os resulados. Resulados para deslocameos o poo A, cosiderado-se algus procedimeos de rucameo, são apreseados a igura.5. Soluções fudameais diâmicas apreseam coíuo decaimeo de ampliude com o empo, semelhae a fuções do ipo f =. Desa forma, ierpolações lieares das mesmas são sempre superesimadas. ma vez que para β soluções com elemeos de cooro 65

91 geralmee iroduzem pequeo amorecimeo umérico, os resulados relacioados ao rucameo do ipo muli-liear, presees a igura.5, esão mais próximos da solução aalíica que os resulados ão rucados a solução fudameal é superesimada. Os procedimeos de rucameo da covolução são especialmee úeis quado da aálise de meios ifiios SOARES JR & MANSR, 4a. Para eses ipos de aplicação, os erros associados são cosideravelmee meores, o que possibilia a adoção de parâmeros de rucameo que impliquem em maior gaho compuacioal. Desa forma, acoplado-se elemeos de cooro com elemeos fiios, o méodo de elemeos de cooro ora-se uma poderosa ferramea para modelagem de cooros ão reflexivos. Deslocameos o poo A mm Solução sem rucameo Ierpolação hebyschev-lagrage κ = 3 ; Φ = Ierpolação muli-liear κ = ; Φ = 5 ; Θ =. Ierpolação muli-liear κ = ; Φ = 5 ; Θ = Tempo s igura.5 Deslocameos o poo A a/,b levado-se em cosideração rucameo do processo de covolução. 66

92 .4.. Elemeos fiios Aalisa-se aqui uma laje em balaço, coforme esquemaizado pela igura.6a SOARES JR & MANSR, 4b. O presee modelo é sujeio a um carregameo uiformemee disribuído, aplicado sobre a superfície superior da laje. O carregameo em quesão é do ipo Heaviside o empo. 8 elemeos fiios riagulares lieares são adoados a discreização do modelo, coforme mosra a igura.6b. As propriedades físicas do sisema em quesão são: υ = /3 Poisso; E = N/m Módulo de Youg; ρ =.5Ns /m 4 massa específica. riério de escoameo de vo Misses é cosiderado, sedo a esão de escoameo σ =.6N/m. Geomericamee a laje é defiida por: a =.m; b =.5m. O passo de empo adoado é dado por: =.5 - s. Resulados para os deslocameos vericais o poo A igura.6a são apreseados a igura.7. Nas aálises aqui realizadas com o méodo de Gree- Newmar e Newmar, adoa-se a regra rapezoidal para defiição dos parâmeros de Newmar. No caso da solução elásica do modelo, os resulados com os méodos de Gree-Newmar e de Newmar são praicamee coicidees, sedo raçados apeas uma vez a igura.7. Para o caso elasoplásico, duas aálises são realizadas cosiderado-se o méodo de Newmar / Newo-Raphso: a primeira adoa uma olerâcia bem aperada para a covergêcia do processo ieraivo a fim de ser er boa precisão olerâcia -5 a checagem de resíduos e deslocameos; a seguda ão faz uso do processo ieraivo quado da solução aálise passo a passo o empo. oforme se pode oar por 67

93 iermédio da igura.7, o méodo implício de Gree, associado a pseudo-forças, forece bos resulados sem fazer uso de ehum processo ieraivo para o raameo ão-liear. O mesmo ão acoece em relação ao méodo de Newmar / Newo- Raphso. Resulados relaivos ao méodo de Newmar com pseudo-forças ambém são apreseados a igura.7. Adoado-se uma boa olerâcia para a covergêcia do processo ieraivo, os resulados de Newmar / pseudo-forças covergem para os resulados de Newmar / Newo-Raphso apreseados a igura.7 com processo ieraivo. Limiado-se a aálise a ierações por passo de empo, a precisão do méodo de Newmar / pseudo-forças ambém é afeada, como se mosra a igura.7. omparado-se o empo de P, o méodo implício de Gree / pseudo-forças em um cuso de aproximadamee 43% do méodo de Newmar / Newo-Raphso olerâcia -3, para a presee aplicação. oforme se pode perceber pelo presee exemplo, o méodo implício de Gree mosra-se uma poderosa e eficiee ferramea de aálise. A fim de se avaliar sua precisão para variadas escolhas dos parâmeros de Newmar β e γ, resolve-se a seguir o problema massa-mola sisema com um grau de liberdade, ão amorecido sujeio à codição iicial de deslocameo uiário. Gráficos de erros decaimeo de ampliude e alogameo do período em relação à solução aalíica fução co-seo são apreseados a igura.8, cosiderado-se os méodos de Newmar e Gree- Newmar. Os gráficos relaivos à regra rapezoidal β =.5 e γ =.5 ambém são raçados para comparação a regra rapezoidal, as marizes de amplificação dos méodos de Newmar e Gree-Newmar são iguais. 68

94 y A f a a b x b igura.6 Aálise com elemeos fiios: a modelo esquemáico; b malha de elemeos fiios. Deslocameos o poo A m Gree-Newmar ou Newmar Gree-Newmar / Pseudo-forças Newmar / Newo-Raphso olerâcia aperada Newmar / Newo-Raphso sem processo ieraivo Newmar / Pseudo-forças ierações por passo de empo elásica elasoplásica Tempo s igura.7 Deslocameos o poo A,b/ cosiderado-se aálise elásica e elasoplásica por elemeos fiios: solução o empo pelos méodos de Newmar e de Gree-Newmar. 69

95 5 Newmar Gree-Newmar Regra Trapezoidal Newmar Gree-Newmar Regra Trapezoidal 8 E -5 6 T E E % - -5 E % 4 - a /T /T b E % Newmar Gree-Newmar Regra Trapezoidal /T E % Newmar Gree-Newmar Regra Trapezoidal 8 E T E /T c E % Newmar Gree-Newmar Regra Trapezoidal /T E % Newmar Gree-Newmar Regra Trapezoidal 8 E T E /T igura.8. Decaimeo de ampliude E e alogameo de período E cosideradose algumas escolhas de β e γ para os méodos de Newmar e Gree-Newmar: a β =. e γ =.5; b β =.7563 e γ =.55; c β =.35 e γ =.6 Regra rapezoidal: β =.5 e γ =.5. 7

96 Quado da escolha de parâmeros β e γ que proporcioam amorecimeo umérico, al amorecimeo geralmee é mais aceuado, cosiderado-se pequeos passos de empo, o méodo de Gree-Newmar para passos de empos maiores a siuação se ivere. Desa forma, os decaimeos de ampliude, apreseados a igura.8, são mais elevados quado se cosidera o méodo de Gree. O alogameo do período, em coraparida, é maior para o méodo de Newmar. Para valores β =. e γ =.5 difereças cerais o méodo de Newmar é codicioalmee esável; o méodo de Gree-Newmar, por ouro lado, é isável, a meos que amorecimeo seja cosiderado. 7

97 3 Sisemas com acoplameo de ierface

98 3.. Irodução No presee capíulo se iicia a aálise de sisemas acoplados. Sisemas com acoplameo de ierface são aqui cosiderados, esado a aálise de sisemas com acoplameo de domíio a cargo do próximo capíulo. osidera-se ese capíulo acoplameo ere sisemas fisicamee similares bem como ere sisemas fisicamee disios. Em ambos os casos, acoplameos ere diferees écicas de discreização são aqui efocados; mais em específico, acoplameos ere diferees meodologias de elemeos de cooro e de elemeos fiios. Variadas écicas de acoplameo são apreseadas ao logo do exo, sedo boa pare das mesmas coribuições origiais do presee rabalho. As diferees écicas aqui apreseadas são discuidas e comparadas ere si, desacado-se as vaages e limiações relacioadas. Ao fim do presee capíulo uma ampla gama de exemplos uméricos, ricamee ilusrados, são apreseados. A aálise dos resulados obidos ao logo dos exemplos esede a discussão relaiva às diferees écicas de acoplameo ese rabalho cosideradas. Problemas de ieração do ipo solo-fluido-esruura são aqui efocados, sedo esa uma aplicação ípica em egeharia, relacioada a acoplameos de ierface. Ao logo do presee capíulo uma série de abelas são apreseadas, resumido os passos básicos referees a cada algorimo de acoplameo abordado. Procura-se, desa forma, faciliar a compreesão e implemeação compuacioal dos mesmos. 73

99 3.. Acoplameo ere sisemas fisicamee similares O presee subiem aborda o acoplameo de ierface ere sisemas que descrevem feômeos físicos similares. Problemas de ieração do ipo esruuraesruura, fluido-fluido ec., se equadram esa caegoria de acoplameo. O efoque do presee subiem esá o acoplameo ere diferees processos de discreização, em específico: acoplameos ipo ME-ME e ME-ME. No exo que se segue, discue-se ão somee acoplameo de sisemas do ipo sólido-sólido. Ouros ipos de acoplameo, cabíveis a ese subiem fluido-fluido ec., apreseam formulação semelhae, podedo ser facilmee deduzidos a parir da meodologia aqui apreseada Acoplameo ME-ME Esado o modelo dividido em sub-regiões modeladas por elemeos de cooro sub-ídice e por elemeos fiios sub-ídice, a ierface Γ I ere esas subregiões deve aeder às seguies codições, a cada passo de empo, cosiderado-se acoplameo do ipo sólido-sólido SOARES JR & VON ESTOR, 4: i odições de ierface ao logo da ierface de acoplameo Γ I : ~ T = 3.a = 3.b ode as equações 3.a e 3.b represeam as codições de equilíbrio e coiuidade a ierface de acoplameo, respecivamee. Para se ober cosisêcia ere a 74

100 75 formulação de elemeos de cooro e a de elemeos fiios, adoa-se T ~ para simbolizar forças odais equivalees, obidas a parir da disribuição de forças de superfície T. Três formulações disias são aqui apreseadas para o acoplameo ME-ME, sedo esas: acoplameo padrão; acoplameo ieraivo; e acoplameo direo. Discuese a seguir cada uma desas formulações e apreseam-se abelas com algorimos básicos de solução para cada ipo de acoplameo Acoplameo padrão No acoplameo padrão aqui cosiderado, as marizes de elemeos de cooro e de elemeos fiios são acopladas, formado um sisema fial úico de equações. Desa forma, cosiderado-se acoplameos do ipo sólido-sólido, o sisema fial de equações que se obém é algo do ipo VON ESTOR, 99: = I I I I K K M & & & && && && 3. ode os sub-ídices e dizem respeio à formulação por elemeos de cooro e por elemeos fiios, respecivamee, e o sub-ídice I é relaivo a gradezas a ierface de acoplameo.

101 Para se deduzir o sisema acoplado do ipo 3. parido-se da formulação de elemeos de cooro baseada em soluções fudameais diâmicas equação 3.3 e da formulação liear de elemeos fiios equação 3.4, AX = BY L S 3.3 & & K 3.4 M = iicialmee reescreve-se as equações de ME coforme idicado a seguir: I T T = II I A A I A A I I L A = L I L 3.5 ode a mariz A e o veor L são dados por: A = B A 3.6 L = B L S 3.7 e os veores T e são especificados em 3.8 sedo os sub-ídices e relaivos às gradezas os cooros Γ e Γ, respecivamee. [ T ] T T = 3.8a [ T ] T = 3.8b Isolado-se a parir da pare iferior da equação 3.5, em-se: = K I

102 sedo K e dados por adoa-se ˆ K = A : K = Kˆ A 3. I ˆ = K L T 3. Subsiuido-se a pare superior da equação 3.5 e adoado-se ~ I T = E I T a rasformação das forças de superfície em forças odais equivalees é aqui represeada pela mariz E, pode-se escrever a equação de elemeos de cooro de forma apropriada para o acoplameo com elemeos fiios, coforme se idica a seguir, em 3.: I ~ T = K I 3. ode K e são dados por adoa-se K K = A ˆ : I { A K A } K = E 3.3 II I { K L T L } = E I 3.4 e a mariz E é defiida como fução das fuções de ierpolação espaciais em uso: Γ E = N N dγ 3.5 ij i j Por fim, fazedo uso das equações 3.4 e 3., e levado-se em cosideração as codições de ierface 3., o seguie sisema acoplado de equações pode ser obido, edo-se por base o méodo de elemeos fiios: 77

103 M I I K I M II I && I II I & I K II I M M && & I K K K = 3.6 O sisema de equações 3.6, por sua vez, pode ser re-escrio de forma mais compaca, coforme segue: & & K 3.7 M = Esado a equação 3.7 esabelecida, aalogias com a solução por elemeos fiios podem ser adoadas para solução do sisema acoplado. Desa forma, o raameo do problema 3.7 solução o empo e cosideração de possíveis ão liearidades é realizado de forma aáloga a problemas ão acoplados, cosiderado-se o méodo dos elemeos fiios. Tabela 3. Algorimo para acoplameo padrão ME-ME sólido-sólido álculos iiciais:. álculos básicos relaivos ao ME e ao ME marizes K, K, M,, K ec.;. álculo do sisema acoplado: ober K; Loop o empo:. Iício dos cálculos a cada passo de empo = : ober. Resolver ME-ME: & M K = & ec.; Resolver o sisema acoplado obedo resulados para os subdomíios de ME e ME, iclusive ierface cosiderar possíveis loops ieraivos para raameo de ão-liearidades associadas;.3 Aualização e impressão dos resulados de ME e de ME. 78

104 m algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo padrão ME- ME, é apreseado a Tabela 3.. Para maiores dealhes sobre o acoplameo padrão discuido ese subiem, as seguies referêcias são idicadas ao leior: VON ESTOR & PRABKI 99; VON ESTOR & IRZIAAN Acoplameo ieraivo A idéia básica do acoplameo ieraivo aqui em cosideração cosise em, esado o domíio relaivo ao problema origial dividido em sub-regiões modeladas pelo ME e pelo ME, resolver-se idepedeemee cada sub-região do modelo, prescrevedo ieraivamee codições rasiees de cooro as ierfaces de acoplameo aé que covergêcia seja alcaçada SOARES JR e al., 4a. Esa meodologia mosra-se basae araiva, uma vez que permie que sisemas de equações relaivos ao ME e ao ME possam ser resolvidos de forma idepedee e desacoplada. O presee rabalho busca uma ampla idepedêcia ere a modelagem por elemeos fiios e por elemeos de cooro quado do acoplameo ME-ME. Assim sedo, procedimeos especiais de ierpolação e exrapolação são adoados, de forma que diferees passos de empo possam ser cosiderados em cada subdomíio, bem como diferees discreizações espaciais por diferees discreizações espaciais eeda-se ausêcia de direa correspodêcia de ós a ierface de acoplameo. O acoplameo aqui em cosideração é relaivo às formulações de elemeos de cooro e elemeos fiios apreseadas os subies.3.. e.3.3., respecivamee. Iicialmee, como pare da meodologia de solução empregado acoplameo ieraivo, o problema de elemeos fiios é isoladamee resolvido 79

105 sisema de equações desacoplado, calculado-se os deslocameos α ao logo de odo subdomíio modelado por ME, iclusive as ierfaces de acoplameo. ma vez calculado α as ierfaces, adoa-se um parâmero de relaxameo α, coforme idicado em 3.8 para se garair e/ou acelerar a covergêcia do processo ieraivo. = α α α 3.8 Para um esudo relaivo ao parâmero α, cosiderado-se problemas lieares esáicos, o rabalho de ELLEITHY e al. a é idicado como referêcia. A escolha óima do parâmero α é caso depedee, sedo fução das codições de cooro prescrias, propriedades físicas e geoméricas dos subdomíios, desidade de malhas ec.. Para problemas diâmicos ão-lieares, a experiêcia do auor mosra que, de forma geérica, α =.5 forece bos resulados em ermos de esabilidade valores exremos para o parâmero α, i.e., α, podem resular em ão covergêcia. d i v i v = Iv,d d j vj igura 3. Procedimeos de ierpolação o espaço: obeção de valores v a parir de ierpolações de valores v e d a ierface correspodee ierpolação liear: v = v d v d / d d. i j j i j i 8

106 Esado os deslocameos calculados a ierface de elemeos fiios, eses podem ser usados para obeção dos deslocameos a ierface de elemeos de cooro. Assim sedo, caso seja ecessário, os valores podem ser ierpolados espacialmee, coforme esquemaizado a igura 3., a fim de se ober. Os valores, por sua vez, podem ser exrapolados o empo, coforme esquemaizado a igura 3.a, a fim de se ober. ma vez que as fuções de ierpolação de elemeos de cooro φ são geralmee adoadas como sedo lieares, em-se para a exrapolação o empo em quesão: u = / / 3.9 O problema de elemeos de cooro pode eão ser resolvido, edo-se deslocameos como codição de cooro prescria as ierfaces de acoplameo. Resolvedo-se o problema de elemeos de cooro, obém-se T as ierfaces de acoplameo. Esado as forças de superfície T calculadas a ierface de elemeos de cooro, esas podem ser usadas para o cálculo de T a ierface de elemeos fiios. Assim sedo, caso seja ecessário, os valores T podem ser ierpolados espacialmee, coforme esquemaizado a igura 3., a fim de se ober T. Os valores T, por sua vez, podem ser ierpolados o empo, coforme esquemaizado a igura 3.b, a fim de se ober T. ma vez que as fuções de 8

107 ierpolação de elemeos de cooro φ são geralmee adoadas como sedo cosaes cosaes por pares, em-se para a ierpolação o empo em quesão: τ T = T 3. Esado as forças de superfície T calculadas, esas são rasformadas em forças odais equivalees e faz-se a checagem de covergêcia associada ao processo ieraivo procedimeos de checagem relaivos a algorimos ieraivos de ME para raameo ão-liear podem ser aqui maidos, e.g., aálise de ormas de eergia, resíduos e/ou deslocameos. aso haja covergêcia, aualizam-se gradezas e parese para o próximo passo de empo; caso ão haja covergêcia, pare-se para o próximo passo ieraivo. T T T a b igura 3. Procedimeos de ierpolação-exrapolação o empo: a exrapolação o empo de para se ober = / / ; b ierpolação o empo de T para se ober T T = T. 8

108 Tabela 3. Algorimo para acoplameo ieraivo ME-ME sólido-sólido álculos iiciais:. Seleção de passos de empo para cada subdomíio e aribuições iiciais são cosideradas: = e = ;. álculos básicos relaivos ao ME e ao ME marizes A, B ec.;. As seguies.3 Aribuição de valores iiciais para as forças odais de ME as ierfaces de acoplameo, e.g., = Loop o empo: ;. Iício dos cálculos a cada passo de empo: = caso > : adoar = e calcular os veores. Loop ieraivo:.. Resolver ME: ober os deslocameos, iclusive a ierface.. Adoção do parâmero α:..3 Ober de = α α α ierpolação espacial e/ou exrapolação emporal;..4 Resolver ME: ober as forças de superfície a ierface..5 Ober T de T ierpolação espacial e/ou ierpolação emporal;..6 Ober forças odais equivalees a parir de..7 hecagem de covergêcia;.3 Aualização e impressão dos resulados de ME; aso T L e S ; α ; T : aualização e impressão dos resulados de ME. > ; ; ; m algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo ieraivo ME- ME, é apreseado a Tabela 3.. É imporae oar que o cuso compuacioal do acoplameo ieraivo é reduzido, uma vez que a covergêcia geralmee é rápida e as ierações relaivas ao acoplameo podem ser realizadas juo com as ierações relaivas à aálise ão-liear. oforme fora mecioado, o algorimo em quesão resolve os sub-sisemas de ME e ME separadamee. Desa forma, diferees roias de solução 83

109 de sisemas de equações podem ser uilizadas, fazedo uso da esparsidade e simeria das marizes de elemeos fiios. Mais aida, resolvedo-se os sisemas de ME e ME separadamee, obém-se sisemas de equações mais bem codicioados, o que é imporae para a precisão e eficiêcia da aálise. A adoção de procedimeos que permiem escolha de diferees passos de empo os subdomíios modelados por ME e por ME é de exrema imporâcia para se er uma meodologia amplamee aplicável e de solução eficiee. Geralmee o passo de empo óimo para solução com ME é bem maior que o passo de empo óimo para solução com ME, e a ão cosideração dese fao pode gerar algorimos isáveis de acoplameo. Para maiores dealhes sobre o acoplameo ieraivo discuido ese subiem, as seguies referêcias são idicadas ao leior: SOARES JR e al. 4a; SOARES JR & VON ESTOR Acoplameo direo No presee subiem, discue-se o acoplameo direo ME-ME. Nese ipo de acoplameo, procedimeos similares aos adoados pelo acoplameo ieraivo são cosiderados, sedo, odavia, o processo ieraivo de solução elimiado acoplameo direo. A elimiação do processo ieraivo se faz possível pela adoção do méodo implício de Gree subiem.3.3. quado da solução dos subdomíios modelados por ME. Os procedimeos de ierpolação/exrapolação o empo e o espaço apreseados o subiem precedee são aqui mais uma vez adoados. 84

110 Iicialmee, o algorimo de acoplameo direo, o problema de elemeos fiios é isoladamee resolvido sisema de equações desacoplado, calculado-se os deslocameos ao logo de odo subdomíio modelado por ME, iclusive as ierfaces de acoplameo. Pelo méodo de Gree-Newmar, em-se: A = M c c & 3. = c3 3. ode A = K / β M γ / β equação.3 e as cosaes c i são defiidas em.8. A parir de equação 3., possíveis pseudo-forças raameo ão-liear podem ser calculadas, coforme discuido o subiem R Esado os deslocameos calculados a ierface de elemeos fiios, eses podem ser usados para obeção dos deslocameos a ierface de elemeos de cooro, sedo os procedimeos de ierpolação/exrapolação o empo e espaço, apreseados o subiem precedee, uilizados para al. O problema de elemeos de cooro pode eão ser resolvido, edo-se deslocameos como codição de cooro prescria as ierfaces de acoplameo. Resolvedo-se o problema de elemeos de cooro, obém-se T as ierfaces de acoplameo. Da mesma forma como fora cosiderado quado do algorimo ieraivo, a parir de T pode-se ober T, e a seqüêcia. 85

111 Esado e R esabelecidos, calcula-se o veor efeivo B equação 3.3 e obém-se as velocidades relaivas ao ME equação 3.4 o passo de empo corree. B = M R 3.3 & c c c & = B 3.4 Após aualização e impressão de resulados, pare-se para o próximo passo de empo, dado seqüêcia à aálise. O algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo direo ME-ME, é apreseado a Tabela 3.3. A presee formulação de acoplameo é exremamee eficiee. Além das vaages apreseadas o subiem aerior, relacioadas ao desacoplameo dos sisemas de equações de ME e ME, ehum processo ieraivo faz-se aqui ecessário para o raameo do acoplameo ME-ME a ierface. O cuso compuacioal relaivo à presee meodologia é equivalee ao cuso relacioado ao acoplameo ieraivo quado somee uma ieração por passo de empo é cosiderada. Ressala-se aida o fao do algorimo direo de acoplameo ser coceiualmee mais coeree: soluções por elemeos de cooro são foremee baseadas em soluções fudameais ou soluções de Gree e a adoção do coceio de soluções fudameais quado da solução por elemeos fiios méodo implício de Gree cofere maior uiformidade ao acoplameo ME-ME. 86

112 Tabela 3.3 Algorimo para acoplameo direo ME-ME sólido-sólido álculos iiciais:. Seleção de passos de empo para cada subdomíio e aribuições iiciais são cosideradas: = e = ;. álculos básicos relaivos ao ME e ao ME marizes A, B ec.; Loop o empo:. Iício dos cálculos a cada passo de empo: = caso > : adoar = e calcular os veores. Resolver ME: ober os deslocameos, iclusive a ierface.3 Ober de. As seguies ; L e ierpolação espacial e/ou exrapolação emporal;.4 Resolver ME: ober as forças de superfície a ierface.5 Ober T de T ; T ierpolação espacial e/ou ierpolação emporal;.6 Ober forças odais equivalees a parir de T ;.7 alcular o veor efeivo B cosiderado e pseudo-forças.8 Resolver ME: ober as velocidades & ;.9 Aualização e impressão dos resulados de ME; aso : aualização e impressão dos resulados de ME. > R ; S ; 3... Acoplameo ME-ME O acoplameo ME-ME, aqui cosiderado, diz respeio ao acoplameo das formulações de elemeos de cooro baseadas em soluções fudameais diâmicas ME D e em soluções fudameais esáicas ME E. O esquema de acoplameo adoado é aálogo ao acoplameo ieraivo ME-ME apreseado o subiem 3..., basado subsiuir a modelagem relaiva a elemeos fiios por modelagem de elemeos de cooro baseada em soluções fudameais esáicas. O algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo ieraivo ME D -ME E, é apreseado a Tabela

113 Tabela 3.4 Algorimo para acoplameo ME D -ME E sólido-sólido álculos iiciais:. Seleção de passos de empo para cada subdomíio D e aribuições iiciais são cosideradas: = e = D D E ;. álculos básicos relaivos ao ME D e ao ME E marizes A, B ec.; E. As seguies.3 Aribuição de valores iiciais para as forças de superfície de ME E as ierfaces de acoplameo, e.g., T = Loop o empo: E ;. Iício dos cálculos a cada passo de empo: E = E E caso E > D : adoar D = D D e calcular os veores. Loop ieraivo:.. Resolver ME E : ober os deslocameos, iclusive a ierface.. Adoção do parâmero α:..3 Ober D D de E E E E = α α E E α ierpolação espacial e/ou exrapolação emporal;..4 Resolver ME D : ober as forças de superfície a ierface..5 Ober ET E de DT D ierpolação espacial e/ou ierpolação emporal;..6 hecagem de covergêcia;.3 Aualização e impressão dos resulados de ME E ; aso E D L e E ; DT D : aualização e impressão dos resulados de ME D. E E > D D S ; α E E ; ; 3.3. Acoplameo ere sisemas fisicamee disios O presee subiem aborda o acoplameo de ierface ere sisemas que descrevem feômeos físicos diferees. Problemas de ieração do ipo fluidoesruura, fluido-solo ec., se equadram esa caegoria de acoplameo. No exo que se segue, a discussão é focada o acoplameo de sisemas do ipo fluido-sólido, cosiderado-se acoplameo ere diferees processos de discreização, em especifico, acoplameos ME-ME e ME-ME. 88

114 3.3.. Acoplameo ME-ME O presee subiem raa do acoplameo de ierface ere fluidos acúsicos, modelados por elemeos de cooro, e corpos sólidos, modelados por elemeos fiios. Esado o modelo dividido em sub-regiões modeladas pelo ME sub-ídice e pelo ME sub-ídice, a ierface Γ I ere esas sub-regiões deve aeder às seguies codições, a cada passo de empo SOARES JR & VON ESTOR, 4: i odições de ierface ao logo da ierface de acoplameo Γ I : T = 3.5a ~ P = N 3.5b & / ρ Q = 3.5c N ode ρ é a massa específica do fluido. Os sub-ídices T e N são aqui adoados para idicar compoees agecial e ormal, respecivamee, das gradezas as ierfaces de acoplameo. Para se ober cosisêcia ere a formulação de elemeos de cooro e a de elemeos fiios, adoa-se P ~ para simbolizar forças odais equivalees, obidas a parir da disribuição de pressões P. oforme fora feio o iem 3., rês formulações disias são aqui apreseadas para o acoplameo ME-ME, sedo esas mais uma vez: acoplameo padrão; acoplameo ieraivo; e acoplameo direo. Discue-se a seguir cada uma desas formulações e apreseam-se abelas com algorimos básicos de solução para cada ipo de acoplameo. 89

115 Acoplameo padrão No acoplameo padrão, as marizes de elemeos de cooro e de elemeos fiios são acopladas, formado um sisema fial úico de equações. Desa forma, cosiderado-se acoplameos do ipo fluido-sólido, o sisema fial de equações que se obém, é algo do ipo VON ESTOR, 99: = I I I I K M M & & & && && && 3.6 ode os sub-ídices e dizem respeio à formulação por elemeos de cooro e por elemeos fiios, respecivamee, e o sub-ídice I é relaivo a gradezas a ierface de acoplameo. Para se deduzir o sisema acoplado do ipo 3.6 parido-se da formulação acúsica de elemeos de cooro equação 3.7 e da formulação liear de elemeos fiios equação 3.8, S L BY AX = 3.7 K M = & & & 3.8 iicialmee reescreve-se as equações de ME coforme idicado a seguir: N I I N I I I II N I L P A L L P A A A A P = = && && && 3.9

116 ode a mariz A e o veor L são dados por: A = Bˆ Aˆ 3.3 ˆ L = B L S 3.3 sedo as marizes  e Bˆ obidas a parir de A e B, levado-se em cosideração a massa especifica do fluido, de forma a se er, os subdomíios de ME: & = / ρ Q N. Em 3.9, os veores P e & N são especificados coforme idicado em 3.3, sedo os sub-ídices e relaivos às gradezas os cooros Γ e Γ, respecivamee. P [ & P ] T = 3.3a N N [ P & ] T & = 3.3b N Isolado-se P a parir da pare iferior da equação 3.9, em-se: P = M I & N 3.33 sedo M e dados por adoa-se ˆ M = A : M = Mˆ A 3.34 I ˆ = M L & 3.35 N Subsiuido-se P a pare superior da equação 3.9 e adoado-se ~ I P = E I P a rasformação das pressões em forças odais equivalees é aqui 9

117 9 represeada pela mariz E, pode-se escrever a equação de elemeos de cooro de forma apropriada para o acoplameo com elemeos fiios, coforme se idica a seguir, em 3.36: N I I M P = & & ~ 3.36 ode M e são dados por adoa-se M A M ˆ I = : { } A M A E M I II = 3.37 { } I N L L M E = & & 3.38 A equação 3.8 de elemeos fiios pode, por sua vez, ser re-escria de forma a cosiderar como variáveis a ierface de acoplameo as compoees ageciais e ormais das gradezas associadas. Desa forma, represeado-se os veores agees e ormais à ierface por e, respecivamee, em-se o sisema de equações 3.8 re-escrio coforme se segue: = N I T I N I T I II II I II II I I I N I T I II II I II II I I I N I T I II II I II II I I I K K K K K K K K K M M M M M M M M M & & & && && && 3.39

118 93 Por fim, fazedo uso das equações 3.36 e 3.39, e levado-se em cosideração as codições de ierface 3.5, o sisema acoplado de equações 3.4 pode ser obido, edo-se por base o méodo de elemeos fiios: = N I T I II II I II II I I I N I T I II II I II II I I I N I T I II II I II II I I I K K K K K K K K K M M M M M M M M M M & & & && && && 3.4 O sisema de equações 3.4 pode ser re-escrio de forma mais compaca, i.e: K M = & & & 3.4 Esado a equação 3.4 esabelecida, aalogias com a solução por elemeos fiios podem ser mais uma vez adoadas para solução do sisema acoplado. Desa forma, o raameo do problema 3.4 solução o empo e cosideração de possíveis ão liearidades é realizado de forma aáloga a problemas ão acoplados cosiderado o méodo dos elemeos fiios. m algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo padrão ME- ME, é apreseado a Tabela 3.5. Para maiores dealhes sobre o acoplameo padrão discuido ese subiem, as seguies referêcias são idicadas ao leior: VON ESTOR & ANTES 99; ZYGAN & VON ESTOR.

119 Tabela 3.5 Algorimo para acoplameo padrão ME-ME fluido-sólido álculos iiciais:. álculos básicos relaivos ao ME e ao ME marizes M, M, M,, K ec.;. álculo do sisema acoplado: ober M; Loop o empo:. Iício dos cálculos a cada passo de empo = : ober. Resolver ME-ME: & M K = & ec.; Resolver o sisema acoplado obedo resulados para os subdomíios de ME e ME, iclusive ierface cosiderar possíveis loops ieraivos para raameo de ão-liearidades associadas;.3 Aualização e impressão dos resulados de ME e de ME Acoplameo ieraivo O acoplameo aqui em cosideração é relaivo às formulações de elemeos de cooro e de elemeos fiios apreseadas os subies.. e.3.3., respecivamee. As idéias básicas solução ieraiva a ierface, adoção de diferees passos de empo em cada subdomíio ec. relaivas ao algorimo discuido o subiem 3... são aqui de igual forma adoadas. Iicialmee, como pare da meodologia de solução empregado acoplameo ieraivo, o problema de elemeos fiios é isoladamee resolvido sisema de equações desacoplado, calculado-se as acelerações α & ao logo de odo subdomíio modelado por ME, iclusive as ierfaces de acoplameo. ma vez calculada α & as ierfaces, adoa-se um parâmero de relaxameo α, coforme idicado em 3.4 para se garair e/ou acelerar a covergêcia do processo ieraivo. 94

120 & α && = α α & 3.4 Em relação à escolha do parâmero de relaxameo para a presee aplicação ieração fluido-sólido, a experiêcia do auor mosra que, de forma geérica, α =.5 forece bos resulados. Esado as acelerações & calculadas a ierface de elemeos fiios, esas podem ser usadas para obeção das acelerações ormais & N a ierface de elemeos de cooro. Assim sedo, caso seja ecessário, as compoees ormais & N podem ser ierpoladas espacialmee, coforme esquemaizado a igura 3., a fim de se ober & N. Os valores & N, por sua vez, podem ser exrapolados o empo, coforme esquemaizado a igura 3.3a, a fim de se ober & N. ma vez que as fuções de ierpolação de elemeos de cooro φ q são geralmee adoadas como sedo cosaes cosaes por pares, em-se para a exrapolação o empo em quesão: & N = & N 3.43 O problema de elemeos de cooro pode eão ser resolvido, edo-se & N como codição de cooro prescria as ierfaces de acoplameo ou seja, codição de cooro de fluxo prescrio, uma vez que & = / ρ Q. Resolvedo-se o N problema de elemeos de cooro, obém-se P as ierfaces de acoplameo. Esado as pressões P calculadas a ierface de elemeos de cooro, esas podem ser usadas para o cálculo de P a ierface de elemeos fiios. Assim sedo, caso seja ecessário, os valores P podem ser ierpolados 95

121 espacialmee, coforme esquemaizado a igura 3., a fim de se ober P. Os valores P, por sua vez, podem ser ierpolados o empo, coforme esquemaizado a igura 3.3b, a fim de se ober P. ma vez que as fuções de ierpolação de elemeos de cooro φ são geralmee adoadas como sedo lieares, em-se para a ierpolação o empo em quesão: p P = P / P / 3.44 Esado a gradeza ormal P calculada, esas são rasformadas em forças odais equivalees e faz-se a checagem de covergêcia associada ao processo ieraivo. aso haja covergêcia, aualizam-se valores e pare-se para o próximo passo de empo; caso ão haja covergêcia, pare-se para o próximo passo ieraivo. & N & N N & N & N P P P P P a b igura 3.3 Procedimeos de ierpolação-exrapolação o empo: a exrapolação o empo de & para se ober & & = & ; b ierpolação o empo de N N N N P para se ober P P = / P P /. 96

122 Tabela 3.6 Algorimo para acoplameo ieraivo ME-ME fluido-sólido álculos iiciais:. Seleção de passos de empo para cada subdomíio e aribuições iiciais são cosideradas: = e = ;. álculos básicos relaivos ao ME e ao ME marizes A, B ec.;. As seguies.3 Aribuição de valores iiciais para as forças odais de ME as ierfaces de acoplameo, e.g., = Loop o empo: ;. Iício dos cálculos a cada passo de empo: = caso > : adoar = e calcular os veores. Loop ieraivo:.. Resolver ME: ober as acelerações, iclusive a ierface.. Adoção do parâmero α:..3 Ober a compoee ormal..4 Ober & N de & & α && = α α N & N de & exrapolação emporal;..5 Resolver ME: ober as pressões a ierface..6 Ober P de P L e α & ; & S ; ierpolação espacial; P ierpolação espacial e/ou ierpolação emporal;..7 Ober forças odais a parir da gradeza ormal..8 hecagem de covergêcia;.3 Aualização e impressão dos resulados de ME; aso ; P : aualização e impressão dos resulados de ME. > ; ; m algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo ieraivo ME- ME, é apreseado a Tabela 3.6. Mais uma vez, é imporae oar que o cuso compuacioal do acoplameo ieraivo fluido-sólido é reduzido, uma vez que a covergêcia geralmee é rápida e as ierações relaivas ao acoplameo podem ser realizadas juo com as ierações relaivas à aálise ão-liear. 97

123 As vaages referees ao raameo dos sisemas de equações de ME e de ME de forma idepedee e desacoplada, coforme discuido o subiem 3., são aqui mais uma vez aplicáveis. Ressala-se que o caso do acoplameo fluido-sólido bem como em muios ouros, sisemas com propriedades geralmee muio disias são cosiderados e procedimeos especiais ecessariamee precisam ser adoados a fim de se eviar sisemas mal codicioados e, pricipalmee, isabilidade o acoplameo. As meodologias aqui apreseadas mosram-se basae eficiees ese seido ver subiem 3.4. Para maiores dealhes sobre o acoplameo ieraivo discuido ese subiem, as seguies referêcias são idicadas ao leior: SOARES JR e al. 4b; SOARES JR & VON ESTOR Acoplameo direo O acoplameo aqui em cosideração é relaivo às formulações de elemeos de cooro e de elemeos fiios apreseadas os subies.. e.3.3., respecivamee. As idéias básicas relaivas ao algorimo de acoplameo direo, discuido o subiem 3...3, são aqui de igual forma aplicáveis. oforme se pode observar os subies precedees, a variável básica relaiva ao ME para o acoplameo fluido-sólido é a aceleração. Na formulação apreseada o subiem.3.3., o cálculo das acelerações do modelo ão é apreseado, pois o mesmo ão é de imporâcia para a meodologia. Deduzido-se o cálculo das acelerações por iermédio do méodo implício de Gree, difereemee do que ocorre com os deslocameos, ão se obém o desacoplameo, o passo de empo corree, ere as 98

124 acelerações e as forças aplicadas assim como a velocidade, a aceleração o passo de empo ambém é fução da força auae em. Desa forma, usado-se as acelerações resulaes do méodo implício de Gree, o processo ieraivo de acoplameo ão pode ser elimiado. A fim de se elimiar o processo ieraivo de acoplameo, a presee formulação maém o uso dos deslocameos de ME como variável básica para o acoplameo e desevolve o subdomíio de ME um esquema apropriado de derivação emporal. Esa ova abordagem em ambém imporâcia para acoplameos ME-ME, uma vez que, modelado-se o subdomíio sólido por iermédio de elemeos de cooro baseados em soluções fudameais diâmicas, as acelerações do modelo ão são calculadas usualmee somee calculam-se os deslocameos e as forças de superfície. A fim de se relacioar os deslocameos e as acelerações as ierfaces de acoplameo de ME, a relação 3.45 é adoada. O presee rabalho, coforme fora aes mecioado, adoa as fuções de ierpolação φ como sedo cosaes por q pares. Desa forma, as acelerações ormais de ME, & & N, são cosideradas como edo comporameo cosae ao logo de cada iervalo de empo & = / ρ Q. N Os deslocameos ormais podem eão ser obidos por iegração, como segue: N N ] o o = & & /, ; 3.45 N N o N o o o De acordo com a equação 3.45, ao logo do passo de empo, os deslocameos, velocidades e acelerações ormais associados ao ME possuem comporameo parabólico, liear e cosae, respecivamee igura 3.3a. A 99

125 equação 3.45 é equivalee ao méodo de Newmar adoado-se parâmeros γ =. e β =. 5. É imporae oar que o esquema de iegração 3.45 é coeree com a formulação de elemeos de cooro em uso. Ouros esquemas de iegração regra rapezoidal de Newmar, Houbol ec., que ão o idicado em 3.45, geram isabilidade o algorimo de acoplameo. ma vez esabelecida a relação 3.45, pode-se ober facilmee & & a parir de N. N No algorimo de acoplameo direo fluido-sólido, iicialmee o problema de elemeos fiios é resolvido sisema de equações desacoplado, calculado-se os deslocameos ao logo de odo subdomíio modelado por ME, iclusive as ierfaces de acoplameo equações Esado os deslocameos calculados a ierface de elemeos fiios, eses podem ser usados para obeção da compoee ormal dos deslocameos a ierface de elemeos de cooro procedimeos de ierpolação espacial devem ser N uilizados, caso ecessário. A parir dos deslocameos, com base em 3.45, N calculam-se as acelerações & coforme idicado a seguir: N & = / / & N N N N 3.46 Exrapolado-se & o empo igura 3.3a, obém-se N & N. O problema de elemeos de cooro pode eão ser resolvido, obedo-se P as ierfaces de acoplameo.

126 Tabela 3.7 Algorimo para acoplameo direo ME-ME fluido-sólido álculos iiciais:. Seleção de passos de empo para cada subdomíio e aribuições iiciais são cosideradas: = e = ;. álculos básicos relaivos ao ME e ao ME marizes A, B ec.; Loop o empo:. As seguies. Iício dos cálculos a cada passo de empo: = caso > : adoar = e calcular os veores. Resolver ME: ober os deslocameos, iclusive a ierface.3 Ober a compoee ormal.4 Ober.5 Ober N de N N ; ierpolação espacial; & = / / & & de N N N & exrapolação emporal;.6 Resolver ME: ober as pressões a ierface.7 Ober P de P ; N ; L e P ierpolação espacial e/ou ierpolação emporal;.8 Ober forças odais equivalees a parir da gradeza ormal.9 alcular o veor efeivo B cosiderado e pseudo-forças. Resolver ME: ober as velocidades & ;. Aualização e impressão dos resulados de ME; aso > : aualização e impressão dos resulados de ME: N = N & N / & N & = & &. N N N P ; R ; S ; Da mesma forma como fora cosiderado quado do algorimo ieraivo, a parir de P pode-se ober P, e a seqüêcia. alcula-se eão o veor efeivo equação 3.3 e obém-se as velocidades relaivas ao ME equação 3.4 o passo de empo corree. Esado os resulados de ME e ME esabelecidos para o empo corree, aualizam-se as variáveis de ambos os méodos e pare-se para o próximo B

127 passo de empo. As seguies aualizações exras são ecessárias para a ierface de ME, em fução da formulação 3.45: = N & = N & N N N / & 3.47a & &. 3.47b N N O algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo direo ME-ME, é apreseado a Tabela Acoplameo ME-ME Dois ipos de acoplameo ME-ME, ambos ieraivos, são aqui cosiderados para o raameo do problema de ieração fluido-sólido. O primeiro ipo de acoplameo em quesão, diz respeio às formulações de elemeos de cooro apreseadas os subies.. e.3.. acoplameo ME-ME E ; o segudo é relaivo às formulações.. e.3.. acoplameo ME-ME D. A presee oação é aqui empregada: o sub-ídice é relaivo ao modelo acúsico fluido; o sub-ídice E é relaivo ao modelo diâmico baseado em soluções fudameais esáicas; e o subídice D é relaivo ao modelo diâmico baseado em soluções fudameais diâmicas. O acoplameo ME-ME E aqui cosiderado é aálogo ao acoplameo ieraivo ME-ME apreseado o subiem 3.3.., basado subsiuir a modelagem relaiva a elemeos fiios por modelagem de elemeos de cooro baseada em soluções fudameais esáicas. O algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo ieraivo ME-ME E, é apreseado a Tabela 3.8.

128 Tabela 3.8 Algorimo para acoplameo ME-ME E fluido-sólido álculos iiciais:. Seleção de passos de empo para cada subdomíio e aribuições iiciais são cosideradas: = e = E ;. álculos básicos relaivos ao ME e ao ME E marizes A, B ec.; E. As seguies.3 Aribuição de valores iiciais para as forças de superfície de ME E as ierfaces de acoplameo, e.g., T = Loop o empo: E ;. Iício dos cálculos a cada passo de empo: E = E E caso E > : adoar = e calcular os veores. Loop ieraivo:.. Resolver ME E : ober as acelerações, iclusive a ierface.. Adoção do parâmero α:..3 Ober a compoee ormal..4 Ober & N de & E E E & α E && = α α E E N & E N de E & E exrapolação emporal;..5 Resolver ME: ober as pressões a ierface..6 Ober E P E de P & L e α E E ; & S ; E ierpolação espacial; P ierpolação espacial e/ou ierpolação emporal;..7 Ober forças de superfície T E a parir da gradeza ormal..8 hecagem de covergêcia;.3 Aualização e impressão dos resulados de ME E ; aso E : aualização e impressão dos resulados de ME. E E > ; ; E P E ; O acoplameo ME-ME D adoa procedimeos que são aálogos ao ao acoplameo ieraivo quao ao acoplameo direo apreseados o subiem O esquema ieraivo de raameo do acoplameo, abordado o subiem é aqui cosiderado, mas como a formulação de ME D ão faz uso do cálculo de acelerações, a obeção das acelerações ormais o fluido se faz aravés dos deslocameos ormais o sólido, coforme discuido o subiem

129 Tabela 3.9 Algorimo para acoplameo ME-ME D fluido-sólido álculos iiciais:. Seleção de passos de empo para cada subdomíio e D e seleção de passo de empo de referêcia e D. As seguies aribuições iiciais são cosideradas: = ; = e ; D D =. álculos básicos relaivos ao ME e ao ME D marizes A, B ec.;.3 Aribuição de valores iiciais para as forças de superfície de ME D as ierfaces de acoplameo, e.g., T = Loop o empo: D ;. Iício dos cálculos a cada passo de empo: caso caso = > : adoar = e calcular os veores D D D D > : adoar = e calcular os veores. Loop ieraivo: D L e L e.. Resolver ME D : ober os deslocameos a ierface.. Adoção do parâmero α: D..3 Ober a compoee ormal..4 Ober..5 Ober..6 Ober N de N D D = α N D N / D N α D de D D D ierpolação emporal; N D S ; S ; α α D D D D ierpolação espacial; & = / & & N de & N exrapolação emporal;..7 Resolver ME: ober as pressões a ierface..8 Ober P de P..9 Ober forças de superfície.. Ober.. Ober T D DT D de de T T D.. hecagem de covergêcia; P ierpolação emporal; T D a parir da gradeza ormal exrapolação emporal; ierpolação espacial;.3 aso > D : Aualização e impressão dos resulados de ME D ; aso > : aualização e impressão dos resulados de ME. N = N & N / & N & = & &. N N N ; ; ; N ; P ; 4

130 O algorimo básico de solução, cosiderado-se o acoplameo ieraivo ME- ME D, é apreseado a Tabela 3.9. Em relação aos procedimeos de ierpolaçãoexrapolação o empo, o algorimo da Tabela 3.9 é mais geérico: iroduz-se o algorimo um passo de empo de referêcia. om a irodução de a formulação ora-se idepedee das relações ere os diferees passos de empo adoados em cada subdomíio ou seja, para o acoplameo ME-ME D, ora-se idiferee se D D > ou >, esado odos os processos de ierpolaçãoexrapolação o empo refereciados ao passo de empo. A irodução de passos de empo de referêcia pode ser esedida para os algorimos aeriores. Na presee aplicação acoplameo ME-ME D pode-se adoar como sedo o meor dos valores de ou ME E -ME D ou ME-ME-ME D pode-se adoar por exemplo ver subiem D ; em acoplameos do ipo ME- como sedo E ou, 3.4. Aplicações uméricas Aalisa-se esa seção algus problemas de egeharia relaivos a acoplameos de ierface ere sisemas fisicamee similares e/ou disios. Diversas aplicações são aqui cosideradas aálise de sisemas com ieração ipo esruura-esruura, fluidoesruura, solo-fluido-esruura ec. uilizado as diferees écicas de modelagem previamee apreseadas. Os resulados obidos são comparados ere si, com soluções aalíicas e/ou com resulados de ouros auores. Nas aplicações que se seguem, as coribuições origiais do presee rabalho são efocadas. 5

131 3.4.. Acoplameo acúsico-acúsico Embora ese ipo de acoplameo ão eha sido dealhado os ies precedees, ele segue as direrizes básicas apreseadas quado da aálise de acoplameo ere sisemas fisicamee similares ver MANSR e al.. Assim sedo, o acoplameo acúsico-acúsico pode ser obido por correlação direa das gradezas exisees a ierface de acoplameo pressão e fluxo correlacioados com pressão e fluxo, respecivamee. Aalisa-se a seguir uma membraa de vibração modelada pela eoria acúsica. A fim de se er uma ierpreação física mais apropriada, ierprea-se a equação da oda que rege o modelo como descrevedo deslocameos rasversais à membraa Membraa de vibração Nese exemplo esuda-se uma membraa quadrada, egasada em seu cooro, e sujeia a velocidades iiciais de disribuição espacial uiforme aplicadas a sua região ceral MANSR, 983. m esquema da membraa em quesão é apreseado a igura 3.4. Geomericamee, a membraa é defiida por: a =.m e b =.m. A velocidade iicial aplicada a área ceral da membraa em ampliude: u& =.m/s. A velocidade de propagação de oda o meio é dada por c =.m/s. Diferees procedimeos uméricos são empregados para a solução do modelo proposo: elemeos de cooro; elemeos fiios; e acoplameo ere elemeos de cooro e elemeos fiios. Na igura 3.5 apreseam-se as discreizações espaciais 6

132 uilizadas pelos procedimeos uméricos cosiderados. Na solução cosiderado-se elemeos de cooro acoplados com elemeos fiios, a região ceral da membraa, ode a codição iicial de velocidade é aplicada, é modelada por iermédio de elemeos fiios, sedo o resae da membraa modelado por elemeos de cooro. O esquema das malhas de elemeos de cooro e elemeos fiios, a aálise acoplada, pode ser viso a igura 3.5a. 4 elemeos lieares de cooro e 7 elemeos fiios riagulares lieares são adoados para a modelagem acoplada. No caso de aálise usado uicamee o méodo de elemeos de cooro, adoam-se 3 elemeos lieares de cooro para discreização da membraa e 4 células de iegração, riagulares lieares, para raameo das iegrais de domíio relaivas às codições iiciais do problema igura 3.5b. No caso de aálise usado uicamee o méodo de elemeos fiios, duas malhas são cosideradas: a primeira malha composa por 8 elemeos riagulares lieares; e a seguda malha, mais refiada, composa por 5 elemeos riagulares lieares igura 3.5c. y A a b b a x igura 3.4 Modelo esquemáico da membraa de vibração. 7

133 a Γ I b Γ I b Malha de elemeos de cooro Malha de elemeos fiios b b b Malha de elemeos de cooro Malha de células de iegração c Malha de elemeos fiios Malha de elemeos fiios igura 3.5 Discreização espacial do modelo da membraa: a aálise acoplada ME-ME 4 elemeos de cooro; 7 elemeos fiios; b aálise com ME 3 elemeos de cooro; 4 células de iegração; c aálise com ME malha com 8 elemeos; malha com 5 elemeos. 8

134 Deslocameos o poo A m Aalíica ME malha ME malha ME Acoplameo ME-ME Tempo s igura 3.6 Vibração o poo A cosiderado soluções por elemeos de cooro, elemeos fiios e acoplameo de elemeos de cooro com elemeos fiios. igura 3.7 Resulados ao logo da membraa empo =.5s cosiderado-se aálise com elemeos fiios malha. 9

135 Resulados para a vibração o poo A, o cero da membraa igura 3.4, são apreseados a igura 3.6. Na aálise com elemeos de cooro o passo de empo adoado é =.5s β =.. Na aálise com elemeos fiios os seguies passos de empo são cosiderados: =.s malha ; e =.4s malha. Para aálise acoplada, o mesmo passo de empo é adoado em ambos subdomíios, sedo ese: =.s β =.. O acoplameo em quesão é realizado cosiderado-se o algorimo de acoplameo ieraivo ME-ME. oforme se pode oar pelos resulados a igura 3.6, o méodo dos elemeos de cooro é mais preciso que o méodo dos elemeos fiios para o raameo do problema em quesão. Acoplado-se elemeos de cooro com elemeos fiios, cosegue-se aprimorar um pouco a precisão relaiva aos resulados de elemeos fiios: coforme se pode oar o gráfico da igura 3.6, a parir do iervalo de empo =.9s, que é aproximadamee quado a seguda free de oda refleida pelas bordas do modelo aige o poo A, a curva relaiva à modelagem acoplada se aproxima da curva relaiva à modelagem usado malha refiada de elemeos fiios. Apresea-se a igura 3.7 o esado de vibração da membraa acúsica em =.5s, cosiderado-se modelagem por elemeos fiios malha Acoplameo esruura-esruura osidera-se esa seção dois exemplos de acoplameo do ipo esruura-esruura: o primeiro exemplo esuda-se uma barra egasada modelo liear; o segudo exemplo cosidera-se a aálise de uma viga egasada modelo ão-liear. Os modelos

136 em quesão descrevem raameo de corpos de domíio fiio. No próximo subiem cosidera-se a aálise de meios ifiios. O presee rabalho foca os méodos direo e ieraivo ME-ME e ME-ME de acoplameo, sedo eses coribuições do auor para a lieraura. O acoplameo padrão aqui apreseado, por exigir igual discreização ao emporal, quao espacial para os subdomíios modelados por ME e por ME, forece resulados isáveis em muias aplicações, podedo ser cosiderado como de uso resrio em virude do seu elevado cuso compuacioal e isabilidade umérica Barra egasada Nese exemplo cosidera-se uma barra egasada em uma de suas exremidades, esado a exremidade oposa uiformemee racioada carregameo do ipo Heaviside o empo SOARES JR e al., 4a. m esquema do modelo em quesão é apreseado a igura 3.8a. Geomericamee, a barra é defiida por: a =.m e b =.m. As propriedades físicas do modelo são: E = N/m módulo de Youg; υ =. Poisso; ρ =.5Ns /m 4 desidade de massa. a y B A f b b a x a / igura 3.8 Barra egasada: a modelo esquemáico; b malha ME-ME.

137 Aalíico =. =.5 =.5. Poo B Deslocameos m Poo A a Tempo s Aalíico =. =.5 =.5.5 orças de superfície N/m Poo B b Tempo s igura 3.9 Resulados os poos A e B do modelo cosiderado-se acoplameo ieraivo ME-ME e diferees discreizações emporais: a deslocameos; b forças de superfície.

138 Aalíico =. =.5 =.5. Poo B a Deslocameos m Poo A Tempo s Aalíico =. =.5 =.5.5 orças de superfície N/m Poo B b Tempo s igura 3. Resulados os poos A e B do modelo cosiderado-se acoplameo direo ME-ME e diferees discreizações emporais: a deslocameos; b forças de superfície. 3

139 A malha adoada para aálise acoplada é idicada a igura 3.8b. 3 elemeos lieares de cooro e 8 elemeos fiios quadragulares lieares são empregados. O passo de empo adoado para o subdomíio de elemeos de cooro é: =.s β.65. No subdomíio de elemeos fiios, diferees passos de empo são cosiderados, mais especificamee: =. ; =.5 ; e =.5. Os resulados obidos para os deslocameos o poo A e forças de superfície o poo B igura 3.8a do modelo são apreseados as iguras 3.9 e 3.. Na igura 3.9 cosidera-se acoplameo ieraivo ME-ME; a igura 3. acoplameo direo ME-ME é cosiderado. Soluções aalíicas ambém são apreseadas as iguras 3.9 e 3.. oforme se pode oar, melhores resulados são obidos adoado-se diferees discreizações emporais em cada subdomíio. Para =. a disâcia percorrida pela free de oda, cosiderado-se um passo de empo de elemeos fiios, é maior que a dimesão efeiva meor dimesão do reâgulo dos elemeos fiios em uso. Para =.5, são ecessários cerca de 3 passos de empo de elemeos fiios, para que a free de oda percorra cada elemeo fiio. Desa forma, a discreização =.5 é mais apropriada que =. para o raameo dos subdomíios em cosideração, fao que se reflee quado do raameo do sisema acoplado. Observa-se a igura 3. que para =. o acoplameo direo ME-ME forece resulados isáveis. A isabilidade em quesão se iicia quado a free de oda refleida pelo egase alcaça a ierface de acoplameo. ma vez que as forças de superfície resulaes da solução por iermédio de elemeos de cooro apreseam oscilações, esas oscilações dos resulados de ME ão coseguem ser 4

140 apropriadamee raadas pelo méodo implício de Gree, quado grades passos de empo são cosiderados. Desa forma, as oscilações são amplificadas e o acoplameo ora-se isável. No caso do acoplameo ieraivo essas oscilações são relaxadas por iermédio do processo ieraivo, pricipalmee quado se adoa valores meores que a uidade para o parâmero de relaxameo α ver igura 3.. Dese modo, apesar do acoplameo direo ser mais eficiee, pode-se cosiderar o acoplameo ieraivo como sedo mais esável. A covergêcia do processo ieraivo de acoplameo pode ser aqui aalisada as iguras 3. e 3.. A igura 3. idica o úmero médio de ierações realizado, por passo de empo, em fução do parâmero de relaxameo α e das diferees discreizações emporais adoadas. Número médio de ierações por passo de empo =. =.5 = Parâmero de relaxameo igura 3. Acoplameo ieraivo ME-ME: úmero médio de ierações por passo de empo em fução do parâmero de relaxameo α e de diferees discreizações emporais. 5

141 oforme se pode oar, para problemas apropriadamee modelados =.5, por exemplo, valores de α próximos à uidade edem a ser mais eficiees para a formulação. Todavia, para problemas mal codicioados, é imporae a adoção de meores valores de α para se garair e/ou acelerar a covergêcia. Na igura 3. apresea-se a evolução da covergêcia dos resulados, cosiderado-se α =.5. As curvas apreseadas a igura 3., simbolizadas por marcação quadriláera, são obidas impodo-se um úmero fixo de ierações o caso,, 3 e 4 ierações por passo de empo. Desa forma pode-se observar a evolução dos resulados como fução do úmero de ierações de acoplameo. Na igura 3.3 apreseam-se resulados relaivos ao acoplameo direo ME- ME cosiderado-se rucameo do processo de covolução de elemeos de cooro. O gaho compuacioal devido ao rucameo é desacado a Tabela 3.. O méodo de ierpolação muli-liear foi cosiderado para o rucameo em quesão, adoado-se κ = e Θ =.5. oforme se pode oar, grade gaho compuacioal pode ser obido pela adoção da aálise rucada, sem grade perda de precisão Φ = % e 5%. A relação aqui obida ere os empos oais de processameo do acoplameo direo e do acoplameo ieraivo é de 85% sem se cosiderar rucameo em ambas formulações. Ese úmero é elevado uma vez que, para o problema em quesão, grade pare do processameo esá relacioada ao raameo do processo de covolução de elemeos de cooro, igualmee cosiderado, por passo de empo, em ambas formulações de acoplameo. 6

142 orças de superfície Aalíica Ieraivo ieração Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo ieração Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo ieração Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo ierações Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo ierações Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo ierações Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo 3 ierações Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo 3 ierações Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo 3 ierações Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo 4 ierações Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo 4 ierações Tempo orças de superfície Aalíica Ieraivo 4 ierações Tempo a =.5 b =.5 c =. igura 3. overgêcia do acoplameo ieraivo ME-ME cosiderado-se parâmero de relaxameo α =.5 e diferees discreizações emporais: a =.5 ; b =.5 ; c =.. 7

143 orças de superfície N/m Aalíica Φ = % Φκ = % Tempo s orças de superfície N/m Aalíica Φ = % Φκ = % Tempo s orças de superfície N/m Aalíica Φ = % Φκ = 5% Tempo s orças de superfície N/m Aalíica Φ = % Φκ = 5% Tempo s orças de superfície N/m Aalíica Φ = % Φκ = 8% Tempo s orças de superfície N/m Aalíica Φ = % Φκ = 8% Tempo s a =.5 b =.5 igura 3.3 orças de superfície o poo B da ierface, cosiderado-se acoplameo direo ME-ME e rucameo do processo de covolucão: a =.5 ; b =.5. 8

144 Tabela 3. Barra egasada: gaho compuacioal o acoplameo direo Φ% Memória % Tempo de P % Acoplameo direo / ieraivo: Viga egasada Nese exemplo cosidera-se uma viga egasada SOARES JR e al., 4a, coforme esquemaizado a igura 3.4a. Os dados físicos e geoméricos do modelo da viga são os mesmos do modelo da barra previamee cosiderado, ou seja, em-se: a =.m e b =.m dimesões do modelo; E = N/m módulo de Youg; υ =. Poisso; ρ =.5Ns /m 4 desidade de massa. O carregameo verical aplicado a exremidade da viga igura 3.4a é uiformemee disribuído e do ipo Heaviside. O modelo em quesão é aqui raado cosiderado-se aálise acoplada acoplameo ieraivo ME-ME e ME-ME e ão acoplada solução por ME e por ME. As malhas adoadas cosiderado-se aálise acoplada são idicadas a igura 3.4b. No caso de acoplameo ME-ME, 64 elemeos fiios, quadragulares lieares, e 3 elemeos lieares de cooro são empregados a malha acoplada. No caso de acoplameo ME-ME, 64 elemeos lieares de cooro são empregados 3 referees à formulação ME E e 3 referees à formulação ME D, bem como 8 células de iegração riagulares lieares formulação ME E. 9

145 y B A f b a a Modelo esquemáico x b a/ a/ Malha ME-ME Malha ME D -ME E Malha ME Malha ME c Malha de células de iegração igura 3.4 Viga egasada: a modelo esquemáico; b malhas acopladas ME-ME e ME-ME; c malhas ão acopladas: elemeos fiios, elemeos de cooro e células de iegração.

146 . Deslocameos m ME-ME ME ME elasoplásica elásica a Tempo s. Deslocameos m ME E -ME D ME E ME D elasoplásica elásica b Tempo s igura 3.5 Resulados o poo A do modelo para aálise liear e ão-liear: a acoplameo ieraivo ME-ME; b acoplameo ieraivo ME-ME.

147 As malhas relaivas às aálises ão acopladas são apreseadas a igura 3.4c: 8 elemeos fiios quadragulares lieares; 48 elemeos lieares de cooro; e 56 células de iegração riagulares lieares são adoadas. Resulados lieares e ão-lieares obidos para o poo A do modelo são apreseados a igura 3.5. Os passos de empo adoados são: =.5s β. e =.5s. No caso de acoplameo ME-ME em-se, de forma aáloga: D =.5s e E =.5s. Na aálise ão-liear em quesão cosidera-se o modelo como sedo elasoplásico, seguido o criério de escoameo de vo Mises. A esão de escoameo cosiderada para o modelo é σ =.N/m. oforme se pode perceber por iermédio da igura 3.5, boa cocordâcia é obida ere os resulados proveiees dos diferees méodos de aálise empregados. 3 Número médio de ierações por passo de empo ME-ME Verificação por ormas de resíduo e deslocameo ME-ME Verificação por valores odais a ierface Parâmero de relaxameo igura 3.6 Acoplameo ieraivo ME-ME e ME-ME: úmero médio de ierações por passo de empo em fução do parâmero de relaxameo α.

148 Deslocameos m Ieraivo Tempo s ierações Deslocameos m Ieraivo Tempo s ierações Ieraivo 3 ierações Ieraivo 3 ierações Deslocameos m Tempo s Deslocameos m Tempo s Ieraivo 4 ierações Ieraivo 4 ierações Deslocameos m Tempo s Deslocameos m Tempo s a ME-ME b ME D -ME E igura 3.7 overgêcia do acoplameo ieraivo cosiderado-se parâmero de relaxameo α =.5: a acoplameo ME-ME; b acoplameo ME-ME. 3

149 A covergêcia dos processos ieraivos de acoplameo pode ser aqui aalisada as iguras 3.6 e 3.7. A igura 3.6 idica o úmero médio de ierações realizado, por passo de empo, em fução do parâmero de relaxameo α, cosiderado-se acoplameo ME-ME e ME-ME. É imporae ressalar que os criérios de covergêcia empregados pelas duas meodologias de acoplameo são diferees: equao o acoplameo ME-ME a verificação de covergêcia é aqui feia por iermédio das ormas dos veores de resíduo e de icremeos de deslocameo, o acoplameo ME-ME faz-se a verificação de covergêcia por iermédio de valores odais a ierface de acoplameo. Eses diferees criérios foram adoados quado da programação, a fim de se poder cosiderar as ierações de acoplameo juo com as ierações relaivas a procedimeos ão-lieares é usual a adoção deses ipos de criérios as meodologias para aálises ão-lieares de ME e de ME. Na igura 3.7 apresea-se a evolução da covergêcia dos resulados, cosiderado-se α =.5. Adoa-se α =.5 a igura 3.7, pois, para esse valor, o mesmo úmero médio de ierações é ecessário para o acoplameo ME-ME e ME- ME igura 3.6. Pode-se, desa forma, avaliar-se melhor a iformação gráfica da igura 3.6, uma vez que o criério de covergêcia adoado para o acoplameo ME- ME é mais rigoroso que o adoado para o acoplameo ME-ME olerâcia de -3 é cosiderada em ambas meodologias. Para a modelagem em quesão, obém-se melhores resulados por iermédio de elemeos fiios que pela meodologia de elemeos de cooro baseada em soluções fudameais esáicas ME E. Pode-se oar, por exemplo, coforme apreseado a aálise elásica da igura 3.5, que os resulados de ME são basae similares aos resulados de ME D, o mesmo ão acoecedo com os resulados de ME E 4

150 provavelmee o passo de empo adoado E ão é o óimo para o modelo em quesão, uma vez que a formulação de ME E é mais sesível à escolha do passo de empo que a formulação de ME. Tal discrepâcia de resulados em efeios a aálise acoplada: o acoplameo ieraivo ME-ME ão coverge caso se adoe α =. igura 3.6. Mais uma vez percebe-se a imporâcia do parâmero α a esabilização de modelos mal codicioados Acoplameo solo-solo osidera-se, esa seção, dois exemplos de aplicação, um liear e ouro ãoliear, ambos relacioados a acoplameos do ipo solo-solo. Modelos de domíio ifiio são aqui cosiderados: ese ipo de aplicação oram-se especialmee úeis acoplameos do ipo ME-ME ou ME-ME Meio semi-ifiio osidera-se aqui a aálise de um meio semi-ifiio sob carregameo VON ESTOR & IRZIAAN,, coforme esquemaizado a igura 3.8a. As propriedades físicas do modelo são: E =.77 N/m módulo de Youg; c d = 8. m/s e c s = 4.74 m/s velocidades de oda. Geomericamee, em-se: a = 5.4m; b = 5.4m; c = 34.8m. A malha acoplada ME-ME adoada para a aálise é apreseada a igura 3.8b. 6 elemeos fiios quadragulares lieares e 46 elemeos lieares de cooro são adoados d = 38.m. Os resulados obidos para os deslocameos os poos A, B e igura 3.8a, adoado-se discreização emporal = =.s β., são apreseados a 5

151 igura 3.9a, cosiderado-se acoplameo ME-ME do ipo padrão, ieraivo e direo. oforme se pode oar, os resulados apreseam boa cocordâcia ere si bem como com os resulados apreseados por VON ESTOR & IRZIAAN. ma vez que os acoplameos ieraivo e direo permiem a adoção de diferees discreizações emporais para os diferees subdomíios, a igura 3.9b apreseamse resulados cosiderado: =.s e =.s; =.s e =.5s; =.5s e =.5s. Para =.5s e =.5s o acoplameo padrão ora-se isável e o acoplameo ieraivo ão coverge para α =. ver igura 3.; os gráficos raçados a igura 3.9 adoam α =.5. Para =.s e =.5s, obémse resulados acoplameo ieraivo e direo da mesma ordem de precisão dos resulados obidos quado da adoção = =.s. a a y f A b B c x b d igura 3.8 Meio semi-ifiio: a modelo esquemáico; b malha ME-ME. 6

152 .. Poo A -. Deslocameos m Padrão Ieraivo Direo Poo Poo B a Tempo s. Deslocameos m Poo Ieraivo: =.s ; =.s c =.s ; =.5s c =.5s ; =.5s c Direo: =.s ; =.s c =.s ; =.5s c =.5s ; =.5s c -. b Tempo s igura 3.9 Deslocameos cosiderado-se acoplameo padrão, ieraivo e direo ME-ME: a = =.s; b diferees discreizações emporais. 7

153 5 Número médio de ierações por passo de empo 5 5 =.s ; =.s c =.s ; =.5s c =.5s ; =.5s c Parâmero de relaxameo igura 3. Acoplameo ieraivo ME-ME: úmero médio de ierações por passo de empo em fução do parâmero de relaxameo α e de diferees discreizações emporais... Deslocameos m Φ = % Φ = 5% Φ = % Deslocameos m Φ = % Φ = 5% Φ = % Tempo s a hebyshev-lagrage Tempo s b Muli-liear igura 3. Deslocameos vericais o poo, cosiderado-se acoplameo direo ME-ME e rucameo do processo de covolucão =. : a ierpolação por poliômios de hebyshev-lagrage; b ierpolação muli-liear. 8

154 É ieressae oar que para =.s e =.5s a aálise ão só é mais eficiee em relação a = =.s, pois permie a solução do modelo cosiderado-se poucos passos de empo relacioados ao ME acoplameo ieraivo e direo, mas ambém porque se obém covergêcia acoplameo ieraivo mais rapidamee ver igura 3.. O presee exemplo, bem como os aeriores, mosra a imporâcia da meodologia aqui proposa para se cosiderar diferees discreizações emporais os diferees subdomíios. Por iermédio desa, pode-se ober modelages mais esáveis, precisas e eficiees. Na igura 3. idica-se o úmero médio de ierações realizado, por passo de empo, em fução do parâmero de relaxameo α e das diferees discreizações emporais adoadas acoplameo ieraivo. Na igura 3. apreseam-se resulados relaivos ao acoplameo direo =.s e =.5s, cosiderado-se rucameo do processo de covolução de elemeos de cooro. O gaho compuacioal devido ao rucameo é desacado a Tabela 3.. O méodo de ierpolação muli-liear κ = e Θ =.5 e por poliômios de hebyshev- Lagrage κ = foram aqui cosiderados para o rucameo. oforme se pode mais uma vez oar, cosiderável gaho compuacioal é obido pela adoção da aálise rucada, sem grade perda de precisão. Aálise rucada do processo de covolução se faz especialmee úil em problemas de domíio ifiio SOARES JR & MANSR, 4a. Neses ipos de aplicação, a hisória da solução iformação correspodee a passos de empos 9

155 precedees ão ifluecia ão sigificaivamee os resulados. Desa forma, adoção de maiores aproximações elevados valores de Φ, por exemplo pode ser cosiderada quado do processameo da covolução, sem proporcioar grades perdas para a precisão da aálise. ma vez que o acoplameo ME-ME é especialmee araivo para aálise de modelos complexos e de domíio ifiio, é exremamee apropriado que se dispoha de algum mecaismo de rucameo da covolução de ME associado a programas de acoplameo ME-ME. A relação obida ere os empos oais de processameo do acoplameo direo e do acoplameo ieraivo é de 6% a presee aplicação sem se cosiderar rucameo em ambas formulações. Apresea-se, a igura 3., a evolução dos deslocameos em módulo ao logo da malha de elemeos fiios do modelo acoplado. É imporae oar que reflexões de odas, providas da ierface de acoplameo, ão são visíveis. Tabela 3. Meio semi-ifiio: gaho compuacioal o acoplameo direo Φ% Memória % Tempo de P % Méodo hebyshev- Lagrage Muli-liear Acoplameo direo / ieraivo: 6 3

156 a b c d e igura 3. Módulo dos deslocameos ao logo da malha de elemeos fiios, cosiderado-se acoplameo ieraivo ME-ME =. : a =.s; b =.4s; c =.6s; d =.8s; e =.s. 3

157 avidade circular No presee subiem esuda-se uma cavidade circular, sujeia a carregameo uiformemee disribuído do ipo Heaviside ARRER & TELLES, 993, coforme esquemaizado a igura 3.3. As propriedades físicas do modelo são: E = si módulo de Youg; υ =.38 Poisso; ρ = 3.5slug/f 3 desidade de massa. O criério de escoameo de Mohr-oulomb é adoado, sedo: c =.7si coesão e φ = 3 âgulo de ario iero. O raio da cavidade em quesão é dado por R = f adoa-se aida d = f. Para aálise do presee modelo cosideram-se acoplameos ME-ME e ME- ME ieraivo e direo. As malhas referees às aálises acopladas são apreseadas a igura 3.4. No acoplameo ME-ME adoam-se 8 elemeos lieares de cooro e 944 elemeos fiios riagulares lieares igura 3.4a. No acoplameo ME-ME faz-se uso da simeria do modelo. O méodo de elemeos de cooro possui a ieressae vaagem de poder cosiderar modelos siméricos sem fazer uso de discreização dos eixos de simeria BREBBIA e al., 984. Para al cosidera-se um processo auomáico de codesação, ode se iegra ao logo dos elemeos cosiderado-se poos foes refleidos, agregado-se os valores as marizes já em suas formas reduzidas. As malhas relaivas ao acoplameo ME-ME são apreseadas a igura 3.4b. 46 elemeos de cooro são adoados 6 referees à formulação ME E e referees à formulação ME D, bem como 7 células de iegração riagulares lieares formulação ME E. 3

158 y f A B x R d igura 3.3 Modelo esquemáico da cavidade. Simeria y Simeria x Simeria y a b Simeria x igura 3.4 Malhas de elemeos fiios, elemeos de cooro e células de iegração adoadas: a acoplameo ME-ME; b acoplameo ME-ME uso de simeria. 33

159 ME D ME E -ME D ME D ME E -ME D.5.5 Tesões radiais Poo B Tempo Poo A Tesões circufereciais Poo A Tempo Poo B igura 3.5 Tesões lieares cosiderado-se acoplameo ME-ME. Elásica Elasoplásica Elásica Elasoplásica Tesões o poo A σ σ R Tesões o poo B σ R σ Tempo Tempo igura 3.6 Tesões ão-lieares cosiderado-se acoplameo ME-ME. ME D ME E -ME D ME-ME ieraivo ME-ME direo.. Deslocameos Poo B Poo A Deslocameos Elásica Elasoplásica.. ME E -ME D Tempo Tempo a b igura 3.7 Deslocameos a lieares e b ão-lieares cosiderado-se acoplameo ME-ME e ME-ME. 34

160 a b c igura 3.8 Esado de esões as malhas de ME e ME para o empo = s cosiderado-se aálise elásica: a σ xx ; b σ xy ; c σ yy. 35

161 a b c igura 3.9 Esado de esões as malhas de ME e ME para o empo = s cosiderado-se aálise elasoplásica: a σ xx ; b σ xy ; c σ yy. 36

162 a d b c igura 3.3 Evolução do esado σ xy de esões, ao logo do empo e do espaço, para aálise elasoplásica: a = 4s; b = 8s; c = s; d = 6s. a d b c igura 3.3 Evolução dos deslocameos em módulo ao logo do empo e do espaço, para aálise elasoplásica: a = 4s; b = 8s; c = s; d = 6s. 37

163 As seguies discreizações emporais são cosideradas: E =.s e D =.s β =.85 para o acoplameo ME-ME; e =.4s e =.s para o acoplameo ME-ME. Resulados para as esões os poos A e B do modelo igura 3.3 são apreseados as iguras 3.5 e 3.6; resulados para deslocameos são apreseados a igura 3.7. Os resulados lieares relaivos ao acoplameo ME-ME são comparados com resulados de elemeos de cooro ME D cosiderado-se modelagem com elemeos lieares de cooro e uso de simeria o cálculo de esões em poos ieros é realizado pelo méodo da derivada complexa, de acordo com SOARES JR e al.. oforme se pode oar pelas iguras 3.5 e 3.7a, boa cocordâcia ere os resulados de ME e de ME-ME é obida bem como com os resulados apreseados por HOW & KOENIG 966 e ARRER & TELLES 993. Resulados para as esões radiais σ R e circufereciais σ os poos A e B do modelo, cosiderado-se aálise elasoplásica, são apreseados a igura 3.6. Na igura 3.7 apreseam-se os deslocameos os poos A e B do modelo cosiderado-se aálise liear e ão-liear. Os resulados relaivos aos acoplameos ME-ME ieraivo e direo e ME-ME esão em boa cocordâcia ere si, ao para aálise elásica, quao para aálise elasoplásica, coforme se pode observar a igura 3.7b. Resulados relaivos ao esado de esões do modelo, para o isae de empo = s, ao logo das malhas acopladas, são apreseados as iguras 3.8 aálise elásica e 3.9 aálise elasoplásica. Mais uma vez pode-se oar que os resulados relaivos aos acoplameos ME-ME e ME-ME apreseam boa cocordâcia ere si. 38

164 Resulados ao logo do empo e do espaço, para o esado de esões e deslocameos, são apreseados as iguras 3.3 e 3.3, respecivamee, cosiderado-se acoplameo ME-ME Acoplameo fluido-esruura osidera-se, esa seção, duas aplicações relaivas a acoplameos do ipo fluidoesruura. Iicialmee, aalisa-se um duo submerso sujeio aos efeios de uma explosão em sua vizihaça; a seguir, esuda-se a barragem de um reservaório d água, carregada em sua crisa, em fução de diferees íveis d água o reservaório Duo submerso A aálise de duos submersos é de grade ieresse para a idúsria e exesa lieraura pode ser ecorada referee à modelagem e aálise de ais ipos de problemas HANG, 986; LIE e al., ; LOMBARD & PIRAX, 4; LIMA 4 ec.. O presee exemplo cosidera o modelo de um duo cilídrico, de seção circular, sujeio aos efeios de uma explosão acúsica em sua vizihaça. m esquema do modelo é apreseado a igura 3.3. Para a solução do problema em quesão, é aqui cosiderado o acoplameo ieraivo e direo ME-ME. As malhas de elemeos fiios e de elemeos de cooro cosideradas a aálise são apreseadas a igura 3.3: 48 elemeos fiios quadragulares lieares e 48 elemeos lieares de cooro são adoados. 39

165 φ igura 3.3 Modelo esquemáico do duo submerso. As propriedades físicas do duo são especificadas por: E =. N/m módulo de Youg; υ =.3 Poisso; ρ = 78g/m 3 massa específica. A velocidade de propagação de oda o fluido é c = 54m/s; a desidade de massa do fluido é ρ = g/m 3. Geomericamee o duo é defiido por: r =.8m e =.59m. A explosão acúsica que ocorre a vizihaça do duo d =.m é dada por: sx, = δx-ξs, ode δ é a fução dela de Dirac e o poo de explosão é defiido por ξ = d,. A evolução da ampliude S da explosão, ao logo do empo, pode ser visa a igura Resulados para os deslocameos e pressões hidrodiâmicas são apreseados as iguras 3.34 e 3.35, respecivamee, cosiderado-se os poos A, B e do modelo igura 3.3. As curvas relaivas às aálises cosiderado acoplameo ieraivo e direo ME-ME, apreseadas as iguras 3.34 e 3.35, esão em boa cocordâcia. A discreização emporal adoada para cada subdomíio é dada por: =.ms e =.5ms. 4

166 ...8 Evolução da explosão ao logo do empo Ampliude S Tempo igura 3.33 Evolução da ampliude da explosão S, ao logo do empo. Ieraivo Direo Ieraivo Direo.5.5 Deslocameos -6 m Deslocameos -6 m Tempo s Tempo s a Deslocameos horizoais o poo A b Deslocameos horizoais o poo B Ieraivo Direo Ieraivo Direo.5.5 Deslocameos -6 m Deslocameos -6 m Tempo s Tempo s c Deslocameos horizoais o poo d Deslocameos vericais o poo igura 3.34 Deslocameos para os poos A, B e do modelo cosiderado-se acoplameo ME-ME ieraivo e direo. 4

167 Ieraivo Direo..9 Pressões Mpa a Poo A Tempo s Ieraivo Direo..9 Pressões Mpa b Poo B Tempo s Ieraivo Direo..9 Pressões Mpa c Poo Tempo s igura 3.35 Pressões hidrodiâmicas a superfície do duo cosiderado-se acoplameo ME-ME ieraivo e direo: a poo A; b poo B; c poo. 4

168 Na igura 3.36 apreseam-se resulados relaivos ao acoplameo ieraivo ME- ME, cosiderado-se rucameo da covolução e aálise com úmero limiado de ierações por passo de empo. Para o rucameo cosiderado Φ = %; κ = ; Θ =.5, ierpolação muli-liear, o empo de P se reduz para cerca de 36% do empo de P relaivo à aálise sem rucameo e o armazeameo de memória se reduz para cerca de 4%. O empo de P relaivo ao acoplameo direo é cerca de 9% do empo de P relaivo ao acoplameo ieraivo ambos sem rucameo. No acoplameo ieraivo em quesão, 3 ierações por passo de empo são ecessárias, em média, para covergêcia, cosiderado-se valores de α ere.5 e. a média de 3 ierações por passo de empo permaece ialerada variado-se α ere.5 e.. 3. Deslocameos -6 m Ieraivo Φ = % Ieraivo Φ = % ieração por passo de empo Tempo s igura 3.36 Deslocameos horizoais o poo A do modelo cosiderado-se acoplameo ieraivo ME-ME: aálise com rucameo da covolução Φ = %; κ = ; Θ =.5 e aálise sem processo ieraivo limie máximo de ieração por passo de empo. 43

169 Represa de armazeameo Esuda-se, o presee exemplo, um sisema do ipo reservaório barragem de coesão VON ESTOR & ANTES, 99. m esquema do modelo em quesão é apreseado a igura Todos os méodos de acoplameo ese rabalho apreseados, i.e., acoplameo ME-ME padrão, ieraivo e direo e acoplameos ieraivos ME-ME E e ME-ME D, são cosiderados para a aálise do problema. A discreização da barragem pelo méodo de elemeos fiios e pelo méodo de elemeos de cooro é apreseada a igura 3.38: a 93 elemeos fiios quadragulares lieares; b 34 elemeos lieares de cooro; c células de iegração riagulares lieares. A modelagem do fluido é implemeada por iermédio de elemeos lieares de cooro. O úmero de elemeos acúsicos de cooro empregado é fução da alura H do ível d água o reservaório; em odas as aálises se adoam elemeos de cooro de mesmo comprimeo l = 5m. As propriedades físicas da barragem são dadas por: E = N/m módulo de Youg; υ =.5 Poisso; ρ = g/m 3 massa específica. A velocidade de propagação de oda o fluido é c = 436m/s; a desidade de massa do fluido é ρ = g/m 3. O carregameo aplicado vericalmee a crisa da barragem é seoidal, do ipo f = A sew. O ível d água a represa é variável, sedo aqui cosiderado duas possibilidades: H = 5m e H = 35m. Resulados para o modelo, cosiderado-se acoplameo ME-ME do ipo padrão, ieraivo e direo, são apreseados a igura

170 f 5 y x A B H igura 3.37 Modelo esquemáico da barragem de coeção e do reservaório de ível d água H: poo A 3,6; poo B 35,. a b c igura 3.38 Discreização da barragem: a malha de elemeos fiios; b malha de elemeos de cooro; c malha de células de iegração. 45

171 a Deslocameos - mm Acoplameo ME-ME H = 5m Padrão =. Ieraivo =.5 Direo = Tempo s H = 35m b Pressões hidrodiâmicas N/m Acoplameo ME-ME Padrão =. Ieraivo =.5 Direo = Tempo s H = 35m H = 5m igura 3.39 Resulados referees aos acoplameos ME-ME padrão, ieraivo e direo =.35s em fução do ível d água a represa H = 35m ou H = 5m: a deslocameos vericais o poo A; b pressões hidrodiâmicas o poo B. 46

172 a Deslocameos - mm Acoplameo ieraivo H = 5m ME-ME = /3 ME-ME E E = /3 ME-ME D D = Tempo s H = 35m.5 b Pressões hidrodiâmicas N/m Acoplameo ieraivo ME-ME = /3 ME-ME E E = /3 ME-ME D D = Tempo s H = 35m H = 5m igura 3.4 Resulados referees aos acoplameos ieraivos ME-ME e ME- ME =.3s em fução do ível d água a represa H = 35m ou H = 5m: a deslocameos vericais o poo A; b pressões hidrodiâmicas o poo B. 47

173 ME-ME E ME-ME D Verificação por valores odais a ierface ME-ME Verificação por ormas 8 Número médio de ierações por passo de empo Parâmero de relaxameo igura 3.4 Acoplameo ieraivo ME-ME e ME-ME: úmero médio de ierações por passo de empo em fução do parâmero de relaxameo α H = 5m. Deslocameos - mm Relação sugerida: β =.5; γ =. Regra rapezoidal: β =.5; γ = Tempo s a Pressões N/m Relação sugerida: β =.5; γ =. Regra rapezoidal: β =.5; γ = Tempo s b igura 3.4 Resulados relaivos ao acoplameo ME-ME D cosiderado-se diferees relações a ierface ere os deslocameos de ME D e as acelerações ormais de ME: a deslocameos vericais o poo A; b pressões hidrodiâmicas o poo B. 48

174 a ME-ME b ME-ME E igura 3.43 Esado de esões σ yy o isae de empo =.6s para ível d água H = 5m: a acoplameo ieraivo ME-ME; b acoplameo ieraivo ME-ME. a ME-ME b ME- ME E igura 3.44 Esado de esões σ yy o isae de empo =.6s para ível d água H = 35m: a acoplameo ieraivo ME-ME; b acoplameo ieraivo ME-ME. 49

175 Na igura 3.39a, os deslocameos vericais o poo A igura 3.37 são apreseados, cosiderado-se diferees discreizações emporais e aluras de ível d água. Os resulados apreseados a igura 3.39b são aálogos, sedo relaivos às pressões hidrodiâmicas o poo B do modelo igura Na igura 3.4 apreseam-se resulados para o modelo cosiderado-se acoplameos ieraivos ME-ME e ME-ME. Assim como fora cosiderado a igura 3.39, a igura 3.4a, os deslocameos vericais o poo A são apreseados, cosiderado-se diferees discreizações emporais e aluras de ível d água. Os resulados apreseados a igura 3.4b são aálogos, sedo relaivos às pressões hidrodiâmicas o poo B do modelo. oforme se pode perceber pelas iguras 3.39 e 3.4, odos os resulados apreseam boa cocordâcia ere si bem como com os resulados apreseados por VON ESTOR & ANTES 99. Na igura 3.4 apreseam-se os úmeros médios de ierações por passo de empo, ecessários aos acoplameos ieraivos ME-ME e ME-ME, em fução do parâmero de relaxameo α. Para α =., os acoplameos ieraivos cosiderados ão covergem. Para α =.75 o acoplameo ieraivo ME-ME ão coverge. Pela experiêcia do auor, a adoção de α =.5 é segura, gerado covergêcia ao para acoplameos ere sisemas fisicamee similares quao fisicamee disios, mas ão ecessariamee, coforme em sido apreseado ao logo dese rabalho, al aribuição gera o processo mais eficiee de covergêcia. Os resulados apreseados a igura 3.4 visam ilusrar a imporâcia de uma formulação coeree quado do raameo das codições de ierface. O presee 5

176 rabalho sugere a equação 3.45 para relação dos deslocameos a ierface com as acelerações ormais correlacioadas, esado esa equação em coformidade com a formulação de elemeos de cooro em cosideração. O uso de ouras relações, aleraivas à equação 3.45, geralmee resulam em isabilidade: a igura 3.4 mosra resulados relaivos à cosideração da regra rapezoidal para correlação dos deslocameos e acelerações ormais a ierface de acoplameo resulados isáveis e resulados relaivos à relação proposa, i.e., equação 3.45 resulados esáveis. Resulados aálogos aos apreseados a igura 3.4 são obidos quado da cosideração do acoplameo direo ME-ME. Nas iguras 3.43 e 3.44 são apreseados os esados de esões σ yy, ao logo da barragem, o isae de empo =.6s, para ível d água H = 5m e H = 35m, respecivamee. Os resulados em quesão são relaivos aos acoplameos ieraivos ME-ME e ME-ME Acoplameo solo-fluido-esruura osidera-se, a seguir, a modelagem de um caal de abasecimeo. Diferees modelos para o problema de ieração solo-fluido-esruura são abordados, cosiderado-se diferees ipos de ieração e íveis de complexidade aal de abasecimeo Apresea-se a igura 3.45 o modelo esquemáico do caal a ser aqui cosiderado. O problema em quesão é resolvido uicamee pelo méodo de elemeos de cooro acoplameo ME-ME D -ME E. As malhas adoadas a discreização do modelo são 5

177 apreseadas a igura 3.46: 36 elemeos lieares de cooro são adoados para modelagem do fluido ME; 8 elemeos lieares de cooro são adoados para modelagem do solo ME D ; 74 elemeos lieares de cooro e 96 células de iegração riagulares lieares são adoadas para modelagem da esruura ME E. As propriedades físicas do modelo são dadas por: i solo: E =.66 7 N/m módulo de Youg; υ =.3 Poisso; ρ = 7g/m 3 massa específica; ii fluido: ρ = g/m 3 massa específica; c = 436m/s velocidade de propagação de oda; iii esruura: E = N/m módulo de Youg; υ =.5 Poisso; ρ = 5g/m 3 massa específica. A esruura é cosiderada como edo comporameo elasoplásico, seguido o criério de escoameo de vo Mises com esão de escoameo σ = 6. 3 N/m. Os passos de empo adoados em cada subdomíio são dados por: = -5 s β.69; D = -5 s β.87; E = 3-5 s β.3. Na aálise em quesão, o passo de empo de referêcia subiem 3.3. para o algorimo de acoplameo é cosiderado como sedo: = E. Quaro modelos são cosiderados para a solução do problema em quesão, cosiderado-se diferees íveis de ieração. Na igura 3.47 especificam-se os modelos adoados. Resulados para os deslocameos do poo A do caal igura 3.45 são apreseados as iguras 3.48 e 3.49, cosiderado-se aálise elásica e elasoplásica, respecivamee. Os resulados apreseados levam em cosideração os diferees modelos especificados a igura omo se pode oar, apesar da simplicidade da presee aplicação, sigificaiva difereça pode ser obida ere os resulados adoado-se modelos muio simplificados. Nese seido, jusifica-se o emprego de écicas refiadas de modelagem quado da aálise de problemas acoplados complexos. 5

178 f.. A LIDO.5.5 SOLO ESTRTRA 5. igura 3.45 Modelo esquemáico do caal. a elemeos de cooro b elemeos de cooro c elemeos de cooro células de iegração igura 3.46 Discreização do modelo: a fluido; b solo; c esruura. 53

179 a Modelo Esruura b Modelo luido-esruura c Modelo 3 Solo-Esruura d Modelo 4 Solo-luido-Esruura igura 3.47 Modelagem do caal cosiderado-se diferees ipos de ieração: modelo esruura; b modelo ieração fluido-esruura; c modelo 3 ieração solo-esruura; d modelo 4 ieração solo-fluido-esruura. 54

180 Modelo Modelo Modelo 3 Modelo a Deslocameos horizoais mm Tempo ms b Deslocameos vericais mm Modelo Modelo Modelo 3 Modelo Tempo ms igura 3.48 Deslocameos para o poo A aálise elásica cosiderado-se os modelos,, 3 e 4: a deslocameos horizoais; b deslocameos vericais. 55

181 Modelo Modelo Modelo 3 Modelo a Deslocameos horizoais mm Tempo ms b Deslocameos vericais mm Modelo Modelo Modelo 3 Modelo Tempo ms igura 3.49 Deslocameos para o poo A aálise elasoplásica cosiderado-se os modelos,, 3 e 4: a deslocameos horizoais; b deslocameos vericais. 56

182 4 Sisemas com acoplameo de domíio

183 4.. Irodução No presee capíulo, um exemplo ípico de problema relaivo a acoplameo de domíios é cosiderado: aborda-se, aqui, a aálise diâmica de solos saurados. Ao logo dos subies que se seguem, as equações goveraes do modelo são apreseadas, bem como os correspodees raameos uméricos, sedo diferees formulações cosideradas. Algumas das formulações aqui desacadas são coribuições origiais do presee rabalho. Ao fim do presee capíulo algus exemplos uméricos são apreseados, ilusrado-se a aplicabilidade e performace das diferees meodologias cosideradas. Breve discussão a cerca de acoplameos de domíio-ierface é apreseada o úlimo exemplo dese capíulo. 4.. Modelagem poro-diâmica O presee subiem aborda aálise poro-diâmica liear e ão-liear. Assim como fora aeriormee realizado, quado da cosideração de modelagem acúsica e diâmica, iicialmee se apreseam as equações básicas que regem o modelo. Em seguida, a solução do problema por iermédio de elemeos de cooro e de elemeos fiios é desacada. Diferees abordages são aqui cosideradas, ao para a aálise com elemeos de cooro meodologias baseadas em uso de soluções fudameais diâmicas e esáicas quao para a aálise com elemeos fiios méodo de Newmar / Newo- Raphso e méodo implício de Gree / pseudo-forças. 58

184 4... Equações goveraes A formulação esedida das equações goveraes do problema poro-diâmico, iicialmee esabelecidas por Bio BIOT, 956b-c; BIOT, 96, é apreseada por ZIENKIEWIZ e al. 98 e ZIENKIENWIZ & SHIOMI 984, sedo esa úlima abordagem seguida pelo presee rabalho. A parir da defiição de esões oais, a equação de equilíbrio para um volume uiário de um meio poroso cojuo sólido-fluido pode ser escria como: σ & & ij, j ρm b i = ρm ui ρ f wi 4. ode σ ij represea as esões oais de auchy, com a usual oação idicial para eixos caresiaos; u i represea os deslocameos do esqueleo sólido; w i represea os deslocameos médios do fluido em relação ao sólido, i.e., wi =ν i ui, ode i é o deslocameo médio do fluido e ν é a porosidade do meio; b i esá associado a forças de domíio. Em 4., ρ m é a desidade de massa da misura, sedo defiida por: ρ = ν ρ ν ρ 4. m f s ode ρ f e ρ s são as desidades da fase fluido e sólido, respecivamee. As esões oais presees em 4. são defiidas em fução das esões efeivas, coforme se idica a seguir: σ ij = σ ' αδ p 4.3 ij ij 59

185 ode α é um parâmero adimesioal que cosidera compressibilidade o maerial bifásico e p é a poro-pressão. Escrevedo-se a equação cosiuiva fase sólido de forma icremeal, em-se para as esões efeivas: dσ ' ij = D dε dε σ ' dω σ ' dω 4.4 ijl l l i j j i ode os dois úlimos ermos dizem respeio às variações de esão roacioal de Zaremba-Jauma geralmee desprezíveis em casos de pequeas deformações e Dijl é a mariz agecial, defiida por iermédio de variáveis de esado apropriadas e da direção do icremeo. ε ij é referee a possíveis deformações causadas por ações exeras, ais como variações de emperaura, creep ec.. Os compoees icremeais da deformação dε e roação dω são defiidos a parir dos deslocameos, coforme se idica a seguir: ij ij ε ω ij ij = / u = / u i, j j, i u u j, i i, j 4.5 Levado-se em cosideração comporameo liear do modelo, as esões oais podem ser expressas como segue, edo-se em cosideração a lei de Hooe: σ ij = λδ ε µε αδ p 4.6 ij ij ij ode λ e µ são as cosaes de Lamé. A equação 4.6 represea a relação cosiuiva liear para as esões oais. omo seguda equação cosiuiva para o modelo, descreve-se a variação do volume de fluido por uidade de volume, coforme se segue: 6

186 θ = α u i, i / Q p 4.7 ode Q, assim como α, é um parâmero adimesioal que cosidera a compressibilidade relaiva ere os cosiuies. Os parâmeros de Bio α e Q podem ser defiidos por: α = K d / Q = ν / K / K f s α ν / K s 4.8 ode K f e K s são os módulos de compressibilidade do fluido e do esqueleo sólido dreado, respecivamee, e K d relacioa a poro-pressão do fluido com a deformação volumérica do esqueleo sólido. Em cora-parida à equação 4., o equilíbrio da fase fluido pode ser especificado pela lei de Darcy geeralizada, coforme se idica a seguir: w & i = κ p, ρ u&& ρ w& 4.9 i f i i ode κ = / ϑ é o coeficiee de permeabilidade, sedo ϑ a viscosidade diâmica do fluido e a permeabilidade iríseca do esqueleo sólido. Na expressão 4.9, ρ represea uma desidade efeiva, defiida por ZIENKIEWIZ e al. 98 como ρ = ρ f / ν ; ou por BIOT 956b como ρ = ρ a / ν ρ f / ν, ode ρ a é a desidade de massa aparee, correspodedo ao rabalho realizado pela fase sólido a fase fluido em fução do movimeo relaivo ere essas fases. azedo uso da equação 4.7, a equação de coiuidade que rege o modelo pode ser descria por a represea forças de domíio: 6

187 w& = a α u& / Q p& 4. i, i i, i Para se fializar a defiição do problema poro-diâmico faz-se ecessário cosiderar as codições de cooro e codições iiciais auaes. Tais codições podem ser resumidas coforme se segue: i odições de cooro >, ao logo do cooro Γ = Γ : s s f f Γ = Γ Γ ui X, = ui X, para X p X, = p X, para X s Γ f Γ τ X, = σ X, X = τ X, para X i ij j q X, = p, X, X q X, para X j j = i s Γ f Γ 4.a 4.b 4.c 4.d ii odições iiciais =, ao logo do cooro Γ e domíio Ω : ui X, = ui X 4.a u& X, = u& X 4.b i i p X, = p X 4.c ode os valores prescrios esão idicados por barras sobreposas e τ i e q represeam forças de superfície e fluxos, respecivamee, ao logo do cooro de ormal represeada pelo veor j. Esado apreseadas as equações goveraes do problema poro-diâmico, duas abordages são cosideradas o presee rabalho: a primeira descreve o problema de forma complea modelo liear por iermédio de écicas de rasformação de 6

188 domíio rasformada de Laplace; a seguda descreve o modelo ão liear, o domíio do empo, cosiderado-se algumas simplificações a formulação acoplada. Tedo-se em visa a primeira abordagem acima mecioada, omado-se a rasformada de Laplace das equações 4., 4.6, 4.9 e 4., cosiderado-se codições iiciais ulas, e efeuado-se subsiuições apropriadas, as equações 4.3 a seguir podem ser obidas: λ µ u µ u α p, ρ s u ρ b 4.3a j, ij i, jj i i m i = ζ p s / Q p α su a 4.3b, ii i, i = ode α = α ρ f sζ, ρ = ρ m ρ f sζ e ζ = / κ ρ s. De acordo com as equações 4.3, o problema fica defiido como fução dos deslocameos do esqueleo sólido u i e das poro-pressões p, ambos relaivos ao domíio rasformado s de Laplace. A seguda abordagem adoada ese rabalho ambém em como objeivo uma formulação fial do ipo u-p, ou seja, deslocameos da fase sólido e poro-pressões da fase fluido como variáveis idepedees. Todavia, al formulação ão é possível o domíio do empo, a meos que algumas simplificações sejam cosideradas. Quado se cosideram problemas de baixa freqüêcia, ermos relacioados à aceleração do fluido são de pouca imporâcia e podem ser omiidos com seguraça ZIENKIENWIZ & SHIOMI, 984. Omiido-se os ermos em quesão, pode-se elimiar a variável w i do sisema de equações, resado ão somee u i e p como variáveis primárias. Desa forma, o seguie sisema fial de equações pode ser obido: 63

189 σ ij, j ρ m b i ρm u& i = 4.4a α u& / Q p& κ p, a 4.4b i, i ii = A solução do sisema de equações 4.3 é abordada o subiem 4... do presee rabalho. Nos subies 4..., e cosidera-se o raameo umérico do sisema de equações Solução com elemeos de cooro Aborda-se ese subiem duas meodologias de solução para o problema porodiâmico usado-se elemeos de cooro. A primeira meodologia aqui abordada resolve o problema descrio pelas equações 4.3. A aálise em quesão é realizada passo a passo o empo, usado soluções fudameais o domíio de Laplace, por iermédio do méodo da quadraura de covolução SHANZ, b. Na seguda meodologia de solução abordada por ese rabalho, o sisema de equações 4.4 é cosiderado. Assim como fora realizado o subiem.3.., empregam-se soluções fudameais esáicas para solução do problema poro-diâmico, fazedo-se uso de iegração de domíio e de écicas de iegração o empo baseadas em esquemas de difereças fiias Aálise baseada em soluções fudameais diâmicas A equação iegral que solucioa o problema descrio pelas equações 4.3 o domíio rasformado de Laplace, descosiderado-se a preseça de forças de domíio, é expressa por HEN, 994; SHANZ, a: 64

190 65 Γ Γ = Γ Γ d p u q q d q p p u u p u c c i j i ij i j i ij i ij * * * * * * * * τ τ τ 4.5 As soluções fudameais * ij u, * i u, * j p, * p, * ij τ, * i τ, * j q e * q, presees em 4.5, são dadas por: / / / / / * r K s r K B r K A s r K B r K A s r K B r K A u ij ij ij ij ij ij ij ij λ ρ λ λ λ λ ρ λ λ λ λ λ λ λ λ ρ λ λ λ λ λ λ λ λ = 4.6 / /, * λ λ λ λ λ λ ζ µ λ π α = r K r K r s u i i 4.7 / /, * λ λ λ λ λ λ ζ µ λ π α = r K r K s r p j j 4.8 / / * 4 4 λ λ λ λ λ λ λ λ πζ = r K r K p 4.9 l i lj l ij il j j ij u u p s u * * * * *,,, = µ δ α λ τ 4. l i l l i il i u u p s u * * * * *,,, = µ δ α λ τ 4. i ji f i j j u s p q * * *, ζ ρ = 4. i i f i u s p q * *, * ζ ρ = 4.3 ode r K i λ e r K i λ são fuções de Bessel de segudo ipo e de zero e primeira ordem, respecivamee. Os ermos ij A, ij B e ij, presees em 4.6, são defiidos como: /,, r r r A ij j i ij π δ = 4.4 /,, π j i ij r r B = 4.5 / µ π δ ij ij = 4.6

191 66 Os valores de i λ presees em são dados pelas expressões : 4 λ e 3 λ são especificados as equações 4.7 e 4.8, respecivamee, e λ e λ são obidos pela resolução da equação de segudo grau 4.9. / 4 µ λ ρ λ = s 4.7 µ ρ λ / 3 s = 4.8 / / / 4 4 = ζ λ λ µ λ α ζ λ λ Q s Q Q s i i 4.9 Trasformado-se a equação 4.5 para o domíio do empo, obém-se: τ τ τ τ ξ τ ξ τ ξ τ τ ξ τ τ τ τ τ τ ξ τ ξ τ ξ τ ξ ξ ξ ξ ξ d X d X p X u X q X q X X d X d X q X X p X p X u X u p u c c i j i ij i j i ij i ij,,, ;, *, ;, *, ;, *, ;, *,,, ;, *, ;, *, ;, *, ;, *,, Γ Γ = = Γ Γ 4.3 ma vez que expressões para as soluções fudameais o domíio do empo ão são cohecidas, o sisema de equações do ipo 4.3 é aqui obido a parir de 4.5 por iermédio do méodo da quadraura de covolução de Lubich LBIH, 988a-b. O méodo da quadraura de covolução aproxima umericamee uma iegral de covolução, coforme idicado a seguir, para N,,, K = : = g f w d g f τ τ τ 4.3

192 67 ode os pesos w são obidos em fução da rasformada de Laplace da fução f. Desa forma, adoado-se aproximações do ipo 4.3 para as variáveis de cooro, = = J j ij j u i u X X u, η 4.3a = = J j ij j i X X, τ η τ τ 4.3b = = J j j j p p X X p, η 4.3c = = J j j j q q X X q, η 4.3d ode j y η são fuções de ierpolação espaciais correspodedo a um ó j X do cooro e relacioadas à variável geérica y. Empregado-se a defiição 4.3, o sisema de equações 4.3 pode ser escrio coforme expresso em 4.33: = = = = = J j j ij p j p i u ij u J j j ij q j q i ij i ij p u q w q w w w q p w p w u w u w p u c c * * * * * * * *,, τ τ τ ξ ξ ξ ξ τ τ 4.33 As fuções de peso * w y m g, presees em 4.33, podem ser defiidas, de acordo com o méodo da quadraura da covolução, como segue: L i ml j y L l i L l m y m e d X e g L g w / / / * / * π π η ϕ R = Γ Γ R = 4.34

193 ode R é o raio de um círculo o domíio de aálise de g * s e ϕ z é a fução cociee dos poliômios caracerísicos relacioados à meodologia de Lubich. No presee rabalho os seguies parâmeros são adoados: ϕ z =.5 z.5z ; L=N; R N = 5. O somaório presee em 4.34 é raado por iermédio de algorimos T, para se er maior eficiêcia. Para maiores dealhes sobre o emprego do méodo de Lubich em problemas de elemeos de cooro, as seguies referêcias são idicadas: SHANZ & ANTES 997; SHANZ 999, a; ABRE e al. 3. Esado a equação 4.33 esabelecida, esa pode ser re-escria como segue: w m T A 4.35 m P m X = w B Y w m G m wm H m= Q ode os ermos de X represeam os valores icógios o cooro, o empo discreo, equao os ermos de Y represeam os valores prescrios correspodees. A equação 4.35 possui esruura aáloga à das equações. e.46, sedo as marizes de ifluêcia, odavia, aqui calculadas com auxílio de domíio rasformado. Por iermédio de 4.35 o modelo poro-elasodiâmico pode ser solucioado a cada passo de empo. Para maiores dealhes sobre a formulação cosiderada ese subiem, o rabalho de SHANZ b é recomedado. 68

194 Aálise baseada em soluções fudameais esáicas omo referêcia à formulação que a seguir se cosidera, a meodologia apreseada o subiem.3.. solução diâmica ão-liear, associada ao rabalho de AVALANTI & TELLES 3 aálise quase-esáica poro-elásica, é idicada. As equações iegrais que solucioam o problema poro-diâmico deslocameos, esões e pressões descrio pelas equações 4.4, cosiderado-se soluções fudameais esáicas e esões iiciais, são dadas por: { } { } Ω Ω Γ Γ Ω Ω Γ Γ =, ; *,, ; *, ; *, ; *, X d p X X X d X b X u X u X d X u X X d X X u u c j P j ij m i i i i αδ σ ξ ε ρ ξ ξ τ τ ξ ξ ξ && 4.36 { } { } p X g X d p X X X d X b X u X u X d X u X X d X X u jl P jl i jl P jl ijl j j m ij j ij j ij i αδ σ αδ σ ξ ε ρ ξ ξ τ τ ξ ξ σ Ω Ω Γ Γ = Ω Ω Γ Γ,, ; *,, ; *, ; *, ; *, & & 4.37 { } Ω Γ Γ Ω Γ Γ =,, ; *, ; *, ; *, X d X a X p X p X d X p X q X d X q X p p c ξ ξ ξ ξ ξ 4.38

195 ode P σ jl represea os compoees da esão iicial plásica. As soluções fudameais u i *,τ i * e ε ij * presees em 4.36 e u ij *,τ ij * e ε ijl * presees em 4.37 são dadas por As soluções fudameais p* e q* são dadas por: p * X ; ξ = l r / π 4.39 q * X ; ξ = r / / π r 4.4 Por iermédio de e das simplificações cosideradas quado da dedução das equações 4.4, a seguie equação pode ser obida, relacioado esões efeivas elásicas e pressões: & p = z p z σ& 4.4 vol e ode o ermo vol σ& e é relaivo a esões voluméricas elásicas. As cosaes z e z presees em 4.4 são dadas por: z = / / κ e z = α K / κ, sedo, para o caso Q D elásico D, K = υ / µ. D Iroduzido a equação 4.4 em 4.38, obém-se: c ξ p ξ, = Γ Γ Ω Ω Ω p * X ; ξ q X, dγ X q * X ; ξ p X, dγ X p * X ; ξ z p& X, dω X 4.4 p * X ; ξ z σ& vol e X, dω X p * X ; ξ a X, dω X 7

196 As equações e 4.4 defiem as equações iegrais a serem resolvidas. Para se resolver o problema e 4.4, o cooro e o domíio do modelo são discreizados, empregado-se elemeos de cooro e células de iegração, respecivamee. Desa forma aproximações do ipo 4.43 são adoadas: J j u X, = η X u 4.43 j= u j ode j represea a variação das fuções de ierpolação pelos ós dos elemeos de cooro, o caso de resolução de iegrais de cooro, ou pelos ós das células de iegração, o caso de resolução de iegrais de domíio. Subsiuido aproximações uméricas do ipo 4.43 em e 4.4, os seguies sisemas mariciais podem ser obidos, edo-se em cosideração que σ ' = σ αδ p ver subiem.3.., para maiores dealhes: ij ij ij m P S & 4.44 = GT H M W O p O m P m P S' O ' & 4.45 = G'T H' M' W' p " P G"Q H"P M"P& W"O e S" 4.46 = & ode H, H, H, G, G, G são marizes de ifluêcia providas de iegrais de cooro e M, M, M, W, W, W são marizes de ifluêcia providas de iegrais de domíio. e são marizes geoméricas, relaivas aos parâmeros c i em 4.36 e c em 4.4, respecivamee. m é relaivo ao dela de Kroecer δ ij associado ao parâmero α de Bio αδ ij. O e é o veor de esões elásicas e O p é o veor de esões plásicas efeivas. S, S' e S" são relaivas às forças de domíio. Para maiores dealhes 7

197 a cerca da dedução e implemeação umérica relacioada às equações , em especial para raameo das iegrais de domíio, as seguies referêcias bibliográficas são recomedadas: ARRER 99; AVALANTI. Para se raar as iegrações o empo presees em , o presee rabalho faz uso do méodo de Houbol: 3 V & = V 5V 4V V / V & = V 8V 9V V / Subsiuido-se as relações em , obém-se: m P S H GT = L W O p 4.49 O m P m P S' O ' 4.5 = G'T H' L' W' p H "P G"Q = L" W"O e / 6 S" 4.5 ode as marizes H, H ' e H ", bem como os veores L, L ' e L ", são dados por: H = H M / 4.5 H ' = H' M' / 4.53 H " = " H" M" / L = M 5 4 / L ' = M' 5 4 / 4.56 L" = M" 8P W" 8O e 9P 9O e P O 3 3 e /

198 Iroduzido-se as codições de cooro 4. ao modelo, os sisemas de equações podem ser re-escrios como segue: m P S A X B Y L W O p = 4.58 O m P m P S' O ' 4.59 = B 'Y A'X L' W' p A "X" = B"Y" L" W"O e / 6 S" 4.6 Por fim, os sisemas podem ser expressos de forma mais compaca, coforme se idica a seguir: m P X Y W O p = 4.6 O m P m P O' Y' W' p = 4.6 X" Y" = W"O 4.63 e ode os veores efeivos Y, Y ' e Y " são dados por: B Y L S Y = A 4.64 Y ' = B 'Y A'Y L' S' 4.65 B"Y" L" S" Y " = A" 4.66 sedo as marizes efeivas W, W ' e W " dadas por: W = A W 4.67 W' = W A'W 4.68 W " = A" W" /

199 Parido-se da equação 4.63, i.e., levado-se em cosideração as codições de cooro do problema, o veor de poro-pressões pode ser expresso coforme idicado em 4.7. Isolado-se o veor de poro-pressões em 4.6 obém-se a equação 4.7 apreseada a seqüêcia, para as esões efeivas, ode W ' = W' I m. P Y" W" = O 4.7 e O' = Y' W'O p W' P 4.7 Subsiuido-se a equação 4.7 em 4.7, pode-se ober o sisema fial para o cálculo das esões efeivas, coforme se apresea a seguir: O = Y' ' W'O 4.7 p ode o veor Y ' e a mariz W ' são dados por: Y ' = I W' W" Y' W' Y" W ' = I W' W" W' W' W" Para se resolver o problema ão-liear em quesão, adoa-se um esquema ieraivo para o cálculo das esões do modelo resolução do problema 4.7. ma vez que se obeha covergêcia o esquema ieraivo do cálculo das esões, resolvem-se os sisemas 4.6 e 4.63 cálculo de deslocameos, poro-pressões ec., e pare-se para o próximo passo de empo, dado coiuidade à aálise. 74

200 Assim como fora cosiderado o segudo capíulo, o seguie algorimo ieraivo implício de solução de esões pode ser aqui adoado: Wp O e = Ψ 4.75 Ψ = Y' WI O p O e 4.76 ode W p = I W D e W = I W' I P I. Por iermédio de o modelo poro-diâmico ão-liear em quesão pode ser solucioado a cada passo de empo Solução com elemeos fiios Nese subiem apresea-se a solução do problema poro-diâmico ão-liear por iermédio de elemeos fiios. Assim como fora cosiderado o segudo capíulo, duas abordages ciemáicas semi-discreas são aqui adoadas: méodo de Newmar / Newo-Raphso e méodo implício de Gree / pseudo-forças. No méodo de Newmar / Newo-Raphso empregam-se relações de difereças fiias para se iegrar o empo as equações de movimeo méodo de Newmar aplicado a deslocameos e poro-pressões; o raameo do problema ão-liear é realizado por iermédio de esquema implício de ierações méodo de Newo- Raphso. No méodo implício de Gree, a solução o empo do sisema de equações se dá pela uilização de fuções de Gree, impliciamee calculadas. Esa meodologia propicia o desacoplameo ere as icógias deslocameo e forças odais auaes, 75

201 orado processos ieraivos desecessários em várias aplicações. Em problemas porodiâmicos o méodo implício de Gree proporcioa, de forma compuacioalmee eficiee, o desacoplameo das fases sólido e fluido do sisema acoplado. Obém-se, desa forma, um algorimo fial de solução basae araivo. Associado ao méodo implício de Gree, o méodo das pseudo-forças é uilizado para o raameo do problema ão-liear Méodo de Newmar / Newo-Raphso Adoado-se aproximações do ipo 4.77 ao logo dos elemeos fiios do modelo, para as variáveis de deslocameo e de poro-pressão J represea os úmeros de ós do elemeo fiio em quesão e j η são fuções de ierpolação espacial: J j u X, = η X u 4.77a j= = J j= u j p j p X, η X p 4.77b j pode-se ober o seguie sisema de equações mariciais, a parir das equações 4.4: & 4.78 u Ω T M B O' dω ΘP = & & 4.79 T Θ SP HP = p ode B é a mariz de deformação e O ' é veor de esões efeivas. As marizes de massa M, compressibilidade S, permeabilidade H e acoplameo Θ, presees em 4.78 e 4.79, são dadas por: 76

202 Ω T M = N u ρ N dω 4.8 m u S T = N p N dω Q p Ω 4.8 Ω T H = N κ N dω 4.8 Ω p p T Θ = B α m N dω 4.83 p ode κ é a mariz formada pelos coeficiees de permeabilidade aisoropia é aqui possível, ou seja, pode-se er κ κ ; N u e N p são marizes de ierpolação relaivas a x y η u e η p, respecivamee, e m é equivalee ao dela de Kroecer δ ij. Os veores de forças odais respecivamee, são defiidos como: u e p expressos em 4.78 e 4.79, u p T = N u T dγ N s Γ Ω T u T = N pκq dγ N f Γ Ω ρ T p m b dω a dω ode as iegrais de cooro presees em 4.84 e 4.85 dizem respeio às codições aurais de cooro do modelo. Adoado-se expressões de difereças fiias para solução do problema o empo, de acordo com o méodo de Newmar em-se: & & && = γ γ & 4.86 = & && / β β &

203 78 P P P P & & = θ θ 4.88 sado-se as expressões acima desacadas, e adoado-se um procedimeo ieraivo do ipo: V V V = 4.89 V V V = 4.9 pode-se ober o sisema fial de equações idicado a seguir: = p u B B P A ˆ ˆ ˆ 4.9 ode a mariz efeiva A, bem como o veor efeivo B, são defiidos por: = S H Θ Θ K M A / / / ˆ θγ β γ β β T T 4.9 { } { } / / / ' ˆ Ω Ω = T u u d M O B P P Θ B && & β β β 4.93 { } { } { } / / / / / / / ˆ = T u p Θ P P S P P H B && & γ β γ β γθ β θ γθ β γ β γ β 4.94 Em 4.9, T K é a mariz de rigidez agee ão-liear. A mariz efeiva A apreseada em 4.9 é simérica para T K simérica a simeria em 4.9 é obida por coveiee muliplicação de algumas lihas da mariz por cosaes apropriadas.

204 Por iermédio de 4.9 o modelo poro-diâmico ão-liear pode ser solucioado usado-se o méodo dos elemeos fiios com formulação de Newmar / Newo- Raphso. Para abordagem mais dealhada sobre algus aspecos do desevolvimeo aqui apreseado, as seguies referêcias são idicadas: ZIENKIEWIZ & SHIOMI 984; ZIENKIEWIZ e al. 99a; LEWIS & SHRELER 998; ZIENKIEWIZ e al Méodo implício de Gree / pseudo-forças As equações podem ser re-escrias, coforme se idica a seguir: & R 4.95 u Ω T M B O' dω = & R 4.96 S P HP = p ode as forças odais R u e a aálise acoplada. As forças odais de acoplameo R p, presees em , descrevem impliciamee R u e R p são dadas por: R u = u ΘP 4.97 R p & T = p Θ 4.98 oforme fora cosiderado o segudo capíulo, expressões aalíicas para deslocameos e velocidades, associadas à versão liear da equação 4.95, podem ser expressas por: 79

205 & = G& = G&& M G M G& M & G M & G& R u R u 4.99 ode e & são os veores codições iiciais do problema; G represea as marizes fuções de Gree do modelo G = e G & =M ; e o símbolo idica covolução. osiderado-se que o passo de empo seja suficieemee pequeo, as seguies aproximações, aálogas às adoadas em.97, podem subsiuir as iegrais de covolução presees em 4.99: G τ R τ dτ G& τ R τ dτ G R G& R 4. Tedo-se em mee as aproximações 4., relações recursivas podem ser obidas cosiderado-se as equações 4.99 o passo de empo e supodo que a aálise se iicia o passo de empo -. Adoado-se o méodo de Newmar equações para se calcular umericamee as marizes de Gree do modelo assim como fora feio o segudo capíulo e subsiuido esas marizes as relações recursivas que são fruo das equações 4.99, o seguie algorimo de solução para deslocameos e velocidades pode ser obido: & = γ / β 4. = γ / β / β γ / β & M R 4. u ode o veor auxiliar é obido pela resolução do sisema de equações 4.3 e a relação γ = β é adoada: 8

206 = { } { } / / K M M γ β / β & β 4.3 A solução da equação 4.96 pode ser obida, por sua vez, pelo emprego direo da relação de Newmar 4.88, coforme se idica a seguir: { H S / } { SP R } P = θ 4.4 p ode o veor predior P é dado por: P = / & θ P θ / θ P 4.5 Esado o veor velocidade expresso pela equação 4., o mesmo poderia ser empregue a equação 4.4, por iermédio do veor de força odal acoplada R p, resolvedo-se o cálculo das poro-pressões do modelo. Todavia, al procedimeo seria icompaível com as aproximações uméricas 4. em cosideração. As expressões 4., apesar de simples, são ferrameas apropriadas para a aproximação das iegrais de covolução do ipo 4.99, coforme se em mosrado ao logo dese rabalho. Iso acoece uma vez que as aproximações 4. rabalham juas e de forma complemear: erros associados a uma das aproximações são corrigidos por erros associados à oura aproximação e vice-versa ver discussão apreseada o segudo capíulo. De forma mais específica, as aproximações 4. sub e super esimam as iegrais de covolução de deslocameo e velocidade, respecivamee, sedo, desa forma, os erros associados compesados. Empregado-se a equação 4. direamee em 4.4, igora-se a relação de compesação exisee as aproximações 4., quado do cálculo das poro-pressões. 8

207 A fim de se criar uma meodologia ode as aproximações 4. para deslocameos e velocidades rabalhem juas quado do cálculo das poro-pressões, iroduz-se aqui um veor auxiliar de velocidades &, obido com base as aproximações de difereças fiias 4.88: { } θ / θ & & = / θ 4.6 Esado o cálculo de &, por iermédio de deslocameo 4., e esado o cálculo de, baseado as aproximações de & baseado as aproximações de velocidade 4., eses dois veores podem ser combiados de forma a se ober a expressão fial de velocidade a ser iroduzida em 4.4. Esa combiação é feia por iermédio do parâmero de poderação ϕ, coforme se segue: & & = ϕ ϕ & 4.7 Iroduzido-se o veor & esabelecido em 4.7 a expressão 4. por iermédio de R p, obém-se para as poro-pressões: P = T { H S / θ W ϕ } { SP Θ ϕ ϕ & p } 4.8 ode W = Θ T M Θ e o veor auxiliar é dado por: = γ / β / β γ / β & M 4.9 u 8

208 Após o cálculo do veor de poro-pressões equação 4.8, ese pode ser iroduzido a equação 4., por iermédio de R u, obedo-se as velocidades do modelo para o passo de empo. Esado calculados os deslocameos, poro-pressões e velocidades, segue-se a aálise para o próximo passo de empo. O algorimo de solução aqui apreseado equações e 4.8 é deduzido a parir das equações discreizadas por elemeos fiios Todavia, pare da dedução poderia ser realizada edo-se por base as equações de movimeo 4.4. Adoado-se esa abordagem assim como é cosiderado, e.g., por LI e al. 3, quado da dedução do esquema ieraivo de solução deomiado ieraive sabilized fracioal sep algorihm pode-se ober uma expressão mais apropriada para a mariz de acoplameo modificada W = Θ T M Θ. Desa forma, W pode ser redefiida por: T α W = N p N p dω 4. ρ Ω m As equações e 4.8 resolvem o problema poro-diâmico liear. A solução do problema ão liear pode ser obida por iermédio de pseudo-forças, assim como fora abordado o segudo capíulo. O algorimo fial de solução do problema poro-diâmico ão-liear por iermédio do méodo implício de Gree / pseudo-forças pode ser resumido a seqüêcia de passos passos a apreseada a seguir. 83

209 Para cada passo de empo, execuar a seqüêcia: Resolver: ˆ { / / A = M β β & } alcular: u = γ ; γ / β ; 3 alcular: B = M { R } u u ; 4 alcular: = & γ / β / β γ / β B ; u & θ & ; 5 alcular: = / { } θ / θ 6 alcular: P = / θ P θ / θ P& ; 7 Resolver: Aˆ T P = S P Θ { ϕ ϕ & p p }; B 8 alcular: { } p = M ΘP ; 9 alcular: = B ; & p alcular: P & = / θ P P. ode R é o veor de pseudo-forças e as marizes efeivas  u e  p são dadas por: ˆ A u = K M / β 4. A ˆ = H S / θ W ϕ 4. p Na solução do modelo poro-diâmico por iermédio do méodo de Newmar / Newo-Raphso equação 4.9, um sisema acoplado de equações ecessia ser resolvido a cada passo ieraivo de aálise. oforme fora mecioado, o sisema de equações 4.9 é origialmee ão-simérico. Simeria, odavia, pode ser facilmee iroduzida muliplicado-se algumas lihas do sisema de equações por cosaes apropriadas. oudo, assim o fazedo, o sisema de equações ão mais permaece 84

210 posiivo defiido e algus méodos clássicos de solução de sisemas de equações e.g., méodo dos gradiees cojugados ão mais podem ser empregados para solução do sisema. Desa forma, para problemas de grade pore, o sisema de equações 4.9 pode ser compuacioalmee muio oeroso. Mais aida, quado as parículas sólidas e o fluido são icompressíveis e a permeabilidade do modelo é ula, procedimeos especiais devem ser cosiderados para se aeder às codições de Babusa-Brezzi BABSKA, 973; BREZZI, 974 ou, de forma mais simples, o pach es de Zieiewicz-Taylor ZIENKIEWIZ e al., 986; ZIENKIEWIZ e al., 988, garaido-se, desa forma, covergêcia e uicidade a solução. O algorimo de solução apreseado o presee subiem, por ouro lado, resolve dois sisemas de equações ambos siméricos e posiivo defiidos separadamee a cada passo de empo cosidera-se que a mariz de massa possa ser cosiderada diagoal, orado-se, desa forma, rivial o cálculo dos veores efeivos B os passos 3 e 8 do algorimo. m dos sisemas em quesão esá relacioado à fase sólido passo do algorimo proposo e ouro esá relacioado à fase fluido passo 7 do algorimo proposo. ma vez que eses dois sisemas de equações são meores e mais simples de se resolver, a presee formulação mosra-se basae eficiee. Mais aida, a aálise de meios icompressíveis e impermeáveis pode ser direamee cosiderada, sem ehum ipo especial de adapação. A precisão da presee formulação ambém é boa, coforme se poderá oar os exemplos que se apreseam ao fial do capíulo. Para passos de empo usuais em aálises com elemeos fiios, o ível de precisão das meodologias relaivas aos subies e é basicamee o mesmo, sedo a meodologia mais sesível ao aumeo do passo de empo em algumas aplicações, ereao, coforme 85

211 se apresea o próximo subiem, os resulados relaivos à aálise podem ser cosiderados como sedo mais precisos. Para problemas mal codicioados, a presee formulação pode se orar isável. Em relação ao parâmero de poderação ϕ, o auor recomeda a seguie aribuição: ϕ = Solução com algorimos ieraivos de acoplameo Nos subies aeriores foram apreseadas diferees meodologias para solução do problema poro-diâmico por iermédio de elemeos de cooro e de elemeos fiios. Nehuma das meodologias cosideradas, odavia, faz uso de algum esquema ieraivo de acoplameo da fase fluido com a fase sólido, para a solução do problema. O acoplameo ieraivo em problemas poro-diâmicos é usualmee isável ão sedo usual a sua implemeação. Em elemeos fiios, a meos que o problema seja muio bem codicioado, raramee se obém covergêcia quado da adoção de esquemas ieraivos de acoplameo. Pesquisas recees êm desevolvido algorimos ieraivos mais esáveis, podedo-se ober covergêcia para uma sigificaiva gama de aplicações. O rabalho de LI e al. 3, por exemplo, permie que se obeha covergêcia sem que se adoe discreização exremamee refiada ao modelo; a meodologia em quesão, odavia, assume algumas relações ao logo da dedução do algorimo que a oram iapropriada para aálises ão-lieares. Em elemeos de cooro, pouca pesquisa há a área. Não é de cohecimeo do auor ehum rabalho o ópico cosiderado-se aálise baseada em soluções fudameais diâmicas. Esquema ieraivo de solução cosiderado-se aálise baseada 86

212 em soluções fudameais esáicas é implemeado por AVALANTI & TELLES 3, obedo-se bos resulados. Todavia, a aálise ciada é liear e quase-esáica. Para aálises poro-diâmicas, como a apreseada o presee rabalho, o auor esou dois esquemas ieraivos de solução cosiderado-se formulação de elemeos de cooro baseada em soluções fudameais esáicas. No primeiro esquema ieraivo cosiderado, rabalha-se com esões oais difereemee do que é apreseado o subiem 4..., ode se rabalha com esões efeivas, ierado-se em cada poo odal e a cada passo de empo os valores das esões oais e poro-pressões, aé que se obeha covergêcia ieração ere equações aálogas às , cosideradose esões oais. Para problemas elásicos esa aleraiva é viável, uma vez que as relações cosiuivas são lieares, sedo idiferee a adoção de esões oais ou efeivas como variável icógia básica, quado da solução do problema. No segudo esquema ieraivo cosiderado, adoam-se procedimeos de ieração ere esões e poro-pressões aálogos aos adoados pelo primeiro esquema ieraivo discuido, sedo, coudo, esões efeivas as variáveis icógias básicas assim como apreseado o subiem 4... Para o esquema ieraivo baseado em esões oais, o auor obeve covergêcia em odas as aplicações as quais a meodologia foi esada. oudo, a covergêcia é exremamee lea, sedo ecessária, em algumas aplicações, uma média de ceeas de ierações por passo de empo. osiderado-se o segudo esquema ieraivo em quesão esões efeivas, a covergêcia é rápida; odavia, assim como ocorre com elemeos fiios, cosegue-se obê-la em poucas aplicações. Ressala-se que o esquema ieraivo adoado por AVALANTI & TELLES 3 é baseado em esões oais. 87

213 Desa forma, em fução dos iúmeros problemas relacioados a algorimos ieraivos de acoplameo em problemas poro-diâmicos, ese ipo de abordagem ão recebe aqui desacada aeção Aplicações uméricas osidera-se, o presee subiem, algus exemplos de aplicação das meodologias de elemeos de cooro e de elemeos fiios apreseadas ese capíulo. Para se faciliar a omeclaura os exemplos que se seguem, as seguies abreviações são aqui cosideradas: ME: aálise relaiva à meodologia apreseada o subiem 4...; ME: aálise relaiva à meodologia apreseada o subiem 4...; ME: aálise relaiva à meodologia apreseada o subiem 4..3.; ME: aálise relaiva à meodologia apreseada o subiem Nas aplicações apreseadas a seguir, as meodologias ME e ME são efocadas, sedo esas coribuições origiais do presee rabalho oluas de solo Nese exemplo esuda-se uma colua de solo, coforme esquemaizado a igura 4.a. Todas as meodologias de solução cosideradas ese capíulo são empregadas para a aálise do modelo proposo. As malhas de elemeos fiios, elemeos de cooro e células de iegração adoadas são apreseadas a igura 4.b. 88

214 f A H a B b igura 4. olua de solo: a modelo esquemáico; b malhas adoadas elemeos fiios; elemeos de cooro; células de iegração.. Deslocameos o poo A mm Aalíica ME ME ME massa diagoal ME massa cosisee Tempo s igura 4. Deslocameos o poo A do modelo cosiderado-se aálise com elemeos de cooro e com elemeos fiios. 89

215 osidera-se a superfície superior da colua em quesão como sedo dreada e sujeia a codição de cooro ula de poro-pressão. As demais superfícies do modelo são cosideradas ão dreadas. arregameo do ipo Heaviside o empo é uiformemee aplicado ao logo da borda superior da colua, coforme idicado a igura 4.a. Dois ipos de solo e ampliudes de carregameo são aqui cosiderados, coforme se especifica a seguir: i Modelo DE BOER e al., 993: Nese modelo o carregameo em ampliude 3N/m. As propriedades do solo são: υ =.3 Poisso; E = 45588N/m Módulo de Youg; ρ s = g/m 3 massa específica - fase sólido; ρ f = g/m 3 massa específica - fase fluido; ν =.33 porosidade; κ = -6 m 4 /Ns permeabilidade. O solo é cosiderado icompressível; ii Modelo SHANZ & HENG, : Nese modelo o carregameo em ampliude N/m. As propriedades do solo são: υ =.98 Poisso; E = N/m Módulo de Youg; ρ s = 7g/m 3 massa específica - fase sólido; ρ f = g/m 3 massa específica - fase fluido; ν =.48 porosidade; κ = m 4 /Ns permeabilidade. O solo é cosiderado compressível, sedo os módulos de compressibilidade dados por: K s =. N/m fase sólido; K f = N/m fase fluido. Resulados relaivos ao Modelo são apreseados a igura 4.. Nas iguras 4.3 e 4.4 apreseam-se resulados relaivos ao Modelo. Os deslocameos vericais o poo A do modelo, apreseados a igura 4., são obidos adoado-se passo de 9

216 empo = -3 s β. em odas as aálises cosideradas. Para o caso ME, duas aálises são realizadas, uma cosiderado mariz de massa diagoal e oura cosiderado mariz de massa cosisee. oforme se pode oar, os resulados apreseados mosram boa cocordâcia ere si, bem como com a solução aalíica para o modelo em quesão DE BOER e al., 993; DE BOER, 998 e com resulados uméricos obidos por ouros auores e.g., DIEBELS & EHLERS 996. Para a aálise do Modelo o passo de empo cosiderado é = -4 s a malha de elemeos de cooro e de células de iegração relaiva a ME é refiada, de forma a se maer a relação β.. Os resulados para os deslocameos o poo A do modelo são apreseados a igura 4.3, ao para solução com elemeos de cooro igura 4.3a, quao para solução com elemeos fiios igura 4.3b. Na igura 4.4 são apreseados resulados relaivos à poro-pressão o poo B do modelo H = m. Mais uma vez, coforme se oa as iguras 4.3 e 4.4, os resulados relaivos às diferees meodologias de aálise apreseam boa cocordâcia ere si, bem como com a solução aalíica para o modelo em quesão as resposas relaivas ao méodo semi-aáliico de DBNER & ABATE 968, são aqui cosideradas como a solução aalíica do modelo e com resulados uméricos obidos por ouros auores e.g., SHANZ & HENG. Na igura 4.4a pode-se observar oscilações ípicas do méodo de elemeos de cooro, quado do cálculo das poro-pressões do modelo. Tais oscilações ambém esão presees as soluções com elemeos fiios igura 4.4b, sedo, coudo, amorecidas ao logo do empo. O resulado de poro-pressão que mais se aproxima da solução aalíica é aqui obido com a meodologia ME. 9

217 Deslocameos o poo A mm Aalíica ME ME a Tempo s. Deslocameos o poo A mm Aalíica ME ME b Tempo s igura 4.3 Deslocameos o poo A do modelo : a aálise com elemeos de cooro; b aálise com elemeos fiios. 9

218 a Poro-pressões o poo B N/m 3. Aalíica ME ME Tempo s b Poro-pressões o poo B N/m 3. Aalíica ME ME Tempo s igura 4.4 Poro-pressões o poo B do modelo : a aálise com elemeos de cooro; b aálise com elemeos fiios. 93

219 4.3.. udação ipo sapaa Nese exemplo esuda-se a ifluêcia de uma fudação superficial sapaa o solo circudae. m modelo esquemáico do problema em cosideração é apreseado a igura 4.5a. Três diferees modelos são aqui abordados para a aálise em quesão. As malhas elemeos fiios, elemeos de cooro, células de iegração adoadas para a solução dos diferees modelos cosiderados são apreseadas a igura 4.5b faz-se uso da simeria do modelo quado da aálise umérica. elemeos fiios quadragulares lieares; 4 elemeos lieares de cooro e células de iegração, riagulares lieares, são adoados, ao para a modelagem da fase sólido, quao para a modelagem da fase fluido. c f c/ c/ a A f. b b/ b/ a b igura 4.5 Sapaa: a modelo esquemáico; b malhas adoadas elemeos fiios; elemeos de cooro e células de iegração. 94

220 Os modelos aqui aalisados são especificados a seguir: i Modelo LI e al., 3: A superfície superior do modelo é cosiderada dreada, com codição de cooro ula de poro-pressão; as demais superfícies do modelo são cosideradas ão dreadas. As propriedades do solo são: υ =. Poisso; E = 7 N/m Módulo de Youg; ρ s = 538.5g/m 3 massa específica - fase sólido; ρ f = g/m 3 massa específica - fase fluido; ν =.35 porosidade. O solo é cosiderado impermeável e icompressível; ii Modelo : Semelhae ao modelo, sedo o solo cosiderado permeável e compressível. O coeficiee de permeabilidade é dado por: κ = m 4 /Ns, sedo os módulos de compressibilidade dados por: K s = fase sólido e K f = N/m fase fluido. Aálise elasoplásica é cosiderada, sedo o criério de Mohr-oulomb adoado, ode: c =. N/m coesão e φ = o âgulo de ario iero; iii Modelo 3: Semelhae ao Modelo, sedo a superfície abaixo do carregameo aplicado cosiderada como ão dreada. Resulados para o poo A do modelo são apreseados a igura 4.6. Na igura 4.6a apreseam-se os deslocameos vericais obidos com ME, cosiderado-se o Modelo. omo o problema em quesão é icompressível e impermeável, a formulação poro-diâmica radicioal de elemeos fiios ME apresea dificuldades de solução a meos que procedimeos especiais sejam cosiderados e.g., uilização de malhas mais ricas a modelagem da fase sólido em relação às malhas adoadas para modelagem da fase fluido. Desa forma, os resulados obidos com ME são aqui comparados com resulados relaivos ao méodo de aálise proposo por LI e al. 3: 95

221 ieraive sabilized fracioal sep algorihm. O passo de empo cosiderado para aálise em quesão é dado por: = -3 s = -3 s é adoado para odos os ipos de modelos cosiderado-se ME; cosiderado-se ME, = -3 s é adoado. É imporae ressalar que muios algorimos de solução são isáveis quado da solução do modelo com a discreização adoada, e.g., PASTOR e al.. Na igura 4.6b o Modelo é cosiderado. Resulados obidos por ME e ME são apreseados, ao para aálise liear, quao para aálise ão-liear. Na igura 4.6c apreseam-se os resulados relaivos ao Modelo 3, cosiderado-se ME e ME. oforme se oa a igura 4.6, os resulados relaivos às diferees meodologias apreseam boa cocordâcia ere si, edo-se em cosideração odos os modelos abordados. Na igura 4.7 apresea-se a evolução das poro-pressões do Modelo ao logo do empo e da malha ME. Na igura 4.8 as poro-pressões relaivas ao Modelo para o passo de empo =.4s são apreseadas ao logo da malha ME, cosiderado-se aálise elásica e elasoplásica. Aalogamee, a igura 4.9 as poro-pressões relaivas ao Modelo 3 para o passo de empo =.4s são apreseadas ao logo da malha ME, ambém cosiderado aálise elásica e elasoplásica. oforme se pode oar, uma vez que a permeabilidade do Modelo é ula, as poro-pressões que se obém são bem maiores que as dos demais modelos, já que ão há dissipação do fluido. As poropressões relaivas ao Modelo 3 ambém são maiores do que as relaivas ao Modelo, uma vez que o erceiro modelo o fluxo do fluido é impedido a superfície de coao da sapaa com o solo. 96

222 Deslocameos mm Ieraive Sabilized racioal Sep Algorihm ME a Tempo s. -. ME ME Deslocameos mm elásica elasoplásica b Tempo s. -. ME ME Deslocameos mm elásica elasoplásica c Tempo s igura 4.6 Deslocameos vericais o poo A aálise liear e ão-liear: a modelo ; b modelo ; c modelo 3. 97

223 a b c igura 4.7 Poro-pressões ao logo do empo e da malha ME para o modelo : a =.s; b =.4s; c =.86s. 98

224 a elásica b elasoplásica igura 4.8 Poro-pressões ao logo da malha ME =.4s para o modelo, cosiderado-se: a aálise elásica; b aálise elasoplásica. a elásica b elasoplásica igura 4.9 Poro-pressões ao logo da malha ME =.4s para o modelo 3, cosiderado-se: a aálise elásica; b aálise elasoplásica. 99