ESCOAMENTO SECUNDÁRIO EM DUTOS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR USANDO UM MODELO DE TURBULÊNCIA k-ε NÃO LINEAR

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1 ESCOAMENTO SECUNDÁRIO EM DUTOS DE SEÇÃO NÃO CIRCULAR USANDO UM MODELO DE TURBULÊNCIA - NÃO LINEAR Marclo Aao -mail: aao@mciabr Marclo JS d-lmo -mail: dlmo@mciabr Dparamo d Ergia - IEME, Iiuo Tcológico d Aroáuica - ITA 8-9 São Joé do Campo - S - Brail Rumo E rabalho apra um udo umérico do coamo urbulo complam dvolvido m duo d ção ão circular, volvdo coamo cudário, uilizado um modlo - ão liar E modlo mora r capaz d prdizr o coamo cudário m duo d ção ão circular, um ômo qu o modlo - padrão (liar) é icapaz d dcrvr A dicrização da quaçõ é ia uado o méodo do volum iio um ima d coordada ão-orogoal O algorimo SIMLE é mprgado para corrção do campo d prão Rulado do cálculo, para o cao do coamo complam dvolvido um duo d ção quadrada, ão comparado com dado primai, com uma iva aáli da ruura urbula pr ipo d coamo alavra-chav: Ecoamo cudário, Turbulêcia, Aioropia, Volum iio INTRODUÇÃO Muio coamo urbulo corado o campo d gharia ocorrm m duo d ção ão circular, por mplo: ima d ar codicioado, rocador d calor, caai d raor uclar, r ouro Um coamo ridimioal é corado m oda a coiguraçõ E m ido cohcido dd o rabalho primai d Niurad (96) qu um coamo médio ravral i dro d duo d ção ão circular A compo da vlocidad cudária rula a çõ ravrai d duo pod r om % da vlocidad aial média, ma coabiliza uma or iluêcia o comporamo local oal do coamo Cálculo d quda d prão rarêcia d calor, por mplo, m qu lvar m coa a iluêcia do coamo cudário Divro rabalho primai m ido ralizado, um do mai complo qu dcrv o coamo urbulo m duo d ção ragular (a vrdad, praicam quadrada, 44 mm) oi orcido por Mllig & hila (976), qu uilizaram uma irumação com amômro lar-dopplr oram o primiro a quaiicar o dvolvimo aial da vlocidad média, a iidad urbula, a õ cialha d Rold, a rgia ciéica urbula, a vlocidad cudária média

2 D oura orma, Naaama al (983), aaliaram o coamo complam dvolvido m duo d ção ragular rapzoidal uado o méodo d dirça iia baado o modlo d õ algébrica d Laudr & Yig (97) Ouro rabalho uilizado ipo d modlo d urbulêcia oram ralizado, mpr apraram uma boa cocordâcia ao dado primai No ao, modlo, apar da impliicaçõ ralizada m cima do modlo d õ d Rold, ão havdo mai a cidad d rolvr a quação d rapor para cada compo idividual do or ão d Rold, rduzido para prõ algébrica, coiuam rqurdo um maior orço compuacioal para a quaçõ d, or da õ d Rold, m via ao modlo - d vicoidad urbula No pr rabalho é morado qu uma impl implmação d um rmo ão liar o modlo - (padrão) d vicoidad urbula prdiz d orma aiaória o coamo urbulo m duo d ção quadrada comparado com dado primai d Mllig & hila (976) Um raamo pcial para o problma do coamo pro do cao (corr) ambém é aprado EQUAÇÕES DE TRANSORTE E CONSTITUTIVA A quaçõ corvaiva, d maa, d momo calar, para a drmiação do coamo cudário urbulo podm r cria, rpcivam, como: div ρ v, div ρ v U i i u i, div ρ v q () A quaçõ d momo para o cálculo da compo da vlocidad cudária U, V da vlocidad aial, aumido coamo oalm dvolvido a dirção aial (z), podm r pra da gui orma: U U τ τ Momo m : ρ U + V + U + +, () V V τ τ Momo m : ρ U + V + V + +, (3) τ τ z z Momo m z: ρ U + V G + + +, (4) od G é o gradi d prão aial coa qu dirig o coamo A z quaçõ d rapor modlada para a rgia ciéica urbula, aa d diipação urbula ão rpcivam dada por: U i + ρσ, i i K i (5) U i c c i + i ρσ i, (6) od c, c, σ K σ ão coa adimioai omado igual a 44, 9, 3, rpcivam E é a vicoidad urbula rpra o rmo d produção d urbulêcia dado rpcivam por:

3 ρ c, U i τ ij, (7) j No modlo - padrão d urbulêcia, o or da ão d Rold é omado r da gui orma: i j ( S ) L τ, (8) i j od S ij rpra o or dormação, pro por: u u i j S + i j (9) j i A codição cária para qu modlo d urbulêcia poam imular coamo cudário, coorm Spzial (984) dmora, é qu a vlocidad média aial dv dar origm a uma dirça da õ ormai d Rold ão ula, ou ja, τ τ Coorm pod- oar da quação (8), o modlo - padrão, por ua caracríica iorópica, viola a codição cária, dmorado r icapaz d dcrvr o coamo cudário O modlo - ão liar corrigm problma com a icluão d rmo ão liar Divro modlo oram aprado como o d: Spzial (987), Yohizaa (987), Rubii & Baro (99), Shih al (993), orcdo da orma um cro grau d aioropia cária para dcrvr o coamo cudário N rabalho é icluído om um rmo qu aparc m odo o modlo ciado Aim, acrcado um rmo ão liar a quação (8), a prão para a õ d Rold é a gui: ( ) [ ] NL L S + c S S S S τ i j i j NL i j 3 l lδ i j, () od c NL é uma coa rula do proco d calibração do modlo Logo, m- a gui õ ormai cialha d Rold: τ cnl, 3 3 τ cnl, () 3 3 cnl τ z, τ z () Aprado a gui dirça da õ ormai d Rold: τ, τ cnl, (3) ( τ ) qu m gral, é dir d zro, coorm oi morado o rabalho ralizado por Aao & d Lmo (), da orma aiaz a codição cária para a prdição do coamo cudário Tm- obrvado qu para ipo d coamo, a drivada da vlocidad U V ão aproimadam zro, porao omiida a quaçõ ()-(3) O rmo d produção d urbulêcia poui a gui prão:

4 z z + τ τ (4) 3 TRATAMENTO NUMÉRICO O proco d dicrização da quaçõ é io uado o méodo do volum iio um ima d coordada ão-orogoal O algoríimo SIMLE é uilizado para corrção do campo d prão A li d pard hidrodiâmica aplicada é a adard (padrão) d dua camada A quação d momo aial é raada como o uma quação d um calar, com o rmo G pr a quação (4) raado o rmo o juam com o rmo diuivo (liar ão liar) Todo o raamo umérico o proco d dicrização ão morado m dalh m Aao & d Lmo (998) Aao & d Lmo(999) para raamo plício implício, rpcivam Em coordada gralizada, a drivada para o poo cral do volum d corol ão pra da gui orma: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ), (5) od,,,, rpram rpcivam o poo a ac or, ul, l o d cada volum d corol O dla volvdo a variávi idpd (,) variávi dpd ( U, V,,, ) oura dmai, podm r gralizada da gui orma: ( ), ( ) (6) Aim, a õ ormai cialha d Rold a orma dicrizada icam: ( ) ( ) ( ) NL 3 3 c τ, ( ) ( ) ( ) NL 3 3 c τ, (7) ( ) [ ] NL c τ, z τ, z τ, (8) o rmo d produção a gui orma: z z τ τ + (9) A coa NL c adoada o pr rabalho é a propoa por Spzial (987), igual a 54 Em via da complidad do io do cao (corr) da gomria obr o campo urbulo, divro rabalho como o d Niizima (99), Mompa al (996), qu uilizam do modlo - irm uma ução a diição da vicoidad urbula, aim d coabilizar mlhor o io diuivo vicoo a rgião pro do cao:

5 c ρ () A ução d amorcimo aprada por Niizima (99) é dada por: + ( p( 8 ), () od + é a diâcia adimioal pra como: 4 ρ c δ + () O rabalho d Mompa al (996) apra a gui ormulação: ( uv) + ( u), (3) c od uv u ão a õ cialha d Rold é o rmo d produção d urbulêcia Sgudo Mompa al (996) a irodução d é cária para dimiuir o valor da vicoidad urbula pro do cao No pr rabalho aum- uma abordagm dir, uilizado para o volum d corol próimo a pard o modlo ão liar d Shih al (993), qu apra valor baio para c a rgião Aim, para volum d corol a coa NL c NL 54 adoado do rabalho d Spzial (987) dia d r coa paa a r drmiada da gui orma: od: c NL c 75 c + 3, (4) Ω, (5) Ω m ua orma dicrizada dada, rpcivam como: ( ) ( ) Ω + (6) A vicoidad urbula para o volum próimo a pard paam a r drmiada uilizado o c orcida pla quação (5) 4 RESULTADOS Ea ção dcrv o rulado obido para o coamo complam dvolvido m duo d ção quadrada Camparaçõ r o rulado obido plo modlo - ão liar primal d Mllig & hila (976) ão aprado para úmro d Rold d 4 Dvido a imria corada ipo d coamo, o rulado coram- ilurado om m um quadra do duo quadrado A igura

6 mora o campo da vlocidad aial adimioalizado pla vlocidad aial máima od oar qu, plo ao do coamo cudário corar- aociado com a urbulêcia, o campo da vlocidad aial é diorcido O modlo ão liar obrprdiz o cooro da vlocidad aial, morado um coamo aial dvolvido mai achaado Não Liar Eprimal /ma Figura Cooro da vlocidad aial / ma A liha d corr do coamo cudário é morado a igura O ido do coamo ocorr do cro para o cao rora para o cro ao logo da pard, ormado ao odo oio vóric É oado qu Mllig & hila (976), ão moram a liha d corr do coamo cudário, om a diribuição do vor da vlocidad cudária, porém d orma ão muia clara (m imria), orado diícil comparaçõ Figura liha d corr do coamo cudário

7 A igura 3 4 moram rpcivam o cooro da õ ormai d Rold (a vz rrciada como iidad urbula ravrai) m A igura moram uma boa cocordâcia m algu rgiõ, pricipalm mai o cro, od ão orm muio a irrêcia da pard Não liar - u / ma Figura 3 Cooro da iidad urbula u / ma Eprimal Não Liar v / ma 4 75 Eprimal 4 5 Figura 4 Cooro da iidad urbula v / ma

8 O cooro da õ cialha d Rold u v ão ilurado, rpcivam, a igura 5 6 Também ão adimioalizada m ução da vlocidad aial máima O modlo ão liar, a mplo da igura 3 4, rproduzm qualiaivam bm o cooro da quaidad urbula Aprado cocordâcia para alguma ioliha Em alguma localidad o modlo ão liar ão cogu dcrvr drmiado io obrvado primalm, coorm pod- oar da igura abaio Não Liar - ( u) / ( ) ma Eprimal Figura 5 Cooro da ão cialha d Rold ( u) / ( ) Não Liar -8 - ( v) / ( ) ma -5 Eprimal ma Figura 6 Cooro da ão cialha d Rold ( v) / ( )

9 5 CONCLUSÃO N rabalho oi dmorado qu uma impl icluão d um rmo ão liar (quadráico o gradi da vlocidad média) o modlo - padrão d vicoidad urbula prdiz d orma aiaória o coamo urbulo m duo d ção quadrada Uma pqua implmação o rmo diuivo a quaçõ d momo dvido ao rmo ão liar oi cária E para a quaçõ d, om o rmo d produção d urbulêcia oru uma pqua modiicação A drmiação da compo do or da ão d Rold é bm impl, como pod r oado a quaçõ () () O modlo ão liar produziu o campo da vlocidad aial oalm imérico, como pod r obrvado a igura, dvido a prça do coamo cudário, o campo apra diorcido O modlo ão cogu prdizr com prcião a vlocidad aial, morado um coamo aial dvolvido mai achaado A liha d corr aprada a igura coram- imérica, com a ormação d oio vóric, m cocordâcia a obrvada m liraura A quaidad urbula morada a igura 3-6 rproduzm qualiaivam bm o cooro, morado cra cocordâcia m alguma ioliha, porém m alguma rgiõ, o modlo cora diiculdad, divrgido do rulado primai d Mllig & hila (976) Ea divrgêcia poivlm podm r rduzida com uma mlhora do campo da vlocidad aial aravé d um mlhor raamo juo a pard A li d pard d dua camada uilizada o pr rabalho, calcula alo valor da vicoidad urbula o volum d corol próimo a pard Foi obrvado qu, o programa compuacioal or cuado m hum raamo para volum próimo a pard, dpoi d alguma iraçõ o programa comça a divrgir, aprado rulado icor O raamo juo a pard aprado por Mompa al (996) dado pla quação (3) oi ado aprou boa abilidad ao código compuacioal, porém oi oado qu a vicoidad urbula calculada para o volum d corol próimo a pard praicam zravam, aprado uma icorêcia a aáli do coamo urbulo O raamo juo a pard propoo rabalho, ão a dimiuir o valor da vicoidad urbula próimo a pard aravé da icluão da ução, o raamo ocorr por uma mlhor calibração d c NL aprada pla quaçõ (4)-(6), m proporcioado boa covrgêcia vicoidad urbula cor juo a pard Agradcimo O auor agradcm ao CNq pla ajuda iacira dura prparação d rabalho REFERÊNCIAS Aao, M, d Lmo, MJS, 998, Dvlopm o a o-liar urbulc modl or rcirculaig lo uig gralizd coordia, 7 h Eci Brazilia Cogr o Egirig ad Thrmal Scic, vol, Rio d Jairo, pp Aao, M, d Lmo, MJS, 999, Traamo Numérico Implício para a Implmação d um Modlo Não Liar d Turbulêcia m Coordada Gralizada (m CD- ROM), XV COBEM - Cogro Brailiro d Egharia Mcâica, Água d Lidóia, S

10 Aao, M, d Lmo, MJS,, Simulação umérica aplicado um modlo d urbulêcia - ão liar m coordada gralizada, CONEM Cogro Nacioal d Egharia Mcâica, Naal, Rio Grad do Nor Laudr, BE, Yig, M, 97, Scodar lo i duc o quar cro-cio, J Fluid Mch, vol 54, pp Mllig, A, hila, JH, 976, Turbul lo i a rcagular duc, J Fluid Mch, vol 78, pp Mompa, G, Gavrilai, S, Machil, L, Dvill, MO, 996, O prdicig h urbulc-iducd codar lo uig oliar - modl, h Fluid 8 (7), pp Naaama, A, Cho, L, Sharma, D, 983, Calculaio o ull dvlopm urbul lo i duc o arbirar cro-cio, J Fluid Mch, vol 8, pp 99-7 Niurad, J, 96, Uruchug ubr di Gchidigivrilug i urbul Sromug, Di Goig, VDI-orchugh 8 Niizima, S, 99, A umrical ud o urbul quar-duc lo uig a aioropic - modl, Thorical ad Compuaioal o Fluid Damic,, pp 6-7 Rubii, R, Baro, JM, 99, Rormalizaio group aali o h r rapor quaio, h Fluid A, pp 47 Shih, TH, Zhu, J, Luml, JL, 993, A raliabl Rold r algbraic quaio modl, NASA TM-5993 Spzial, CG, 984, O h origi o urbul codar lo i o-circular duc, I Compuaio o Iral Flo: Mhod ad Applicaio, ASME FED 4, p Spzial, CG, 987, O oliar -l ad - modl o urbulc, J Fluid Mch, vol 76, pp Yohizaa, A, 987, Saiical aali o h dviaio o h Rold r rom i dd vicoi rpraio, h Fluid, 7, pp Abrac Thi or dal ih umrical prdicio o urbulc-driv codar lo ha appar i duc o o-circular cro cio Th mall curr ar caud b dirc b ormal r Full dvlopd lo a calculad maig u o a o-liar - urbulc modl Govrig quaio or h ma ad urbul ild r dicrizd ih h hlp o h corol-volum mhod A o-orhogoal grid mappd h compuaioal domai Th SIMLE mhod a mplod or rlaig h dpd variabl Rul or h ull dvlopd lo ild i a quar duc r compard ih prim A iv aali o h urbulc rucur i uch lo a carrid ou