Local branching aplicado ao problema de dimensionamento de lotes

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1 SERVIÇO DE PÓS-GRADUAÇÃO DO ICMC-USP Daa de Depóso: Assnaura: Local branchng aplcado ao problema de dmensonameno de loes Renao Andrade de Pava Orenadora: Franklna Mara Bragon de Toledo Dsseração apresenada ao Insuo de Cêncas Maemácas e de Compuação - ICMC-USP, como pare dos requsos para obenção do íulo de Mesre em Cêncas de Compuação e Maemáca Compuaconal. USP São Carlos Feverero/200

2 Local branchng aplcado ao problema de dmensonameno de loes Renao Andrade de Pava

3 Dedco, com prazer e sasfação, aos meus pas, Osvaldo e Suzy.

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5 Agradecmenos Agradeço prmeramene aos meus pas Osvaldo Lee Smões de Pava e Suzy Moura de Andrade pela educação, ncenvo e apoo durane os momenos dfíces. Ao meu o Marnho Gomes de Andrade e a Kaane Slva Conceção por odo o apoo, carnho, cudado e ensnamenos. Agradeço por erem omado cona de mm durane odo ese empo. À mnha orenadora Franklna Mara Bragon de Toledo por oda a pacênca e dedcação que eve comgo durane eses dos anos de mesrado. Aos meus famlares por esarem sempre na orcda pela mnha vóra. Aos amgos Oavo Carnero Leão Neo, Luz Armando e Jenfer Souza pelos momenos de força, nas horas de sufoco, de alegra e de vóras. Aos amgos José Mauríco, Keylha Crsna, Robero Xanre e a odos os ouros, pelos conselhos e pela sncera amzade. A odos os professores que conrbuíram decsvamene para a mnha, e nossa, formação acadêmca e profssonal. Ao Conselho Naconal de Desenvolvmeno Cenífco e Tecnológco (CNPq). E para não correr o rsco de ser njuso, gosara de agradecer a odos que de alguma forma parcparam dese momeno e conrbuíram para a consrução de quem eu sou hoje. v

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7 A mene que se abre a uma nova déa jamas volará ao seu amanho orgnal. Alber Ensen v

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9 Resumo O planejameno da produção é uma avdade que avala decsões para um melhor uso dos recursos dsponíves, vsando sasfazer aos objevos produvos da empresa ao longo de um horzone de planejameno. Ese rabalho enfoca o problema de dmensonameno de loes com resrções de capacdade (PDLC), que é uma das arefas cenras envolvdas no planejameno da produção. O PDLC vsa deermnar o amanho dos loes a serem produzdos em períodos de empo de um horzone de planejameno. Os PDLC esudados nese rabalho conemplam duas caraceríscas mporanes: a presença de múlplos ens e a exsênca de empos de preparação para as máqunas. Além dsso, são consderadas resrções de capacdade e suações onde o araso para aender a demanda é permdo (backloggng). Alguns dos modelos esudados permem que a preparação do ambene de produção para um dado em possa ser manda de um período para o segune, o que propcara a economa de aé uma preparação a cada período. Esa caracerísca é chamada de preservação de preparação (carry-over). Também exsem suações onde a preparação de uma máquna começa em um período e ermna no período segune. Na leraura, esa caracerísca é chamada de se-up crossover. Ese rabalho em rês meas cenras: a) avalar dferenes confgurações do sofware comercal ILOG CPLEX para a solução dos PDLC esudados; b) esudar a nfluênca na solução dos PDLC quando se acrescena a possbldade de araso na demanda, de preservação de preparação e de se-up crossover; c) aplcar local branchng para resolver os problemas esudados. Para resolver as nsâncas proposas, foram ulzados o sofware comercal ILOG CPLEX e um programa em C++ que fo desenvolvdo nese rabalho. Foram ulzados exemplos enconrados na leraura para avalar as proposas, e bons resulados foram obdos. Palavras-chave: dmensonameno de loes; local branchng; crossover; carry-over. v

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11 Absrac The producon plannng s an acvy ha evaluaes he decson for a beer use of he avalable resources, n order o sasfy he producve objecves of he company over a plannng horzon. Ths work focuses on he capacaed lo-szng problem (CLSP), whch s one of he cenral asks nvolved n producon plannng. The CLSP means o deermne he sze of he los o be produced n me perods of a plannng horzon. The CLSP suded n hs work conemplae wo complcang characerscs: he presence of mulple ems and he exsence of se-up mes for he machnes. Besdes ha, capacy consrans and suaons where backlog of he demand s allowed are also consdered (backloggng). Some of he suded models allow he se-up of he producon envronmen for a gven em o be carred over o he nex perod, whch could resul n economy of a se-up n each perod (carry-over). There are suaons where he se-up of a machne sars n one perod and crosses over o he nex perod (se-up crossover). Ths work has hree man goals: a) evaluae dfferen confguraons of he commercal sofware ILOG CPLEX o solve he dfferen knds of CLSP suded; b) sudy he nfluence of he soluon of he CLSP when you consder he possbly of backloggng, se-up carry-over and se-up crossover; c) apply local branchng o solve he suded problems. To solve he proposed nsances, we used he commercal solver ILOG CPLEX and he program n C++ developed n hs work. The examples used o es boh programs are found n he leraure, and good resuls were obaned. Keywords: loszng; local branchng; crossover; carry-over. v

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13 Sumáro. Inrodução 2. Alguns modelos para o PDL PDL sem resrção de capacdade PDL com resrções de capacdade PDL com preservação de preparação PDL com se-up crossover 7 3. Local branchng Local branchng para o PDL Teses Compuaconas Expermenos compuaconas com o CPLEX PDL com lme de capacdade e cuso de preparação PDL com araso na demanda PDL com preservação de preparação PDL com preservação de preparação e se-up crossover Conclusão Expermenos compuaconas para a mplemenação proposa PDL com lme de capacdade e cuso de preparação PDL com araso na demanda PDL com preservação de preparação PDL com preservação de preparação e se-up crossover Conclusão Efeo da solução ncal Caraceríscas do PDL Conclusões e Pesqusas Fuuras 63 Referêncas Bblográfcas 67 Apêndce A Resulados Dealhados 7 x

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15 Lsa de Fguras Fgura 2. - Esquema de produção consderando empo de preparação (Adapada da fone: Sung e Maravelas, 2008). Fgura 2.2 Fgura lusrando produção excedendo o período de empo (Adapada da fone: Sung e Maravelas, 2008). Fgura Esquema de produção de um em consderando empo de preparação e carryover (Adapada da fone: Sung e Maravelas, 2008). Fgura Casos que são abordados pelo modelo proposo em Sung e Maravelas, (Adapado da fone: Sung e Maravelas, 2008) Fgura Exemplo de condção em que o modo RP é avado. (Adapado da fone: Sung e Maravelas, 2008). Fgura Exemplo de ocorrênca do se-up carry-over. (Adapado da fone: Sung e Maravelas, 2008). Fgura Exemplo de ocorrênca do se-up crossover. (Adapado da fone: Sung e Maravelas, 2008). Fgura 3. - Exemplo do funconameno do local branchng. (Adapado da fone: Fsche e Lod, 2003) Fgura Lme de empo nos nós: caso. (Adapado da fone: Fsche e Lod, 2003). 26 Fgura Lme de empo nos nós: caso 2. (Adapado da fone: Fsche e Lod, 2003). 27 Fgura 4. Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos E. 37 Fgura 4.2 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos W. 37 Fgura 4.3 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos E, consderando araso na demanda. Fgura 4.4 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos W, consderando araso na demanda. Fgura 4.5 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos E, consderando preservação de preparação Fgura 4.6 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos W, consderando 44 x

16 preservação de preparação. Fgura 4.7 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos E, consderando preservação de preparação e se-up crossover. Fgura 4.8 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos W, consderando preservação de preparação e se-up crossover Fgura 4.9 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos E. 50 Fgura 4.0 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos W. 5 Fgura 4. Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos E, consderando preservação de preparação. Fgura 4.2 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos W, consderando preservação de preparação. Fgura 4.3 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos E, consderando preservação de preparação e se-up crossover. Fgura 4.4 Gráfco de Dolan e Moré para o grupo de exemplos W, consderando preservação de preparação e se-up crossover. Fgura 4.5 Comparação de empo compuaconal da C++_PLB com e sem solução ncal para os exemplos dos grupos E e W. Fgura 4.6 Comparação de empo compuaconal nos exemplos do grupo E, consderando araso na demanda. Fgura 4.7 Comparação de empo compuaconal nos exemplos do grupo W, consderando araso na demanda Fgura 4.8 Comparação do valor da melhor solução obda: Grupos E e W. 59 Fgura 4.9 Comparação do valor da melhor solução obda: Grupo F. 60 Fgura 4.20 Comparação do valor da melhor solução obda: Grupo G. 60 Fgura 4.2 Comparação do valor da melhor solução obda: Grupo X. 6 Fgura 5. - Comparação enre dferenes confgurações do CPLEX. 6 Fgura Comparação enre dferenes confgurações da mplemenação em C Fgura Comparação enre desempenho do CPLEX e mplemenação em C x

17 Fgura Comparação de ganho resulane das caraceríscas proposas no PDLC. 63 Fgura 5.5 Grau de melhora das soluções obdas em cada um dos grupos de exemplos ulzando a mplemenação em C++. Fgura A. Valores da função objevo dos exemplos dos grupos E e W, consderando araso, preservação de preparação e se-up crossover. Fgura A.2 Valores da função objevo dos exemplos do grupo F, consderando araso, preservação de preparação e se-up crossover. Fgura A.3 Valores da função objevo dos exemplos do grupo G, consderando araso, preservação de preparação e se-up crossover. Fgura A.4 Valores da função objevo dos exemplos do grupo X, consderando araso, preservação de preparação e se-up crossover x

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19 Lsa de Tabelas Tabela 4. Dados dos grupos de nsâncas proposas em Trgero e al Tabela 4.2 Tabela de resulados dos exemplos do grupo E. 35 Tabela 4.3 Tabela de resulados dos exemplos do grupo W. 36 Tabela 4.4 Tabela de resulados dos exemplos do grupo E, consderando araso na demanda. Tabela 4.5 Tabela de resulados dos exemplos do grupo W, consderando araso na demanda. Tabela 4.6 Tabela de resulados dos exemplos do grupo E, consderando preservação de preparação. Tabela 4.7 Tabela de resulados dos exemplos do grupo W, consderando preservação de preparação. Tabela 4.8 Tabela de resulados dos exemplos do grupo E, consderando preservação de preparação e se-up crossover. Tabela 4.9 Tabela de resulados dos exemplos do grupo W, consderando preservação de preparação e se-up crossover Tabela Comparação enre dferenes confgurações do CPLEX. 49 Tabela 4. - Comparação enre dferenes confgurações da mplemenação em C Tabela Comparação enre desempenho do CPLEX e mplemenação em C++ 56 Tabela Comparação de ganho resulane das caraceríscas proposas no PDLC. 6 Tabela 4.4 Grau de melhora das soluções obdas em cada um dos grupos de exemplos ulzando a mplemenação em C Tabela A. Tabela de resulados do programa em C++ nos exemplos do grupo E. 7 Tabela A.2 Tabela de resulados do programa em C++ nos exemplos do grupo W. 72 Tabela A.3 Tabela de resulados dos exemplos do grupo E, consderando preservação de preparação. 73 xv

20 Tabela A.4 Tabela de resulados dos exemplos do grupo W, consderando preservação de preparação. Tabela A.5 Tabela de resulados dos exemplos do grupo E, consderando preservação de preparação e se-up crossover. Tabela A.6 Tabela de resulados dos exemplos do grupo W, consderando preservação de preparação e se-up crossover xv

21 Capíulo Inrodução O planejameno da produção é uma avdade que avala decsões para um melhor uso dos recursos dsponíves, vsando sasfazer aos objevos produvos da empresa ao longo de um horzone de planejameno. Ese rabalho enfoca o problema de dmensonameno de loes (PDL), que é uma das arefas cenras envolvdas no planejameno da produção. O PDL clássco vsa deermnar o amanho dos loes a serem produzdos em um horzone de planejameno fno. A leraura desnada ao PDL é basane rca, conendo boas revsões enfocando dversos aspecos do problema. Em Bahl e al. (987) os auores fazem uma revsão do problema de dmensonameno de loes, focando em deermnar os requsos de cada aplcação. Em Kuk e al. (994) são apresenadas a defnção de bachng e sua aplcação no problema de dmensonameno de loes. Em seguda, são defndos e explcados os parâmeros ulzados na cração do modelo apresenado pelos auores. Wolsey (995) ambém aborda o problema de dmensonameno de loes envolvendo um únco em apenas. Em Drexl e Kmms (997) os auores focam o problema de dmensonameno de loes, fazendo uma revsão e apresenando novas exensões e possbldades de negração com o problema de sequencameno (schedulng). Em Karm e al. (2003) são desacadas caraceríscas que nfluencam a classfcação, a modelagem e a complexdade das decsões do PDL. As caraceríscas desacadas pelo auor, as como, horzone de planejameno, número de eságos, número de ens, resrções de capacdade, ens perecíves, po de demanda, esoque e preparação para produção (seup), deermnam o grau de dfculdade para a solução dos problemas. Em Brahm e al. (2006), os auores abordam dealhadamene o problema de dmensonameno de loes com um únco em, apresenando uma defnção e mosrando dferenes enfoques e modelagens. Jans e Degraeve (2008) apresenam uma descrção do problema de dmensonameno de loes volado às ndúsras, propõem um modelo e ndcam em que ponos o modelo pode ser esenddo para aender dferenes aplcações. De fao, no ocane à dfculdade de resolução, consaa-se que váras versões do PDL com resrção de capacdade apresenam uma elevada complexdade eórca. Mesmo problemas com um únco em podem ser de dfícl resolução, como mosrado por Floran e al. (980), que provaram que város problemas com um únco em com resrções de

22 capacdade e cusos de preparação são NP-Dífcl. Nauralmene, consderar a produção de mas de um em orna o problema mas complcado. Bran e Yanasse (992) provaram que város casos de um únco em que podem ser resolvdos em empo polnomal ornam-se NP- Dífcl quando um segundo em é nroduzdo. Ouro faor que dfcula o raameno do PDLC é a consderação de empos de preparação para as máqunas. O problema de enconrar uma solução facível quando se consderam os empos de preparação das máqunas é NP-Compleo (Maes e al., 99). Eses mesmos auores mosram que se os empos de preparação são nulos, enconrar uma solução facível é um problema que perence à Classe P. Devdo à dfculdade em raar problemas com resrções de capacdade, com cuso e empo de preparação, poucos méodos exaos foram proposos para sua solução (Armenano e al., 999; Daby e al., 992a; Souza e Armenano, 994). No enano, váras heuríscas foram proposas, das quas podemos desacar as apresenadas por Toledo e Armenano (2006), Daby e al. (992b), Trgero e al. (989), Lozano e al. (99) e Jans e Degreave (2007). O PDLC esudado nese rabalho conempla duas caraceríscas que ornam sua solução mas dfícl: a presença de múlplos ens e a exsênca de empos de preparação para as máqunas. Alguns dos modelos apresenados permem: que a demanda possa ser aendda com araso (backloggng); que a preparação do ambene de produção para um dado em possa ser manda de um período para o ouro, o que propca a economa de aé uma preparação a cada período (carry-over); e que a preparação de uma máquna possa começar em um período e ermnar apenas no período segune (se-up crossover). Independene das caraceríscas, o objevo é enconrar um plano de produção que mnmze os cusos de produção, de preparação, de esoque e de araso (caso seja permdo), respeando os recursos dsponíves. O problema esudado se nsere na leraura no segune conexo: o problema com múlplos ens, empos de preparação e resrções de capacdade já fo esudado por Gopalakrshnan e al. (995), Sox e Gao (999), Gopalakrshnan e al. (200), Porkka e Kuula (2003), Suere e Sadler (2003), Brskorn (2006) e Jans e Degreave (2008). Eses auores, porém, não consderam a possbldade de backloggng. Já Karm e al. (2006) abordaram o PDL com possbldade de preservação de preparação e araso na demanda. A modelagem mas recene fo a proposa em Sung e Maravelas (2008). Esa modelagem consdera possbldade de araso, preservação de preparação e se-up crossover. Nese rabalho são apresenadas dferenes modelagens para o PDLC com dferenes caraceríscas. Eses problemas são esudados com rês objevos cenras. O prmero é avalar o desempenho de dferenes confgurações do CPLEX quando aplcado à solução dos 2

23 problemas de dmensonameno de loes esudados. O segundo é esudar o mpaco das rês caraceríscas dscudas na resolução e na qualdade da solução dos problemas. O ercero é resolver os problemas esudados ulzando local branchng. O resane dese rabalho é esruurado da segune forma. No Capíulo 2 é apresenada uma revsão de modelos proposos na leraura, com foco prncpal nos problemas de dmensonameno de loes consderando resrções de capacdade e preservação de preparação. No Capíulo 3 é descra a esraéga local branchng. Os eses compuaconas são apresenados e dscudos no Capíulo 4 e no Capíulo 5 são apresenadas a conclusões e proposas de para fuuras pesqusas. 3

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25 Capíulo 2 Alguns Modelos para o PDL O problema de dmensonameno de loes (PDL) consse em planejar a produção de um ou mas ens para aender uma demanda (fxa ou dnâmca) em um deermnado horzone de planejameno. Para o problema esudado nese rabalho, o horzone de planejameno é fno e é dvddo em períodos, logo a quandade produzda deve ser deermnada a cada período. Cada em possu um cuso assocado à sua produção e anes que um em possa ser produzdo é necessáro fazer a preparação do ambene produvo para sua produção. A preparação esá assocada a um cuso que pode ser consane ou varar de em para em. Há ambém a possbldade de maner ens em esoque, o que gera cuso assocado a cada undade esocada. Da mesma forma que os cusos de preparação, os cusos de esoque podem varar de em para em e de período para período. O esoque perme que haja a possbldade de anecpar a produção de um período fuuro, caso a relação enre o cuso de esoque e o cuso de preparação do período segune seja vanajoso. O objevo é mnmzar a soma dos cusos de produção, de preparação e de esoque. Alguns modelos apresenam resrções quano à capacdade de produção de cada período, logo a quandade de produos que pode ser produzda é lmada. Em alguns casos, a preparação para produção de um em consome pare sgnfcava da capacdade de produção e, porano, deve ambém ser consderada no modelo. A capacdade pode, sem perda de generaldade, ser represenada pelo empo dsponível para produção. Uma possbldade para eses problemas é que o empo de preparação seja ão curo que sequer seja levado em cona no planejameno da produção. Neses casos, o empo não é consderado no modelo. Porém, quando o empo de preparação é sgnfcavo, é necessáro conablzá-lo ao produzr um produo. Ese processo é lusrado na Fgura 2.. 5

26 Fgura 2. - Esquema de produção consderando empo de preparação (Adapada da fone: Sung e Maravelas, 2008). Noe que o prazo para produção pode ser ulrapassado, ou seja, a demanda pode não ser aendda no período prevso devdo ao empo de preparação e à quandade de preparações condas no período, conforme vso na Fgura 2.2. Fgura 2.2 Fgura lusrando produção excedendo o período de empo (Adapada da fone: Sung e Maravelas, 2008). Para enar evar esa suação, muos modelos consderam a preservação de preparação (carry-over). O esquema de produção consderando a preservação de preparação pode ser vsualzado na Fgura

27 Fgura Esquema de produção de um em consderando empo de preparação e carry-over (Adapada da fone: Sung e Maravelas, 2008). É mporane enfazar que o modelo escolhdo para represenar um problema deve sempre se adequar aos ssemas produvos, podendo ser modfcado e adapado quando houver necessdade ou quando o grau de melhora for basane sgnfcavo. Como fo descro anerormene, para o PDL esudado são consderados: cusos e empos de preparação, cusos de esoque e de araso, resrções de capacdade, possbldade de preservação de preparação e a possbldade de ncar uma preparação no fnal de um período e concluí-la no período segune. No enano, nesa revsão bblográfca, opou-se por prmeramene descrever o PDL sem resrções de capacdade, na seqüênca o PDL com resrções de capacdade (PDLC) e, fnalmene, o PDLC esudado. A fm de ornar a leura mas fácl, odos os modelos são escros ulzando a noação enconrada em Karm e al. (2003). 2.. PDL sem resrção de capacdade O problema de dmensonameno de loes sem resrção de capacdade com múlplos ens consse em deermnar a quandade a ser produzda de cada em em cada período de forma que o cuso oal de produção seja mínmo, ou seja, a soma dos cusos de preparação, de produção e de esoque seja mínma. Como a produção não esá lmada, o planejameno de um em não nerfere no planejameno de ouro, logo o problema pode ser resolvdo consderando apenas um em por vez. Desa forma, ese problema se resume ao PDL com um únco em. Ese problema pode ser resolvdo na omaldade em empo O(n 2 ) pelo algormo proposo por Wagner e Whn (958). Uma revsão sobre ese problema pode ser enconrada em Wolsey (995). Manendo a noação apresenada em Karm e al. (2003), o PDL com um únco em pode ser escro pelo Modelo, cujas varáves e parâmeros são: 7

28 T p h K M x I z T k d k número de períodos do horzone de planejameno, cuso de produção unáro do em no período ; cuso unáro de esoque do em no período ; cuso de preparaçãopara a produção do em no período ; lme superor da produção no período ; quandade do em produzda no período (varável); esoque do em no fnal do período (varável); seo em for produzdo no período e 0 casoconráro (varável). Modelo. Mn s. a : x x z T x, I ( K z I M z {0, } 0 p x d I h I ) T ; T ; T ; T ; (2.) (2.2) (2.3) (2.4) (2.5) A função objevo (2.) vsa mnmzar a soma dos cusos de preparação, de produção e de esoque. A resrção (2.2) represena o balanço de esoque, ou seja, o que fo produzdo no período mas o que esava em esoque no fnal do período - deve ser gual à demanda do período mas o que fcará em esoque no período. As resrções (2.3) mplcam que um em só pode ser produzdo se for consderada sua preparação. As resrções (2.4) e (2.5) represenam o domíno e as condções de não-negavdade das varáves PDL com resrções de capacdade Muos dos problemas esudados na leraura apresenam algum po de lmação quano à capacdade de produção, seja quano à mão-de-obra dsponível, seja quano ao empo de produção de cada máquna, enre ouras possbldades. Ese conjuno de resrções é defndo na leraura como resrções de capacdade (capacy consrans). O PDL com resrções de capacdade (ambém conhecdo como PDLC) represena um grupo sgnfcavo de problemas reas e por sso vem sendo muo esudado nas úlmas décadas. Boas revsões 8

29 podem ser enconradas em Karm e al. (2003), Drexl e Kmms (997) e Bahl e al. (987). Ese problema, como dscudo no Capíulo, é de dfícl solução (Bran e Yanasse, 992). O problema com resrções de capacdade é uma exensão do PDL da seção aneror, no enano, quando a capacdade de produção é lmada, os város ens que serão produzdos dspuam os mesmos recursos e o problema não pode ser resolvdo ndependenemene para cada um dos ens. Ese problema pode ser modelado como apresenado no Modelo 2, cujos parâmeros e varáves são: N C d p h K a M x I z T k d k número deens, capacdadedsponívelno período ; demandadoem no período ; cuso de produçãounárocaso o em seja produzdono período ; cuso de esoquedo em no fnal do período ; cuso de preparaçãocasoem seja produzdono período ; recursosconsumdos para a produçãodeuma undadedoem lme superorda produçãodoem no período ; produçãodoem no período (varável); esoquedoem no fnal do período (varável); se o em fo produzdono período e 0 caso conráro(varável). ; Modelo 2. Mn s. a : x x N z x N T a, I I ( K M x z {0, } 0 z C d p I x h I ) T; T, T; T, T, N; N; N; (2.6) (2.7) (2.8) (2.9) (2.0) (2.) A função objevo (2.6) e as resrções (2.7) e (2.8) equvalem, respecvamene, a (2.), (2.2) e (2.3) do modelo aneror, porém conendo o índce assocado às varáves, ndcando múlplos ens. As resrções (2.9) foram adconadas para represenar a lmação 9

30 de capacdade dsponível em cada período. As resrções (2.0) e (2.) represenam o domíno e as condções de não-negavdade das varáves. Oura quesão relevane para o PDLC é que a preparação para produção pode, além de gerar cusos adconas, ncorrer em empos de preparação para a produção de cada um dos ens. Como dscudo anerormene, o PDLC que consdera os empos de preparação das máqunas é um problema NP-Compleo (Maes e al., 99). Esa caracerísca é faclmene ncorporada ao modelo subsundo-se as resrções (2.9) pelo segune conjuno de resrções: N ( ax qz C ),, T; (2.9) em que: q = empo de preparação para a produção do em no período PDL com preservação de preparação Exse um pono mporane a ser observado no que dz respeo à produção. Se um em é produzdo no fnal de um período - e ese mesmo em é o prmero em a ser produzdo no período, é neressane consderar a possbldade de preservar a preparação do em para o período, economzando, porano, o empo e o cuso de preparação. Ese procedmeno é conhecdo na leraura como preservação de preparação (se-up carry-over). Em Gopalakrshnan e al. (995), os auores esudam o problema de uma ndúsra de produção de papel, onde o empo de preparação para realzar uma roca de famílas é de 36 horas, ou seja, muo sgnfcavo. Os auores afrmam que muos problemas dese po não possuem planejamenos que apresenem soluções facíves caso não seja consderada a preservação de preparação. Desaca-se, no enano, que exsem suações prácas em que a preservação de preparação não é aplcável como, por exemplo, numa fundção em que o forno deve ser aquecdo para ncar o processo de fusão da lga, nese caso não é vável preservar o forno aquecdo de um da para o ouro. O problema esudado pelos auores em resrções de capacdade e o modelo proposo consdera a possbldade de preservar a preparação do úlmo em produzdo no período caso ese seja o prmero em a ser produzdo no período. O modelo proposo pelos auores é descro a segur, em que: 0

31 S V O N F q casoo em sejao prmero a ser produzdono período e 0 caso conráro; casoo em sejao úlmo a ser produzdono período e 0 caso conráro; caso a máquna eseja preparadapara a produçãodoem no fnal do período e 0 caso conráro; caso e caso, e casoo períodoocoso sejaulzado para prepararo em e 0 caso conráro, caso ocorra produçãode ao menos um em no período, 0 caso seja produzdoexaameneumem no período e quandadede preparações 0,e 0 caso conráro; 0,e 0 caso conráro; no período, cuso fxo quandoum em é produzdono período, empo de preparaçãoconsane, ndependene doem. 0 caso conráro.

32 Modelo 3. Mn s. a : (2.7);(2.8);(2.0);(2.); N S V O z V 0 N S a, O,, z x z z h,, I z, ( P ) 0 0 qn, 2 F C S N {0,} V K z O T; T; N, N, N, N, T; T; T; N, N, N, T; N, T; T; N, T ; T ; T ; T ; T ; T ; T ; T ; T. (2.7) (2.8) (2.9) (2.20) (2.2) (2.22) (2.23) (2.24) (2.25) (2.26) (2.27) (2.28) (2.29) (2.30) (2.3) (2.32) (2.33) (2.34) A função objevo (2.7) vsa mnmzar a soma dos cusos de preparação e de esoque e, ambém, do cuso fxo referene ao número oal de preparações que ocorrem no horzone de planejameno. As resrções (2.7), (2.8), (2.0) e (2.) são as mesmas do modelo aneror. As resrções (2.8) garanem que a capacdade de produção seja respeada. As resrções em (2.9) conablzam a quandade oal de preparações ocorrdas em cada período. O oal nclu as preparações do prmero e do úlmo em do período (S e V, respecvamene) e de quasquer ens produzdos durane o período (z ), assm como as preparações feas em empo ocoso (O ). Em (2.20) as resrções ndcam se exsrá ou não preservação de preparação no período. Quando a preservação ocorre, a varável S assume o valor 0. Em (2.2), V assume o valor apenas quando há a necessdade de realzar uma preparação no fnal do período. Nas 2

33 resrções (2.22), se não exse preparação no período aual ( ), não houve preservação de preparação do período aneror ( ) e nenhum em fo produzdo ( = 0), sgnfca que o período é ocoso e pode ser ulzado para preparar um em para o próxmo período. Iso é represenado quando a varável O assume o valor. As resrções (2.23) e (2.24) ndcam que só va exsr preparação de um produo caso haja a produção de ao menos em no período. Nas resrções (2.24) a varável P (um número nero grande) represena um lme superor da produção de ens. As resrções (2.25) ndcam que apenas um em pode produzdo prmero e (2.26) ndcam que apenas um pode ser produzdo por úlmo. As resrções (2.27) e (2.28) forçam o valor de e serem guas a 0, caso não haja produção durane o período. Resrções (2.29) ndcam que se apenas um em fo produzdo no período, ano quano são guas a (forçando 0 ). Caso ocorra a produção de mas de um em no mesmo período, enão, e, porano, 0. As resrções (2.30) deermnam que a máquna só poderá esar preparada para a produção de um únco em no fm de um período. As resrções (2.3)-(2.34) garanem as condções de não-negavdade e domíno das varáves. Os auores ambém propõem uma modelagem abrangendo múlplas máqunas, nas quas múlplas famílas de ens são produzdas. Nesa suação, é possível a produção de múlplos ens denro de uma famíla em um mesmo período. Iens que perencem à mesma famíla comparlham a mesma preparação; o empo de preparação para os ens de uma mesma famíla não consome empo sgnfcavo e, porano, é gnorado. Para se produzr um em, é necessáro usar uma ferramena específca para cada em perencene a uma famíla em uma máquna. Uma vez seleconada, a ferramena fca fxa à máquna. Como ese rabalho se resrnge a uma máquna apenas, opou-se por não apresenar al modelo. Em Gopalakrshnan (2000), o auor propôs uma modfcação do modelo proposo em Gopalakrshnan e al. (995), de forma a abranger a produção de ens consderando preparações dependenes dos ens ( q ). O novo modelo, que ulza as mesmas varáves do modelo aneror, é apresenado a segur: 3

34 Modelo 4 Mn s. a : (2.7);(2.8);(2.24) N 2S V V ( a x, N, 0 h z, I 0 q S, S N ) V F N {0, } (2.30);(2.32);(2.34) C K z T; N, N, N, N, N, T; T; T; T; T; T; (2.35) (2.36) (2.37) (2.38) (2.39) (2.40) (2.4) (2.42) Ese modelo é muo semelhane ao aneror, as modfcações se enconram na função objevo (2.35) e nas resrções (2.36), (2.37), (2.38) e (2.39). A função objevo vsa mnmzar a somaóra dos cusos de esoque, cusos de preparação e cusos fxos de produção. As resrções (2.36) foram modfcadas e agora possuem um índce especfco para o empo de preparação de cada em. As resrções (2.37) represenam a preservação de preparação para um em em um período em função do período aneror. As resrções (2.38) conablzam o número de preparações de cada em em cada período, enquano (2.39) ndca a preparação no fm do período comparando o esado da máquna e o úlmo em produzdo em um período. As resrções (2.40)-(2.42) asseguram as condções de não-negavdade e o domíno das varáves. As modfcações ornaram o novo modelo mas esruurado, uma vez que o auor remodelou as varáves N, S e V de forma a acomodar preparações dependenes dos ens e dos cusos de preparação. Em Gopalakrshnan e al. (200) os auores apresenaram um méodo para resolver o problema proposo em Gopalakrshnan e al. (995). O méodo consse em uma busca abu, chamada TABU-CLSPSC. Sox e Gao (999) propuseram um modelo com duas vezes menos varáves que o modelo proposo em Gopalakrshnan e al. (995) para o PDLC com preservação de preparação. O modelo proposo é apresenado a segur. Além das varáves descras anerormene, para ese modelo, os auores defnem: = caso a preparação do em seja preservada do período - para o período e 0 caso conráro. Modelo 5 4

35 Mn s. a : N T ( h (2.7);(2.9) x N M ( z z z I {0,} p (2.) j ) x 0 2 K z ) N, 2 T; N, N, N, T; 2 T; 2 T e T; j ; (2.6) (2.43) (2.44) (2.45) (2.46) (2.47) As resrções (2.43) garanem que só há a produção de um produo em um período caso exsa preparação nese período ou caso a preparação enha sdo preservada do período aneror. As resrções (2.44) asseguram que apenas uma preparação seja preservada por período. Em (2.45) é mposo que para um dado período e um em, uma preparação só pode ser preservada caso no período aneror - enha ocorrdo preparação para a produção do em ou, se no período -, somene o em fo produzdo e a preparação fo preservada do período - 2. As resrções (2.46) esabelecem a sncrona caso uma mesma preparação seja preservada por mas de um período. As resrções (2.47) defnem o domíno das varáves de preservação de preparação. Os auores dscuem adapações do modelo para ouros pos de PDL, as como o problema em que apenas um em pode ser produzdo por período. Como para o problema esudado város ens podem ser produzdos em cada período, opou-se por não nclur as modelos nese capíulo. Além da modelagem, os auores propuseram uma reformulação do modelo, ulzando grafos. A parr desa reformulação, propuseram um méodo para resolver o problema baseado em programação dnâmca e em uma heurísca de decomposção ulzando relaxação lagrangana. Brskorn (2005) propõe uma revsão do modelo de Sox e Gao (999). O auor desaca que a preservação da preparação é uma possbldade e não uma obrgaoredade, logo as resrções (2.44) devem ser reescras como: N 2,... T. O auor ambém desaca que quando Sox e Gao (999) aplcam relaxação lagrangana ao modelo para solução do problema, os subproblemas gerados são resolvdos ulzando o 5

36 algormo de Wagner e Whn (958). No enano, como a preservação da preparação é permda, as soluções ómas geradas, na verdade, podem não ser ómas. O auor propõe um novo algormo de programação dnâmca para a solução dos subproblemas. Porkka e al. (2003) ambém apresenam uma modelagem alernava para o PDLC com preservação de preparação. Os auores argumenam que, em casos onde o empo de preparação é muo grande em relação ao amanho dos períodos, a modelagem com preservação de preparação apresena resulados sgnfcavamene melhores quando comparada ao modelo sem preservação. A modelagem é dada pelo Modelo 6, em que: c = cuso por undade de capacdade ulzada. Modelo 6. Mn s. a : T N (2.7);(2.0);(2.);(2.43);(2.45) ( a x N [ c( p x q z ) q z C ) h I ] (2.47) T; T. (2.48) (2.49) (2.50) O modelo apresenado é semelhane ao apresenado em Sox e Gao (999), com algumas dferenças. A função objevo (2.48) mnmza a soma dos cusos de esoque, de produção e de preparação, levando em cona o cuso da capacdade ulzada. Oura modelagem do PDLC com preservação de preparação ambém pode ser enconrada em Suere e al. (2003). Os auores nserem no modelo váras desgualdades váldas, de forma a orná-lo mas aperado. Para resolver o problema, os auores propõem alguns méodos exaos, como o cu-and-branch e o branch-and-cu, sendo o úlmo mas efcene. Também é proposa uma heurísca de decomposção para resolução do problema. Em Karm e al. (2005), os auores apresenam uma modelagem do PDLC com preservação de preparação e araso na demanda. Nese modelo, o empo de preparação não é consderado, são conablzados apenas os cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso. A modelagem é apresenada no Modelo 7, em que: I = esoque do em no fnal do período (varável); 6

37 I = quandade arasada da demanda do em no fnal do período (varável). Modelo 7. Mn s. a : N T I ( h (2.9), I 0 I I (2.0);(2.43) (2.47), I I 0 B x I, I I I 0 T p 0 I x I T K 0 z d ) N, T; N, T; N. N. (2.5) (2.52) (2.53) (2.54a) (2.54b) A função objevo (2.5) busca mnmzar a soma dos cusos de preparação, de produção, de esoque e de araso. As resrções (2.52) represenam o balanço de esoque. As resrções (2.53) defnem as condções de não-negavdade das varáves de esoque e araso, enquano as resrções (2.54a) e (2.54b) represenam o esado ncal e fnal das varáves. O modelo ulzado nos eses realzados nese rabalho nclu as correções proposas em Brskorn (2005), subsundo o conjuno de resrções por N N PDL com se-up crossover Exsem ouras possbldades que podem ser consderadas ao modelar o problema de dmensonameno de loes com resrção de capacdade. Em Sung e Maravelas (2008), os auores apresenaram um modelo para o PDLC que nclu: a possbldade de araso ao aender a demanda e a possbldade de preservação de preparação. O modelo nclu cusos e empos de preparação. Os auores consderaram ambém a possbldade de exsr empos de preparação que excedem um período. São defndas enão duas novas caraceríscas ao PDLC para represenar esas suações. Os auores defnem se-up crossover quando o empo de preparação começa em um período e ermna no período segune. Noa-se que no se-up crossover, o empo necessáro para a preparação para a produção não excede um período, logo ela podera ser realzada num únco período sem dfculdades, caso exsa um rearranjo de avdades. Oura caracerísca é o overlappng. Para problemas com overlappng, o empo necessáro para preparar uma deermnada máquna pode exceder um ou mas períodos. Para raar eses casos, os auores propõem uma mudança nos períodos de empo, fazendo com que 7

38 as preparações sempre acabem no mesmo período em que começam. Esas duas caraceríscas são lusradas na Fgura 2.4. Fgura Casos que são abordados pelo modelo proposo em Sung e Maravelas, (Adapado da fone: Sung e Maravelas, 2008). A déa da mudança no período de empo é permr que uma preparação que comece no período e ermne no período + (cross-over) passe a começar e ermnar no período. Para raar esas suações, os auores defnem uma represenação do período de empo modfcado, onde o comprmeno de um período de empo é modfcado. Desa forma, sera possível acomodar em a preparação que sera prolongada aé +. A pare que sera usada para a preparação do em em + é ransferda para o período, reduzndo-se o comprmeno do período + e amplando o comprmeno do período. É possível noar que no modelo que perma a modfcação do amanho dos períodos, as soluções de um modelo com períodos normas são facíves, porém ese modelo possbla o raameno da preservação de preparação e do aravessameno de preparação de forma efeva. O modelo ambém perme que um em seja produzdo mas de uma vez no mesmo período. Iso caracerza o que os auores chamam de modo RP (reurn-produc). Com relação à modelagem, prmeramene fo proposo um modelo de produção de múlplos ens conendo apenas preparações curas (que não ulrapassam um período). O modelo compleo, assm como os índces, parâmeros e varáves, são defndos a segur: 8

39 9 período. fnal do sejao esado caso esejaoperandoem modo reurn produce 0 caso conráro. período casoo y período. que começamno doem s preparaçõe número de períodot. comprmeno do G posvo pequeno. número arasado. é período fnal do comprmeno em que o Lae em que não ocorre produção(empo ocoso). período empo no Idle período. preparaçãocomeçandono de empo oal TST período. preparaçãocomeçandono de cuso oal TSC Modelo 8. : (2.75). 0 (2.74) ;, } {0,,, (2.73) ; 0,,, (2.72) ;, 0 (2.7) ;, ) ( (2.70) ;, (2.69) ;, (2.68) ;, (2.67) ; ) ( (2.66) ; (2.65) ; (2.64) ; (2.63) ;, (2.62) ;, ',, ', (2.6) ;, (2.60) ;, (2.59) ;, (2.58) ;, (2.57) ;, (2.56) ; (2.7);(2.0);(2.);(2.47) :. (2.55) mn ' ' ', T TSC T N y T TST Lae Idle T N T N G y z r x T N y G s T N T N T s Lae T Lae Lae G Idle TST r x T s TST T K TSC T N y z T N z z y T N z y T N y T N y T N z T N z T a s TSC I h T

40 A função objevo (2.55) vsa mnmzar a soma dos cusos de esoque e de produção., z z (2.56) (2.57) (2.58) As resrções (2.56), (2.57) e (2.58) realzam o conrole de ens por período. O conjuno de resrções (2.56) ndcam que, ao fnal de um período, apenas um esado pode ser o esado fnal. A varável z = se o esado é vsado durane o período de empo modfcado. Resrções (2.57) declaram que o esado fo alcançado no período se ele for o esado ncal. De forma semelhane, as resrções (2.58) represenam que o esado fo alcançado em caso ele seja o esado fnal. y y y y,, z, ' ',, z ' z,,,,, ', (2.59) (2.60) (2.6) (2.62) As resrções (2.59), (2.60) e (2.6) defnem se o modo RP esá ou não avado (y = ). A avação do modo RP se dá quando um em é produzdo no começo e no fnal do período (resrções (2.59) e (2.60), respecvamene) e, no meo do período, ocorre a produção de um ou mas ens, al que ', conforme descro pelas resrções (2.6). Um exemplo das condções de avação do modo RP é lusrado na Fgura 2.5. Caso esas rês condções sejam sasfeas, o conjuno de resrções (2.62) garane que y seja. Fgura Exemplo de condção em que o modo RP é avado. (Adapado da fone: Sung e Maravelas, 2008). 20

41 z, y,, (2.63) Resrções (2.63) ndcam o oal de preparações do em no período. O oal é calculado levando em cona o prmero em (, ), as preparações que ocorreram durane o período ( z ) e a varável de RP ( y ), que é ulzada para conrolar os casos onde há carryover e modo RP avados (no caso 2 produções do mesmo em com apenas preparação). A Fgura 2.6 lusra a preservação de preparação de um em em um período para o período segune. Fgura Exemplo de ocorrênca do se-up carry-over. (Adapado da fone: Sung e Maravelas, 2008). Resrções (2.64) e (2.65) oalzam o cuso oal de preparação e o comprmeno da preparação, respecvamene, em cada período de empo modfcado. x r Lae Y, TST,, ( s Idle ), G Lae Lae,,, s, G (2.66) (2.67) (2.68) (2.69) (2.70) As resrções (2.66), (2.67), (2.68) e (2.69) conrolam os mecansmos de empo ocoso, amanhos de período não-unformes (período de empo modfcado) e se-up crossover. Em (2.66), o empo de produção, empo de preparação e de máquna parada são guas ao comprmeno do período de empo modfcado. As resrções (2.67) fazem uma lgação enre o empo de araso e um em cuja preparação esá connuando. As resrções (2.68) ndcam que, se um esado esá sendo preservado do período para o período +, ese esado é o esado fnal do período. As resrções (2.69) ndcam que uma preparação cura deve começar em para aravessar o lme de empo do período e connuar no período segune. Resrções (2.70) ndcam que se o período esá em modo RP, enão a preparação do esado fnal deve 2

42 connuar aé o período segune, fazendo com que seja o esado ncal do período +. Uma lusração do se-up crossover enconra-se na Fgura 2.7. Fgura Exemplo de ocorrênca do se-up crossover. (Adapado da fone: Sung e Maravelas, 2008). A produção x do em é lmada nas resrções (2.7). Resrções (2.72) mpedem que ocorra preparação após o horzone de planejameno e, por fm, resrções (2.73)-(2.75) represenam as condções de não-negavdade e domíno das varáves. Uma vez que nese rabalho opou-se por ulzar apenas nsâncas em que o empo de preparação é sempre menor que o amanho dos períodos, decdu-se não nclur o modelo que prevê suações onde o empo de preparação pode ulrapassar o amanho de um período (overlappng). 22

43 Capíulo 3 Local branchng O objeo de pesqusa dese projeo é o problema de dmensonameno de loes com resrções de capacdade (PDLC). São consderadas nese rabalho varações do problema com relação à possbldade de preservação de preparação, possbldade de araso ao aender a demanda e possbldade da preparação para a produção ncar em um período e ermnar em ouro (se-up crossover). Conforme dscudo no Capíulo 2, o PDLC perence à área de omzação combnaóra e é, na maora das vezes, nraável de manera exaa em suações reas. Em Fsche e Lod (2003), os auores propuseram o uso de uma esraéga genérca para raar problemas neros msos. Esa esraéga busca explorar as vznhanças das soluções facíves obdas, ulzando para sso a déa de busca local. Na busca local proposa pelos auores, as vznhanças são obdas nroduzndo-se dversos cores no modelo nero, chamados local branchng cus. A fm de faclar a compreensão do méodo, consdere o segune problema de programação nera msa (PIM): mn s. a : c x x x T Ax j j j x b {0, } 0, Inero 0 j j j B G C 0 (3.) (3.2) (3.3) (3.4) (3.5) No modelo acma, os índces das varáves N {,, N} são dvddos no conjuno (B, G e C), onde B represena o conjuno de índces das varáves bnáras, G represena o conjuno de índces das varáves neras e C represena o conjuno de índces das varáves conínuas. Dada uma solução facível x, defne-se um conjuno S chamado de supore bnáro de x, al que: 23

44 S { j B x } Ou seja, o conjuno S coném os índces de odas as varáves bnáras que possuem o valor. Também é nroduzdo um parâmero k, a parr do qual é defnda a vznhança k- OPT N ( x, k) de x. A função N ( x, k) represena odas as soluções facíves do problema que sasfazem a resrção de local branchng, dada por: ( x, x) j S ( x j ) j B\ S x j k (3.6) Na resrção (3.6), os ermos à esquerda represenam as varáves bnáras que erão seus valores rocados de para 0 ou de 0 para, respecvamene, ou seja, o número oal de varáves bnáras as quas erão seu valor alerado. Quando esa resrção é acrescenada ao modelo, o espaço de soluções do problema orgnal é reduzdo, e pode-se buscar a melhor solução vznha de x. Por ouro lado, é possível buscar a solução óma que seja vznha de x na vznhança complemenar a (3.6), defnda por: ( x, x) k (3.7) Ulzando as resrções (3.6) e (3.7), é possível subdvdr o espaço de busca por uma solução óma em dos subproblemas, o prmero acrescdo da resrção (3.6) e o segundo de (3.7), semelhane ao créro de separação do branch-and-bound. Noe que os subproblemas são problemas neros msos que podem ser resolvdos por um algormo exao (por exemplo: branch-and-bound). O parâmero k defne o amanho da vznhança a ser percorrda na ramfcação à esquerda e é um parâmero mporane, pos deve ser escolhdo de forma a ornar a vznhança N ( x, k) sufcenemene grande para coner soluções melhores que a aual, e ao mesmo empo sufcenemene pequena, para que possa ser percorrda em empo compuaconal aceável, ou seja, para que o algormo exao consga enconrar a solução óma do subproblema. Em seus eses, os auores denfcaram que uma boa faxa de valores para k sera um número no nervalo [ 0,20]. A déa geral do local branchng é a segune. Prmeramene, é nroduzda no modelo a resrção de local branchng (3.6), de forma a defnr uma vznhança. O novo problema é resolvdo, na esperança de se enconrar uma solução melhor do que a aual. Caso uma solução nera de melhor qualdade seja enconrada, ela passa a ser a solução aual, a resrção de local branchng é removda e a resrção (3.7) é adconada ao modelo. Em seguda, a resrção de local branchng é novamene adconada ao modelo, só que desa vez, parndo da nova 24

45 solução. O procedmeno é repedo aé que seja enconrado um subproblema cuja solução não seja melhor do que a solução aual. Fgura 3. - Exemplo do funconameno do local branchng. (Adapado da fone: Fsche e Lod, 2003). A Fgura 3. lusra um exemplo de aplcação do local branchng. Assume-se que o nó ncal é o nó em que x é uma solução facível do problema. O lado esquerdo conendo o nó (2) corresponde a omzação denro da vznhança k-opt N ( x, k), na qual é obda uma solução (em empo compuaconal aceável) chamada que a aual, 2 x. Caso esa solução seja melhor do 2 x se orna a nova solução. O procedmeno é repedo com o nó da drea (3), 2 onde a exploração de N ( x, k) \ N( x, k) no nó (4) produz uma nova solução aual 3 x. O nó (5) é enão referencado, o qual corresponde ao problema ncal com as duas resrções 2 adconas ( x, x ) k e ( x, x ) k. No exemplo, o nó (6) produz um subproblema cuja solução não é melhor do que a solução aual. Nesa suação, a adção da consane 3 ( x, x ) k leva ao nó (7), da drea. 25

46 O local branchng é um méodo exao. Porém, o cuso compuaconal pode ser muo alo uma vez que os subproblemas são problemas neros msos que nem sempre são faclmene resolvdos. Ese fao pode ornar o méodo nvável. Logo, Fsche e Lod (2003) propuseram algumas modfcações para o méodo, as como mpor um lme de empo nos nós da esquerda ou aplcar mecansmos de dversfcação. Com esas modfcações o local branchng passa a se comporar como uma heurísca, melhorando cada vez mas a solução aual e enando se aproxmar do valor ómo. Fgura Lme de empo nos nós: caso. (Adapado da fone: Fsche e Lod, 2003). Consderando as modfcações proposas pelos auores podemos er duas suações dsnas, apresenadas respecvamene nas Fguras 3.2 e 3.3. Analsando a prmera suação, represenada na Fgura 3.2, ao chegar ao nó (2) é possível que não seja enconrada nenhuma solução denro do lme de empo esabelecdo. Iso sgnfca que, apesar de nenhuma solução melhor que a aual er sdo enconrada, anda é possível que esa solução exsa, uma vez que as vznhanças não foram oalmene exploradas. Para evar que poencas soluções sejam perddas, o méodo realza novamene a busca no nó (2 ), porém com uma redução do k (que passara a ser: k / 2 ). Desa forma, com o amanho da vznhança reduzdo, o local branchng possu uma chance maor de pesqusar odas as soluções da nova vznhança. Da mesma forma que o amanho da vznhança pode ser reduzdo (vsando uma busca local mas rápda), ele ambém pode ser aumenado, vsando aumenar a dversdade. Iso pode ser feo aumenando o valor do k (que passara a ser: 2k). Ese aumeno na dversdade (que é caracerzado pelos 26

47 auores como dversfcação leve ) pode ser neressane sempre que for provado que o nó aual da esquerda não coném soluções melhores. Fgura Lme de empo nos nós: caso 2. (Adapado da fone: Fsche e Lod, 2003). A segunda suação que pode ocorrer, lusrada na Fgura 3.3, ocorre quando ao chegar ao nó (2), uma solução melhor 2 x é enconrada, porém o méodo em sua execução nerrompda devdo ao lme de empo. Quando so ocorre, a resrção subsuída pela resrção 2 ( x, x ) k ( x, x ) e o méodo vola a buscar a solução óma no nó (2 ). Caso odas as vznhanças do nó (2 ) sejam pesqusadas denro do lme de empo, o méodo segue normalmene, com a melhor solução enconrada (no caso, 3 x ). Os auores mosraram que, ao ulzarem o local branchng, em 23 dos 29 casos esados (os eses ocorreram em problemas neros de dferenes pos), uma solução melhor fo enconrada em empo compuaconal aceável. Ouras aplcações do local branchng podem ser vsas em (Fsche e Lod, 2006 e Hansen e al. 2006). k é 3.. Local branchng para o PDL Nese rabalho, o méodo proposo em Fsche e Lod (2003) fo codfcado em lnguagem C++ ulzando o Concer, que é um conjuno de bbloecas com funções do sofware de omzação CPLEX. 27

48 Como descro na seção aneror, a esraéga local branchng esá baseada no méodo branch-and-bound cuja efcênca esá dreamene relaconada à obenção de bons lmanes superores e nferores para o problema a ser resolvdo. Para o PDLC, como o objevo é mnmzar a soma dos cusos, a solução relaxada do problema fornece um lmane nferor e as soluções facíves enconradas ao longo do processo são lmanes superores do problema. Como esraéga para ober a prmera solução facível para local branchng e, por conseqüênca, o prmero lmane superor do problema, a proposa aqu apresenada fo ober a melhor solução para o PDLC padrão, ou seja, sem possbldade de araso, preservação ou se-up crossover. Nesa prmera eapa, o empo de execução do CPLEX fo lmado em 50 segundos. A parr desa solução a esraéga local branchng, como proposo por Fsche e Lod (2003) é execuada. Vale desacar que cada um dos subproblemas gerados é resolvdo ulzando o sofware de omzação CPLEX e que rês créros de parada foram adoados. O prmero créro de parada é angdo se a solução óma do subproblema fo enconrada. A segunda condção ocorre quando o problema é nfacível. A ercera condção é avada quando um empo lme de execução preesabelecdo é angdo. O méodo adapado para o problema esudado é resumdo pelo algormo a segur. 28