Análise de regressão : uma introdução à econometria

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1 Uvrsdad d São Paulo Bbloca Dgal da Produção Ilcual - BDPI Dparamo d Ecooma, Admsração Socologa - ESALQ/LES Lvros Capíulos d Lvros - ESALQ/LES 6 Aáls d rgrssão : uma rodução à coomra hp:// Dowloadd from: Bbloca Dgal da Produção Ilcual - BDPI, Uvrsdad d São Paulo

2 RODOLFO HOFFMANN ANÁLISE DE REGRESSÃO Uma Irodução à Ecoomra Poral d Lvros Abros da USP 6

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4 RODOLFO HOFFMANN ANÁLISE DE REGRESSÃO Uma Irodução à Ecoomra Esa é uma vrsão lgram modfcada do lvro d msmo íulo (quara dção publcado pla Edora HUCITEC m 6, com dção sgoada m 4. Praccaba Edção do Auor 6

5 Dados Iracoas d Caalogação a Publcação DIVISÃO DE BIBLIOTECA DIBD/ESALQ/USP Hoffma, Rodolfo Aáls d rgrssão: uma rodução à coomra [rcurso lrôco] / Rodolfo Hoffma. - - Praccaba: ESALQ/USP, p. : l. ISBN: Aáls d rgrssão. Ecoomra I.Tíulo CDD 33.8 H7a Auorzo a rprodução parcal ou oal dsa obra, para fs acadêmcos, dsd qu cada a fo.

6 SUMÁRIO. INTRODUÇÃO E CONCEITOS ESTATÍSTICOS BÁSICOS..... Ecoomra aáls d rgrssão..... Modlo mamáco modlo saísco Varávl alaóra Espraça mamáca Varâca covarâca Esmador ão-dcoso Esmador d varâca míma Esmadors d mímos quadrados Esmadors d máma vrossmlhaça..... Proprdads assócas dos smadors O lm fror d Cramér-Rao as proprdads assócas dos smadors d máma vrossmlhaça Ts d hpóss Ercícos REGRESSÃO LINEAR SIMPLES modlo saísco d uma rgrssão lar smpls Esmava dos parâmros O modlo smplfcado um mplo umérco Dmosração d qu os smadors d mímos quadrados são smadors lars ão-dcosos Varâcas covarâcas das smavas dos parâmros Dmosração d qu b é um smador lar ão-dcoso d varâca míma Dcomposção da soma d quadrados oal Espraças das somas d quadrados Aáls d varâca da rgrssão O cofc d drmação corrgdo para graus d lbrdad o cofc d varação... 68

7 .. Esmavas das varâcas das smavas dos parâmros, s d hpóss a rspo dos parâmros rspcvos rvalos d cofaça Varâca d Ŷ rvalo d prvsão O problma da spcfcação as fuçõs qu s oram lars por aamorfos Esmava d máma vrossmlhaça Aáls d rgrssão quado é uma varávl alaóra... 8 Ercícos CORRELAÇÃO O cofc d corrlação smpls para uma amosra Aplcação da aáls d rgrssão a uma população com dsrbução ormal bdmsoal... Ercícos REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA O modlo saísco d uma rgrssão lar múlpla Esmavas dos parâmros d acordo com o méodo dos mímos quadrados Varâcas covarâcas das smavas dos parâmros Varâca d uma combação lar das smavas dos parâmros Aáls d varâca da rgrssão lar múlpla Dmosração d qu b é um smador lar ão-dcoso d varâca míma O uso das varávs cradas Emplo d uma rgrssão lar múlpla com duas varávs plaaóras Prvsão s d hpóss a rspo do valor d combaçõs lars dos parâmros Irpração dos cofcs d rgrssão d uma rgrssão lar múlpla com duas varávs plaaóras Os cofcs d corrlação parcal Irvalos d cofaça rgõs d cofaça para os parâmros Emplo d rgrssão lar múlpla com rês varávs plaaóras... 6

8 4.4. Problmas d spcfcação Trasformação das varávs para obr a marz d corrlaçõs smpls Rgrssõs qu s oram lars por aamorfos Orogoaldad mulcolardad a marz Ts d hpóss o modlo lar Irpração gomérca da aáls d rgrssão lar d acordo com o méodo d mímos quadrados... 8 Ercícos USO DE VARIÁVEIS BINÁRIAS Nívs d mdda Uso d varávs báras para dsgur as cagoras d uma varávl omal Uso d varávs báras para ausar polgoas Mudaça sruural Aáls d varâca d dados com város raamos o s para "fala d ausamo" Ercícos HETEROCEDASTICIA O caso d uma rgrssão lar smpls m qu o dsvo padrão do rro é proporcoal a O méodo dos mímos quadrados podrados Cosqüêcas do uso d smadors d mímos quadrados ordáros quado s hrocdasca Tss para a homocdasca obção d smavas dos parâmros quado a marz V é dscohcda O smador d Wh para varâca quado há hrocdasca Ercícos MÍNIMOS QUADRADOS GENERALIZADOS E AUTOCORRELAÇÃO NOS RESÍDUOS Mímos quadrados gralzados Auocorrlação os rsíduos O s d Durb-Waso Ercícos... 85

9 8. VARIÁVEIS INSTRUMENTAIS E ERROS NAS VARIÁVEIS EPLANATÓRIAS Irodução A cossêca dos smadors d mímos quadrados ordáros A cossêca dos smadors d mímos quadrados quado os rros são assocam corrlacoados com uma ou mas das varávs plaaóras O uso d varávs srumas para obr smavas cosss Rgrssão lar smpls com as duas varávs suas a rros d mdda O méodo da varávl srumal Ouro méodo Ercícos EQUAÇÕES SIMULTÂNEAS Irodução Um mplo umérco O smador d varávl srumal Mímos quadrados dros Mímos quadrados m dos ságos Varávs couam drmadas varávs prdrmadas Noação gral Varávs srumas Idfcação Esmação dos parâmros m caso d suprdfcação Ouras maras d obr o smador d mímos quadrados m dos ságos Um mplo umérco Um sgudo mplo umérco Trcro mplo Uma vsão global Ercícos SÉRIES TEMPORAIS Procssos socáscos Ruído braco Modlos d rgrssão

10 .4. Modlos d dcomposção Modlos ARMA Aáls do AR( O passo alaóro com dslocamo Trasformado modlos AR m modlos MA vc-vrsa Raz uára modlos ARIMA Fução d auocorrlação Os ss d Dck-Fullr Modlo d corrção d rro co-gração Ercícos APÊNDICE BIBLIOGRAFIA ÍNDICE ANALÍTICO

11 PREFÁCIO Es lvro rfl o sforço do auor m prparar maral ddáco para dscplas d coomra aáls d rgrssão msradas a ESALQ-USP, a parr d 997, o Isuo d Ecooma da UNICAMP. O rss a aprdzagm dsss méodos saíscos s dv, m grad par, ao uso qu dls s faz m psqusas coômcas. Mas a aáls d rgrssão ambém é largam aplcada m ouras áras, como bologa, físca ou ghara. Não é agro afrmar qu muas vzs a codução a avalação d uma psqusa dpdm do cohcmo do psqusador sobr coomra aáls d rgrssão, clusv o qu ag a suas pocaldads a suas lmaçõs. Um aspco ddacam mpora, s lvro, é a aprsação d rcícos umércos qu ão gm, para srm rsolvdos, m msmo uma máqua d calcular. Dssa mara o aluo pod, sm dspdr muo mpo m cálculo, sar sua aprdzagm usar os cohcmos rcém-adqurdos. Alás, a déa d mmzar cálculos ão é ova. Basa lmbrarmos d qu, quado aprdmos a rsolvr quaçõs do o grau, rabalhamos com rcícos do po ão do po,75 +, ,9 Não há dúvda, rao, qu éccas mas avaçadas rcs gm o uso do compuador. O própro dsvolvmo dos méodos saíscos as úlmas décadas sá muo assocado ao uso do compuador como podroso srumo d fazr cálculos. Nsa quara dção fo acrscado um capíulo sobr sérs mporas. Também foram corporados ovos rcícos ovas sçõs m capíulos arors, smpr procurado mlhorar a aprsação dos mas, dado para um ouro volum a aáls d rgrssão ão-lar modlos d lóg prób. Sra dfícl lsar odos os colgas aluos qu, com suas crícas sugsõs muo corbuíram para qu vrsõs arors ds lvro fossm sucssvam mlhoradas. A Profa. Soa Vra fo co-auora das dçõs arors. A Profa. Agla A. Kagama fz cudadosa rvsão da a dção. A Profa. Rosâgla Ball fz váras

12 sugsõs corrçõs sa 4 a dção. E a arfa d dgar odo o o ovam fo ralzada com mua compêca cudado por Josl Rodrgus da Slva. Cab, falm, rgsrar as boas codçõs d rabalho forcdas plas suçõs od rabalh rabalho, a ESALQ-USP o IE-UNICAMP, agradcr o apoo rcbdo da FAPESP do CNPq. Para sa ova dção m mo dgal d 5 co com a dspsávl colaboração d Hla Aparcda Cardoso. Sugsõs, corrçõs ou dúvdas podm sr vadas para o -mal do auor: hoffmar@usp.br.

13 . INTRODUÇÃO E CONCEITOS ESTATÍSTICOS BÁSICOS.. Ecoomra aáls d rgrssão A coomra coss a aplcação d méodos mamácos saíscos a problmas d cooma. O coomrsa comba cohcmos d rês ramos cífcos: Ecooma, Mamáca Esaísca. A aáls d rgrssão é o méodo mas mpora da coomra. Smpr é rssa cohcr os fos qu algumas varávs rcm, ou qu parcm rcr, sobr ouras. Msmo qu ão sa rlação causal r as varávs podmos rlacoa-las por mo d uma prssão mamáca, qu pod sr úl para s smar o valor d uma das varávs quado cohcmos os valors das ouras (sas d mas fácl obção ou acssoras da prmra o mpo, sob drmadas codçõs. Grcam, as rlaçõs fucoas podm sr rprsadas por f (,, K, k od rprsa a varávl dpd os varávs plaaóras. São mplos d rlaçõs fucoas r varávs: h (h,,..., k rprsam as a crscmo da população ou do PNB d um país ( m fução dos aos (; b varação da produção ( obda uma culura coform a quadad d rogêo (, fósforo poásso ulzada a adubação; ( ( 3 c varação do prço ( d um produo o mrcado m fução da quadad ofrcda (... Modlo mamáco modlo saísco Cosdrmos duas varávs,, rlacoadas por uma fução mamáca f (. Dado um couo d valors (,,..., os corrspods valors d f, s colocarmos os poos, m um gráfco vrfcarmos ( ( qu ls prcm à curva qu rprsa o modlo mamáco qu rlacoa as duas varávs, como mosra a fgura..

14 Fgura.. Modlo mamáco: f ( É comum, rao, qu a varávl dpd sa afada por ouros faors, além dos cosdrados o modlo adoado. Admamos qu a varávl dpd sofra a fluêca d k + m varávs, so é, f (,, K, k, k +, K, k + m qu por város movos (ão dspobldad dos valors, mpossbldad d msuração, para smplfcar a aáls c. ão cosdramos a fluêca das varávs k +,, k + m K. Ao aalsarmos como fução das k prmras varávs prmac, ão, um rsíduo ou rro. Admdo qu ss rro sa advo, o modlo saísco fca f + (,, K, k u (, K, S apas uma das varávs dpds é cosdrada, mos f ( + u Ns caso, o couo d pars d valors, corrspod a um couo ( d poos, dsprsos m oro da curva rprsava da fução, como mosra a fgura

15 .. Dzmos qu as duas varávs são rlacoadas d acordo com um modlo saísco. Fgura.. Modlo saísco: f ( + u Oura usfcava para a sêca do rro ( u m um modlo saísco é dada plos rros d msuração da varávl dpd. S os vrdadros valors ( V da varávl dpd são uma fução mamáca das varávs plaaóras, so é, V f (,, K, k s os valors obsrvados ( da varávl dpd aprsam rros d msuração ( u, so é, V + u, a rlação r os k (h,,..., k fca f, + u (,, K k 3

16 Em casos ras gralm sm ao rros d msuração como fos d ouras varávs. Nss casos, o rro rsdual do modlo srá a soma dsss dos pos d rro. Dsd qu sam rros d msuração, é lógco admr qu os valors das varávs plaaóras ambém são afados; os problmas qu sso acarra srão dscudos mas ada; uma prmra apa admrmos apas um rro rsdual dvdo à sêca d faors ão cluídos o modlo /ou rros d msuração apas a varávl dpd. Nas prómas sçõs ds capíulo farmos uma rvsão d algus cocos báscos d saísca..3. Varávl alaóra Dzmos qu uma varávl dscra é alaóra, s a cada um d sus valors s assoca uma probabldad P ( probabldads é a dsrbução d.. O couo dos valors da varávl das rspcvas Vamos um mplo. S uma moda é laçada 5 vzs, o úmro d vzs qu s obém cara é uma varávl alaóra dscra, qu pod assumr valors ros d a 5, clusv. Essa varávl m dsrbução bomal. Dmosra-s qu, s p é a probabldad d obr cara m um úco laçamo da moda, a probabldad d ocorrrm k caras, m 5 laçamos da moda, é P( 5 k p k k ( p 5k Esa é a fução d probabldad da dsrbução bomal para 5, od é o úmro d saos. S a varávl alaóra é coíua, a probabldad d obrmos aam um drmado valor k é zro, so é: P ( k Um dsvolvmo mas dalhado da maora dos mas abordados sa rvsão pod sr corado m HOFFMANN (98. 4

17 Erao, dsd qu sa dfda a fução d dsdad f (, podmos obr a probabldad d a varávl alaóra assumr valors o rvalo (a, b, so é, P ( a < < b f ( d O valor d f ( ambém é domado dsdad d probabldad. b a S a varávl coíua m dsrbução ormal com méda µ varâca σ, a fução d dsdad é f ( ( µ p σ πσ.4. Espraça mamáca Por dfção, s a varávl alaóra é dscra, a spraça d é µ E( P(, s a varávl alaóra é coíua, a spraça d é + µ E ( f ( d Pod-s dmosrar, dadas as varávs alaóras a cosa K, qu a spraça aprsa as sgus proprdads: a E ( K K b E ( + K E( + K c E ( K KE( d E ( + E( + E(, s são dpds, E( E( E(.5. Varâca covarâca Por dfção, a varâca d uma varávl alaóra, d população fa, é 5

18 6 ( ] ( [ ( µ σ E E E V A varâca é uma mdda d dsprsão da dsrbução. Dmosrmos, a sgur, qu, s K é uma cosa, ( ( V K K V. Tmos ] ( [ ( K E K E K V c.q.d., ( ] ( [ } ] ( [ { ] ( [ V K E E K E K E KE K E Dadas duas varávs alaóras,, a covarâca r é, por dfção: ( ( ] ( [ ] ( [, cov( E E E E µ µ Dmosrmos, a sgur, qu, cov( ( ( ( V V V Tmos ] ( [( ( E E V Eão, cov( ( ( ] ( ( ( [( ]} ( [ ] ( {[( ( V V E E E E V µ µ µ µ É fácl vrfcar qu, cov( ( ( ( V V V + S são duas varávs alaóras dpds mos ( ( ( (, cov( E E E µ µ µ µ

19 Sgu-s qu, o caso d varávs dpds, V ( ± V ( + V ( Para mplfcar, cosdrmos qu um radro rgular, fo d maral homogêo, m cuas facs são marcados os úmros,, 4 6, é laçado. Sa a varávl alaóra qu rprsa o valor marcado a fac qu fcar m coao com a msa. Os sucssvos laçamos dss radro gram uma população fa, m qu a cada um dos 4 dfrs valors sá assocada a probabldad /4. Eão µ E( σ 4 ( 3 P( + ( 4 V ( E( Cosdrmos, agora, qu mos dos radros, um azul ouro braco. Sam as varávs alaóras qu rprsam os valors obdos os radros azul braco, rspcvam. Tmos µ σ µ σ Uma vz qu são, obvam, varávs dpds, dvmos vrfcar qu cov(,. Na abla. são dados os valors do produo µ ( µ a srm ulzados o cálculo da cov(, ( TABELA.. Valors d ( µ ( ( 3( 3 µ

20 Vrfcamos ão qu cov(, E( µ ( µ K Sa Z + Eão V ( Z V ( + V ( + cov(, Vrfqumos s rsulado calculado V (Z dram da dfção. Na abla. são aprsados os valors d Z +. TABELA.. Soma dos valors obdos laçado dos radros Tmos qu E ( Z E( + E( + E( Ess valor ambém pod sr obdo calculado a méda dos valors obdos a abla., como sgu: E ( Z K Falm, obmos V ( Z E[ Z E( Z] ( 6 + ( 6 + K + ( 6, cofrmado o rsulado obdo arorm. 8

21 Dvmos rssalar qu, mbora cov(, smpr qu são varávs alaóras dpds, o vrso ão é vrdadro, so é, s cov(,, ão podmos coclur qu são dpds. Na abla.3 aprsamos uma dsrbução coua m qu cov(, as varávs ão são dpds, pos P(, P( P( TABELA.3. Valors d P, para a dsrbução coua d duas ( varávs dpds com cov(, P (,,3,,5,5,5,5 P (,35,3,35, Erao, é possívl dmosrar qu, s as varávs êm dsrbução ormal, o fao d a covarâca sr gual a zro é codção sufc para podrmos afrmar qu são varávs dpds. Vamos, a sgur, um mplo d duas varávs com covarâca ão ula. No laçamo do radro dscro arorm, sa o valor marcado a fac qu fca m coao com a msa sa W a soma dos valors marcados as ouras 3 facs. A abla.4 mosra os valors d d W, bm como do produo [ E( ][ W E( W ]. TABELA.4. Valors cssáros para o cálculo da cov(, W W [ E( ][ W E( W ] Tmos qu E ( 3, E ( W 9 9

22 cov(, W [ E( ][ W E( W ] ( 9 + ( + ( + ( Como rcíco, o lor pod vrfcar qu V ( W. Pod-s dmosrar qu, s K é uma cosa s, Z são varávs alaóras, a covarâca aprsa as sgus proprdads: a cov( +, Z cov(, Z + cov(, Z b cov( K, cov(, K K cov(, c cov( K, cov(, K Sgu-s qu, s α, β, γ, α, β γ são cosas, cov( α + β + γ, α + β + γ β β V ( + ( γ β + βγ cov(, + γ γ V ( Como caso parcular mos: cov(, α + β βv ( Es úlmo rsulado pod sr ulzado para obr a covarâca r as varávs W da abla.4. Como a soma d odos os valors marcados o radro é smpr gual a, mos qu W. Eão cov(, W cov(, V ( 5, cofrmado o rsulado obdo arorm..6. Esmador ão dcoso Por dfção, a é um smador ão-dcoso (ão-vsado ou mparcal do parâmro α da população s E (a α

23 É mpora lmbrar qu o smador a é uma varávl, so é, l rprsa uma dada fórmula d cálculo qu forcrá valors qu srão dfrs, coform a amosra slcoada. Para mplfcar, cosdrmos, ovam, a população fa grada plo laçamo do radro rgular m cuas facs são marcados os valors,, 4 6. Já vmos qu µ E( 3 σ V ( 5 Laçado o radro duas vzs, podmos obr amosras com lmos dssa população. Na abla.5 aprsamos as dzsss amosras d amaho, qu podm sr obdas, as rspcvas smavas dos parâmros µ smadors são + σ. Os s ( ( + ( Calculamos, ambém, as smavas da varâca da méda da amosra. Esa varâca é dfda por σ V ( E[ E( ] Tmos + + K+ V ( V V ( + + K+ Uma vz qu as obsrvaçõs d uma amosra alaóra d uma população fa são dpds, sgu-s qu V ( σ σ slcoada. O smador da varâca méda é s s Obvam, cada uma das dzsss amosras m probabldad /6 d sr

24 TABELA.5. Valors d, s, s ( µ para as 6 amosras qu Amosra podm sr obdas laçado duas vzs o radro. s s ( µ Vrfcamos qu 48 E ( K µ, Ou sa, é um smador ão-dcoso (ão vsado, ão-vcado ou mparcal d µ. Iso pod sr faclm dmosrado: Vrfcamos, ambém, qu + + K+ E( E µ [ E( + E( + K + E( ] µ K E ( s σ, ou sa, s é um smador ão-dcoso d σ. A varâca da méda da amosra pod sr obda aravés da prssão

25 V ( σ σ 5 ou dram, a parr da dfção, ulzado os valors da úlma colua da abla.5, como sgu: V ( E[ E( ] K+ 9 E( µ Cosdrado os valors d s aprsados a abla.5, vrfcamos qu 4 5 E ( s K+ +, ou sa, s é um smador ão-dcoso d σ. Dvmos rssalar qu o mplo aprsado rfr-s a uma população fa. As msmas fórmulas srão váldas s, d uma população fa, rarmos amosras com rposção dos lmos. Cosdrmos, agora, o caso d uma população fa (com m lmos da qual s ram amosras (d lmos sm rposção. A méda da população é µ E( m m A varâca d é dfda por (vr Cochra, 965, p. 4 m V ( S ( µ m Dmosra-s qu (vr Cochra, 965, p. 44 S V ( σ m Dada uma amosra (sm rposção d lmos, uma smava ãodcosa d µ é dada por 3

26 As smavas ão-dcosas d S σ são dadas, rspcvam, por s ( s s m Vamos um mplo umérco smpls, mbora arfcal. Sa uma população d apas 4 lmos (m 4, od µ assum os valors,, 4 6. Tmos qu S ( µ m ( 3 + ( 3 + ( ( Cosdrmos as 6 dfrs amosras d lmos ( qu podmos rar dssa população. Essas amosras são dscrmadas a abla.6, com os corrspods valors d, s, s ( µ. TABELA.6. Valors d,, s, s ( µ para as 6 possívs Valors d amosras d lmos (sm rposção. s s ( µ / / 4 3 / / 4 Para amosras com lmos, mos 4

27 S V ( σ m 6 4 O msmo rsulado pod sr obdo a parr da dfção d varâca, ulzado os valors da úlma colua da abla.6. Como as 6 dfrs amosras são gualm provávs, mos σ Vrfcamos qu: E( µ E ( ( + + K+ 5 3, 6 6 ou sa, E ( µ E ( s ( K+, ou sa, E ( s S ( E s + + K ou sa, E ( s σ.7. Esmador d varâca míma A ão-dcosdad ou ausêca d vés é uma qualdad dsávl para os smadors. Erao, ssa qualdad é sufc como créro para slcoar um smador. Assm, por mplo, o caso da méda d uma população, podmos vrfcar qu qualqur méda podrada dos valors d uma amosra é um smador ão dcoso d µ. Cosdrmos a méda podrada m π, com π 5

28 Tmos qu E ( m π E( µ π µ Isso mosra qu qualqur méda podrada dos valors obsrvados m uma amosra alaóra é um smados ão dcoso d µ. Porao, sm fos smadors ão-dcosos d µ. Dados dos smadors ão-dcosos d α, a a, por dfção a fcêca rlava d a, m comparação com a, é gual a V ( a V ( a Assm, por mplo, dada uma amosra alaóra com lmos,, d uma população fa, cosdrmos smadors ão-dcosos da méda da população: + a a méda arméca + 3 b a méda podrada m Tmos V V ( 6 σ ( m σ + σ σ A fcêca d m m rlação a é σ 5 σ 8 4,8 ou 8% 5 6

29 É fácl provar qu, dada uma amosra com obsrvaçõs, dr os smadors da class ( m θ (, + θ o mas fc é a méda arméca, ou sa, o caso m qu θ. Tmos V m θ + + ( σ ( θ σ ( θ θ σ Igualado a zro a drvada m rlação a θ smplfcado, obmos + 4θ Dod θ. θ A drvada sguda é posva, cofrmado qu a varâca é míma quado Gralzado ss rsulado, dmosrarmos qu, dada uma varávl alaóra d população fa com méda µ varâca σ, a méda arméca d uma amosra alaóra d obsrvaçõs é, dr os smadors lars ão-dcosos, o smador d varâca míma. Dzmos qu um smador é lar quado l é uma combação lar dos valors da amosra. Como mplo, cosdrmos o sgu smador lar d µ : m π Tmos qu E( m µπ 7

30 Para qu m sa smador ão-dcoso d µ, dvmos r π Tmos, ambém, qu V ( m σ π Para mmzar V (m dvmos mmzar π, cosdrado a rsrção π. Ulzado o méodo do mulplcador d Lagrag, dfmos a fução φ ( π π λ d quaçõs Igualado a zro as drvadas parcas m rlação a π λ, obmos o ssma π λ,,,..., (. π (. D (., obmos Subsudo (.3 m (., obmos Dod λ π (.3 λ λ Comparado ss rsulado com (.3 cocluímos qu π, c.q.d. 8

31 Não há cssdad d vrfcar a codção d a ordm para mímo por s raar d uma soma d quadrados..8. Esmadors d mímos quadrados Pod parcr óbvo qu o smador da méda d uma varávl sa a méda dos valors obsrvados m uma amosra. Mas m suaçõs um pouco mas complcadas srá cssáro rcorrr a um méodo gral d drmação d smadors, como o méodo dos mímos quadrados ou o méodo da máma vrossmlhaça (qu srá dscro a próma sção. O méodo dos mímos quadrados coss m adoar os smadors qu mmzam a soma dos quadrados dos dsvos r valors smados valors obsrvados a amosra. Mosrarmos qu a méda arméca dos valors da amosra é um smador d mímos quadrados. Para ao, drmmos o valor d a qu mmza ( a. Drvado m rlação a a gualado a zro, obmos: ( a( a Dod a, c.q.d. É rssa oar qu o méodo d mímos quadrados coduz à méda arméca, mas qu sm ouros créros assocados às dmas mddas d dêca cral. Assm, para mmzar o valor absoluo do maor dsvo, dvmos adoar o poo cral r os rmos (o poo médo r o mor o maor valor; para mamzar o úmro d dsvos guas a zro dvmos adoar a moda da amosra; para mmzar a soma dos valors absoluos dos dsvos dvmos adoar a mdaa. Para vrfcar ssa úlma afrmava, cosdrmos a dsrbução d frqüêcas aprsada a abla.7. 9

32 TABELA.7. Dsrbução d frqüêcas com 3 dsrbuçõs : Frqüêca: 5 É fácl vrfcar qu a moda é, a mdaa é, a méda arméca é 3 o poo cral r os rmos é 4. A soma dos valors absoluos dos dsvos m rlação à mdaa é 7 (7 para os valors abao da mdaa para os valors acma da mdaa. Para mosrar qu a mdaa é o poo qu mmza a soma dos valors absoluos dos dsvos, cosdrmos um poo abao da mdaa dfrdo dsa d mos d udad, so é, o poo d abcssa, com < <. Para os 6 poos abao da mdaa, os dsvos fcam aumados d ; para os 6 poos localzados acma da mdaa, os dsvos fcam aumados d para o poo cua abcssa é gual à mdaa surg um dsvo gual a m valor absoluo. A soma dos valors absoluos dos dsvos m rlação ao poo d abcssa é, porao, > 7 Racocío smlha mosra qu a soma dos valors absoluos dos dsvos m rlação a um poo acma da mdaa ambém é maor do qu 7. Cocluímos, ão, qu ssa soma é míma quado rfrda à mdaa. Vamos um mplo od o uso da méda arméca, como mdda d dêca cral, parc sr mas razoávl do qu o uso da mdaa, o qu mplca m afrmar qu o créro d mímos quadrados parc sr mas razoávl do qu a mmzação da soma dos dsvos absoluos. Cosdrmos uma amosra com 3 obsrvaçõs, od. A mdaa é gual a zro, qualqur qu sa 3 o valor d 3, so é, o valor da mdaa dpd d 3. Erao, a méda arméca é gual a 3. 3 Para uma oura lusração da aplcação do méodo d mímos quadrados, cosdrmos a drmação do smador do parâmro p d uma dsrbução bomal, sabdo qu uma amosra d obsrvaçõs foram cosaados casos favorávs casos coráros. Como os valors sprados são d p casos

33 favorávs ( p casos coráros, qurmos, d acordo com o méodo d mímos quadrados, o valor d p qu mmz ( p + [( ( p ] Damos para o lor vrfcar qu a solução é p ˆ.9. Esmadors d máma vrossmlhaça D acordo com o méodo da máma vrossmlhaça adoamos, como smavas dos parâmros, os valors qu mamzam a probabldad (o caso da varávl alaóra sr dscra ou a dsdad d probabldad (o caso d varávl coíua d sr obda a amosra obsrvada. Para obr smadors d máma vrossmlhaça é cssáro cohcr ou prssupor qual é a dsrbução da varávl m sudo. Para mplfcar, cosdrmos qu cada uma das facs d um radro rgular são padas d braco ou d azul, qu, ao laçar o radro, o rsulado é cosdrado sucsso s a fac qu fcar m coao com a msa for azul. Vamos supor qu o radro fo laçado 4 vzs, sm qu soubéssmos s o úmro d facs azus do radro ra,,, 3 ou 4. Somos ão formados d qu, as 4 avas, fo obdo sucsso apas uma vz. Qual é a smava d máma vrossmlhaça para o úmro d facs azus o radro ulzado? Na abla.8 aprsamos a probabldad d obr apas um sucsso m 4 avas, para cada um dos casos possívs.

34 Númro d facs azus TABELA.8. A fução d vrossmlhaça. Probabldad (p d obr sucsso m uma ava Probabldad d obr apas um sucsso m 4 avas 4p( p 3 /4 7/64 / /4 6/64 3 3/4 3/64 4 A smpls obsrvação da abla.8 mosra qu o valor d p qu mamza a probabldad d obr um sucsso m 4 avas é p / 4. Eão, ssa é a smava d máma vrossmlhaça para a probabldad d obr sucsso m um laçamo, ou sa, o radro ulzado dv r apas uma fac azul. S p vara couam, a smava d máma vrossmlhaça pod sr obda aravés das codçõs cssáras sufcs do cálculo dfrcal. Dsamos o valor d p qu mamz P ( p ( p, od é o úmro d sucssos obdos m avas. Como o logarmo é uma fução mooôca crsc, o valor d p qu mamza P( ambém mamza Z l P( l + l p + ( l ( p Igualado a zro a drvada m rlação a p, obmos pˆ pˆ cua solução é p ˆ mímos quadrados. Como, qu é o smador á obdo a sção aror plo méodo d

35 d dp Z p ( p <, a codção d sguda ordm para mámo é sasfa. Como mas um mplo, cosdrmos a drmação dos smadors d máma vrossmlhaça da méda (µ da varâca ( σ d uma varávl alaóra (, com dsrbução ormal, com bas m uma amosra alaóra d lmos. Ns caso, a dsdad d probabldad d obr um valor a amosra é os valors f ( πσ ( µ p σ Como as obsrvaçõs são dpds, a dsdad d probabldad d obr,,, K da amosra é L(,, K, ; µ, σ f ( f ( K f ( πσ ( p µ σ ( µ (πσ p σ Essa é a fução d vrossmlhaça da amosra. É usual rprsa-la por L porqu a palavra glsa para vrossmlhaça é lklhood. Os smadors d máma vrossmlhaça d µ σ são os valors qu mamzam o valor d L µ, σ,, K,. Como o logarmo é uma fução ( mooôca crsc, os valors d µ σ qu mamzam L ambém mamzam ( l L l π lσ µ σ quaçõs Igualado a zro as drvadas parcas m rlação a µ σ obmos o ssma d 3

36 ( ˆ µ ˆ σ ( ˆ µ + 4 ˆ σ ˆ σ (.4 (.5 D (.4 obmos µˆ (.6 Já vmos qu é um smador d mímos quadrados, ão-dcoso d varâca míma. Sabmos agora qu, s m dsrbução ormal, é, ambém, um smador d máma vrossmlhaça. D (.5 (.6 obmos ˆ σ ( É rssa oar qu o smador d máma vrossmlhaça da varâca é dcoso, uma vz qu o smador ão-dcoso é s (.. Proprdads assócas dos smadors Sa a o smador d um parâmro α, obdo com bas m uma amosra com obsrvaçõs. Em gral a é uma varávl alaóra cua dsrbução é caracrzada pla fução d dsdad f a, com méda E a varâca V ( ( a E[ a E( a ]. Varado o amaho da amosra, mos váras sqüêcas: a a sqüêca dos smadors: ( { a } a, a, K, a,k (.7 b a sqüêca das médas: { E ( a } E( a, E( a, K, E( a,k (.8 4

37 c a sqüêca das varâcas: { V ( a } V ( a, V ( a, K, V ( a,k (.9 d a sqüêca das fuçõs d dsdad: { f ( a } f ( a, f ( a, K, f ( a,k (. A ora assóca dos smadors s dsa a sablcr o comporamo dssas sqüêcas quado d para fo. lm E ( a Domamos spraça assóca d a ao valor do lm E( a. S α, dzmos qu a é um smador assocam ão-dcoso. Podríamos psar m dfr a varâca assóca d a como lmv ( a. Erao, ss lm é frqüm gual a zro, porqu a dsrbução d a s cocra m um úco poo. Para mplfcar, cosdrmos a méda ( d uma amosra alaóra com obsrvaçõs da varávl, d méda µ varâca σ. D V ( σ / sgu-s qu lm V ( Pod-s dmosrar qu, quado crsc, a dsrbução da mdaa (m da amosra s cocra m oro d µ o lm d sua varâca ambém é zro, so é, lm V ( m Para vrfcar qual d dos smadors é assocam mas fc, podríamos psar m comparar os lms das varâcas dsss smadors, quado d para fo. Erao, s sss lms são guas a zro a fcêca rlava ão é dfda. O problma é rsolvdo dfdo varâca assóca como Para o smador mos lm E { [ a E( a ]} (. 5

38 V ( E( σ µ Eão E [ ( µ ] σ a varâca assóca d é σ lm E[ ( µ ] Pod-s dmosrar qu, s m dsrbução ormal, a varâca assóca da mdaa (m da amosra é πσ lm E[ ( m µ ] Como ( π / >, cocluímos qu a méda ( é um smador d µ assocam mas fc do qu a mdaa (m. Ao aalsar a sqüêca (.7 é mpora r m m qu, fado o valor d, a é uma varávl alaóra. Por sso ão m sdo falar o lm d a quado d a fo. É cssáro, ão, roduzr o coco d covrgêca m probabldad. Dzmos qu uma sqüêca d varávs alaóras { a } a, a, K, a, K covrg m probabldad para uma cosa α s, para qualqur ε >, arbraram pquo, lm P ( a α > ε, (. dcado-s p a α ou plm α, a qu s lê: o lm m probabldad d a é gual a α. 6

39 Dada uma amosra d obsrvaçõs, parâmro α da população s plm α. a a é um smador coss do As d prossgur vamos aalsar mlhor ss coco. A prssão (. pod sr scra lm P ( α ε < a < α + ε (.3 Na fgura.3 rprsamos a dsrbução d a para assalamos, por mo d raços vrcas, os lms α ε α + ε. D acordo com (.3, para qu a sa um smador coss d α, a probabldad d rmos α ε < a < α + ε dv dr para um quado d para fo. Em ouras palavras, dados ε ω, posvos arbraram pquos, dv sr o al qu para odo > o mos P α ε < a < α + ε > ω ( Em rmos da fgura.3, à mdda qu crsc, a dsrbução d a dv s cocrar m oro d α, d mara qu quas oda a dsrbução fqu comprdda r os lms α ε α + ε. Fgura.3. O coco d smador coss 7

40 Prossgudo o sudo das proprdads assócas dos smadors, vamos o coco d covrgêca m méda quadráca. Dzmos qu uma sér d varávs alaóras s { a } a, a, K, a, K covrg m méda quadráca para uma cosa α lm E ( a α (.4 Dmosrarmos ada qu a covrgêca m méda quadráca é codção sufc para qu hamos covrgêca m probabldad. Para sso vamos dduzr, prlmarm, a dsgualdad d Chbshv. Cosdrmos uma varávl alaóra Z, com méda fa, um úmro ral θ >. Dfmos a varávl alaóra da sgu mara:, s Z < θ θ, s Z θ Eão, P ( P( Z < θ P ( θ P( Z θ Sgu-s qu E ( P( + θ P( θ θ P( Z θ (.5 Da dfção d, sgu-s qu Z Eão, E( E( Z Cosdrado (.5 mos: 8

41 θ P( Z θ E( Z ou E( Z P( Z θ (.6 θ Cosdrmos agora a varávl alaóra, com méda µ varâca σ. Aplcado a rlação (.6 à varávl alaóra ( µ ao úmro k, obmos P[( E( µ σ µ k ] (.7 k k Dod, com k >, P( σ µ k, k qu é a dsgualdad d Chbshv. Dmosrmos agora qu a covrgêca m méda quadráca é codção sufc para qu hamos covrgêca m probabldad. Aplcado a rlação (.6 à varávl ( α a ao úmro ε, obmos P [( a α E( a ε ] ε α Eão lm P [( a α E( a ε ] lm ε α S a covrg m méda quadráca para α, mos lm E ( a α Sgu-s qu 9

42 lm P [( a α ε ] Lmbrado qu para uma varávl alaóra coíua a probabldad d s obsrvar um drmado valor é ula, podmos scrvr lm P [( a α > ε ] ou lm P ( a α > ε ] so é, plm a α Dmosrmos, ambém, qu E ( a α V ( a + [ E( a α] (.8 Tmos E( a E{[ a V ( a α E( a + [ E( a E{[ a ] + [ E( a α] E( a, ] + [ E( a α] c.q.d. + [ a α]} E( a ] [ E( a α]} Vamos rsumr as dfçõs rsulados obdos aé ss poo. Para qu o smador a, basado uma amosra d obsrvaçõs, sa um smador coss d α, so é, para qu é sufc qu plm α, a lm E ( a α Para qu sso acoça, por sua vz, é sufc, d acordo com (.8, qu lm V ( a 3

43 E ( a α ou lm[ E ( a ] α Cocluímos ão qu um smador ão-dcoso ou assocam ãodcoso é coss s o lm da sua varâca, quado o amaho da amosra d para fo, é gual a zro. Vamos um mplo. Sabmos qu é um smador ão-dcoso d µ σ qu V (. Como lm V (, cocluímos qu plm µ, so é, é um smador coss d µ. Vmos qu os smadors dvm sr ão-dcosos fcs. É dsávl, ambém, qu sam cosss assocam fcs, so é, qu aprsm varâca assóca míma. A ão-dcosdad a fcêca são domadas proprdads d amosra pqua, porqu sua valdad ão dpd do amaho da amosra, so é, quado um smador aprsa as proprdads, las são gualm váldas para amosras grads para amosras pquas. Por ouro lado, as proprdads dfdas m rmos d lms, quado o amaho ( da amosra d para fo, são domadas proprdads d amosra grad ou proprdads assócas. A sgur são aprsadas, sm dmosração, algumas proprdads da covrgêca m probabldad. S plm a α F (a é uma fução coíua d a, ão plm F ( a F( α. Em parcular, mos plm ( a (plm a plm ( a (plm a. O orma s sd ao caso d uma fução coíua d duas ou mas varávs, so é, s plm a α, plm b β F ( a, b é uma fução coíua, mos 3

44 plm F ( a, b F( α, β. Tmos, por mplo, plm ( a + b plm a + plm b, plm ( ab (plm a (plm b, s plm b, plm ( a / b (plm a /(plm b. Essas proprdads faclam a drmação do valor para o qual covrg m probabldad uma fução d smadors. No qu, cohcda a spraça mamáca d váras varávs, ão é gralm ão mdaa a drmação da spraça mamáca d prssõs volvdo as varávs. Dado qu E (a α E (b β, sabmos qu E ( a + b α + β, mas ada podmos dzr, d mdao, sobr o valor d E ( a, E (ab ou E ( a / b. Para roduzr a déa d covrgêca m dsrbução, vamos cosdrar, ovam, a dsrbução da méda ( d uma amosra alaóra com obsrvaçõs, com E ( µ V ( σ, mas sm qu s cohça a forma da dsrbução d. Já vmos qu V ( d a zro quado crsc. Dzmos qu, o lm, a dsrbução d dgra, cocrado-s m um poo. Eão é cov aalsar o qu ocorr com a dsrbução d. O orma do lm cral sablc qu, m codçõs basa gras, o lm, quado d a fo, a dsrbução d é uma dsrbução ormal com méda µ varâca σ. Ess é um mplo d covrgêca m dsrbução, dcado-s d N( µ, σ Dzmos, ão, qu a dsrbução assóca d é uma dsrbução ormal com méda µ varâca σ... O lm fror d Cramér-Rao as proprdads assócas dos smadors d máma vrossmlhaça Cosdrmos uma amosra alaóra d obsrvaçõs,, K, d uma ( varávl cua dsrbução é caracrzada por um parâmro α cuo valor é dscohcdo. S f ( é uma fução d dsdad d II, a fução d vrossmlhaça dssa amosra é 3

45 ,, K, ; f ( L( α Sa a um smador ão-dcoso d α. S a fução d dsdad f( obdcr a cras codçõs d rgulardad rlavas à gração dfrcação s s a varâca d a, ão pod-s dmosrar qu V ( a (.9 d l L d l L E E dα dα O valor do o mmbro dssa dsgualdad é domado lm fror d Cramér-Rao. A dsgualdad (.9 sablc qu ão s smador ãodcoso cua varâca sa mor do qu o lm fror d Cramér-Rao. Para mplfcar, cosdrmos uma varávl com dsrbução ormal d méda µ, dscohcda, varâca gual a um. Dada uma amosra alaóra com obsrvaçõs,, K,, a fução d vrossmlhaça é ( Eão L(,, K, ; µ (π p ( µ ( π p ( µ l L l π ( µ Sgu-s qu d l L dµ ( µ A dmosração pod sr corada m Thl (97, p

46 d l L dµ D acordo com (.9, obmos V ( m od m é qualqur smador ão-dcoso d µ. Sabmos qu, com σ, a varâca d é gual a /, so é, a méda arméca dos valors da amosra é um smador com varâca gual ao lm fror d Cramér-Rao. Covém rssalar qu há casos os quas o lm fror d Cramér-Rao ão é agdo, so é, há casos od ão s smador ão-dcoso com varâca gual ao lm fror d Cramér-Rao. Erao, s um orma qu afrma, m codçõs basa gras, qu, s αˆ é o smador d máma vrossmlhaça d α ão αˆ aprsa dsrbução assocam ormal com méda α varâca gual ao lm fror d Cramér- Rao, so é, os smadors d máma vrossmlhaça são cosss assocam fcs. 3.. Ts d hpóss Dada uma hpós d uldad ( H o, df-s como rro po I o rro qu coss m rar H o, dado qu H o é vrdadra. Df-s como rro po II o rro qu coss m ão rar H o, dado qu H o é falsa. A hpós da uldad, quado dada m rmos quaavos, é, cssaram, uma gualdad. Usa-s a lra grga α para dcar a probabldad d comr rro po I, qu é o ívl d sgfcâca do s, a lra grga β para dcar a probabldad d comr rro po II. dado qu Podmos dfr ada o podr do s, qu é a probabldad d rar H o é falsa. H o, 3 A dmosração ds orma pod sr corada m Thl (97, p

47 Evdm, o podr do s é gual a β. Para mplfcar, cosdrmos radros rgulars, fos d maral homogêo, sdo qu um dls m uma fac azul 3 bracas o ouro m facs azus bracas. Quado sss radros são laçados, o rsulado é cosdrado sucsso s a fac m coao com a msa for azul. Eão, a probabldad d obr sucsso m um laçamo é, para o prmro radro, p /4, para o sgudo radro, p /. O úmro ( d sucssos, obdos m laçamos d um dsss radros é uma varávl alaóra dscra com dsrbução bomal. A abla.9 aprsa a dsrbução d para cada um dos dos radros, o caso d laçamos. TABELA.9. Dsrbução do úmro d sucssos obdos m dos laçamos, para cada um dos dos radros P( para p /4 para p / 9/6 /4 6/6 /4 /6 /4 Cosdrmos a sgu suação: supohamos qu um dos radros (ão sabmos qual fo laçado duas vzs qu fomos formados sobr o úmro ( d sucssos ( pod assumr os valors, ou ; com bas ssa formação, dvmos dcdr qual dos dos radros fo ulzado, ou sa, dvmos dcdr r H o : p / 4 : p / H A Para a solução ds problma, dvmos procdr a um s d hpóss. Eão, as d cohcr o valor assumdo por, dvmos sablcr a rgra d dcsão a sr adoada, so é, dvmos sablcr para qu valors d dvmos rar H o. Para s problma podmos sablcr qualqur uma das quaro rgras d dcsão qu cosam a abla.. Nsa abla ambém são dados os valors d α β, rlavos a cada rgra d dcsão, a rlação β α, so é, a razão r o crmo m β o crmo m α, quado s passa d uma rgra d dcsão para a sgu. 35

48 TABELA.. Valors d α β rlavos às possívs rgras d dcsão rlação β α Rgra d dcsão α β β α Nuca rar Rar Rar Smpr rar H o H o s /6,65 3/4,75 H o s 7/6,4375 /4,5 H o 4 4/3 4/9 Idqumos por β φ(α a rlação fucoal dcrsc qu s r α β. A fgura.4 mosra ssa rlação para o problma dscro. Ns mplo, a fução β φ(α é dscoíua porqu o s d hpós é basado m uma varávl alaóra dscra. S o s d hpós for basado m uma varávl alaóra coíua, a fução β φ(α ambém srá coíua. Como scolhr a rgra d dcsão, ou sa, como scolhr o ívl d sgfcâca do s? Isso mplca scolhr o poo ómo sobr a fução β φ(α. Admamos qu a probabldad a pror d H o sr vrdadra sa θ (Essa probabldad dv sr drmada com bas m ouras formaçõs qu ão as qu são sdo ulzadas para fazr o s. Eão, podmos obr, como cosam a abla., os valors da rca líquda U (um coo mas gral, os valors U sram os ívs d uldad assocados a cada uma das 4 suaçõs possívs (quado a hpós alrava é smpls, as rspcvas probabldads. Fgura.4. Rlação r α β 36

49 Suação ral TABELA.. A abla d rsulados ão rar H o é vrdadra U (probab. θ p θ ( α Dcsão omada H o rar H o p U θα H o é falsa (probab. θ p U ( θ β p U ( θ ( β S odas ssas formaçõs svssm dspoívs, podríamos scolhr o ívl d sgfcâca qu mamza a rca líquda sprada, dada por L E( U θ ( α U U (. + θαu + ( θ βu + ( θ ( β Essa rlação pod sr scra θu + ( θ U L θ ( U U β α (. ( θ ( U U ( θ ( U ( U A dfrça U U C rprsa o cuso d comr rro po I a I > dfrça U U C rprsa o cuso d comr rro po II. II > Dados os valors d θ, U, U, U, U, a rlação (. corrspod a um f d ras parallas um ssma d os carsaos com coordadas α β. O cofc agular é smpr gual a θc I (. ( θ C II o cofc lar é ao mor quao maor for o valor d L E(U. Para mamzar L E(U dvmos drmar o poo d β φ(α qu prça a uma ra com dclvdad dada por (. cofc lar mímo. Para mplfcar, cosdrmos a rlação β φ(α rprsada a fgura.4 admamos qu θ, 5. Ns caso, mos: 37

50 CI a s 4 < <, o poo ómo é A, so é, uca dvmos rar H o. C II C I b s 4, é dfr ulzar a rgra d dcsão corrspod ao poo C II A ou ao poo B. 4 C I c s < < 4, o poo ómo é B, so é, dvmos rar H o s, 3 C d s s f s g s II fazdo um s com ívl d sgfcâca α, 65. C C I II 4 3 B ou ao poo C. 4 9 < C C I II, é dfr ulzar a rgra d dcsão corrspod ao poo 4 < 3, o poo ómo é C, so é, dvmos rar H o s, fazdo um s com ívl d sgfcâca α, C C I II 4 9 C ou ao poo D, C < C I II, é dfr ulzar a rgra d dcsão corrspod ao poo < 4 9, o poo ómo é D, so é, dvmos rar H o smpr, qualqur qu sa o valor obsrvado d. S a fução β φ(α for coíua, o poo qu mamza a rca líquda pod sr drmado gualado a zro a drvada d L m rlação a α. D (. obmos dl θ U dα U ( θ ( U U ( dβ dα dβ θc I ( θ CII (.3 dα Sgu-s qu dl mplca dα dβ dα θc ( θ C I (.4 II 38

51 L E(U s O poo d β φ(α qu sasfaz ssa codção corrspod a um mámo d d L dα < D (.3 obmos d L dα d β ( θ CII, dα d β mosrado qu a codção d sguda ordm para mámo é sasfa s >, so dα é, s a fução β φ(α for cova m rlação à orgm. Sdo β φ(α uma fução dcrsc cova m rlação à orgm, o ívl d sgfcâca ómo sablcdo aravés d (.4 srá ao mor quao maor for θ (a probabldad a pror d H o sr vrdadra quao maor for a rlação C I (o C II cuso d comr rro po I m comparação com o cuso d comr rro po II. Em problmas prácos é gralm mpossívl drmar o ívl d sgfcâca ómo da mara dcada, porqu ão s m m a probabldad (θ d H o sr vrdadra a pror, m o valor ao da rlação C I. Além dsso, a hpós alrava é, gralm, composa; a drmação rgorosa d um ívl d sgfcâca ómo gra, s caso, o cohcmo da dsrbução a pror dos valors possívs para a hpós alrava, com os rspcvos valors do cuso d comr rro po II. Por sso, a scolha do ívl d sgfcâca m muo d arbráro. A faldad da dscussão fa é dar claro o sdo m qu dv sr ausado o ívl d sgfcâca coform mudm a probabldad a pror d a rlação r os cusos d comr rro po I rro po II. C II H o sr vrdadra É usual qu a hpós alrava ão s rfra a um valor spcífco. É comum, por mplo, sar s um parâmro γ é gual a zro ( H : γ cora a hpós alrava d qu é dfr d zro ( H : γ. Ns caso pod-s far o ívl d A 39

52 sgfcâca do s (α, mas o podr do s ( β ão é um valor úco. Pod-s cosrur a curva d podr do s, qu mosra como ss vara m fução d valors alravos do parâmro. É claro qu o podr do s s aproma do ívl d sgfcâca quado o valor alravo do parâmro s aproma do valor sablcdo pla hpós da uldad, fazdo com qu, fado um bao ívl d sgfcâca, o podr do s sa bao para as valors alravos do parâmro. No-s como, sas codçõs, ão há smra r as dcsõs d rar acar a hpós da uldad. Ao rar a hpós da uldad sarmos omado uma dcsão d mara qu a probabldad d sar comdo rro (po I é cohcda pqua. Mas s o rsulado do s é ão-sgfcavo acamos a hpós da uldad, a probabldad d comr rro po II é dscohcda d a sr lvada para valors do parâmro prómos ao sablcdo pla hpós da uldad. A lguagm usada a rpração do rsulado d um s d hpóss dv rflr ssa assmra. S, ao sar ( H : γ cora ( H : γ, o rsulado do s é sgfcavo, A ramos a hpós da uldad. S o rsulado for ão-sgfcavo, a coclusão é qu os dados da amosra ulzada ão prmm rar a hpós da uldad. No-s a aurza provsóra da coclusão. A afrmava d qu aca-s H o ão rfl adquadam a drmação da probabldad d comr rro po II quado a hpós alrava é composa (ão sablc um úco valor alravo para o parâmro. Ercícos.. Sa o rsulado obdo o laçamo d um dado (hadro rgular ãochumbado. Sa a soma dos rsulados obdos m laçamos dss dado. Drm E(, V(, E( V(. 4

53 .. Com bas a dsrbução coua d, aprsada a abla ao lado, drm a E(, a E(, a V(, a V( a cov (,. As varávs são dpds?.3. A abla ao lado mosra a dsrbução coua d. a Essas varávs são dpds? (Jusfqu sua rsposa. b Drm E( E(. c Drm V( V(. d Drm cov (, a corrlação (ρ r as duas varávs. Valors d coua das varávs. para a dsrbução 3 4,3,3 8,4 Valors d coua das varávs. para a dsrbução 4 6 4,, 5,,, 6,,.4. Tmos duas uras, aparm dêcas, com 63 bolas o ror d cada uma. Essas bolas são marcadas com úmros ( d zro a 5. Na ura A há bolas com o úmro, so é, há uma bola com o o, duas bolas com o o, 4 bolas com o o, assm por da, aé 3 bolas com o o 5. Na ura B há 5 bolas com o úmro, so é, há 3 bolas com o o, 6 bolas com o o, 8 bolas com o o, assm por da, aé uma bola com o o 5. Uma dssas uras, scolhda ao acaso, é rgu a um saísco, qu dv dcdr s é a ura A ou s é a ura B, rrado, ao acaso, uma úca bola da ura. El spcfca a hpós da uldad como H a hpós alrava como H A : raa-s da ura A : raa-s da ura B O saísco dcd, ambém; qu a rgra d dcsão srá rar H (m favor d H s a bola rrada da ura aprsar úmro mor do qu 3. A Drm: (a o ívl d sgfcâca do s; (b a probabldad (β d comr rro po II; (c o podr do s. 4

54 Rfaça o problma cosdrado, agora, qu a rgra d dcsão é rar H s o úmro ( marcado a bola rrada for mor ou gual a..5. Tmos duas uras, aparm dêcas, com 55 bolas o ror d cada uma. Na ura A há uma bola com o o, duas bolas com o o, 3 bolas com o o, assm por da, aé bolas com o o 9. Na ura B há bola com o o 9, bolas com o o 8, 3 bolas com o o 7, assm por da, aé bolas com o o. Uma dssas uras, scolhda ao acaso, é rgu a um saísco, qu dv dcdr s é a ura A ou s é a ura B amado uma úca bola rrada da ura, ao acaso. El spcfca a hpós da uldad como H a hpós alrava como H A : raa-s da ura A : raa-s da ura B O saísco adoa a sgu rgra d dcsão: rar H (m favor d a bola rrada da ura aprsar úmro mor do qu 5. Drm: a o ívl d sgfcâca do s b a probabldad (β d comr rro po II c o podr do s. H s A Rfaça o problma cosdrado, agora, qu a rgra d dcsão é rar H s o úmro marcado a bola rrada for mor ou gual a Tmos dos radros rgulars d maral homogêo. Um dls m uma fac azul rês facs bracas. O ouro m rês facs azus uma braca. Uma pssoa pga, ao acaso, um dsss radros o laça vzs. Sa o úmro d vzs m qu o rsulado fo fac azul. Com bas o valor d dvmos sar a hpós H cora a hpós alrava H A : fo ulzado o radro com uma fac azul : fo ulzado o radro com rês facs azus Sa α o ívl d sgfcâca do s sa β a probabldad d comr rro po II. 4

55 a Cosdrado as dfrs rgras d dcsão, faça uma abla um gráfco mosrado como β vara m fução d α para 3. b Qual é o ívl d sgfcâca para um s com 5, mado β α? Rsposas 7, E ( 3, 5, V (, 967, E( 35 V ( 9, E(, E( 5,6, V(,6, V( 3,84, cov (,. As varávs ão são dpds..3. a Não b E( 4 E( 5 b V(,4 V(,6 c cov (,,8 ρ, Para a rgra d dcsão Rar H s < 3 obmos α 7/63 /9,, β /9, β 8/9,889 Para a rgra d dcsão Rar H s obmos α 3/63 /,476, β 5/63 5/,38 β 6/, Rar H s úmro < 5: α 3/, β 3/ β 8/..6. Rar H s úmro 3: α /, β /55 β 34/55. a Rgra d dcsão: rar H : p / 4 s (smpr 37/64 /64 /64 /64 3 /64 37/64 > 3 (uca α β 53 b α β,

56 . REGRESSÃO LINEAR SIMPLES.. O modlo saísco d uma rgrssão lar smpls Dados pars d valors d duas varávs,, (com,,...,, s admrmos qu é fução lar d, podmos sablcr uma rgrssão lar smpls, cuo modlo saísco é α + β + u, od α β são parâmros, é a varávl plaaóra é a varávl dpd. O cofc agular da ra (β é ambém domado cofc d rgrssão o cofc lar da ra (α é ambém cohcdo como rmo cosa da quação d rgrssão. A aáls d rgrssão ambém pod sr aplcada às rlaçõs ão-lars. Icalm, sudarmos apas o caso da ra. Vrmos ada o caso das rlaçõs ão-lars. Ao sablcr o modlo d rgrssão lar smpls, prssupomos qu: I A rlação r é lar. II Os valors d são fos, so é, ão é uma varávl alaóra. III A méda do rro é ula, so é, E (. u IV Para um dado valor d, a varâca do rro u é smpr domada varâca rsdual, so é, σ, E ( u σ ou E [ E( ] σ Dzmos, ão, qu o rro é homocdásco ou qu mos homocdasca (do rro ou da varávl dpd. V O rro d uma obsrvação é ão-corrlacoado com o rro m oura obsrvação, so é, E ( u u para. 44

57 VI Os rros êm dsrbução ormal. Combado as prssuposçõs III, IV VI, mos qu u ~ N (, σ Dvmos, ada, vrfcar s o úmro d obsrvaçõs dspoívs é maor do qu o úmro d parâmros da quação d rgrssão. Para ausar uma rgrssão lar smpls prcsamos r, o mímo, 3 obsrvaçõs. S só dspomos d obsrvaçõs ( poos, a drmação da ra é um problma d gomra aalíca; ão é possívl, s caso, fazr huma aáls saísca. Vrmos ada qu as prssuposçõs I, II III são cssáras para qu s possa dmosrar qu as smavas dos parâmros obdas plo méodo dos mímos quadrados são ão-dcosas ou mparcas, so é, qu E (a α E (b β od a b são as smavas d mímos quadrados d α β, rspcvam. Vrmos ambém qu, com bas as cco prmras prssuposçõs, é possívl dmosrar qu as smavas dos parâmros obdas plo méodo dos mímos quadrados são smavas lars ão-dcosas d varâca míma. É rssa assalar qu a prssuposção II ão é, a vrdad, sscal. Vrmos, o fm ds capíulo, qu m cras codçõs, s for uma varávl alaóra, os rsulados obdos prssupodo qu os valors d são fos couam váldos. Erao, do m vsa a smplcdad das dmosraçõs d város ormas, ssa prssuposção srá adoada dura a maora das sçõs do capíulo. Dvmos obsrvar qu, s os pars d valors, (com,,..., foram obdos prmalm é uma varávl corolada (fada plo psqusador, a prssuposção II é válda. A prssuposção III clu, por mplo, a sêca d rros ssmácos d mdda da varávl. 45

58 Quado ão é razoávl supor qu os rros são homocdáscos (prssuposção IV, so é, quado s hrocdasca, dvmos ulzar o méodo dos mímos quadrados podrados, qu srá amado o capíulo 6. Na fgura. sá rprsado o modlo saísco d uma rgrssão lar smpls, cosdrado as prssuposçõs d I a IV. As prssuposçõs I, II III prmm scrvr E( α + β, ou sa, as médas das dsrbuçõs d são sobr a ra α + β. À prssuposção IV corrspod, a fgura., o fao d as dsrbuçõs d para dfrs valors d aprsarm odas a msma dsprsão. Fgura.. Rprsação do modlo saísco d uma rgrssão lar smpls. S os pars d valors, foram obdos aravés d amosragm alaóra d uma população fa, fca garada a dpdêca r obsrvaçõs. S, além dsso, a spraça do rro é gual a zro, mos, com, E ( u u E( u E( u Erao, a prssuposção V gralm ão é obdcda quado rabalhamos com sérs croológcas d dados. Dzmos, ão, qu há auocorrlação os rsíduos. Tmos auocorrlação posva s E ( u u + > auocorrlação gava s E ( u u + <. No capíulo 7 vrmos os méodos qu podm sr ulzados quado há auocorrlação os rsíduos. 46

59 A prssuposção VI é cssára para qu possamos ulzar as dsrbuçõs d d F para sar hpóss a rspo dos valors dos parâmros ou cosrur rvalos d cofaça. Em algus casos, é possívl usfcar ssa prssuposção com bas o orma do lm cral. Ess orma, a sua vrsão mas gral, sablc qu a soma d um grad úmro d varávs alaóras dpds m dsrbução apromadam ormal, dsd qu huma dlas sa doma. Vmos qu o rro ( u do modlo saísco d uma rgrssão lar pod sr dvdo à fluêca d odas as varávs qu afam a varávl dpd qu ão foram cluídas o modlo. Uma vz qu as varávs qu ão foram cosdradas dvm sr as mos mporas, sus fos dvm sr odos rlavam pquos. Cosdrado qu o úmro d faors qu podm afar cra varávl dpd é basa grad, dsd qu sus fos sam advos dpds, podmos coclur, com bas o orma do lm cral, qu o rro rsdual m dsrbução apromadam ormal... Esmava dos parâmros O prmro passo, a aáls d rgrssão, é obr as smavas a b dos parâmros α β da rgrssão. Os valors dssas smavas srão obdos a parr d uma amosra d pars d valors poos um gráfco. Obmos, ão, (com,,...,, qu corrspodm a ˆ a + b od Ŷ, a b são, rspcvam smavas d Para cada par d valors E( α + β, α β., podmos sablcr o dsvo ˆ ( a + b O méodo dos mímos quadrados coss m adoar como smavas dos parâmros os valors qu mmzam a soma dos quadrados dos dsvos Z [ ( a + b ] 47

60 ulas: A fução Z rá mímo quado suas drvadas parcas m rlação a a b form Z a [ ( a + ] b (. Z b [ ( a + b ] ( (. Por s raar d uma soma d quadrados d dsvos, o poo rmo srá cssaram um poo d mímo da fução. Formalm, pod-s vrfcar qu as codçõs d sguda ordm para mímo são sasfas. Smplfcado as quaçõs (. (., chgamos ao ssma d quaçõs ormas a + b a + b (.3 (.4 Rsolvdo o ssma, obmos: ( ( ( ( a ( ( ( ( b ( No qu, por smplcdad, ommos o ídc. Para srmos plícos dvríamos scrvr, por mplo,, od scrvmos, smplsm,. Na práca drmamos b m prmro lugar da quação (.3 obmos a b ou a b 48

61 49 É fácl vrfcar qu a fórmula para o cálculo d b pod sr scra d dvrsos modos, quas sam: b ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( od,, Assalmos duas rlaçõs basa ús qu podm sr obdas a parr das quaçõs (. (.. Lmbrado qu b a + ˆ (, as quaçõs fcam: (.5 (.6 Tmos, ambém, qu b a b a + + ( ˆ D acordo com (.5 (.6, cocluímos qu ˆ (.7 As rlaçõs (.5, (.6 (.7 mosram, rspcvam, qu

62 a a soma dos dsvos é gual a zro, b a soma dos produos dos dsvos plos corrspods valors da varávl dpd é gual a zro, c a soma dos produos dos dsvos plos rspcvos valors smados da varávl dpd é gual a zro. Esas rlaçõs podm sr ulzadas para vrfcar s as smavas dos parâmros foram corram calculadas para vrfcar o fo dos rros d arrdodamo. Como ˆ +, d (.5 cocluímos qu ˆ, (.8 so é, a méda dos valors obsrvados d é gual à méda dos valors smados d..3. O modlo smplfcado um mplo umérco Uma smplfcação cov dos cálculos é obda quado usamos a varávl crada. Na rprsação gráfca, sso corrspod a omar a méda da varávl como orgm do o das abcssas. Nss caso, o modlo saísco fca A + β + u Rprsado por  a smava d mímos quadrados do parâmro A, mos A ˆ + b + Como, as quaçõs ormas fcam Aˆ b Dod A ˆ 5

63 Eão a ra d rgrssão smada é b ˆ + b ou ˆ b (.9 od ˆ ˆ Tmos ˆ ( ˆ ˆ Lmbrado (.5 (.7 cocluímos qu ˆ (. Para mplfcar, cosdrmos a amosra d pars d valors abla., rprsados grafcam a fgura.. TABELA.. Valors d (,...,, da Os úmros aprsados são arfcas foram scolhdos d mara a smplfcar os cálculos. O suda d cooma pod magar, por mplo, qu é o cuso oal d produção corrspod à quadad produzda, para mprsas d cra dúsra; ss suda podrá vrfcar qu, s caso, α rprsa o cuso fo (cuso s msmo quado β rprsa o cuso margal. Também é possívl magar qu é a quadad d algum produo ofrcda m cro mrcado, 5

64 é o rspcvo prço, ou ada, qu é o logarmo do cosumo smaal d car d uma famíla é o logarmo da rda msal dssa famíla. São dados, a sgur, os rsulados d algus cálculos rmdáros para a obção das smavas a b. 3, 3 6 ( , 5 86 ( ( Dss rsulados obmos b a b Fgura.. Rprsação gráfca dos pars d valors da abla., a ra ausada ( ˆ a + b a ra vrdadra [ E( α + β ]. A ra d rgrssão smada é ˆ 5 + 5

65 ou ˆ +.4. Dmosração d qu os smadors d mímos quadrados são smadors lars ão-dcosos Dmosrarmos, calm, qu b é um smador lar ão- dcoso d β. Tmos qu b + + K + Uma vz qu os valors d são fos, d acordo com a prssuposção II, são, ambém, valors fos. Eão, b é uma combação lar dos valors d. Como obmos α + β + u, b ( + + α β u ( α + + u β Como, u b β + (. Lmbrado qu, d acordo com a prssuposção III, E (, obmos u 53

66 E (b β so é, b é um smador ão-dcosos ou mparcal d β. Dmosrarmos, agora, qu a b é um smador lar ão-dcosos d α. Tmos qu a b Essa úlma prssão mosra qu a é uma fução lar dos valors d. Como α + β + u, obmos a ( α + β + u α α β + + β u, como, a α u (. + Lmbrado qu E (, obmos u E (a α so é, a b é um smador ão-dcoso d α. 54

67 55.5. Varâcas covarâcas das smavas dos parâmros Drmarmos, calm, a prssão da varâca d b. Como β (b E, por dfção mos ( ( β b E b V (.3 D (., obmos u b β Subsudo ss rsulado m (.3, obmos ( ( ( u E b V Mas ( ( u u u E u E K ( u u u u u E K K K u u σ σ σ K σ (.4 uma vz qu, d acordo com as prssuposçõs IV V, ( σ u E ( u u E, para. Eão ( ( b V σ σ (.5 Drmmos, a sgur, a varâca d a D (. sgu-s qu u a α

68 56 Eão ( ( u E a E a V α Lmbrado qu ( σ u E ( u u E, para, podmos obr ( σ a V + ( σ σ + (.6 Noado qu ( ambém podmos obr ( σ a V (.7 As d dduzr a prssão da covarâca r a b, drmmos as varâcas covarâcas das smavas dos parâmros do modlo smplfcado aalsado a sção.3. Vmos al qu ssas smavas são A ˆ b Tmos qu u u β α β (α od u u ( Como ( u E, podmos scrvr E β α + (

69 57 Eão, é fácl vrfcar qu u E (, (.8 dod obmos ( ] ( [ ( u E u E E E V, falm, V ( σ σ (.9 Drmmos agora a covarâca r b ] ( ( [, cov( β b E E b Cosdrado (. (.8, obmos (, cov( u u E u u E b ( ( u u u u u u E K K ] ( ( [ u u u u u u u u u u E K K K Lmbrado qu ( σ u E ( u u E, para, sgu-s qu, cov( b σ (. Drmmos, falm, a covarâca r a b. Como b a, mos, d acordo com as proprdads da covarâca dadas a sção.5, qu (, cov(, cov( b V b b a Cosdrado (.5 (., obmos

70 σ cov( a, b (..6. Dmosração d qu b é um smador lar ão-dcoso d varâca míma Cosdrmos um smador lar qualqur d β, B c Para qu ss smador sa ão-dcoso, so é, para qu hamos E (B β, as cosas c dvm r cras proprdads, qu srão dduzdas a sgur. Tmos B c c α + β + u ( α c + β c + c u (. Lmbrado qu E (, podmos scrvr u E( B α c + β c Para rmos E (B β, cssaram c (.3 c (.4 Nsas codçõs d acordo com (., mos qu B β + c u ou 58

71 B β c u Eão, V ( B E( B β E( c u Lmbrado qu E ( u σ ( u u E para, obmos V ( B σ c Nosso problma é drmar os valors d c qu mmzm V (B, ou sa, qu mmzm c, suos às codçõs (.3 (.4. Aplcado o méodo do mulplcador d Lagrag, dfmos a fução F c λ c θ ( c No poo d mímo codcoado dvmos r F c c λ θ (.5 para,,..., Somado ssas gualdads obmos Pla codção (.3 sgu-s qu c λ θ λ + θ Adcoado ssa gualdad a cada uma das rlaçõs m (.5 obmos c ( θ c θ θ c, para,,..., (.6 59

72 obmos Mulplcado cada uma dssas rlaçõs plo rspcvo valor d somado, c θ θ Lmbrado a codção (.4, sgu-s qu θ ou θ Subsudo ss rsulado m (.6, obmos c,,,..., Cocluímos ão qu o smador lar ão-dcoso d varâca míma qu procuramos é B c, qu é o smador d mímos quadrados. Dmosração aáloga pod sr fa m rlação à smava do parâmro α. Cocluímos, ão, qu os smadors dos parâmros d uma rgrssão lar smpls, obdos plo méodo dos mímos quadrados, são smadors lars ão-dcosos d varâca míma. Ess é um caso parcular do orma d Gauss-Markov. No qu ss rsulado dpd d cras prssuposçõs a rspo do rro do modlo (prssuposçõs III a V..7. Dcomposção da soma d quadrados oal Dmosrarmos qu 6

73 ( ( +( ˆ ˆ ou +, ˆ so é, qu a soma d quadrados oal (S.Q.Toal é gual à soma d quadrados rsdual (S.Q.Rs., ambém chamada soma d quadrados dos dsvos, mas a soma d quadrados da rgrssão (S.Q.Rgr.. Parmos da ddad ˆ + ˆ ou + ˆ Elvado ao quadrado somado, obmos + ˆ + ˆ Lmbrado (., cocluímos qu + (.7 ˆ Essa rlação mosra qu a varação dos valors d m oro da sua méda ( pod sr dvdda m duas pars: uma ( ˆ qu é plcada pla rgrssão oura ( dvda ao fao d qu m odos os poos são sobr a ra d rgrssão, qu é a par ão plcada pla rgrssão. O cofc d drmação, dfdo por r S.Q.Rgr. ˆ S.Q.Toal, dca a proporção da varação d qu é plcada pla rgrssão. No qu r. 6

74 S samos rssados m smar valors d a parr d valors d, a rgrssão srá ao mas úl quao mas prómo d um svr o valor d qu Vrfcamos, faclm, qu r S.Q.Rgr. ˆ r. ˆ ( b (.8 ( ( ( b b Vamos, agora, vrfcar a dcomposção da soma d quadrados oal calcular o valor do cofc d drmação para o mplo aprsado arorm. Da abla. obmos S.Q.Toal S.Q.Rgr. b 36 ( S.Q.Rs. S.Q.Toal S.Q.Rgr Esa é a mara usual d obr os valors das váras somas d quadrados. Para qu o aluo comprda mlhor o qu sá sdo fo, vamos calcular a S.Q.Rgr. a S.Q.Rs. dram da sua dfção; para sso prcsamos obr, calm, os valors d Ŷ ˆ, aprsados a abla.. As rlaçõs (.5, (.6, (.7 (., dduzdas arorm, qu são,, ˆ ˆ, são faclm vrfcadas s mplo. Como a soma dos dsvos é ula, a méda arméca d Ŷ é 5. Obdos os valors ˆ ˆ, calculamos S.Q.Rgr. ˆ 36, qu é o msmo valor obdo arorm, pla prssão S.Q.Rgr. b 6

75 TABELA.. Valors d,, ˆ, ˆ ˆ + ŷ ˆ O valor da soma d quadrados rsdual, obdo arorm por dfrça, pod agora sr obdo dram: S.Q.Rs. 8 O lor pod vrfcar qu aplcado qualqur uma das fórmulas d (.8 o valor do cofc d drmação obdo é 9 r,88 ou 8,8%.8. Espraças das somas d quadrados Vamos, calm, a spraça da soma d quadrados d rgrssão. Tmos α + β + u α + β + u Subrado sa quação da aror, obmos β + u u (.9 63

76 64 Sabmos qu ( S.Q.Rgr. b Aplcado spraça mos ( (S.Q.Rgr. E E (.3 D (.9 podmos obr u u u + + β β Eão u u + + ( ( ( β β Aplcado spraça, vm ( ( E + σ β (.3 Subsudo ss rsulado m (.3, obmos (S.Q.Rgr. σ β + E (.3 Drmmos, a sgur, a spraça da soma d quadrados oal. Já vmos qu S.Q.Toal Cosdrado (.9, sgu-s qu + ( S.Q.Toal u u β + + ] ( ( [ u u u u β β u u u u + + β β β ( u u u + + β β ( Dod ] ( [ (S.Q.Toal u u E E + β (.33 Mas + ( ( u u u u u u

77 u ( u u + Eão u (u σ E[ ( u u ] σ ( σ Subsudo ss rsulado m (.33 obmos E(S.Q.Toal β + ( σ (.34 mos Rsa drmar a spraça da soma d quadrados rsdual. Como S.Q.Rs. S.Q.Toal S.Q.Rgr., E(S.Q.Rs. E(S.Q.Toal E(S.Q.Rgr. D acordo com (.3 (.34 sgu-s qu E(S.Q.Rs. ( σ ( Aáls d varâca da rgrssão Os valors das spraças das somas d quadrados, dduzdas o m aror, usfcam qu s assoc às somas d quadrados oal, d rgrssão rsdual, graus d lbrdad, rspcvam. Por dfção, os quadrados médos são obdos dvddo as somas d quadrados plos rspcvos graus d lbrdad. Eão, para o caso d uma rgrssão lar smpls, mos Lmbrado (.3 (.35, obmos Q.M.Rgr. SQ.Rgr. SQ.Rs. Q.M.Rs. 65

78 E ( Q.M.Rgr. β + σ E ( Q.M.Rs. σ D poss dss rsulados, podmos coduzr a aáls d varâca da rgrssão lar smpls, coform o squma sgu: Causas d Varação Aáls da Varâca Graus d Lbrdad Somas d Quadrados Quadrados Médos Rgrssão b b Rsíduo Toal b ( b /( Cosdrado as dfrs amosras alaóras d amaho qu podram sr obdas a parr da população d pars d valors (,, sdo vrdadras as 6 prssuposçõs dada a sção., cocluímos qu: a o Q.M.Rs. é uma smava ão-dcosa da varâca do rro ( σ b o Q.M.Rgr. é, m méda, gual a ssa msma varâca rsdual ( σ somada ao produo d plo quadrado do parâmro β. É claro qu s β, o Q.M.Rgr. é, m méda, gual a σ Não farmos aqu, mas pod-s dmosrar qu, s os rros êm dsrbução ormal s β, o coc Q.M.Rgr. F Q.M.Rs. m dsrbução d F com graus d lbrdad. Eão, para sar a hpós H : β, 66

79 ao ívl d sgfcâca adoado, podmos ulzar a saísca F. Nss caso, o procdmo coss m rar H para odo F maor ou gual ao F críco, com graus d lbrdad, rlavo ao ívl d sgfcâca adoado. No qu, s ssa hpós é vrdadra, ao o Q.M.Rgr. como o Q.M.Rs. são, m méda, guas a σ o valor d F d a. Para E ( Q.M.Rgr. > E(Q.M.Rs., o valor d F d a sr supror a. β rmos Para lusrar a aplcação dsss cocos, volmos a cosdrar o mplo umérco da abla.. Para s mplo, obmos a sgu abla d aáls da varâca: Aáls da Varâca C.V. G.L. S.Q. Q.M. F Rgrssão Rsíduo 8 8 Toal 9 44 Ao ívl d sgfcâca d 5% para 8 graus d lbrdad, o valor críco d F é 5,3 (vr abla d valors crícos d F. O valor d F calculado, sdo supror ao valor críco, é sgfcavo ao ívl d 5%. Cosqüm, ramos a hpós H : β m favor da hpós alrava H : β, a ss ívl d sgfcâca. Um bom programa d aáls d rgrssão para compuador, além d calcular o valor d F, aprsa, ao lado, a probabldad d, a dsrbução órca, ocorrr um valor d F maor do qu o calculado. Traa-s da probabldad assocada à cauda da dsrbução, acma do valor calculado. Parc aproprado domá-la probabldad caudal do s. 4 Cohcdo ssa probabldad caudal, para sabr s o rsulado do s é ou ão sgfcavo, basa compará-lo com o ívl d sgfcâca adoado. O rsulado é sgfcavo smpr qu a probabldad caudal for gual ou mor do qu o ívl d sgfcâca. Tora-s dscssáro, ão, obr o valor críco da abla aproprada. Para o mplo umérco aprsado, o compuador forma qu a probabldad caudal assocada ao valor 36, a dsrbução d F com 8 graus d A 4 Nos os m glês ssa probabldad é domada p-valu, o qu m sdo raduzdo por valorp. 67

80 lbrdad, é,3. O valor calculado é, porao, sgfcavo ao ívl d 5% (é sgfcavo msmo qu vss sdo adoado um ívl d sgfcâca d,%... O cofc d drmação corrgdo para graus d lbrdad o cofc d varação Na sção.7 vmos qu o cofc d drmação é uma mdda dscrva da qualdad do ausamo obdo. Erao, o valor do cofc d drmação dpd do úmro d obsrvaçõs da amosra, ddo a crscr quado dmu; o lm, para, ríamos smpr r, pos dos poos drmam uma ra os dsvos são, porao, ulos. Vrmos a sgur como, uma ava d suprar ss cov, é dfdo o cofc d drmação corrgdo para graus d lbrdad, dcado por r. Sabmos qu r S.Q.Rgr. S.Q.Toal S.Q.Rs. S.Q.Toal Cosdrado o úmro d graus d lbrdad assocado à S.Q.Rs. à S.Q.Toal, o cofc d drmação corrgdo é dfdo por (S.Q.Rs. r ( r (.36 (S.Q.Toal ou r r ( r (.37 Ecludo o caso m qu r, mos r < r. No qu r pod sr gavo. Um ouro dcador da qualdad do ausamo obdo é o cofc d varação, dfdo por s CV, (.38 od s Q. M.R s.. O cofc d varação md a dsprsão rlava das obsrvaçõs, porqu, por dfção, é o coc r a mdda da dsprsão dos poos 68

81 m oro da ra (s o valor médo da varávl dpd (. O rsulado é ao mlhor quao mor for o cofc d varação. Va o rcíco.3 para uma aáls comparava dos valors do cofc d drmação do cofc d varação, m város casos... Esmavas das varâcas das smavas dos parâmros, s d hpóss a rspo dos parâmros rspcvos rvalos d cofaça Na sção.5 dduzmos qu V ( b σ qu V ( a + σ As rspcvas smavas são obdas subsudo σ por s Q.M.Rs., ou sa, Vˆ( b s s ( b (.39 Vˆ ( a s ( a + s (.4 As smavas dos dsvos padrõs s(a s(b são obdas rado a raz quadrada das rspcvas smavas d varâca. Dmosra-s qu, sdo váldas as ss prssuposçõs aprsadas a sção., clusv a qu sablc a ormaldad da dsrbução dos rros, ão os cocs b β ( b s( b a α ( a s( a 69

82 êm dsrbução d com graus d lbrdad. obmos Vamos dcar algumas das apas da dmosração o caso d (b. D (., mosrado qu b β u, b β é uma combação lar dos u. S os rros êm dsrbução ormal com méda zro, sgu-s qu b β ambém m dsrbução ormal com méda zro. Idcado o dsvo padrão d b por σ V (b, coclu-s qu b Z b β, σ b m dsrbução ormal rduzda. O úmro d graus d lbrdad assocados a (b dv sr rlacoado com o fao d s(b sr obdo a parr do quadrado médo rsdual, qu, coform dmosramos, m graus d lbrdad. Os valors (b (a podm sr ulzados para sar hpóss sobr os valors dos parâmros, como lusrarmos a sgur com bas o mplo umérco qu samos dsvolvdo. Calculmos, calm, as smavas das varâcas d b d a. V ˆ( b s 36 V ( a + s ˆ ,35 As smavas dos dsvos padrõs são s ( b 6 s ( a,35 Para sar a hpós H : β, cora a hpós alrava H : β, ao ívl d sgfcâca d 5%, calculamos A 7

83 ( b 6 / 6 Para um s blaral, o valor críco d com 8 graus d lbrdad, ao ívl d sgfcâca d 5%, é,36 (vr abla d valors crícos d. Porao, o valor calculado (b é sgfcavo ao ívl d 5%, ou sa, ramos H m favor d ss ívl d sgfcâca. H A, a No qu ss s é prfam quval ao s F fo a aáls d varâca, uma vz qu o valor d F calculado é gual ao quadrado do valor d calculado qu o valor críco d F é gual ao quadrado do valor críco d. No caso dos ss, os programas d compuador usualm forcm a probabldad d o valor órco d sr, m valor absoluo, maor do qu o valor calculado. Traa-s, porao, d uma probabldad caudal aproprada para ss blaras. S o s d hpóss for ularal, é cssáro dvdr por a probabldad caudal forcda plo compuador. Cosdrmos, agora, qu s dsa sar a hpós H : α 3 cora a hpós alrava H : α < 3, ao ívl d sgfcâca d 5%. Para sso calculamos A 3 ( a,69,35 A rgão d rção para s s é <,86. Como o valor calculado ão prc a ss rvalo, l ão é sgfcavo, ou sa, ão ramos, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós H : α 3. Também podm sr obdos rvalos d cofaça para os parâmros. Sdo o valor críco d com graus d lbrdad ao ívl d cofaça sablcdo, os rvalos d cofaça para β para α são, rspcvam, b s( b < β < b + s( b a s( a < α < a + s( a Vamos drmar, o mplo umérco qu samos dsvolvdo, o rvalo d cofaça para β ao ívl d cofaça d 9%. O valor críco d para 8 graus d lbrdad é,86. Eão o rvalo d 9% d cofaça é 7

84 7 6,86 6,86 + < < β,69 < β <,3.. Varâca d Ŷ rvalo d prvsão Vmos a sção.3 qu b + ˆ Eão, cov( ( ( ˆ ( b b V V V + + Cosdrado (.5, (.9 (., sgu-s qu ˆ ( σ σ σ + + V (.4 Dod ˆ ( ˆ ( ˆ s s V + Podmos smar o valor d corrspod a um valor d qu ão sa a amosra. S rsrvarmos o ídc para dcar os lmos prcs à amosra, dvmos roduzr aqu um ouro ídc (h para dcar ouros valors d. O ovo valor, h, pod cocdr ou ão com um dos valors ( da amosra. Tmos h h h b b a + + ˆ ˆ ( ˆ ( ˆ s s V h h h +

85 Erado a raz quadrada dss valor obmos a smava dos dsvo padrão d Ŷ h. Sdo o valor críco d com graus d lbrdad ao ívl d cofaça sablcdo, o rvalo d cofaça para E( h α + β é h ˆ s( ˆ < E( < ˆ + h s( ˆ h h h h Frqüm, mos rss m smar o valor d uma ova obsrvação ( h, rlava ao valor d h da varávl dpd, so é, qurmos prvr o valor da varávl dpd m uma ova obsrvação com + β + u h ˆ a + b α h h é h h. O rro d prvsão é h. O smador d ˆ h ( a α + ( b β h h u h Dzmos qu Ŷ h é uma prvsão ão-dcosa do valor d h porqu a spraça do rro d prvsão é gual a zro. Vrfca-s, ambém, qu E ˆ E(. No, rao, qu Para avalar a prcsão E( ˆ α + β. h h h ( h h Ŷ h como prvsão do valor da ova obsrvação, drmamos o rvalo d prvsão, como mosrarmos a sgur. No, calm, qu ao Ŷ h como h são varávs alaóras qu, d acordo com a prssuposção V, suas dsrbuçõs são dpds. Uma vz qu, para drmado valor ( h da varávl dpd, os valors d varam m oro d sua vrdadra méda, so é, m oro d E, com varâca σ, a varâca qu os rssa é ( h σ ˆ h + V ( h + + σ (.4 O rvalo d prvsão para a ova obsrvação ( h é ˆ h h + + s / < h < ˆ h + h + + s / O coco d rvalo d prvsão é aálogo ao d rvalo d cofaça, com a dfrça d qu, quao o rvalo d cofaça s rfr a uma cosa (o 73

86 parâmro β, por mplo, o rvalo d prvsão s rfr a uma varávl alaóra ( h, o caso. Cosdrmos, para mplfcar a aplcação dssas fórmulas, os pars d valors da abla.. Já vmos qu para sss dados 5 b. Eão ˆ 5 + (.43 h h,36. O valor críco d, com 8 graus d lbrdad, ao ívl d cofaça d 95%, é Lmbrado qu, o mplo umérco qu samos dsvolvdo,, 36 s, vrfcamos qu os lms do rvalo d cofaça para E, ao ívl d cofaça d 95%, são dados por por ( h ˆ h h ±,36 + ( Os lms do rvalo d prvsão para uma ova obsrvação ( h são dados ˆ h h ±, ( Ulzado as prssõs (.43, (.44 (.45 obvmos os valors d Ŷ h os lms dos rvalos d cofaça d prvsão qu são a abla.4 a fgura.3. No qu cosdramos algus valors d fora do rvalo para o qual dspúhamos d dados, ou sa, samos fazdo rapolação. 74

87 TABELA.4 Valors d Ŷ h, lms do rvalo d cofaça para E ( h, ao ívl d h Ŷ h cofaça d 95%. Irvalo d cofaça para E ( h Irvalo d prvsão para h,64 3,36,68 4,68 3,94 4,6,46 5,54 4 3,8 4,8,55 6, ,7 5,73,58 7, ,8 6,8 3,55 8, ,94 8,6 4,46 9, ,64 9,36 5,3, ,3,7 6,3,87 8 7,94,6 6,9 3,9 9 8,58 3,4 7,66 4,34 A aáls da prssão ˆ h / h ± + s, qu os dá os lms do rvalo d cofaça para E, prm afrmar qu a prcsão da smava d é ao maor quao: a mor for s, so é, quao mor for a dsprsão dos valors obsrvados d m oro da ra d rgrssão. b maor for c maor for da rspcva méda. afasa d., so é, quao maor for a dsprsão dos valors d m oro Podmos ão coclur qu: a O úmro d obsrvaçõs ( dv sr o maor possívl. b S possívl, dvmos scolhr valors d qu coduzm a um lvado valor para. Dvmos oar, ada, qu o rvalo d cofaça auma à mdda qu ( h h s 75

88 Fgura.3. A ra d rgrssão smada, o rvalo d cofaça para E o rvalo d prvsão para h. ( h Ao fazr uma rapolação é cssáro cosdrar, ada, um ouro problma, provavlm mas séro qu o crscmo da amplud do rvalo d cofaça ( ambém do rvalo d prvsão à mdda qu h s afasa d. Frqüm o modlo (lar ausado é razoávl para o rvalo cobro pla amosra, mas é absoluam aproprado para uma rapolação. A fgura.4 lusra a qusão. As obsrvaçõs da amosra prcm ao rvalo m qu a rlação r E ( é apromadam lar. Erao, s ulzarmos a ra smada para prvr valors à dra dss rvalo, os rsulados sarão oalm fora do alvo. 76

89 Fgura.4. O prgo da rapolação.3. O problma da spcfcação as fuçõs qu s oram lars por aamorfos Quado aplcamos aáls d rgrssão ao sudo da rlação fucoal r duas varávs, o problma da spcfcação coss m drmar a forma mamáca da fução qu srá ausada. Podmos scolhr, por mplo: I α + β II αβ III α β IV α + β V α + β + γ VI α + βρ Od α, β, γ ρsão parâmros a srm smados. A drmação da forma mamáca da fução pod sr fa d duas formas dfrs, muas vzs complmars: a ulzado o cohcmo qu mos a pror sobr o fômo. 77

90 b Emprgado o cohcmo adqurdo pla spção dos dados umércos dspoívs. É muo úl fazr um gráfco com os poos (,, vualm, gráfcos com os poos (l,, (, l ou (l, l. Frqüm, ausamos mas d um modlo scolhmos, com bas os rsulados saíscos obdos (cofcs d drmação, quadrados médos rsduas c., o modlo qu mlhor s ausa aos dados. Admdo um rro advo o modlo I fca α + β + u, qu é o modlo saísco sudado aé aqu. Mosrarmos agora qu os modlos II, III IV são mplos d modlos ãolars qu s rasformam m fuçõs lars por aamorfos, so é, por subsução dos valors d uma ou mas varávs por fuçõs dsas varávs. No caso do modlo II (fução pocal, admdo um rro mulplcavo ε, obmos o modlo saísco Aplcado logarmos, obmos αβ log logα + log β + logε ε Fazdo log Z, log α A, log β B mos log ε u Z A + B + u qu é o modlo saísco d uma rgrssão lar smpls d Z log m rlação a. Caso o rro u logε obdça às prssuposçõs dadas a sção., podmos aplcar à amosra d pars d valors Z os méodos d aáls d rgrssão á sudados. Obdas as smavas dos parâmros A B é fácl drmar as corrspods smavas d α d β. 78

91 No caso do modlo III (fução poêca, cohcdo r coomsas como fução d Cobb-Douglas, o corrspod modlo saísco é ou od Aplcado logarmos, obmos Z log, α β log logα + β log + logε ε Z A + β V + u A logα, V u log logε Vrfcamos qu a fução poêca corrspod a um modlo d rgrssão lar smpls os logarmos das duas varávs. Admdo um rro advo o modlo IV (hpérbol dá orgm ao sgu modlo saísco Basa fazr a aamorfos β α + + u V para obr o modlo d uma rgrssão lar smpls, α + βv + u Os méodos d ausamo dos modlos V VI srão vso ada. O modlo V é ausado como uma rgrssão múlpla com duas varávs plaaóras o modlo VI srá sudado o capíulo sobr rgrssão ão-lar. 79

92 .4. Esmava d máma vrossmlhaça da rgrssão Para drmar as smavas d máma vrossmlhaça dos parâmros α β α + β + u (.46 admrmos qu os rros ( u são varávs alaóras dpds com méda zro, varâca σ dsrbução ormal, ou sa, u N (, σ Eão, o valor da dsdad d probabldad para cro valor é f ( p [ ( α + β ] πσ σ Cosdrmos uma amosra d pars d valors,. S os valors d são fos as obsrvaçõs são dpds, a dsdad d probabldad d o modlo (.46 r grado as valors d é dada por L(, K, ; α, β, σ ( πσ p [ ( + α β σ ] ( πσ p [ ( α + β ] (.47 σ Os smadors d máma vrossmlhaça d α, β σ são os valors qu mamzam L α, β, σ, K,, qu é a fução d vrossmlhaça. Uma vz qu ( α β só aparcm o po gavo d (.47, cocluímos qu o mámo dssa fução corrspod ao mímo d [ ( α + β ] Porao, as smavas d máma vrossmlhaça dos parâmros α β cocdm com as smavas d mímos quadrados, dsd qu a dsrbução dos rros sa ormal. 8

93 O lor pod vrfcar qu a smava d máma vrossmlhaça d σ é ˆ σ.5. Aáls d rgrssão quado é uma varávl alaóra Cosdrmos o modlo α + β + u od é uma varávl alaóra cua dsrbução ão dpd d α, β ou σ. Vamos mar as prssuposçõs I, III, IV, V VI, dadas a sção., prssupor ada qu os rros u são dpds dos valors d. Eão ão-corrlacoados, so é, E [( µ u ]. u são Cosdrado as dsrbuçõs codcoas dos (ou dos u, dados, pods vrfcar qu odos os rsulados obdos são váldos, dsd qu rprados como codcoados aos valors d obsrvados. Erao, as rsulados codcoas podm sr sasfaóros para o problma m sudo. É o caso, por mplo, d um rvalo d cofaça para β, váldo apas para o couo dos valors d obsrvados. Dvmos salar, o ao, qu msmo sdo uma varávl alaóra, s form vrdadras as prssuposçõs ucadas ( é crucal qu as dsrbuçõs d u sam dpds, é possívl dmosrar qu os smadors d mímos quadrados são ão-dcosos cocdm com os smadors d máma vrossmlhaça. Também s dmosra qu os procdmos para a ralzação d ss d hpóss para a drmação d rvalos d cofaça, aprsados a sção., couam váldos. É rssa oar qu a rpração do rvalo d 95% d cofaça para β, por mplo, passa a sr a sgu: para um grad úmro d amosras, od ao os valors d como os valors d varam d uma amosra para oura, m apromadam 95% dos casos os rvalos d cofaça, obdos da mara dcada a sção., coram o valor vrdadro (β. 8

94 Ercícos.. É dada uma amosra d pars d valors Adm-s qu as varávs são rlacoadas d acordo com o modlo + β + u α, od os dsrbução ormal d méda zro varâca σ. u são varávs alaóras dpds com a Drm as smavas dos parâmros da rgrssão lar. b Ts H : β ao ívl d sgfcâca d 5%. c Calcul o cofc d drmação. d Drm a smava d para 3 o rspcvo rvalo d cofaça ao ívl d cofaça d 95%... Sa b o cofc d rgrssão d m rlação a. Sa d o cofc d rgrssão d Z m rlação a. Sabdo qu Z m +, drm a rlação s r as smava d mímos quadrados d b d..3. Dmosr qu uma rgrssão lar smpls o valor d F da aáls d varâca da rgrssão é gual ao quadrado do valor d (b, rlavo à hpós da uldad β (od β é o cofc d rgrssão..4. Adm-s qu as varávs são rlacoadas d acordo com o modlo + β + u α, od os dsrbução ormal d méda zro varâca σ. u são varávs alaóras dpds com 8

95 São dados os sgus valors, obdos d uma amosra alaóra d 4 obsrvaçõs: a Drm as smavas dos parâmros da rgrssão d m rlação a os rspcvos dsvos padrõs. b Calcul o cofc d drmação da rgrssão. c Ts a hpós H : β cora a hpós alrava H : β >, ao ívl d sgfcâca d,5%. A.5. É dada uma amosra d 5 pars d valors: 3, 7,5 3 7, 4,5 5, Adm-s qu as varávs são rlacoadas d acordo com o modlo + β + u α, od os dsrbução ormal d méda zro varâca σ. u são varávs alaóras dpds com a Drm as smavas dos parâmros da rgrssão lar. b Calcul o cofc d drmação faça a aáls d varâca da rgrssão, cosdrado o ívl d sgfcâca d 5%. c Ts, ao ívl d sgfcâca d,5%, a hpós H : β cora a hpós alrava H : β. A d Ts, ao ívl d sgfcâca d,5%, a hpós H : α 3 cora a hpós alrava H : α < 3. A Drm a smava d para 5 o rspcvo rvalo d cofaça ao ívl d cofaça d 95%..6. São dados os 5 pars d valors: 83

96 Obmos, 6,, 36 Adm-s qu as varávs são rlacoadas d acordo com o modlo α + β + u qu são váldas as prssuposçõs usuas a rspo dos rros u. a Drm as smavas dos parâmros da rgrssão lar. b Calcul o cofc d drmação. c Vrfqu s o cofc d drmação é sascam dfr d zro ao ívl d sgfcâca d %. d Ts a hpós H : β 6 cora a hpós alrava H : β > 6, ao ívl d sgfcâca d %. Ts a hpós H : α 6 cora a hpós alrava H : α 6, ao ívl d sgfcâca d %. f Drm o rvalo d prvsão para uma ova obsrvação d com, ao ívl d cofaça d 95%..7. Com bas m 5 pars d valors das varávs fo obda a quação d rgrssão ˆ, 4 + A A A smava do dsvo padrão da smava do cofc d rgrssão é,. Calcul o cofc d drmação s a hpós d qu o cofc agular da quação é gual a zro, ao ívl d sgfcâca d %..8. Mosr qu b é um smador coss d β. 84

97 .9. A parr d pars d valors, obmos, plo méodo d mímos quadrados, a quação d rgrssão ˆ a + b. Sdo Z +, mos pars d valors Z,, a parr dos quas obmos a quação d rgrssão: Z ˆ c + d Qu rlação s r b d? E r a c? Sdo b d as smavas dos parâmros β δ, rspcvam, dmosr qu o valor d rlavo à hpós da uldad H : β é gual ao valor d rlavo à hpós da uldad H : δ, ou sa, qu b d s( b s( d.. Dados os pars d valors abao, qual é o modlo qu você usara como fara para obr uma rlação qu lh prmss smar a parr d valors d?, 8, 4 3, 6 3, 8 5,.. A parr d uma amosra d 7 pars d valors fo obda a quação d rgrssão d m rlação a ˆ 5, +, Sabdo qu s,5 ( s Q.M.Rs., qu a smava do dsvo padrão d é s ( 3, qu 7, 5, a drm o rvalo d cofaça do cofc d rgrssão ao ívl d cofaça d 95%. b Ts, ao ívl d sgfcâca d %, a hpós d qu o cofc d rgrssão da população é,7. 85

98 .. Para aumar a prcsão da smava do cofc d rgrssão, qu dvmos fazr com rlação à scolha dos valors qu srão ulzados a aáls d rgrssão?.3. Dscua, rapdam, os problmas rlacoados com a rapolação, spcalm o campo sococoômco..4. Supoha qu uma fábrca dspõ dos sgus dados: Quadad Produzda Cuso (R$ Por mo d uma aáls d rgrssão, sablça: a O valor mas provávl dos cusos fos o rspcvo rvalo d cofaça, ao ívl d cofaça d 95%. b A quadad para a qual o lucro é ulo, admdo um prço d vda d R$ 8, por udad..5. Com bas m pars d valors das varávs fo obda a quação d rgrssão ˆ, com r, 64. Sab-s qu a smava ão-dcosa da varâca d é 64. Ts, ao ívl d sgfcâca d,5%, a hpós H : β, cora a hpós alrava H : β >. A.6. Numa aáls d rgrssão ( α + β + u foram obdos, a parr d uma amosra d 6 pars d valors, os sgus rsulados: 6 r ; s( 3; s( 5; 3 5 a Drm o rvalo d 95% d cofaça para β, sabdo qu é uma fução crsc d. b Ts, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós H : α cora a hpós alrava H : α >. A.7. Admdo qu as varávs são rlacoadas coform o modlo 86

99 od β α + + u, u rprsa rros alaóros dpds com méda zro varâca cosa, drm as smavas dos parâmros α β, com bas os sgus dados: 9, 5 8,5 8,5 3 6,5 6 5,.8. Sam as varávs, rlacoadas d acordo com o modlo α + β + u od u são rros alaóros. Dados os rsulados abao, obdos d uma amosra alaóra com 5 obsrvaçõs,, a Calcul as smavas dos parâmros α β as smavas das rspcvas varâcas. Qu prssuposçõs dvm sr fas para qu sas smavas sam mparcas d varâca míma? b Ts as sgus hpóss ao ívl d sgfcâca d 5%: I H : α cora a hpós alrava H : α II H : β cora a hpós alrava H : β < Qu prssuposção adcoal dv sr fa para sar ssas hpóss? c Calcul o valor do cofc d drmação da rgrssão rpr o rsulado. A A 87

100 .9. São dados os sgus valors, obdos d uma amosra alaóra com obsrvaçõs:,5 3, ,5,5 Adm-s qu as varávs são rlacoadas d acordo com o modlo α + β + u, od u são varávs alaóras homocdáscas, ormalm dsrbuídas com méda zro. Pod-s vrfcar qu, 55, 5,. a Drm a ra d rgrssão d m rlação a, d acordo com o méodo dos mímos quadrados. b Calcul o cofc d drmação vrfqu s é sascam dfr d zro, aravés do s F, cosdrado um ívl d sgfcâca d 5%. c Ts a hpós H : β cora a hpós alrava H : β >, ao ívl d sgfcâca d 5%. d Ts a hpós H : α cora a hpós alrava H : α, ao ívl d sgfcâca d %. Drm o rvalo d prvsão para uma ova obsrvação d com +, ao ívl d cofaça d 95%. f Cosdr qu a quação d rgrssão obda é a dmada d um produo m cro mrcado, sdo o prço a quadad procurada. S o produo m qusão é vddo por um moopolsa su cuso médo d produção é cosa gual a Cr$,, qu prço o moopolsa dv sablcr para mamzar sua rda líquda? Esm a quadad qu srá vdda a ss prço drm o rvalo d cofaça corrspod, ao ívl d cofaça d 95%. A A.. Sa a quadad d cro produo, m mlhars d udads, o rspcvo cuso oal d produção m mlhars d cruzros. Adm-s qu o cuso margal sa cosa. É dada a sgu amosra d pars d valors 88

101 (raídos d H.W. GUTHRIE. Sascal Mhods Ecoomcs. Rchard D. Irw, 966, p. 8-9: ( udads (Cr$, Pod-s vrfcar qu 55, 5, 385, a Esm a fução d cuso oal. b Ts, ao ívl d sgfcâca d %, a hpós d qu o cuso margal é ulo. c Drm o rvalo d 95% d cofaça para o valor dos cusos fos. d Calcul o cofc d drmação da rgrssão. S o produor vd m rgm d compção prfa ao prço d Cr$ 3,5 por udad, quaas udads dv produzr para qu sua rda líquda sa d Cr$.,? f Drm a smava d para o rspcvo rvalo d cofaça, ao ívl d cofaça d 95%... É dada uma amosra d 4 pars d valors:

102 Adm-s qu as varávs são rlacoadas d acordo com o modlo α + β + u cosa dsrbução ormal., od os u são rros dpds, d méda zro, varâca a Drm as smavas dos parâmros da rgrssão lar. b Calcul o cofc d drmação da rgrssão. c Ts, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós H : β 5 cora a hpós alrava H : β 5. A d Drm a smava d para o rvalo d cofaça para E (, ao ívl d cofaça d 95%... A abla ao lado mosra os valors d m uma amosra com 8 obsrvaçõs. Adm-s qu ssas varávs são rlacoadas d acordo com o modlo usual d rgrssão lar smpls. Pod-s vrfcar qu 3, 96, 68, a Drm a quação d rgrssão d cora d acordo com o méodo d mímos quadrados. b Obha uma smava ão-ddosa da varâca do rro do modlo. c Vrfqu s a fluêca d sobr é sascam sgfcava ao ívl d %. d Drm o rvalo d 9% d cofaça para a varação sprada d quado dmu 3 udads ( 3. 9

103 .3. São dados 3 couos d 6 pars d valors (,,,..., 6 Couo A Couo B Couo C 5,5,5,5 6,5 9,5,5 3 9, 3, 3 4, 4,5 4 9,5 4 5,5 5 3,5 5,5 5 8,5 6 5, 6, 6, Para cada um dsss couos, obha as smavas d mímos quadrados dos parâmros da rgrssão lar d cora. Calcul os valors do cofc d drmação do cofc d varação aals comparavam os rsulados. Para mlhor vsualzação, faça, para cada couo, um gráfco mosrado os poos obsrvados a ra d rgrssão ausada..4. Dada uma amosra d pars d valors, (,...,, mosr qu a smava dos cofc agular da ra, obda aravés do méodo dos mímos quadrados (b, é uma méda podrada das dclvdads das ras qu passam plos poos (, plo poo cral da amosra (,..5. A parr d uma amosra d 7 pars d valors, fo obda a quação d rgrssão com um cofc d drmação ˆ 3 + 5, r 3 A smava do dsvo padrão d é s(. a Drm o rvalo d cofaça do cofc d rgrssão, ao ívl d cofaça d 95%. b Ts, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós d qu o cofc d rgrssão da população é 8,5, cosdrado a hpós alrava d qu o cofc d rgrssão da população é mor do qu 8,5..6. Sa o cuso d carrgamo mcâco por olada d caa-d-açúcar. Sa o úmro d oladas carrgadas, por carrgadra por ao. Supoha qu um psqusador lvaou os cusos d carrgamo mcâco da caa-d-açúcar m dvrsas proprdads, obdo uma amosra d pars d valors,. 9

104 Admdo qu os cusos oas d carrgamo mcâco por ao sam cosuídos por uma par fa (qu ão vara com por uma par varávl (d al mara qu o cuso varávl por olada sa cosa, qu modlo mamáco dv sr usado para sudar, por mo da aáls d rgrssão, a varação do cuso d carrgamo por olada d caa-d-açúcar m fução do úmro d oladas carrgadas? Qu aamorfos dvrá sr fa?.7. Aalsado a sér d valors do Produo Nacoal Bruo (PNB d drmado país, dura um príodo d aos, vrfcou-s qu são apromadam cosas os crmos auas rlavos do PNB. Qual é a quação (modlo mamáco qu dv sr usada a aáls d rgrssão dsss dados? Qu rasformação d varávs (aamorfos dv sr fa para drmar as smavas dos parâmros aravés do méodo dos mímos quadrados? Sabdo qu, ulzado logarmos dcmas, a smava do cofc d rgrssão é,93 a smava do rspcvo dsvo padrão é,, s, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós d qu a aa d crscmo é 4% ao ao (sabs qu log 4,7..8. Admdo qu as varávs são rlacoadas coform o modlo α β ε, od ε são rros mulplcavos, drm as smavas dos parâmros α β com bas os sgus dados: Supoha qu um psqusador sá drmado a fução d dmada do produo A m drmado mrcado, com bas m uma sér d 8 pars d valors,, od é o prço plo qual fo vdda a quadad do produo m drmado rvalo d mpo. Admdo qu a lascdad-prço da dmada do produo é cosa, qual é a quação (modlo mamáco qu o psqusador dv usar? Qu rasformação d varávl (aamorfos dvrá sr fa para drmar as smavas dos parâmros aravés do méodo dos 9

105 mímos quadrados? Sabdo qu a smava do cofc d rgrssão obda é,4, com um dsvo padrão smado m,, s, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós d qu a lascdad-prço é gual a..3. Sa uma gradza coômca qualqur sa o mpo, m aos. S admrmos qu a aa gomérca d crscmo d é cosa, qu modlo d rgrssão dv sr adoado? Sabdo qu, m cco aos coscuvos, assumu os valors 4, 4, 3, 64 3, qual é a smava da aa d crscmo d acordo com o méodo dos mímos quadrados? Faça a aáls d varâca da rgrssão..3. Em sudos da varação do cosumo d cros produos m fução da rda da β famíla m sdo usada a fução p α, od é o dspêdo com o produo cosdrado é a rda da famíla. Mosr as aamorfoss qu dvm sr fas para qu as fórmulas d rgrssão lar smpls sam usadas para ausar ssa fução, ulzado dados obdos d uma amosra alaóra..3. a Dduza, d acordo com o méodo dos mímos quadrados, a fórmula para smar o parâmro do modlo β + u com,...,, od E (, u E ( u σ E ( u u para b Prov qu o smador obdo (b é ão-dcoso c Prov qu a varâca da smava obda é V ( b σ d Prov qu o smador obdo é um smador lar ão-dcoso d varâca míma Mosr qu a soma d quadrados rsdual é dada por 93

106 ( b f Dmosr qu a spraça da soma d quadrados rsdual é gual a ( σ g Admdo qu é a rca d uma mprsa comrcal m cro rvalo d mpo qu é a quadad vdda (m udads físcas, aus aos pars d valors, dados a sgur, uma ra qu pass pla orgm dos os. Ts, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós H : β Dados um couo d pars d valors, (,..., m;,...,, ausas um couo d m ras parallas ˆ a + b Mosr qu as smavas dos parâmros, d acordo com o méodo dos mímos quadrados, são dadas por ( ( b ( a b od (Eraído d DRAPER SMITH, 996, p

107 .34. É dada uma amosra d pars d valors Obmos 96, 96, 94 Adm-s qu as varávs são rlacoadas d acordo com o modlo α + β + u, od os u são varávs alaóras dpds com dsrbução ormal d méda zro varâca σ. a Drm as smavas dos parâmros da rgrssão lar. b Calcul o cofc d drmação da rgrssão faça a aáls d varâca, rprado o s F ralzado. Cosdr um ívl d sgfcâca d %. c Ts, ao ívl d sgfcâca d %, a hpós d qu β cora a hpós d qu β >. d Drm a smava d para 6 o rvalo d cofaça para E ( 6, ao ívl d sgfcâca d 99%. Drm o valor da smava da varação m E(, so é, sm θ E(, quado o valor d auma d udads (. Qual é a varâca d θˆ? Ts, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós d qu θ,5 cora a hpós alrava d qu θ >, Mosr qu a covarâca r duas smavas d ( ˆ Ŷ, para, rspcvam é ˆ ˆ cov(, + σ.36. Sa a quadad d adubo colocada o solo, m doss por hcar, sa a produvdad obda, m oladas por hcar. Adm-s qu ssas varávs são rlacoadas d acordo com a fução 95

108 α + β + u, od α β são parâmros os u são varávs alaóras dpds com dsrbução ormal d méda zro varâca σ. Um prmo com 5 parclas forcu os sgus rsulados:,7 4,4 4 5,3 9 5,4 6 7, a Drm as smavas d mímos quadrados (a b d α β. b Calcul o cofc d drmação da rgrssão. c Drm o rvalo d 95% d cofaça para α. d Drm o rvalo d 95% d cofaça para β. Drm a dos coômca d adubo admdo qu o prço da olada do produo sa gual ao dobro do prço da dos d adubo (á cosdrados os cusos d colocação do adubo, uros /ou subsídos, c.. f Drm o rvalo d 95% d cofaça para o vrdadro valor (χ da dos coômca, para as codçõs do m aror (Sugsão: drm calm, os lms do rvalo d cofaça para χ, dpos lv ao quadrado. g Drm o rvalo d prvsão para a produção d uma ova parcla com, cosdrado um ívl d cofaça d 95%..37. Cosdr o modlo β + u com fos, E(u, E ( u σ E ( u u para. Sab-s qu o smador d mímos quadrados para β é b, ão- dcoso, com V ( b σ (vr rcíco.3. Um smador alravo para β é ˆ β /, qu é a clação da ra udo a orgm do ssma d os ao poo,. 96

109 a Prov qu βˆ é um smador lar ão-dcoso. b Dduza a prssão qu dá V( βˆ m fução d σ dos valors d. c Prov (sm ulzar o orma d Gaus-Markov qu V( βˆ V(b. Em qu codçõs m-s V( βˆ V(b?.38. Cosdr o modlo d rgrssão lar smpls α + β + u, od u são rros alaóros dpds com méda zro varâca σ, os são fos, com para,,..., 9. Sam as médas d para as h prmras as h úlmas obsrvaçõs, so é, h h h 9 h Vrfqu os valors d aprsados a abla abao h 9,5 8, ,5 7,5 Sam as médas dos corrspods valors d, so é, h h h 9 h Df-s o sgu smador d β: b* h a Prov qu b* h u β +, u od u h h u u h 9 u h b Mosr qu b * h é um smador ão-dcoso d β. σ c Dmosr qu V ( b* h h( 97

110 d Faça uma abla mosrado os valors d V b para h,, 3, 4. Aprs, a msma abla, para cada valor d h, a fcêca rlava d ( *h m comparação com o smador d mímos quadrados. b * h.. a ˆ 4 +, 9 b F 3,89, ra-s H : β c r,976 Rsposas d ˆ 9, 7. Os lms do rvalo d cofaça são 8,89,5..4. a ˆ + 4 ; s(b ; s(a, 4 b r, 57 7 c 4, sgfcavo.5. a ˆ + b r, 84 ; F 6, sgfcavo c 8, sgfcavo d 6,63, sgfcavo ˆ ; 8, a 5,9.6. a ˆ 3.7. b r, 93 3 c F 36, sgfcavo d 6, ão-sgfcavo,45, sgfcavo f 5,4 a 44,58 r ; F, sgfcavo 3.8. Uma vz qu E(b β, basa mosrar qu lm V ( b, o qu acoc dsd qu crsc dfdam quado crsc..9. d b + c a 98

111 .. Noado qu os acréscmos rlavos ( / d são apromadam cosas, coclu-s qu o modlo mamáco aproprado é αβ. A msma coclusão é obda oado qu os poos (, são apromadam alhados, quado marcados m um gráfco com o o das ordadas m scala logarímca, so é, oado qu os poos d coordadas log são apromadam alhados... a ±, b 3,59, sgfcavo.4. a 5 ± 5 b 4,3.5. 4, ão-sgfcavo.6. a,6 a,7 b,954, sgfcavo.7. ˆ 6 4, a a, b, V ˆ ( a, 75, V ˆ ( b, 47 b I 5,, sgfcavo II 3,, sgfcavo c r, 833 ou 83,3%.9. a ˆ 3,5 b r ; F 4, ão-sgfcavo 3 c, ão-sgfcavo d 3,7, ão-sgfcavo,84 a 3,68 f 4; ˆ ;,4 a,4.. a ˆ b 7,3, sgfcavo; ra-s H : β c,5 < α < 6, 49 d r, 974, so é, udads f 34 ±,4 99

112 .. a ˆ 6 +,5 7 b r, 59 5 c 3,49, ão-sgfcavo ( 4, 33 d ˆ 9 3,6 < E( < 4,38.. a ˆ.3. 4 b s 4, c F 34,9, sgfcavo ( F 3, 7 d 4,9 < E( < 7,99 Esaísca Couo A B C a 3 b 5 S.Q.Rs. S.Q.Rgr. 7 7 r 98,6% 98,6% CV 5% 5% %.5. a,94 < β < 9,6 b,, sgfcavo Aamorfos: V.7. Aamorfos: log (PNB,3, ão-sgfcavo.8. ˆ.9. A B,5 Aamorfoss:.3. αβ ε Z log V log,4, ão-sgfcavo

113 Adoado como orgm do mpo ( o ao m qu fo fuada a rcra das obsrvaçõs cosdradas, obmos ˆ 6 A aa d crscmo é % ao ao F 7,5.3. Aamorfoss: Z l.3. g ˆ V ; 7,33, sgfcavo..34. a ˆ + b r, 74 ; F 8,8, sgfcavo ( F, 4 c 5, 37, sgfcavo (, 76 d ˆ 4 ; 9,9 < E( 6 < 8,9 σ ˆ θ 4 ; V ( ˆ θ ( V ( b ; 9 5 V ˆ ( ˆ θ,, sgfcavo ( 8 9,.36. a a 3, b b r, 93 c,78 < α < 4, d,5 < β <,5 Uma dos por hcar f,5 < χ <,5 ou,5 < χ <,5 g, < h < 5,8 σ.37. b V ( ˆ β ( c As varâcas são guas apas quado odos os valors d form guas.

114 σ.38. V ( b 6 h V b Efcêca rlava 8 σ /3,533 7 σ /49, σ /54,9 4 5 σ /5,833 ( *h

115 3. CORRELAÇÃO Vmos qu uma aáls d rgrssão lar smpls, s drma, aravés d smavas dos parâmros, como uma varávl rc, ou parc rcr, fo sobr uma oura varávl. Na aáls d corrlação, qu vrmos aqu, s procura drmar o grau d rlacoamo r duas varávs, ou sa, s procura mdr a covarabldad r las. Na aáls d rgrssão é cssáro dsgur a varávl dpd a varávl plaaóra; a aáls d corrlação, al dsção ão é cssára. 3.. O cofc d corrlação smpls para uma amosra Icalm, dsvolvrmos o coco do cofc d corrlação (r para uma amosra d pars d valors, (,,...,. Para obr uma mdda d corrlação sm a fluêca da méda (dêca cral da varâca (dsprsão, vamos ulzar varávs rduzdas, dfdas por v s( (3. z s( (3. Como as varávs rduzdas ão êm dmsão, sa rasformação ambém lma qualqur fluêca da udad d mdda. As fguras 3., aprsam rês dfrs rsulados qu podram sr obdos quado colocamos os poos ( v, z m um gráfco. 3

116 Fgura 3.. Corrlação Posva Fgura 3.. Corrlação gava Fgura 3.3. Corrlação apromadam gual a zro S são posvam corrlacoados, so é, s dm a varar o msmo sdo, ão a maora dos poos ( v, z sará o o o 3 o quadras, como ocorr a fgura 3..Uma vz qu, para poos localzados sss quadras, o produo v z é posvo, o valor d v z srá, s caso, posvo rlavam alo. S são gavam corrlacoados, so é, s dm a varar m sdos oposos, ão a maora dos poos ( v, z sará o o o 4 o quadras, como ocorr a fgura 3.. Uma vz qu, para poos localzados sss quadras, o produo v z é gavo, o valor d v z rlavam alo. srá, s caso, gavo d valor absoluo S ão s corrlação, os poos ( v, z sarão dsrbuídos plos quaro quadras, como ocorr a fgura 3.3. Eão v z srá gual a zro ou rá valor absoluo pquo, pos as parclas posvas (corrspoddo a poos o o 3 o quadras são auladas plas parclas gavas (corrspoddo a poos o o 4 o quadras. 4

117 Porao, o valor d v z pod sr ulzado como mdda d corrlação. Erao, m rmos absoluos, ss valor d a crscr com o úmro d obsrvaçõs. Eão, o cofc d corrlação smpls é dfdo por v z r Cosdrado (3. (3., obmos r (3.3 Comparado (3.3 com (.8, vrfcamos qu o quadrado do cofc d corrlação é gual ao cofc d drmação da rgrssão lar smpls. Já vmos qu Eão, r r É mpora assalar qu um cofc d corrlação gual a zro ão mplca m ausêca d rlação r as duas varávs. Isso é mosrado a fgura 3.4, od, apsar d o cofc d corrlação sr ulo, é vd qu s uma rlação parabólca r. Porao, um cofc d corrlação ulo som mplca ausêca d rlação lar r as duas varávs. Fgura 3.4. Rlação parabólca r, od r 5

118 Para mplfcar, cosdrmos os 6 pars d valors dados a abla 3. rprsados a fgura 3.5. Pod-s magar qu cada par d valors são as oas radas por um aluo m duas dscplas. Tabla 3. Amosra d 6 pars d valors, Obmos ; ( ( r,5 6 4 Vamos a rlação qu s r o cofc d corrlação o cofc d rgrssão. Como b, vrfcamos, cosdrado (3.3, qu od s( b r r (3.4 s( s( s( Mosrarmos agora qu o quadrado do cofc d corrlação é gual ao produo das smavas dos cofcs d rgrssão d m rlação a d m 6

119 rlação a. Rprsado ssas smavas por scrvr Sgu-s, mdaam, qu b b b b rspcvam, podmos r b b (3.5 Para a amosra aprsada a abla 3., mos: 4 4,5, b 6 4 b b b,5 r Também podmos obr as ras d rgrssão d m rlação a d m rlação a, qu são, rspcvam, ˆ 5,5 +, 5 ˆ + Fgura 3.5. Ras d rgrssão d m rlação a d m rlação a, para os dados da abla 3.. 7

120 Para lusrar mlhor o coco d corrlação, cosdrmos um ouro mplo. A abla 3., rascra d ul Kdall (94, aprsa as frqüêcas (m cas d casamos a Iglarra a Irlada, m 933, coform as dads do mardo ( da mulhr (. TABELA 3.. Númro d casamos m fução da dad do mardo da mulhr, a Iglarra a Irlada, m 933. Idad Idad do mardo m aos (lm fror do rvalo da Toal mulhr Toal Fo:ul Kdall (94, p. 98. Podmos, para faclar os cálculos, ulzar as sgus varávs aulars: 7,5 V,,,..., 3 5 (3.6 7,5 Z,,,..., 5 (3.7 Dvmos rssalar qu o cofc d corrlação r V Z é gual ao cofc d corrlação r (vr rcíco 3.9. No qu ssas varávs aulars assumm valor zro o poo médo da class d 5 a 3 aos são mddas m udads d 5 aos. Rprsado por para cada class d dad do mardo por dad da mulhr, mos: f as frqüêcas m cada cla, por F as frqüêcas oas G as frqüêcas oas para cada class d 8

121 V V F 9 353,94 Z Z G 74, v F V F ( V F , z G Z G ( Z G , v z f V Z f ( V F ( Z G 9( ,98 r ( v v z f F ( z G,8 As ras d rgrssão d Z m rlação a V d V m rlação a Z são, rspcvam, Z ˆ,353 +,6858( V,94 V ˆ,94 +,936( Z +,353 Cosdrado (3.6 (3.7 obmos, após smplfcaçõs, as quaçõs d rgrssão d m rlação a d m rlação a : ˆ 6,5 +, 686 ˆ 4,3 +, 936 É rssa assalar, a abla 3., as clas modas das dsrbuçõs codcoas d ; las mosram, grossram, a posção da ra d rgrssão d m rlação a. Da msma mara, as clas modas das dsrbuçõs d mosram, apromadam, a posção da ra d rgrssão d m rlação a. 9

122 3.. Aplcação da aáls d rgrssão a uma população com dsrbução ormal bdmsoal O cofc d corrlação d uma população é dfdo por µ ρ E σ µ σ cov(, σ σ cov(, V ( V ( Dvmos lmbrar, aqu, qu: a S são dpds, mos cov(,, porao, ρ. b Dados cov(, ρ, ão é possívl coclur, m gral, qu as varávs são dpds. Iso é mosrado o mplo aprsado a abla.3 (sção.5 o caso lusrado a fgura 3.4. c S as varávs êm dsrbução ormal, dmosra-s qu cov(, ρ é codção sufc para qu as varávs sam dpds. Para fazr frêca saísca a rspo d ρ, pardo do cofc d corrlação (r da amosra, prssupomos qu as varávs aprsam uma dsrbução ormal bdmsoal. Eão samos cludo casos como o rprsado a fgura 3.4. H A Para sar a hpós da uldad H : ρ cora a hpós alrava : ρ, ulzamos o s r ( F, com graus d lbrdad. r Pod-s vrfcar qu o valor d F, obdo por ssa fórmula, é gual ao valor d F da aáls d varâca da rgrssão, obdo dvddo o quadrado médo d rgrssão plo quadrado médo rsdual. Porao, sar a hpós H : ρ quval a sar a hpós H : β. A fução d dsdad d uma dsrbução ormal bdmsoal corrspod a uma suprfíc cuas sçõs, ao a drção do o dos como a drção do o dos, são curvas ormas. As sçõs horzoas dssa suprfíc são lpss d soprobabldad, duas das quas são raçadas a fgura 3.6.

123 Vamos mosrar agora qu os poos C, E, F G da fgura 3.6, od ras parallas ao o dos agcam lpss d soprobabldad, são os poos médos das dsrbuçõs codcoas d. Cosdrmos, parcularm, o plao prpdcular ao o dos passado por A; ss plao scoa fas lpss d soprobabldad, mas odas las d ívl fror ao da lps d soprobabldad qu agca o plao m C, qu é, porao, a moda da curva ormal dfda pla rscção do plao m qusão com a suprfíc d dsdad da população bdmsoal. Como a moda d uma dsrbução ormal cocd com a méda, cocluímos qu o poo C corrspod à méda da dsrbução d, dado OA. Para os poos E, F G val, vdm, o msmo racocío. Cosdrado, ada, qu, s pod dmosrar qu as dsrbuçõs codcoas d êm varâca cosa, cocluímos qu a ra GC é a vrdadra ra d rgrssão d m rlação a, ou sa, é a ra E( α + β. Pod-s mosrar, aalogam, qu a ra PL é a vrdadra ra d rgrssão d m rlação a. A ra E( α + β (ou uma smava obda d uma amosra podra sr usada para, dado um valor d, prvr o corrspod valor d. Cosdrmos, por mplo, qu são, rspcvam, as oas d Mamáca Esaísca obdas por aluos dssas duas dscplas. S um aluo obv oa OA m Mamáca, prvê-s qu obha oa AC m Esaísca. É rssa oar qu AC é uma méda podrada d AD AB µ, com os psos dpddo do valor d ρ. Para dr sso, cosdrmos, calm, os casos rmos d ρ ρ. À mdda qu ρ auma, as lpss d soprobabldad s alogam a drção do su o prcpal o âgulo r as ras d rgrssão GC PL dmu, d mara qu o lm, quado ρ, as ras d rgrssão GC PL cocdm com o o prcpal a mlhor smava d para OA sra AD. Por ouro lado, quado ρ, so é, quado ão s corrlação, a mlhor smava d srá µ, qualqur qu sa o valor d. Num caso rmdáro m qu < ρ <, a mlhor smava d para OA sará r os valors AB µ AD, sdo próma d AB quado ρ for pquo s apromado d AD à mdda qu ρ s aproma d.

124 Fgura 3.6. As lpss d soprobabldad d uma dsrbução ormal bdmsoal as ras d rgrssão d m rlação a d m rlação a. EERCÍCIOS 3.. Calcul o cofc d corrlação para a sgu amosra d pars d valors, a Ts, ao ívl d sgfcâca d %, a hpós d uldad H : ρ cora a hpós alrava ρ. b Drm as ras d rgrssão d m rlação a d m rlação a. Vrfqu qu b b r. c Admdo qu ham dsrbução ormal bdmsoal, qual é a smava d para 4? E para 9? Qual é a smava d para 3? E para 9?

125 3.. Sdo θ o âgulo r as ras d rgrssão d m rlação a d m rlação a, prov qu r r s( s( gθ b + b r s ( s ( + Com bas sa rlação drm o âgulo formado plas duas ras d rgrssão o caso da amosra d 6 pars d valors da abla Dados: ; 66; 6 ; 76; 93 a Drm o cofc d corrlação r. b Drm as smavas dos parâmros da quação d rgrssão lar d m rlação a. c Admdo qu as varávs são rlacoadas d acordo com o modlo α + β + u, od u são rros com méda zro, varâca cosa dsrbução ormal, s a hpós da uldad H : β, cora a hpós alrava H : β >, cosdrado um ívl d sgfcâca d 5%. A 3.4. Com bas o gráfco dado a sgur, drm gomrcam (sm usar as fórmulas comus d aáls d rgrssão: a A ra d rgrssão d m rlação a. b A ra d rgrssão d m rlação a. c O cofc d corrlação (r. d O valor smado d para. O valor smado d para. 3

126 3.5. Com bas o gráfco dado a sgur, drm gomrcam (sm usar as fórmulas comus d aáls d rgrssão: a A ra d rgrssão d m rlação a. b A ra d rgrssão d m rlação a. c O cofc d corrlação (r. d O valor smado d para 6. O valor smado d para Os dados a sgur foram aprsados m dfsa da s d qu das com alo or d proía rduzm a frldad. a Esablça, sm calcular, o sal do cofc d corrlação r as duas varávs. b Dscua s dados dss po são aproprados para sablcr rlaçõs d causa--fo r ssas varávs. 4

127 Taa d Tor d proía Pas Naaldad a da Formosa 45,6 4,7 Malaa 39,7 7,5 Ída 33, 8,7 Japão 7, 9,7 Iugosláva 5,9, Gréca 3,5 5, Iála 3,4 5, Bulgára, 6,8 Almaha, 37,3 Irlada 9, 46,7 Damarca 8,3 56, Ausrála 8, 59,9 EUA 7,9 6,4 Suéca 5, 6, Com bas m uma amosra d pars d valors para as varávs obvmos um cofc d corrlação gual a,. Podmos afrmar qu ão s rlação r ssas varávs? Eplqu Com bas os valors d rda pr capa ( da porcagm d aalfabos ( para paíss lao-amrcaos m 95, obvmos o cofc d corrlação r,6. a Ess rsulado é sascam sgfcavo ao ívl d %? b Irpr o rsulado do poo d vsa saísco coômco-socal São dados pars d valors, cuo cofc d corrlação é r. Sdo Z a + b V k + h, dmosr qu o cofc d corrlação r V Z é gual a r, s bh >, é gual a r, s bh < (a, b, k h são cosas. 3.. São dados os valors d Z (,...,. Dfmos a Z b. Z Dmosr qu, s a b são cosas posvas, o cofc d corrlação r é gual a. 5

128 3.. O cofc d corrlação r as varávs é r,6. Sabdo qu s(,5, s(,, m rlação a., drm a quação d rgrssão d 3.. Com bas m uma amosra d 7 pars d valors fo obdo o cofc d corrlação r,4. Ts, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós d qu o cofc d corrlação das varávs é zro O cofc d corrlação obdo d uma amosra d pars d valors, é r 4/5. Sabdo qu s( 3 s( 5, drm o cofc d rgrssão d m rlação a A parr d uma amosra alaóra com obsrvaçõs, fo obda a quação d rgrssão ˆ, 8 Drm o cofc d corrlação r sabdo qu s ( 5 s ( Para duas varávs gavam corrlacoadas, foram obdos:,, s( 8, s( r, 64. Drm a quação d rgrssão d m rlação a Dados a Drm as smavas dos parâmros do modlo α + β + u. b Calcul o cofc d drmação da rgrssão ( r. c Calcul os 4 valors d Ŷ drm o valor do quadrado do cofc d corrlação ( r r Ŷ cofc d drmação, calculado o m (b. Ŷ. Vrfqu qu ss valor é gual ao valor do 6

129 d Dmosr qu o cofc d drmação d uma rgrssão ( r é smpr gual ao quadrado do cofc d corrlação r os valors obsrvados os valors smados da varávl dpd ( r. Ŷ 3.7. Sa r o cofc d corrlação r as varávs m uma amosra com obsrvaçõs. Dfmos as varávs rduzdas w, com s( s(, z, com s( s( Sa c a smava do cofc d rgrssão d z cora méodo d mímos quadrados. a Dduza a rlação r r c. w, d acordo com o b Dduza prssõs qu dêm a S.Q.Toal a S.Q.Rgrssão da rgrssão d z cora w m fução d r. RESPOSTAS 3.. a r,8; F 4,, sgfcavo b ˆ 6, +, 6 5 +, 4 c Para 4, mos ˆ, para 9, mos ˆ 8, o 3.. θ 3 58 Para 3, mos ˆ 6, para 9, mos ˆ 8, a r,9 b ˆ 8,4, 34 c ão s ra H : β 3.4. a ˆ +, 5 b ˆ + 7

130 c r,77 d ˆ, 5 ˆ 3.5. a ˆ +, 5 b ˆ + c r,5 d ˆ 5 ˆ a A corrlação é gava. b Tas dados ão prmm sablcr rlação d causa--fo. Ouras varávs, como rda pr capa, dvram sr cosdradas a aáls. Os dados podm sr ús para sugrr psqusas médco-bológcas sobr possívs rlaçõs causas r cosumo d proía frldad Corrlação lar gual a zro ão mplca ausêca d rlação r as varávs a F, ou 3,8, sgfcavos. Rda pr capa proporção d aalfabos s mosram gavam corrlacoados. Ess rsulado saísco ão prova a sêca d uma rlação d causa--fo. No caso, sabmos qu s causação os dos sdos. Aalfabsmo mplca bao ívl cológco, baa produvdad baa rda pr capa. Pobrza, por ouro lado, sgfca fala d rcursos, dfculado a aalfabzação. 3.. ˆ +,8 3.. F 4,76, sgfcavo 3.3. b 4/ r, ˆ 3.6. a ˆ + b r 5 / a r c 8

131 b S.Q.Toal z S.Q.Rgr. r ( 9

132 4. REGRESSÃO LINEAR MÚLTIPLA 4.. O modlo saísco d uma rgrssão lar múlpla Tmos uma rgrssão lar múlpla quado admmos qu o valor da varávl dpd é fução lar d duas ou mas varávs plaaóras. O modlo saísco d uma rgrssão lar múlpla com k varávs plaaóras é: α + β... β + + β + + k k u,,..., ou k α + β + u (4. Ulzado oação marcal o modlo fca β + u (4. od M M M M K K K M k k k α β β β M β k u u u M u.: Mamos, com algumas modfcaçõs, as prssuposçõs aprsadas a sção I a varávl dpd ( é fução lar das varávs plaaóras (, II,..., k; os valors das varávs plaaóras são fos; III E (, ou sa, E ( u, od rprsa um vor d zros; u IV os rros são homocdáscos, so é, E ( σ ; u

133 V os rros são ão-corrlacoados r s, so é, E ( u u h para h; VI os rros êm dsrbução ormal. Combado as prssuposçõs IV V mos E ( u u Iσ (4.3 Sa p k + o úmro d parâmros a srm smados ( α β, K, β. S dspomos d apas p obsrvaçõs, a drmação dos parâmros s rduz a um problma mamáco d rsolução d um ssma d p quaçõs com p cógas, ão sdo possívl fazr qualqur aáls saísca. Dvmos, porao, r > p. Além dsso, vrmos qu para obr as smavas d mímos quadrados dos parâmros a marz dv sr ão-sgular, so é, sua caracrísca dv sr gual a p. Isso sgfca qu a caracrísca d dv sr gual a p. Nas dduçõs qu s sgum admrmos qu ssas codçõs são obsrvadas, so é, admrmos qu m caracrísca p k + <. Da msma mara qu a rgrssão lar smpls, as prssuposçõs I, II III são cssáras para dmosrar qu os smadors d mímos quadrados são ãodcosos as cco prmras prssuposçõs prmm dmosrar qu as smadors são smadors lars ão-dcosos d varâca míma (orma d Gauss-Markov. A prssuposção VI é cssára para ralzar ss d hpós para cosrur rvalos d cofaça para os parâmros., k 4.. Esmavas dos parâmros d acordo com o méodo dos mímos quadrados Sam b os vors das smavas dos parâmros dos dsvos, rspcvam, so é, a b b b M b k M

134 Tmos b + ˆ + (4.4 b ˆ od ˆ ˆ ˆ M ˆ A soma dos quadrados dos dsvos é dada por Z As marzs ( b ( b b b + b b b b são guas, pos uma é a rasposa da oura cada uma m apas um lmo. Eão Z b + b b (4.5 A fução Z aprsa poo d mímo para os valors d b qu orm sua dfrcal dcam ula, so é: dz ( db + ( db b + b ( db Como ( d b b b ( db, por srm marzs com apas um lmo uma sr a rasposa da oura, sgu-s qu ou ( d b + ( db b ( d b ( b Porao, a dfrcal d Z srá dcam ula para qu é o ssma d quaçõs ormas. S b (4.6 é ão sgular, s a marz vrsa (. Pré-mulplcado os dos mmbros d (4.6 por (, obmos

135 b ( (4.7 A prmra apa dos cálculos para obção das smavas dos parâmros é a cosrução das marzs M k M k M k K K K M k k k k M k Vrmos, ada, qu ssas marzs são cssáras m váras ouras fass da aáls d rgrssão lar múlpla. Do ssma d quaçõs ormas podmos obr ouros rsulados d rss. D (4.6 sgu-s qu b od rprsa um vor cuos lmos são odos guas a zro. Eão ( b ou Essa rlação marcal sgfca qu (4.8 para,..., k No-s qu a uldad da soma dos dsvos ( dcorr do fao d o modlo r um rmo cosa (α, fazdo com qu a prmra colua d sa um vor com odos os lmos guas a. 3

136 Sdo ula a soma dos dsvos, cocluímos qu ˆ (4.9 Mosrarmos, a sgur, qu b ( é um smador ão-dcoso d β. Subsudo (4. m (4.7 obmos ou b ( ( β + u Lmbrado as prssuposçõs II III, vrfcamos qu b β + ( u (4. E ( b β, c.q.d Varâcas covarâcas das smavas dos parâmros A marz E [( b β( b β ] é por dfção, a marz das varâcas covarâcas das smavas dos parâmros, pos E [( b β( b β ] E( a α E( a α( b β M E( a α( bk β k E( a α( b E( b E( b β β ( b M β k β k K K K E( a α( b k β k E( b β( bk β k M E( bk β k Cosdrado (4. oado qu a marz sua rasposa, obmos ou E [( b β( b β ] E[( é smérca, porao, gual à uu ( D acordo com (4.3 com a prssuposção II, sgu-s qu E [( b β( b β ] ( Iσ ( E [( b β( b β ] ( σ (4. ] 4

137 4.4. Varâca d uma combação lar das smavas dos parâmros Sa c um vor-lha com p k + cosas: c Drmmos a varâca d Sabmos qu Eão Dsd qu [ c c c K ] c b. E ( b β E ( c b cβ c b é uma marz com um úco lmo, mos V ( c b E( c b c β E [ c ( b β] Cosdrado (4. obmos E [ c ( b β( b β c] c k V ( c b c ( cσ (4. Uma aplcação mpora dss rsulado é a drmação da varâca da smava ( Ŷ h d um valor da varávl dpd. Cosdrado o modlo d rgrssão lar múlpla α + β β + + β + K + k k u,,..., ou β + u, a smava do valor d, dados os valors plaaóras, é, h, h, K kh das varávs ˆ a + b + b + K+ b h h h k kh ou ˆ h b, (4.3 h 5

138 od h [ K ] h h kh O vor h pod ou ão sr uma das lhas da marz. Em (4.3 oamos qu parâmros. Eão, d acordo com (4., obmos Ŷ h é uma combação lar das smavas dos V ( ˆ σ h h ( h ( Aáls d varâca da rgrssão lar múlpla D (4.5 (4.6 sgu-s qu a soma d quadrados dos dsvos, ou soma d quadrados rsdual, é dada por b + b ou S.Q.Rs. b (4.5 Sabmos qu a soma d quadrados oal é dada por S.Q.Toal ( ( (4.6 A soma d quadrados d rgrssão é dada por S.Q.Rgr. ˆ ˆ ( ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ ( ˆ ( b b b b Cosdrado (4.6 (4.9 sgu-s qu (ˆ 6

139 S.Q.Rgr. D (4.5, (4.6 (4.7, cocluímos qu ( b (4.7 S.Q.Rs. (S.Q.Toal (S.Q.Rgr. Sdo p k + o úmro d parâmros da rgrssão, podmos dmosrar qu E(S.Q.Rs. ( p σ. Para sso dfmos, calm, as marzs H ( M I ( I H As marzs H M são smércas dmpos, so é, H H ' M M ' HH H MM M (4.8 Vrfca-s, ambém qu od é uma marz d zros. Tmos qu H ou M ou H ˆ b ( [ I ( ] M M( β + u Cosdrado (4.9, sgu-s qu M (4.9 ' D (4.8 (4. sgu-s qu Mu (4. S.Q.Rs. u Mu (4. 7

140 Como é uma marz com apas um lmo mos qu r( u Mu Lmbrado o orma d álgbra d marzs qu sablc qu o raço d um produo d marzs ão é afado por uma mudaça a ordm dos faors, dsd qu o ovo produo ambém sa dfdo, obmos r( uu M Cosdrado (4.3 a prssuposção II, sgu-s qu E(S.Q.Rs. E ( σ r( M Mas Eão r(m r[ I ( ] (k + p E(S.Q.Rs. ( σ p, (4. c.q.d. Nos rcícos é dcada a mara como podmos obr as prssõs para E(S.Q.Toal. E(S.Q.Rgr.. Esss rsulados os lvam à cosrução do sgu squma d aáls d varâca: Aáls d Varâca C.V. G.L. S.Q. Rgrssão k p b ( Rsíduo p b Toal ( O quadrado médo rsdual, dado plo coc S.Q.Rs./( p, é, porao, uma smava ão-dcosa da varâca do rro ( σ. Subsudo σ por 8

141 s Q.M.Rs. a prssão (4. obmos a marz das smavas das varâcas covarâcas das smavas dos parâmros: Vˆ ( ( s b (4.3 É possívl dmosrar qu, s os rros u êm dsrbução ormal s β β K β k, o coc Q.M.Rgr. F Q.M.Rs. m dsrbução d F com k p graus d lbrdad. Eão, o valor F assm obdo é ulzado para sar a hpós H : β β K β k Obdas as smavas dos dsvos padrõs das smavas dos parâmros, dadas plas raízs quadradas dos lmos da dagoal prcpal da marz podmos ulzar o valor ( s, b β, (4.4 s b ( assocado a p graus d lbrdad, para sar hpóss a rspo dos valors dos parâmros. Podmos, ada, cosrur rvalos d cofaça para os parâmros. Escolhdo o ívl d cofaça, sdo o corrspod valor críco d, o rvalo d cofaça para β é b s b < β < b + s( b (4.5 ( Dvmos rssalar qu ao o s como o rvalo d cofaça só são váldos s os rros u vrm dsrbução ormal. O cofc d drmação múlpla é dfdo por S.Q.Rgr. R S.Q.Toal 9

142 mosra a proporção da soma d quadrados oal qu é plcada pla rgrssão múlpla. Tmos qu R S.Q.Rs. S.Q.Toal O cofc d drmação corrgdo para graus d lbrdad é dfdo por R (S.Q.Rs. p (S.Q.Toal ( R p ou R R p ( R p 4.6. Dmosração d qu b é um smador lar ão-dcoso d varâca míma Para dmosrar qu os smadors d mímos quadrados são smadors lars ão-dcosos d varâca míma, vamos cosdrar, calm, a combação lar Na sção 4.4 vmos qu com (4., sua varâca é c β dos parâmros. Um smador d θ c β é c b c (. c b é um smador ão-dcoso d c β qu, d acordo V c b c c ( ( σ Cosdrmos um smador lar qualqur θˆ g d θ c β. No qu c b é um caso parcular d θˆ, com g c ( Tmos θˆ g g ( β + u g β + g u (4.6 Eão, para qu θˆ sa um smador ão-dcoso d hamos E(θˆ c β, dvmos r c β, so é, para qu g c (4.7 3

143 D acordo com (4. (4.7, obmos V ( c b g ( gσ (4.8 D (4.6, obmos ˆ θ E ( ˆ θ g u Dod V ( ˆ θ E[ ˆ θ E( ˆ] θ E ( g uu g Como E ( u u Iσ, podmos scrvr ( ˆ θ g gσ V (4.9 D (4.8 (4.9 sgu-s qu Vmos, m (4., qu ( ˆ θ c b g g g g σ V V ( [ ( ] g [ I ( ] gσ g Mgσ u Mu. Ora, porqu é uma soma d quadrados. Porao M é uma marz smdfda posva g Mg. Cocluímos ão qu od V ( ˆ θ V ( c b, (4.3 θˆ g é qualqur smador lar ão-dcoso d c β. Cosdrmos o caso parcular m qu [ K K ] c, so é, o -ésmo lmo do vor c é gual a um, odos os ouros são guas a zro. Eão a dsgualdad (4.3 fca od V ˆ θ V ( b ( θˆ g é qualqur smador lar ão-dcoso d β. 3

144 3 Ess rsulado mosra qu, dr os smadors lars ão-dcosos, b é o qu m mor varâca, so é, os smadors d mímos quadrados são smadors lars ão-dcosos d varâca míma O uso das varávs cradas Para smplfcar os cálculos, muas vzs rabalhamos com as varávs cradas,,,..., k od Ns caso o modlo saísco fca k k u β β β K,,,..., ou m oação marcal, u + β com as dvdas mudaças as dfçõs das marzs β. As marzs fcam k k k k k K M M M M K K K k M

145 Dcompodo a marz vrdo sparadam. Eão a smava d β é apropradam, o lmo gual a pod sr b Vrfca-s qu a prssão (4.5 pod sr scra como sgu: S.Q.Rs. k b Como ( S.Q.Toal, cocluímos qu S.Q.Rgr. k b (4.3 Drmadas as smavas dos parâmros do modlo smplfcado, s qusrmos scrvr a quação smada com as varávs a forma orgal, basa calcular a smava d α, dada por a b (4.3 Às vzs, os cálculos são fos com odas as varávs cradas, clusv a varávl dpd, ou sa, ulzamos S somarmos, mmbro a mmbro, as rlaçõs (4., para,,...,, dvdrmos por, obmos od α + β k u u + u Subrado (4.33 das rlaçõs (4. obmos (4.33 k β + u u 33

146 ou β + u u (4.34 od M M u é um vor-colua com lmos guas a M u K K K É fácl vrfcar qu, s caso, a marz u k k M k β β β M β k é gual à do modlo od apas as varávs dpds são cradas cludo a prmra lha a prmra colua, a marz rmos é gual à do msmo modlo, cludo apas o prmro lmo. Os b d (4.5 corrspodm, rspcvam, à soma d quadrados oal à soma d quadrados d rgrssão, d mara qu o cofc d drmação é R b As proprdads dos smadors ão são afadas plo uso d varávs cradas. Assm, subsudo (4.34 a prssão obmos b ( b ( ( β + u u β + ( u ( u (4.35 À prmra vsa, o rsulado obdo m (4.35 é dfr da prssão (4., obda quado as varávs ão são cradas. Erao, os lmos do vor com varávs cradas, são Eão, a prssão (4.35 fca qu é a rlação (4.. u u b β + ( u, Assm, da msma mara qu o modlo sm crar as varávs, mos: u, 34

147 E ( b β V ( b ( σ 4.8. Emplo d uma rgrssão lar múlpla com duas varávs varávs, plaaóras Na abla 4. aprsamos os valors d uma amosra d 5 obsrvaçõs das. TABELA 4.. Valors d rês varávs m uma amosra d 5 obsrvaçõs. 6,5, 4, 3,5 3 6, 4, 4, 7,5 5 3,5 9, 6 Obmos: ,5 4, Tdo m vsa o modlo β + u, + β + β cosruímos as marzs 5 4,5 35

148 A sgur, drmamos as smavas dos parâmros b ( A quação smada é, ão, ˆ + 4 Como 5 4 obmos ˆ D acordo com (4.3, mos S.Q.Rgr. + b b 4 ( 54 ( 3 4 Eão S.Q.Rs. 4 6,5 4, 5 Podríamos, ambém, r obdo o valor da soma d quadrados rsdual d (4.5: S.Q.Rs. b 66,5 64,5 36

149 Com sss rsulados podmos cosrur a abla d aáls da varâca. TABELA 4.. Aáls da Varâca C.V. G.L. S.Q. Q.M. F Rgrssão 4, 57 45,6 Rsíduo,5,5 Toal 4 6,5 Para graus d lbrdad ao ívl d sgfcâca d 5%, o valor críco d F é 9,. Porao, o rsulado é sgfcavo, so é, ra-s, a ss ívl d sgfcâca, a hpós H β β, Um bom programa para compuador forma : qu a probabldad caudal assocada a F 45,6, com graus d lbrdad, é,5, prmdo coclur qu o rsulado é sgfcavo ao ívl d 5%, sm cssdad d obr o valor críco d F. O cofc d drmação múlpla é R 4 6,5,9785 so é, 97,85% da soma d quadrados oal é plcada pla rgrssão lar ausada. Coform a dfção aprsada o fal da sção 4.5, podmos vrfcar qu o cofc d drmação corrgdo para graus d lbrdad é R, 957. Como s, 5 mos, d acordo com (4.3, as sgus smavas das varâcas covarâcas das smavas dos parâmros: Tmos qu V ( b,5 s ( b s ( 5 ˆ 5 V ˆ( b s ( b,5 3 6 V ˆ( b s ( b 83 83,5 3 4 côv(, b côv(, b 4 côv( b, b, ,5,8333 3,4583 Eão a b b 37

150 V a V ( + V ( b + V ( b cov(, ( b cov(, b + cov( b, b V ( a, ˆ , S véssmos ulzado o modlo com as varávs ão cradas, a smava da varâca d a sra dada plo prmro lmo da dagoal prcpal d ( s. Podmos, agora, sar hpóss a rspo dos valors dos parâmros. Adoado o ívl d sgfcâca d 5%, cosdrmos as sgus hpóss: a H : α 5 cora H : α < 5 A Tmos ,4 9,75 O rsulado é sgfcavo, pos a rgão d rção para ss s ularal é,9. Porao, ao ívl d sgfcâca d 5%, ramos a hpós H : α 5, m favor da hpós H : α < 5. A b H β cora H : β : Calculamos A 4,8333 4,38 Como o valor críco d para graus d lbrdad ao ívl d sgfcâca d 5% é 4,33, o rsulado obdo é sgfcavo, so é, ramos, a ss ívl, a hpós d qu β. Um bom programa d compuador forc a probabldad caudal assocada ao calculado ( 4,38, so é, a probabldad d, a dsrbução d com graus d lbrdad, ssa varávl assumr valor absoluo maor do qu 4,38. Essa probabldad é,483, prmdo coclur qu o rsulado é sgfcavo ao ívl d 5%, sm cssdad d obr o valor críco d. c H β cora H : β : A Obmos 3,4583 5,95, sgfcavo 38

151 Ns mplo ramos, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós H β β ambém ramos, ao msmo ívl d sgfcâca, ao a : hpós H β como a hpós H β. Quado o s F da aáls d : : varâca d uma rgrssão lar múlpla é sgfcavo (rado-s a hpós d qu β β K β, é comum qu plo mos um dos valors d k b,,,..., k s b ( sa sgfcavo, cosdrado-s um s blaral com o msmo ívl d sgfcâca. Mas m smpr sso acoc, poddo ocorrr qu, apsar d o s F da aáls d varâca da rgrssão sr sgfcavo, hum dos ss para as hpóss H : β, (para,,..., k sa sgfcavo, como mosra o mplo aprsado a sção 4., a qual ss assuo srá mlhor aalsado Prvsão s d hpóss a rspo do valor d combaçõs lars dos parâmros Cosdrmos o modlo d rgrssão lar múlpla α + β β + + β + K + k k u,,..., ou β + u Na sção 4.4 vmos qu, dados os valors plaaóras, a smava d, K, das varávs h, h kh E( h α + β + β + K+ β β h h k kh h é ˆ a + b + b + K+ b h b h h h k kh od h [ K ] h h kh Dvmos rssalar qu o vor h pod ou ão sr uma das lhas da marz. D acordo com (4.4, mos 39

152 Vˆ ( ˆ h h ( hs (4.36 Obda a smava da varâca d rvalo d cofaça para Ŷ h, dada por (4.36, podmos cosrur o E ( h h β. Sdo o valor críco d com p graus d lbrdad ao ívl d cofaça adoado, o rvalo d cofaça é hb h ( hs < E( h < hb + h ( hs (4.37 Cosdrmos, mas uma vz, o mplo umérco da abla 4.. Tdo m vsa o modlo 5 + u β + β + β obvmos, arorm, as marzs ( b 4 Cosdrmos 7. Uma vz qu samos fazdo os cálculos h h do m vsa o modlo com as varávs plaaóras cradas, lmbrado qu 5 4, obmos 3 fazmos Eão, h h h [ 3] 5 S cosdrarmos o modlo m qu odas as varávs, cludo a dpd, são cradas, obrmos, aravés d (4.4, a varâca ˆ h ˆ h. Como as covarâcas r b (,,..., k são ulas, a varâca d Ŷ é dada por h V ˆ σ ( h V ( ˆ h + 4

153 ˆ b 5 h Lmbrado qu s Q.M.Rs., 5, obmos, d acordo com (4.36, Vˆ ( ˆ h h h ( hs [ ],5 54, 78 Para um ívl d cofaça d 95%, o valor críco d com graus d lbrdad é 4,33. Eão, o rvalo d cofaça para E ( h α + 7β + β é ou 5 4,33 54,78 < E ( < 5+ 4,33 9,7 E ( < 8,83 h < h 54,78 Cosdrmos, agora, qu dsamos prvr o valor da varávl dpd ( h para uma ova obsrvação qu as varávs dpds assumm os valors h, h,..., kh. O smador d β + u é ˆ b. O rro d prvsão é h h h h h Dzmos qu ˆ spraça do rro d prvsão é gual a zro. Para avalar a prcsão d h ( b β u (4.38 h h Ŷ h é uma prvsão ão-dcosa do valor d h h porqu a Ŷ h como prvsão do valor da ova obsrvação, drmamos o rvalo d prvsão, como mosrarmos a sgur. Para sso dvmos cosdrar a varâca do rro d prvsão, dado por (4.38. Uma vz qu, d acordo com a prssuposção V, o rro ( u h da ova obsrvação é dpd dos rros ( u,,..., das obsrvaçõs da amosra ulzada para obr a smava (b d β, d (4.38 obmos 4

154 V ˆ V[ ( b β] + σ ( h h h D acordo com (4.4, sgu-s qu V ( ˆ h h σ σ + h ( h [ + h ( h ] σ Sdo o valor críco d com p graus d lbrdad ao ívl d cofaça adoado, o rvalo d prvsão para a ova obsrvação é b h + h ( h ] s < h < hb + [ + h ( h ] [ s No mplo umérco qu samos aalsado, a smava da varâca do rro d prvsão para 7 é h h,5 + 54,78 55,958 o rvalo d prvsão, ao ívl d cofaça d 95%, para uma ova obsrvação com sss valors d h h é ou 5 4,33 55,958 < < 5+ 4,33 8,8 < 83,9 h < h 55,958 No a grad amplud do rvalo d prvsão, apsar do lvado cofc d drmação ( R, 9785 da quação ausada. A prvsão do valor da varávl dpd para uma ova obsrvação pod sr fa para valors d h fora da rgão od são os valors das varávs plaaóras da amosra, so é, pod sr fa uma rapolação. Da msma mara qu o caso da rgrssão lar smpls (vr sção., a valdad da quação smada, fora do rvalo das obsrvaçõs, dv sr cudadosam amada. A prssão (4.4, qu dá a varâca d Ŷ h, é um caso parcular d (4.. Uma oura aplcação d (4. é o s d hpóss a rspo d combaçõs lars dos parâmros. Admamos qu s qura sar, o mplo qu samos dsvolvdo, a hpós H β + β cora a hpós H β + β, : A : < cosdrado um ívl d sgfcâca d 5%. A hpós da uldad pod sr scra H : c β 4

155 43 od [ ] c Para sar ssa hpós calculamos, d acordo com (4.,,5 ( ( ˆ V cs c b c A sgur, obmos 8,485,5 3 ˆ( b c b c V O rsulado é sgfcavo, so é, ramos : β β H ao ívl d sgfcâca d 5%, pos a rgão d rção para ss s ularal é 9,. 4.. Irpração dos cofcs d rgrssão d uma rgrssão lar múlpla com duas varávs plaaóras Cosdrmos o modlo d uma rgrssão lar com duas varávs plaaóras, com odas as varávs cradas: u u + + β β (4.39 Ns caso, mos, ( ( D b (, obmos ( b (4.4 ( b (4.4

156 Vamos dcar os dsvos da rgrssão d m rlação a por v os dsvos da rgrssão d d rgrssão d m rlação a z m rlação a smava do cofc d rgrssão d por z. Sa θˆ a smava do cofc v. Dmosrarmos qu b θˆ, so é, qu a uma rgrssão lar com duas varávs plaaóras md como vara m fução d, após lmar dssas varávs a fluêca lar d. Aalogam, b é uma smava d como vara m fução d, dscoado-s, prvam, as varaçõs d qu possam sr dvdas à fluêca lar d. Em ouras palavras, b sma o fo lar d, sobr dpos qu ssas varávs são dpuradas da fluêca lar d. Aalogam, b sma o fo lar d sobr dpos qu ssas varávs são dpuradas da fluêca lar d. Sabmos qu para uma rgrssão lar smpls d m rlação a mos Sgu-s qu dsvo ˆ b (4.4 v Como (4.43 z, êm méda gual a zro, v zro. Eão, a smava do cofc d rgrssão d Mas z ambém êm méda gual a z m rlação a v é v ˆ z θ (4.44 v v z 44

157 Dsvolvdo smplfcado, obmos Aalogam, obmos v z (4.45 ( v (4.46 Subsudo (4.45 (4.46 m (4.44 mulplcado umrador domador por, obmos ˆ θ (4.47 ( Comparado (4.47 com (4.4, vrfcamos qu b θˆ, c.q.d. Para mlhor sclarcr o assuo vamos dsvolvr ssas apas o mplo umérco da abla 4.. Vamos calcular, calm, os dsvos ( v da rgrssão d, dados por m rlação a v os dsvos ( z da rgrssão d m rlação a, dados por z + 3 Tas valors cosam a abla 4.3. TABELA 4.3. Valors d cora, z (dsvos da rgrssão d,, v (dsvos da rgrssão d cora bas os dados da abla 4.. v obdos com 6,5 4,5 4,5,5 4 4,5,5 3 6,5 4,5 A smava do cofc d rgrssão d z m rlação a v é z 45

158 v ˆ z 6 θ 4, v,5 qu é o valor qu á havíamos obdo para b. A aáls qu fzmos para uma rgrssão com duas varávs plaaóras pod sr gralzada para o caso d uma rgrssão lar múlpla com k varávs plaaóras. Pod-s dmosrar qu a smava ( b do cofc d uma varávl d uma rgrssão lar múlpla, ormalm obda aravés d (4.7, podra sr obda prcorrdo-s as sgus apas: a cálculo dos rsíduos ( v da rgrssão d cora odas as ouras varávs plaaóras; b cálculo dos rsíduos ( z da rgrssão d varávs, so é, as varávs plaaóras clusv m rlação a ssas msmas ; c drmação da smava do cofc d rgrssão d z m rlação a v, qu é gual a b. Rsumdo, podmos afrmar qu, ao ausarmos uma rgrssão lar múlpla aravés do méodo dos mímos quadrados, a smava do cofc d uma varávl md o fo lar d sobr dpos d rm sdo dscoadas d ambas ssas varávs as fluêcas lars d odas as ouras varávs plaaóras cosdradas o modlo. 4.. Os cofcs d corrlação parcal Cosdrmos o caso d uma rgrssão lar múlpla com duas varávs plaaóras, cuo modlo saísco, ulzado odas as varávs cradas, é (4.39. Lmbrado qu dcamos por v os dsvos da rgrssão lar d cora por z os dsvos da rgrssão d cora, o cofc d corrlação parcal r ( r é, por dfção, o cofc d corrlação r z v, so é, 46

159 47 z v z v r (4.48 Dduzrmos agora a prssão qu rlacoa o cofc d corrlação parcal r com os cofcs d corrlação smpls r, r r, dcados por r, r r, rspcvam. Cosdrado (4.4 (4.43 mos, por aaloga com (4.46, qu ( z (4.49 Subsudo (4.45, (4.46 (4.49 m (4.48, obmos ( ( r (4.5 Dvddo o umrador o domador por, vrfca-s qu ( ( r r r r r r (4.5 Aalogam, mos ( ( r r r r r r (4.5 Cosdrmos o mplo umérco da abla 4.. Vamos calcular, calm, os valors dos cofcs d corrlação smpls:, ,5 4,5 54 r, ,5 3 r,9876 4,5 r

160 48 Essas corrlaçõs smpls são aprsadas com grad úmro d dcmas para var rros d arrdodamo os prómos cálculos. Subsudo sss valors m (4.5, obmos,95 r Ess cofc d corrlação parcal ambém pod sr obdo calculado-s o cofc d corrlação smpls r os valors d v z, da abla 4.3.,95 6,5,5 6 z v z v r É mpora vrfcar a rlação s r um cofc d corrlação parcal o corrspod cofc d rgrssão. D (4.5, obmos ( ( ( r Mulplcado o umrador domador da prmra fração por lmbrado (4.4, sgu-s qu (S.Q.Rs (S.Q.Rs. ( ( b b r ou (S.Q.Rs (S.Q.Rs. r b (4.53 Aalogam, (S.Q.Rs (S.Q.Rs. r b (4.54 As rlaçõs (4.53 (4.54 dvm sr comparadas com a rlação (3.4.

161 Essas rlaçõs mosram qu um cofc d corrlação parcal smpr m sal gual ao do rspcvo cofc d rgrssão a rgrssão múlpla. Mas o corrspod cofc d corrlação smpls pod r sal oposo, como ocorr com r r o mplo aalsado. Vmos qu r,77667 r,95. O squma a sgur procura mosra como sso é possívl O fo dro d sobr é posvo, como mosra o valor d b ou o valor d r. Mas m for corrlação posva com qu, por sua vz, m for fo gavo sobr. A corrlação smpls r msura os fos dro dro (va d sobr. Ns mplo o fo dro é gavo supra o fo dro posvo, fazdo com qu a corrlação smpls ( r sa gava. Vrmos, a sgur, uma oura mara d rprar os cofcs d corrlação parcal. Vamos cosdrar ada o caso d uma rgrssão múlpla com duas varávs plaaóras, ou sa, a rgrssão d a soma d quadrados d rgrssão é dada por m rlação a. D acordo com (4.3, (S.Q.Rgr.d b + b ou, lmbrado a dfção do cofc d drmação múlpla ( R, (S.Q.Rgr. d R A corbução d para ssa soma d quadrados é a dfrça r ss valor a soma d quadrados d rgrssão da rgrssão lar smpls d cora, so é, (Corbução d (S.Q.Rgr. d (S.Q.Rgr. d R r (

162 Para mdr a mporâca da corbução d, comparamos su valor com a soma d quadrados rsdual da rgrssão lar smpls d coc cora, por mo do (Corbução d R r R r φ (4.56 (S.Q.Rs. d r r Ess coc, chamado cofc d drmação parcal r, é, o mámo, gual a um. Isso ocorr quado a rodução da varávl rmos d soma d quadrados udo o qu plcar (m dou d plcar. Esá claro qu, s caso, o cofc d drmação múlpla ambém srá gual a um. Para obr a prssão do coc φ m fução apas dos cofcs d corrlação smpls, ulzarmos a rlação R r r r r + r (4.57 r qu pod sr obda (após váras passags algébrcas qu podm sr dsvolvdas, como rcíco subsudo (4.4 (4.4 m R b + b Subsudo (4.57 m (4.56, smplfcado faorado, obmos φ ( r ( r r r ( r Comparado ss rsulado com (4.5, cocluímos qu o cofc d drmação parcal r parcal r as msmas varávs. Eão (4.56 fca r é gual ao quadrado do cofc d corrlação (Corbução d R r (4.58 (S.Q.Rs. d r Aalogam, 5

163 r (Corbução d R r (4.59 (S.Q.Rs. d r Para o mplo umérco da abla 4., mos (S.Q.Rgr.d ( ( 3 9 ( S.Q.Rs.d 6,5 9 6,5 Arorm á havíamos obdo (vr abla 4. Eão D acordo com (4.58 mos ( S.Q.Rgr.d 4 (Corbução d r 4 6,5,9566 Erado a raz quadrada adoado, d acordo com (4.53, o sal d b, mos qu á obvmos arorm d (4.5. r,95 Podmos vrfcar a sgfcâca saísca da corbução d por mo d um s F, como é mosrado a abla 4.4. Rgr. d TABELA 4.4. Aáls d Varâca C.V. G.L. S.Q. Q.M. F Corbução d Rgr. d , ,6 Rsíduo,5,5 Toal 4 6,5 5

164 Dvddo o quadrado médo rfr à corbução d (qu é gual à rspcva soma d quadrados, pos sa m grau d lbrdad plo quadrado médo rsdual da rgrssão múlpla obvmos F 9,. Ao ívl d sgfcâca d 5%, o valor críco d F, para graus d lbrdad, é 8,5. Porao, o rsulado obdo é sgfcavo. É mpora obsrvar qu ss s F é quval ao s, fo arorm a sção 4.8, para sar a hpós H β cora H : β. No : qu o valor d F obdo (9, é gual ao quadrado do valor d calculado para sar ssa hpós (4,38. Aé aqu aalsamos o coco d corrlação parcal para o caso d uma rgrssão lar com duas varávs plaaóras. O coco pod, rao, sr gralzado para o caso d uma rgrssão lar múlpla com k varávs plaaóras. Apas para facldad d oação, cosdrmos o cofc d corrlação parcal r ( r 3... k. Sdo v os dsvos da rgrssão múlpla A d cora, 3,..., k z os dsvos da rgrssão múlpla d cora,...,, 3 k, o cofc d corrlação parcal r é, por dfção, o cofc d corrlação smpls r rsulado é obdo d 6 r 3... k v (S.Q.Rs. d z. Pod-s dmosrar qu o msmo (Corbução d, 3,..., k od (Corbução d (S.Q.Rgr. d,, 3,..., k (S.Q.Rgr. d, 3,..., k A sgfcâca saísca da corbução d pod sr sada por mo d uma dcomposção da soma d quadrados d rgrssão, como sá dcado o squma a sgur. 6 Vr a sção 5.3 (p d Johso (97, para uma oura mara d obr os cofcs d corrlação parcal. 5

165 Rgr. d Esquma da Aáls d Varâca C.V.,..., Corbução d Rgr. d Rsíduo G.L., k 3 k,...,,, k p 3 k p Toal Pod-s dmosrar qu o s F para a corbução d h é smpr quval ao s da hpós H : β cora H : β, so é, s b s( b, mos h h / h h A h (Corbução d h h (Corbução d h s s h A soma d quadrados rsdual da rgrssão compla é ( p s. Eão a soma d quadrados rsdual da rgrssão sm h é ( s p + (Corbução d h o cofc d drmação parcal r h é r h h (Corbução d h ( p s + (Corbução d h Sgu-s qu ou r h h r s h ( p s + h s h h h h + p Essa prssão prm obr com facldad um cofc d drmação parcal a parr do valor d rfr à hpós d uldad do cofc corrspod a rgrssão múlpla. 53

166 4.. Irvalos d cofaça rgõs d cofaça para os parâmros Cosdrmos, ovam, o modlo d rgrssão lar com duas varávs plaaóras: + u α + β + β Nsa sção vamos ulzar um ovo mplo umérco, basado a amosra d 6 obsrvaçõs aprsada a abla 4.5. Pod-s vrfcar qu 9, 5,, 5 3. A msma abla mosra os valors das varávs cradas,. TABELA 4.5. Valors d rês varávs m uma amosra com 6 obsrvaçõs.,5 8,,5 3 6,5 3,,5, 4,5,5,,5,5,5 4,,5 6, ,,5 3 Tdo m vsa o modlo com odas as varávs cradas, obmos 5,5 9, 9 5,5, 49 ( ,55,5,5,375 ou A quação smada é b ( ˆ

167 R,977. ˆ A abla 4.6 mosra a aáls d varâca da rgrssão, vrfcado-s qu TABELA 4.6. Aáls da Varâca C.V. G.L. S.Q. Q.M. F Rgrssão 5,5 6,75 6,75 Rsíduo 3 3 Toal 5 8,5 Como s, mos V ˆ( b,55 V ˆ( b, 375 Sgudo o procdmo aprsado a sção a 4.8, vrfca-s qu V ˆ ( a 37 6 Adoado um ívl d sgfcâca d %, o valor críco d F, com 3 graus d lbrdad, é 3,8. Porao, o rsulado é sgfcavo, so é, ra-s, a ss ívl d sgfcâca, a hpós H β β. : Para sar a hpós H β, cora H : β, calculamos : A 3,55 4,45 Como o valor críco d para 3 graus d lbrdad, ao ívl d sgfcâca d %, é 5,84, o rsulado obdo ão é sgfcavo, so é, ão ramos a hpós H β. : Para sar a hpós H β cora a H : β, calculamos : A,375,697, ão sgfcavo É rssa oar qu s mplo, mbora s r, ao ívl d sgfcâca d %, a hpós H β β, ão s ra, ao msmo ívl d : sgfcâca, m a hpós H β, m a hpós H β. Vrmos, ada, porqu sso pod ocorrr. : : Na sção 4.5 vmos qu o rvalo d cofaça para o parâmro rgrssão lar múlpla é β d uma 55

168 b s( b < β < b + s( b Vamos drmar os rvalos d cofaça, ao ívl d cofaça d 99%, para os parâmros α, β β, com bas os dados da abla 4.5. O valor críco d é, s caso, 5,84. Tmos O rvalo d cofaça para α é a, b 3 b. ou ou ou 37 5,84 < α < + 5,84 6 O rvalo d cofaça para β é,59 < α < 6,59 3 5,84,55 < β < 3 + 5,84 O rvalo d cofaça para β é,33 < β < 7,33 5,84,375 < β < + 5, ,55,375,7 < β < 3,7 Esss rvalos d cofaça dvm sr rprados com cudado. Cosdrmos, por smplcdad, apas os parâmros β β. Na fgura 4. assalamos os rvalos d cofaça raçamos a lps qu dlma a rgão d cofaça, ao ívl d cofaça d 99%, para sss parâmros. No qu, apsar d ao o rvalo d cofaça para β como o rvalo d cofaça para β cluírm o valor zro, o poo ( β, β ão prc à rgão d cofaça para β β. É por sso qu, mbora os valors d obdos ão os lvm a rar, ao ívl d sgfcâca d %, as hpóss H β ou H β, o s F prm rar, : : a ss msmo ívl d sgfcâca, a hpós H β β. : 56

169 Fgura 4.. A rgão d cofaça para os parâmros β β. O couo d poos do râgulo ABCD corrspod aos valors d β β qu prcm aos rspcvos rvalos d cofaça. Podr-s-a psar qu ss râgulo sra a rgão d cofaça para β β. Erao, mbora ss râgulo a rgão d cofaça corra (lípca ham uma ára m comum, é fácl vrfcar qu sm poos do râgulo qu ão prcm à rgão d cofaça (como é o caso d β β poos da rgão d cofaça qu ão prcm ao râgulo. Vamos, agora, como fo obda a lps da fgura 4.. Para o modlo d rgrssão lar múlpla, com odas as prssuposçõs aprsadas a sção 4., pod-s dmosrar qu ( Cb Cβ [ C( C ] ( Cb Cβ F (4.6 ms od m é a caracrísca da marz d cosas C F sá assocado a m p graus d lbrdad. A rlação (4.6 é muo gral. Mosrarmos, calm, qu o s F rlavo à hpós H β β K β é um d sus casos parculars. cradas: : k Cosdrmos o modlo d rgrssão lar múlpla com odas as varávs k β + u u (4.6 Fazdo hpós da uldad fca C I k, od I k é uma marz ddad com caracrísca m k, a 57

170 Em (4.6, fazdo Lmbrado qu I k H :Cβ C Cβ, obmos b b F ks b (, obmos F b ks b k s Q.M.Rgr. Q.M.Rs., qu é, como sabmos, o valor d F usualm calculado para vrfcar a sgfcâca saísca da rgrssão ausada. Um ouro caso parcular d (4.6 é o s F para a corbução d uma varávl qu, como vmos a sção 4., quval ao s rlavo à hpós H : β. Cosdrmos o modlo (4.6 admamos, para faclar a dcação, qu s dsa vrfcar s a corbução da varávl a hpós H β. Fazmos : [ K ] é sgfcava, ou sa, vamos sar C, cua caracrísca é m. Eão, a hpós da uldad pod sr scra como sgu: Tmos, ambém, qu H : Cβ Cb b C C, ( w od w é o prmro lmo da dagoal prcpal d (. Subsudo sss rsulados m (4.6 cosdrado qu Cβ, obmos ( w b b F s w b s Como w s s sgu-s qu ( b F b s( b 58

171 Uma vz qu o quadrado d um s é smpr gual a um s F com umrador assocado a um grau d lbrdad, pod-s vrfcar qu a rlação (4.6 globa, como caso parcular, qualqur rlavo a uma hpós sobr o valor d um parâmro ou sobr o valor d uma combação lar d parâmros, cludo-s, s úlmo caso, um s a rspo d E. ( h S, scolhdo um ívl d cofaça, subsurmos F, m (4.6, plo su valor críco F, ssa rlação os forcrá os lms d um rvalo ou d uma rgão d cofaça (dpddo d como é dfda a marz C. Os poos prcs ao rvalo ou rgão d cofaça obdcm à dsgualdad ( ms Cb Cβ [ C( C ] ( Cb Cβ < F (4.6 Cosdrmos, por mplo, qu s dsa obr o rvalo d cofaça para β. Tdo m vsa o modlo (4.6, fazmos Eão, [ K ] C, cua caracrísca é m. Cb b, Cβ β C ( C w Subsudo sss rsulados m (4.6, obmos ( b < F s β ( w ( b β ( β b < F w s F β < ws < b F ws b β + F ws < < b F ws Falm, como F w s s( b, mos b s( b < β < b + s( b Vrfcamos, assm, qu o rvalo d cofaça para β pod sr cosdrado como um caso parcular d (4.6. Drmmos, agora, a rgão d cofaça para os parâmros β β d uma rgrssão lar múlpla com varávs plaaóras. Tdo m vsa o modlo fazmos + u β + β + β 59

172 6 C cua caracrísca é m. Eão β β Cβ b b Cb Fazdo q b β q b β (4.63 sgu-s qu q q Cβ Cb (4.64 Tmos, ambém, qu C C ( w w w w w w w w Dod ] ( [ C C (4.65 Subsudo (4.64 (4.65 m (4.6 lmbrado qu m, obmos [ ] s F q q q q < (4.66 No caso do mplo umérco aprsado o íco dsa sção, mos 5,5 9 s Para o ívl d cofaça d 99%, o valor críco d F com 3 graus d lbrdad é 3,8. Subsudo sss rsulados m (4.66, obmos

173 ou 5,5 9 9 q q [ q q ] < 3, 8 5,5q + 8qq + q 6,64 < Essa dsgualdad é sasfa plos poos dlmados pla lps 5,5q + 8q q + q 6,64, qu é a lps raçada a fgura 4.. Para mas uma aplcação da rlação (4.6, cosdrmos qu, o mplo umérco qu samos dsvolvdo, dsamos sar, ao ívl d sgfcâca d 5%, a hpós H β 4 β : Rssalmos qu sa é uma úca hpós volvdo, cocomam, os valors d dos parâmros qu o s dssa hpós ão quval a fazr dos ss coscuvos, um para a hpós H β 4 ouro para a hpós H β. : Fazdo C a hpós H β 4 β pod sr dcada como sgu: : : mos qu Como 4 H : Cβ b 3 Cb, b 3 4 Cb Cβ (4.67 Subsudo (4.65 (4.67 m (4.6 lmbrado qu m s, obmos F 5,5 9 9 [ ], 75 6

174 Como o valor críco d F com 3 graus d lbrdad ao ívl d sgfcâca d 5% é 9,55, o rsulado é sgfcavo, so é, ra-s a hpós H β 4 β. : S véssmos adoado o ívl d sgfcâca d %, ão raríamos H β 4 β, pos, s caso, o valor críco d F é 3,8. Isso pod sr : vrfcado a fgura 4., oado qu o poo ( β 4, β prc à rgão d 99% d cofaça para β β Emplo d uma rgrssão lar múlpla com rês varávs plaaóras Nsa sção, dsvolvrmos um mplo d rgrssão lar múlpla com rês varávs plaaóras, como lusração do qu á fo vsa s capíulo. Na abla 4.7 são aprsados 4 valors das varávs No qu as rês varávs plaaóras á são cradas., TABELA 4.7. Amosra d 4 obsrvaçõs para 4 varávs., ,5, 4, 4, 5, 3, 6, 6, 7, 5, 5, 5, 3,,5 6

175 Os valors báscos a srm calculados são: , Tdo m vsa o modlo cosruímos as marzs β + u,,,..., 4 + β + β + β 33 A sgur, obmos ( b b b b b 3 4 ( , A quação smada é ˆ 4, ou, uma vz s mplo (,, 3, 63

176 ˆ 4, Tmos S.Q.Rgr. b ( ( ( 8 58 A aáls da varâca é dada a abla 4.8. TABELA 4.8. Aáls d Varâca C.V. G.L. S.Q. Q.M. F Rgrssão ,33 64,44 Rsíduo 3,3 Toal 3 6 Ao ívl d sgfcâca d % com 3 graus d lbrdad, o valor críco d F é 6,55. O rsulado obdo é, porao, sgfcavo, so é, ra-s, a ss ívl d sgfcâca, a hpós H β β β. : 3 O cofc d drmação múlpla é R 58,95 6 Sabmos qu as smavas das varâcas covarâcas das smavas dos parâmros são dadas por ( s. Assm, por mplo, a smava da varâca d b é Eão V ˆ( b s ( b,37 6 O rvalo d cofaça para β, ao ívl d cofaça d 95%, é,8,37 < β < +,8,37 ou,47 < β <,53 64

177 Para sar, ao ívl d sgfcâca d %, a hpós H β, cora a hpós alrava H : β, calculamos A : b s( b 9 6 8,433 Como o valor críco d para graus d lbrdad é 3,69, o rsulado obdo é sgfcavo, so é, ra-s, ao ívl d sgfcâca d %, a hpós d qu β, m favor da hpós d qu β. Passmos, agora, à drmação do cofc d corrlação parcal r 3, dados. Para sso obrmos, calm, as smavas dos cofcs da rgrssão d m rlação a. Sdo c, c c as smavas dos cofcs dssa rgrssão D acordo com (4.7, obmos c + c + c z os dsvos, mos + z c c c ,5 8,75 4,5 A soma d quadrados d rgrssão dssa rgrssão é (S.Q.Rgr. d,,75 ( 8 +, Eão (S.Q.Rs. d, Como (S.Q.Rgr. d,, 3 58, 65

178 sgu-s qu (Corbução d Eão, o cofc d drmação parcal r r (corbução d 3 (S.Q.Rs. d, é Lmbrado qu b 3 é gavo, cocluímos qu o cofc d corrlação parcal r aáloga. 3 é r 4 7 3,756 Os dmas cofcs d corrlação parcal podm sr obdos d mara Façamos, agora, o s da hpós H : β + β + β 3 cora a hpós alrava H β + β + β, A : 3 ao ívl d sgfcâca d 5%. Fazdo c [ ], a hpós da uldad fca H : c β D acordo com (4. mos Vˆ ( c b c ( cs [ ], A sgur, obmos

179 67, ˆ( b c β c b c V Como, ao ívl d sgfcâca d 5% para graus d lbrdad, o valor críco d é,8, o rsulado obdo ão é sgfcavo. Drmmos, agora, a rgão d 95% d cofaça para os parâmros β 3 β. Fazmos C, cua caracrísca é m. Tmos qu 3 β β Cβ, Cb ( C C Subsudo sss rsulados m (4.6 obmos, < F β β β β Como o valor críco d F com graus d lbrdad, para um ívl d cofaça d 95%, é 4,, sgu-s qu os poos prcs à rgão d cofaça obdcm à dsgualdad,3 4, < + + β β β β

180 Sabmos qu ssa rgão d cofaça é dlmada por uma lps com cro o poo β β 3. A rgão d cofaça para β, β β 3 é um lpsód um spaço com 3 dmsõs. A vsualzação dss lpsód gra a drmação o raçado d lpss qu rsulam da rscção da suprfíc do lpsód com plaos prpdculars a um dos rês os coordados, para város valors do parâmro corrspod. Porao, é fácl vr qu a quadad d cálculos gda para a drmação das rgõs d cofaça dos parâmros d uma rgrssão crsc muo rapdam com o úmro d parâmros volvdos qu a vsualzação dssas rgõs d cofaça s ora dfícl para mas d dos parâmros Problmas d spcfcação Vmos, o Capíulo, qu o caso d uma rgrssão lar smpls, o problma d spcfcação da rlação r as duas varávs coss m scolhr o po d fução, so é, o modlo mamáco. Surg ouro problma d spcfcação quado mas d uma varávl plaaóra pod sar afado a varávl dpd. Eão, além d scolhr o po d fução, é cssáro drmar quas as varávs plaaóras qu dvm sr cosdradas o modlo. Vamos aalsar o qu ocorr com as smavas dos cofcs quado s comm rros d spcfcação da marz. Admamos qu a rlação vrdadra sa β + u (4.68 qu o psqusador, rroam, ulz, m lugar d, uma marz V. É óbvo qu, gralm, as marzs V êm algumas coluas m comum. obrá D acordo com o méodo d mímos quadrados, o psqusador m qusão quao qu as smavas corras sram g ( V V V (4.69 b ( Subsudo (4.68 m (4.69 obmos 68

181 69 V u V V V β V V g + ( ( Pβ g ( E, (4.7 od V V V P ( (4.7 Para mas faclm plcar o problma, cosdrmos um caso m qu o modlo corro é u u β β β o psqusador, rroam, obém a quação smada g g ˆ + Ns caso V V 3 3 V Subsudo sss rsulados m (4.7, obmos ˆ ˆ ( θ θ V V V P (4.7 od ˆ θ ˆ θ são smavas dos cofcs d rgrssão d 3 cora. D (4.7 (4.7, sgu-s qu ˆ ˆ ˆ ˆ ( β θ β β θ β β β β θ θ g E ou sa, 3 ˆ ( β β +θ g E

182 7 3 ˆ ( β β +θ g E Vrfcamos qu as smavas dos cofcs obdos ( g g com o modlo rroam spcfcado são dcosas. O vés d g como smava d β dpd do valor do parâmro da varávl cluída ( 3 β, o caso acma do valor da smava do cofc rlavo a a rgrssão da varávl cluída cora as varávs cluídas. Cosdrmos, agora, o caso m qu o modlo corro sra u u + + β β o psqusador, rroam, ausa a rgrssão g g g 3 3 ˆ + + Ns caso V V 3 3 V Eão, d acordo com (4.7, V V V P ( Subsudo ss rsulado m (4.7, obmos ( β β β β g E, ou sa, ( β g E, ( β g E ( 3 g E

183 É rssa oar qu quado cluímos uma varávl dscssára, as smavas dos cofcs prmacm ão-dcosas, dfrm do qu ocorr quado damos d clur uma das varávs plaaóras mporas. Isso mosra qu é prfrívl clur uma varávl dscssára qu ão clur uma varávl rlva. Erao, a clusão d varávs dscssáras ambém é prudcal, pos m gral faz com qu aum a varâca dos smadors. Há, ambém, o prgo d um corol aproprado mascarar o fo qu s dsa capar. Cosdr um psqusador qu dsa avalar o fo das rasfrêcas d rda do Programa Bolsa Famíla sobr a pobrza, ulzado dados por Udad d Fdração. A varávl dpd é a rdução da pobrza a varávl plaaóra fudamal é o moa d rasfrêcas pr capa m cro príodo. Dvm sr coroladas caracríscas spcífcas d cada Udad da Fdração qu codcoam o fo das rasfrêcas sobr a pobrza, mas é um absurdo clur, sss corols, mudaças a rda méda o ídc d G da dsrbução da rda m cada Udad da Fdração. Aumado a rda dos pobrs, as rasfrêcas corbum para rduzr a dsgualdad aumar um pouco a rda méda da população. Usado uma mdda d dsgualdad a rda méda como corols o psqusador ora pracam mpossívl capar o fo das rasfrêcas sobr a pobrza 7. O rcíco 4.39 aprsa dados umércos arfcas qu lusram a qusão. O problma dos maus corols é dscudo m Agrs Pschk (9, p Els assalam qu m smpr mas corol é mlhor, qu varávs mddas as qu a varávl plaaóra d rss ha sdo drmada são gralm bos corols qu é cssáro vrfcar s alguma varávl d corol é, la própra, drmada pla varávl plaaóra d rss Trasformação das varávs para obr a marz d corrlaçõs smpls Cosdrmos o modlo β + u u 7 Como ocorr frqum, sso pod parcr óbvo dpos d assalado. Mas m dos argos publcados a Rvsa Braslra d Ecooma há rro d spcfcação smlha, cludo o ídc d G o PIB pr capa d cada Udad da Fdração m modlos dsados a capar o fo d rasfrêcas do govro fdral sobr a pobrza: Marho Arauo ( Marho al. (. 7

184 ou od z, z γ v + ε + ω (4.73 v,,,..., k (4.74 γ β, (4.75 u ε ω u Idcado por V a marz das varávs plaaóras por z o vor dos valors da varávl dpds, mos r... r k r... r k V V M M M r k r k K r r V z r M k pos v, v vh rh com h, v r As smavas d mímos quadrados dos γ são dadas por c ( V V V z Gralm, os programas d compuador para aus d rgrssõs múlplas fazm, o íco, as rasformaçõs (4.74. No qu os lmos das marzs V V V z, qu passam a sr ulzadas m lugar d, varam apas d a +. Isso corbu para dmur os fos dos rros d arrdodamo. Obdas as smavas d γ, as smavas dos parâmros β são, d acordo com (4.75, dadas por b c 7

185 4.6. Rgrssõs qu s oram lars por aamorfos Város modlos saíscos podm sr faclm rasformados m modlos d rgrssão lar múlpla. Assm, a rgrssão quadráca α u β β pod sr carada como uma rgrssão lar múlpla com duas varávs plaaóras, fazdo. D mara aáloga, qualqur rgrssão polomal pod sr ausada como uma rgrssão lar múlpla. Em psqusas coômcas, é frqüm ulzado o modlo α Aplcado logarmos, obmos β β... βk k log logα + β log + logε, qu é um modlo d rgrssão lar múlpla os logarmos das varávs. Ns caso, dsd qu u logε obdça às prssuposçõs vsas a sção 4., as smavas d mímos quadrados êm as proprdads saíscas dsávs. ε s, so é, 4.7. Orogoaldad mulcolardad a marz Vamos o qu ocorr quado odas as coluas da marz são orogoas r A marz h para h é, ão, uma marz dagoal. Tdo m vsa o modlo mos, s caso, qu β + u + u 73

186 74 ( k ( k k b Porao, as smavas dos parâmros da rgrssão múlpla cocdm com as smavas dos cofcs das rgrssõs lars smpls d cora cada uma das varávs plaaóras a soma d quadrados d rgrssão, dada por S.Q.Rgr. b, é, s caso, gual à soma das somas d quadrados d rgrssão das rgrssõs lars smpls d cora cada uma das varávs plaaóras. O cofc d drmação múlpla é, porao, gual à soma dos cofcs d drmação das rgrssõs lars smpls mcoadas. Como vmos, a orogoaldad r as coluas da marz facla basa a aáls. Vamos, agora, o qu ocorr quado há mulcolardad prfa, so é, quado sm, a marz, coluas larm dpds. Cosdrmos, calm, o caso d uma rgrssão lar múlpla com duas varávs dpds prfam corrlacoadas r s u u + + β β com ( r Ns caso, mos

187 so é, o drma da marz marz (, é gual a zro. Não é possívl, ão, vrr a, cosqum, é mpossívl obr as smavas d β β. Gomrcam, o qu ocorr é qu os poos,, são odos sobr um plao ψ, prpdcular ao plao dfdo plos os d ( d. O méodo dos mímos quadrados prm drmar apas uma ra o plao ψ; qualqur qu sa o plao qu coha ssa ra, a soma dos quadrados dos dsvos assum o msmo valor; porao, s drmação. É mpora comprdr qu o caso d uma rgrssão com mas d duas varávs plaaóras pod sr mulcolardad prfa, msmo qu hum dos cofcs d drmação smpls sa gual a um (vr rcíco 4.. Frqüm, a marz aprsa mulcolardad lvada, mbora ão prfa. As prcpas cosqüêcas dss fao são as sgus: As varâcas covarâcas das smavas dos parâmros srão muo lvadas, so é, as smavas obdas podm r rros muo grads sss rros podm sar alam corrlacoados r s. A baa prcsão das smavas ora dfícl, ou aé msmo mpossívl, dsgur as fluêcas das dvrsas varávs plaaóras; Um psqusador pod sr lvado a lmar varávs da aáls porqu os cofcs ão s mosraram sascam dfrs d zro; ssas varávs podm, a raldad, sr mporas a amosra dspoívl é qu ão prm dcar sua fluêca; 3 As smavas dos cofcs varam muo d amosra para amosra. A adção d algumas obsrvaçõs à amosra pod alrar muo o valor da smava obda. Para mosrar como a mulcolardad afa a prcsão das smavas cosdrmos, ovam, uma rgrssão múlpla com apas duas varávs plaaóras: β + u + u Fazdo 75

188 76 z, v, v, β γ, β γ, u ε u ω, obmos ω ε γ γ v v z (4.76 A marz d varâcas covarâcas das smavas ( c c dos parâmros d (4.76 é σ v v v v v v, ou, d acordo com o qu fo vso a sção 4.5, σ σ r r r r r r r r, Cocluímos qu ( ( r c V c V σ (4.77, cov( r r c c σ (4.78

189 As prssõs (4.77 (4.78 mosram qu as varâcas o valor absoluo da covarâca das smavas dos parâmros crscm rapdam quado aproma d um, so é, quado auma o grau d mulcolardad. r s S r for posvo, vrfca-s, pla prssão (4.78, qu a covarâca das smavas dos parâmros é gava. É rssa amar o valor do rro d smava para uma drmada amosra. D acordo com (4. mos qu Idcado por r c γ r r v ε c γ (4.79 c γ r v ε r r d os dsvos da rgrssão lar smpls d v cora v mos v + r v d,,..., (4.8 D acordo com (.6, v d Mulplcado cada uma das gualdads m (4.8 por ε somado, obmos v ε r v ε + d ε (4.8 D (4.79 (4.8 obmos c v ε r v ε r d ε r d ε γ v ε (4.8 r r c r v ε + r v ε + d ε d ε γ (4.83 r r 77

190 ssas prssõs mosram qu, s r é posvo s aproma d um, os rros d smação dos parâmros são grads d sas oposos; s c suprsma γ, ão c subsma γ, vc-vrsa. Pod-s dmosrar qu ão há razão para qu a mulcolardad af sram a smava da varâca rsdual. 8 Porao, as smavas das varâcas das smavas dos parâmros são dcadors adquados da sêca d mulcolardad. O fo d uma varávl plaaóra pod sr sufcm for, d al mara qu o rspcvo cofc s mosr sascam dfr d zro apsar da mulcolardad; uma mulcolardad basa ala mpdrá, rao, qu s dc a fluêca d varávs mporas Ts d hpóss o modlo lar Nsa sção vamos aprsar uma mara gral d carar os ss d hpóss o modlo d rgrssão lar. Uma hpós sobr os parâmros d um modlo d rgrssão corrspod, smpr, a uma rsrção. O modlo qu corpora a rsrção, domado modlo rsro, srá mos flívl do qu o modlo orgal. Dada uma amosra d dados, sa S U a soma d quadrados rsdual obda ausado o modlo orgal, rrsro (o ídc do símbolo s dv à palavra glsa para rrsro: ursrcd, sa S R a soma d quadrados rsdual obda ausado o modlo rsro. Como o modlo rsro é mos flívl, a rspcva soma d quadrados rsdual d a sr maor, so é, S S R for gual ou pouco maor do qu S R S U (4.84 S U, dcado qu o modlo rsro s ausa aos dados quas ão bm como o modlo rrsro, ão há razão para rar a hpós. Por ouro lado, s S R for subsacalm maor qu S U, dcado qu o ausamo do modlo rsro (qu corpora a hpós é claram por, dvrmos rar a hpós formulada, pos la ra m choqu com os dados. 8 Vr Johso (97, p

191 Para sabr s a dfrça S R S U é ou ão subsacal, o rspcvo quadrado médo é comparado com o quadrado médo rsdual do modlo rrsro, calculado-s od g U F S g R S g g R são os graus d lbrdad assocados a R U, (4.85 SU g U U S U S R, rspcvam. É claro qu a plcação aprsada para obr a prssão (4.85 é formal, procurado apas mosrar a lógca mas gral da sua fudamação. Formalm, é cssáro mosrar qu S U /σ m dsrbução d Qu-quadrado com U g graus d lbrdad, qu, s a hpós da uldad for vrdadra, ( σ S R S U / m dsrbução d Ququadrado com g g graus d lbrdad, dpd da dsrbução d R U S U /σ. Pod-s, ão, coclur qu a varávl obda m (4.85 m dsrbução d F com g R g U g U graus d lbrdad. No-s qu o domador d (4.85 é o quadrado médo do rsíduo do modlo orgal (rrsro, qu m sdo dcado por H s. Eão a prssão fca S R SU F (4.86 ( g g s R U S uma hpós sobr os parâmros d uma rgrssão lar é formulada como :Cβ θ, od C θ são marzs com lmos umércos dados, a prssão (4.85 é quval à prssão (4.6, poddo-s dduzr (4.6 d (4.85. Vamos algus mplos d aplcação d (4.85. O procdmo smpr volv rês apas: (a obr a soma d quadrados rsdual do modlo rrsro ( S U os rspcvos graus d lbrdad ( g U ; (b cosrur o modlo rsro obr a corrspod soma d quadrados rsdual ( S sus graus d lbrdad ( g ; (c aplcar (4.85 rprar o rsulado. Cosdrmos os dados da abla 4. o modlo + u α + β + β R R Vamos admr qu qurmos sar a hpós H β. Eão o modlo rsro é : α + β + u 79

192 Na sção 4.8 á obvmos a soma d quadrados rsdual para o modlo orgal (rrsro, qu é S,5, com g (4.87 U Na sção 4. (abla 4.4 vmos qu a soma d quadrados d rgrssão d uma rgrssão d cora é gual a 9, poddo-s vrfcar, ão, qu a soma d quadrados rsdual do modlo rsro é U S 6,5, com g 3 (4.88 Subsudo os rsulados (4.87 (4.88 m (4.85, obmos R 6,5,5 F 3,5 R 4,5 9, Como ão poda dar d sr, ss é o valor d F para corbução d a abla 4.4, qu é o quadrado do valor d rfr à hpós H β obdo a sção 4.8 ( 4,38. : Como sgudo mplo, vamos usar (4.85 para sar a hpós H β 4 β (4.89 : com bas os dados da abla 4.5 (sção 4.. O modlo rrsro é α + u (4.9 + β + β Na sção 4. vmos qu a soma d quadrados rsdual para ss modlo é O modlo rsro fca S 3, com g 3 (4.9 U + u U α ou 4 α + u (4.9 No-s qu o modlo smpr dv sr scro d mara qu o sgudo mmbro fqum apas o rro os rmos com parâmros a srm smados. Fazdo o modlo (4.9 fca W 4, (4.93 8

193 Usado (4.93, podmos calcular os 6 valors d W α + u (4.94 W para a amosra aprsada a abla 4.5. A smava d α o modlo (4.94 é, smplsm W, qu é gual a,5. Os dsvos dssa rgrssão são w W W, pos como ão há cofcs d rgrssão, a soma d quadrados rsdual é a própra soma d quadrados oal ( w 48,5, com 6 5 graus d lbrdad. Porao, para o modlo rsro (4.9 mos S 48,5, com g 5 (4.95 R Subsudo os rsulados (4.89 (4.95 a prssão (4.85, obmos R 48,5 3 F ,5,75 3 ( Adoado um ívl d sgfcâca d 5%, o valor críco d F para 3 graus d lbrdad é 9,55. O rsulado é sgfcavo, lvado a rar a hpós (4.89. No-s qu, como ão poda dar d sr, o rsulado obdo m (4.96 é dêco ao obdo o fal da sção 4., usado a prssão ( Irpração gomérca da aáls d rgrssão lar d acordo com o méodo d mímos quadrados Do sudo da álgbra voral sabmos qu o vor ( pod sr rprsado, grafcam, por uma sa qu va da orgm do ssma d os ao poo (,,, um spaço rdmsoal, como mosra a fgura 4.. 8

194 Fgura 4.. Rprsação gráfca d um vor o spaço rdmsoal. Grcam, dzmos qu M M são vors o spaço -dmsoal. O produo scalar ou produo ro d dos vors d msma dmsão,, qu dcamos, é, por dfção, gual a. Tmos Vrfca-s faclm qu o produo scalar d vors é dsrbuvo m rlação à soma, so é, s, v são rês vors d msma dmsão, ( + v + v O módulo ou comprmo do vor é dado por Para vors com duas ou rês dmsõs pod-s vrfcar, aravés do orma d Págoras, qu sa dfção d comprmo d um vor corrspod ao comprmo da sa qu o rprsa. O comprmo do vor dado m (4.97 é Por dfção, dos vors são orogoas s su produo scalar é gual a zro, so é, é orogoal a s, som s,. Assm, por mplo, os vors 8

195 são orogoas r s, pos. Esss vors são rprsados a fgura 4.3, qu mosra qu as sas rprsavas d dos vors orogoas são prpdculars r s. Fgura 4.3. Dos vors orogoas Sa λ um scalar. Eão, s é um vor com lmos,...,,, os lmos do vor λ são λ, λ,..., λ. Os vors λ êm a msma drção, so é, são vors colars (as sas são sobr a msma ra-supor. S λ >, a oração ou sdo dos vors λ é o msmo, s λ <, sss vors êm sdos oposos. Tmos so é, o comprmo d absoluo d λ. λ ( λ ( λ λ λ, λ é gual ao comprmo d mulplcado plo valor Para mplfcar, lmbrmos o vor dado m (4.97. Pod-s vrfcar qu os vors são colars com êm comprmo gual a 3, so é, o dobro do comprmo d. Vamos supor agora qu, com bas m uma amosra com apas 3 obsrvaçõs, foram obdos os pars d valors (, aprsados a abla 4.9. As médas das duas varávs ssa amosra são guas a zro, so é, 3. (com,, 83

196 TABELA 4.9. Valors d para uma amosra com 3 obsrvaçõs. 4 Sa o vor cuos lmos são os valors da varávl crada sa o vor cuos lmos são os valors da varávl crada, so é, ( A fgura 4.4 mosra a rprsação dsss vors o spaço rdmsoal. Fgura 4.4. O plao (ψ dos vors. É mpora oar a dfrça r ss po d rprsação gráfca aqul das fguras. 3.. Nas fguras. 3. cada o corrspod a uma varávl, ao passo qu a fgura 4.4 cada o corrspod a uma obsrvação. Lá ulzamos o spaço das varávs aqu samos cosdrado o spaço das obsrvaçõs. Tmos 8 4. Porao o comprmo do vor é 8 o comprmo do vor é 4 6. Na fgura 4.4, sa ψ o plao dos vors. O plao ψ é um subspaço bdmsoal do spaço rdmsoal. Qualqur qu sa o úmro d obsrvaçõs da amosra, so é, qualqur qu sa a dmsão ( d, dsd qu sss vors ão 84