5 Apreçamento de ESOs com preço de exercício fixo

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1 5 Apreçameno de ESOs com preço de exercíco fxo Ese capíulo rá explorar os prncpas modelos de apreçameno das ESOs ulzados hoje em da. Neses modelos a regra de decsão é esruurada em orno da maxmzação do valor esperado do payoff da opção. Será apresenado o modelo de Black e Scholes (973) e Meron (973) para apreçameno de opções européas, o bnomal radconal para opções amercanas desenvolvdo por ox, Ross e Rubnsen. (979) e o modelo bnomal de Hull e Whe (004). 5. Modelo de Black e Scholes (973) e Meron (973) Black e Scholes revoluconaram a eora moderna de fnanças em seu semnal argo publcado em 973. Nele, apresenaram uma solução analíca para o apreçameno de uma opção fnancera européa que não paga dvdendos. O valor da opção é dado por: BS BS r τ BS = S N d ) Xe N( d )... ( ) ( Onde: BS d = ( r + σ ) ln S + τ X σ τ BS BS d = σ τ d S = preço da ação X T = preço de exercíco da opção (srke prce) = a vda da opção τ = empo de vda resane ( T ) σ r = volaldade da ação subjacene = axa conínua de juros lvre de rsco.

2 54 omo na práca a maora das ações paga dvdendos, Meron (973) efeuou um pequeno ajuse na fórmula: BSM qτ BSM r τ BSM = S e N d ) Xe N( d )... ( ) ( Onde: BSM d = ( r q + σ ) ln S + τ X σ τ BSM BSM d = τ Q d σ = dvdendos por ação pagos dvddo pelo preço da ação (dvdend yeld). Fo vso na Tabela que mas da meade das empresas pesqusadas ulzam o modelo de Black e Scholes (973) e Meron (973) para apreçar seus planos de opções, anda que quase que a oaldade desses planos seja de opções amercanas, ndexadas ou com alguma oura parculardade que o modelo BSM não conemple. Será vso mas a frene que esa práca pode gerar mprecsões relevanes nos valores nformados pelas empresas em suas demonsrações fnanceras. Mesmo assm, devdo a sua fácl ulzação, ese modelo é amplamene ulzado. 5. Modelo de ox, Ross e Rubnsen (979) para opção amercana O modelo bnomal, ncalmene proposo por ox, Ross e Rubnsen (979), apresena um algormo smples para apreçar opções fnanceras. Por cona de sua smplcdade, fo rapdamene adoado pelo mercado. Ese modelo esá baseado na suposção de que em um nervalo de empo Δ muo pequeno, o preço da ação poderá ser aproxmado de forma dscrea, segundo apenas duas possíves rajeóras: subr por um faor u ou descer por um faor d.

3 55 Su S Sd Fgura 8 - Trajeóras possíves para a ação Defndas as varáves da seção aneror, sejam agora as segunes varáves adconas: u = faor de crescmeno do preço da ação d = faor de queda do preço da ação p = probabldade neura ao rsco de aumeno no preço da ação. Temos que o espaço de empo enre cada período é Δ = T N, onde N é gual ao número de passos da árvore bnomal. Anda, o faor de ajuse u é defndo por u Δ = e σ para que a dsrbução probablísca de resulados seja lognormal. De modo a ober uma árvore recombnane, eremos que u =. Por d fm, a probabldade neura ao rsco é obda da segune manera: p e = q) Δ d. u d ( r O valor da opção amercana no empo e no nó pela regra de decsão é: r Δ { S X e [ p + ( p ) ]} RR, máx,, +, + +, =... ( 3 ) Na maurdade a regra de decsão é dada por: { S,0} RR T, máx T, X =... ( 4 ) Se ese modelo for ulzado para apreçar uma opção européa, prova-se maemacamene que na medda em que o nervalo de empo ender a zero

4 56 ( Δ 0 ), o resulado convergrá para a solução analíca de Black e Scholes (973) e Meron (973). Fgura 9 - Dsrbuções do modelo bnomal Fone: Amran e Kulalaka (999). A fgura aneror lusra ese pono. Enquano o número de passos da árvore bnomal é pequeno (de modo que Δ é grande), a dsrbução das possíves rajeóras é dscrea. O aumeno gradual do número de passos (e a conseqüene dmnução de Δ ) faz com que a dsrbução seja cada vez mas parecda com uma varável aleaóra conínua. No lme, quando o número de passos ender a nfno, a dsrbução obda será a lognormal (conínua), exaamene a dsrbução suposa no modelo analíco de Black e Scholes (973) e Meron (973). onforme vso anerormene, as normas conábes permem a ulzação ano do modelo bnomal quano o Black e Scholes (973) e Meron (973). omo ESOs apresenam dferenças em relação a opções fnanceras, o modelo bnomal mosra-se superor por permr a possbldade de ajuse de

5 57 caraceríscas própras das ESOs (como por exemplo, o fao desa opção ornar-se amercana após a carênca), enquano o modelo de BSM fo concebdo para apreçar opções européas. Há que se omar cudado com um aspeco, no enano. A flexbldade do modelo bnomal perme a elaboração de algormos dos mas dversos, alguns dos quas não necessaramene convergem para uma solução esável. Na medda em que o número de passos ende a nfno, é fundamenal verfcar a convergênca do modelo de modo a ober soluções confáves. 5.3 Modelo de Hull e Whe (004) Ese modelo rouxe uma evolução em relação aos modelos anerores, pos em como objevo ncorporar duas mporanes parculardades de ESOs:. Exercíco anecpado: ese fenômeno é consderado no modelo com a nrodução de um múlplo, M. O exercíco da ESO ocorrerá sempre que o preço da ação for maor ou gual a um múlplo do preço de exercíco. Os auores nroduzem o conceo de preço de galho da opção, acma do qual o funconáro esá dsposo a exercer sua opção.. Taxa de cancelamenos: ese modelo consdera explcamene que alguns funconáros dexarão a empresa ao longo da vda da opção. Para ano, é nroduzda uma axa de cancelamenos, ω, aplcada nos períodos anes e depos da carênca. Para os auores, ano M quano ω podem ser esmados a parr de dados hsórcos da empresa. A regra de decsão funcona da segune forma: - Para > v e S, > X M (carênca ermnou e múlplo e fo alcançado): { S,0} HW, máx, X =... ( 5 ) - Para > v e S, < X M (carênca ermnou e múlplo não e fo alcançado):

6 {,0} HW r Δ, = ( ω Δ) e [ p +, + + ( p ) +, ] + ω Δ máx S, X... ( 6 ) 58 - Para < v (carênca anda não ermnou): HW, ( +, + +, r Δ = ω Δ) e [ p + ( p ) ]... ( 7 ) Ese modelo raa a ESO como uma opção de barrera dscrea monorada, pos a condção para exercíco é defnda pelo múlplo, ou seja, a opção será exercda oda vez que o valor das ações angr M. Para os auores, no enano, ese modelo em uma lmação, pos o múlplo M é apenas uma medda aproxmada da políca de exercíco dos funconáros. Isso porque a esmação de M consdera que os funconáros são dêncos com relação a sua políca de exercíco, quando na realdade há dferenças.e. ndvíduos mas jovens podem er um galho mas baxo por cona de maores necessdades de lqudez, enquano execuvos mas experenes esabelecem um preço mas alo para o exercíco. Anda, para um dado ndvíduo, o múlplo pode varar com o empo, ser correlaconado com o desempenho da empresa ou da economa, por exemplo.

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