4 A Teoria de Filtragem

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1 4 A ora d Flragm Ns capíulo srá abordado o conhcmno ncssáro para a mplmnação do lro ulzado ns rabalho, conorm [27]. O lro d Kalman é ormulado mamacamn m rmos d varávs d sado sua solução é compuada rcursvamn, ou sja, cada sado smado aualzado é compuado a parr d valors anrors smados dos novos dados, porm só sndo ncssáro armaznar o valor smado anror. Sua mplmnação é smpls, o qu o lvou a sr ulzado m muos problmas m drns áras d conhcmno. D ao, o lro d Kalman é um xmplo da amíla d lros adapavos conhcdos como Flros Rcursvos d Mínmos Quadrados, para o caso socásco. Mas o lro d Kalman prcsa do conhcmno dos parâmros da plana dos valors das marzs d covarânca do ruído d ssma d mdda. Exsm alguns méodos ulzados para a mplmnação d algormos qu prmam orncr os valors ómos dsas marzs d ruído, qu srão raados adan. 4.. Concos Probablíscos Consdr um ssma dscro socásco dnâmco: ( x, ) + Γ( x, ) w,,2,3... x = Φ = (57) ond: x = Um n-vor d sado vrdadro do ssma no mpo, Φ = Uma unção n-voral, Γ = Uma unção marz n x r, w - = Ruído branco gaussano do ssma. Da quação (57) pod-s vr qu x é um vor alaóro, vso qu w é alaóro ambém. A saída do ssma pod sr scra: ond: (,) + w2,2,3... y = H x = (58)

2 53 y = Vor p d obsrvaçõs no mpo H = Vor p, w2 = ruído branco gaussano d mdção. 7 A quação (58) mosra como as obsrvaçõs do sado vrdadro são sujas aos rros d mdda. O rgsro d valors passados d saída srá rprsnado por Y : { y,y,y,... } Y 2 3 y = (59) O problma da lragm dscra é compuar uma smava d x, lnar não vcada, dadas as ralzaçõs d Y ; ns caso mnmzando a varânca do rro d smação. A solução do problma d lragm assm dndo pod sr sablcda m rmos da unção d dnsdad probablísca condconal d x l dado Y, ( ) ) x, Y (60) s la conm oda a normação saísca sobr x. No caso lnar gaussano, a solução sá caracrzada pla méda a covarânca da dnsdad condconal (60). No caso não lnar a solução é muo mas complxa, porqu a dnsdad não pod sr caracrzada por um conjuno no d parâmros (não sndo, m gral, gaussana) [22]. S a dnsdad (60) é unmodal (um só pco) smérca com rspo a sua méda, não, para a maora dos ssmas (Shrman 955), o smador ómo é smplsmn a méda condconal: [ Y ] = E x (6) 4.2. O Flro d Kalman O lro d Kalman (a mpo dscro) ornc um algormo para compuar a smava óma o rro d covarânca para um ssma lnar dnâmco dscro socásco xcado por ruídos gaussanos. Sja um ssma lnar dscro pla sgun quação:

3 54 x Φ x + Γ w = (62) ond: x = vor n d sado no mpo, Φ = Marz n x n d ransção d sado não sngular, w = Vor r d sqüênca d ruído branco gaussano. O vor x rprsna as varávs d sado do ssma dnâmco. O ruído sr branco gaussano sgnca qu sus valors ao longo do mpo são varávs alaóras gaussanas dscorrlaadas d méda nula, sndo complamn rprsnados com sua covarânca. O ruído w é suposo branco gaussano, o qu sgnca: E [ w w ] Q, = = (63) 0, Para o ssma d obsrvação, d novo ulzamos: y = + (64) Hx w2 com as caracríscas do ruído do obsrvação (suposo branco gaussano) dadas por: E [ w2 w2 ] R, = = (65) 0, Além dsso, os dos ruídos são suposos ndpndns, o qu mplca qu sua covarânca é nula. Suponha conhcdas as obsrvaçõs da saída: { y,y,y,... y } Y = (66) 2 3

4 55 Dn-s o valor smado como o valor smado d x basado m odas as obsrvaçõs aé -, so é, [ ] E x Y ; como o valor smado d x basado m odas as obsrvaçõs nclundo o mpo, so é, E [ x Y ]. Por smplcdad, srá dnoado apnas como como,. Dnm-s as marzs d covarânca dos rros d smação por: P [( x )( ) ] x = E (67) P [( x )( ) ] x P = E (68) A Inovação A novação é o procsso socásco dndo plo rsíduo nr os valors obsrvados ou mddos os valors smados d um vor d sado. O dsmpnho do lro é rldo nas proprdads saíscas da sqüênca d novação. A novação vm dnda da sgun orma: v = y ŷ (69) ond: ŷ = H (70) sndo, no caso do unconamno ómo, um procsso gaussano branco d méda nula. Pod sr vsa como a saída d um lro d prdção d ordm -, ond sua nrada é uma sér d y.,y 2,..., y Proprdads da Inovação A novação m proprdads mporans, qu são dscras a sgur: Proprdad : A novação α assocado com a varávl obsrvávl y é orogonal às obsrvaçõs passadas y,y,..., : 2 y

5 56 [ y ] 0 E v = (7) Proprdad 2: As novaçõs v, v 2,... v, são orogonas nr s: [ v ] 0 E v = (72) Proprdad 3: Exs uma corrspondênca uma a uma nr os dados obsrvados { y,y,..., } as novaçõs {,v,..., } 2 y v ond, uma 2 v sqüênca pod sr obda d oura por mo d um lro nvrsívl causal sm prda d normação {,y,...,y } { v,v,..., } y (73) 2 2 v Algormo do Flro d Kalman O algormo dsnvolvdo por Kalman sá basado na solução rcursva do problma d smação quadráca mínma, ulzando a dnção do procsso d novação, aprovando as proprdads d corrlação ds procsso socásco spcal. A sgur srá aprsnado o algormo: Vor d nrada (mdda ou obsrvada): Y = { y,y,... y } 2 Parâmros conhcdos: Φ : marz d ransção d sado H: marz d saída Q: marz d covarânca do ruído d ssma R: marz d covarânca do ruído d mdda Esmação d sado:, [ y H ] = + K (74),

6 57 ond K é o ganho d Kalman ulzado para corrgr o valor prvso a parr do valor da nova mdda y. Aualzação da marz d covarânca do rro d smação: P, = P K H P (75), Compuação do ganho do lro d Kalman: K [ H P R ], H, + = P (76) Prdção d sado:, = Φ (77) Esmação da Marz d Covarânca do rro: P, Γ = Φ P Φ + Γ Q (78) 4.3. Flro Esnddo d Kalman O lro d Kalman pod sr snddo ao problma não lnar aravés d um procdmno d lnarzação, conhcdo como lro snddo d Kalman. O algormo m smlud com o lro d Kalman, mas com algumas modcaçõs. Corrspond ao lro d Kalman aplcado ao ssma lnarzado m orno do úlmo valor smado, sndo, dpos, o ssma lnarzado m orno ds novo valor, para nova aplcação do lro, assm rcursvamn (Vr Anxo A). Esmação d sado:, [ y H ] = + K (79).

7 58 Aualzação da Marz d covarânca do rro d smação: P, = P K H P (80), H H = (8) x x = x Compuação do ganho do lro d Kalman: K [ H P R ], H, + = P (82) Prdção d sado:, (,x, u ) = Φ (83) Esmação da Marz d Covarânca do rro d smação: P, Γ = Φ P Φ + Γ Q (84) Φ Φ = (85) x x = x 4.4.Flro Sub-ómo Para a ormulação do lro d Kalman a parr d um ssma dnâmco socásco (62), (64) é ncssáro conhcr as marzs Ψ, Γ, H as marzs d covarânca dos ruídos d obsrvação do ssma Q R. S um lro sá basada no conhcmno ncomplo d alguma dsas marzs, srá do um lro sub-ómo. Ns rabalho srá consdrado o caso no qual o lro sub-ómo sá projado conorm as quaçõs do lro d Kalman, mas basado nas saíscas d ruído rradas Q R. Assm, o algormo cará:

8 59 Esmação d sado:, [ y H ] = + K (86), Aualzação da marz d covarânca do rro d smação, qu, para o lro subómo, srá dnoada por S: S, = S K H S (87), Compuação do ganho do lro: K [ H S R ], H, + = S (88) Prdção d sado: x = Φ (89) Esmação da marz d rro d covarânca: S, Γ = Φ S Φ + Γ Q (90) É bom lmbrar qu srá ulzado S,-, S para rssalar qu sas marzs não podm sr nrpradas como as smaçõs dos rros d covarâncas vrdadras P,-, P. O lro (74) (78) produzrá uma smava, mas qu não srá óma. Porém s lro é ómo para o ssma socásco com caracríscas d sgundo ordm Q R Flragm Adapava Exsm varas écncas dsponívs plas quas um lro pod sr provdo d alguma caracrísca qu prma a corrção d rros a parr d novas normaçõs. Em nosso sudo srá abordada a suação ond não s conhc corramn os valors das marzs d covarânca d rro Q R [23].

9 Esmação Baysana Nsa abordagm, odos os parâmros dsconhcdos são rprsnados por um vor α. Em prncpo α pod nclur parâmros rlaconados ao ssma dnâmco assm como as marzs d covarâncas do ruído Q R. Suponha qu odos os possívs valors d α podm sr rprsnados por um númro no d ralzaçõs, possvlmn muo grand, d um procsso { α, =,...N } por pr { α = α }, ond a probabldad ncal d cada ralzação é dada. Ns caso é possívl drvar, va orma d Bays, um conjuno d rcursõs das marzs d covarânca da dnsdad d probabldad condconal d α, assm como dos smadors [ α = α ], =,... N = E x. Os smadors x srão pondrados pla dnsdad d probabldad condconal para produzr uma smava nal d x [27]. Esa abordagm é arava por sua gnraldad, mas o procdmno é compuaconalmn psado para grands ssmas, porqu coném N lros rcorrns Esmação d Máxma Vrossmlhança Méodos ds po são obdos pla maxmzação da dnsdad d probabldad condconal d um vor dsconhcdo α, dado um conjuno d obsrvaçõs Y Na orma mas gral, a abordagm d máxma vrossmlhança nconra um conjuno d quaçõs drncas não lnars a cada passo, o qual dv sr rsolvdo ravamn. Somn quando o ssma é nvaran no mpo o lro é suposo m sado prmann, pod-s aplcar o méodo [27] Adquação da covarânca Es méodo é aplcado quando s dsconhc Q R sá basado na déa d qu a covarânca da novação: v = y H (9),

10 6 m um valor órco qu sá dramn rlaconado a Q R. Assm, a aual covarânca d α pod sr smada a parr da saída do lro. Esqumas ds po podm sr dsnvolvdos para ajusar Q R aé qu sjam conssns com os valors obsrvados. A convrgênca dss méodos aprsna um dsmpnho baxo porqu os ajuss d Q R são nrdpndns porqu ss ajuss a cada passo são basados numa smpls amosragm da novação [27] Méodos d Corrlação Ess méodos são aplcávs aos lros ond Q R são dsconhcdos. O méodo d corrlação d saída sá basado na sqüênca d auo-corrlação obsrvada { y } ; o méodo d corrlação d novação sá basado na auocorrlação da sqüênca d novação { v }. Ess méodos são smlhans ao caso anror, mas são basados nas proprdads saíscas d um sgmno d mpo da sqüênca { y } ou { } v. Varans dss algormos êm sdo produzdas para grar um conjuno d quaçõs qu rlaconam as unçõs d auocorrlação amosradas com os parâmros dsconhcdos. Esas quaçõs podram sr rsolvdas m orma algébrca para produzr os smadors d Q R ou, alrnavamn, produzr dramn um smador da marz d ganho óma. Mas ss méodos são compuaconalmn muo rabalhosos m a dsvanagm d sarm basados numa só unção d auocorrlação amosrada. O problma o rsolvdo por Bélangr (974), para o caso spcal m qu as marzs Q R são ndpndns no mpo dpndm lnarmn d um conjuno d parâmros dsconhcdos. El mosrou qu, para ssa condção, a unção d auocorrlação vrdadra da sqüênca d novação é ambém uma unção lnar ds conjuno d parâmros. O méodo d Bélangr é aravo por duas condçõs: El oma m cona as ncrzas assocadas com a amosragm da auocorrlação da sqüênca d novação. Os parâmros dsconhcdos são smados a parr d obsrvaçõs do ruído da unção d auocorrlação. Es algormo pod sr ormulado como um lro scundáro.

11 62 Em muas aplcaçõs, é razoávl supor qu o projsa conhc alguma cosa da sruura d Q R. O méodo d Bélangr ra vanagm dsa normação ncal para rduzr sgncavamn o cuso compuaconal garanr a convrgênca A sqüênca d Inovação O dsmpnho d um lro sá rlaconado com a proprdad saísca da sqüênca d novação { v }: v = y H (92), Como o do anrormn na lsa d proprdads da novação do lro d Kalman, o ao d qu sa sqüênca sja um ruído branco sgnca qu o lro lnar já rrou oda a normação lnar dl. Ou mlhor, qu oda a normação lnar (a obda por smadors lnars, obdos por projçõs no spaço grado plas mddas dramn) já o obda. No caso conráro, s a novação oss corrlaconada no mpo, l anda ra normação úl não ulzada plo lro. Os algormos adapavos qu ulzam sa caracrísca para mlhorar o dsmpnho do lro são chamados d méodos d corrlação da novação [27]. A sqüênca d novação sá rlaconada com o rro d smação ~ da sgun orma: ~ = x, v v = y H = H ~ + w2, (93) Podmos obr uma rcursão do vor d prvsão da quação do lro para uma marz d ganho arbrára:

12 63, = ψ =, + K [ y H ], (94),0 [ ] = E x 0 P, = Φ P Φ + Γ Q Γ P P,0 = [ I H ] P [ I H ] = E, [( x )( ) ] 0,0 x0,0 + R K (95) A sgunda quação d (95) é muo mporan porqu ornc o rro d covarânca do smador para uma marz d ganho arbrára. Por xmplo, s uma marz d ganho K é compuada como uma aproxmação d K por razõs d cênca compuaconal, não sa sgunda quação pod sr usada para compuar o rro d covarânca P. Ns caso, sm supor qu K é a marz do lro ómo, a rcursão do vor d prvsão cará:, = Φ = Φ [ ~, + K H ] + Φ K w2 ond x rprsna não mas a smava óma (dada plo lro d Kalman), mas uma smava sub-óma, dada plo novo lro calculado a parr d uma marz d ganho arbrára. (96) A rcursão para o rro d prvsão passa a sr: x ~ = Φ = Φ x + Γ [ I K H ] w + Γ w Ψ ~ K w2 (97) omando rcursõs arás:

13 64 ~ = φ, + ~ φ,j+ j= [ Γ w Φ K w2 ] j j j j j (98) ond φ, 2 é a marz d ransção d sado do rro do ssma, dada por: φ,2 Φ [ I K H ] Φ 2[ I K 2H 2 ] [ I K H ] Φ (99) φ, I Ulzando (93): [ ] ( ~ )( ~ v = E H + w2 H + w2 ) H E[ ~ ~ = ] H H E ~ ( w2 ) + + E[ w2 x ] H E w2 ( w2 )) + E v (00) O prmro o sgundo rmos da quação (00) podm sr rsolvdos com a quação (98), juno com as saíscas do ruído do ssma da obsrvação. O rcro quaro rmo são nulos a parr das hpóss sobr os ruídos. Assm: [ vv )] HP, H R E = + (0) [ v ] E v = H φ H φ, P, +, Ψ H K R, > 0 (02)

14 65 As quaçõs (03) (04) xprssam a auocorrlação da sqüênca d novação do lro sub-ómo m rmos das marzs d covarânca do rro assocadas. Para mosrar qu o lado dro da quação (02) s anula quando o lro é ómo, rscrvrmos: [ v ] E v = H φ, + Φ {[ I K H ] P H K R }, (03) [ v ] E v = H φ, + { P H K [ H P H + R ]}, = H φ Φ, + Φ { K K }[ H P H + K ],, (04) A quação (04) nconra mdaamn a proprdad d novação do lro : [ v ] E v = 0 para 0 para odo (05) > Para um lro sub-ómo, a auocorrlação da sqüênca d novação é dramn proporconal à drnça nr a marz d ganho K a marz d ganho d Kalman, plas quaçõs (03) (04). S K é o ganho do Flro d Kalman, não a sqüênca d novação é branca sua covarânca é dada por (0). As novaçõs ormam uma sqüênca gaussana s o ruído do ssma o ruído d obsrvação são gaussanos o algormo do lro é lnar Algormo d Bélangr O algormo d Bélangr supõ qu Q R são ndpndns no mpo qu são combnaçõs lnars d marzs conhcdas Q Q :

15 66 Q = αq (06) = R = αr (07) = Srá projado um lro sub-ómo na bas d um smava ncal α do vor = [,..., ], orncndo smavas ncas para as marzs Q R: N Q = α Q (08) = N = R = α R (09) Agora o algormo do lro d Kalman srá rscro nclundo a sqüênca d novação: Esmação d sado:, [ y H ] = + K (0), Aualzação da marz d covarânca d rro d smação: P, = P K H P (), Compuação do ganho do lro d Kalman: K [ H P R ], H, + = P (2) Prdção d sado:, = Φ (3) Esmação da marz d covarânca d rro d smação:

16 67 P, Γ = Φ P Φ + Γ Q (4) Inovação: v = y H (5), S,0,0 = 0 [ ] = E x 0 (6) As marzs S S a srão dndas plas rcursõs: S S,, = = Φ S Φ + Γ,,...N (7) [ I K H ] S [ I K H ],, = = + K R K,,...N (8) com: S,, 0 = 0,,...N (9) = Porano podmos scrvr:, N S = α S (20) = N =, S = α S (2), Suponhamos qu: é xaa: = x (22),0 P, 0 0 = 0 (23)

17 68 assm, S,0 = P, 0 :, N P = α S (24) =, N P = α S (25) =, Para o caso spcal (22) com ajuda d (0) - (05), obmos: E N [ v ()v )] = α F (26) =,, ond:,,0, F = H S H + R (27) F,, = H φ, + Φ {[ I K H ] S H K R },, > 0 (28) As marzs F,, podm sr compuadas rcursvamn como um subproduo do algormo do lro. pcamn, o smador ncal não é xao, as rlaçõs lnars (23) (24) nr P,- S,- nr P S não são mandas ncalmn. Porém las srão mandas para um valor muo grand d dvdo à sabldad do lro. O lro squc as spccaçõs ncas d S xponncalmn rápdo [27]. Porano é possívl scrvr: ond: N, = αs, + = P S ~ (29) S ~, 0 ( φ ), = φ Φ P Φ (30) 0,0 Um rro smlar pod s aprsnar para a quação (25) quando P 0:

18 69 ond: E N [ v v ] = αf,, +, (3) = F ~ F ~ H S ~,0 = H (32) F ~ H S ~, = φ, H or > 0 (33) O rmo F ~, srá nulo quando or ncrmnado., F ~ rá mas rapdamn para zro qu S ~ dvdo à prsnça d H O Flro Quadráco Esa sção é uma adapação dos rsulados d D (974) ao problma da prsn s. A quação (25) xprssa o ao d qu Q R são unçõs lnars dos componns d α, ou sja, a auocorrlação da sqüênca d novação é ambém lnar m α. A abordagm agora srá vr (25) como um modlo d obsrvação d α ormular o smador como um lro sub-ómo d Kalman para s parâmro. A quação (25) pod sr scra: v v = N = α F,, + ξ, (34) com: [ ] E, = ξ 0 (35) A quação (34) ornc um modlo d obsrvação do vor α dsconhcdo. As obsrvaçõs v v as obsrvaçõs padrõs F (,l) srão obdas do lro sub-ómo. Iso xg não qu o algormo qu sma α possa sr ormulado como um lro scundáro do lro sub-ómo.

19 70 Ans d dscrvr o lro quadráco, dvmos scrvr o modlo d obsrvação d α m orma d vor. Srá usada a noação a j para salnar a coluna j I da marz pxp A. O vor vc[a] srá o vor p 2 x obdo pla concanação das colunas d A. vc [ A] a 2 a. =. (36).. p a No qu, s A é smérca, vc[a] rá lmnos duplcados. Srá dnda a marz para qu vc[a] sja a rprsnação d [A] sm lmnos duplcados = (37) PP ond cada bloco rs é uma marz (p-r+)xp rs = 0 s r s (38) rr = [ 0 r I ] p r+ } p r + Sja: [ v v )] vc s = 0 σ, (39) vc[ vv )] s > 0

20 7 Fs, [ vc[f ];vc[f ];...vc[f ]],,0 2,,0 N,,0 s = 0 (40) [ vc[f,, )];vc[f2,, )];...vc[fn,, ] s > 0 [ ξ )] vc,0 s = 0 η, = (4) vc[ ξ, ] s > 0 Assm, o modlo d obsrvação (34) d α m orma voral é: σ, = Fs, α + η, (42) com: [ ] E, = η 0 (43) As obsrvaçõs σ, as obsrvaçõs padrõs, prmáro. A sqüênca d novação { v ()} gra os produos: { v v ; =,2...;l = 0,,... } Fs são obdas do lro Na práca, dv-s spccar um máxmo rardo L. O su amanho dpnd da aplcação parcular das consdraçõs compuaconas. As obsrvaçõs σ, são gradas no sgun ordm: { σ ; σ ; σ ; σ ; σ ; σ ;... σ ; σ σ },0 2,0 2, 3,0 3, 3,2,0, ;..., Srá dndo o conador para smplcar a noação das obsrvaçõs quadrácas, prcorrndo os índcs acma d orma crscn: σ = Fs α + η (44) com:

21 72 E[ η ] = 0 (45) [ η )] E η = ν(,s, α) (46) s D ao, a sqüênca d ruído d obsrvação { η } não é branca su sgundo momno dpnd d α. O abordagm d Bélangr é smar α pla solução d um problma d mínmos quadrados: nconrar o vor ˆα () qu mnmza: ( Fs α) W ( σ Fs α) + ( σ σ ) θ ( σ σ ) J = σ j j j j j j= 0 (47) ond W j θ 0 são marzs d pso posva dnda α 0 é um smador ncal d α. Suponha, por nquano, qu W j θ 0 são marzs posvas dndas spccadas arbraramn. A solução rcursva do problma (47) com W j = W j é xaamn o lro do modlo. α = α (48) σ ' = Fs α + η' (49) com: [ ' ] [ ' ( η' s ) ] E η = 0 (50) E η = δ W (5) s : [ ] [( α0)( α0 α0) ] E α 0 = α0 (52) E 0 = θ0 α (53)

22 73 Es abordagm aproxmará o modlo vrdadro d α (45) (46) plo modlo (48) (49), os quas m ruído d obsrvação com saíscas spccadas por (50) (5). O lro ómo do modlo srá: K α [ Fs θ Fs + W ] = θ Fs (54) α [ K Fs ] θ = (55) I θ α [ σ Fs αˆ ] α ˆ = αˆ + K (56) [ α ] [( α0 α0)( α0 α0) ] ˆ 0 0 α α = E = 0 (57) θ = E = 0 (58) 0 θ Pod-s vr qu o dsmpnho do lro α dpndrá d quão pro o modlo ncal sá do modlo vrdadro. Assm a spccação d W θ são ssncas para a axa d convrgênca do algormo Escolha d W θ O lro α srá ómo s a sqüênca d ruído { η ()} or branca s: E[ ] [( α α0)( α α0) ] α 0 = α (59) θ 0 = E (60) W E[ η η ] = (6) No caso ral: E [ η η ] = ν(,s, α) = E [ σ, E( σ, ) ][ σ2, 2 Eσ2, 2 ] ] (62) com:

23 74 σ, [ v v ] vc s = 0 = (63) vc[ v )v ] > ) s 0 Assm, a auo-corrlação d η é uma unção d momno d quaro ordm da sqüênca d novação ss momnos não podm sr spccados sm o conhcmno d α. Fazndo uma slção d srá nroduzda uma aproxmação lnar ao problma. W ndpndnmn d α, A aual covarânca é dada por: W = E [ η η ] W = W,,0 s s = 0 > 0 (64) ond: W, = E vc [ v v ] E[ vc[ v v ] vc [ v v ] E[ vc[ v v ] W, = E ( vc[ v v ])( vc[ v v ]) [ [ v v ] E ( vc[ v v ]) E vc (65) Porano, W, é uma marz p 2 x p 2.

24 75 2 p W W...W p W W...W..... W, = (66) p p2 pp W W...W ond cada bloco W rs é uma marz p x p com: W rs j (, ) = E v [, vr, v j, v s, ] E[ v v ].E [ v v ], r, j, s, (67) Ulzando o ao d qu v é gaussana, podmos usar a rgra do produo (rlaconando momnos d quara d sgunda ordm d varávs gaussanas) para xprssar os momnos d quara ordm (66) m rmos d momnos d sgunda ordm: W rs j (, ) = E v [, v j, ] E[ vr, v s, ] [ v ] E[ v v ] + E v, s, r, j, (68) Agora srá nroduzda uma aproxmação, azndo α=α (Bélangr 974), com so a sqüênca d novação srá branca (conorm sção 4.5.5), dsd qu suponhamos (por smplcação) qu { η ()} é um ruído branco (o qu modca (62) (63)). Com sas novas modcaçõs, azndo W=W : rs ( Wj ) = E[ v, v j, ] E[ v r, v s, ] + δ E[ v v ] E[ v v ] l0, s, r, j, (69) ond { v ()} é a sqüênca d novação quando α =α. O lado dro da quação (69) pod sr avalado usando a quação (34): E v ( v ) = N = α = H F,,0 S, H + R (70)

25 76 Agora complamos a spccação do lro α: O smador rcursvo é dado por: K α [ Fs θ Fs + W ] = θ Fs (54) α [ K Fs ] θ = (55) I θ α [ σ Fs αˆ ] α ˆ = αˆ + K (56) [ α ] ˆ 0 0 α α = E = 0 (57) [( α0 α0)( α0 α0) ] θ = E = 0 (58) 0 θ As obsrvaçõs quadrácas σ, : σ, [ v v )] vc s = 0 (39) vc[ vv )] s > 0 As obsrvaçõs padrõs Fs (,l) : [ vc[f ];vc[f ];...vc[f ]],,0 2,,0 N,,0 s = 0 Fs, (40) [ vc[f,, )];vc[f2,, )];...vc[fn,, ] s > 0 Fnalmn a marz d pondração W é dnda plas quaçõs (64) - (70).