(Propagation and Spread of Wave Packets) Departamento de Fsica -Fundac~ao Universidade Estadual de Maringa

Transcrição

1 Rva Bralra d Eo d Fca, vol. 19, ọ, juo, Propagac~ao Alargamo d Paco d Oda (Propagao ad Sprad of Wav Pack) E. K. Lz, L. C. Malacar R. S. Md Dparamo d Fca -Fudac~ao Uvrdad Eadual d Marga Av. Colombo, CEP Marga - PR, Bral Trabalo rcbdo m 31 d marco d 1996 N rabalo roduzmo uma fuc~ao grarz para aalar a propagac~ao o alargamo d paco d oda. Uado a rprac~ao d Scrodgr obmo a fuc~ao para algu ma fco mpl. Abrac I work w roduc a grarx fuco o aaly propagao ad prad of wav pack. I Scrodgr rprao w calcula fuco for mpl pycal ym. I. Iroduc~ao fca d u dvo -mo. Uma caracrca marca da Mc^aca Qu^aca[3, 4, 7] a ua dfrca m rlac~ao a Mc^aca Claca, m parcular, o oca a mdda da poc~ao do momo lar d uma parcula. Para o dmo da mdda m um mpo arbraro, ora- mpora cocrmo a propagac~ao o alargamo d paco d oda. Por ua vz, a formac~ao obda dram da voluc~ao mporal do valor mdo d po^ca da gradza Para ralarmo a rlv^aca do valor mdo dvo, obrvmo prmram qu a rajora do cro do paco d oda dcrv a rajora d uma parcula claca om < rv (^x) > rv (x)j x<^x>, coform dcro plo orma d Erf[]. No cao gral, podmo drmar a dfrca r a rajora claca a rajora do cro do paco d oda xprado o valor mdo da forca m rmo d ^x, V (x ) x x^x V (x ) x + V (x ) x^x x + 1! 3 V (x ) x 3 (^x ;^x) x^x D (^x ;^x) x^x E + ::: (1) Fca claro, porao, qu o udo do alargamo d paco d oda mpora para formar o quao a oluc~o da quac~o d Nwo da mc^aca claca dvam do rpcvo rulado qu^aco. Alm do, udo ~ao caro para uma dcrc~ao compla da d^amca qu^aca. Rcm, ma fo abordado[6] uado a rprac~ao d Hbrg. O auor apra a oluc~o da quac~o d Hbrg para o oprador poc~ao momo para algu ma mpl. A gur, valor mdo d oprador ~ao calculado d modo a obr a xpr~o gra para u dvo quadraco, dpddo da forma do ado cal. Quado procdmo aplcado para o calculo do valor mdo do dvo -mo, uado uma fuc~ao d oda pcca, camo calcular vara

2 0 E.K. Lz. al. gra. Aprarmo, rabalo, um ouro modo para obr o rfrdo valor mdo dvo, qu volvm apa uma grac~ao, a oluc~ao d uma quac~ao dfrcal poror drvac~o. Dada a quval^ca r a rprac~o d Hbrg Scrodgr, opamo pla ulma, por la r ma comum mprgada o varo lvro xo. Ralamo qu a quadad d oprac~o mamaca volvda m amba a rprac~o bacam quval. Goaramo d frar qu o objvo d rabalo ~ao dcur rulado ja corado a lraura, ma o d aprar uma mara maca para calcular d forma compla o apco rlacoado a propagac~ao o alargamo d paco d oda. Na prmra c~ao, xpomo algu coco lmar d mc^aca qu^aca, qu rvm calm para xar a oac~ao ulzada. A gur, roduzrmo a fuc~ao grarz Z( ), qu o objo fudamal para o calculo do -mo valor mdo. Na guda c~ao, aplcamo a fuc~ao grarz para drmarmo algu valor mdo d po^ca dvo -mo da coordada do momo lar m algu ma fco mpl. Dvdo a grad aplcac~ao da algbra d oprador o coxo da mc^aca qu^aca, opamo por mprgala macam o dcorrr d rabalo. Iclumo, ambm, um ap^dc obr oprador, od ~ao aprada alguma rlac~o ulzada o xo. II. Fuc~ao Grarz O ado d um ma qu^aco, um a, rprado mamacam por uma fuc~ao d oda (x). Sdo qu drma a drbuc~ao d probabldad para o dvro valor da coordada. Uarmo, porao, a codc~ao d ormalzac~ao, Z dx 1: () D uma mara gral, o valor mdo d uma gradza fca A, D ^AE,um ado dado por D ^AE Z ^A dx (3) od ^A o oprador corrpod a gradza fca. Emprgarmo, ambm, A para mbolzar o dvo -mo d A o ado,o, A D ^A; < ^A > E : (4) Avoluc~ao mporal da fuc~ao d oda drmada pla quac~ao d Scrodgr, ^H (5) od o oprador ^H a Hamloaa do ma. Em parcular, quado codramo o movmo udmoal d uma parcula ~ao rlavca d maa m uja a uma rga pocal V (x ), mo ^p ^H + V (^x ) (6) com ^p ; ^x x do o oprador momo x lar poc~ao, rpcvam. A parr d (5) podmo obr a quac~ao qu da a voluc~ao mporal do valor mdo[3, 4,7], d d ^A ^H D ^AE D 1 ^A ^HE + * ^A + (7) od o comuador d ^A com ^H ddo como ^A ^H ; ^H ^A. N rabalo, amo rado, bacam o calculo do valor mdo d ^x, ^p, x p. Por ouro lado, ra muo rabaloo para cada ^x ou ^p qu fomo drmar vmo qu calcular uma gral do po ^A R ^A dx. Coorarmo problma roduzdo uma fuc~ao grarz para o valor mdo ^x ^p. D fao, a fuc~ao Z( ) ^x ^p rv para al propoo, po (8) ^x ^p ^x ^p ^x ^p + Z( ) : (9)

3 Rva Bralra d Eo d Fca, vol. 19, ọ, juo, Da forma, uado a xpa~ao bomal, podmo corar xpr~o para o valor mdo do dvo -mo d x p a parr da fuc~ao grarz, x X X (;1) ^x ; (;1) ; ^x ; Z( ) Z( ) (10) p X (;1) ; ; Z( ) Z( ) : (11) Vmo, ~ao, qu o calculo do valor mdo dvo -mo, coraram a pobldad aror, rduzdo a uma grac~ao poror drvac~o. III. Aplcac~o Na aplcac~ao da formula (9), (10) (11) para um ma fco cocro, camo drmar Z( ). A gur, obrmo a fuc~ao para algu cao pcco. A. Parcula Lvr Prmram, vamo obr a quac~ao qu a fuc~ao grarz afaz para o cao d uma parcula lvr, ^H ^p (). Para al, umo a quac~ao (7), 1 Z( ) ^x ^p ^p 1 ^x m ^p ^p + ^x ~ ^p : (1) Para obrmo a ulma gualdad mprgamo a rlac~ao (37) a xpr~ao [xp(^x) ^p] xp(^x), qu obda d (40) (44). Uado a quac~ao (9) m (1) podmo crvr a quac~ao dfrcal para a voluc~ao mporal d Z( ), Z( ) ; + m Uma mara ra d obr a oluc~ao da quac~ao aror oarmo qu Z( ) xp ; Z( ) Nomo qu a prmra a ulma gualdad uamo a rlac~ao (46). rlac~ao opraoral coda m (13). Z( ) : (13) xp + Z( 0) m ; xp Z( + 0) : (14) m Na guda gualdad mprgamo a A guda gualdad d (14) o dz claram qu Z( ) pod r obdo d Z( 0). Io faz com qu ^p, p, c poam r xpro m rmo d u valor m 0. Obrvmo qu a codrac~o prmacm valda para um ma fco qualqur.

4 04 E.K. Lz. al. Pamo a aplcar a formula (14) para obrmo x, p, c. Subudo (14) m (9), mo ^p Z(0 0) ^p 0 (15) ^x X 0 X ; Z( + ; m 0) X ; r r m # ;;r r x p 0 " ; r ; xp ;!! ; : (16) Na ulma xpr~ao, mprgamo P 0 para doar a omaora m par. Pardo d (11) (15) coaamo qu ; p X 0 p: (;1) ; Z(0 0) Z(0 0) (17) O rulado (15) (17) dzm, mplm, qu ^p p ~ao dpdm do mpo. Uma xpr~ao gral para x rlavam xa, por o lmarmo a aprar om o dvo quadraco. Sdo am, d (10) (16) mo x x 0 + p 0 m (18) x 0 x + xp 0 ; ; x 0 p 0 m + 0 p m : (19) ^p Obrvmo, agora, qu a xpr~o para ^x ~ao d^ca ao cao claco. Io mpr ocorr quado a Hamloaa, o maxmo, quadraca m ^x ^p. Erao, a obrvac~o ~ao ~ao vrdadra para ^x ^p com >1. Oura formac~ao m- pora a coda m x,pox q x forma calm a largura do paco d oda, qu proporcoal a para um rvalo d mpo ucm grad. Eraa ralar qu, lm o alargamo do paco d oda cocd com a dpr~ao d um grupo d parcula claca com a vlocdad d dpr~ao pm. Alm do, o gudo rmo do lado dro d (19) ulo quado 0 um ado Gauao. B. Parcula um Campo Uform Vamo, agora, aalar o cao d uma parcula um campo uform, ^H ^p ; F ^x. A quac~ao dfrcal para Z( ) pod r obda d mara aaloga ao cao da parcula lvr, Z( ) ; + m + F Z( ) : (0) Obrvmo qu a corbuc~ao xra, F, urgu ao lvarmo m coa o rmo ;F ^x. Ralm, ao mprgarmo a gualdad [^x xp( ^p)] xp( ^p), obda d (40) (44), coaamo qu 1 ^x ^p ;F ^x F ^x ^x ^p FZ( ) : (1) Vamo obr a voluc~ao mporal para Z( ) procddo aalogam ao cao da quac~ao (14), Z( ) xp xp Z( ) + m + F Z( 0) ;

5 Rva Bralra d Eo d Fca, vol. 19, ọ, juo, xp ; xp m + F Z( 0) xp ; F + F + xp Z( 0) m xp ; F + F + Z( + 0) () m Na paagm da rcra para a quara gualdad mprgamo a rlac~ao (41) (44) com ^A F ^B m. Quado uamo () m (9) podmo vrcar qu ^x ^p F Z(0 0) X ; X ; F Z(0 0) (F) ; ^p 0 (3) ; xp + F X ; Z( + ; m 0) ; xp + F X " ; X r ; m r r Z( + m 0) x ;;r p r 0 # H (x)! : (4) Na ulma paagm, uamo a rlac~ao r o pol^omo d Hrm, H (x), ua fuc~ao grarz[1], com ; 1 x p X 1X ; +x H (x) (5)!. Uado (3) m (11) vrcamo qu F 3 (8m)1 " ; (;1) X ; r r (F) ;;r ^p r 0# ^p r 0 + F : (6) Novam, vamo xplcar alguma rlac~o mpora obr o alargamo propagac~ao para um paco d oda grco, ^x ^x 0 + ^p 0 m + F (7) ^p ^p 0 + F (8) x 0 x + ^x^p 0 ; ; ^x 0 ^p 0 m + 0 p m (9) p 0 p: (30) Nomo qu a xpr~o para dvo quadraco cocdm com aqula da parcula lvr. Tambm podmo vrcar qu, am como o cao da parcula lvr, p dpd do mpo. E fao o coduzm a uma coclu~ao mpora: uma forca coa auado obr uma parcula ~ao rfr m ua dpr~o, quado comparada com a d uma parcula lvr.

6 06 E.K. Lz. al. C. Ouro Sma Um ouro xmplo o oclador arm^oco, ^H ^p + m! ^x. A corrpod fuc~ao grarz, como podmo vrcar, afaz a quac~ao Z( ) m ; ; m! + m! Z( ) (31) cuja oluc~ao Z( ) xp Z m! ;!co! +! m! co! ; m!! co! + m!! 0 : (3) S uarmo a quac~o (9), (10) (11) com a fuc~ao acma povl obrmo o dvro valor mdo u rpcvo dvo. Em parcular, ~ao dfcl coaar qu ^x ^x 0 co! + ^p 0! (33) m! ^p ^p 0 co! ; m!^x 0! (34) x 0 xco!+ 0 p! m! + ^x^p 0 ; ;^x 0 ^p 0 p 0 pco!+ 0 xm!! ; ^x^p 0 ; ;^x 0 ^p 0! m! (35) m!! : (36) Como podmo vr, a xpr~o ~ao prodca o mpo. Alm do, coaamo qu x p o, morado qu o produo da crza da poc~ao do momo ~ao pod r arbraram grad, coraram ao cao aror. Para ma ma complxo ~ao povl, m gral, rolvr a quac~ao para Z( ) xaam, am como, ~ao cocda a oluc~ao xaa para a quac~ao d Scrodgr para a ma. Por ouro lado, d prar qu ja povl aplcar o modo dcudo para o cao d ma ~ao ~ao complxo, como por xmplo, o aomo d drog^o. Numa uac~ao gral, od ~ao xam oluc~o xaa, ra aural fazrmo aproxmac~o, por xmplo, aplcarmo cca d ora d prurbac~o. Uma oura povl x~ao do modo ra mprgarmo dfr fuc~o grarz para calcularmo o dvo d oura gradza fca, por xmplo, o momo agular. D modo, oura aplcac~o gralzac~o do modo xpoo ~ao ada m abro, poddo r um problma ra para o lor. Ap^dc - Algbra d Oprador N ap^dc, aprarmo algu rulado mpora obr oprador qu ~ao mprgado o xo qu podm r faclm corado a lraura[, 3, 4, 5]. Prmram, uado a dc~ao d comuador,

7 Rva Bralra d Eo d Fca, vol. 19, ọ, juo, ^A ^B ; ^B ^A, podmo vrcar dram a rlac~o ^A ^B + ^C ^A ^B ^C ; ^B ^A + ^A ^C ^A ^C ^B + ^A (37) ^B ^C (38) : (39) Pamo a obr algu rulado mo mdao para o cao d do oprador qu afazm ^A ^B ^B. SF ( ^B) P a ^B, podmo vrcar, uado a proprdad aror, qu ^A ^A F ( ^B) X a ^A ^B X a ^B;1 F 0 ( ^B) (40) od F 0 (w) df (w). Oura rlac~ao mpora dw ^A ^B ^A+ ^B 1 [ ^A ^B] : (41) Para vrca-la, damo a fuc~ao F (z) ^Az ^Bz, qu afaz a quac~ao dfrcal df (z) dz Na ulma gualdad uamo a rlac~ao ^A ^Az ^Bz + ^Az ^B ^Bz ^A + ^Az ; ^B ^Az F (z) ^A + ^B + z F (z) : (4) xp( ^Az), qu uma coqu^ca mdaa d (40). xp( ^Az) ^B A oluc~ao da quac~ao (4) com a codc~ao F (0) 1 A ddad (41) obda ao omarmo z 1. z F (z) xp ^A + ^B z + ^A ^B z : (43) Falm, vamo obr dua rlac~o qu volvm uma forma xplca para o oprador. calm a rlac~ao Vrqumo ;1 (44) qu pod r obda ao aplcarmo o comuador uma fuc~ao dfrcavl f(), f() f() ; (f()) ;f() : (45) Nomo ada qu a xpa~ao d Taylor d f( + a) pod r xpra m rmo da xpocal do oprador d d, d f( + a) 1+a + a dd 1! d + ::: f() xp a d f() : (46) d Rfrc [1] Bukov, E., Fca Mamaca, Ed. Guaabara, Ro d Jaro, 1988 [] Co-Taoudj, C., Du B. ad Lalo F., Quaum Mcac, Vol. I, A Wly-Ircc Publcao,

8 08 E.K. Lz. al. Nw York, 1977 [3] Gaorowcz, S., Fca Qu^aca, Ed. Guaabara Do, Ro d Jaro, 1979 [4] Ladau, L. Lfz, E., Mc^aca Qu^aca, Vol. 1, Ed. Mr, Mocou, 1985 [5] Mrzbacr, E., Quaum Mcac, Sguda Edc~ao, Wly Iraoal Edo, Nw York, 1970 [6] Prz, J. S., Rv. Bra. d Fca, 17 (1995) 13 [7] Sc, L. I., Quaum Mcac,3 a d., Ed. McGraw- Hll, Sgapor, 1988.