Luciene Gomes de Souza. Comparação de métodos de micro-dados e de triângulo run-off para previsão da quantidade IBNR. Dissertação de Mestrado

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1 Luc Goms d Souza Comparação d méodos d mcro-dados d râgulo ru-o para prvsão da quadad IBR Dssração d Msrado Dssração aprsada como rquso parcal para obção do íulo d Msr plo Programa d Pós graduação m Eghara Elérca da PUC Ro Orador: Pro. Álvaro d Lma Vga Flho Ro d aro Smbro d 03

2 Luc Goms d Souza Comparação d méodos d mcro-dados d râgulo ru-o para prvsão da quadad IBR Dssração aprsada como rquso parcal para obção do grau d Msr plo Programa d Pós graduação m Eghara Elérca do Dparamo d Eghara Elérca do Cro écco Cíco da PUC Ro. Aprovada pla Comssão Examadora abaxo assada. Pro. Álvaro d Lma Vga Flho Orador Dparamo d Eghara Elérca PUC Ro Pro. Crsao Auguso Colho Frads Dparamo d Eghara Elérca PUC-Ro Pro. Adré Machado Caldra SulAmérca Sguros Dr. Rodrgo Smõs Ahro GP Global d Rcursos Lda Pro. osé Eugo Lal Coordador Soral do Cro écco Cíco PUC Ro Ro d aro 3 d Smbro d 03

3 odos os dros rsrvados. É probda a rprodução oal ou parcal do rabalho sm auorzação da uvrsdad do auor do orador. Luc Goms d Souza Graduou-s m Esaísca plo Isuo d Mamáca Esaísca da uvrsdad do Esado do Ro d aro IME/UER m 004. os úlmos aos auou o mrcado d sguros prmram com cálculo d rsrva IBR por úlmo modlagm d rsco prccação d sguro d auomóvs. Goms d Souza Luc Fcha Caalográca Comparação d méodos d mcro-dados d râgulo ru-o para prvsão da quadad IBR/ Luc Goms d Souza orador: Pro. Álvaro d Lma Vga Flho : l. 30 cm. Dssração Msrado m Eghara Elérca - Poíca Uvrsdad Caólca do Ro d aro Ro d aro 03. Iclu rrêcas bblográcas.. Eghara Elérca s.. IBR. 3. ragulo d Ru-o. 4. Cha laddr. 5. Borhur-Frguso Esddo. 6. Algormo EM. 7. Dsrbuçõs rucadas. 8. Msura d Expocas. I. d Lma Vga Flho Álvaro.. Poíca Uvrsdad Caólca do Ro d aro. Dparamo d Eghara Elérca. I. íulo. CDD: 6.3

4 Agradcmos ADusporm cocdr saúd paz das ldosd clma amo qu ão pud aprovar ao ar lvr mas qu produzam m mm spraça cooro para qu u rabalhass com raquldad por cocdr saúd às pssoas qu amo m dado a oporudad d aprovar um pouquho mas a compaha dlas agora. Aos mus pas cujo apoo jamas corar gual. Ao mu orador Prossor Álvaro Vga plo apoo m odas as horas por SEMPRE rcobrar o ôlgo com sua algra smpaa d smpr para couarmos apsar d qualqur barrra aé a coclusão ds rabalho qu ão s alzou m ossas ms. Aos mus colgas da PUC Ro amgos d jorada por m mprsarm sus ouvdos m momos d alção plas coqusas parlhadas. Ao Fracsco Olvr pla colaboração cvo. À Equp da Sguradora Lídr rsposávl pla admsração do DPVA m spcal mu amgo Adrso Schuc qu muo m ajudou m qusõs spcícas do coxo ds rabalho. À própra Sguradora Lídr pla cocssão da ulzação dsss dados para grar os rsulados aprsados. À CAPES à PUC Ro plos auxílos cocddos sm os quas s rabalho ão podra r sdo ralzado. Ao pssoal do dparamo d Eghara Elérca pla ajuda d odos os das. Ao mu amgo Rcardo Cavalca qu dclarado o su grad dsjo d ralzar um msrado acabava m cvado a coclur o mu sm m prcbr. Um agradcmo spcal ao mu amgo Edcarllos qu m salvou dos problmas da codcação ds xo m lax.

5 Rsumo Goms d Souza Luc d Lma Vga Flho ÁlvaroOrador. Comparação d méodos d mcro-dados d râgulo ruo para prvsão da quadad IBR. Ro d aro p. Dssração d Msrado Dparamo d Eghara Elérca Poíca Uvrsdad Caólca do Ro d aro. A rsrva IBR é uma rsrva d suma mporâca para as sguradoras. Su cálculo m sdo ralzado por méodos m sua grad maora drmíscos radcoalm aplcados a ormaçõs d ssros agrupadas um ormao parcular ulado ragulo d ru-o. Esa orma d cálculo o muo usada por décadas por sua smplcdad pla lmação da capacdad d procssamo compuacoal xs. Hoj com o grad avaço dssa capacdad ão havra cssdad d dxar d vsgar ormaçõs rlvas qu podm sr prddas com agrupamo dos dados. Muas são as dcêcas dos méodos radcoas apoadas a lraura o uso d ormação dalhada m sdo apoado por algus argos como a o para supração dssas dcêcas. Oura busca cosa as modologas proposas para cálculo da IBR é pla obção d boas mddas d prcsão das smavas obdas por ls. s poo sobr o uso d dados dalhados há a xpcava d obção d mddas d prcsão mas jusas já qu s m mas dados. Isprada m algus argos já dvulgados com proposas para modlagm dsss dados ão agrupados sa dssração propõ um ovo modlo avalado sua capacdad d prdção gaho d cohcmo a rspo do procsso d ocorrêca avso d ssros r ao qu s pod obr a parr dos méodos radcoas aplcados à dados d quadad para obção da quadad d ssros IBR sua dsrbução. Palavras chav IBR ragulo d Ru-o Cha laddr Borhur-Frguso Esddo Algormo EM Dsrbuçõs rucadas Msura d Expocas

6 Absrac Goms d Souza Luc d Lma Vga Flho ÁlvaroOrador. Comparso o mhods o mcro-daa ad ru-o ragl or prdco amou o IBR. Ro d aro p. MSc. Dssrao Dparamo d Eghara Elérca Poíca Uvrsdad Caólca do Ro d aro. h IBR rsrv s a rsrv o paramou mporac or surrs. Is calculao has b accomplshd by mhods mosly drmsc radoally appld o clams groupd ormao a parcular orma calld ru-o ragl. hs mhod o calculao was vry adqua or dcads bcaus o s smplcy ad h lmd compuaoal procssg capacy xsg h pas. oday wh h brahrough o hs capacy o wavr o vsgag rlva ormao ha may b los wh groupg daa would b d. May laws o h radoal mhods has b mod h lraur ad h us o dald ormao has b pod as a orm o ovrcomg hs dccs. Aohr rqu am mhodologs proposd or h calculao o IBR s g a good masur o h accuracy o h smas obad by hm ad ha s aohr xpcao abou h us o dald daa sc you go mor daa you could g br masurs. Isprd by som arcls alrady publshd wh proposals or modlg such o groupd daa hs dssrao proposs a w modl ad valua s prdcv ably ad ga o owldg abou h procss o occurrc ad oc o h clam agas ha o ca g rom h radoal mhods appld o daa o amou o clams or oba h amou o IBR clams ad hr dsrbuo. ywords IBR Ruo ragl Cha laddr Exdd Borhur- Frguso EM Algorhm rucad dsrbuos Mxur o Expoal Dsrbuos

7 Sumáro Irodução 0. Rsrva d Ssros ão Pagos a IBR. Formao dos Dados.3 rabalhos Arors 3.4 Corbuçõs 6 Méodos radcoas 8. ragulo d Ru-o 8. Cha laddr 9.3 Borhur-Frguso Esddo 0.4 Mddas para Avalação da Qualdad da Prvsão 3 3 Modlos para Mcro-dados 5 3. Abordagm d Parod 7 3. Abordagm d Wssr - Esmação da Dsrbução d Arasos d Avso por Máxma Vrossmlhaça Abordagm d Aoo Pla Abordagm proposa 38 4 Aplcaçõs Dados Dsrbução d Arasos rquêca d ssros Erros d prvsão smava da quadad IBR Irvalos d coaça obdos a abordagm proposa 64 5 Coclusõs rabalhos uuros 66 Rrêcas Bblográcas 68 A Coas 7 A. Algormo EM 7 A. Esmadors MV 78 A.3 Dsrbução da Quadad IBR 8

8 Lsa d guras. râgulo d ru-o Icrmal. 8. râgulo d ru-o Acumulado Cclo d vda d um ssro Rprsação Gráca das Equaçõs Hsogramas dos arasos d avso obsrvados m 9 das slcoados 5 4. Curvas Expocas Ajusadas - 9 das slcoados Curvas da Msura d Expocas Ajusadas - 9 das slcoados Valors sprados dos arasos x rucamo/ por da d ocorrêca - Dsrbução d arasos xpocal Valors sprados dos arasos da dsrbução d msuras d xpocas x rucamo/ por da d ocorrêca - Dsrbução d arasos msura d xpocas Valors sprados dos arasos da dsrbução d msuras d xpocas x rucamo/ por da d ocorrêca - Dsrbução d arasos msura d xpocas Arasos sprados - Expocal Proposa Wssr Arasos sprados - Msura d Expocas Proposa Wssr Parâmro ala - Arasos como msura d Expocas Proposa Wssr Valors sprados dos arasos - Expocal Proposa Dssração Parâmro γ - Araso Expocal Proposa Dssração Valors sprados dos arasos - Msura d Expocas Proposa Dssração - Amosras com sm úlmos aos d avso obsrvados Parâmro γ - Arasos como Msura d Expocas Proposa Dssração Valors sprados dos arasos - Msura d Expocas Proposa Dssração - Amosras com sm úlmos mss d avso obsrvados Ulma x d x γ - Msura d Expocas Proposa Wssr Ulma x d x γ - Msura d Expocas Proposa Dssração Quadads Obsrvadas x Esmadas Msura Exp.Proposo x Msura Exp.Wssr 63

9 Lsa d ablas 4. Esaíscas Dscrvas Das d ocorrêca slcoadosy Mddas dos Erros B-F Esddo - Prvsõs Auas Mddas dos Erros B-F Esddo - Prvsõs Msas IC90% x Quadad Obsrvada por Ao d Avso ora da Amosra IC90% x Quadad Obsrvada por Mês d Avso ora da Amosra 65

10 Irodução A sgla IBR Icurrd bu o rpord dca uma mpora rsrva qu dv sr cosuída plas compahas d sguro m gral m odos os sgumos. Esa rsrva m um drmado sa d mpo dv corrspodr ao moa cssáro para o pagamo d dzaçõs d odos os ssros já ocorrdos porém ada ão ormados à sguradora. Porao a IBR é dda aravés d uma smava dos ssros ada ão obsrvados. Rob aas al. armam qu há décadas arás as carras d sguros ão-vda ram acadas aravés d um ssma pay-as-you-go. odas as rvdcaçõs m um drmado ao ram pagas a parr da rca d prêmos do msmo ao dpdm do ao d orgm do ssro. Gahos prdas éccas surgram dvdo à drça r a rca d prêmos m um ao os ssros pagos dura o ao. A IBR busca acpar o cuso dos ssros d rsposabldad da sguradora porém ada ão cohcdos rduzdo ssas prdas gahos assm azdo com qu balaço acro do porólo d cada ao sja mas próxmo do ral smpr haja rcursos para cobrr as dzaçõs a srm pagas. Dvrsos auors azam a mporâca da prcsão da smava da rsrva IBR. Sgudo Frdlad podmos vr a mporâca da acuráca da smava d ssros ão pagos m gral por 3 poos d vsa a sabr: Gsão Ira: a prcsão a smava d dzaçõs ão pagas é sscal para a corra omada d dcsão m pracam odas as áras das opraçõs d uma compaha d sguros como subscrção prccação sraégca acra. Ivsdors: Rsrvas mprcsas podm lvar a balaços dmosraçõs d rsulados rrados. Assm os prcpas dcadors acros ulzados plos vsdors podm sr gaadors. Uma sguradora com rsrvas sucs pod aprsar-s m uma posção mas or do qu ralm é. Por ouro lado uma sguradora com rsrvas xcssvas pod mosrar uma posção mas raca do qu o su vrdadro

11 Capíulo. Irodução sado. Isso podra aar as dcsõs dos vsdors rlacoados com a sguradora. Rguladors: Rsrvas mprcsas podm rsular m uma dsorção da vrdadra suação acra d uma sguradora. S uma sguradora com problmas acros sá mascarado su vrdadro sado com rsrvas adquadas um rgulador pod ão sr volvdo o procsso para ajudar a sguradora a rcuprar sua orça a mpo. o Brasl a cosução da rsrva IBR é obrgaóra dsd 998. A SUSEPSuprdêca d Sguros Prvados sablc créros para cálculo dsa rsrva acompaha as rsrvas sablcdas plas sguradoras. Como sgaára da IAIS Iraoal Assocao o Isurac Suprvsors a SUSEP m sua rgulação das socdads sguradoras sgu os prcípos sablcdos pla IAIS qu passou a adoar as abordags d avalação d solvêca dcação d rscos rqurmo d capal do Solvêca projo d cosoldação d ormas rlavas à solvêca d sguradoras cado a Europa. O rqurmo d capal raa do capal mímo rqurdo plas rguladoras para qu as sguradoras possam oprar. Es capal rgulaóro dv vsar à capacdad das sguradoras d pagar odas as suas obrgaçõs m uma suação d lqudação ou ada d rasrêca d sua carra a uma compaha cssoára. O Solvêca suu a orma d rqurmo d capal basado m rsco subsudo as ormas arors basadas o volum d opraçõs da compaha. O capal rqurdo dv sr capaz d azr r a dvrsos pos d rsco qu a compaha supora m suas avdads coroladomado m ívs acávs o rsco d qu a compaha vha a r o su passvo suprado sus avos. A sss rscos clu-s o rsco d rsrvas rsco das provsõs sablcdas s mosrarm adquadas cludo-s r las a IBR. Assm mosram-s cada vz mas cssáras éccas qu mçam a prcsão da prvsão d rsrva cssára rsco d qu o valor d rsrva ddo a parr dla sja suc. Mas dalhs sobr solvêca ormaçõs rlacoadas à solvêca o mrcado braslro podm sr corados m Alr3.. Rsrva d Ssros ão Pagos a IBR Sgudo Frdlad a smava d ssros ão pagos clu cco compos: Pagamos xcpcoas d ssros cohcdos Provsão para dsvolvmo d pagamo d ssros cohcdos

12 Capíulo. Irodução Esmava para ssros rabros v Provsão para ssros ocorrdos ão avsados v Provsão para ssros m râso ssros avsados mas ão rgsrados. Pagamos xcpcoas d ssros cohcdos ão clu dsvolvmo uuro. Auáros rrm-s à soma das úlmas quaro compos como uma IBR abrag. s rabalho raarmos como IBR som a quara compo da lsa acma qu ambém é chamada d IBR Pura ou vrdadra IBR ou IBYRIcurrd Bu o Y Rpord. Os dmas s qu compõm a IBR m su sdo abrag são compos do chamado IBERIcurrd Bu o Eough Rpord ou RBSRpord Bu o Sld ou IBFRIcurrd Bu o Fully Rpord4. o Brasl a IBER o usualm chamada d ajus PSLProvsão d Ssros a Lqudar já qu sa mdda é usada para ajusar a rsrva para pagamo d ssros já avsados porém ão lqudados. Em gral a rsrva IBR cssára é smada aravés d râgulos d ru-o ulzado-s como dados a soma do moa pago rsrvado para pagamo d dzaçõs m cada príodo corr após a ocorrêca dos ssros obsrvados. Os méodos mas radcoas usam a rlação r daa d ocorrêca d ssro cora a daa d pagamo daa da posção da rsrva como compos para avalação da rsrva cssára. A maora dsss méodos sma a IBR m su sdo abrag são cssáras aplcaçõs adcoas aos sus rsulados para sparar ds moa a vrdadra IBR. Em ossas aplcaçõs dsd os méodos mas radcoas aé os méodos proposos smarmos a quadad d ssros da vrdadra IBR aravés dos méodos proposos chgarmos a uma dsrbução para sa mdda. Os méodos proposos radcoas srão comparados m rmos d prormac a prvsão da quadad d avsos uuros d ssros já ocorrdos. O produo dssa smava com a svrdad smada para cada ssro IBR os dara a smava al da IBR. A smação da svrdad ão sá clusa o scopo ds rabalho.. Formao dos Dados A grad maora das modologas d cálculo d rsrva proposas aé hoj ulza um ormao d dados parcular chamado râgulo d ru-o od os dados são agrupados coorm daas d ocorrêca pagamo ou avso do ssro r ouras. Algus auors crcam orm s ormao d

13 Capíulo. Irodução 3 dados pos o agrupamo dos dados pod grar uma prda d ormaçõs mporas sobr ls. Coorm do arorm raar dados agrupados ra uma solução para a lmação d procssamo xs há décadas arás. Dada a volução compuacoal alcaçada hoj ão há mas cssdad da agrgação d dados ormaçõs mporas d ssros dvduas as prddas podm corbur para a prcsão das prvsõs as sobr ls cosrução d uma dsrbução para rsrva cssára mas ralsa. Es ívl d ormação o chamado d drs ormas por dvrsos auors como xmplo Mcro-dado Mcro-lvl ou smplsm ssro dvdual. Parod5 az uma aplcação a dados s ívl chama d lvr d râgulo. O oco ds rabalho é sar aplcaçõs sobr dados d ssros dvduas sar su dsmpho m rlação às prvsõs obdas..3 rabalhos Arors Frdlad aborda os méodos radcoas mas ulzados o mrcado sgurador suas uacs vaags dsvaags prormac dado oraçõs d ulzação aáls. Dr sss méodos são os mas amosos ulzados cha laddr Borhur-Frgurso6. Cha laddr é a écca mas aga - aylor7 arbu o om da écca ao rabalho d um prossor o Ro Udo o íco dos aos 70 - ambém a mas usada o mrcado sgurador6 8. Há um grad volum lráro sobr éccas d cálculo d rsrvas produzdos prcpalm a parr da década d 80. Uma bblograa lvaada m Schmd9 coém quas 800 s r ls poucos lvros algumas moograas muos argos. A parr ds lvaamo vmos qu a produção d maral sobr o assuo pracam dobrou os aos 80 rdobrou os aos 90 a parr do ao 000 mas d 300 maras publcados são cados. A grad maora dos argos xss a lraura az ors crícas ao méodo cha laddr. Icalm a prcpal críca s cocrava o ao d sr um méodo drmísco sm um arcabouço saísco por rás qu ão orc uma orma d cálculo da varabldad d suas prvsõs. Dvrsos argos oram scros arbudo um arcabouço saísco ao cha ladr porém gravam smavas dsas do cha laddr. Em0 Mac drvou uma órmula para obção do dsvo padrão das smavas do cha laddr lvr d dsrbução a parr d suposçõs smpls ulzado os smadors orgas do méodo obdo assm uma órmula para cálculo dssa varabldad com as msmas smavas do méodo orgal mrcdo

14 Capíulo. Irodução 4 o méro d sr mcoado por dvrsos argos posrors qu cluíam a varabldad do cha laddr m suas aálss. Eglad Vrrall azm um lvaamo dos méodos socáscos para cálculo d rsrvas apoado as coxõs r ls mosrado como ls podm sr mplmados dscudo caracríscas rprado sus rsulados sua uldad mas ampla. Sgudo ls sss méodos socáscos são ulzados por um úmro muo lmado d prossoas. Eglad Vrrall arbum s ao a ala d dmo dsss méodos ala d lxbldad ala d sowars adquados apoam como provávl razão prcpal a ala d cssdad dss méodos quado méodos radcoas são sucs para o cálculo da mlhor smava d rsrvas d ssros. Porém dadas as ovas xgêcas d rgulação corol d rscos advdas do Solvêca coorm mcoado o íco do capíulo ão srá mas suc calcular a mlhor smava o cálculo d rsrvas por méodos socáscos passa a sr uma cssdad para obção do rsco d sucêca do valor da rsrva smado. Muos ouros argos oram scros com o uo d aprmorar o méodo cha laddr m dvrsos ouros aspcos qu ão só a socascdad como Wrgh Schpr3 Vrrall4 Mac5 Vrdoc67. aylor8 az um lvaamo dos méodos proposos aé sua época cra uma axooma caracrzado-os como socáscos ou drmíscos com smação d parâmros óma ou hurísca dâmcos ou sácos omológcos ou mcrosruuras. Essas caracríscas combadas drmam dvrsos grupos d méodos. s lvaamo aylor mosra maor usasmo m rlação à caracrísca d damsmo ddcado boa par d su argo à xposção d uma gralzação do lro d alma para obção d rsrvas adapavas - o lro d alma o roduzdo a lraura auaral por D og Zhwrh9 uma ova orma d aplcação do lro d alma para smação d rsrvas qu aprsa rsulados promssors pod sr corada m Ahro0. Oura êas dada por aylor m su argo o à ulzação d dados crus os dados ão agrgados qu são por rás dos râgulos d ru-o. El ambém arma qu o uso d râgulo o mpulsoado plas rsrçõs compuacoas d uma época passada ão há razão apar para sr mado como sruura para aáls d dados dssa orma uma sruura d dados mas comprsva dv sr cosdrada. Eglad Vrrall ambém armam qu dado o coíuo crscmo do podr compuacoal dv-s o qusoar quado ão sra mlhor xamar dados d ssros dvduas ao vés d agrgados. Acma d udo a prcpal movação para ulzação d dados ão

15 Capíulo. Irodução 5 agrgados é o ão dsprdíco d ormaçõs qu podm sr prcosas para adquada smação das rsrvas possvlm uma dsrbução assocada a las 5. Porém ss al.3 qusoam o uso d dados d ssros dvduas dvdo a dícl dspobldad d dados dalhados coávs plas sguradoras mpo sorço gasos para raamo dsss dados complxdad dos méodos já proposos aplcados a ls propõm o uso d prcípos báscos do ívl dvdual dos ssros aplcados aos dados agrgados. Uma pqua lraura com oco m rsrva socásca ao ívl dvdual d ssro pod sr corada hoj. aylor apoa orbrg4 5 wll4 6 como as provávs prmras avas d sablcr uma ampla arquura para modlagm dvdual d ssros. Ouros rabalhos são Hachmsr7Arjas8 Haasrup9 orbrg30 Lars3 Zhao al.3 Zhao Zhou33 Aoo Pla Parod5. Haasrup Arjas9 orbrg5 30 sablcm uma sruura para ocorrêca d ssros avso procsso d pagamo o ívl d ssros dvduas quao qu Parod5 sablc uma sruura para ocorrêca araso do avso dos ssros mas ão modla o procsso d pagamo mas sm o moa d pagamo sprado. Zhao al.3 Zhao Zhou33 m coguração smlha às d Haasrup Arjas9 orbrg5 30 ulzam éccas sm-paramércas d aáls d sobrvvêca méodo d cópulas. wl s propõ a smar a IBYR aravés d um modlo baysao d dsrbução d arasos rquêca d ssros. aylor ormula modlos m rmos d aáls d sobrvvêca modlos lars gralzados. O documo ambém aborda um problma prss m méodos d cálculo d rsrva qu coss m quado coar m dados d ssros pagos ou corrdos. O modlo a grar ambos. Porém ão gra uma solução para ouro problma prss qu sra a sparação da IBR Pura IBER smadas cojuam. Dvrsos argos cícos oram scros para solucoar ss problmas m dados agrgados. Schpr3 ss Vrrall3 Lu Vrrall34 Vrrall al.35 orcm uma solução para o problma d sparação das rsrvas IBR Pura IBER. á aylor36 Quarg Mac5 Mrz Wührch37 r ouros m como oco a solução sobr qu dados ulzar. Aoo Pla promm solucoar ss dos problmas m su modlo qu xplca a quacação da IBR Pura IBER pla ulzação d ambas as ormaçõs d arasos d avso pagamo d ssro sparadam m su dsvolvmo. Além dsss problmas o modlo sugrdo por ls lma uma sér d problmas apoados a lraura lcados por ls

16 Capíulo. Irodução 6 o argo. Muas das soluçõs são cosquêcas dras do uso d dados d ssros dvduas. a proposa d Parod5 ambém há smação dsda da IBR Pura IBER. s rabalho sgurmos a sruura sugrda m Parod5 para smação da quadad IBR. Apsar d o auor ão azr qualqur mção d uso d uma sruura já xs a lraura a sruura ulzada por l gra smadors smlhas a ouros rabalhos com mcro-dados. Aôo Pla aravés d um Procsso Posso ão Homogêo Marcado com marcas d posçãompo r ocorrêca avso do ssro dpds do príodo d ocorrêca do ssro chgam à smava da quadad oal d ssros ocorrdos m cada príodo sudado. sa dssração a smação da dsrbução d arasos o sprada m Wssr38. Os méodos para obção da dsrbução d arasos quadad oal d ssros por príodo d ocorrêca dos argos cados s parágrao da abordagm proposa srão dalhados o capíulo 3. o capíulo são aprsados algus méodos radcoas usados para cálculo da quadad d ssros IBR cludo o mas dssmado ulzado o mrcado cha laddr. É aprsada a sruura d dados a qual a grad maora dos méodos já proposos para cálculo d rsrva são aplcados o râgulo d ru-o. Por úlmo são aprsadas as mddas d rro d prvsão qu srão ulzadas para avalação dos méodos aplcados. o capíulo 3 são aprsadas 3 abordags proposas m argos para smação da quadad IBR a parr d dados dvduas d ssros o méodo proposo sa dssração. Os rsulados das aplcaçõs ralzadas s coram o capíulo 4. As coclusõs possívs rabalhos uuros são o capulo 5..4 Corbuçõs Dsvolvmo d um modlo saísco para a quadad IBR basado m mcro dados corporado odas as ormaçõs dspoívs Espccação d um algormo EM para smar os parâmros das dsrbuçõs smulaam smar a quadad IBR para dsrbução d araso xpocal Espccação d um algormo d busca ão lar para smação dos parâmros do modlo quado a dsrbução d araso é uma msura d xpocas

17 Capíulo. Irodução 7 Modologa para a aualzação dâmca dos parâmros lvado m coa a ão sacoardad do procsso basada m jalas dslzas. Modologa para comparar modlos/méodos d cálculo da quadad IBR basada a capacdad prdva da quadad IBR.

18 Méodos radcoas. ragulo d Ru-o A maora dos méodos d smação d rsrva d ssro é aplcado sobr dados o ormao d râgulo d ru-o. O râgulo d ru-o coss m uma abla d dupla rada cujas coluas rprsam príodos d dsvolvmo as lhas são drmadas por grupos d ssro prcs a um msmo príodo d aáls. raa-s d uma das rramas mas ulzadas por auáros para orgazar dados para dcação d padrõs d dados hsórcos. o caso d dados para smação d rsrvas o mas comum é ulzar um râgulo d ru-o cujas lhas são drmadas plo príodo d ocorrêca do ssro as coluas são príodos d dsvolvmo d pagamo dsss ssros coorm a lusração. a sgur: Fgura.: râgulo d ru-o Icrmal. Os dados codos o râgulo d ru-o ulzados para smação d rsrvas podm sr o moa d dzação pago m cada príodo o moa corrdovalors pagos + pds a quadad d ssros avsados a quadad d ssros dzação méda paga r ouros. a gura acma o príodo d ocorrêca rprsado pla lra dca as lhas o dsvolvmo é o úmro d príodos dcorrdos dsd a ocorrêca do ssro aé o príodo m qu o avso pagamo posção da smava d dzação dvda ou oura ação o ralzada. Os dados podm sr agrupados por quasqur príodos d mpo como aual smsral

19 Capíulo. Méodos radcoas 9 rmsral por xmplo. Há ouras ormaaçõs d dados agrgados ulzadas para cálculo d rsrvas qu ão a d râgulo. os méodos radcoas aprsados s rabalho o ormao d râgulo srá adoado. Os dmas méodos são aplcados m dados d ssros ão agrupados.. Cha laddr Cosdr o râgulo d ru-o aprsado arorm com as obsrvaçõs Q : =... =... + od Q é a quadad d ssros ocorrdos m avsados príodos após. é o oal d príodos d ocorrêca obsrvados. τ = + rprsa o príodo d avso dsss ssros. Esamos rssados m smar as quadads Q dscohcdas od + > +. O râgulo d quadads acumuladas da gura. srá ulzado para aplcação do méodo cha laddr. Fgura.: râgulo d ru-o Acumulado. od S = l= Q l =... = O méodo cha laddr assum a xsêca d um cojuo d aors d dsvolvmo { =...} com E[S + S...S ] = S +. Esss aors são smados por: + = S = + - = S Para prvr uuras quadads d ssro acumuladas sss aors são aplcados à ulma quadad acumulada obsrvada d cada lha: Dsa orma: Ŝ + = S Ŝ = Ŝ +3-3

20 Capíulo. Méodos radcoas 0 Q + = Ŝ + S + -4 Q = Ŝ Ŝ +3-5 A quadad Ŝ é domada ulma a quadad oal d ssros ocorrdos m. A quadad IBR smada corrspod a cada príodo d ocorrêca é Q = Ŝ S + para. Esa quadad d ssros IBR smada srá cosdrada o cálculo do valor da rsrva oal. Essa quadad srá Q = = Q. A smação da quadad d ssros IBR valor médo dsss ssros sparadam é rrda m Frdlad como éccas rquêcasvrdad. O méodo d cha laddr é comum aplcado sobr râgulos com moa dzado m cada célula do râgulo. s caso o dsvolvmo é ddo plo úmro d príodos dcorrdos dsd a daa d ocorrêca do ssro ou oura daa mas cov para sguradora adoada para dção das lhas do râgulo d ru-o por xmplo íco d vgêca das apólcs a daa d pagamo /ou moa rsrvado para pagamo dos ssros d cada lha m cada príodo =... + obsrvado. A soma dos ulmas smados ssa aplcação dduzdo do moa já pago pod sr cosdrada como uma smava da IBR..3 Borhur-Frguso Esddo O sgudo méodo mas popular comum usado plo mrcado sgurador é o méodo Borhur-Frguso B-F39. Es méodo ulza ão som ormaçõs codas o râgulo como ambém ormaçõs xras como mddas d xposção ou prêmo gaho ssraldadou porcual da xposção quval a prda sprada assocadas a cada príodo d ocorrêca. Aravés dssas ormaçõs xras é obda uma smava da quadad oal d ssros ou moa a sr dzado para cada príodo d ocorrêca assocado à las. Esa quadad oal ou moa a sr dzado é dsrbuído por príodo d dsvolvmo coorm os parâmros d dsvolvmo smados a parr do râgulo d ru-o. Maors cosdraçõs podm sr coradas m Booh40 Frdlad. Em Schmd Zochr0086 uma gama d méodos aplcados a râgulos ru-ocludo o cha laddr é globada por uma sruura dda como sruura mulplcava do méodo B-F. A proposa a

21 Capíulo. Méodos radcoas plo argo é chamada d méodo Borhur-Frguso Esddo. O méodo basa-s a suposção d qu xsm vors d parâmros α = α α...α γ = γ γ...γ com γ = as qu a ddad E[S ] = γ α od γ é o dsvolvmo padrão por coas acumulada α é o ulma quadad oal d ssros ou moa a sr dzado sprado é válda para odo =... =... Cada coa γ rprsa o porcual acumulado do oal d ssros ocorrdos m um drmado príodo avsados aé. Sjam α = α α... α γ = γ γ... γ os smadors dos das quadads d ssros oas ou moas a srm dzados sprados por príodo d ocorrêca das coas acumuladas rspcvam. As prdçõs da quadad acumulada d ssros S com + são ddas como Ŝ BF γ α = S + + γ γ + α. Dsa orma a drça Ŝ BF γ α S + = γ γ + α é a prdção da quadad d ssros IBR ocorrdos m avsados aé o príodo d dsvolvmo. Quadad oal IBR prvsa é obda quado =. Equao qu o méodo orgal B-F a quadad ou moa al smado é ddo por ormaçõs xras o dsvolvmo padrão por ormaçõs do râgulo sa xsão a por Schmd Zochr ssas prdçõs são rlaxadas város méodos qu à prmra vsa m pouco m um comum são arrajados sob a sruura mulplcava do smador B-F. Os méodos globados por sa xsão do B-F qu srão ulzados s rabalho são o cha laddrão som m sua orma orgal xplcada o m. mas com sus smadors d dsvolvmo quadads oas as combados aos smadors d ouros méodos Dsvolvmo d prda Cap Cod Méodo Advo Méodo d Mac4 Méodo d Pag4. Cada méodo cosdrado m su própro smador d coas acumuladas quadads oas as ulma. Esss smadors srão combados um a um d orma qu ao al rmos ão som as smavas dos méodos orgas como ambém smavas d ovos méodos produzdas por combaçõs édas aé a publcação ds argo. Os prdors d parâmros d dsvolvmo padrão usados aqu são os aors d cha laddr as axas crmas d prda d Pag do méodo Advo. A parr dls obmos os smadors d padrão d dsvolvmo por coas acumuladas qu srão ulzados o smador do méodo B-F sddo. Esmadors dos parâmros d padrõs d dsvolvmo por coas

22 Capíulo. Méodos radcoas acumuladas: Faors dvduas - Cha laddrcl + = S = + = S -6 β = axas Icrmas - + = PagP Q Q + = Q -8 axas d Prdas Icrmas - Méodo AdvoAD + = Q ς Π = + = Π -0 γ CL = l=+ l -7 γ P l= = β l β l= l -9 γ AD Π = l= ς lπ l= ς lπ - Esmadors d quadads oas as quadads acumuladas por príodo d dsvolvmo dos méodos globados plo B-F sddo a orma do prdor B-F sddo méodos clásscos são casos parculars: Dsvolvmo d prdald: Dado γ α LD γ = γ S + γ + - Ŝ LD γ = ŜBF γ α LD γ -3 α CL Cha laddrcl: γ CL = γ CL S + γ + CL -4 α CL γ CL = α LD γ CL -5 Ŝ CL = ŜBF γ CL α LD γ CL -6 α CC Cap CodCC: Dado γ Π γ = Π κ CC Π γ -7 κ CC = Π γ = + = γ +Π -8 Ŝ CC Π γ = ŜBF γ α CC Π γ -9 α AD Π = Π AdvoAD: l= ς AD l Π -0 Ŝ AD Π = ŜBF γ AD Π α AD Π - Ŝ AD Π = ŜCC Π γ AD Π - α P = Q PagP: = β P l Π -3 Ŝ P = ŜBF γ P α P -4 κ CC = Π γ = S + = γ -5 +Π Ŝ CC Π γ = ŜBF γ α CC Π γ -6 Pag*P*: Dado γ α P γ = Q γ -7 Ŝ P = ŜBF γ α P γ -8 Ŝ AD Π = ŜCC Π γ AD Π -9 Od Π rprsa uma mdda d volum como xposção prêmo gaho úmro d s sgurados m. Os smadors d Mac são casos spcas dos smadors do méodo advo usado uma mdda d volumxposção/prêmo gaho ajusada: γ Mac Π = γ AD Π Mac Π -30

23 Capíulo. Méodos radcoas 3 α Mac Π = α AD Π Mac Π com Π Mac Π = α LD γ AD Π -3 odos os smadors α γ são combados para produzr ovos méodos. Algumas combaçõs dsas gram o msmo méodo. Duas prss s rabalho são: Ŝ BF γ AD α AD Π = ŜBF γ AD α CC Π γ AD -3 Ŝ BF γ P α P = ŜBF γ P γ P γ P Mddas para Avalação da Qualdad da Prvsão A lraura raram az comparaçõs objvas à rspo do podr d prvsão dos méodos qu abordam. sa dssração prvsõs parcas da quadad IBR são as comparadas com as quadads obsrvadas. Para avalar a qualdad das prdçõs obdas a parr dssas aplcaçõs usarmos as mddas: MAEMa Absolu Error MAPE Ma Absolu Prcag Error MSE Ma Squard Error. Sja o úlmo príodo d avso obsrvávl a amosra ulzada para ajus dos méodos sudados A +h a quadad d ssros avsados o príodo + h com máxma ocorrêca máxmo araso d avso. A parr do râgulo d ru-o podmos obr smavas dssas quadads d sros m aé príodos d avso posrors a. Addo a ssas codçõs porém mado uma massa d dados razoávl para ajus dos méodos sudados srão rrados dos dados d ajus os úlmos H príodos d avso am d srm avaladas as prvsõs para ss príodos. mos: Dsa orma para um horzo h =...H com H =... A +h = =h+ Q ++h -34 Â +h = =h+ Q ++h -35 MAE = H H A +h Â+h -36 h=

24 Capíulo. Méodos radcoas 4 MAPE = H H h= RMSE = H A +h Â+h A +h H A +h Â+h -38 h= Dssas a mdda MAE srá cosdrada como mas rlva por mar a msma scala dos dados orgas.

25 3 Modlos para Mcro-dados Os modlos aplcados a dados d ssros dvduas m sgudo uma sruura qu pod sr cosdrada muo aproprada para o ômo m qusão sgudo o cclo d vda dos ssros. O cclo d vda d um ssro pod sr lusrado coorm a gura. a sgur: Fgura 3.: Cclo d vda d um ssro. rprsa o príodo d ocorrêca do ssro rprsa o príodo d ocação ds ssro à sguradora 3 a os dvrsos pagamos qu podm havr aé o crramo + rabrura do procsso d lqudação do ssro m gral por solcação do sgurado ou algum pagamo dvdo dcado pla sguradora + crramo dvo do ssro após ovos pagamo Eão para s modlar o cclo d vda d um ssro basara uma dsrbução d ocorrêca d ssros uma dsrbução do araso d avso do ssro mpo r ocorrêca ocação uma dsrbução do dsvolvmo d pagamo d ssros uma dsrbução para svrdad moas dzados. A maora dos méodos para cálculo d rsrva a parr d dados d ssros dvduas sgu sa dcomposção do procsso d ocorrêca rgulação d um ssro aé sua alzação. Isprado m arlsso43 Arjas8 wll4 orbrg5 propõ a modlagm das ocorrêcas d ssro por um procsso Posso marcado

26 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 6 ão homogêo: os ssros ocorrm coorm um procsso Posso ão homogêo a cada ssro é assocada uma marca alaóra rprsado su dsvolvmo dsd a ocorrêca aé a lqudação al. Sua proposa é sguda por dvrsos auors d argos posrors qu m gral aprsam maor êas m uma soscação da modlagm do dsvolvmo do pagamo dos ssros qu é a bas para a smação da IBER. Porao ss aprmoramos ão são muo sgcavos para s rabalho. Em 007 sgudo uma lha dpd da dos rabalhos cados aylor aprsa uma proposa qu ulza éccas d aáls d sobrvvêca modlagm GLM corporado dvrsas cagoras d covarávs assocadas ao ssro sguro m qusão ao su modlo. Isprado s rabalho os rabalhos d wll4 6 Lars3 aylor al. Zhao al.3 propõm um modlo qu ulza procsso Posso ão homogêo corporado co-varávs cagorzadas coorm aylor modla arasos cosdrado dpdêca r ls. O rabalho mas rc qu sgu a lha d procssos socáscos é Aoo Pla. Ouros rabalhos dpds das lhas aprsadas arorm são ubrusly44 Parod5. ubrusly modla a duração dos príodos r íco d vgêca da apólc ocorrêca d ssro r ocorrêca avso do ssro a parr da suposção d qu cada apólc rá o máxmo ssro qu s a vgêca dlas oss a s ssro ocorrra com probabldad m algum momo uuro smula a quadad d ssros qu ocorrram dro do prazo d vgêca da apólc ada srão avsados. Assm obém uma smava do IBYR ddo arorm. O rabalho d Parod é basado as das d Guah45 Wssr38 amsy46 apsar d ão sgur a lha dos argos cícos qu usam procsso socásco Posso cados arorm basa a scolha da dsrbução do oal d ssros por ocorrêca a suposção d qu o procsso d rquêca é um procsso Posso. A sruura do modlo proposo o prs rabalho o sprada s rabalho d Parod qu sablc uma sruura d modlagm d rquêca d ssros dsrbução d arasos d avso dsss ssros svrdad. Sdo osso oco a modlagm da rquêca d ssros arasos d avso dos ssros para obção da dsrbução da quadad d ssros qu comporão a IBR Pura. ossa modlagm d arasos é sprada m Wssr. As modologas proposas por Parod Wssr Aoo Pla para smação das mddas d osso rssquadad d ssros IBYR araso d avso são dscras os s 3. a 3.3 a sgur.

27 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 7 3. Abordagm d Parod Parod5 aprsa um méodo para smação d rsrva IBR ulzado dados ora do radcoal ormao d râgulo d ru-o o qual doma ragl-r rsrvg. Sua sugsão é sprada o sado da ar da modologa ulzada m aração d sguros od dos modlos dpds um d rquêca d ssros ouro d svrdad são dsvolvdos. a modologa aprsada por l sss dos modlos são combados aravés d smulação Mo Carlo ou oura écca umérca para produzr a dsrbução da prda agrgada. Além d alhar a modologa para IBR com a modologa d prcg sua prcpal movação é o aprovamo d ormaçõs mporas para sudo da dsrbução da IBR qu são prddas ao s rabalhar com dados agrgados como ocorr m um râgulo d ru-o. Parod5 aravés d sua aplcação obém ão som a rsrva smada uma mdda da varação dsa prvsão mas uma dsrbução para mdda d rsrva qu cosdra mas ralsa com maor podr prdvo qu a obda por xmplo plo méodo d cha laddr. Coorm do arorm o méodo cosdra qu o procsso é composo pla combação d rês compos: Um procsso d rquêca da ocorrêca d ssros uma dsrbução dos arasos d avso d ssros uma dsrbução da svrdad dos ssros. O úclo da abordagm sá a smação da quadad d ssros IBR o passo a passo do procsso complo coss m:. Esmar a dsrbução dos arasos basado a dsrbução mpírca com ajus do vés d dêca para arasos curos. Usar a dsrbução d arasos para smar a quadad IBR basado o úmro d ssros avsados aé a daa corr 3. Modlar a svrdad 4. Combar a rquêca svrdad va smulação Mo Carlo ou ouro méodo rasormada d Fourr rcursão d Pajr... para produzr a smava da dsrbução das Prdas oas IBR. As vaags apoadas plo auor são: Possbldad d usar um modlo dr para prdas acma d um lm ão aprsa a ragldad do cha laddr quado há quda brusca d quadad ou zros os avsos agos

28 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 8 Cálculo do aor d cauda pod sr o d orma mas cíca ão hurscam como é ípco m abordags m râgulo Modologa alhada com o sado da ar usado m prcg. Parod alra qu sua sugsão s raa muo mas d uma sruura qu um méodo spcíco. É cssára a adoção d uma mplmação parcular por qum a ulza. Assm como m prcg od váras dsrbuçõs podm sr ulzadas para modlar a rquêca svrdad dos ssros dvm sr ddas plo usuáro quado da aplcação do arcabouço proposo. Modlo para smação quadad oal d ssrosulma Sua abordagm s m m o msmo spíro dos rabalhos d amsy46 Wssr38 ad Guah45. Méodo basado o uso da dsrbução d arasos F qu orc a probabldad acumulada d um ssroocorrdoompo0sravsadoaéompodsdaddrquêca d ssros v. Supodo qu é a daa corr o úmro sprado para o oal d ssros ocorrdos m [0] srá E[µ ] = 0 vd 3- Supodo a dsrbução d araso F cohcda o úmro sprado d ssros ocorrdos m [0] avsados m [0] srá: E[r ] = 0 vf d 3- O úmro d ssros ocorrdos m [0] avsados m [0] é cohcdo. Aravés dl das dsrbuçõs ddas acma podmos smar a quadad dscohcda µ : µ = vd 0 vf dr S qusrmos smar a quadad oal d ssros ocorrdos m [0 ] µ com < a parr da parcla dsss ssros cohcda m r basa subsurmos os lms das gras da quação acma por o qu o mpo corr coua alrado dro da gral da dsrbução acumulada dos arasos: µ = 0 vd 0 vf dr 3-4

29 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 9 As quaçõs acma podm sr lusradas pla gura 3.. Od a lha paralla ao xo x rprsa o oal d ssros ocorrdos m cada sa ǫ[0] a curva m azul é a probabldad do araso d avso do ssro sr mor ou gual a com rprsado o mpo corr. Fgura 3.: Rprsação Gráca das Equaçõs Dsrbução d Arasos A dsrbução d arasos dv sr corada a parr da dsrbução mpírca qu pod sr cosdrada uma rprsa da dsrbução vrdadra do araso. Porém a dsrbução mpírca é vavlm vsada para arasos mas curos uma vz qu há arasos ada ão obsrvados maors qu o príodo obsrvávl arasos ão logos quao o príodo obsrvado são raros. Parod xb uma orma d corrção para dsrbução mpírca d arasos aravés da rlação r a dsrbução obsrvávl a dsrbução vrdadra dos arasos. Cosdrado a dsrbução obsrvada como uma vrsão mpírca da dsrbução d probabldad d um araso d comprmo sr obsrvado a jala [0a] a a varávl qu rprsa o arasorocorrêcaavsoavarávlqurprsadaadocorrêca do ssro 0 plo orma d Bays mos: a = P = + 0 a = P + 0 a = P = P + 0 a = P 0 a P = P + 0 a 3-5 od por dção P = =.

30 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 30 Dsa orma: Ga = P 0 a a s a d da caso coráro 3-6 Od Ga é a dsrbução acumulada d + 0. É possívl drvar a para > a a parr d suposçõs basadas o comporamo d quado a. Ecora-s P 0 a aravés d v calculado-s: a v 0 0 d a 0 v 0 d a v = 0 a 0 0d 0 0 v 0 0d 0 a v 0 d = 0 a 0 v 0 0d 0 = a 0 ṽ 0 d 0 Sdo ṽ a vrsão ormalzada da dsrbução v. 3-7 Dado qu a ução aprsada acma ucoa apas para arasos rors a a é cssáro mulplcar as quadads oas projados por um aor d cauda para lvar m coa arasos maors qu a. Para sso prcsamos r um modlo a pror para o araso. S pod sr suposam uma dsrbução xpocal com méda τ ão a FDP compla para arasos clusv suprors a a pod sr modlada como = τ τ. ão som para o caso d sr suposam xpocal mas ambém para o caso ão sr Parod propõ qu s aça uma aproxmação ampla cosdrado uma xpocal com méda τ gual à méda obsrvada τ obs ajusada a parr da quação abaxo drvada a parr da quação3-6 supodo qu o da d ocorrêca do ssro 0 m dsrbução uorm obdo-s a dsrbução acumulada Ga por covolução rasormação d Laplac: τ obs = τ + a τ τ a a τ τ a a τ 3-8 Assm a dsrbução compla passa a sr: Ga = P 0 a a s a τ caso coráro τ 3-9 O aor d cauda srá:

31 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 3 ϕ al = a τ 3-0 Esa é uma aproxmação ampla um sudo mas aproudado da cauda pod sr o aravés d ora do valor xrmo. É cssáro avalar s há dados sucs para suporar mas qu o ajus d uma dsrbução com um parâmro como a xpocal. Uma suposção cssára para ulzação das dçõs acma é a d qu a dsrbução d arasos é cosa o mpo mas ssa dsrbução podra sr drvada para cada príodo d ocorrêca dos dados dspoívs. Dsrbução da quadad d ssros Ocorrdos ão há uma mposção sobr qu dsrbução ulzar para modlar a rquêca d ssros. Parod supõ m sus xmplos qu o procsso d coagm d ssros sgu um procsso Posso. A axa dsa Posso pod sr cosa ou ão. Em sus xmplos Parod cosdra axa gual a µ obdo coorm xposo arorm. Dvdo à ala volaldad dsa mdda passa-s a aproxmar uma Posso com sobr-dsprsão por uma dsrbução Bomal gava supodo rlação r varâca méda. ambém pod-s abadoar a suposção d dsrbução Posso com sobrdsprsão modlar a rquêca a parr d uma Bomal gava com axa µ rlação r varâca méda va smada pla razão r varâca méda das mddas µ obdas somada a corrção / qu agrga a crza do parâmro od é o úmro d príodos d ocorrêca corrspods às mddas µ ulzadas. Essa dsrbução srá ulzada para smulação qu grará uma dsrbução para a IBR al. Dsrbução da quadad d ssros IBR Parod ralza smulaçõs d quadads IBR a parr da dsrbução d rquêca dda com axa gual a quadad IBR smada a parr do modlo d rquêca araso aplcados aos dados obsrvados. A dsrbução da quadad IBR srá a dsrbução das smulaçõs ralzadas. A parr das quadads IBR oas smuladas Parod smula um príodo d ocorrêca para cada ssro smulado com o uo d smular a svrdad assocada a parr da dsrbução d svrdad d cada príodo d ocorrêca. Ao al do procsso d smulação Parod obm cáros cada um com j j =... ssros IBR ocorrdos m um sa d mpo

32 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 3 prc ao príodo d ocorrêca [0] assocados a uma svrdad S j porém sm uma arbução d mpo d araso ou daa d avso. Sabmos apas qu o avso é posror ao mpo corr porao o araso é maor ougual a. ão há sugsão d uma orma d arbução d araso d avso a cada ssro. Assm ão é possívl cosrur uma dsrbução da quadad d ssros IBR por príodo d avso dro do scopo d su méodo. 3. Abordagm d Wssr - Esmação da Dsrbução d Arasos d Avso por Máxma Vrossmlhaça Wssr38 propõ uma orma para smação da dsrbução do mpo dcorrdo r ocorrêca avso d ssro basado o méodo d máxma vrossmlhaça aplcado aos dados obsrvados. Para al Wssr assum qu os dados obsrvados são uma amosra compla da dsrbução d arasos maura dcosa dvdo à prvalêca d arasos curos. Qualqur acd ão avsado m qualqur príodo d ocorrêca sudado aprsara araso maor qu os obsrvados s príodo. Por so sa ão é uma amosra alaóra da dsrbução d arasos. A parr d dados agrgados m uma sruura d râgulo d ru-o o sgu procdmo é ralzado ulzado-s dados d um úco príodo d ocorrêca : Sja = S + o oal d ssros avsados do príodo d ocorrêca. Eão ossa amosra é composa d varávs... com os arasos obsrvados. Assm a parr do râgulo d ru-o mos = =... = S = S + = S + =... = S =... S + = S + =... = S = +. S supusrmos qu a dsrbução dos arasos é xpocal com parâmro λ dscohcdo ão a dsdad dos arasos srá: λ λ s 0 < < λ = 0 caso coráro 3- Para cada príodo d ocorrêca só podmos obsrvar arasos rors ou guas a +. Porao ão mos uma amosra alaóra d uma dsrbução xpocal compla mas uma amosra da dsrbução rucada m +. A dsrbução rucada codcoal m = + é dada por: λ λ = = λ λ s 0 < P λ 0 caso coráro 3- A ução d vrossmlhaça para λ Lλ o príodo d ocorrêca é dada por:

33 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 33 Lλ = Lλ... = = λ = λ λ = 3-3 λ Ao prossgurmos com as coas para obção do smador d máxma vrossmlhaça d λ chgamos à xprssão: λ λ = = 3-4 Od ão é possívl solar λ mas pod-s corar a smava d máxma vrossmlhaça gracam pla rsção das curvas / λ = / / λ um procsso ravo d aáls umérca como wo-raphso ouros méodos umércos. O valor d λ corado é o parâmro ão só da dsrbução xpocal rucada mas da dsrbução xpocal compla. Por sso s procdmo basado m dsrbuçõs rucadas produz a smava da dsrbução compla d arasos. Assm a proporção d ssros ocorrdos m qu srão avsados após pod sr smada por: P > = λ 3-5 E a quadad oal d ssros smada do príodo d ocorrêca srá: Û = P > r = λ r 3-6 Drm do méodo cha laddr sa quadad oal d ssros ocorrdos por príodo já complara a smava da cauda da dsrbução. A parr dsa ormulação ambém é possívl obr a smava da quadad d ssros para qualqur príodo d avso por xmplo a quadad d ssros IBR qu srá avsada m +: Q + = [P > P > +]Û = λ λ+ Û 3-7 Ou quval: Q + = λ+ λ λ λ+ r = r 3-8 λ Essa smava ão sra possívl aravés da ormulação para smação d quadad d ssros proposa por Parod uma vz qu o smador aprsado por l amarra o horzo d prvsão aos príodos d ocorrêca

34 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 34 para os quas s dsja prvr os avsos uuros. Por s movo a proposa d Parod z-s cssára a dção d um aor d cauda qu smass a quadad d ssros com avsos além dos codos a jala obsrvávl lmada pla daa d avso a. É possívl obr a smava d máxma vrossmlhaça d λ a parr dos dados obsrvados d odos os príodos d ocorrêca sudados. Agora ao vés d rmos um úco = S rabalharmos com as varávs cada uma rprsado o oal d ssros avsados d um dos príodos d ocorrêca =... mos ambém varávs = rprsado o máxmo araso obsrvávl d cada príodo d ocorrêca. Sja j o j-ésmo araso obsrvado do -ésmo príodo d ocorrêca. As amosras d araso... obdcm a λ a dsrbução d arasos rucada do príodo d ocorrêca. Supodo qu os príodos d ocorrêca são dpds a ução d vrossmlhaça d λ srá: L λ = L λ... = j λ j λ... j λ j= j= j= j = λ = λ = = λ j= 3-9 Rsolvdo a quação L λ = 0 chgamos a sgu xprssão para o λ smador d máxma vrossmlhaça d λ: = λ = j + = j= λ = λ 3-0 Aqu ambém a smava d máxma vrossmlhaça d λ pod sr obda aravés d méodos d aáls umérca. O procdmo proposo por Wssr pod sr ralzado para ajus d ouras dsrbuçõs como a Logormal. 3.3 Abordagm d Aoo Pla Cosdr um cojuo U X assocado ao ssro od é o sa d mpo d sua ocorrêca U é o mpo r a ocorrêca avso X rprsa su procsso d dsvolvmo. Sja τ o mpo prs os ssros IBRIBR pura ou IBYR IBER podm sr dsgudos como a sgur:

35 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 35 IBR: +U > τ < τ IBER: + U τ o dsvolvmo do ssro é csurado m τ U Procsso Posso Marcado com Posção Dpd Assm como as abordags d Arjas8 orbrg5 o procsso d rvdcação d ssros é raado como um Procsso Posso Marcado com Posção Dpd. Um poo é o sa d mpo d ocorrêca d um ssro a marca assocada é a combação do araso o avso dsvolvmo do ssro. A sdad do procsso é doada por λ a dsrbução da marca assocada por P Z 0 od é gual ao mpo d ocorrêca do ssro. A dsrbução da marca é spccada pla dsrbução do araso dada a ocorrêca m P U a dsrbução do dsvolvmo dada a ocorrêca m o araso d avso u P X u. O dsvolvmo complo do procsso é um procsso Posso sobr o spaço C = [0 [0 χ com mdda d sdad: λd P U du P X u dx com ux C 3- Os ssros já avsados prcm ao cojuo C a = {ux C +u τ} o cojuo dos ssros IBR prcm a C = {ux C τ+u > τ}. Como ambos são dsjuos os dos procssos são dpds. O procsso d ssros avsados m sdad: λd P U du P X u dx [ux C a ] =λdp U τ [0τ] }{{} a P U du u τ P U τ } {{ } b P X u dx }{{} c 3- Asparsdaquaçãodcadasplaslrasabcsão:asdad do procsso Posso qu coduz a ocorrêca d ssros λd ajusada plo aodquoocoésommssrosavsadosbrr-sadsrbuçãod arasos d avso codcoada ao ao d qu o avso já ocorru c rprsa a dsrbução do procsso d dsvolvmo dada ocorrêca o mpo araso d avso u. Smlarm o procsso d ssros IBR m sdad:

36 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 36 λd P U τ [0τ] }{{} a P U du u>τ P U τ } {{ } b P X u dx }{{} c 3-3 Od as compos ab c podm sr dcadas como m 3- codcoadas ao ao d qu os ssros ada ão oram avsados. sa dssração o rss sá as compos a b das quaçõs acma. Os parâmros da quação d sdad do procsso d ssros avsados são smados por máxma vrossmlhaça. éccas d aáls d sobrvvêca são ulzadas para modlar o araso o procsso d dsvolvmo. Como o avso do ssro é um vo qu só ocorr uma vz dura a xsêca do ssro l é modlado usado dsrbuçõs padrão d aáls d sobrvvêca. Dsrbução d Arasos A msura d uma dsrbução padrão U com dsrbuçõs dgradas é ulzada para modlar a dsrbução d probabldad dos arasos. As dsrbuçõs dgradas são clusas o modlo para modlagm da ala probabldad d avso os das qu sgum mdaam após ocorrêca. Assm a dsrbução dos arasos é: p I u+ p U U> u 3-4 =0 =0 od I {} u = s o avso ocorr o -ésmo da após ocorrêca do ssro I {} u = 0 caso coráro. Procsso d Ocorrêca o procsso d omzação da vrossmlhaça do procsso d ocorrêca a dsrbução d arasos sus parâmros smados são ulzados. λ o P U τ o τ 0 wλp U τ d 3-5 Od o ídc sobrscro o dca qu são mpos d ocorrêca obsrvados w é a mdda da xposção o mpo. A vrossmlhaça dv sr omzada m rlação a axa d ocorrêca λ. λ é spccado como cosa λ l para [d l d l l =...m com d o = 0 τ [d m d m w := w l para [d l d l. A varávl dcadora δ l srá s o príodo

37 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 37 d ocorrêca do ssro prcr ao rvalo [d l d l. O úmro d ssros o rvalo [d l d l srá dado por: oc l := δ l 3-6 od o ídc subscro oc dca ocorrdos. A ução d vrossmlhaça ão s ora: m l= λ ocl dl λ l l w l d P U τ d l P U τ 3-7 O smador d máxma vrossmlhaça para λ l l =...m srá: oc l λ l = dl 3-8 w l d l P U τ d Esa quação para smação d λ l é muo smlar à quação 3-6 para smação da quadad d ssros ocorrdos do príodo d Wssr. s casoosmador Û daquação 3-6quvalra aoparâmro λ l mulplcado pla xposção w l da quação 3-8 qu ambém é uma smava do oal d ssros ocorrdos um príodo. Ambos são smados pla dvsão do oal d ssros avsados do príodo pla probabldad d araso mor ou gual ao araso obsrvávl para os ssros do príodo d ocorrêca. Esa é uma lha muo ulzada os procdmos d smação da quadad oal d ssros ocorrdos dsd os méodos com dados agrgados. Vd algus smadors comprddos plo méodo B-F sddo aprsados o capíulo od a smava é obda pla dvsão do oal d ssros ocorrdos m drmado mpo avsados aé o araso pla coa d dsvolvmo m. O smador da quadad d ssros ocorrdos d Parod ambém aprsa cra smlhaça com sss smadors com a drça qu Parod podra o o da dsrbução acumulada d araso m su smador pla dsrbução d rquêca d ssros smada. Podmos coclur qu há uma quvalêca r as sruuras dos smadors da quadad IBR aprsados apsar d srm dsos m sua orgm. Quadad IBR smada por smulação O procsso d prdção d ssros IBR sgu os sgus passos:. smular o úmro d ssros IBR o rvalo [0τ] sus mpos d ocorrêca corrspods. Os ssros IBR são coduzdos por um procsso Posso com sdad wλ P U τ od λ é uma cosa por pars. Sja Q l Possow l λ l dl d l P U τ d

38 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados 38 O mpo d ocorrêca d cada um dos Q l ssros dv sr smulado a parr da dsrbução uorm o rvalo [d l d l.. Smulação do araso d cada ssro IBR. O araso é smulado pla vrsão da dsrbução PU u U > τ = Pτ < U u PU τ 3-9 o qu rqur avalação umérca. 3.4 Abordagm proposa O modlo proposo o prmram sprado o méodo sugrdo por Wssr qu raa o problma do rucamo dos dados obsrvados. Coorm vso a 3. Wssr propõ um ajus d dsrbuçõs rucadas aos dados d araso usado máxma vrossmlhaça. Porém a vrossmlhaça qu l calcula quado cosdra um cojuo d das d ocorrêca ão clu o ao d qu a quadad d ssros já comucada é ambém uma varávl alaóra. á Aoo Pla ão raam o problma d rucamo. Ao vés dsso raam a amosra vsada para arasos curos como uma amosra rprsava da dsrbução ral. Com sso as dsrbuçõs d araso smadas vão aprsar uma probabldad d arasos curos arcalm lvada. Es problma o raado por Parod qu aprsa uma orma d corrção aravés da rlação r a dsrbução compla a dsrbução rucada dos arasos. Porém sa corrção pod xgr cálculos muo complcados dpddo da dsrbução adoada. s rabalho sas duas qusõs oram raadas d orma grada. A quadad d ssros comucados o modlada por uma dsrbução bomal o araso d comucação o modlado como uma dsrbução rucada. Além dsso o úmro oal d ssros ocorrdos é xplcam modlado por uma dsrbução Posso o qu os orc dram a dsrbução da quadad d ssros IBR. A scolha das dsrbuçõs Posso Bomal para modlagm da quadad oal d ssros ocorrdos quadad d ssros avsados aé o rucamo além d corar juscava os cocos udamas d cada dsrbução guarda uma rlação qu vablza as coas. á a scolha da dsrbução d arasos é lvr. s rabalho srão cosdradas as dsrbuçõs xpocal msura d xpocas para modlagm d arasos.

39 Capíulo 3. Modlos para Mcro-dados Formalzação Sja d a varávl qu rprsa o príodo d ocorrêca do ssro D o máxmo príodo d ocorrêca obsrvávl a amosra assm d =...D. Cosdr agora uma jala d príodos d ocorrêca d amaho D assm os príodos d ocorrêca codos ssa jala srão dcados plo ídc =... O úlmo príodo d ocorrêca dssa jala srá smpr um dos príodos d ocorrêca obsrvávs assm ssa jala pod cor dsd o rvalo d príodos d ocorrêca d =... aé d = D +...D. raa-s ão d uma jala dslza qu prcorrrá odos os das d ocorrêca obsrvávs para obção d ovas smavas d parâmros do modlo proposo à mdda m qu prcorrmos sss das d ocorrêca. : o máxmo araso d avso obsrvávl dos ssros ocorrdos o da : o úmro oal d ssros ocorrdos m cada príodo : varávl alaóra qu rprsa úmro d ssros ocorrdos m comucados aé Γ = Γ...Γ : vor alaóro d odos os mpos d araso d odos os ssros ocorrdos o da Γ I = Γ...Γ : vor alaóro d odos os mpos d araso dos ssros avsados rlavos ao da Γ = Γ +...Γ : vor alaóro d odos os mpos d araso dos ssros a srm avsados rlavos ao da =... : vor alaóro d odos os arasos máxmos obsrvávs =... :voralaórodasquadadsoasdssrosocorrdos por da =... : vor alaóro d odos os ssros avsados por da d ocorrêca Γ = Γ...Γ : vor alaóro d odos os mpos d araso : úmro ão obsrvávl d ssros com orgm a daa ulma : úmro obsrvado d ssros comucados aé com orgm a daa τ = τ...τ : vor alaóro d odos os mpos d araso d odos os ssros ocorrdos o da τ I = τ...τ :vor alaórododososmposdarasodosssros avsados rlavos ao da τ = τ +...τ : vor alaóro d odos os mpos d araso dos