Processamento Digital de Sinais. Notas de Aula. Amostragem e Reconstrução de Sinais. Amostragem de Sinais

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1 Amosragem de Siais Amosragem de Siais 2 Amosragem de Siais Processameo Digial de Siais Noas de Aula Siais de empo discreo: podem ser obidos a parir de siais de empo coíuo amosragem Amosras de um sial: represeação úica??? A parir do sial amosrado, pode-se recuperar o sial de empo coíuo? [eorema de Nyquis] Aplicação: processameo discreo(digial) de siais de empo coíuo Amosragem e Recosrução de Siais - 2 empo Ricardo okio Higui Deparameo de Egeharia Elérica - FEIS - Uesp Observação: Esas oas de aula esão baseadas o livro: Discree-ime Sigal Processig, A.V. Oppeheim ad R.W. Schafer, Preice Hall, 989/999.

2 Amosragem de Siais 3 Amosragem Periódica Coversores Coíuo/Discreo (C/D) e Discreo/Coíuo (D/C): Amosragem de Siais 4 Operações com a fução Impulso de empo Coíuo δ()d = x c () C/D x[] x[] D/C x c () x()δ() = x()δ(), x() coíuo em = = /f s = /f s x()δ()d = x(), x() coíuo em = Sial de empo coíuo: x c () x()δ( ) = x( )δ( ), x() coíuo em = Sial de empo discreo: x[] = x c (), < < Período de amosragem: [s] Frequêcia de amosragem: f s = / [Hz ou amosras/s] Frequêcia de amosragem: s = 2πf s [rad/s] x()δ( )d = x( ), x() coíuo em = x() δ() = x() δ( ) = x( ) x(τ)δ( τ)dτ = x()

3 Amosragem de Siais 5 Represeação Maemáica da Amosragem Amosragem periódica por impulsos - coversor Coíuo-Discreo (C/D) Amosragem de Siais 6 Amosragem de sial seoidal x c () = cos( ) x c () s() x C/D x s () rem de impulsos periódico: s() = + Sial amosrado de empo coíuo: Coversor Impulso - sequêcia = x s () = x c () s() = x c () + = x c ()δ( ) δ( ) = δ( ) x[] = x c () x c () s() x s () x[] x c () s () = 2 x s () x [] 23 2 x c () x c () s() s () ' ' 2' O sial de empo coíuo é o mesmo para os dois casos; = 2, porao o lado esquerdo a frequêcia de amosragem é maior; A frequêcia do sial de empo discreo x[] é meor que a frequêcia de x [] x s () x x s () c () x c () x c(2) x c () x c ( ) x c (2 ) ' x[] x[] = xc() x[] = xc() x[2] = xc(2) ' 2' x [] x [] = xc() x [] = xc( ) x [2] = xc(2 )

4 Amosragem de Siais 7 Amosragem de Siais 8 Represeação em Frequêcia Muliplicação o empo Covolução o domíio da frequêcia rem de impulsos periódico: s() = + = Sial amosrado: δ( ) S(j) = 2π x s () = x c () s() X s (j) = 2π X c(j) S(j) = 2π X c(j) 2π = k X c (j jk s ) + δ( k s ) δ( k s ) = O especro do sial amosrado, X s (j), é composo por cópias do especro do sial, X c (j), repeidas a cada s rad/s e escaloadas por / = f s. x c () N X c (j) N Recuperação do sial origial a parir das amosras Observado-se o especro do sial amosrado, pode-se recuperar o sial origial por meio de um filro passa-baixas. D/C x c () x c (2) x c () Coversor sequêcia - impulso filro de recosrução xd / x[] x[2] x[] x s () h r () x r () x[] 2 s x s () s H r (j) / X(e j ) X s (j) N N s 2 s s N H r (j) c x r () 2π X r (j) s() -2 x s () x c () x c (2) 2 3 x c () 2 s 2 s s s S(j) N 2π X s (j) / N s s s N 2 s 2 s O filro de recosrução H r (j) em: Gaho N frequêcia de core c, com N < c < s N (ipicamee pode-se uilizar c = s /2) Pode-se escrever o sial de empo coíuo recosruído como: N x r () = x s () h r () X r (j) = H r (j)x s (j) O filro de recosrução faz uma ierpolação ideal ere os impulsos os isaes.

5 Amosragem de Siais 9 eorema de Nyquis Seja x c ()um sial de bada limiada, com X c (j) = para > N Eãox c ()é uicameedeermiadoporsuasamosrasx[] = x c (), < < +, se s = 2π > 2 N Ou seja, a frequêcia de amosragem deve ser maior que duas vezes a máxima frequêcia do sial a ser amosrado. A frequêcia máxima do sial ambém pode ser chamada de frequêcia de Nyquis. Por exemplo, para o CD: f N = 2 khz, f s = 44. khz. Amosragem de Siais Efeio de Aliasig Caso a frequêcia de amosragem ão seja suficieemee ala, ocorre a sobreposição do especro (aliasig), impossibiliado recuperar o sial origial. s > 2 N N X c (j) / N X s (j) s N N s 2 s s N s < 2 N X s (j) / s s 2 s 3 s sobreposição do especro aliasig Caso a frequêcia de amosragem ão obedeça o eorema de Nyquis, deve-se colocar um filro passa-baixas aes da aquisição de dados, que limie a máxima frequêcia do sial à meade da frequêcia de amosragem. Ese filro é chamado de filro ai-aliasig.

6 Amosragem de Siais Amosragem de Siais 2 Filro Ai-Aliasig Caso a frequêcia de amosragem ão obedeça o eorema de Nyquis, devese colocar um filro aalógico passa-baixas aes da aquisição de dados, que limie a máxima frequêcia do sial à meade da frequêcia de amosragem. Ese filro é chamado de filro ai-aliasig. s() Relação ere X s (j) e X(e j ) X s (j) = = = x s()e j d [ x c ()δ( ) x c ()e j ] e j d x a () Filro aialiasig H aa (j) x c () x C/D x s () Coversor Impulso - Sequêcia x[] = x c () Porao: X(e j ) = = x[]e j x c ()e j X a (j) X s (j) = X(e j ) = N s /2 N s /2 H aa (j) - filro ai-aliasig X c (j) = X a (j) H aa (j) Ou, relacioado como sial de empo coíuo: X(e j ) = ( X c j j2πk Como a relação ere x[] e x c () pode ser obida por uma ormalização o eixo do empo por, algo parecido pode ser coseguido com as respecivasrepreseaçõesem frequêcia. A frequêcia s = 2π/ é ormalizada para a frequêcia = 2π. ) s /2 s /2 X s (j) X c (j) N s s 2 s 3 s X s (j) s / N s X(e j ) / N 4

7 Amosragem de Siais 3 Amosragem de sial seoidal Cosidere a amosragem de um sial seoidal: x c () = Acos( ) O sial amosrado é: Amosragem de Siais 4 Amosragem de sial seoidal Uilizado uma axa de amosragem f s igual a 3 khz, e frequêcia do sial seoidal igual a khz, = 2π 3 rad/s e os especros dos siais são: x c () X c (j) x[] = x c () = = Acos( ), = 2πf, = /f s ( ) 2πf = Acos f s = Acos( ), = 2πf f s. Porao a frequêcia do sial seoidal de empo discreo ambém pode ser visa como uma frequêcia ormalizada pela frequêcia de amosragem, ese caso. AENÇÃO: Deve-se omar cuidado quado há aliasig, pois a máxima frequêcia de um sial seoidal de empo discreo é π rad. x s () x[] 2 s H r (j) s 2π 3 X s (j) s s X(e j ) 2π 3 2π 2π 3 Nese caso, ão há aliasig, e pode-se recuperar o sial origial a parir das suas amosras. 2 s A frequêcia do sial de empo discreo é = 2π/3 rad A frequêcia do sial recosruído é: r = 2π 3 rad/s amosra

8 Amosragem de Siais 5 Amosragem de sial seoidal (co.) Aumeado agora a frequêcia do sial para = 2π 2 3 rad/s: X c (j) x c () H r (j) X s (j) x s () Amosragem de Siais 6 Processameo Discreo de Siais de empo Coíuo Sisema de x c () C/D x[] empo discreo y[] D/C y c () H(e j ) Se o sisema for um SLI com resposa em frequêcia H(e j ), Y(e j ) = H(e j )X(e j ) x[] 2 s s s s X(e j ) 2 s a saída recosruída será: Y r (j) = H r (j)y s (j) = H r (j)y(e j ) = H r (j)h(e j )X(e j ) 2π 4π 3 Nese caso, ocorre aliasig, e 2πf = 4π f s 3 frequêcia do sial de empo discreo. 4π 3 > π rad esa NÃO é a Usado a relação ere X(e j ) e X c (j), fica-se com: Y r (j) = H r (j)h(e j ) ( X c j j 2πk ) A frequêcia do sial de empo discreo é: 2π 4π 3 = 2π/3 rad Afrequêciadosialrecosruídoé: r = s = 2π 3 rad/s Um sial de frequêcia mais ala aparece com frequêcia mais baixa, devido à subamosragem. Se o sial x c () iver a bada limiada e se iver sido usada uma axa de amosragem adequada, eão o filro de recosrução cacela o faor / e filra apeas o ermo de baixa frequêcia, ficado-se com: amosra Y r (j) = H(e j )X c (j), π/ (= s /2), > π/ A resposa em frequêcia efeiva do sisema de empo coíuo fica: H eff (j) = H(e j ), π/, > π/ ou seja, se faz um escaloameo da resposa em frequêcia pelo período (frequêcia) de amosragem.

9 Amosragem de Siais 7 Amosragem de Siais 8 Exemplo: Filro Passa-Baixas Ideal Processameo Discreo de Siais de empo Coíuo H(e j ) =, c, c < π X c (j) A resposa em frequêcia efeiva aalógica fica ( ) H eff (j) =, c ou c /, > c ou > c / X s (j) / N H(e j ) s N s 2π c c H eff (j) 2π X(e j ) H(e j ) / N c c = c c Afrequêciadecoredofilro, c,depededafrequêciadeamosragem. Y(e j ) / Para mudar c, modifica-se a frequêcia de core do filro digial c. Os parâmeros do filro êm meor depedêcia de faores de evelhecimeo, emperaura. Por exemplo, deseja-se um filro passa-baixas aalógico com frequêcia de core igual a khz. A frequêcia de amosragem é igual a 8 khz. A frequêcia de core do filro digial deve ser: c = c = 2πf c /f s = π/4. Y s (j) H r (j) s c / c = c / s Y c (j) π/ c = c /

10 Amosragem de Siais 9 Mudaça da axa de Amosragem É possível mudar a axa de amosragem usado sisemas discreos. Aplicações: Arasadores de fase(araso por uma fração de iervalo de amosragem; Ierface ere sisemas com axas de amosragem diferees; Implemeação de bacos de filros(aálise especral, síese de siais). x[] = x c () x [] = x c ( ), : período de amosragem origial : ovo período de amosragem Amosragem de Siais 2 Redução da axa de Amosragem Uma sequêcia pode er a frequêcia de amosragem reduzida por um faor ieiro M, por meio de uma ova amosragem do sial discreo, usado um dizimador: x[] M x d [] = x[m] x d [] = x[m] = x c (M) = x c ( ) O dizimador apeas descara amosrasdo sial de erada: para M = 2, uma de cada duas amosras é descarada, para M = 3,duas de cada rês amosras são descaradas, e assim por diae. x[] x d [] = x[2] x d [] = x[3] x c () em uma bada limiada a N ; Se ão há aliasig a amosragem de x[], eão: s > 2 N, ou π/ > N, ou N < π Para ão haver aliasig em x d [], deve-se garair que: π/ > N, ou π/m > N N < π/m Ou seja, para ão causar aliasig em x d [], o sial x[] deve er sido amosradoaumaaxam vezesmaiorqueamíimafrequêciadeamosragem (pois esa será reduzida de M vezes pelo dizimador).

11 Amosragem de Siais 2 Redução da axa de Amosragem Se fossem aalisados os especros a parir dos siais amosrados, a represeação em frequêcia do sial amosrado com período é: X(e j ) = + ( X c j j2πk O sial amosrado com período = M é obido a parir de: X d (e j ) = M + r= ) ( X c j ) M j2πr M ou seja, oa-se um faor de ampliude e um escaloameo que relacioam as fuções X(e j ) e X d (e j ). Fazedo-se a mudaça de variável r = i+km, ode < k < + e i M : ou X d (e j ) = M M i= + X d (e j ) = M ( X c j ) M j2πk 2πi j M M i= X(e j[( 2πi)/M] ) ou seja, o especro de x d [] é composo por cópias escaloadas do especro do sial origial. Nesa equação, deve-se lembrar que, para que ão ocorra aliasig em X d (e j ): X(e j ) =, para π/m π Amosragem de Siais 22 Redução da axa de Amosragem Cosideradoum sialamosradoa uma axaigualaduas vezesamíima, fica-se com os especros: X c (j) X s (j) X(e j ) X d (e j ) s / / /M Se os sial ivesse sido amosrado à meade da axa origial, er-se-ia: s X s (j) /' 2 s s s 2 s X d (e j ) /'

12 Amosragem de Siais 23 Redução da axa de Amosragem Amosragem de Siais 24 Aumeo da axa de Amosragem Para garair que ão ocorre aliasig o sial subamosrado, pode-se uilizar um filro passa-baixas com frequêcia de core π/m aes de se realizar a redução da axa. Equivale a uma ierpolação: x i [] = x c ( ), = /L X c (j) x[] x[] x d [] = x[m] LPF M axa f s = axa f s = axa = f s M = M x[] x e [] x i [] L LPF axa f s = axa = Lf s = L axa = Lf s = L X s (j) s / s O sial x e [] é defiido por: x e [] = x[/l], =,±L,±2L,, c.c. X(e j ) / ou x e [] = + x[k]δ[ kl] X d (e j ) /M x[] H(e j ) c = π M x e [], L = X(e j ) / x e [], L = X d (e j ) /' O sial x e [] possui (L ) zeros ere as amosras origiais O filro passa-baixas faz a ierpolação ere essas amosras

13 Amosragem de Siais 25 Aumeo da axa de Amosragem Amosragem de Siais 26 Aumeo da axa de Amosragem A DF de x e [] é: X e (e j ) = + x e [] = + x[k]δ[ kl] = = + + x[k]δ[ kl] e j x[k]e jlk = X(e jl ) Exemplo para L = 2. X c (j) X s (j) s / s O especro do sial x e [] é composo pelo especro do sial origial escaloado. No eao, esa operação aparecem porções de especro que ão exisiriam caso o sial fosse amosrado com direamee. Por iso, é ecessário o filro passa-baixas com gaho L e frequêcia de core πl para que o especro fique como X i (e j ). X(e j ) X e (e j ) / / X(e j ) / H(e j ) L c = π L X e (e j ), L = 2 / X i (e j ) /' = L / X i (e j ) /' = L/

14 Amosragem de Siais 27 Mudaça da axa de Amosragem por um faor ãoieiro Agrupado em cascaa um ierpolador e um dizimador, pode-se mudar a axa de amosragem por um faor racioal: ierpolador dizimador LPF LPF x[] x e [] x i [] x i [] x d [] Gaho L Gaho axa f s = L axa Lf s = L c = π/l axa Lf s = L c = π/m axa Lf s = L M axa Uilizado o filro passa-baixas como sedo aquele com meor frequêcia de core e gaho L, fica-se com: LPF x[] x e [] x i [] x d [] Gaho L L c =mi{π/l, π/m} axa axa axa f s = Lf s = L Lf s = L M Lf s M axa Lf s M Amosragem de Siais 28 Aspecos Práicos Filros ão-ideais (ai-aliasig, recosrução); Coversão C/D: coversor A/D ão-ideal: - úmero fiio de bis (digial - ampliude discrea); - sample-ad-hold Sisema de x c () C/D x[] empo discreo y[] D/C y c () H(e j ) Um modelo mais próximo do real é: Num sisema real, os coversores C/D e D/C apreseam aspecos ãoideais: x c () Filro x a () Sample x sh () ˆx[] ŷ[] y c () Filro de y r () Ai- & ADC Sisema DAC recosrução Aliasig Hold

15 Amosragem de Siais 29 Amosragem de Siais 3 Pré-filragem - ai aliasig Na práica: siais podem ão er bada limiada; Filro passa-baixas aes da amosragem: ai aliasig; Aeua frequêcias acima de s /2; Filro aalógico ão-ideal (disorção de fase/ampliude). Coversão A/D Na práica: coversão A/D com úmero fiio de bis - sial digial; Amosras valores reais os isaes de amosragem - Ruído de quaização; Coversor A/D - ecessário um sample-ad-hold; mag Filro Sial sofre disorção fase / s Erada x c () Saída x a () ampliude empo

16 Amosragem de Siais 3 Sample-ad-Hold - Amosragem com Reeção Em razão da reeção, há uma disorção iroduzida. x a () x sh () Amosragem de Siais 32 Sample-ad-Hold x c () Filro x a () x Sample sh () ˆx[] Ai- & ADC Aliasig Hold ampliude x a () X a (j) N N x s () X s (j) / s N N s empo O sial de saída do S/H pode ser escrio como: em que: x sh () = x s () p() x s () é o sial amosrado por impulsos p() é um pulso reagular de duração Logo, o domíio da frequêcia fica-se com: X sh (j) = X s (j) P(j) Como X s (j) é composo por cópias do especro origial, oa-se que há modificação dese devido à muliplicação por P(j). P(j) = si(/2) e j/2 /2 p() x sh () P(j) X sh (j) N A disorção iroduzida pelo S/H pode ser compesada o sisema de empo discreo/digial s s N s s

17 Amosragem de Siais 33 Amosragem de Siais 34 Coversão D/A Filro de recosrução ão-ideal. A disorção pode ser compesada pelo sisema de empo discreo/digial. Sobreamosragem (oversamplig) Uma aleraiva para simplificar os sisemas de empo coíuo evolvidos a amosragem é uilizar uma axa de amosragem bem mais elevada que a míima ecessária. ŷ[] ŷ[] DAC y c () Filro de recosrução y r () Filros ai-aliasig e de recosrução aalógicos de ordem mais baixa; Maior volume de dados (mais amosras por segudo); Podem-se usar dizimadores e ierpoladores; Filros digiais podem compesar as disorções da amosragem (S/H, DAC) e dos filros aalógicos y c () C/D { axa operação a axa elevada M Sisema de empo discreo operação a mais baixa M D/C { operação a axa elevada y r ()

18 Amosragem de Siais 35 Efeios de Quaização Coversão A/D: Amosragem de Siais 36 Efeios de Quaização Devido à quaização, há um erro e[] a represeação do sial: Represeação do sial com um úmero fiio de bis; Irodução de erros/ruído de quaização O quaizador covere um sial de empo discreo em um sial digial com represeação por um úmero fiio de bis. Para um quaizador com rês bis, com aproximação por arredodameo para o ível digial mais próximo (código biário em complemeo de dois): x[] x[] quaizador Q(.) + ˆx[] = Q(x[]) ˆx[] = x[]+e[] amosras ideais amosras quaizadas A curva que relacioa a erada e a saída quaizada é: ˆx = Q(x) x e[] O erro, o caso de arredodameo, pode assumir valores: Para rucameo: < e[] /2 < e[] /2 O erro e[] é uma sequêcia aleaória esacioária e[] ão em correlação com o sial x[] Duas amosras de ruído são ão-correlacioadas - ruído braco A fução desidade de probabilidade do erro é cosae o iervalo de valores do erro de quaização p e (e) e Cosiderado um quaizador com B + bis, o úmero de íveis de quaização é dado por: 2 B+. Se o coversor A/D possibiliar uma excursão de sial ere X m e X m, os passos de quaização erão ampliude dada por: Valor médio do ruído de arredodameo: E{e[]} = Variâcia do ruído (poêcia): σ 2 e = E{e2 []} = 2 /2 = 2 2B X 2 m /2 = 2X m 2 = X m B+ 2 B

19 Amosragem de Siais 37 Efeios de Quaização Amosragem de Siais 38 Ierpolação liear - exemplo Poêcia do ruído: σ 2 e = 2 2B X 2 m/2 x c () x[] x e [] 2 C/D h[] y[] D/C y c () Poêcia do sial: σ 2 x Relação sial-ruído de quaização, em decibéis: SNR q = log σ2 x σe 2 = log 2 22B σ 2 x X 2 m ( ) Xm = 6.2B +.8 2log σ x x c () X c (j) s N N s Aalisado a equação de SNR q : x[] X(e j ) / A relação sial-ruído aumea cerca de 6 db a cada bi adicioado; Sobre o ermo 2log ( X m σx ): O faor X m em geral é fixo para um sisema de aquisição; O faor σ x é o valor rms do sial; Quao meor o valor rms em relação a X m, meor será a SNR (o sial esá excursioado por poucos íveis de quaização do ADC); Para valores rms maiores, a SNR aumea, mas deve-se omar cuidado para que os valores de pico ão ulrapassem ±X m, pois isso iroduzirá disorções o sial quaizado. Para um sial com disribuição de ampliudes Gaussiaa com valor rms (desvio padrão) σ x, apeas.64% das amosras ulrapassa a ampliude de 4σ x. Cosiderado σ x = X m /4, fica-se com: x e [] h[] /2 / y[] X e (e j ) H(e j ) Y(e j ) / 2 2/ SNR q 6B.25 [db] Para um sisema com 6 bis, a relação sial-ruído de quaização fica em oro de 95 db. y c () Y c (j) s N 2 2/ N2 s