Otimização de processos acoplados: programação da produção e corte de estoque. Carla Taviane Lucke da Silva Ghidini

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1 Omzação d procssos acoplados: programação da produção cor d soqu Carla Tavan Luck da Slva Ghdn

2 Lvros Grás hp:// Mlhars d lvros grás para download.

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4 SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Daa d Dpóso: Assnaura: Omzação d procssos acoplados: programação da produção cor d soqu Carla Tavan Luck da Slva Ghdn Ornador: Prof. Dr. Marcos Nru Arnals Ts aprsnada ao Insuo d Cêncas Mamácas d Compuação - ICMC-USP como par dos rqusos para obnção do íulo d Douor m Cêncas - Cêncas d Compuação Mamáca Compuaconal. USP São Carlos Dzmbro d 28

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6 Ao Edson...

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8 Agradcmnos Ns momno quro agradcr as pssoas qu d dvrsas manras conrbuíram para a ralzação ds rabalho: Ao Edson pla companha cumplcdad ddcação duran odo o douorado. Aos mus pas Rosmr Elsabh plo carnho amor. Aos mus rmãos Alxandr Rogr cunhadas Valéra Clauda por acrdarm m mm. À Marana mnha sobrnha qurda plos momnos d dsconração algra. Ao profssor Marcos Arnals pla ornação comprnsão smpaa (admrávl). À Slma Arnals plos conslhos confança amzad. Aos mus amgos Klly Adrana Douglas Vcor Danla (Uncamp) Slva Aln Tamara Pdro Clauda Shla Mará Gulhrm Marco Edlan Lana pla amzad companha momnos úncos vvdos no douorado. Aos profssors Franklna Marsla Alysson (ICMC USP) Aurlo (IMECC UNICAMP) Rnaldo (DEP UFSCar) Socorro Slvo (Unsp São José do Ro Pro) Andra (Unsp Bauru) plo apoo amzad. Ao pssoal da scrara d pós-graduação pla colaboração fcênca. À FAPESP ao CNPq plo apoo fnancro. A Dus pla mnha vda.

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10 Rsumo Em dvrsas ndúsras d manufaura (por xmplo paplra movlra malúrgca êxl) as dcsõs do dmnsonamno d los nragm com ouras dcsõs do planjamno programação da produção as como a dsrbução o procsso d cor nr ouros. Porém usualmn ssas dcsõs são raadas d forma solada rduzndo o spaço d soluçõs a nrdpndênca nr as dcsõs lvando assm os cusos oas. Nsa s sudamos o procsso produvo d ndúsras d móvs d pquno por qu conss m corar placas grands dsponívs m soqu para obr dvrsos pos d pças qu são procssadas posrormn m ouros ságos qupamnos com capacdads lmadas para fnalmn comporm os produos dmandados. Os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu são acoplados m um modlo d omzação lnar nro cujo objvo é mnmzar os cusos d produção soqu d produos prparação d máqunas prda d maéra-prma. Ess modlo mosra o compromsso xsn nr ancpar ou não a fabrcação d cros produos aumnando os cusos d soqu mas rduzndo a prda d maéra-prma ao obr mlhors combnaçõs nr as pças. O mpaco da ncrza da dmanda (composa pla carra d pddos mas uma quandad xra smada) fo amorzado pla sraéga d horzon d planjamno rolan por varávs d dcsão qu rprsnam uma produção xra para a dmanda sprada no mlhor momno vsando a mnmzação dos cusos oas. Dos méodos huríscos são dsnvolvdos para rsolvr uma smplfcação do modlo mamáco proposo o qual possu um alo grau d complxdad. Os xprmnos compuaconas ralzados com xmplars grados a parr d dados ras colados m uma ndúsra d móvs d pquno por uma análs dos rsulados as conclusõs prspcvas para s rabalho são aprsnados. Palavras-chav: Problma d omzação acoplado. Problma d cor bdmnsonal. Problma d dmnsonamno d los. v

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12 Absrac In h many manufacurng ndusrs (.g. papr ndusry furnur sl xl) lo-szng dcsons gnrally ars oghr wh ohr dcsons of plannng producon such as dsrbuon cung schdulng and ohrs. Howvr usually hs dcsons ar dal wh sparaly whch rduc h soluon spac and brak dpndnc on dcsons ncrasng h oal coss. In hs hss w sudy h producon procss ha arss n small scal furnur ndusrs whch consss bascally of cung larg plas avalabl n sock no svral hcknsss o oban dffrn yps of pcs rqurd o manufacur los of ordrd producs. Th cung and drllng machns ar possbly bolncks and hr capacs hav o b akn no accoun. Th lo-szng and cung sock problms ar coupld wh ach ohr n a larg scal lnar ngr opmzaon modl whos objcv funcon consss n mnmzng dffrn coss smulanously producon nvnory raw maral was and sup coss. Th proposd modl capurs h radoff bwn makng nvnory and rducng losss. Th mpac of h uncrany of h dmand whch s composd wh ordrd and forcasng producs) was smoohd down by a rollng horzon sragy and by nw dcson varabls ha rprsn xra producon o m forcasng dmands a h bs momn amng a oal cos mnmzaon. Two hursc mhods ar proposd o solv rlaxaon of h mahmacal modl. Randomly gnrad nsancs basd on ral world lf daa wr usd for h compuaonal xprmns for mprcal analyss of h modl and h proposd soluon mhods. Kywords: Larg scal opmzaon problm. Ingr lnar opmzaon. Two-dmnsonal cung sock problm. Lo-szng problm. v

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14 Índc Lsa d fguras...x Lsa d ablas...xv Inrodução... 2 Rvsão bblográfca Problma acoplado para um po d produo Problma acoplado na ndúsra d procssamno d madra Problma acoplado na ndúsra d componns d cobr Problma acoplado na ndúsra d camnhão Problma acoplado na ndúsra d papl I Problma acoplado na ndúsra d papl II Problma acoplado na ndúsra d corras Problma acoplado na ndúsra d móvs Problma acoplado na ndúsra d papl III Problmas d dmnsonamno d los cor d soqu Problma d dmnsonamno d los (PDL) Problma d dmnsonamno d los mono-ságo Problma d dmnsonamno d los mul-ságo Méodos d rsolução Problma d cor d soqu (PCE) Classfcação do problma d cor d soqu Classfcação do padrão d cor...39 x

15 3.2.3 Modlagm mamáca do PCE undmnsonal bdmnsonal Problma d cor d soqu rsro Problma d cor d soqu mulpríodo Problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu na ndúsra d móvs A ndúsra d móvs braslra Programação da produção na ndúsra d móvs Procsso produvo da ndúsra d móvs Problma acoplado na ndúsra d móvs Modlagm mamáca do problma acoplado Marz d rsrçõs do problma acoplado Dfculdads do modlo mamáco do problma acoplado Méodos d solução Problma acoplado PDL PCE smplfcado Huríscas d solução Huríscas d acoplamno Huríscas d dcomposção Abordagns para gração d colunas Abordagm Abordagm Insrção d varávs arfcas Hurísca d facblzação para a hurísca d dcomposção Solução nra Solução nra para hurísca d dcomposção Solução nra para hurísca d acoplamno Abordagm grafo E/OU para problma d cor bdmnsonal Exprmnos compuaconas Dscrção dos parâmros Grador alaóro Rsulados compuaconas x

16 6.3. Abordagns 2 para grar novas colunas Varávs arfcas nas rsrçõs d acoplamno d capacdad Varando parâmros do modlo proposo Solução para odo o horzon d planjamno Hurísca d facblzação Solução nra CPLEX. vrsus GLPK Conclusõs prspcvas Conclusõs Prspcvas...26 Rfrêncas Bblográfcas...29 x

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18 Lsa d fguras 2. Solução para o problma da mochla undmnsonal Solução para o problma da mochla bdmnsonal Problma d cor undmnsonal Problma d cor bdmnsonal Problma d cor rdmnsonal Padrão d cor bdmnsonal gulhonado Padrão d cor bdmnsonal gulhonado 3-ságos Padrão d cor bdmnsonal gulhonado 3-ságos xao Padrão d cor bdmnsonal gulhonado 2-ságos xao homogêno Padrão d cor bdmnsonal gulhonado 2-ságos nxao Dvsão do horzon d planjamno rolan Procsso produvo smplfcado da ndúsra d móvs Marz d rsrçõs do modlo mamáco (4.5.)-(4.5.2) Marz d rsrçõs do modlo mamáco rlaxado (5..)-(5..) Possívs sqüêncas para a rsolução do problma acoplado Grafo E/OU com um camnho dsacado (a) o padrão d cor corrspondn (b) Possívs sqüêncas para a rsolução do modlo (4.5.)-(4.5.2) Tpos d produos fnas Comparação do mpo oal médo d rsolução para dmanda baxa Comparação da FO para dmanda baxa Comparação do mpo oal d rsolução para dmanda méda Comparação da FO para dmanda méda Comparação do mpo oal d rsolução para dmanda ala Comparação da FO para dmanda ala Comparação do númro d placas coradas no príodo...6 x

19 6. Comparação do mpo oal das soluçõs nras obdas por HD HA Comparação das prdas nas soluçõs nras obdas por HD HA Comparação do númro d raçõs fo pla RAG com HD HA Comparação dos dsvos nr as soluçõs conínuas nras Comparação do mpo oal médo d rsolução usando CPLEX. GLPK xv

20 Lsa d ablas 6. Cusos númro d placas coradas junas pla srra por spssura Dmnsõs das pças sruura dos produos fnas por spssura Dmandas m carra sprada dos produos no horzon d planjamno Formação das classs d problmas sadas Comparação do mpo oal médo d rsolução númro d raçõs para dmanda baxa Comparação do mpo oal médo d rsolução númro d raçõs para dmanda méda Comparação do mpo oal médo d rsolução númro d raçõs para dmanda ala Comparação do mpo oal médo d rsolução valor da FO para dmanda baxa Comparação do mpo oal médo d rsolução valor da FO para dmanda méda.. 6. Comparação do mpo oal médo d rsolução valor da FO para dmanda ala Comparação do númro d placas coradas no príodo Comparação da programação da produção para o príodo nr HD HA Comparação do númro d placas coradas para HD HA ao varar a dmanda sprada Comparação da programação da produção para o príodo ao varar a dmanda sprada Varação na quandad d pos d produos para dmanda méda Comparação da prda ocorrda no príodo ao varar a capacdad d máquna Comparação do númro d placas coradas no príodo ao varar a capacdad d máquna Comparação da prda do númro d placas coradas no príodo Comparação da solução lo/lo da HA para o príodo Comparação da programação da produção do príodo ans dpos da facblzação...6 xv

21 6.2 Comparação das soluçõs nras obdas por HD HA Dsvo nr as soluçõs conínuas nras Comparação do mpo oal médo d rsolução usando CPLEX. GLPK... 2 xv

22 Capíulo Inrodução O sor d móvs no Brasl vm aprsnando nos úlmos anos um crscmno consdrávl. O fauramno as xporaçõs aumnaram nquano as mporaçõs vram uma pquna quda. O nvsmno m cnologa a adquação do dsgn dos móvs vsando andr consumdors d ouros paíss possblaram um aumno nas xporaçõs na gração d mprgos dros ndros. Mas apsar dsss rsulados posvos o sor anda sofr com a for compvdad d paíss como a Chna qu consgu s sablcr como uma grand concorrn com os produos braslros dvdo prncpalmn aos sus baxos cusos d produção. Sndo assm o sor movlro do Brasl prcsa ornar-s cada vz mas compvo no mrcado globalzado. Para so açõs opraconas qu prmm andr à dmanda com produos d qualdad prços acssívs êm d sr adoadas. Um xmplo é a rdução na prda d maéra-prma duran o procsso produvo a qual proporcona uma rdução no cuso d fabrcação do produo fnal sm alrar sua qualdad. Ouro xmplo é a omzação da programação da produção vsando andr sm arasos ao mnor cuso d produção os pddos. Ambos problmas a programação da produção a rdução do dsprdíco d maéra prma no procsso d cor d forma acoplada são o objo d sudo dsa s. As ndúsras d móvs braslras são concnradas m pólos rgonas localzados na rgão Sul rsponsávl por quas 46% da produção naconal na rgão Suds qu fabrca m orno d 4% da produção naconal nas rgõs Nords Nor Cnro-Os rsponsávs por aproxmadamn 7% 4% 3% da produção naconal rspcvamn. Alguns dos pólos mas consoldados radconas são: Bno Gonçalvs (RS) São Bno do Sul (SC) Arapongas (PR) Mrassol (SP) Vouporanga (SP) Grand São Paulo (SP). Uma par ds rabalho fo dsnvolvda basada no procsso produvo d uma ndúsra d móvs d pquno por localzada na cdad d Vouporanga no noros do sado d São Paulo a qual produz somn móvs rsdncas m spcal móvs d dormóros. Nas ndúsras d móvs o planjamno a programação da produção rsumdamn conssm m drmnar quas quanos produos fnas (dmnsonamno d los) dvm sr produzdos m cada um dos príodos do horzon d planjamno d

23 forma a andr à dmanda não volar a capacdad d produção mnmzar os cusos d produção prparação d máquna soqu d produos prda d maéra-prma no procsso d cor. A quandad d pças ncssára para a confcção dos produos m cada príodo é obda com o cor d placas rangulars grands (objos) m pças (rângulos mnors) ulzando dfrns padrõs d cor os quas são projados para grarm a mnor prda d maral possívl. Em suaçõs ras gralmn as ndúsras d móvs rsolvm os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu sparados ou sja ncalmn são drmnadas para cada príodo do horzon d planjamno as quandads d cada po d produo fnal (o amanho do lo) a srm produzdas. Ulzando ssa nformação a quandad d cada po d pça qu dv sr corada é drmnada não os mlhors padrõs d cor são grados. Enrano omzar os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu d forma ndpndn pod grar soluçõs runs (ou msmo nvávs) do pono d vsa dos alos cusos oas obdos do aumno do dsprdíco d maral prncpalmn s o cor d maéra-prma for conomcamn rlvan no procsso so é s uma parcla sgnfcan do cuso do produo fnal é composo plo maral qu fo corado. Dssa forma os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu dvm sr raados rsolvdos smulanamn. Porém a junção dss dos problmas d omzação complxos lva a um problma d omzação mas dfícl d rsolvr uma vz qu novas rsrçõs unndo os problmas sparados são adconadas uma solução óma global provavlmn não srá uma smpls composção das soluçõs ómas dos problmas sparados. O problma d omzação obdo com a unão dos problmas d dmnsonamno d los cor d soqu chamamos d problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu ou smplsmn d problma acoplado. Embora os problmas clásscos d omzação (dmnsonamno d los cor d soqu) sjam xnsvamn sudados na lraura anda são poucos os rabalhos qu os consdram acoplados. A rlação dos argos rvsados sobr problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu dscros com dalhs no Capíulo 2 é aprsnada a sgur: Kanorovch (939) (raduzdo no rabalho d 96) é possvlmn o prmro rabalho qu raa os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu d forma acoplada. Es fao não é xplíco no rabalho mas pod sr faclmn vrfcado ao analsar o modlo mamáco qu Kanorovch propôs para rsolvr um problma d cor d soqu o qual possu como varávl d dcsão o amanho do lo. Es rabalho fo pracamn gnorado plos psqusadors da ára. Rndrs (992) rabalha com o problma d cor d soqu acoplado ao problma d planjamno programação da produção d uma companha almã d procssamno d madra. Os roncos d árvor dvm sr corados m oras qu posrormn são ransformadas m placas d dvrsos amanhos para srm vnddas. 2

24 Hndry al. (996) consdram o problma d planjamno da produção da fundção d uma ndúsra d componns d cobr cujo procsso produvo smplsmn conss m drrr o cobr moldar o mal drrdo m barras corar as barras m ns mnors. O objvo é omzar os cusos da fundção o mpo d nrga dos pddos. Nonas Thorsnson (2 28) raam o problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu d uma companha norugusa qu produz um po spcal d camnhão basculan. O procsso produvo comça no dparamno d aço m qu grands placas d aço são coradas m pars mnors d dfrns formas amanhos ulzando dvrsos padrõs d cor. Algumas pars coradas são furadas /ou dobradas odas são socadas. No rabalho d 2 é proposo um modlo mamáco acoplado com dmanda socásca função objvo não lnar rsrçõs lnars sua vrsão smplfcada é rsolvda. No rabalho d 28 ouros méodos d solução foram sugrdos para nar rsolvr mas rapdamn o msmo modlo mamáco smplfcado com dmnsõs maors. Rspíco Capvo (22) consdram o ssma d produção d ndúsra d papl propõm um modlo mamáco nro qu acopla os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu. O modlo é rsolvdo ulzando branch-and-prc. Mnon Schrag (22) ambém rabalham com o procsso produvo da ndúsra d papl propõ um modlo mamáco nro qu acopla o problma d cor d soqu o problma d alocação o qual é rsolvdo por um méodo hurísco basado no branch-and-prc. Arbb Marnll (25) aprsnam um sudo d caso m uma ndúsra uropéa qu produz corras d ngrnagm. Um modlo mamáco nro mso qu acopla os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu é dsnvolvdo smplfcado rsolvdo por um procdmno m 2-ságos. Graman França (26) raam o procsso produvo d uma ndúsra d móvs propõm um modlo mamáco nro mso qu acopla os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu. O spaço d soluçõs é rduzdo o problma é rformulado como a drmnação d camnho mínmo m analoga ao méodo clássco d Wagnr Whn (958). Polronr al. (28) raam um problma d dmnsonamno d los cor d soqu prsn na ndúsra d papl d forma acoplada. Propusram um modlo mamáco d omzação lnar nro mso o qual é rsolvdo por huríscas basadas na rlaxação lagrangana da rsrção d acoplamno. Ns rabalho propomos um modlo d omzação lnar nro qu capura smulanamn as rlaçõs xsns nr os problmas d dmnsonamno d los 3

25 cor d soqu prm qu alguns produos sjam ancpados armaznados no soqu. Esa ancpação da produção aumna os cusos d soqu dos produos fnas mas com o aumno na dmanda d pças m um drmnado príodo é possívl grar mlhors padrõs d cor dmnur os cusos com a prda d maéra-prma. Embora o modlo mamáco proposo nha sdo dsnvolvdo basado m uma drmnada ndúsra d móvs d pquno por os prncpas lmnos consdrados êm cro grau d gnraldad. Os lmnos mas rlvans ao planjamno da produção são: Máqunas com capacdads lmadas: a srra a furadra possum lms d capacdad rprsnam possívs gargalos do procsso produvo. Dmanda sprada dos produos fnas: a dmanda dos produos é ncra pos dpnd d solcaçõs d clns. Para raar sa caracrísca da dmanda no modlo mamáco é ulzada a sraéga d horzon d planjamno rolan m qu o prmro príodo do horzon é sufcnmn dalhado somn as suas dcsõs são mplmnadas. Além dsso a dmanda sprada d um drmnado produo no horzon d planjamno é composa pla carra d pddos ds produo no horzon mas uma dmanda xra drmnada plo sor d vndas qu pod sr produzda m qualqur momno do horzon d planjamno cujo objvo é andr aos pddos nsprados. Essa dmanda xra é consdrada no modlo mamáco como um dado forncdo plo sor d vndas para o horzon d planjamno su andmno é parclado por príodos. Tal dmanda é rprsnada por varávs d dcsão as quas drmnam o mlhor momno m rmos d mnmzação d cusos para uma produção xra qu comporá um soqu d sgurança. Objvos Ns projo d psqusa raamos o problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu orundo da ndúsra d móvs o qual é anda pouco xplorado na lraura. A consaação d sua rlvânca m dvrsas suaçõs prácas dmonsra a sua mporânca a dfculdad nconrada m rsolvr os modlos mamácos qu o rprsna o qu mova númras psqusas acadêmcas. Os objvos prncpas ds rabalho conssm m modlar mamacamn o problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu dsnvolvr méodos d rsolução qu sjam fcns capazs d xplorar as caracríscas do problma nvsgar capurar raar o compromsso xsn quando o problma d cor d soqu é rsolvdo lvando m consdração o planjamno da produção para város príodos do horzon d planjamno (dmnsonamno d los). 4

26 Organzação do xo O Capíulo 2 coném uma rvsão bblográfca d rabalhos qu raam os problmas d programação da produção cor d soqu d forma acoplada prsns m dfrns pos d ndúsra d manufaura as como ndúsra d papl móvs êxl nr ouras. No Capíulo 3 os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu são consdrados sparadamn. A dfnção modlagm mamáca alguns méodos clásscos para rsolução dsss problmas são aprsnados. No Capíulo 4 são dscros o procsso produvo smplfcado algumas caracríscas a programação da produção da ndúsra d móvs braslra. São aprsnadas a dfnção do problma a modlagm mamáca as dfculdads d rsolução do modlo mamáco do problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu prsn na ndúsra d móvs. O Capíulo 5 raz a dscrção d odos os procdmnos méodos écncas dsnvolvdos ulzados para rsolvr o modlo mamáco proposo para rprsnar o problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu prsn nas ndúsras d móvs. O Capíulo 6 raa spcfcamn dos xprmnos compuaconas ralzados com xmplars grados alaoramn mas basados m dados ras colados d uma ndúsra d móvs d pquno por. Os rsulados análss são aprsnados. O Capíulo 7 coném as conclusõs as prspcvas para rabalhos fuuros. As rfrêncas bblográfcas são aprsnadas no fnal ds xo. 5

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28 Capíulo 2 Rvsão Bblográfca Es capíulo coném um rsumo dos poucos rabalhos qu nconramos na lraura sobr os problmas d omzação acoplados d dmnsonamno d los cor d soqu os quas consdram o planjamno programação da produção d dvrsos pos d ndúsra d manufaura as como ndúsra d roupas papl móvs camnhõs procssamno d madras componns d cobr corras d ngrnagm. Em odos os rabalhos rvsados os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu são raados smulanamn ou sja ao nar rsolvr o problma d dmnsonamno d los dados rsrçõs do problma d cor d soqu qu nrfrm dramn no procsso produvo da ndúsra são lvados m consdração vc-vrsa. Esa forma d consdrar os clásscos problmas d dmnsonamno d los cor d soqu sá basan xplíca m alguns rabalhos como por xmplo m Graman França (26) Nonas Thorsnson (2 28) Polronr al. (28) mplíca m ouros como nos rabalhos d Kanorovch (96) Farly (988). 2. Problma acoplado para um únco po d produo O rabalho d Kanorovch (96) (raduzdo do rabalho d 939) é possvlmn o prmro rabalho d omzação lnar nra qu parcularmn modla os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu d forma acoplada. Es fao não aparc xplcamn no rabalho mas pod sr faclmn consaado ao analsar o modlo mamáco qu Kanorovch propôs para rsolvr um problma d cor d soqu o qual possu como varávl d dcsão o amanho do lo d um únco po d produo. Kanorovch consdrou o sgun problma d cor d soqu para a fabrcação d apnas um po produo: Suponha qu xsm m soqu K pos d objos d cada po há q k undads dsponívs. Para produzr uma undad do produo são rqurdos m pos d ns nas quandads P P 2... P m os quas dvm sr corados a parr das pças m soqu. O objvo é fabrcar o maor númro d undads do produo. 7

29 O modlo mamáco proposo por Kanorovch para o problma d cor d pças dscro acma é: y jk N k y jk j= K N k α k = j= nros j = = q P jk k y jk K N k α k = j= = P 2 jk 2...N y jk k = L k =... K k =... K K N k α k = j= = P mjk m y jk Maxmzar (2..) (2..2) (2..3) m qu N k é o númro d padrõs d cor para o objo do po k α jk é o númro d ns do po no padrão d cor j do objo do po k. As varávs d dcsão do modlo são y jk (númro d objos do po k corados conform o padrão d cor j). Para rscrvr o modlo (2..)-(2..3) m noação aual consdr uma nova varávl d dcsão x qu rprsna a quandad do únco po d produo a sr fabrcada. Além dsso como a rsrção (2..2) xg qu odo o soqu d objos sja corado modfcamos para uma vrsão mas ralsa ou sja nm odos os objos prcsam sr corados. Porano a nova vrsão do modlo d Kanorovch pod sr dada por: Max s. a. x K Nk α k= j= N k y j= y jk jk jk y q k jk = P x x nros j =...N k =... m k =... K k =... K (2..4) (2..5) (2..6) (2..7) A função objvo (2..4) conss m maxmzar a quandad d produos a sr fabrcada. As rsrçõs (2..5) assguram qu a quandad d ns corados plos padrõs é gual a quandad d ns ncssára para a fabrcação dos produos. As rsrçõs (2..6) garanm qu o númro d objos corados não xcda a quandad socada as rsrçõs (2..7) são d não ngavdad ngraldad das varávs. Para x fxo uma dmanda por ns fca drmnada as rsrçõs (2..5)-(2..7) são xaamn as rsrçõs do conhcdo modlo d Glmor Gomory (963). Nauralmn um ouro objvo dv sr dfndo por xmplo mnmzar a prda. Esa possbldad é dscuda no rabalho d Kanorovch ulzando um xmplo. S o modlo mamáco (2..4)-(2..7) consdrass a varação da dmanda do produo ao longo do mpo sra possívl obr um planjamno programação da produção mas prcso ralsa. 8

30 2.2 Problma acoplado na ndúsra d procssamno d madra Rndrs (992) rabalhou com o problma d cor d soqu acoplado ao problma d planjamno programação da produção d uma ndúsra almã d procssamno d madra. Os nívs opraconal áco d planjamno são consdrados. No nívl opraconal o procsso produvo rsum-s bascamn m dos passos: corar roncos d árvor m oras srrar as oras m placas. No prmro passo o problma é modlado como um problma da mochla undmnsonal (Fgura 2.) conss m drmnar a mlhor manra d corar um ronco d árvor m oras d modo a maxmzar o valor oal do ronco (soma dos valors das pars). No sgundo passo o problma é modlado como um problma da mochla bdmnsonal (Fgura 2.2) conss m drmnar a mlhor forma d srrar uma ora m placas (qu podm sr d dfrns amanhos) o objvo é maxmzar o valor oal da ora (soma dos valors das placas). Prda TORA TORA TORA 2 TORA 2 Fgura 2.: Solução para o problma da mochla undmnsonal. Prda Placa do po 2 Fgura 2.2: Solução para o problma da mochla bdmnsonal. A ndúsra d procssamno d madra m uma vardad d pos d ronco d árvor para procssar qu é dvdda m classs. As oras são produzdas /ou compradas organzadas m plhas. O horzon d planjamno fno é dvddo m príodos (smanas) horas xras podm sr consdradas. Assm no nívl áco o problma conss m drmnar d quas pos quanos roncos d árvor as oras dvm sr fas d quas pos quanas oras as placas dvm sr fas m qual smana duran quas das d modo a andr à dmanda ancpá-la s sso for vanajoso maxmzar o valor rornado a axa d srvço mnmzar os cusos d produção soqu mão d obra oras compradas. Ns momno os padrõs d cor undmnsonal bdmnsonal (drmnados anrormn) são parâmros do modlo a solução obda é um planjamno da produção mulpríodo. 9

31 Para a modlagm mamáca do problma no nívl áco são consdrados: horzon d planjamno fno classs d roncos d árvors (class: conjuno d roncos d árvors com varaçõs lmadas m suas proprdads) spaço sufcn dsponívl para armaznar as oras organzadas nas dfrns classs somn placas anguladas-xaamn (placas com cor nadquado são prdas) oras produzdas compradas. A solução ncal do modlo fo nrprada por mo do problma dual ouros padrõs d cor foram grados ajusando os cusos basados na análs das varávs duas. A modlagm mamáca proposa fo ncorporada a um DSS (Dcson Suppor Sysm) rsulou m uma frramna para a omzação ngrada da companha. A noação ulzada no modlo mamáco do nívl áco é a sgun: Parâmros N acn : númro d oras do po a quando procssado um ronco da class n usando o padrão d cor undmnsonal c no príodo. NI sa : númro d produos fnas (placas) do po quando procssada uma ora do po a usando o padrão d cor bdmnsonal s no príodo. Nn: númro d pos d classs. Np: númro d pos d plhas. Na: númro d oras do po a. N: númro d produos fnas po. Ns: númro d padrõs d cor bdmnsonal s. N: númro d príodos. Nc: númro d padrõs d cor undmnsonal c. W: númro d horas d rabalho rgular m uma smana. B : orçamno para compra d oras no príodo. CPM cn : cuso d produção por usar o padrão d cor undmnsonal c na maéra-prma da class n no príodo. CPS sa : cuso d produção por usar o padrão d cor bdmnsonal s na ora po a no príodo. CEM: cuso da hora xra no comérco. CES: cuso da hora xra na srrara. V sa : valor d uma ora po a no príodo corada no padrão d cor bdmnsonal s. VR cn : valor unáro do ronco d árvor da class n no príodo corado no padrão d cor undmnsonal c. CI a : cuso d soqu para a ora po a no príodo. CO a : cuso d fala d soqu para a ora po a no príodo. CIF : cuso d soqu para o produo fnal po no príodo. COF : cuso d fala d soqu para o produo fnal no príodo. CIR p : cuso d soqu para a maéra-prma da plha p no príodo.

32 R cn : T sa : mpo (m horas) ncssáro para procssar um ronco d árvor da class n conform o padrão d cor undmnsonal c no príodo. mpo (m horas) ncssáro para procssar uma ora po a com o padrão d cor bdmnsonal s no príodo. DA a : dmanda da ora po a no príodo. DF : dmanda do produo fnal po no príodo. HR : maéra-prma colhda no príodo. BR : maéra-prma comprada no príodo. β n : razão da porcnagm da class n m rlação à nrada oal d maéra-prma. v(a): valor da ora po a. a p : prmra class da plha p. z p : úlma class da plha p. Varávs Y cn : frqüênca do padrão d cor undmnsonal c na ronco da class n no príodo. X sa : frqüênca do padrão d cor bdmnsonal s na ora po a no príodo. Z a : númro d oras po a compradas no príodo. IR p : soqu d ronco d árvor da plha p no príodo. I a : soqu da ora po a no príodo. IF : soqu do produo fnal po no príodo. O a : nívl d fala d soqu da ora po a no príodo. OF : nívl d fala d soqu do produo fnal no príodo. EM : horas xras rabalhadas no comérco na smana. UM : horas não ulzadas na smana. ES : horas xras rabalhadas na srrara na smana. US : horas não ulzadas na srrara na smana. Φ a : varávl bnára qu m valor s a ora po a é procssada m placas ou valor s é vndda.

33 Modlo mamáco Max s. a. N N c N N s N N N n a a VR Y V X CI I CO O CIF IF COF cn cn + sa sa a a + a a + OF = c= n= s= a= a= = N a N p ( CEM EM + CES ES ) v( a) Z CIR IR a + p p a= p= (2.2.) Nc zp Y IR ( HR BR ) IR + = β + + c= n= a p cn p z p n= a p n p N; p N p (2.2.2) N c β Y n c= Nc Nn N Y I O Z ( ) X D I = Φ + Φ + + O R Y EM + UM = W c= n= N s N a T X ES + US = W s= a= N a v( a) Z a= cn n+ B Y = c= n= acn cn a a a a s= Nc Nn sa s= a= N s N a NI X + IF + OF = DF + IF + OF Y X Z I EM ES O cn sa a a a IF OF IR UM US cn sa a β cn sa sa p cn Ns sa a a a a p n z a p u = N; N; N N N; N c s a n u = p p N p a Na N u Nu u Nu (2.2.3) (2.2.4) (2.2.5) (2.2.6) (2.2.7) (2.2.8) (2.2.9) (2.2.) A função objvo (2.2.) conss m maxmzar as rcas das placas oras produzdas mnmzar os cusos d soqu fala d soqu hora xra ora compradas. O conjuno d rsrçõs (2.2.2) é d balanço d soqu da maéra-prma. O soqu ncal d roncos d árvor m uma plha quando comçar o planjamno é IR. S o númro d plhas é mnor qu o númro d classs o conjuno d rsrçõs (2.2.3) ocorr. A dcsão d slconar um ronco d árvor spcífca fora da class n é lmada porqu xs uma probabldad d um ronco d árvor da class n 2 sr scolhdo uma vz qu ambas as classs são na plha d nrss. As rsrçõs (2.2.4) são d balanço d soqu d oras. O mpo dsponívl para o cor d roncos d árvors m oras é lmado. O conjuno d rsrçõs (2.2.5) é d capacdad para o cor d roncos m oras. As rsrçõs (2.2.6) são d capacdad da srra para o cor das oras m placas. As rsrçõs (2.2.7) são d balanço d soqu dos produos fnas (placas). O conjuno d rsrçõs (2.2.8) são d lms orçamnáros. As rsrçõs (2.2.9) (2.2.) são d não ngavdad das varávs. p 2

34 2.3 Problma acoplado na ndúsra d componns d cobr Hndry al. (996) sudaram o problma d planjamno da produção da fundção d uma ndúsra d componns d cobr com o objvo d mnmzar os cusos o mpo d nrga dos pddos. Smplfcadamn o procsso produvo da fundção pod sr dscro m rês passos: drrr o cobr moldar o mal drrdo m barras corar as barras m ns mnors. No prmro passo o problma d planjamno da produção conss m drmnar quando a fornalha dv sr prparada para drrr o cobr quano d cobr va sr drrdo. Hora xra no fnal d smana pod sr consdrada. No sgundo passo o mal drrdo dv sr moldado m barras d dfrns dâmros uma drmnada quana d cobr pod sr armaznada d um da para ouro. O problma d planjamno da produção conss m drmnar quano d cada dâmro d barra produzr por da lvando m cona o mpo d prparação para roca d dâmro quano d cobr drrr para sr armaznado. No úlmo passo xsm dvrsos comprmnos d ns para cada dâmro da barra a dmanda d cada m é muo varada. O problma d planjamno da produção conss m dcdr quas padrõs d cor dvm sr ulzados para andr à dmanda smanal d forma a mnmzar a prda consqunmn o númro d barras rqurdo. A produção das barras lva mas mpo qu o procsso d cor por sso a capacdad no procsso d cor não é consdrada. O problma d planjamno da produção da fundção é rprsnado por dos modlos mamácos (um para o problma d cor d soqu undmnsonal ouro para o problma d dmnsonamno d los) qu são rsolvdos conscuvamn por um procdmno m 2-ságos. No prmro ságo é drmnada uma solução agrgada ndcando o númro oal d barras a sr produzda para andr à dmanda sobr um dado príodo d mpo com o objvo d mnmzar as prdas. A saída ds ságo dz quas os padrõs d cor qu dvm sr usados. No sgundo ságo um planjamno da produção dáro é obdo. A solução do prmro ságo é dsagrgada para vrfcar a facbldad das rsrçõs d capacdad no ságo d produção das barras. O horzon d planjamno consdrado é d duas smanas a sraéga d horzon rolan é ulzada. Assm a solução obda é somn para a prmra smana. Um planjamno novo dv sr drmnado no níco d cada smana. A noação ulzada no modlo mamáco (problma d cor d soqu) é: Parâmros A dj : númro d ns d comprmno dâmro d no padrão d cor j. CB d : pso do cobr rqurdo para produzr uma barra d dâmro d m onladas. DR d : númro d barras produzdas por lo d dâmro d. N d : númro d ns rqurdos d comprmno dâmro d na smana. CC: capacdad máxma d cobr para produção das barras nas 2 smanas. CC : capacdad máxma d cobr para produção das barras na smana. 3

35 Varávs x dj : númro d barras d dâmro d coradas no padrão j na smana. FD d : númro d los d barras d dâmro d fo na smana. s : capacdad da fornalha não ulzada na smana. R d : produção xcdn do m d comprmno dâmro d na smana. R d : produção xcdn do m d comprmno dâmro d nas 2 smanas. Modlo mamáco Mn s. a. x d j CB x s d dj + = CC d j CB x s CC d dj + = d j A x R = N j dj dj dj d d d (2.3.) (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4) A x FDd = DR xdj FDd R s R d d x j RD = N j dj dj d dj d nros d d j d (2.3.5) (2.3.6) (2.3.7) (2.3.8) O objvo (2.3.) é mnmzar o númro d barras usadas. Assm auomacamn mnmzará a prda porano maxmzará a produção d qualqur dmanda. A rsrção (2.3.2) assgura qu a quandad d cobr drrdo usado é mnor do qu sá dsponívl para as duas smanas. A quana dsponívl nclu o qu fo socado na smana anror. A rsrção (2.3.3) é smlar mas somn consdra a prmra smana. As rsrçõs (2.3.4) garanm o andmno à dmanda na prmra smana. Smlarmn as rsrçõs (2.3.5) consdram as duas smanas do horzon d planjamno. As rsrçõs (2.3.6) garanm qu um númro nro d los d barras sja produzdo. As rsrçõs (2.3.7) são d não ngavdad ngraldad das varávs. As rsrçõs (2.3.8) são d não ngavdad das varávs d capacdad. No modlo mamáco 2 (programação da produção) é ulzada a sgun noação: 4

36 Parâmros W m : pso dsgnado para a produção d barras no da m. MD d : númro máxmo d los d dâmro d por da. ND d : númro rqurdo d los d dâmro d na smana. DW d : pso d cobr ncssáro para produzr um lo d dâmro d. IC : soqu d cobr drrdo armaznado no comço do da. T d : CO : mpo ncssáro para produzr um lo d dâmro d por da. mpo ncssáro para rocar a produção d um dâmro d barra para ouro. CAP: capacdad d produção d barras dára. Yld : MS: porcnagm d cobr drrdo qu pod sr usado. máxmo d onladas d cobr drrdo qu pod sr armaznado. MAX: quandad máxma dára d cobr qu pod sr drrdo. MIN: quandad mínma dára d cobr qu pod sr drrdo. Varávs MC m : pso d cobr drrdo no da m. Y md : númro d los d dâmro d produzdo no da m. IC m : soqu d cobr drrdo armaznado no comço do da m (m ). S m : mpo ocoso na produção da barra no da m. C m : númro d dfrns dâmros d barras produzdo no da m. ' MC m : varávl bnára para as rsrçõs (2.3.2) (2.3.3). ID md : varávl bnára ( s barras d dâmro d foram produzdas no da m c.c.). 5

37 Modlo mamáco 2 Mn s. a. W m Y = ND m ICm MS MIN MC ( ' m MAX MCm ) MC MC ' m mmax ( Y T ) + C CO + S = CAP C ( YmdTd ) CmCO + d = ID Ymd MDd IDmd Ymd IDmd MCm ICm S m Ymd Cm nros MC ' ID {} Y DW + IC = MC Yld + IC d d m md md md m m d d d md d md m m+ m m m d m m m m m m m d m d m d m d m d (2.3.9) (2.3.) (2.3.) (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4) (2.3.5) (2.3.6) (2.3.7) (2.3.8) (2.3.9) (2.3.2) (2.3.2) O objvo (2.3.9) é mnmzar o mpo oal ncssáro para produzr as barras nclundo mpo d prparação quando é fa a roca d dâmro da barra. O pso dsgnado para cada da é ncssáro para garanr qu o mnor númro possívl d das sja ulzado. Assm o mnor pso é dado para o prmro da dpos os valors aumnam com o mpo. As rsrçõs (2.3.) garanm qu o númro oal d los produzdos nas duas smanas sja gual ao númro ndcado pla saída do prmro ságo do procdmno d solução. As rsrçõs (2.3.) assguram qu o pso oal d cobr usado armaznado para o próxmo da é mnor qu o cobr drrdo no da m qusão mas qualqur sobra do da anror. As rsrçõs (2.3.2) assguram qu a quana socada d um da para o ouro sja lmada pla capacdad máxma d soqu. As rsrçõs (2.3.3) (2.3.4) assguram qu o pso d cobr drrdo por da é ou algum valor nr as quandads mínma máxma. As rsrçõs (2.3.5) garanm qu o mpo oal rqurdo para produzr as barras é mnor ou gual a capacdad dára. As rsrçõs (2.3.6) assguram qu o númro oal d prparaçõs ncssáras por da sja gual ao númro d dâmros usados por da. As rsrçõs (2.3.7) (2.3.8) assguram qu as varávs ID md quando usada m (2.3.5) sjam ou. As rsrçõs (2.3.9) (2.3.2) são d não ngavdad ngraldad das varávs. As rsrçõs (2.3.2) dfnm as varávs como bnáras. Para rsolvr o problma do ságo são ulzadas rês huríscas d solução: uma basada m programação nra (PI) m qu os padrõs d cor são slconados prvamn uma hurísca FFD (Frs F Dcrasng) m qu cada dâmro d barra é consdrado ndvdualmn uma hurísca híbrda qu usa a FFD para grar uma solução ncal dpos na mlhorá-la. O méodo basado na PI aprsnou soluçõs mlhors. Para o ságo 2 uma solução óma do problma é obda usando programação nra. Os rsulados dos ss compuaconas foram comparados com a solução da ndúsra d acordo com os créros analsados (prda d maral númro d vzs qu a fornalha é prparada) foram mlhors. 6

38 2.4 Problma acoplado na ndúsra d camnhão Nonas Thorsnson (2 28) raam do problma acoplado d dmnsonamno d los cor d soqu d uma companha norugusa qu produz um po spcal d camnhão basculan. A maora das pars d aço qu compõm os camnhõs é fabrcada na própra mprsa. O procsso produvo comça no dparamno d aço m qu grands placas d aço são coradas m pars mnors d dfrns formas amanhos ulzando dvrsos padrõs d cor. Algumas pars coradas são furadas /ou dobradas odas são socadas. Dvdo ao mpo d prparação da máquna d cor placas d msmo amanho dvm sr coradas conscuvamn é dsjávl ulzar a capacdad oal da máquna. O objvo é mnmzar o cuso oal do procsso d cor composo plos cusos d prda d maral soqu das pars d aço prparação d máquna para os padrõs d cor para roca d dmnsão da placa. Um modlo mamáco com função objvo não lnar (côncava) rsrçõs lnars é proposo para nconrar um planjamno da produção ómo. Tal acopla os problmas d dmnsonamno d lo cor d soqu bdmnsonal com dmanda socásca Para a modlagm mamáca do problma acoplado são consdradas placas d aço d uma únca dmnsão a rsrção d capacdad não é consdrada xplcamn os padrõs d cor são grados ancpadamn. A noação ulzada no modlo é a sgun: Parâmros M: númro oal d pos d produos. N: númro oal d pos d padrõs d cor. a j : mulplcdad da par po j no padrão d cor. h j : cuso d soqu por undad d mpo para a par d aço po j. K : cuso d prparação para ulzar o padrão d cor. c: cuso d uma undad da placa. d j : dmanda da par po j. T : mpo d cclo do padrão d cor. B : númro sufcnmn grand. Varávs x : quandad rqurda d produção do padrão d cor. δ : n : varávl bnára ( s x > caso conráro). frqüênca com qu o padrão d cor é produzdo. 7

39 Modlo mamáco Mn s. a. = N a = x d N 2 K + = x Bδ x n nros δ N c x + j j N ( K δ / n ). ( H x n ) = (2.4.) j =... M (2.4.2) =... N =... N =... N (2.4.3) (2.4.4) (2.4.5) { } =... N (2.4.6) O prmro rmo da função objvo (2.4.) rfr-s ao problma d cor d soqu é o cuso da maéra-prma ulzada no cor o sgundo rmo rfr-s ao problma d dmnsonamno d los. O objvo é mnmzar os cusos oas so é o cuso com a prda d maral o cuso d prparação para cada opração ncada cada novo padrão d cor ulzado o cuso d soqu. H = M O cuso d soqu das pars coradas no padrão m uma undad d mpo é j= a j h j m qu T 2K / ( H x ). Consdrando produção nsanâna o cuso oal d soqu prparação é N ( K δ / T + H xt / 2) = = para x >. Exs um cuso d prparação K oda vz qu uma produção é ncada. Sja T um príodo d mpo comum nr cada produção conscuva. Enão T = n T porano o cuso oal d soqu prparação é N ( K / n T H x n T / 2) K / T + δ +. = 2 + δ na = = N N Subsundo T pla condção d omaldad K ( K / n ) ( H x n ) xprssão acma obém-s: K N / T + ( K δ / n T + H x n T / 2) = K + ( K / n ). ( H x n ) = N N 2 δ. = = O conjuno d rsrçõs (2.4.2) garan qu as dmandas das pars d aço são sasfas. As rsrçõs (2.4.3) (2.4.6) assguram qu xs um cuso d prparação para cada po d padrão d cor ulzado. Os conjunos d rsrçõs (2.4.4) (2.4.5) assguram qu a dmanda para cada padrão d cor é não ngava qu cada padrão é produzdo um númro nro d vzs. 8

40 Em Nonas Thorsnson (2) para rsolvr uma smplfcação do modlo (2.4.)- (2.4.6) qu não consdra cuso d prparação por opração m cada príodo do horzon d planjamno foram ulzados: dos méodos d solução global (méodo d classfcação d pono xrmo d Mury (968) uma vrsão adapada ds méodo) rês algormos d busca local (o prmro busca odos os ponos xrmos m uma vznhança da solução óma do problma d cor d soqu o sgundo o rcro buscam somn uma pquna par dss ponos ulzando créros dfrns). Os padrõs d cor são grados ancpadamn ulzando um algormo basado m busca smpls m árvor. A hurísca sqüncal proposa por Hasslr (97) m qu o problma d cor d soqu é rsolvdo no prmro passo o problma d dmnsonamno d los é rsolvdo no sgundo passo ambém fo consdrada. D acordo com os ss compuaconas o méodo d Mury obv bons rsulados mlhors qu a vrsão adapada. Somn problmas com aé 5 padrõs d cor dfrns foram rsolvdos na omaldad. Os rês algormos d busca local aprsnaram bons rsulados sndo qu os dos úlmos vram mpo d solução próxmos muo mnor. O mpo médo do algormo chgou a sr aproxmadamn 37 vzs maor qu o algormo 3 m um conjuno d problmas. O algormo busca smpls m árvor aprsnou soluçõs mlhors qu a hurísca sqüncal mas quando o númro d padrõs d cor grado ornas muo grand ocorrm problmas d alocação d mmóra. Nonas Thorsnson (28) ouros méodos d solução foram proposos para nar rsolvr mas rapdamn o msmo modlo mamáco smplfcado com dmnsõs maors ambém rsolvr o problma d cor d soqu gnralzado rprsnado plo sgun modlo mamáco (2.4.7)-(2.4.): Mn s. a. N c x cons = N a = M a j= x sz d x aj δ {} j j j j rm sz + Kδ rm N = nros =... N =... N =... N j =... M j =... M (2.4.7) (2.4.8) (2.4.9) (2.4.) (2.4.) m qu sz j : amanho da par po j. sz rm : amanho da maéra-prma. cons rm : cuso consan das pars dmandadas dado por: c d M j= j sz sz j rm. Um novo procdmno d gração d colunas dnomnado CGSP qu nclu caracríscas das huríscas d busca smpls m árvor sqüncal uma xnsão ds procdmno o CGSP+ qu prm corar pças m xcsso foram proposos. 9

41 Os novos procdmnos gram soluçõs qu são m méda mlhors qu as soluçõs obdas pla hurísca d busca smpls m árvor m rmos d função objvo mpo d rsolução. Por causa d uma classfcação mlhor dos padrõs d cor nívs d slção mas aprados para prda uldad o CGSP m um mpo d rsolução muo mnor prmndo a rsolução d problmas com dmnsõs maors. O dsmpnho dos procdmnos CGSP CGSP+ foram comparados com o procdmno d Hasslr (97) sus rsulados foram mlhors m méda para odos os xmplars sados. Os xprmnos mosraram qu os rsulados obdos com os méodos proposos ao rsolvr o problma d cor d soqu gnralzado são sasfaóros quando comparados com ouros procdmnos proposos na lraura. 2.5 Problma acoplado na ndúsra d papl I Rspíco Capvo (22) consdram o ssma d produção da ndúsra d papl propõm um modlo d omzação lnar nro qu acopla os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu o qual é rsolvdo ulzando um algormo branch-and-prc. O procsso produvo da ndúsra d papl comça com fabrcação d bobnas grands d papl dnomnadas d bobnas msrs d dfrns famílas as quas srão posrormn coradas m bobnas mnors para obr os ns dmandados. A capacdad d produção é lmada não é sufcn para andr à dmanda lvando a prazos d nrga grands. Esoqus ncas são consdrados para conornar a fala d capacdad o planjamno da produção dv ncorporar as dcsõs do procsso d cor. O objvo é obr um planjamno da produção qu prm sablcr mpos d nrga prcsos drmna as quandads d bobnas grands a srm produzdas m cada príodo do horzon d planjamno. Ns rabalho a formulação clássca do problma d cor d soqu d Glmor Gomory (96) é sndda consdrando dmanda acumulada as rspcvas rsrçõs d andmno à dmanda. Rsrçõs d capacdad lmando o mpo d procssamno oal d bobnas msrs produzdas coradas m cada príodo do horzon d planjamno são nroduzdas. Tmpos no procsso d cor não são rlvans por sso não são consdrados. Varávs d soqu ncal (varávs arfcas) com cusos alos são ulzadas para garanr a facbldad do modlo drmnar a fala d capacdad. Um modlo d omzação lnar nro é proposo rsolvdo usando um algormo branch-and-prc. Lms nfrors para o ómo do problma lnar (PL) são obdos ulzando procdmnos aproprados. Quando a solução do PL msr não é nra a ramfcação é fa adconando xplcamn uma rsrção no PL rsro aual. São ulzadas duas rgras d ramfcação. A sruura do problma msr muda os valors ómos para as varávs duas assocados às rsrçõs adconadas são consdrados na função objvo do subproblma d gração d coluna. Os padrõs d cor ncas são obdos usando a hurísca Bs F Dcrasng. O algormo fo sado com pqunos poucos xmplos obdos a parr d dados ras o númro máxmo d nós da árvor branch&bound fxado m 2. A noação ulzada no modlo é a sgun: 2

42 Parâmros m: númro d pos d ns. c : capacdad d produção dsponívl no príodo. h : cuso d soqu ncal unáro do m po. F: quandad d famílas. F(): famíla do m po. b f : mpo (m horas) d procssar uma bobna msr da famíla f. q j : númro d vzs qu o m po é corado no padrão d cor j no príodo. d : dmanda acumulada do m no príodo. Varávs I : soqu ncal do m po. x jf : númro d bobnas msr da famíla f corado no padrão d cor j no príodo. Modlo mamáco Mn s. a. ( h I ) q k= j T k= j jk + x x jf ( ) k q x + I = d jk f j jf ( ) k + I jf d T T (2.5.) (2.5.2) (2.5.3) b f x I jf j f x jf c nros nros j f (2.5.4) (2.5.5) (2.5.6) A função objvo (2.5.) conss m mnmzar os cusos d soqus ncas o númro oal d bobnas msrs coradas no horzon d planjamno. As rsrçõs d andmno à dmanda (2.5.2) garanm qu a dmanda acumulada sja sasfa pla produção acumulada ou plos nívs d soqu ncal. Não havrá soqu no fnal do horzon dvdo às rsrçõs (2.5.3) as quas assguram qu a dmanda acumulada no úlmo príodo sja andda xaamn. O modlo (2.5.)-(2.5.6) xprssa a ngração d um conjuno d problmas d cor d soqu mnors um para cada famíla cada príodo. As rsrçõs (2.5.4) acoplam os problmas d cor d soqu mnors do msmo príodo. As rsrçõs d andmno à dmanda (2.5.2) (2.5.3) sablcm as conxõs sobr o mpo dvdo ao manuso da produção acumulada dos soqus ncas. A solução do modlo (2.5.)-(2.5.6) ( x * * jf I ) prm calcular o númro d bobnas msr da famíla f a srm coradas no príodo qu é dado por: x * jf xprssando as j quandads a srm produzdas d cada famíla m cada príodo. 2

43 2.6 Problma acoplado na ndúsra d papl II Mnon Schrag (22) abordam a programação da produção d uma ndúsra d papl propõ um modlo d omzação nro qu acopla o problma d cor d soqu o problma d dsgnação com máqunas dêncas o qual é rsolvdo por um méodo hurísco basado m branch-and-prc. O papl gralmn é fabrcado m bobnas grands qu posrormn são coradas m bobnas mnors (ns fnas) d dfrns larguras. Um pddo conss d uma lsa d larguras dos ns fnas dmandas corrspondns. Cada pddo dv sr alocado a uma das máqunas qu possum capacdad lmada problmas d cor d soqu (um para cada máquna) dvm sr rsolvdos para nconrar a forma mas conômca d corar a maéra-prma (bobnas grands) para obr os ns fnas com o objvo d mnmzar cusos d produção. O modlo acoplado proposo para rprsnar o problma da ndúsra d papl não consdra a varação da dmanda ao longo do mpo possu uma sruura dual-angular. Sgundo o auor o problma é muo grand para sr rsolvdo usando méodos convnconas como por xmplo o branch-and-bound. Além dsso máqunas dêncas nduzm a smra o qu nnsfca anda mas a dfculdad d rsolução do modlo. A noação ulzada no modlo acoplado proposo é a sgun: Parâmros c k : cuso d prparação da máquna po k. u k : númro máxmo d vzs qu a máquna po k pod sr usada. a jk : mulplcdad da largura no padrão d cor j na máquna po k. d m : dmanda da largura no pddo m. Varávs x jk : quandad d vzs qu o padrão d cor j é usado na máquna po k. y mk : varávl bnára qu ndca o uso ou não da máquna po k (y mk = s o pddo m é alocado para a máquna po k y mk = caso conráro). Modlo mamáco Mn s. a. c j x u k a j y k y x mk jk k jk jk mk k x x jk jk k = d m m y mk {} nros k k m m k j k (2.6.) (2.6.2) (2.6.3) (2.6.4) (2.6.5) (2.6.6) 22

44 A função objvo (2.6.) conss m mnmzar o cuso d prparação. As rsrçõs (2.6.2) assguram qu a produção não xcdrá as capacdads das máqunas. As rsrçõs (2.6.3) garanm o andmno às dmandas das larguras. As rsrçõs (2.6.4) garanm qu cada pddo é dsgnado a somn uma máquna. As rsrçõs (2.6.5) dfnm as varávs d alocação como bnáras. As rsrçõs (2.6.6) são d não ngavdad ngraldad das varávs do cor. Dados os valors das varávs y o modlo (2.6.)-(2.6.6) dcompõ-s m város subproblmas d cor d soqu sndo um para cada máquna po k. Sndo assm a déa é ramfcar nas varávs y aé angr um nó m qu nham valors bnáros facívs. Ns nó os subproblmas d cor podm sr rsolvdos sparadamn usando branch-and-prc ou os méodos d Dyckhoff (99) ou Vandrbck (994). A dfculdad com sa abordagm é a ncssdad d rsolvr os subproblmas como programas nros. Logo é mporan rduzr ao máxmo o númro d vzs m qu os subproblmas são rsolvdos. A abordagm proposa ulza város lmans nfrors para a rlaxação lnar qu podm sr faclmn calculados usados para formular um problma msr rlaxado. Quando ss lmans são próxmos do valor-objvo dos subproblmas o problma msr rlaxado fornc um lman aprado para o problma orgnal. Sjam: v k = x jk : númro smado d vzs qu a máquna po k pod sr usada. j LB lk : l-ésmo lm nfror para a máquna po k. O modlo mamáco para o problma msr rlaxado é o sgun: Mn s. a. c j vk uk vk LBlk y = k v y k k mk mk k v k {} k l k m k m k (2.6.7) (2.6.8) (2.6.9) (2.6.) (2.6.) (2.6.2) Nos ss compuaconas prmro são calculados alguns lmans para poucos subproblmas d cor d soqu (2 xmplars) uma máquna dmonsrado qu as lmans são aprados. Dpos são aplcadas varans da abordagm d solução ao problma com múlplas máqunas da ndúsra d papl. A abordagm s mosrou fcn m rlação à qualdad das soluçõs o mpo d rsolução. Enquano os lms são razoavlmn bons usar sa abordagm no branch-andbound conomza sforço compuaconal pos uma boa solução nra é obda prmndo fazr podas mas cdo. Além dsso a abordagm fornc cors váldos para o problma orgnal os quas s form ncorporados ao problma quando usar o branch-and-bound mlhors valors para o PL rsolvdo m cada nó podm sr obdos. O auor conclu qu ss cors podm lvar à nfacbldad m alguns nós rduzndo o númro d ramfcaçõs. 23

45 2.7 Problma acoplado na ndúsra d corras Arbb Marnll (25) aprsnam um sudo d caso m uma ndúsra uropéa qu produz corras d ngrnagm. Um modlo d omzação nro mso qu acopla os problmas d dmnsonamno d los cor d soqu fo dsnvolvdo. A produção d uma corra é ralzada prparando um clndro d nylon mborrachado com alura consan crcunfrênca adquada corando-o m um drmnado númro d corras d ngrnagm dêncas. Os clndros são fos d ras coradas d uma bobna d largura w por uma máquna qupada com duas facas parallas qu podm sr posconadas m qualqur pono do nrvalo [ w] para corar aé 3 ras d msmo comprmno larguras dsnas. S a largura é gual à crcunfrênca d um po d corra dmandado os dos lados oposos da ra são cosurados junos ao longo do comprmno para obr a corra clíndrca corrspondn. Caso conráro a ra é dscarada (s a largura é mnor qu um amanho mínmo) ou ulzada por cosurá-la com uma oura ra. A déa d ulzação d sobras conss m adconar à carra d pddos ras auxlars não dmandadas qu undas a ouras ras formam ns dmandados nrqucm os padrõs d cor facívs lvando à rdução na prda d maral. Um modlo d omzação lnar para o problma d cor com opção d combnação é proposo o qual é rvsado para aumnar a habldad m combnação para consdrar ambém o nívl d produção das pars fnas o nívl d soqu d sobras. Uma xnsão do modlo rvsado para planjamno a médo prazo qu consdra cusos d produção dpndns do maral (prda soqu ranspor) é fnalmn aprsnada. Tal xnsão possu varávs d dcsão nras é d dfícl solução. Porém adm uma dcomposção naural m um problma d dmnsonamno d los d únco m não capacado um problma d cor d soqu. Os nívs d dcsão opraconal áco são acoplados no modlo consdrando dos pos d varávs. No nívl opraconal as dcsõs ocorrm no cor ulzação d sobras soqu d ras no nívl áco as dcsõs são na manunção ranspor do soqu. Para a modlagm mamáca do problma sjam: A: lsa d pddos na forma: A = {w xr... w p xr p } m qu w é a largura r é a dmanda da par po. S: conjuno das pars não dmandadas produzdas nos padrõs d cor cujas larguras são maors qu w mn qu podm sr combnadas para formar pars dmandadas. S ambém coném uma par fcíca d largura. B: lsa sndda conndo as ras auxlars com largura maor qu w mn as quas complmnam os lmnos d S para formar os ns dmandados. Cada lmno d B ou é uma par da lsa orgnal ou é uma ra a sr combnada a pars não dmandadas produzdas no cor (B A). Os parâmros varávs usados no modlo mamáco são: 24