3 Análise de fluxo e transporte em meios porosos e fraturados

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1 3 Aáls luo raspor m mos porosos rauraos Quaro prcpas aspcos vm sr sacaos uao s sua luo m mo poroso raurao: Dsvolvmo cocual molos; Dsvolvmo soluçõs aalícas umércas; Dscrção as caracríscas hráulcas a raura; Dsvolvmo éccas socáscas para scrvr o luo m rauras srbuçõs parâmros hrogológcos (Doao, 994). s capíulo são raaos os rês prmros s caos acma, vso u o úlmo á o aprsao o apíulo 2. Também são aprsaas as uaçõs govras luo raspor soluo m mos porosos rauraos, bm como algus programas compuacoas spoívs a lraura u mplmam ssas uaçõs. Dscrv-s aa o programa compuacoal svolvo s rabalho, omao FTPF-3D, o méoo umérco ulzao para solução as uaçõs govras o méoo raóra parículas mplmao. 3.. Molos cocuas luo raspor m mos porosos rauraos Os molos cocuas u scrvm o luo luos m mo poroso raurao são: Molo mo poroso uval ou molo o coíuo úco, MPE (uval porous mum or sgl couum); Molo upla porosa, MDP (oubl porosy); Molo rauras scras, MFD (scr racur).

2 63 Uma sção acoal po sr aa m rlação a scala rprsação o mo poroso raurao. Bar Brkowz (987), scrvm uaro scalas: muo próma ao campo (vry ar l), prómo ao campo (ar l), log o campo (ar l), muo log o campo (vry ar l), como aprsao a Fgura 3.. a scala muo próma ao campo, o luo o raspor ocorrm m uma úca raura, poo havr roca luos r a raura o mo poroso. a scala prómo ao campo, o luo o raspor ocorrm o mo poroso raurao caa raura é scra m alhs, ou sa, as maors rauras são as rmscam as mors rauras são spccaas sascam. ssa scala o MFD v sr usao, po o po rocha rauraa, é provávl u sa scala sa a maor rss a ára hrogológca (Bar, 993). a scala log o campo, o luo o raspor ocorrm m coíuos sobrposos, u pom sr rprsaos, por mplo, por um coíuo para a rocha ão rauraa ouro coíuo para as rauras. A roca massa r os coíuos po ocorrr aravés parâmros uão. Por m, a scala muo log o campo, o luo raspor ocorrm m um mo poroso uval. (a) muo próma ao campo (b) prómo ao campo (c) log o campo () muo log o campo Fgura 3.: Escala rprsação o mo poroso raurao (aapao Bar, 993).

3 Molo mo poroso uval (uval porous mum) O molo mo poroso uval (MPE) raa o mo rochoso raurao como um coíuo úco, ão raurao. Ess molo s uara a scala muo log o campo rprsação o luo raspor m mo poroso raurao. As caracríscas hráulcas o mo são scras por um úco valor prmabla (omaa prmabla uval), u corrspo à soma a prmabla as rauras com a prmabla o mo poroso (Doao, 994). Apsar s molo sr aa basa ulzao, prcpalm m suos rsrvaóros prólo, l aprsa algumas lmaçõs uao a sua aplcação. Essas aplcaçõs são rlacoaas às sgus hpóss, mplícas o ou o coíuo uval (Vargas Barro, 2003): as rauras são prsss o omío a aáls, o u m muos casos ão é obsrvao; o spaçamo as rauras uma msma amíla é puo m rlação às msõs o problma so aalsao, o u ambém, muas vzs ão é obsrvao m problmas prácos. Es molo é uma apromação razoávl s o rauramo é so ou s o omío m suo é sucm gra orma u rauras vuas ão aprsm luêca o luo o ssma como um oo (por mplo, m algus ssmas rgoas scala ulomérca). Brkowz al. (988) Schwarz Smh (988) scum o uso o molo coíuo uval para ssmas rochosos rauraos Molo upla porosa (oubl porosy) O molo upla porosa (MDP) o rouzo por Barbla al. (960) posrorm so por Warr Roo (963). Ess molo s uara a scala log o campo rprsação o luo raspor m mo poroso raurao. A bas o molo é aa pla obsrvação u a massa rocha ão rauraa po aprsar uma porosa (armazamo) ala, mas uma prmabla (luo) baa. Ao coráro, as rauras pom

4 65 aprsar um armazamo sgca, mas uma prmabla ala. O mo poroso as rauras são raaos como os coíuos sparaos, mas sobrposos. As uaçõs luo raspor para caa coíuo são lgaas por um rmo rasrêca luo ou soluo, caa coíuo aprsa propras rs m rlação ao ouro. Essa rasrêca massa ocorr a rac r os os coíuos. Emplos molos umércos sm-aalícos ulzao o molo upla porosa pom sr coraos m Huyakor al. (983), Row Bookr (990), Sucky (990) Bbby (98) Molo rauras scras (scr racur) O molo rauras scras (MFD) s uara a scala próma ao campo rprsação o luo raspor m mo poroso raurao. Ess molo rprsa orma mas ralsa os procssos luo raspor o mo poroso raurao. A vaagm o su uso sá rlacoaa com a possbla rprsação plíca o pocal gra o luo, o luo o raspor r as rauras o mo poroso. o ao, l rur a gração um ssma rauras basao m suos saíscos as caracríscas o mo rochoso raurao, orao-o algumas vzs, compuacoalm caro uao s m um úmro rauras lvao. Es molo po sr smplcao uao som as rauras são cosraas. ss caso, o mo poroso ão é rprsao o luo é rsro som às rauras. Esa smplcação é omaa ssma rauras scras, SFD (scr racur work). s rabalho o molo aoao o o molo rauras scras Euaçõs govras luo Para a scrção o luo m mo poroso raurao, é cssáro scrvr as uaçõs govras a marz porosa as rauras. Para ssas uaçõs as sgus cosraçõs são aoaas: o luo é comprssívl, o

5 66 mo poroso raurao é ormávl o ssma sá sobr coção soérmca. As sçõs sgus aprsam uma scrção sas uaçõs u govram o luo o mo poroso as rauras Euação luo o mo poroso A uação rcal parcal parabólca u scrv o luo m mo poroso ão saurao é a uação Rchars. Essa uação é oba pla combação a L Darcy com a uação a coua (Phlp, 969). A uação Rchars é aprsaa abao. K ( z) ± Q (3.) om,, 2, 3, para uação rmsoal;,, 2, para uação bmsoal. a uação 3., K é a couva hráulca ão sauraa, é a carga prssão, z é a carga lvação, é a uma volumérca, Q é o rmo o ou sumouro. Eprssao a uação 3. m rmos carga prssão como varávl p, obém-s a sgu uação: K ( z) ± Q ( ) (3.2) a uação acma, () é a capaca spcíca umcmo o solo aa pla rlação: ( ) (3.3) Para scrvr o luo a zoa sauraa ão sauraa, o rmo o armazamo v sr cosrao. Assm, a uação 3.3 é mocaa para a uação 3.4. K ( z) ( ) ( ) ± Q S s ( ) (3.4) s

6 67 a uação, S s é o coc armazamo spcíco ao pla uação 3.5, s é a uma volumérca sauraa (porosa). S s ( c c ) ρ g (3.5) s s w a uação 3.5, ρ é a sa o luo, g é a aclração a grava, c s é a comprssbla o solo c w é a comprssbla o luo. Algus sss parâmros são aprsaos a Tabla 3.. Tabla 3.: Valors algumas propras a água a aclração a grava. Símbolo Dscrção Ua Valors g Aclração a grava m/s ρ w Dsa kg/m (20º) µ w Vscosa âmca kg/m.s (20º) c w omprssbla m.s 2 /kg O rmo o armazamo cosra o o a comprssbla o solo o luo. a coção ão sauraa, assum-s u o o a comprssbla o luo é sprzívl s comparao com o o a muaça a sauração (Thrr Sucky, 996). osrao, G ( ) ( ) S s s (3.6) a uação 3.4 é mocaa para: K ( z) ± Q G( ) (3.7) Dv-s oar u a uação Rchars é alam ão lar vo aos rmos couva hráulca a capaca spcíca umcmo o solo prm o valor carga prssão.

7 68 Propras hráulcas o mo poroso ão saurao As propras hráulcas o solo ão saurao pom sr rmaas plas rlaçõs aprsaas por Va Guch (980), as uas são basaas o molo Mualm (976). A rlação r a uma volumérca ( ) a carga prssão ( ) é aa por: s r r para < 0.0 m ( ) [ α ] (3.8) s para > 0. 0 a rlação acma, r é a uma volumérca rsual, a são parâmros mpírcos o molo Va Guch (980), m é obo pla uação abao. m > (3.9) A rlação r a couva hráulca (K ) a carga prssão ( ) é oba pla uação abao: Ks Krw para < 0.0 K ( ) (3.0) Ks para > 0.0 A prmabla rlava (K rw ) é aprsaa pla uação 3., o o rmo S rprsa o grau sauração (uação 3.2). K rw / 2 [ ] / m m S 2 S (3.) S r (3.2) s r 3.2. As rlaçõs aprsaas acma são mosraas sumacam a Fgura

8 69 (a) (a) rlação uma volumérca vrsus carga prssão (b) rlação couva hráulca vrsus carga prssão Fgura 3.2: Rção água o solo. (b) Euação luo o mo raurao A uação u scrv o luo ão saurao m uma raura com abrura 2b po sr oba pla são a uação luo saurao m uma raura (Brkowz al., 988; Sucky McLar, 992) pla aaloga à uação Rchars (3.) para mo poroso. A uação para mo raurao é aprsaa abao: z Sw,, 2 (3.3) b K ± Q ( 2b) 2, a uação, K, é a couva hráulca ão sauraa a raura, é a carga prssão a raura, z é a carga lvação a raura, 2b é a abrura a raura, Q é o rmo o ou sumouro, S w grau sauração a raura. Essa uação ão cosra rasrêca luo r o mo poroso as rauras vc vrsa. s caso, oo o luo s á som plo mo raurao. A uação 3.3, assm como a uação 3. (uação luo ão saurao m mo poroso), é ão lar plos msmos movos aprsaos arorm (vr sção 3.2.). A couva hráulca sauraa a raura (K s ) é aa por (Bar, 972): ( b) ρg 2 2 K s (3.4) 2µ

9 70 a uação acma, ρ é a sa o luo, µ é a vscosa o luo. Para scrvr o luo a raura a zoa sauraa ão sauraa, o rmo o armazamo v sr cosrao. Dsa orma, a uação 3.3 é mocaa para a uação 3.5. z S 2, (3.5) w b K ± Q ( b) S S 2 w s a uação, S s é o coc armazamo spcíco a raura prsso pla uação 3.6. S ρ (3.6) s gc w Os valors ρ, g c w são aprsaos a Tabla 3.. Propras hráulcas o mo raurao ão saurao a lraura é possívl corar algumas rlaçõs cosuvas usaas para rmação as propras hráulcas as rauras. Dr ssas rlaçõs, poucas são as obas prmalm (Rsma Kupr, 994). o ao, város suos órcos êm so ralzaos com obvo caracrzar a aurza as rlaçõs, poo-s sacar os rabalhos Wag arasmha (985), Rasmuss Evas (989), Pruss Tsag (990), Moza Sucky (99). Pruss Tsag (990) rlaam u a aparêca gral a curva prssão caplar é smlar a habualm usaa para o mo poroso rmsoal. Dsa orma, s rabalho, o mo raurao é rprsao por um mo poroso. Assm, aoa-s as uaçõs o mo poroso bmsoal Euação luo o mo poroso raurao Esm uas maras rprsar o luo o mo poroso raurao. A prmra é srr a uação luo a raura (uação 3.3) um rmo u rprs a aa rasrêca luo r os os mos. Dsa orma, a uação 3.3 passa a sr scra a sgu orma:

10 7 (2b)K, ( ) ( z ) I I ± Q (2b ) S w,, 2 (3.7) o I I são os rmos rasrêca luo r os os mos. Essa rasrêca s á a supríc rac (I- I ) a raura com o PU-Ro - rcação Dgal º 05579/A mo poroso, como aprsao a Fgura 3.3. Fgura 3.3: Trasrêca luos r o mo poroso a raura. A sgua orma rprsar o luo os mos poroso raurao é grar uma malha (por mplo, lmos os) compaívl, o os ós os lmos rprsavos as rauras são cocs com os ós os lmos rprsavos o mo poroso (vr Fgura 3.4). sa suação, os lmos aprsam comum os msmos ós, rsulao uma coua a carga hráulca a rac r os os mos. Assm suprpoo a corbução caa ó para ambos os pos lmos, ão é cssáro o cálculo plíco a rasrêca luos ( I I ) aprsao a uação 3.7. Fgura 3.4: ompabla os ós os lmos rprsavos o mo poroso os lmos rprsavos as rauras.

11 72 As soluçõs as uaçõs luo são obas usao o méoo os lmos os (vr sção 3.5.). Para rsolvr a ão lara as uaçõs, são aoaos os méoos ravos para problmas ão lars, o méoo Pcar o méoo BFGS (vr sção 3.5.6). Para a solução o ssma uaçõs lars, ambém são aoaos os méoos ravos, o méoo o gra cougao prcocoao o méoo lmação Gauss (Moza al., 99) Euaçõs govras raspor soluo As sçõs sgus aprsam uma scrção as uaçõs u govram o raspor soluo m mos porosos rauraos Euação raspor soluo o mo poroso A uação u scrv o raspor soluo m mo poroso ão saurao é a aprsaa abao. R D Rλ 0 (3.8) om,, 2, 3, para uação rmsoal,, 2, para uação bmsoal. a uação, é a cocração o soluo, D é o coc sprsão hroâmca, λ é a cosa camo prmra orm, R aor raramo, é o rmo o luo. O aor raramo é ao pla uação 3.9. sa uação, ρ b é a sa o mo poroso, K é o coc parção. O rmo luo é ao pla uação R ρ b K (3.9) S s w

12 73 K ( z ) (3.20) A compo a sprsão a uação 3.8 é aa por Bar (972): a uação, ouosa, D D DT δ ( α L αt ) Dτδ (3.2) é o coc usão molcular, τ é o aor δ o la Krockr, sprsva rasvrsal. α L é sprsva logual α T é a Euação raspor soluo o mo raurao A uação bmsoal u scrv o raspor soluo m uma raura ão sauraa po sr uza a parr a uação u scrv o raspor soluo m uma raura sauraa (Tag al., 98; Sucky McLar, 992). Dssa orma: ( 2 b) S R S D S R λ 0 w w w,, 2 (3.22) a uação, é a cocração o soluo a raura, D é o coc sprsão hroâmca a raura, λ é a cosa camo prmra orm, R aor raramo, é o rmo o luo a raura. O aor raramo é ao pla uação 3.23, o K * é o coc parção a supríc a raura. O rmo luo é ao pla uação * K R 2 (3.23) 2b ( z ) K, ( ) (3.24)

13 74 A compo a sprsão a uação 3.22 é aa por uma prssão smlar à uação 3.2, o as sprsvas o luo ocorrm o plao a raura a porosa assuma é uára (Thrr Sucky, 996). A uação 3.22 ão cosra rasrêca massa soluo r o mo poroso as rauras vc vrsa. s caso, oo o raspor soluo s á som plo mo raurao Euação raspor soluo o mo poroso raurao A rprsação o raspor soluo os mos porosos rauraos rposos po sr a uas maras, smlha às aprsaas para o luo. A prmra é srr a uação raspor soluo as rauras (uação 3.22) um rmo u rprs a aa rasrêca luo r os os mos. Dsa mara, a uação 3.22 passa a sr scra a sgu orma: ( 2b) S w R I I 0 S w D S w R λ o I I,, 2 (3.25) rprsam os rmos rasrêca massa o soluo pla supríc rac r os os mos (I - I ). A sgua orma rprsar o raspor os mos poroso raurao é grar uma malha compaívl, como aprsao a Fgura 3.4. omo os lmos aprsam comum os msmos ós, s uma coua as cocraçõs o soluo a rac r os os mos. Assm suprpoo a corbução caa ó para ambos os pos lmos, ão é cssáro o cálculo plíco a rasrêca massa ( I I ) aprsao a uação As soluçõs as uaçõs raspor soluo são obas usao o méoo os lmos os (vr sção 3.5.). Para solução o ssma uaçõs lars é aoao o méoo o gra cougao prcocoao (Moza al., 99).

14 Traóra parículas A raóra parículas, s rabalho, rprsa o camho u uma parícula prcorr o mo m u sá sra. O mo au cosrao é o mo raurao. A raóra ssa parícula sá rlacoaa som ao rgm luo o ssma. Zhg B (2002) scrvm rês méoos u pom sr ulzaos para o cálculo raóra parículas: o méoo sm-aalíco, o méoo Eulr o méoo Rug-Kua. s rabalho o ulzao o méoo Eulr para smular a raóra parículas o mo raurao. O méoo Eulr é um méoo cua gração umérca é smpls. El rprsa o méoo Rug-Kua prmra orm. Sua ormulação é a aprsaa abao. (, y z ) v, (, y z ) y y vy, (, y z ) z z vz, (3.26) as uaçõs acma, (, y, z ) é a posção a parícula o mpo (), (, y, z ) é a posção a parícula o mpo, é o amaho o passo mpo. Para u s alcac bos rsulaos usao o méoo Eulr, o amaho o passo mpo v sr sucm puo. Isso poru ss méoo ulza som a vloca o íco o passo mpo para rprsar oo o rvalo mpo (B Zhg, 2002). Para plcar como é o o cálculo os poos u compõm a raóra uma parícula o mo raurao, é aprsao um mplo o são cosraos uaro lmos poscoaos o spaço, como mosrao a Fgura 3.5. Algumas cosraçõs são as. A vloca ro os lmos é cosa para caa passo mpo as parículas movm-s smpr sobr os plaos os lmos, com vloca gual a vloca os lmos m u são sras. Para aular o mo o mplo, algus símbolos são usaos: é o lmo,, 2, 3; é o passo mpo,, 2, 3; v, é a

15 76 vloca o lmo o passo ; p é a posção a parícula o al o passo ; p é a posção a parícula o poo rsção o passo. osrao u uma parícula é laçaa sobr o lmo, a posção p 0, o mpo 0 (vr Fgura 3.6a), o al o prmro passo mpo ( ), a parícula sará m p (Fgura 3.6b). Esa posção o calculaa pla prssão p v,.. Dv-s oar u os valors v, ão oram gras o suc para lvar a parícula para ora o. o sguo passo mpo ( 2 ), a parícula ulrapassa os lms o lmo a arsa ormaa plos ós 2 4, como aprsao a Fgura 3.6c. s caso, calcula-s o poo rsção a ra a raóra a parícula com a ra a arsa o lmo. a süêca, é calculao o mpo u a parícula lvou para alcaçar o poo rsção. Iso é o ulzao a prssão a ' ( p2 p ), 2 2 /v. A parr ss poo a parícula v sgur sua raóra sobr um ouro lmo. A busca por s lmo é a prcorro os lmos u aprsm os ós 2 4 como ós cêca. Toos os lmos slcoaos são armazaos m uma lsa são ralzaos, para caa lmo, os ss. O prmro s é rmar s o vor vloca aul lmo é coráro ao vor vloca o lmo m u a parícula acabou sar. aso sa algum lmo u ão pass ss s, o msmo srá lmao a lsa. O sguo s é rmar ual os lmos a lsa aprsam a maor vloca. Eão, o lmo maor vloca é o scolho para ar coua a raóra a parícula. o mplo aprsao o lmo scolho o 2. A posção o prómo poo a raóra é calculaa pla prssão, o 2b 2 2a. p2 v2,2. 2b o rcro úlmo passo, a parícula ambém ulrapassa os lms o lmo a arsa ormaa plos ós 5 6 (Fgura 3.6). Eão, calcula-s o poo rsção o mpo u a parícula lvou para alcaçar ss poo. Iso ' 3 a p p /v é o pla prssão ( 3 2 ) 2, 3. A busca por um ovo lmo u prma a coua a raóra a parícula é ralzaa. s caso, ão sm lmos u aprsm os ós 5 6 como ós cêca. Assm, a raóra é rrompa.

16 Fgura 3.5: Elmos a raóra uma parícula. 0 p 0 p 0 p (a) (b) p p 3 3 p 2 p 2 2 p 0 p p 3 2 p 0 p p 2 (c) () Fgura 3.6: Emplo a raóra uma parícula Méoos umércos O luo raspor (soluo parículas) são prssos aravés uaçõs rcas parcas cua solução po sr oba usao-s méoos aalícos méoos umércos. Os méoos aalícos aoam uma smplcação a uação rcal aprsam uma solução u gralm é possívl som uao s m gomra coçõs cooro smpls (Tlls, 200). Os méoos

17 78 umércos, por sua vz, aprsam uma solução u po cosrar ualur po varação o spaço o mpo os parâmros ro o omío o problma. Dr os méoos umércos mas ulzaos para smular problmas luo raspor, sacam-s o Méoo os Elmos Fos (Dsa, 979; Bah, 996) o Méoo as Drças Fas (Wag Arso, 982). s rabalho o méoo os lmos os é ulzao a solução as uaçõs luo raspor Méoo os lmos os As soluçõs as uaçõs luo ão saurao raspor soluos (uaçõs , rspcvam) são obas usao o méoo os lmos os Galrk. O méoo Galrk é aprsao m alhs m uma (975); Zkwcz (977); Pr Gray (977). s rabalho são aprsaos som algus passos o procsso solução. Rsumam, po-s zr u o méoo os lmos os o omío spacal é vo m lmos scros poos oas, a solução é oba pla marcha aravés o mpo m passos scros, cao com uma solução o mpo zro Formulação umérca a uação luo o mo poroso Para solução a uação 3.4 o méoo os lmos os é usao para scrzação o spaço o méoo as rças as é usao para scrzação o mpo. Dscrzação o spaço A varávl p, ução carga prssão (, y, z, ) por uma ução (, y, z, ), aprsaa a uação M (, y, z, ) (, y, z) ( ), é apromaa (3.27)

18 79 a uação, é a ução rpolação lar, é o valor scohco a carga prssão oal, M é o úmro oal ós. O méoo Galrk (Huyakor Pr, 983) é usao para scrzar a uação luo uação 3.7 sobr um omío. Dsa orma: 0 Q z K G (3.28) Sparao os rmos a gral, m-s: 0 Q z K G (3.29) Igrao por pars sguo mo a uação 3.29, m-s: z K z K * (3.30) a uação acma, o úlmo rmo o lao ro rprsa o luo luo ormal ao cooro,, o omío (ac, para problmas rmsoas arsa, para problmas bmsoas), o rmo * é ao por: K * (3.3) osrao u para o mo poroso rmsoal 0 z, 0 y z z z, a uação 3.30 ora-s: K K z K z * (3.32) Eão, a uação 3.29 po sr scra a sgu orma:

19 80 0 * Q K K G z (3.33) Aplcao a uação 3.27 a uação 3.33: 0 * z Q K K G (3.34) o rprsa o omío o lmo, é o cooro o lmo. a orma marcal a uação 3.34 é aa por: 0 b F A (3.35) o, G F (3.36) K A (3.37) z K b (3.38) * (3.39) Q (3.40) é o vor carga prssão oal. Dscrzação o mpo omo o o arorm, para a scrzação o mpo é usao o méoo as rças as. Dsa mara, a uação 3.35 é rscra a sgu orma:

20 8 k k k λ k λ k λ k λ k λ k λ ( ) F ( ) b( ) ( ) ( ) 0 A (3.4) o com 0 λ. k k λ λ k ( λ) a uação 3.4, o sobrscro k rprsa o passo mpo, amaho o passo mpo λ vara 0 a. (3.42) o Formulação umérca a uação luo o mo raurao O mo raurao é rprsao por um mo poroso bmsoal. As rauras, o ao, são poscoaas o spaço. Assm, algumas muaças vm sr cosraas às uaçõs aprsaas a sção aror. Tas muaças são rlacoaas, bascam, a uma rasormação o ssma cooraas. Ou sa, rasormação as cooraas locas as rauras m cooraas o ssma global. Essa rasormação é ralzaa para prmr a uão o mo raurao ao mo poroso. Para o cálculo ( ) z b (uação 3.38), v-s cosrar u 0 z 0. Ess rmos são rs zro, pos os lmos bmsoas y são poscoaos o spaço, como aprsao a Fgura 3.7. z y y β y β Fgura 3.7: Elmo bmsoal poscoao o spaço.

21 82 Para rasormar o plao (, y ) para o plao (, y), v-s mulplcar as parclas y os rmos b ( ), plos cossos os âgulos b ( ), sará scra m cooraas globas (, y, z). β β. Assm, Para o cálculo A ( ) (uação 3.37), po-s ralzar muaça bas as cooraas os ós o lmo com ss valors rmar A ( ). Para o cálculo F ( ) (uaçõs , rspcvam), é cssáro bascam rmar o valor a ára o lmo, u po sr calculaa ram m cooraas globas (uação 3.43). R R R k ( y y )(. z z ) ( z z )( y y ) ( z z )(. ) ( )( z z ) ( )(. y y ) ( y y )( ) R R Rk Ara (3.43) 2.0 Por m, para o cálculo (uação 3.39), é cssáro rmar a * sâca r os ós a arsa o lmo o é aplcaa a vazão. A sâca r os poos (p p 2 ) o spaço é calculaa pla uação y 2 2 ( ) ( y y ) ( z ) 2 (3.44) z Formulação umérca a uação raspor soluo o mo poroso O procmo solução a uação raspor soluos, aprsao abao, é smlha ao aprsao para uação luo. Dscrzação o spaço A varávl p, ução cocração ( y, z, ) a orma: uma sér a (, y, z, ),, é apromaa por

22 83 M z y z y,,,,, (3.45) a uação, é a ução rpolação lar, é o valor scohco cocração oal, M é o úmro oal ós. Aplcao o méoo Galrk a uação raspor soluo (uação 3.8) sobr um omío, m-s: 0 R D R λ (3.46) Sparao os rmos a gral: [ ] 0 R D R λ (3.47) Igrao por pars o rcro mo a uação 3.47, m-s: D D D (3.48) Eão, a uação 3.48 é rscra a sgu orma: [ ] 0 R D D R λ (3.49) a uação 3.48, o sguo rmo o lao ro rprsa o luo sprsvo ormal ao cooro. Ess rmo é ao por: 0 D (3.50) o 0 é a cocração o luo chgaa (Smuk al., 995). Aplcao a uação 3.45 a uação 3.49, obém-s:

23 R D R λ (3.5) a orma marcal a uação 3.5 é aa por:. 0 S Q (3.52) o, R Q (3.53) R D S λ (3.54) 0 (3.55) é o vor cocraçõs oal. Dscrzação o mpo Para scrzação o mpo é usao o méoo as rças as. Assm, a uação 3.52 é rscra a sgu orma: S S Q ε ε ε ε ε (3.56) com 0 ε.

24 Formulação umérca a uação raspor soluo o mo raurao Smlha ao luo o mo raurao, o raspor soluo é rprsao pla uação raspor o mo poroso bmsoal. Dsa orma, algumas muaças ambém vm sr cosraas às uaçõs aprsaas a sção aror. Essas muaças são rlacoaas, bascam, à rasormação o ssma cooraas locas, as rauras, para o ssma cooraas globas. Para o cálculo S (uação 3.54) v-s ralzar muaça bas as cooraas os ós os lmos, as sprsvas as vlocas. Dsa orma, S sará scra m cooraas globas. Para o cálculo Q (uaçõs , rspcvam), é cssáro rmar o valor a ára o lmo, u po sr calculaa ram m cooraas globas usao a uação Méoos ravos para problmas ão lars Os méoos ravos raaos ssa sção rrm-s aos méoos usaos para solução a ão lara a uação luo ão saurao (uação 3.4). a lraura, é possívl corar algus sss méoos, m spcal os rabalhos Paco al. (99) la al. (987). Os méoos ravos mas usaos são os méoos wo (ambém cohco como wo-raphso) méoo Pcar. o ao, sss méoos são cosraos muo robusos caros compuacoalm, pos para caa passo mpo é cssáro avalar rpam o ssma uaçõs. Da sa svaagm, algus méoos ão ravos oram svolvos, como por mplo, os méoos wo Pcar larzaos. s rabalho são aprsaos som os méoos ravos. Maors alhs sobr os méoos ão ravos pom sr coraos m Paco al. (99).

25 86 osraçõs gras Toos os méoos scros sa sção srão aprsaos a parr a uação 3.4 (uação luo ão saurao a orma marcal). ssa uação, cosrao λ / 2, o suma scrzação é smpr sávl cosrao λ </ 2 a sabla é cocoal, p a scrzação o spaço o mpo (Hughr, 977). O ssma uaçõs 3.4 é smpr ão lar m k, co uao λ 0, o s m o caso plíco. Para os casos mplícos ( λ > 0 ), é cssára a ulzação méoos ravos para rsolvr o ssma uaçõs. s rabalho é aoao o suma mplíco scrzação ( λ ). Eão, scrvo a uação 3.4 para λ sprzao o rmo, m-s: ou, k k k k k k k F( ) ( ) b( ) 0 A (3.57) k k k k k k k k A( ) F ( ) ( ) b( ) (3.58) O ssma 3.40 é smérco. o ao, ssa smra sobr o ssma global é pra para algus méoos ravos como srá vso posrorm. raçõs. as uaçõs os s sgus o sobrscro m rprsa o ívl Méoo wo O méoo wo (M) é ao por (Paco al., 99): k, ( m) k, ( m ) k, ( m) k, ( m) ( ) ' (3.59) k, m o a rvaa o ssma ' é: k, ( m) k, ( m) k, ( m) A ( ) k, ( m) k, ( m) ' A F k, m k k, ( m) k, ( m) F( ) k, ( m) k b ( ) k k, m k, ( m) so a rvaa aualzaa para caa ração. ( ) (3.60)

26 87 O M aprsa uma ão smra a marz o ssma vo a prsça rmos rvaas A k, ( m) ( ) k, ( m), F k, ( m) ( ) k, ( m) b k, ( m) k, ( m). Ess méoo, apsar aprsar uma covrgêca uaráca, rur a rvaa as marzs A B o vor F, orao o smpho o méoo mas lo. Algumas scussõs sobr o M são aprsaas por Orga Rhbol (970) o Boor (980). Méoo Quas-wo A cosrução a rvaa o ssma ' (hssaa) a obção a sua vrsa m caa ração é um procsso cusoso. A a básca o méoo uas wo (MQ) é usar uma apromaçao a vrsa a hssaa o lugar a vrara hssaa. O méoo BFGS (Broy-Flchr-Golarb-Shao) (Arora, 989) rprsa um MQ. Ess méoo o mplmao o programa aáls umérca svolvo. Sua ormulação é aprsaa abao. o méoo, k, [ ] 0 S (3.6) 0 ' o S 0 é vrsa a hssaa cal, rprsaa pla marz a (I). O valor S m é rmao pla sgu prssão: u po sr scra a orma, [ I w. v ]. S.[ I v w ] S. m m m m m m (3.62) o, [ I wm. vm ]. Sm.[ I vm. wm] g (3.63) m. m v m w m α (3.64) / 2. m m gm m g m δ m. g m δ (3.65) δ m m. m m g g (3.66) m m

27 88 a uação 3.64, as ouras uaçõs, m ( m ) k, ( m) k,. δ α. (3.67) m m m α m é o valor a busca lar (valor aoao gual a um). k, ( m) g m, k, ( ) g m m Méoo Pcar A ormulação o méoo Pcar (MP) po sr oba ram a uação Assm, m-s: A k, ( m) k, ( m) ( ) F k ( m ), k k, ( m) k, ( m) k k, ( m) k ( ) b( ) A( ) F ( ) (3.68) Rscrvo a uação 3.68, obém-s: k,( m) k, ( m) F k, ( m ) k, ( m) k, ( m) ( ) A (3.69) omparao a uação 3.59 com a uação 3.69 vrca-s u o MP po sr vso como uma smplcação o M. O MP aprsa uma smra a marz o ssma aprsa covrgêca lar. a lraura é possívl corar algus rabalhos u aprsam comparaçõs r o M MP. o rabalho Paco al. (99) rlaa-s u, apsar o M rurr as rvaas algus rmos sua uação, o méoo ão é mos c compuacoalm u o MP. Iso s á plo ao u o cuso compuacoal para rsolvr os rmos rvaas é compsao pla rápa covrgêca o méoo (úmro puo raçõs). o msmo rabalho os auors rlaam u para cros problmas ala ão lara o M é mas c u o MP. Em um ouro rabalho aprsao por Paco Pu (994), é ralzao um suo comparavo mas prouo r o M MP, o são aalsaos problmas D, 2D 3D, m rgm prma ras. Sguo os auors, aors como o amaho o problma, a scrzação spacal mporal, a smava a solução cal, as caracríscas a couva hráulca a uma volumérca pom aar a covrgêca os os méoos. Para var

28 89 a ão covrgêca o problma, os auors aprsam algumas sraégas. Uma las é aoar uma msura o P M. Méoo Pcar mocao O méoo Pcar mocao (MPM) o assm omao por la (987) Zarba (988). Ess méoo cosra a orma msa (uação luo ão saurao scra m rmos carga prssão uma volumérca, como aprsao a uação 3.) rprsação a uação Rchars. Sguo la Boulouas (990) a solução umérca a uação Rchars, basaa a carga prssão, gralm prouz rsulaos pobrs caracrzaos por um gra rro o balaço massa. Por ouro lao, a solução umérca basaa a orma msa orc cls rsulaos, pos mmza o rro o balaço massa. Erao uma boa cosrvação massa ão gara uma boa solução umérca (la Boulouas, 990). Dscrzao o spaço o mpo a uação 3. (cosrao o rmo armazamo) a msma orma como o o a sção 3.52, obém-s a sgu uação (com λ sprzao o rmo ): so, k k k k k k k F ( ) ( ) b( ) 0 A (3.70) F G (3.7) G S s s ( ) (3.72) o MPM o sguo rmo a uação 3.70 é pao m uas pars. F k k k k ( ) F ( ) ( m ) k ( ) k, k,( m) k, k F ( m) (3.73) O sguo rmo o lao ro a uação acma é cohco a ração corr o prmro rmo o lao ro po sr prsso m rmos carga prssão.

29 90 F k k k k ( ) F( ) ( m ) k ( ) k, k,( m) k, k F ( m) (3.74) S a solução umérca covrg, o prmro rmo o lao ro a uação 3.74 saparcrá o al o procsso ração. Esa caracrísca parcular gara um rro rlavam puo o balaço massa a solução (Smuk al., 995). A ormulação o MPM é a aprsaa abao. A k, ( m) k, ( m) ( ) F k, ( m ) k k, ( m) k, ( m) k k ( ) b( ) F( ) F ( ) k, ( m) k (3.75) 3.6. Um programa umérco para aáls luo raspor m mos porosos rauraos a lraura, é possívl corar algus programas compuacoas para a aáls luo raspor m mos porosos rauraos. Algus sss programas são scros o rabalho Doao (994). A Tabla 3.2 a Tabla 3.3 aprsam um rsumo programas para aáls rmsoal luo raspor m mos porosos rauraos. s rabalho, o svolvo o programa FTPF-3D (Smulag Flow a Solu Traspor Porous a Fracur Ma - Thr-msoal). O FTPF-3D é um programa rmsoal para aáls luo, raspor soluo raóra parículas m mos porosos rauraos. El o crao a parr o cógo o o programa SWMS3D (Smuk al., 995) u smula luo raspor soluo m mo poroso. O méoo umérco ulzao para rsolvr as uaçõs govras é o Méoo os Elmos Fos. A aáls umérca po sr ralzaa m rgm prma ou ras, m coçõs sauraas ou ão sauraas. Os mcasmos raspor cosraos são: avcção, sprsão, usão, sorção camo. O programa ulza os méoos Pcar mocao (Huyakor Pr, 983) BFGS (Broy-Flchr-Golarb-Shao) (Arora, 989) para rsolvr a

30 9 ão lara a uação luo ão saurao. Para a solução o ssma uaçõs lars luo ulza-s o méoo lmação Gauss com armazamo a marz global m baa (Arora, 989) ou o méoo o gra cougao prcocoao com marz smérca (Moza al., 99). A scolha um os os méoos é a plo amaho o problma. O méoo lmação Gauss é usao uao a largura baa é mor u v ou uao o úmro oal ós é mor u 500. Para a solução o ssma uaçõs lar raspor soluo, o paco ORTHOMI (méoo o gra cougao prcocoao) é aoao. Maors alhs sobr ss méoo pom sr coraos m Moza al. (99). o FTPF-3D oram mplmaas as sgus ucoalas: As uaçõs luo raspor soluo, bmsoas, o mo poroso para rprsar as rauras; Um móulo raóra parículas para o mo raurao, u ulza o méoo Eulr; O méoo ravo BFGS para rsolvr a ão lara a uação luo ão sauraa. O programa svolvo é capaz smular luo raspor soluo m mo poroso, mo raurao mo poroso raurao (mo poroso mo raurao rposo). É possívl ambém combar os rês mos, como é aprsao a Fgura.2.

31 92 Tabla 3.2: Programas rmsoas luo raspor m mos porosos rauraos. Frac3DVS FracMa/ PORFLO-3 PORFLOW STAFF3D SWIFT/486 MAFI Molo cocual Méoo umérco Fluo P, SFD SFD, MPE MFD, MPE MFD, MPE MDP, MFD MDP, MFD MEF MEF MDF MDF MEF MDF Tras S S S S S S Hrogêo S S S S D S Asorópco D D S S D S ão saurao S S S D D Mulásco S S Traspor Avcção S S S S S S Dsprsão S S S S S S Dusão D S S S S D Sorção D S S S D S Dcamo D S S S S S Rrêcas MPE MDP MFD SFD P S D MEF MDF Lga Frac3DVS, 2005 FracMa, 2005 Molo Mo Poroso Euval Molo Dupla Porosa Molo Frauras Dscras Ssma Frauras Dscras Poroso Sm ão ão rmao Méoo os Elmos Fos Méoo as Drças Fas Ruchal al., 992 PorFlow, 2005 Sa3D, 2005 Sw/486, 2005

32 93 Tabla 3.3: Programas rmsoas luo raspor m mos porosos rauraos. TOUGH2 BIM3D/ apsac oclow FTPF-3D FRAGE Molo cocual Méoo umérco Fluo MDP MDP SFD, MPE P, SFD, MFD, MPE P, SFD, MFD MDF D MEF MEF MEF Tras S D S S S Hrogêo D D S S S Asorópco D D S S ão saurao S S S S S Mulásco S D Traspor Avcção S S S S S Dsprsão D D S S S Dusão D D S Sorção D S S S Dcamo D S S Rrêcas MPE MDP MFD SFD P S D MEF MDF Lga Tough2, 2005 BIM3D/ FRAGE, 2005 Molo Mo Poroso Euval Molo Dupla Porosa Molo Frauras Dscras Ssma Frauras Dscras Poroso Sm ão ão rmao Méoo os Elmos Fos Méoo as Drças Fas Harly al., 2002 Harly Holo, 2003