Título: Análise de Componentes Principais na Correlação da Volatilidade Implícita com o Ativo Objeto

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1 Área Temáca: Fnanças Tíulo: Análse de Componenes Prncpas na Correlação da Volaldade Implíca com o Avo Objeo AUTORES ANDRÉ GNECCO AVELAR Unversdade de São Paulo andreavelar@yahoo.com OSWALDO LUIZ DO VALLE COSTA Unversdade de São Paulo oswaldo@lac.usp.br Resumo: Como a volaldade é a únca varável não observada nas fórmulas padrão de precfcação de opções, o mercado fnancero ulza amplamene o conceo de volaldade mplíca, so é, a volaldade que ao ser aplcada na fórmula de precfcação resule no preço correo (observado) das opções negocadas. Por sso, enender como as volaldades mplícas das dversas opções de dólar negocadas na BM&F, o objeo de nosso esudo, varam ao longo do empo e como esas se relaconam é mporane para a análse de rsco de careras de opções de dólar/real bem como para o apreçameno de dervavos cambas exócos ou pouco líqudos. A proposa de nosso esudo é, porano, verfcar se a observação da leraura écnca realzada em dversos mercados ambém é válda para as opções de dólar negocadas na BM&F: que há uma relação enre as varações das volaldades mplícas e as varações do valor do avo objeo. Para alcançar ese objevo, aplcaremos a análse de componenes prncpas em nosso esudo. Com esa meodologa, reduzremos as varáves aleaóras que represenam o processo das volaldades mplícas em um número menor de varáves orogonas, faclando a análse dos dados obdos. Palavras chave: Engenhara fnancera. Superfíce de volaldade mplíca. Análse de componenes prncpas. Absrac: Volaly s he only unobserved varable n he sandard opon prcng formulas and hence mpled volaly s a concep wdely adoped by he fnancal marke, meanng he volaly whch would make he formula yeld he opon s real marke prce. Therefore, undersandng how he mpled volaly of he opons on dollar raded a BM&F, he subjec of our sudy, vary over me s mporan for rsk analyss over dollar opon books and for prcng of exoc or llqud dervaves Our work s proposal s o verfy f he observaons made by he echncal leraure over several markes could also be appled o he opons on dollar raded a BM&F: ha here s a relaon beween hs varaon and he varaon of he underlyng asse prce.

2 In order o fulfll hese goals, we wll apply prncpal componen analyss n our sudy. Ths mehodology wll help us analyze he daa by reducng he number of varables ha represen he mpled volaly process no a few orhogonal varables. Keywords: Fnancal engneerng. Impled volaly surface. Prncpal Componen Analyss.

3 Movação Ao calcular-se a volaldade mplíca de odos os conraos de opções sobre um mesmo avo objeo negocados em um da, vê-se claramene que há város níves dferenes de volaldade mplíca, desacando-se prncpalmene o efeo smle, em que opções com srke muo dsane do preço do avo objeo possuem volaldade mplíca maor que as demas (DUPIRE, 993; DERMAN; KANI,994). Como ese efeo não é prevso pelo modelo de Black-Scholes, e seus dervados, conclu-se que há erros de observação e falhas no modelo. Graças à smplcdade e ampla adoção do modelo de Black-Scholes e seus dervados, as volaldades mplícas são esudadas por permrem o conrole de rsco e posconameno em careras de opções bem como apreçar opções sem lqudez, sejam vanllas ou exócas, em que a volaldade mplíca é a varável de enrada para os dversos modelos ulzados pelo mercado. Em careras com opções, a volaldade mplíca é o segundo faor de rsco mas mporane, sendo o prmero a varação no preço do avo, conra a qual o nvesdor pode faclmene se proeger. Como ese faor de rsco é dferene para cada conrao de opção negocado, orna-se mporane enender como a volaldade mplíca de cada conrao vara com o empo e qual a relação enre esas varações. Assm, o esudo da varação das volaldades mplícas no empo é de grande uldade práca, permndo conrolar o rsco e reorno de careras de opções (sobre o mesmo avo objeo) com dversos srkes e maurdades bem como precfcar opções exócas ou líqudas. Para alcançar ese objevo, uma das ferramenas mas comuns é a superfíce de volaldade, na qual mosra-se a volaldade mplíca em odos os ponos do espaço {Srke/Preço x Maurdade} e não apenas dos ponos onde há conraos negocados. Como há dversas volaldades mplícas para cada da de negóco, esaremos raando com uma varável muldmensonal. De modo a faclar nosso esudo, ulzaremos a análse de componenes prncpas. Com esa meodologa aplca-se uma ransformação lnear reduzndo a quandade das varáves analsadas em varáves orogonas que maném o máxmo de varânca do processo orgnal. 2 - Revsão Bblográfca e Meodologa Com o objevo de enendermos o comporameno da superfíce de volaldade das opções de dólar/real ao longo do empo, remos esudar se a varação dára da superfíce é correlaconada com a varação do preço do avo objeo, S. Esa propredade já fo analsada

4 pela leraura em superfíces de volaldade de ouros mercados (DAX, S&P e FTSE) e preendemos comparar como seus resulados se refleem para as opções de dólar/real. Skadopoulos; Hodges e Clewlow (2000), organzaram as varações dáras das volaldades mplícas das dversas opções observadas em um da em faxas de dferenes maurdades (empo para o vencmeno). Os auores aplcaram a écnca de análse de componenes prncpas e enão analsaram a correlação da superfíce de volaldade com a varação do preço fuuro do avo, o índce S&P500, conclundo que o nível de volaldade mplíca aumena quando há queda no valor do avo objeo. Con e Fonseca (2002) se propuseram a analsar a correlação enre as varações da superfíce de volaldade e as varações no valor do avo objeo para dos mercados dferenes, o S&P500 e FTSE000. Os auores ulzaram o méodo não-paramérco de nerpolação de esmador de Kernel, que será apresenado adane, para crar a superfíce e ober sua dferença e sobre esa dferença aplcaram uma varane do méodo de análse de componenes prncpas. Sua conclusão é que há, para os dos mercados, correlação razoavelmene sgnfcava enre os parâmeros da decomposção da superfíce de volaldade e a varação do valor avo objeo Cálculo das Volaldades Implícas Para o cálculo das volaldades mplícas, vamos ulzar uma varação do modelo de Black- Scholes, o modelo de Black (976) ulzado no mercado para a precfcação das opções de dólar, que em premssas semelhanes ao do modelo de Black-Scholes, mas rabalha com o preço fuuro do avo objeo, evando assm o problema de defnr qual a axa de juros lvre de rsco do dólar. O modelo deermna o preço de uma opção de compra européa que vence em um empo τ (τ = T - ) com a segune fórmula: r τ C F, K, τ, σ, r = e F φ d K φ d (2.) ( ) [ ( ) ( )] 2 Com: d 2 F σ ln + τ K 2 = e d 2 = d σ τ σ τ Sendo: C(.) = preço da opção de compra F = preço fuuro do avo objeo K = preço de exercíco ou srke T = daa de exercíco da opção = nsane de negocação τ = T = maurdade σ = volaldade do avo objevo r = axa de juros sem rsco

5 φ(.) = função normal cumulava padrão. De acordo com a pardade enre opções de compra e venda, o preço de uma opção de venda é obda como: rτ P( F, K, τ, σ, r) = e [ K φ( d 2 ) F φ( d )] (2.2) A segur, para ober a volaldade mplíca, aplca-se o méodo de Newon-Raphson sobre a função f(σ) = C(σ) - C obs (no caso das opções de compra) Inerpolação da Superfíce de Volaldade Uma superfíce de volaldade mplíca de opções é a represenação em um dado nsane de empo, das volaldades mplícas nos preços das opções negocadas no mercado naquele nsane, em função das varáves maurdade e moneyness. Como as opções negocadas não são as mesmas ao longo dos das e com a passagem de um da úl e a mudança do dólar spo, emos observações dáras dferenes na superfíce de volaldade. Por sso, faremos a nerpolação de uma superfíce a cada da de negóco para comparar a varação das volaldades mplícas no empo, o que sgnfca calcular a volaldade mplíca de opções não negocadas. Aplcaremos a meodologa de esmador de Kernel, aplcada por dversos auores (AÏT- SAHALIA; LO, 2000, CONT; FONSECA, 2002, FENGLER; WANG, 2003) para nerpolação das volaldades mplícas observadas em um da de negóco. Traa-se de um méodo não paramérco de nerpolação que faz uma méda ponderada dos ponos observados em função da dsânca nas dmensões de moneyness e maurdade. L m m, ( ) τ τ mp, σ m,, τ, g g = ( ) h m h mp τ σˆ = m,τ (2.3) L m m, τ τ, g g = h m h τ Com: m = coordenada de moneyness (srke / valor do avo) do pono a ser nerpolado τ = coordenada de maurdade do pono a ser nerpolado ( m, τ)= volaldade mplíca esmada pela nerpolação no empo nas σˆ mp coordenadas {m,τ} L = quandade de opções observadas no da mp σ m, τ ) = volaldade mplíca da -ésma opção observada no da. (,, m, = moneyness da -ésma opção observada no da τ, = maurdade da -ésma opção observada no da h m = ajuse de escala da dmensão moneyness

6 h τ = ajuse de escala da dmensão maurdade g(.) = função peso (função Kernel), em nosso caso, ulzamos a função gaussana: g(u)=(2π)-0.5exp(-u2/2), como em Con e Fonseca (2002). Dado que rabalharemos no domíno dscreo, remos nerpolar a volaldade mplíca apenas para algumas coordenadas de moneyness e maurdades específcas, sobre as quas se dará a sequênca do esudo e assm resolvemos o problema das opções negocadas em das consecuvos não possuírem as mesmas coordenadas de moneyness e maurdade. Teremos, porano, um conjuno de coordenadas de moneyness e um conjuno de coordenadas de maurdade, mas de modo a smplfcar a referênca a eses ponos, remos alnhar esas coordenadas em um únco veor, σˆ mp, com M ponos. 2.3 Meodologa da Análse de Componenes Prncpas Consdere B uma varável aleaóra com dmensão M de momeno cenrado zero, ou seja, de esperança nula. É possível decompor B do segune modo: B = Q /2 U (2.4) A varável aleaóra U ambém possu dmensão M e Q é a marz de covarânca de B, quadrada posva defnda, sobre a qual faremos a decomposção em auovalores e auoveores: Q = L D L (2.5) A marz L é composa pelos auoveores de Q ={v,...v M } e D a marz dagonal com os respecvos auovalores = {λ,...,λ M }. Os auoveores v são oronormas e compõe uma base para o R N. Assm, Q e B podem ser represenados do segune modo: Onde Q z M M M = /2 v v ' B = λ v v ' U = = = = λ z v (2.6) /2 = λ v ' U é uma varável aleaóra, projeção de B em v. Algumas propredades mporanes das varáves z : possuem méda nula, varânca λ e sua covarânca é nula. O próxmo passo na meodologa é aproxmar o processo B por um processo B ~ ( N), represenação de B em uma base de dmensão reduzda (dmensão N). Devemos mnmzar a B ~ N em relação à B. Para dmensão N, com a resrção de um R-quadrado mínmo, dado, de ( ) sso, B ~ ( N) deve coner os auoveores com maores auovalores em quandade sufcene para garanr ese R-quadrado dado Decomposção da varação dára da superfíce

7 Sobre os valores obdos com a com a superfíce de volaldade consruída ao longo de T das, remos ulzar o méodo de análse de componenes prncpas. Num da, observamos a varação da superfíce de volaldade mplíca nos M ponos nerpolados, dados pelo veor mp coluna σˆ : σ mp = σˆ + σˆ (2.7) mp mp mp Vamos chamar de σ a varável aleaóra que represena ese processo observado de varação da superfíce de volaldade. A parr desa varável, cramos oura varável aleaóra de dmensão M e méda nula, sobre a qual aplcaremos a meodologa de componenes prncpas já apresenada: mp mp B = σ E σ (2.8) ( ) Chamaremos de β a marz de dmensões M x (T-), conendo as T- realzações observadas da varável aleaóra B, M-dmensonal. A marz de covarânca Q é esmada a parr de β: Q = cov(b) = β β /(( T -) ) (2.9) Com: Q = marz de covarânca de B (varação cenrada da superfíce de volaldade) β = marz M x (T-) com as realzações de B Em seguda, são obdos os auoveores e auovalores de Q ({v,...v M } e {λ,...,λ M } respecvamene). As T- realzações de z, projeção de B em v, serão represenadas pelas varáves ζ (zea), obdas do segune modo: ζ = v ' β (2.0) Porano, a varação cenrada da superfíce de volaldade em um da qualquer pode ser represenada como: N ~ β N = ζ v (2.) ( ) ( ) = Com: ~ β ( N) = veor M-dmensonal represenando a varação cenrada da superfíce de volaldade mplíca ζ ()= realzação da varável z no nsane v = -ésmo auoveor de B A parr de B ~ ( N), represenação N-dmensonal da varação cenrada da superfíce de volaldade mplíca, remos calcular qual a relação dese processo com a varação do valor do avo objeo.

8 2.5 - Análse da correlação enre as varações da superfíce de volaldade e as varações do valor do avo objeo: Iremos agora esudar se há correlação enre os movmenos da superfíce e a varação do avo objeo, o dólar spo. Dado o espaço de probabldades padrão (Ω,F,P), a cada da eremos uma realzação ω da varação da superfíce de volaldade mplíca que, pela meodologa exposa na seção B ~ N. Também eremos, a cada aneror, é represenada pela varável aleaóra N-dmensonal ( ) da, uma realzação da varação do dólar spo, S. Para verfcar a correlação enre as varáves, ambém rabalharemos com a varação cenrada do dólar spo: S c = S - S (2.2) Sendo: S = varável aleaóra da varação dára do dólar spo S = esperança da varação do dólar spo, esmada pela méda das observações Nossa análse será a norma da covarânca de S c com B ~ ( N), represenação da varação (cenrada) da superfíce segundo a base N-dmensonal {v,...v N }. A fórmula ulzada é: Com: var cov( B ~, Sc ) ( B ~ ) var( S ) c = N N = = λ E ( z S ) var c ( S ) c (2.3) z = varável aleaóra obda pela projeção de B no veor v λ = auovalor referene ao veor v,-ésmo auoveor de Q (Q=cov(B)) Ese é um índce que vara de 0 à, ndcando qual a relação lnear enre B ~ e S c e seu sendo. Se obvermos um índce próxmo a, sso sgnfca que as duas varáves são correlaconadas. Inversamene, caso o índce esver próxmo a 0, podemos conclur que as varáves são descorrelaconadas. Os esmadores ulzados são: R E( z Sc ) = Sc ζ /(( T -) ) (2.4) R R var( Sc) = S S /(( T -) ) (2.5) Com: c c ζ = veor-coluna com as T- realzações da varável z S = veor-coluna com as T- realzações da varável aleaóra S c R c

9 3 Dados ulzados e resulados obdos Apresenamos agora a aplcação práca da eora descra anerormene, sobre o mercado braslero, mas especfcamene a BM&F, de opções dólar/real. 3. Dados e Parâmeros Ulzados Em nosso esudo, analsamos as opções de dólar/real negocadas na BM&F desde o da 0/fev/2007 aé o da 06/jan/2009, que represenam 485 das de negócos. Em méda, para cada da, observam-se 23 opções negocadas, mas após descararmos as opções cujas volaldades mplícas fossem abaxo de zero, com maurdades menores que 5 das e com preço abaxo do lme mínmo eórco de uma opção, fcamos com uma méda de 6 opções em cada da. Na nerpolação, ulzamos a função peso gaussana com parâmeros h m = 0.00 e h τ = 20 das. Eses parâmeros são os que, emprcamene, resularam em nerpolações mas adequadas. As coordenadas onde faremos as nerpolações cobrem, equdsanemene, as coordenadas com mas negócos realzados. Traam-se de maurdades aé 80 das e moneyness ao redor de. Assm, defnmos: Coordenadas de Moneyness = {0,84 ; 0,86 ; 0,88 ;... ;,2 ;,4 ;,6}, Lm =7 Coordenadas de Maurdade (das) = { 5; 45; 75; 05; 45}, Lτ =5 gerando um oal de 7x5 = 85 ponos de nerpolação (M=85). 3.2 Dados Obdos Após o cálculo das volaldades mplícas e de sua nerpolação, prossegumos com a análse de componenes prncpas. Ulzando os cnco prmeros auoveores como base para represenar o processo de varação da superfíce de volaldade chegamos a um R-quadrado de 75%. Assm, reduzmos o processo de 85 dmensões, ou 85 ponos dscreos, para apenas 5 (N=5). Eses auoveores represenando-os nas suas coordenadas de moneyness e maurdade são apresenados a segur:

10 º auoveor 2º auoveor 3º auoveor 4º auoveor 5º auoveor Os parâmeros z, projeções de B (varação cenrada da superfíce de volaldade) nos auoveores v, que na meodologa represenamos por ζ, possuem a segune marz de covarânca dos parâmeros z : 0,0933-0,0000-0,0000 0,0000-0,0000-0,0000 0,0360 0,0000-0,0000 0,0000-0,0000 0,0000 0,027-0,0000-0,0000 0,0000-0,0000-0,0000 0,0200-0,0000-0,0000 0,0000-0,0000-0,0000 0,072

11 Conforme esperado de acordo com a meodologa de análse de componenes prncpas, os parâmeros apresenam varânca decrescene e não são correlaconados. 3.3 Resulados Cumprndo com o objevo de nosso rabalho, esmamos o índce de covarânca normalzado enre as varações da superfíce de volaldade mplíca das opções de dólar e as varações do valor do dólar spo e obvemos o valor de 0,3358. Se o índce esvesse próxmo a, seu valor máxmo, concluríamos que há grande correlação lnear enre as varações da superfíce de volaldade e as varações do avo objeo. Um índce próxmo à zero nos levara a conclur que as varáves são descorrelaconadas. O valor obdo ndca que há uma correlação lnear não muo fore enre as varações da superfíces de volaldade de dólar e as varações do avo objeo (dólar spo). 4 - Conclusão Observando as opções européas de dólar negocadas na BM&F por mas de um ano, pudemos calcular suas volaldades mplícas e em seguda monar/nerpolar uma superfíce de volaldade dscrea, baseada nas dversas opções de dólar/real negocadas, com srkes e maurdades dferenes. O processo de varação dára dos ponos calculados desa superfíce de volaldade fo reproduzdo va análse de componenes prncpas, smplfcando sua análse esaísca ao reduzr a dmensão do processo em varáves orogonas. A parr desa análse, algumas conclusões neressanes, já obdas em ouros esudos, porém em ouros mercados, puderam ser alcançadas. A decomposção da varação da volaldade mplíca em 5 auoveores preservando 75% da varânca orgnal dese processo é um resulado mporane de nosso rabalho. A parr dele conclu-se que, em uma carera com dversas opções cambas, a volaldade mplíca deve ser represenada por 5 faores de rsco dferenes e não por um únco faor. Como resulado mas mporane, é possível conclur, analsando os resulados obdos, que no mercado de opções européas de dólar negocadas na BM&F as varações dáras de sua superfíce de volaldade possuem uma fraca correlação com as varações do dólar spo, o avo objeo em quesão. A covarânca normalzada, índce que pode varar de 0 e, enre as componenes que represenam a varação da superfíce de volaldade e a varação do valor do dólar spo fo de 0,34. Assm, podemos conclur que a volaldade mplíca desas opções

12 deve ser raada como um faor de rsco à pare, muo embora suas varações esejam correlaconadas com a varação do valor do avo objeo de modo sgnfcavo. Ese resulado esá em lnha com a apresenado em ouros mercados, como o índce de ações S&P500, esudado por Con; Fonseca (2002) e Skadopoulos, Hodges, Clewlow (2000) e com o FTSE000. Uma comparação mas drea dos resulados não é possível, pos as meodologas para apuração desa correlação são dferenes nos 3 rabalhos. Referênca Bblográfca AÏT-SAHALIA, Y.; LO, A. Nonparamerc esmaon of sae-prce denses mplc n fnancal asse prces. J. Fnance, v. 53, p , AVELLANEDA, M.;FRIEDMAN, C.; HOLMEs, R. ; SAMPERI, D. Calbrang volaly surfaces va relave-enropy mnmzaon. Appled Mahemacal Fnance, v. 4, p.37-64, 997. BATES, D. Emprcal Opon Prcng: A Rerospecon. Journal of Economercs, v. 6, p , 2003 BLACK, F. The prcng of commody conracs. Journal of Fnancal Economcs, v. 3, p67-79, BLACK, F.; SCHOLES, M. The prcng of opons and corporae lables. J. Polcal Economy, v. 8, p , 973 CARR, P.; MADAN, D. A noe on suffcen condons for no arbrage. Fnance Research Leers, v. 2, p.25 30, 2005 CONT, R.; FONSECA, J.;DURRLEMAN, V. Sochasc models of mpled volaly surfaces. Economc Noes, v. 3(2), p , 2002 CONT, R.; FONSECA, J. Dynamcs of mpled volaly surfaces. Quanave Fnance, v. 2(), p.45-60, COX, J. C. ; ROSS, S. A. ; RUBINSTEIN, M. Opon Prcng: A Smplfed Approach. Journal of Fnancal Economcs, v. 7, p , 979. DERMAN, E. Regmes of volaly. Rsk, v. 2(4), p.55-59, 999 DERMAN, E.; KANI, I., The volaly smle and s mpled ree. Quanave Sraeges Research Noes, Goldman Sachs,994 DUPIRE, B. Prcng wh a smle, Rsk, v. 7. p.8 20, 993

13 FAHRMEIR, L.; KNORR-HELD, L. Dynamc and semparamerc models. Smoohng and Regresson: Approaches, Compuaon and Applcaon (Eded by M. Schmek). Wley, New York, 2000 FENGLER, M.; WANG, Q. Fng he smle revsed: A leas squares kernel esmaor for he mpled volaly surface. SFB 373 Dscusson Paper 25, Humbold-Unversä, Berln, 2003 FOUQUE, J.-P.; G. PAPANICOLAOU, G.; SIRCAR, R.; SOLNA, K. Tmng The Smle. Wlmo Magzne, March 2004 GUIMARÃES, B. V.; SILVA, M. E. A Possbldade de Salos no Câmbo Implíca nos Prêmos das Opções. Revsa Braslera de Economa, v. 56(3), p , 2002 HE, X.; NG, P. COBS: Qualavely Consraned Smoohng va Lnear Programmng. Dscusson Paper, Unversy of Illnos, 999 JACKWERTH, J.C. Opon-Impled Rsk-Neural Dsrbuons and Impled Bnomal Trees: A Leraure Revew, Journal of Dervaves, v. 6, p.-7, 999 LAURINI, M. Imposng No-Arbrage Condons In Impled Volaly Surfaces Usng Consraned Smoohng Splnes. IBMEC Workng Paper, WPE 4, 2007 MERTON, R.C. Theory of raonal opon prcng. Bell Journal of Economcs and Managemen Scence, v. 4, p.4-83, 973 MEUCCI, A. Rsk and Asse Allocaon. Sprnger, RUBINSTEIN, M. Impled bnomal rees, J. Fnance, v. 49, p.77 88, 994 SKIADOPOULOS, G.; HODGES, S.; CLELOW, L. Dynamcs of he S&P500 mpled volaly surface, Rev. Dervaves Res., v. 3, p , 2000