A TRANSFORMAÇÃO DO PADEIRO E A QUEBRA DA SIMETRIA TEMPORAL EM SISTEMAS DINÂMICOS CONSERVATIVOS.

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1 A TRANSFORMAÇÃO DO PADEIRO E A QEBRA DA SIMETRIA TEMPORAL EM SISTEMAS DINÂMICOS CONSERVATIVOS. Régis Campos Fama IC Divisão de Egeharia Elerôica, ITA, CTA, S.J. dos Campos, SP regis_ia@ahoo.com Carlos Alero Bomfim Silva PQ Divisão de Esio Fudameal, ITA, CTA, S.J. dos Campos, SP omfim@fis.ia.ca.r RESMO Nese arigo discue-se a proposa de Prigogie [] sore a quera da simeria emporal em sisemas diâmicos coservaivos. Para al fim opou-se pelo mapa do padeiro, um sisema diâmico simples, passível de uma descrição aalíica complea e que aida guarda caracerísicas imporaes dos sisemas reais. Em essêcia, aravés da aálise de sua diâmica, ao do poo de visa das rajeórias como do poo de visa esaísico, percee-se que a quera da simeria emporal, em acordo com a proposa de Prigogie, acoece apeas a descrição esaísica e em coseqüêcia da isailidade raduzida pelas propriedades irísecas (epoees de Liapuov) do sisema ABSTRACT I his aricle i is discussed he Prigogie s proposal [] aou he ime smmer rae i coservaive damical ssems. To his ed i s used he Baers map, a smple damical ssem, wich has a complee aalical descripio ad which sill eeps impora characerisics of real ssems. I essece, hrough he aalsis of is damics, from he poi of view of rajecories ad from he poi of view of saisics, i s oserved ha he ime smmer rae, as proposed Prigogie, occurs ol i he saisical descrepio ad as a cosequec of he isaili raslaed he irisic properies (Liapuov epoees) of he ssem.. INTRODÇÃO As leis fudameais da diâmica, quer clássicas ou quâicas, são reversíveis o empo em flagrae corase com a irreversiilidade emporal descria pela seguda lei da ermodiâmica, que descreve os sisemas oservados a aureza (sea ermodiâmica do empo). Ese é o famoso paradoo do empo, assim aizado por Ila Prigogie []. A cociliação desses faos aida hoje represea um dos prolemas mais desafiadores da física. Nas úlimas duas décadas a escola de Prigogie em proposo a ampliação das leis da diâmica de modo que a irreversiilidade seja icluída em ível fudameal, iso é, microscópico []. Nesa proposa, para que ocorra a quera da simeria emporal ( irreversiilidade ) o igrediee essecial é que o sisema eia algum ipo de ão-iegrailidade ou de isailidade, por eemplo, a isailidade o seido de Liapuov eiida pelos sisemas diâmicos caóicos. Dero dese espírio, a escola de Prigogie propõe que as leis fudameais da diâmica sejam formuladas em ível esaísico de modo que ao a simeria emporal quao a equivalêcia ere a descrição idividual e a descrição esaísica são queradas []. Ese raalho visa discuir a cojecura de Prigogie, mecioada o parágrafo aerior, sore a eesão da diâmica para os sisemas caóicos simples. O modo mais simples de ilusrar como a irreversiilidade emerge em sisemas diâmicos isáveis é aravés de mapas caóicos, os quais represeam processos diâmicos discreizados o empo. Em raalho aerior [9] aalisou-se o mapa caóico de Beroulli que emora passível de raameo aalíico compleo ão é um sisema iversível e, porao, ão simula a simeria emporal. Ereao, uma vez que o poo pricipal da cojecura de Prigogie é eplicar o surgimeo da irreversiilidade emporal em sisemas caóicos cuja diâmica eie simeria emporal, ese projeo, aalisou-se a rasformação do padeiro que é uma geeralização do mapa de Beroulli. A rasformação do padeiro é uma rasformação iversível, emporalmee simérica, deermiísica e caóica o que são caracerísicas de sisemas diâmicos reais. A aálise proposa ese raalho é efeivada comparado a diâmica do poo de visa de rajeórias, oidas umericamee, com a diâmica do poo de visa esaísico. A descrição esaísica do mapa do padeiro será aalisada aravés da equação de Pero-Froeius que descreve a evolução da desidade de

2 proailidade o espaço de fase. A descrição esaísica do mapa do padeiro amém será efeivada aaliicamee aravés da decomposição especral geeralizada do operador de Pero-Froeius [3], [4]. Em essêcia ( maiores dealhes as referêcias [9] e [] ) mosra-se ese raalho apeas os resulados mais relevaes. Ese raalho coém, além da irodução (seção ) algus coceios relevaes sore a diâmica do mapa do padeiro (seção ), resulados uméricos e discussões (seção 3) e coclusões (seção 4)..TEORIA O leior ieressado dealhes maemáicos sore a diâmica e a esaísica de mapas caóicos poderá cosular as referêcias [] a [6]. Defiido-se um mapa ( ) S e omado-se um poo iicial [ a] a rajeória do sisema é oida, aravés da aplicação recorree do mapa, iso é:, = S ( ), = S ( ) = SS ( ( )),.... As desidades de proailidade, por ouro lado evoluem de acordo com o operador liear de Perro-Froeius,, defiido por: ρ (, ) ρ(, + ) = ρ(, ) = M d δ( S ( )) ρ(, ) = :S( ) ds( )/ d = ode o somaório é feio sore as possíveis ramos de iversão do mapa S. A mesma idéia vale para um úmero maior de dimesões. A rasformação, ou mapa, do padeiro age o espaço fase M = [,) [,) do quadrado uiário da seguie forma: (, /), [,/ ) ( +, + ) = (-, ( + )/), [ /, ) Esa rasformação represea uma aalogia maemáica do processo o qual um padeiro pega uma massa de pão esica-a e em seguida dora-a. Ese processo leva ao efeio de miig via filameação. O jacoiao J da rasformação do padeiro é igual à uidade. Porao, dada uma região iicial de área A, a mesma é preservada durae a evolução do mapa. Iso será discuido em dealhes a seção. Do poo de visa esaísico, uiliza-se a equação de Perro-Froeius, que é a equação do movimeo para a fução de disriuição p(, ) do padeiro, é:. A forma do operador de Perro-Froeius para o mapa ( ) [ p /,,,/) p (, ) = +. p,, [ /, ] Afim de oer a decomposição especral geeralizada, iicialmee escreve-se o operador de Perro- Froeius do mapa do padeiro a forma: (, ) = + ( ) ( ) (, ) = [ + ] (, ) ρ rr ρ δ ρ, ode é o operador de Perro-Froeius do mapa de Beroulli [] agido a coordeada, é o operador auo-adjuo do operador Perro-Froeius ( operador de Koopma) que age a coordeada e r( ) é a primeira fução de Rademacher defiida do seguie modo: ( ) r se </ - se / < Ao escrever o operador a forma acima, a verdade o que se fez foi decompô-lo em duas pares e δ. A parcela é represeado por uma mariz diagoal a ase idimesioal formada pelo produo direo dos auo-esados do mapa de Beroulli [9] [], iso é

3 ϕm, (, ) B( ) B m( ), ϕm, (, ) B ( ) Bm( ) ase. Ode B ( ) são poliômios de Beroulli e B ( ), e, δ, é a parcela ão diagoal esa mesma são fuções geeralizadas. Os elemeos da m m j diagoal pricipal, auovalores, são: e γ + + / = /, ode j = m +. Assim uma vez que {,,,...,j} e que m = j eão os auovalores são j + vezes degeerado.. A riagularidade esria da pare ão diagoalδ os dá a propriedade de ão-recorrêcia, já visa o mapa de Beroulli [9]-[], o que possiilia usar uma epasão do operador resolvee para deermiar j suas sigularidades. Esa epasão coém pólos aé a ordem j + correspodee a cada auovalor e γ. Devido à eisêcia de pólos múliplos, ão é possível diagoalizar compleamee o operador de Perro- Froeius, pode-se coudo, reduzi-lo à uma represeação a forma caôica de Jorda, cosiuída de locos de Jorda. Cada auovalor degeerado perece um suespaço ivariae de dimesão +. A forma da decomposição especral geeralizada é eão dada por ( ψ, ψ, ) = e ψ e, = e. ψ, e Os esados à direia saisfazem ψ, = e γ ψ, e ψ = e ψ + ψ, l=,,,. Esses esados evoluem com sucessivas aplicações do l, l, l, operador de Perro-Froeius,, como { l}! ( ) e ψ. mi, ψ, l =, l =!! ( ) Oserve-se que o decaimeo epoecial é modificado pelos faores poliomiais de aé l para > l. Os γ ψ = e ψ + ψ, l=,,,,-. auo-esados à direia saisfazem, e γ ψ = ψ,, l, l, l, + Esses esados evoluem segudo { }! ψ. mi, ( ), l = e ψ, l+ =!! ( ) Eão para ao os auo-esados à direia quao os auo-esados à esquerda são disriuições ( fuções geeralizadas). Esa propriedade vale amém para os auo-esados de Jorda. Porao a decomposição especral geeralizada de ão pode ser usada, como feio para o mapa de Beroulli, para decompor a desidade de proailidade uma epasão de modos. ma vez que agora, a decomposição é oida em ermos de fuções geeralizadas idimesioais que mapeiam uma fução desidade e um oservável, ou a correlação de dois oserváveis a um úmero real. O fao aqui surpreedee é que se pode cosruir uma represeação irreversível eaa do operador com os modos de decaimeo correspodees. 3. RESLTADOS NMÉRICOS E DISCSSÕES Nesa seção mosram-se algus resulados uméricos, referees ao mapa do padeiro. As simulações uméricas foram efeuadas uilizado o sofware Mala. Para ao foram criados os seguies programas: miig, displo, ploraj []. A fim de ierprear os resulados oidos das simulações é coveiee represear a ação do mapa do padeiro o sisema iário de umeração. É possível mosrar que eise um isomorfismo ere a rasformação do padeiro e o deslocameo de Beroulli [3]. Sejam as represeações o sisema iário de umeração das codições iiciais do sisema:

4 = / j j =, j= ε εε e = δ / j j =, δδ j= Cosrói-se uma seqüêcia iária em que os ermos à esquerda da vírgula são os ermos que compõem a coordeada em ordem iversa, e aalogamee, os ermos à direia da vírgula são os que compõem a coordeada. Ou seja: ; δδεε ε, ε ε. ( ) + + Assim fica claro que a diâmica do movimeo para grade, depede ieiramee de desde que eha um úmero fiio de algarismos. Porao a rajeória eiida pelo sisema será ieiramee deermiada pela aureza da codição iicial Oserve-se que como ão é possível represear, eaamee, um úmero irracioal, uma máquia de esados fiios ( compuador ) eão ão é possível simular com precisão ifiia uma evolução do mapa do padeiro para uma codição iicial irracioal, eceo quado o úmero irracioal seja compuável [3]. Porao, após um úmero suficieemee grade de ierações, perde-se oda a iformação sore a codição iicial. A figura mosra o resulado oido com o uso do programa miig. Nela vêem-se quize diferees isaes de empo, ordeados por leras. Na figura -h, oserva-se o esado iicial, escolhido arirariamee, correspodedo a uma região reagular de icereza iicial. As coordeadas dos vérices superior direio e iferior esquerdo são respecivamee (,5;,6) e (,4;,5). Nesse pequeo reâgulo foram gerados poos com disriuição uiforme essa região. As figuras de -h aé -a, foram oidas por meio de aplicações sucessivas da rasformação iversa do padeiro, ou seja, apreseam o passado do sisema. As figuras de -h aé -o, foram oidas por meio de aplicações sucessivas da rasformação do padeiro, ou seja, apreseam o fuuro do sisema. Fig..: Evolução emporal, so à ação do mapa do padeiro, para poos aleaoriamee disriuídos uma região ceral pequea do espaço fase (h). De (h) a (a). De (h) a (o). Da figura, pode-se cocluir que o seido de empo posiivo, a filameação do mapa do padeiro ocorre a direção ( horizoal) e que o seido de empo egaivo, a filameação ocorre a direção. A

5 filameação horizoal o seido de empo posiivo decorre da eisêcia de dois epoees de Liapuov, um posiivo a direção e um egaivo a direção. Aalogamee, a filameação verical o seido de empo egaivo deve-se ao fao do mapa iverso do padeiro possuir epoees de Liapuov as direções e respecivamee egaivo e posiivo. Noe-se que ao para uma evolução emporal com o empo egaivo quao para com o empo posiivo, o sisema ede irreversivelmee para a desidade uiforme de p, =. A filameação com preservação da área, levado ao miig, é, esse caso, devido aos dois equilírio ( ) epoees de Liapuov. ma vez que o mapa é, iervalo a iervalo, liear, pequeos erros (, ) δ δ a l l codição iicial são propagados da seguie forma: δ = e δ e δ = e δ. O que se oserva eão, é um alogameo da cofiguração iicial a direção, devido ao epoee de Liapuov posiivo λ = l > e uma coração a direção devido ao epoee de Liapuov egaivoλ = l <. Noe-se que: λ + λ =, isso implica a coservação de área idicada pelo, J e e λ uma vez que ( + λ ) = = =. Essa é uma propriedade geral de um sisema coservaivo. 4. CONCLSÕES A pricipal coclusão decorree dos raalhos do grupo liderado por Prigogie [], [], [5], [6], que aqui eleva-se à codição de cojecura, diz respeio à geeralização da diâmica ode a isailidade, quado presee o sisema, quera a equivalêcia ere as descrições esaísica e idividual. Nesa cojecura o aspeco proailísico adquire um sigificado diâmico iríseco e as leis do caos devem ser formuladas em ível esaísico. Além disso, como pode ser apreciado ao logo dese raalho, a simeria emporal é querada apeas a formulação esaísica da diâmica. Deve-se mecioar amém que a proposa de Prigogie é mais ampla do que a discuida ese raalho pois amém egloa os sisemas ermodiâmicos deomiados a lieraura como large Poicaré ssems []. O comporameo diâmico de um sisema diâmico depede essecialmee de dois faores: da codição iicial e da aureza do sisema. Como pode ser oservado os resulados apreseados ( seção 3 ), emora cada rajeória apresee um movimeo erráico, o sisema ede a um esado de equilírio que pode ser descrio por uma disriuição uiforme ρ (, ) = em coseqüêcia do comporameo miig o qual uma rajeória ípica visia odo o espaço de fase de modo apareemee aleaório. Coforme aalisado a seção, ao se efeuar a decomposição especral do mapa do padeiro percee-se ecessiaram-se ao dos poliômios B ( ) como das fuções geeralizadas B ( ). Diso resula que o raameo esaísico do mapa do padeiro é aplicável somee a fuções de proailidade ρ (, ) em comporadas, e ão a rajeórias idividuais as quais são represeadas por fuções geeralizadas δ (, ). Dese modo, a equivalêcia ere a descrição idividual e a descrição esaísica é querada. Para uma disriuição coíua ρ, coudo, oêm-se resulados cosisees que vão além da descrição idividual aravés de rajeórias. Mosrou-se amém que a aa de aproimação para o equilírio das fuções desidades depede epliciamee dos coeficiees de Liapuov os quais são caracerísicas irísecas do mapa do padeiro. Na decomposição especral do mapa do padeiro ( seção ) em ermos das coriuições dos modos de decaimeo mosrou-se que o equilírio ocorre quado >. Sae-se que é possível efeuar uma decomposição especral da rasformação do padeiro o próprio espaço de Hiler L L ( ou seja o espaço de fuções resulaes do produo direo do espaço fucioal das fuções quadraicamee iegráveis em e o iervalo [,) ) mas, desa forma, oêm-se somee auovalores de módulo. Os modos de decaimeo que foram oidos, com auovalores e =, ão aparecem a decomposição o espaço de Hiler. Os auoveores à direia e à esquerda e os veores de Jorda da decomposição especral geeralizada de são fucioais lieares os espaços L P e P L respecivamee ( P e P deoa o espaço ese das fuções epasíveis em ermos de poliômios em e, respecivamee). Eão age as

6 fuções em L P resulado em oura fução o mesmo espaço, diz-se eão que preserva a suavidade da fução em (o mesmo ão é válido para a direção ). Ao corário, se ( = ) agir as fuções dese espaço, poderá eveualmee resular uma fução fora desse espaço. Desa forma a decomposição especral geeralizada de eplicio para > ) para geeralizada de decomposição de f L P e para a correlação ( ) ( ) para a correlação ( ) ( f g) f g é válida ( com decaimeo g P L. Por ouro lado, a decomposição especral é válida para f P L e g L P. Assim a em ermos dos modos de decaimeos para desidades em L P em seido somee para >. Eise um espaço disio de desidades para o qual há uma decomposição de apeas em ermos dos modos de decaimeos para <. Eão, a evolução do grupo da decomposição o espaço de Hiler divide-se em dois semi-grupos disios a decomposição geeralizada; o semi-grupo com evolução para posiivo e o ouro semi-grupo com evolução para egaivo. O leior ieressado em mais dealhes e demosrações maemáicas rigorosas poderá cosular as referêcias [] a [6] e [9],[]. No caso de mapas caóicos, deve-se aadoar o espaço de Hiler porque ecessia-se igualmee das fuções em comporadas ( ) B e das fuções geeralizadas B ( ). Pode-se eão falar de espaço equipado ( rigged ) de Hiler, ou espaço de Gelfad [8]. Em ermos écicos, deve-se oer, porao, a decomposição especral geeralizada e irreduível do operador de Perro-Froeius a qual aplica-se somee à disriuições em comporadas, e ão a rajeórias idividuais. Coforme depreede-se dos resulados aalíico e uméricos apreseados é apeas fora do espaço de Hiler que a equivalêcia ere descrição idividual e esaísica é irrevogavelmee querada, e a irreversiilidade passa a ser icorporada as próprias leis da diâmica. Nese raalho defede-se, como o fez Balescu [7], que as aálises eóricas e uméricas da proposa de Prigogie efeuadas em mapas caóicos são compleas. Coclui-se fialmee que a proposa de Prigogie represea um progresso sigificaivo para eedimeo da relação ere a isailidade e a irreversiilidade emporal em sisemas diâmicos reais. AGRADECIMENTOS Ao CNPq-PIBIC por fiaciar essa pesquisa que poderá ser usada como referêcia o esudo esaísico da diâmica de sisemas caóicos. BIBLIOGRAFIA. Prigogie, I.; The Ed of Cerai ; Free Press; Drie, J. D.; Full Chaoic Maps ad Broe Time Smmer ; Kluwer Academic Pulishers; McCaule, J. L.; Phsica Scripa; 988,,. 4. Lasoa, A.; Mace, M. C.; Chaos, Fracals, ad Noise. Sochasic Aspecs of Damics ; Spriger- Verlag; Applied Mahemaical Scieces; 994, Hasegawa,H. H e Saphir, W. C., iari ad irreversiili i chaoic ssems. Phsical Review A; 99, 46(), 46,. 6. Aoiou, I. e Tasai, S. Geeralized Specral Decomposiios of Miig Damical Ssems. Ieraioal Joural of Quaum Chemisr; 993, 46, Balescu, R.; Saisical damics. Maer ou of equilirium ; Imperial College Press; Böhm, A.; Gadella, M.; Dirac Kes, Gamow Vecors ad Gelfad Triples ; Spriger-Verlag; Fama, R. C.; Silva, C. A. B.; Esudo esaísico de mapas caóicos e a irreversiilidade emporal de sisemas diâmicos ; Relaório PIBIC;.. Fama, R. C.; Silva, C. A. B A rasformação do padeiro e a quera da simeria emporal em sisemas diâmicos coservaivos ; Relaório PIBIC; 3.