Apontamentos de Análise de Sinais

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1 LICENCITUR EM ENGENHRI DE SISTEMS DE TELECOMUNICÇÕES E ELECTRÓNIC poameos de álise de Siais Módlo Prof. José maral Versão. -- Secção de Comicações e Processameo de Sial ISEL-CEDET, Gabiee C jda@isel.p

2 Ídice OBJECTIVOS.... SINIS CONTÍNUOS BÁSICOS... EXPONENCIL REL... EXEMPLO... FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICS... EXEMPLO... EXPONENCIL COMPLEXO... EXEMPLO... ESCLÃO UNITÁRIO... PULSO RECTNGULR... PULSO TRINGULR... 5 SINCV... 5 IMPULSO DE DIRC... MTLB... 7 EXEMPLO... 7 EXEMPLO... 9 EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO SINIS DISCRETOS BÁSICOS...5 EXPONENCIL COMPLEXO... 5 EXEMPLO... 5 ESCLÃO UNITÁRIO... IMPULSO UNITÁRIO... MTLB...7 EXEMPLO... 7 EXEMPLO CONVOLUÇÃO...8 INTEGRL DE CONVOLUÇÃO... 8 SOM DE CONVOLUÇÃO... 8 EXERCÍCIO....9 EXEMPLO... 9 EXEMPLO... 9 EXEMPLO... EXEMPLO... MTLB... EXEMPLO... EXEMPLO... EXEMPLO... DEMO : CONVOLUÇÃO DE UM SINL COM O IMPULSO...5 PÊNDICE : COMPLEXOS... FICH DE VLIÇÃO M...8 GRUPO C...8 EXERCÍCIO... 8 EXERCÍCIO... 8 EXERCÍCIO... 8 GRUPO B...9 EXERCÍCIO... 9 EXERCÍCIO GRUPO...9 EXERCÍCIO... 9

3 Módlo Siais básicos TÓPICOS Siais coíos básicos Epoecial compleo Implso de Dirac Siais discreos básicos Epoecial compleo Implso iário Covolção S ão apreseados ese módlo os siais mais imporaes a qe eremos ecessidade de recorrer ao logo da cadeira de álise de Siais, imporaes, qer em si mesmos, qer por cosiírem as idades cleares de cosrção de siais mais compleos. É apreseada a operação de covolção ere dois siais, qe, como veremos, é ma operação eremamee úil o esdo da resposa de sisemas lieares. Objecivos No fim dese módlo o alo deverá :. Saber recohecer e maiplar o sial epoecial compleo coío.. Saber recohecer e maiplar o sial escalão iário coío.. Saber recohecer e maiplar o plso recaglar coío.. Saber recohecer e maiplar o sial implso de Dirac. 5. Saber recohecer e maiplar o sial sicv.. Saber recohecer e maiplar o sial plso riaglar coío. 7. Saber recohecer e maiplar o sial epoecial compleo discreo. 8. Saber recohecer e maiplar o sial escalão iário discreo. 9. Saber recohecer e maiplar o sial implso iário discreo.. Saber calclar a covolção ere dois siais.

4 . Siais coíos básicos Epoecial real O sial 5 e α com e α reais, chamado epoecial real, foi já apreseado e esdado dealhadamee as cadeiras de álise Maemáica. Recorra aos ses apoameos o livros dessas cadeiras para recordar as caracerísicas imporaes dese sial e se seir à voade para o maiplar aaliicamee. Eemplo. s figras M. e M. mosram a evolção do α sial e para e, respecivamee, α. e α., com [, ]. Fções rigooméricas s fções rigooméricas são m cojo imporae de fções, já esdado em diversas oras cadeiras, qe deve cohecer em dealhe e saber maiplar com facilidade, por serem eremamee úeis a descrição de diversos siais de ieresse. Os siais mais ilizados serão o seo e o co-seo se ω + θ cos ω + θ, em qe, ω, e θ são reais. cosae deermia o iervalo de variação dos valores da amplide do sial, ω π T represea a freqêcia aglar do sial, e θ o argmeo do sial a origem Figra M Figra M Figra M. Eemplo. s figras M. e M. ilsram, respecivamee, a evolção dos siais e se ω + θ cos ω + θ, com, θ e ω. 5. π Figra M. Prof. José maral M - Versão. --

5 Epoecial compleo 9 O sial 5.5 a Ce.5 em qe C e a são, em geral, úmeros compleos, 8 C C e jθ e a + j ω, é desigado por sial epoecial compleo. 7 Figra M.5 Escrevedo Ce C e C e a jθ e e + jω j ω +θ ora-se eplício qe o sial epoecial compleo em m módlo C e e m argmeo arg { } ω + θ Figra M. ededo à relação de Eler, podemos escrever C e C e e j ω+θ cos ω + j C e + θ se ω + θ, o qe ora claro qe qer a compoee real qer a compoee imagiária de m sial epoecial compleo em ma evolção sisoidal de período T π ω, evolvido por ma epoecial com m comporameo ao logo do empo deermiado por Figra M.7 Eemplo. figra M.5 eemplifica a evolção do afio do sial epoecial compleo o plao de rgad qado <. Nese caso o módlo decai epoecialmee, pelo qe o fio se aproima da origem para valores de Figra M.8 Prof. José maral M - Versão. --

6 crescees. Qado o afio maêm-se à disâcia C da origem, e qado > o afio afasa-se epoecialmee. Na figra mosra-se a evolção do sial ω +θ C e e j, para < <, C,. 5, θ, e ω. 5 s figras M. e M.7 mosram a evolção da pare real, C e cos ω + θ, e da pare imagiária, C e se ω + θ, de m sial epoecial compleo, para < <, C,. 5, θ, e ω Figra M.9 s figras M.8 e M.9 mosram a evolção da pare real C e cos ω + θ, e da pare imagiária, C e se ω +, de m sial epoecial compleo, para θ < <, C,. 5, θ, e ω. 5. Escalão iário Defie-se o sial escalão iário por, <,.5.5 figra M. mosra a evolção do escalão iário para < <. Plso recaglar Figra M. Defie-se o sial plso recaglar de dração e amplide cerado em como, < +, caso cor rio figra M. mosra a evolção do plso recaglar com. 5, 8 e para < <. É comm represear o plso recaglar pelo carácer grego π maiúsclo o Figra M., < + Π, caso cor rio Prof. José maral M - Versão. --

7 Prof. José maral M - 5 Versão o Figra M. Defie-se o sial plso riaglar de dração e amplide cerado em como + < < + caso cor rio,,, O sial v v v π π se é descrio abreviadamee por sic v v Figra M. O plso recaglar pode ser defiido com base em dois escalões iários + Π Plso riaglar figra M. mosra a evolção do plso riaglar com 5., e. É comm represear o plso recaglar pelo carácer grego alfa maiúsclo + < < + Λ cor rio caso,,, Sicv Como pode ver pelo gráfico da figra M. o sial oscila em oro das abcissas, com ma amplide decrescee para valores crescee de v, alado-se para K,,, ± ± ± v.

8 Defie-se o sial implso de Dirac, ambém desigado por implso iário, dela de Dirac, o simplesmee Dirac o dela, pelas relações δ, Implso de Dirac.5.5 δ d represeação do implso de Dirac é feia, como se mosra a figra M., aravés de segmeo verical com ma sea o opo Figra M. É possível demosrar qe o implso de Dirac verifica as propriedades k δ d k δ a δ a δ d δ d dmiido qe é ma fção coía a vizihaça de δ δ dmiido qe é ma fção coía a vizihaça de δ δ δ d O implso de Dirac e o escalão iário esão relacioados pelas epressões d δ d δ d Prof. José maral M - Versão. --

9 Malab. Eemplo Cosidere o sial < π π < π coforme represeado a figra M.5. proime pelo sial k 7 y a k kse k o iervalo [, π], cosiderado qe os coeficiees a k são dados pela epressão a k π se k d π se k d π π Figra M.5 Represee graficamee as diversas parcelas do somaório, assim como a evolção da soma. Vamos começar por calclar os coeficiees aaliicamee. ededo à epressão do sial emos a k π π se k d se k d π π se k d π π [ cos k cos k ] π k π cos kπ kπ o seja a k kπ, π k par k impar,,,, 5, 7 [.,,.8789,,.57,,.77] logo k 7 y a se k k k se + se + π 5 se5 + 7 se7 Prof. José maral M - 7 Versão. --

10 Vamos agora resolver o problema proposo recorredo direcamee ao Malab. Comecemos por calclar os coeficiees N7; syms k ; akisik*,,,pi-isik*,,pi,*pi/isik*.^,,,*pi; aksbsak,k,:n; Opo-se por calclar o valor mérico dos coeficiees, já qe é esse o objecivo, ão os preocpado a simplificação da epressão obida, recorredo por eemplo às fções simplify e/o simple. Podemos agora calclar y [ pi pi *pi *pi]; [ - - ]; :.:*pi; yzeros,legh; yy; for k::n sbplo+n/,,k yakk.*sik*; plo,y;ais[ *pi -.5.5];grid o yy+y; sbplo+n/,,k+ plo,,'r',,y,'liewidh',;ais[-..*pi -.5.5]; grid o ed Observe a figra M.. Noe como as scessivas parcelas do somaório são seos de freqêcia cada vez mais elevada e amplide corolada pelos coeficiees a k. - - Noe como à medida qe se vão somado mais ermos a soma acmlada correspode a m sial cja evolção emporal é cada vez mais próima de. - - Noe qe a amplide de cada ma das parcelas do somaório em m coeficiee qe defie a sa coribição para o reslado fial, dado pela epressão - - a k π se d π se d, e embora esa epressão eha caído do cé, vai ver m próimo Módlo qe é possível jsificar eoricamee o porqê da sa forma aalíica. Noe qe esa epressão aalíica coém iformação sobre o sial a aproimar,, e sobre os siais, se, em qe se baseia a aproimação. - - Figra M. Prof. José maral M - 8 Versão. --

11 Eemplo Cosidere o sial π < π caso cor rio.8. coforme represeado a figra M.7. proime pelo sial k k jk y c k e o iervalo [ π, π ], cosiderado qe os coeficiees c k são dados pela epressão ck π jk e d π π jk e d π Figra M.7 Represee graficamee y. Poderíamos começar por dedzir a epressão aalíica dos coeficiees c k ck π jk e d π π jk e d π π jk e d π π jk e d π L se.5kπ kπ.5 sic.5k pós diversos passos mais o meos rabalhosos, qe se omiiram, chegámos a ma epressão basae simples. Vamos agora ver como poderíamos dedzir a epressão dos coeficiees recorredo ao Malab syms k ; ckiep-j*k*,,-pi/,pi//iep-j*k**epj*k*,,-pi,pi ck -/*i*-ep-/*i*pi*k+ep/*i*pi*k/k/pi cksimplifyck ck si/*k*pi/k/pi preyck si/ k pi k pi Noe qe esa forma a epressão apresea a dificldade de cálclo do coeficiee para k. Vamos ilsrar o modo como esa dificldade pode ser coorada fazedo o cálclo de apeas 7 coeficiees para qe a eposição seja mais clara. Poderíamos recohecer qe a epressão obida pode ser epressa a forma de ma sicv cksym'.5*sic.5*k' Prof. José maral M - 9 Versão. --

12 ck.5*sic.5*k sbsck,k,-: as ,o, o qe é ma solção mais geral, levaar a ideermiação do cálclo para k sbsck,k,-: Warig: Divide by zero. as NaN cdoblelimick,k, c.5 cksbsck,k,-:; ckc ck Dadas esas eplicações podemos eão proceder ao cálclo dos coeficiees e raçado do gráfico coforme pedido o eciado do problema. N; [-pi -pi/ -pi/ pi/ pi/ pi]; [ ]; syms k ; ckiep-j*k*,,-pi/,pi//iep-j*k**epj*k*,,-pi,pi; cksimplifyck; cksbsck,k,-n:n; cdoblelimick,k,; cksbsck,k,-n:n; ckn+c; -pi:.:pi; yzeros,legh; for k-n:n yy+ckk+n+.*epj**k; ed.8 plo,,'r',,realy; ais[ -pi pi -..];. grid o; Noe a isrção plo a ecessidade de especificar a pare real de y embora, eoricamee, y seja m sial real. Esa é ma siação comm aos cálclos qe evolvem qaidades complea. Em reslado de scessivos erros de represeação, eise m resído imagiário a qaidade y qe é ecessário igorar. Podemos verificar qe a compoee imagiária de y é compleamee desprezável plo,imagy; grid o; 7 Noe qe é da ordem, sedo apeas reslae da propagação de erros de represeação. Noe qe o código lhe permie defiir o úmero de coeficiees desejado. Visalize o reslado para m úmero mais elevado de coeficiees por eemplo N e N Figra M Figra M.9 Prof. José maral M - Versão. --

13 Eemplo O sial escalão iário ão eise a Malab Symbolic Toolbo, eisido sim a fção de Heaviside syms sym'heaviside' Heaviside Noe qe a fção de Heaviside, corariamee ao sial escalão iário, ão é defiida em sbs, as Heaviside, o qe, ão edo qalqer icoveiee do poo de visa do cálclo simbólico, é o eao impediivo do raçado de gráficos de reslados desses mesmos cálclos. Por eemplo, se preeder raçar o gráfico da fção de Heaviside recebe ma mesagem de erro -:.:; plo,sbs,??? Udefied fcio or variable 'Heaviside'. Error i > C:\MTLBp5\oolbo\symbolic\@sym\doble.m O lie 5 > D reshapeevalx,m,; Error i > C:\MTLBp5\oolbo\symbolic\@sym\sbs.m O lie > NEWf doblesymmaple'map','f',charsym[newepr{:}]; devido ao faco da fção ão esar defiida em. Pode coorar o problema de dois modos: o eviado o cálclo o poo -:.:; plo,sbs,,'liewidh', ais[- -..];grid o ; o redefiido a fção e colocado-a o se pah..8.. fcio Heaviside %, para < %, para > +> ; Figra M. vaagem de fazer a sobreposição à fção pré-defiida, e de lhe ão chamar, por eemplo, escalão, é a de poder coiar a ilizar as defiições eisees o úcleo de cálclo simbólico diff as Dirac, e simlaeamee poder fazer sbsiições méricas sobre o objeco simbólico whos... 8 sym objec... sbs, as Prof. José maral M - Versão. --

14 Eemplo defiição do plso recaglar edo como objecivo a sa maiplação simbólica pode ser feia com base a fção de Heaviside. Noe qe, edo em aeção o qe foi dio o Eemplo, se ão redefiir a fção Heaviside, o plso recaglar ão fica defiido os isaes de rasição. dmiido qe a fção de Heaviside foi redefiida podemos, por eemplo, defiir m objeco simbólico correspodee ao plso recaglar, < Π, caso cor rio syms recsym'heaviside--heaviside-' rec Heaviside--Heaviside- sbsrec, as sbsrec,.8 as. :.:; plo,sbsrec,,'liewidh',. ais[ -..] grid o. Podemos agora, por eemplo, defiir m objeco simbólico correspodee ao sial.5 e, < z, caso cor rio zsym'ep-.5*'*rec z ep-.5**heaviside-- Heaviside- plo,sbsz,,'liewidh', ais[ -..] grid o Podemos agora, por eemplo, calclar a eergia do sial z, fazedo epliciamee a iegração ere e Edobleiz.^,-if,if E.7 5 Figra M Figra M. Noe qe a defiição do objeco simbólico z ão é ecessária para o cálclo da eergia do sial. Em siais dese ipo, siais qe apeas assmem valores ão los em sbcojos fiios de R, cálclos iegrais ão simples como por eemplo o da eergia, devem ser feios resrigido o domíio de iegração. Podemos fazer simplesmee syms zep-.5*; Edobleiz.^,, E.7, o eao, como se verá ma próima secção, eisem relações iegrais cjo cálclo ão os permie resrigir o domíio de iegração, pelo qe a defiição do sial z com base o plso recaglar poderá eremamee úil. Prof. José maral M - Versão. --

15 Eemplo 5 O sial implso de Dirac eise a Malab Symbolic Toolbo com o ome de Dirac. É fácil defiir m objeco simbólico Dirac e, por eemplo, verificar as sas propriedades syms y f dsym'dirac' d Dirac δ d k δ d k δ a δ a δ d δ d δ d d δ d δ d id,-if,if as i5*d,-if,if as 5 dfsym'dirac5*'; simplifydf as /5*Dirac dsym'dirac-' d Dirac- id,-if,if as dsym'dirac-' d Dirac- id,,-if, as -Heaviside-++ dsym'dirac-'; fsym'*cos' f *cos id*f,-if,if as *cos sym'heaviside' Heaviside diff as Dirac id as Heaviside Noe qe, ão sedo o Dirac defiido em sbsd, as Dirac, ão é possível radzir graficamee o reslado de cálclos simbólicos qe evolvam ese objeco. De modo a coorar ese icoveiee podemos redefiir a fção Dirac. Noe qe a Prof. José maral M - Versão. --

16 redefiição em apeas como propósio a represeação gráfica a parir de epressões reslaes de cálclo simbólico. fcio d Dirac % Dirac, para ~ %, para d + ; Podemos agora, por eemplo, calclar e represear graficamee o sial 8 π cos δ k 8 k π π cos δ + δ + δ + L 8 8 π π π π cos δ + cos δ + cos δ + L Recorredo à Malab Symbolic Toolbo, e edo redefiido a fção Dirac, podemos escrever o segie scrip syms k:8*pi/8; dksym'dirac-'; dksbsdk,,k; dksmdk; fsym'cos'; dkdk*f; :.:8*pi/8; dfsbsdk,; ofiddf>eps/ semo,dfo,'^','filled' hold o ofiddf<-eps/ semo,dfo,'v','filled' plo,zeros,legh,'liewidh', plo,sbsf,,'r:' hold off grid o ais[ pi - ] Figra M. Noe qe o procedimeo acima apeas preede ilsrar, aravés de m eemplo simples, o modo qe se pode radzir graficamee o reslado de m cálclo simbólico evolvedo implsos de Dirac. No caso cocreo, sabedo-se qe o sial a represear é cos 8 i π δ k 8 8 i π π cos k δ k 8 8 poder-se-ia opar por ma represeação gráfica a parir de m raameo mérico basae mais simplificado k:8*pi/8; kcosk k ec. Prof. José maral M - Versão. --

17 . Siais discreos básicos Vamos agora ver os siais discreos mais imporaes com qe iremos rabalhar 9.5 Epoecial compleo 5 O sial [] Cα em qe C e a são, em geral, úmeros compleos,.5 8 e C C e α αe jθ jω 7 Figra M., é desigado por sial epoecial compleo discreo. Tal como para a versão coía, escrevedo emos e [ ] Cα C e C α jθ jω α e e [ ] C α arg j Ω+θ { [ ] } Ω + θ Figra M Eemplo. s figras M. e M.5 mosram o sial epoecial compleo [ Ω ] + C α e j θ e a sa pare real, { [ ] } C α cos Ω + Re θ, com C, Ω π, < <, θ, e α. 95. Sedo α <, o afio do epoecial compleo aproima-se da origem do plao compleo para valores de crescees. pare real do sial é m co-seo evolvido pelas epoeciais decrescees ± C α. s figras M. e M.7 mosram o sial epoecial compleo e a sa pare real com C, Ω π, < <, θ, e α.. Sedo α, o módlo do sial é cosae Figra M Figra M.7 Prof. José maral M - 5 Versão. --

18 Escalão iário Defie-se o sial escalão iário discreo por.5 [ ], <,.5 figra M.8 mosra a evolção do escalão iário para < <. Implso iário Figra M.8 Defie-se o sial implso iário discreo por δ [ ],,.5 figra M.9 mosra a evolção do implso iário para < <..5 É fácil verificar qe δ δ [ ] [ ] [ ] [ ] δ[ m] δ[ i] m i [ ] δ[ ] [ ] δ[ ] [ ] [ ] [ ] Figra M.9 [ ] δ[ m ] δ[ i] m i [ ] δ [ ] [] δ[ ] Prof. José maral M - Versão. --

19 Malab. Eemplo [ ] Escreva ma fção Malab qe devolva m vecor de valores da variável idepedee,, e correspodees valores da evolção do sial implso iário discreo, δ, com < <, recebedo como parâmeros os limies iferior e sperior do iervalo da variável idepedee, e, e o isae,, em qe se sia o implso. Verifiqe a fcioalidade da fção ilizado-a para raçar o gráfico do sial discreo δ,. [ ] [ ] com [ ] Podemos fazer, por eemplo, fcio [,] imp_,, % [,] imp_,, % [] dela[-], << % :; -;.5.5 Sedo, e, emos -.5 [,] imp_-,,; sem,,'filled'; ais[-,,-,]; grid o Figra M. Eemplo Escreva ma fção Malab qe devolva m vecor de valores da variável idepedee,, e correspodees valores da evolção do sial escalão iário discreo, [ ], com < <, recebedo como parâmeros os limies iferior e sperior do iervalo da variável idepedee, e, e o isae,, em qe se sia o escalão. Verifiqe a fcioalidade da fção ilizado-a para raçar o gráfico do sial discreo [] [ ] com [, ]. Podemos fazer, por eemplo, fcio [,] escal_,, % [,] escal_,, % [] [-], << % :; ->;.5.5 Sedo, e,, emos -.5 [,] escal_-,,; sem,,'filled'; ais[-,,-,]; grid o Figra M. Prof. José maral M - 7 Versão. --

20 . Covolção Iegral de covolção O iegral de covolção, o simplesmee covolção, é ma operação defiida para dois siais coíos, de eergia, o m sial de eergia e m sial periódico. Dados dois siais coíos, e y, defie-se a covolção ere os dois siais, χ, e iliza-se o símbolo para a desigar, como χ y y d É possível demosrar qe a covolção verifica as segies propriedades y y y z y z ay + bz a y + b z d d d dy y y d d Noe qe, omeadamee, a covolção é comaiva, associaiva e disribiva. Podemos aida demosrar qe Da covolção ere m qalqer sial e m implso de Dirac posicioado m isae resla m sial qe correspode à raslação do sial o δ o o da qaidade de empo o. Soma de covolção soma de covolção, o simplesmee covolção, é ma operação defiida para dois siais discreos, de eergia, o m sial de eergia e m sial periódico. Dados dois siais discreos, [ ] e y [ ] ere eles como χ i [ ] [ ] y[ ] [] i y[ i], defie-se a covolção Se [ ] e y [ ] forem represeados por seqêcias de dração N e M, a covolção, [ ] será m sial de dração N + M. χ, É fácil demosrar qe a covolção assim defiida verifica as propriedades associaiva, comaiva e disribiva. E aida qe, de modo idêico ao caso coío Da covolção ere m qalqer sial [ ] resla m sial qe correspode à raslação do sial [ ] o [ ] δ[ ] [ ] e m implso iário posicioado m isae da qaidade de empo o. Prof. José maral M - 8 Versão. --

21 Eercício. Eemplo Calcle a covolção ere os siais δ o e y + a Π. Sedo qe é m implso de Dirac posicioado o isae, e dado qe δ o o resla de imediao χ δ o * + a Π o o + a Π figra M. ilsra graficamee o processo de covolção ere os dois siais y o y y o *y y o o o Figra M. Eemplo Calcle a covolção de m plso recaglar cerado com ele mesmo. Sedo Π Prof. José maral M - 9 Versão. --

22 Prof. José maral M - Versão. -- a covlsão resla Λ > + < + < > < < Π Π Π χ + d d d d d Coclímos qe da covolção de m plso recaglar de amplide e dração com ele mesmo, resla m plso riaglar de amplide e dração. figra M. mosra o processo de covolção para diversos valores de. é e são disjos o empo pelo qe o se prodo é lo. parir daí, e aé, os dois siais êm ma perceagem da sa área sobreposa, verificado-se a sobreposição máima oal para. Por eemplo, para emos d d, para emos d d e para emos d d

23 Figra M. Eemplo Calcle a covolção ere os siais [ ] y [ ] represeados as figras M. e M.5. e parir das figras, as seqêcias [ ] e y [ ] são y [ ] [,, ] [ ] [,,, ] Embora se possa proceder como o caso coío, fiado m dos siais, e iveredo e fazedo correr o oro sial sobre o eio das abcissas, o caso discreo é possível recorrer a m méodo gráfico qe permie calclar rapidamee a covolção Figra M. χ i [ ] [ ] y[ ] [] i y[ i], qe se epõe a figra M.. Dispodo orogoalmee cada m dos siais, devidamee ideados, cosrói-se ma mariz cjos elemeos correspodem ao prodo dos valores de cada m dos siais Figra M.5 Prof. José maral M - Versão. --

24 covolção pode eão ser calclada somado os valores qe se ecoram em cada ma das diagoais, sedo o ídice correspodee a cada ma desas somas dado pela soma dos ídices dos siais, qe é comm a cada diagoal [] Resla eão - χ χ χ χ χ χ [ ] 8 [] + [] + [] + [] [] y[] 5 - Figra M. [] Fialmee [ ] [ 8,,,,, ] [,,,,, 5]. χ para Eemplo Calcle a covolção ere os siais [ ] e [] represeados as figras M.7 e M.8. Recorredo ao méodo gráfico, qe se ilsra a figra M.9, resla χ [ ] [ ] [ ] qe se ilsra a figra M Figra M.7 [] Figra M [] [] Figra M Figra M. Prof. José maral M - Versão. --

25 Malab. Eemplo Resolva o Eemplo do Eercício. recorredo à Malab Symbolic Toolbo. covolção do plso recaglar cerado. Π com ele mesmo é, por defiição χ d Π Π d Π d Podemos eão fazer recsym'*heaviside-+a/-*heaviside--a/'; covoli*rec,,-a/,a/ covol -^*-Heaviside-*+Heavisidea-*-Heavisidea-*a+^* -Heaviside-a-*a+Heaviside-*-Heaviside-a-* Noe qe a epressão é mio complicada visalmee em reslado da ilização da fção de Heaviside, e a Malab Symbolic Toolbo ão é sficieemee poee para a simplificar. Em siações dese ipo, e caso seja de ieresse a simplificação da epressão reslae, a solção 9 é aalisar a epressão por roços e pedir 8 scessivas simplificações parciais. siação 7 ão é, de qalqer modo, impediivo de m pedido de solção mérica e respeciva aálise 5 gráfica. Poderíamos por eemplo aalisar a solção para e o iervalo, [ ] csbscovol,a,; csbsc,,; -:.:; csbsc,; plo,c,'liewidh', grid o; ais[- - 9] Figra M. Prof. José maral M - Versão. --

26 Eemplo Escreva ma fção Malab qe devolva o reslado da covolção ere dois siais discreos e o vecor em qe esá defiida, recebedo como parâmeros os siais, e, e os vecores em qe esão defiidos, e. Podemos fazer, por eemplo, fcio [,y] cov_,,, % [,y] cov_,,, % y[] []*[] m+; Mlegh+legh; m:m ycov,; Noe qe se recorre à fção cov pré-defiida em Malab, edo sido ecessário apeas calclar os isae em qe os valores da covolção esá defiida. Eemplo Uilize a fção escria o Eemplo para resolver o Eemplo e o Eemplo do Eercício.. solção é imediaa. Temos para o Eemplo :; [ -]; :; [ ]; [ y]cov_,,, 5 y 8 - sem,y,'filled' grid o E para o Eemplo -5:5; ; [ ]; [ ]; [ y]cov_,,,; sem,y,'filled' grid o Figra M Figra M. Prof. José maral M - Versão. --

27 Prof. José maral M - 5 Versão. -- Demo : Covolção de m sial com o implso Sedo por defiição χ d y y Se o sial y for m implso de Dirac siado em, y δ, emos δ χ d ededo às propriedades do implso de Dirac, δ δ δ d, pelo qe d d δ δ χ Coclímos assim qe δ Para o caso discreo emos, de modo idêico [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] * i i i i i i i δ δ δ δ χ

28 pêdice : Compleos c a + jb Recorde qe o úmero compleo c, escrio a forma recaglar o caresiaa pode ser escrio a forma polar o epoecial ρ b jθ θ c ρe a, em qe ρ represea o módlo do compleo e θ o se argmeo. O módlo é facilmee obido, recorredo à represeação gráfica do compleo j ρ a + b,o, mliplicado o compleo pelo se cojgado c cc a + jb a jb a + b Qado o compleo esá epresso a forma polar, o recohecimeo do módlo é imediao. Noe, aida assim, qe, embora desecessário, podíamos fazer c cc ρ ρe jθ ρe jθ Qao ao argmeo, recorredo à represeação gráfica b arg {} c arca a idêico à relação a parir da forma recaglar arg {} c Im arca Re Recorde qe a relação de Eler ± { c} {} c e j cos ± j se b arca a permie facilmee ober a defiição das fções seo e co-seo a parir da fção epoecial complea j j e + e cos j j e e se j Prof. José maral M - Versão. --

29 É evidee qe j e oe, por eemplo, qe e j cos + j se cos + se ededo ao qe arás fico dio, facilmee se calcla o módlo e o argmeo do sial epoecial compleo. Sedo Ce C e C e a jθ e e + jω j ω +θ resla imediaamee, dado qe a epressão esá a forma polar, C e e arg { } ω + θ Prof. José maral M - 7 Versão. --

30 Ficha de valiação M N: Nome: Trma: Daa limie de erega -- ficha deve ser colocada, aé à daa limie, o recipiee apropriado eisee jo ao Gabiee C CEDET Grpo C Eercício Cosidere o sial.5 π < < π π < π π < π.5 coforme represeado a figra. -.5 Recorra ao Malab para calclar a epressão aalíica dos coeficiees π cos k d π b k π cos k d π Figra M. Simplifiqe a epressão. k 7 y o iervalo [ ] proime pelo sial b cos k k k π, π. Represee graficamee as diversas parcelas do somaório, assim como a soma acmlada. À semelhaça do Eemplo em Malab.. Eercício À imagem das figras M. a M.7, represee o sial epoecial compleo [ Ω ] + θ C α e j e a sa pare real, { [ ]} Re C α cos Ω + θ, para C, < <, Ω π, θ e α. 95. Eercício Recorra ao Malab para calclar e represear a covolção ere os siais discreos [ ] δ[ + ] + δ[ + ] + δ[ ] + δ[ ] [ ] δ[ ] + δ[ ] Comee o reslado. Prof. José maral M - 8 Versão. --

31 Grpo B Eercício Represee o sial C k sic k T T cosiderado, e T. dmia R,. Sobrepoha ao gráfico obido o gráfico do mesmo sial, mas cosiderado agora ℵ,. k o iervalo [ ] k o iervalo [ ] Repia o poo aerior cosiderado T e, scessivamee, k R o iervalo, e ℵ,. [ ] k o iervalo [ ] Comee o posicioameo dos zeros do sial em cada m dos poos aeriores edo em aeção o qe cohece do sial sicv. Eercício 5 Recorra à Malab Symbolic Toolbo para calclar a covolção ere os siais e Π 5 y Π Grpo Eercício Defia m objeco simbólico correspodee ao plso riaglar + Λ, <, <, caso cor rio edo como base a fção de Heaviside redefiida.. Calcle e represee aravés do Malab a ª e a ª derivada do objeco defiido o poo aerior. Prof. José maral M - 9 Versão. --