A estrutura a termo de taxas de juros no Brasil: modelos, estimação, interpolação, extrapolação e testes

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1 A esruura a ermo de axas de juros no Brasl: modelos, esmação, nerpolação, exrapolação e eses Sergo Lus Frankln Jr. Thago Baraa Duare César da Rocha Neves + Eduardo Fraga L. de Melo ++ M.Sc., SUSEP/CGSOA e PUC-Ro; e-mal: sergo.frankln@susep.gov.br SUSEP/CGSOA; e-mal: hago.duare@susep.gov.br + M.Sc., SUSEP/CGSOA e UERJ; e-mal: cesar.neves@susep.gov.br ++ D.Sc., SUSEP/CGSOA e UERJ - e-mal: eduardo.melo@susep.gov.br Resumo Nese argo, propomos uma meodologa para a consrução da esruura a ermo de axas de juros lvres de rsco (ETTJ) no Brasl, usando o modelo de Svensson para nerpolação e exrapolação das curvas de juros, e o uso de algormos genécos, em complemeno aos algormos radconas de omzação não-lnear, para a esmação dos parâmeros do modelo. O objevo é conrbur para que o mercado segurador braslero mensure suas obrgações, desconando seus fluxos de caxa, de manera conssene e coerene, consderando a adoção, pela Supernendênca de Seguros Prvados (SUSEP), de padrões nernaconas de supervsão de solvênca e de repore fnancero. Ao fnal do argo, apresenamos os resulados enconrados na modelagem da ETTJ lvre de rsco para a curva de juros de cupom de IPCA e para as curvas de axas pré, cupom de IGPM, cupom cambal e cupom de TR. Palavras-chave: esruura a ermo, nerpolação, exrapolação, axas à vsa, axas a ermo, mercado segurador, algormo genéco, Nelson e Segel, Svensson.

2 . Inrodução O mercado segurador braslero, prncpalmene o mercado de prevdênca e de seguros de sobrevvênca, pelas caraceríscas dos produos oferados, em compromssos de longo prazo com os seus segurados, parcpanes e asssdos. A regulação do seor, por sua vez, esabelece que as seguradoras, resseguradores locas e endades de prevdênca complemenar abera (EAPC) devem regsrar esses compromssos fuuros razendo-os a valores presenes. Em função da convergênca a padrões nernaconas de supervsão de solvênca e de repore fnancero, em execução pela Supernendênca de Seguros Prvados (SUSEP), e a recene publcação da Crcular SUSEP 4, de de dezembro de (Susep, ), as seguradoras, resseguradores locas e EAPCs devem esar a adequação de seus passvos, e, para sso, precsam realzar esmavas correnes dos valores desconados dos seus fluxos de caxa, consderando premssas auas, realsas e não endencosas, para cada varável envolvda. Um dos elemenos mas relevanes para o cálculo da adequação de passvos é a esmação da esruura a ermo de axa de juros (ETTJ) lvre de rscos, obda a parr de nsrumenos fnanceros consderados senos de rsco de crédo dsponíves no mercado braslero. Os créros de nerpolação e exrapolação usados para dervar a ETTJ lvre de rsco devem ser fundamenados ecncamene ou baseados em prácas amplamene adoadas pelo mercado fnancero. Em função desa demanda, apresenamos, nese argo, um méodo de nerpolação e exrapolação da ETTJ lvre de rsco para descono dos compromssos fuuros do mercado segurador braslero. Adconalmene, o méodo poderá ser ulzado para cálculo dos capas adconas baseados nos rscos de mercado e de subscrção de seguros de vda e prevdênca. A esruura a ermo de axas de juros (ETTJ) é um conceo cenral da eora fnancera e econômca usado para precfcar qualquer conjuno de fluxos de caxa (Fabozz, 993; Ray, 993; Allen e Klensen, 99). Ela é represenada por um conjuno de ponos no espaço axa de juros versus prazo, onde cada pono (, r( )) corresponde a uma axa de juros r (), assocada a um prazo (ou maurdade), axa essa obda com base em algum íulo negocado no mercado 3. A axa de juros à vsa (spo) assocada a uma dada maurdade pode ser nerpreada como o reorno de um íulo de renda fxa de cupom zero com vencmeno em. As axas a ermo (forward) são as axas de juros mplícas pelas axas à vsa para períodos de empo no fuuro. Enende-se por mercado segurador braslero, para efeo dese argo, o mercado de seguros, resseguro e prevdênca complemenar. Pelo Conselho Naconal de Seguros Prvados (CNSP) e pela Supernendênca de Seguros Prvados (SUSEP). 3 Normalmene, um íulo de renda fxa ou dervavo de axas de juros.

3 A relação enre as duas pode ser lusrada pelas fórmulas abaxo, a prmera usada para axas composas anualmene, e a segunda usada para axas composas connuamene: T T, T ) ( FRk ()) k ( R () T k e FRck () T. y ( T ) e () Onde: R T, é a axa à vsa anual composa anualmene em para o período enre e +T y (T ) é a axa à vsa anual composa connuamene (c.c.) em para o prazo T FR () é a axa a ermo anual em para o período enre +k e +k+ k FRc () é a axa a ermo anual c.c. em para o período enre os anos +k e +k+ k T ( ) é o prazo de maurdade (meddo em anos) é a daa de avalação da ETTJ (daa de pregão) Pode-se converer axa conínua para axa dscrea aplcando as equações: y ( R, T T) ln( ) (3) FRc () ln{ FR ()} (4) k k A ETTJ pode ser descra por uma curva de descono P ( ), uma curva de axas a ermo f ( ) ou uma curva de axas à vsa y ( ), odas relaconadas enre s, de al forma que, obendo-se uma delas, chega-se faclmene às ouras. As equações abaxo mosram como as funções descono e axas de juros a ermo e à vsa, em empo conínuo, se relaconam enre s, e como se pode, a parr de uma delas, ober odas as ouras 4. P ( ) exp{. y ( )} exp{ f ( u) du} (5) f ( ). P( ) y ( ). y ( ) (6) P ( ) y ( ). f ( u) du.ln P ( ) (7) 4 Apesar de na práca ser mas comum o uso de axas dscreas, a álgebra envolvendo equações maemácas fca mas fácl quando se rabalha com axas nsanâneas e composas connuamene. 3

4 Onde: P ( ) é o valor presene no nsane de R$ recebível em f ( ) é a axa a ermo (nsanânea) em para o prazo y ( ) é a axa à vsa (composa connuamene) em para o prazo A ETTJ lvre de rscos, ambém denomnada curva base 5, deve ser consruída a parr de dados de mercado de íulos consderados senos de rscos de crédo e lqudez 6. Ao longo do empo, a curva base pode osclar de dferenes formas, em decorrênca de choques dferencados sobre as axas de juros assocadas a cada vencmeno. É a varabldade emporal da ETTJ que submee os nsrumenos de renda fxa ao rsco de mercado 7. Nese argo, nós apresenamos um méodo para a consrução da ETTJ lvre de rscos (no Brasl) para a axa de juros pré-fxada (curva de axas pré ) e para as axas de cupom cambal, cupom de IPCA, cupom de IGPM e cupom de TR. Para a esmação dos parâmeros foram usados um algormo radconal de omzação não-lnear 8 e um algormo genéco especalmene desenvolvdo para esa fnaldade. Noamos que o uso do algormo genéco perme reduzr o rsco de falsa convergênca 9 e gera séres emporas mas esáves para os parâmeros do modelo. O argo propõe o uso do modelo de Svensson (Svensson, 994) para a nerpolação e exrapolação (denro de deermnada faxa de prazos) das ETTJ lvre de rscos, e o uso de algormos genécos, em complemeno aos algormos radconas de omzação nãolnear, para a esmação dos parâmeros do modelo. O resane dese rabalho esá organzado da segune forma. A próxma seção descreve as bases de dados ulzadas para a consrução das curvas de juros. A seção 3 descreve os modelos de esruura a ermo proposos por Nelson e Segel (987) e Svensson (994). A seção 4 descreve os méodos de omzação não-lnear usados para a esmação dos parâmeros da ETTJ. A seção 5 compara os resulados obdos com cada méodo de esmação, para a curva de cupom de IPCA, e apresena a esmação dessa curva. A úlma seção conclu o rabalho. No anexo, esão mosrados os resulados da esmação para as demas curvas de juros. 5 Pos exprme as axas de juros mínmas para cada possível vencmeno; os nsrumenos fnanceros lvres de rsco sujeam seus deenores apenas ao rsco de mercado. 6 Os nsrumenos de renda fxa, em geral, sujeam os seus deenores a rês pos de rsco fnancero: rsco de mercado, rsco de crédo e rsco de lqudez. 7 Nese conexo, o rsco de mercado ncde somene sobre nvesmenos que êm horzones de carregameno dferenes dos prazos dos íulos adqurdos. 8 Méodo de omzação não-lnear Quas-Newon. 9 O rsco do algormo de omzação alcançar um pono de mínmo (erro quadráco) local, e não o pono de mínmo global. 4

5 . Bases de dados A escolha das bases de dados para a consrução da ETTJ lvre de rscos passa necessaramene pela escolha dos nsrumenos fnanceros de mercado consderados senos de rscos de crédo e lqudez. Para sso, a leraura nernaconal sugere o uso de coações de mercado para os íulos de renda fxa emdos pelo governo, eorcamene o emssor de menor rsco de crédo da economa em razão de sua capacdade de rbuar e/ou emr moeda para pagar seus débos. No mercado braslero, caracerzado pela escassez de nsrumenos de renda fxa prefxada e pela baxa lqudez do mercado secundáro, uma melhor represenação da ETTJ lvre de rscos em reas pode ser consruída com base nas axas mplícas de nsrumenos fnanceros dervavos. Em momenos de nsabldade econômca, as curvas de juros esmadas com base em íulos públcos federas e as esmadas com base em nsrumenos fnanceros dervavos podem dferr. No enano, em períodos de esabldade econômca, observa-se que as duas curvas êm pracamene concddo (Frale, 4). Com o aumeno no número de negócos (e lqudez) no mercado secundáro de íulos públcos federas, que vem ocorrendo desde enão, as duas curvas de juros devem se gualar. O período de esudo dese rabalho va do mês de janero de 6 aé dezembro de. A escolha da base de dados aproprada para cada curva de juros consdera o nsrumeno fnancero lvre de rscos de maor lqudez no mercado, o número de vérces proporconados por cada nsrumeno e o prazo do úlmo pono líqudo de cada curva de juros. Não fo consderada a dferença de rbuação ncdene sobre o ganho de capal e juros, nem sobre íulos com dferenes prazos de maurdade. Desa forma, para a curva de juros de cupom de IPCA foram usados dados de mercado para as Noas do Tesouro Naconal Sére B (NTN-B), e para as curvas de axas pré, cupom cambal, cupom de IGPM e cupom de TR foram usados dados/nformações de mercado para nsrumenos fnanceros dervavos. Em ambos os casos, os dados de mercado foram coleados para o úlmo da úl de cada mês, enre janero de 6 aé dezembro de.. Base de dados para a curva de cupom de IPCA O nvesmeno em íulos públcos federas exge o compromemeno de recursos líqudos pelo prazo nero da aplcação. Já o nvesmeno em dervavos envolve apenas a conraação de axas, sem roca neremporal de caxa, e apresena um menor rsco de lqudez (assocado à ncereza do nvesdor quano à própra necessdade de recursos líqudos ao longo do empo). Essas dferenças de rbuação são dfíces de serem soladas da amosra e não êm mpaco sgnfcavo na ETTJ esmada. 5

6 A base de dados para a curva de cupom IPCA é formada pelos preços unáros das Noas do Tesouro Naconal Sére B (NTN-B), calculados pela Assocação Braslera das Endades dos Mercados Fnancero e de Capas (Anbma), segundo meodologa própra, levando em cona não apenas as negocações realzadas enre os parcpanes do mercado, mas ambém dados e nformações envados daramene por uma amosra seleconada de nformanes/ parcpanes do mercado 3. Foram consderadas odas as Noas do Tesouro Naconal Sére B (NTN-B) que veram seus preços/axas calculados pela Anbma. As NTN-B são íulos pós-fxados que êm o seu valor nomnal aualzado mensalmene, desde a daa-base, pela varação do IPCA. Esses íulos pagam juros de cupom a cada semesre e resgaam o prncpal na daa de vencmeno. O mercado dvulga a renabldade desses íulos, na forma de axa efeva anual, base 5 das úes. Com base nessa axa, o preço (observado) de cada íulo (em ) é calculado de acordo com a segune relação 4 : P k NTN B,. j, j 5 ( R, ) j F j, (8) Onde: P NTN B, é o preço observado (calculado) da NTN-B de índce k F j, é o número de pagamenos dessa NTN-B (nclu cupom e prncpal) é o j-ésmo pagameno dessa NTN-B j, é o prazo (em das úes) em que ocorre o j-ésmo pagameno dessa NTN-B R, é a axa efeva anual, base 5 das úes, em para o período enre e + j, j. Base de dados para a curva de axas pré A base de dados para a curva de axas pré é formada pelas axas referencas DI x PRÉ da BM&F 5, calculadas com base nas coações de ajuse dos conraos fuuro DI de um da. Foram Dealhes da meodologa da Andma podem ser enconrados no se hp:// 3 Esses dados são prevamene submedos a uma sére de flros, elaborados pela Anbma, com o objevo de elmnar erros e dsorções nos dados (erros de dgação, formao da axa, horáro na geração dos dados e/ou enava de manpulação das axas). 4 Essa equação pode ser faclmene deduzda aplcando-se a função de descono (equação (5)) converda para a forma dscrea (equação (3)) para cada fluxo de caxa do íulo. 5 Maores nformações sobre as axas referencas BM&F podem ser enconradas no se hp:// 6

7 consderadas as axas referencas BM&F geradas para odos os prazos onde há vencmeno de conrao fuuro de DI, aé o úlmo vencmeno com mas de 5 conraos realzados 6. No mercado fuuro de DI de um da da BM&F é negocada a axa de juros efeva anual, base 5 das úes, aé o vencmeno do conrao, defnda pela acumulação das axas dáras de DI no período compreenddo enre a daa de negocação e o úlmo da de negocação do conrao 7. Os preços de ajuse dáro são apurados no call elerônco de fechameno, quando odos os negócos realzados no call para o mesmo vencmeno são fechados por um únco preço (fxng). Se não houver negócos no call, mas houver regsro de oferas, as mesmas serão aceas, para efeo de apuração do preço de ajuse, se e somene se o empo de exposção da ofera for maor ou gual a 3 segundos e a quandade oferada for maor ou gual a conraos. Se não houver negocação e nem oferas no call de fechameno, os preços de ajuse são arbrados pela BM&F usando modelos e meodologas por ela defndos 8..3 Base de dados para a curva de cupom cambal A base de dados para a curva de cupom cambal é formada pelas axas referencas cupom lmpo da BM&F 9, calculadas com base nas coações de ajuse dos FRA de cupom cambal (FRC). Foram consderadas as axas referencas BM&F geradas para odos os prazos onde há vencmeno de conrao fuuro de cupom cambal, aé o úlmo vencmeno com mas de conraos realzados. O FRC é uma operação esruurada que negoca conjunamene dos vencmenos de conrao fuuro de cupom cambal (DDI) dsnos: vencmeno base com naureza nversa ao do FRC e vencmeno mas longo de mesma naureza e vencmeno do FRC, garanndo o cupom cambal a ermo. A negocação do FRC garane uma operação de cupom lmpo, sem o efeo da defasagem de um da da PTAX usada na lqudação dos conraos fuuros de cupom cambal. 6 Para evar erros com a nrodução de nformação dsorcda, foram elmnados, em cada da, os vencmenos pouco líqudos, defndos como aqueles com volume negocado nferor a 5 conraos (Lee e al, 9). 7 Taxa DI é a axa méda de depósos nerfnanceros de um da calculada pela Cenral de Cusóda e de Lqudação Fnancera de Tíulos (Cep). 8 Para maores dealhes sobre a meodologa de apuração dos preços de ajuse da BM&F, acesse o se hp:// 9 Maores nformações sobre as axas referencas BM&F podem ser enconradas no se hp:// Forward rae agreemen PTAX é uma axa de câmbo, calculada ao fnal de cada da pelo Banco Cenral do Brasl, que consse na axa méda de odos os negócos com dólares realzados naquela daa no mercado nerbancáro de câmbo. Normalmene, os conraos de dervavos de câmbo são lqudados com base na PTAX dvulgada para o da úl aneror. 7

8 No FRA de cupom cambal da BM&F é negocada a axa de juros lnear a ermo, expressa ao ano com 36 das corrdos. Os preços de ajuse dáro são apurados no call elerônco de fechameno, quando odos os negócos realzados no call para o mesmo vencmeno são fechados por um únco preço (fxng). Se não houver negócos no call, mas houver regsro de oferas, as mesmas serão aceas, para efeo de apuração do preço de ajuse, se e somene se o empo de exposção da ofera for maor ou gual a 3 segundos e a quandade oferada for maor ou gual a conraos. Se não houver negocação e nem oferas no call de fechameno, os preços de ajuse são arbrados pela BM&F usando modelos e meodologas por ela defndos..4 Base de dados para a curva de cupom de IGPM A base de dados para a curva de cupom de IGPM é formada pelas axas referencas DI x IGPM da BM&F 3, calculadas aravés de nformações coleadas de parcpanes do mercado sobre os calls de swap do da. Foram consderadas as axas referencas BM&F geradas para odos os prazos onde há vencmeno de conrao fuuro de cupom de IGP-M. O cupom de IGP-M é a axa de juros efeva anual, base 5 das úes, obda a parr do cálculo da dferença enre a acumulação da axa de DI no período compreenddo enre a daa da operação, nclusve, e a daa de vencmeno, exclusve, e a varação do IGP-M no período compreenddo enre a daa da operação, nclusve, e a daa de vencmeno, exclusve..5 Base de dados para a curva de cupom de TR A base de dados para a curva de cupom de TR é formada pelas axas referencas DI x TR da BM&F 4, calculadas aravés de nformações coleadas de parcpanes do mercado sobre os calls de swap do da. O cupom de TR é a axa de juros efeva anual, base 5 das úes, obda a parr do cálculo da dferença enre a acumulação da axa de DI no período compreenddo enre a daa da operação, nclusve, e a daa de vencmeno, exclusve, e a varação do TR no período compreenddo enre a daa da operação, nclusve, e a daa de vencmeno, exclusve. 3. Modelos de esmação da esruura a ermo de axas de juros Para maores dealhes sobre a meodologa de apuração dos preços de ajuse da BM&F, acesse o se hp:// 3 Maores nformações sobre as axas referencas BM&F podem ser enconradas no se hp:// 4 Maores nformações sobre as axas referencas BM&F podem ser enconradas no se hp:// 8

9 A ETTJ não é dreamene observável na práca e precsa ser esmada a parr de coações de mercado para íulos de renda fxa ou nsrumenos fnanceros dervavos, dsponíves para um número fno de vencmenos (os dados/ponos observados da curva ). A parr dese conjuno dscreo de dados, pode-se consrur uma curva/função conínua que aproxmadamene se "encaxe" nos dados observados, usando écncas de nerpolação, e esmar o valor da curva/função em ponos fora da zona conhecda, usando écncas de exrapolação. O procedmeno mas comum para esmação da esruura a ermo é mpor, em um prmero momeno, uma forma funconal com K parâmeros para a função descono P ( ), para a axa à vsa y ( ) ou para a axa a ermo f ( ). As formas funconas podem ser polnômos (Chambers, Carleon e Waldman, 984), splnes (McCulloch, 975; Lzenberger e Rolfo, 984; Fsher, Nychka e Zervos, 995), funções exponencas 5 (Nelson e Segel, 987; Svensson, 994), ou uma combnação desas ou ouras funções 6 (Smh, A. e Wlson, T., ; Barre e Hbber, 8). Em um segundo momeno, os K parâmeros são esmados (mnmzando a soma dos quadrados da dferença enre os dados esmados e observados da curva) ou deermnados (monando um ssema de K equações a parr do qual os K parâmeros são calculados). Os méodos mas proemnenes e amplamene usados por dversos bancos cenras são os proposos por Nelson e Segel (987) e Svensson (994). 3. O modelo proposo por Nelson e Segel (987) O modelo de Nelson e Segel esabelece uma forma funconal de quaro parâmeros que procura aproxmar a curva de axas a ermo por uma soma de funções exponencas. É um modelo paramercamene parcmonoso capaz de gerar esruuras a ermo com formaos muo semelhanes aos observados no mercado fnancero (curvas monooncamene crescenes, decrescenes e com corcovas). As axas a ermo f ( ) dese modelo são dadas pela equação: f ( )..,,. e,... e (9) 5 Svensson mpõe uma forma paramérca com 6 parâmeros, Nelson-Segel mpõe uma com 4 parâmeros. 6 Smh-Wlson usa a soma de um ermo exponencal para o comporameno assnóco de longo prazo da função descono e uma combnação lnear de N funções kernel (sendo N o número de dados/ponos observados na pare líquda da curva de juros); Barre-Hbber usa cubc splnes para a pare líquda da curva de juros e Nelson-Segel para a pare exrapolada. 9

10 As axas à vsa y ( ) podem ser calculadas, a parr das equações (7) e (9):.. e e. y ( ),,.( ),.( e ) (). O parâmero mede a velocdade de decameno da ETTJ: pequenos valores de produzem um decameno suave e, por sso, um melhor ajuse da curva para prazos mas longos da esruura a ermo; grandes valores de produzem um decameno mas rápdo e um melhor ajuse para os prazos mas curos. O parâmero ambém deermna o prazo quando a carga em, ange o valor máxmo. Os parâmeros,,,,, podem ser nerpreados como faores dnâmcos laenes de longo, curo e médo prazo, respecvamene, da curva de axas a ermo, e os ermos que mulplcam eses faores são chamados de cargas de faores: () A carga que mulplca o parâmero, é gual a um, uma consane, e não deca a zero com o aumeno do prazo de maurdade;, pode ser vso como um faor de longo prazo. () A carga que mulplca o faor, é uma função que começa em um e deca monooncamene e rapdamene a zero com o aumeno do prazo de maurdade; pode ser vso como um faor de curo prazo: se, no curo prazo; se a curva é decrescene.,,, a curva é crescene () A carga que mulplca o faor, é uma função que começa em zero (e, porano, não é de curo prazo), assume valores posvos no médo prazo, e deca a zero quando o prazo de maurdade ende ao nfno (e, porano, não é de longo prazo); pode ser vso como um faor de médo prazo: se,,, a curva em uma corcova para baxo (formao de U ); se, a curva em uma corcova para cma (formao de U nverdo)., A fgura abaxo lusra as cargas de faores e perme observar que, com uma escolha aproprada dos parâmeros do modelo, pode-se gerar uma varedade de curvas de axas a ermo com formas monoôncas e arqueadas. Os rês parâmeros,,,,, podem ser nerpreados como faores de nível, nclnação e curvaura, respecvamene (Debold e L, 6).

11 Curvas modelos curo prazo m ( e ) longo prazo médo prazo m ( m. e ) Maurdade Fgura : Componenes da curva de axas a ermo (Nelson e Segel, 987) As axas à vsa de curo e longo prazo podem ser obdas omando-se o lme da equação () quando o prazo ende a zero ou nfno, respecvamene: lm y ( ), deermnada pelos parâmeros lm y ( ),,. A forma com que ocorre a ransção enre as axas de curo e longo prazo é, e. e Para que a função y ( ) faça sendo econômco, o parâmero deve ser maor que zero. Além dsso, para as curvas de axas pré e cupom de IPCA, os parâmeros do modelo de Nelson e Segel devem anda sasfazer as segunes resrções 7 :,,, 3. O modelo proposo por Svensson (994) O modelo proposo por Svensson esende o modelo de Nelson e Segel com a adção de um novo ermo exponencal à curva de axas a ermo, conendo dos parâmeros adconas (, ;, ), permndo que se forme uma segunda corcova na forma da curva de juros 8 : 3, e 7 As axas de juros nomnas da economa são necessaramene posvas, e para um período de esabldade econômca, como o período de esudo dese rabalho, as axas de cupom de nflação (IPCA) devem ser ambém posvas.

12 ...,,, ( ) f e e e (),,,, 3,, As axas à vsa y ( ) podem ser calculadas a parr das equações (7) e ():...,,, e e,. e,. y ( ),,.( ),.( e ) 3,.( e ) ()...,,, Aqu, os faores da esruura a ermo possuem a nerpreação de nível (ou longo prazo),,, nclnação (ou curo prazo),,, e curvauras (ou médo prazo),, e 3,. Os parâmeros, e, caracerzam as velocdades de decameno dos componenes de médo prazo da curva de juros, deermnando onde as cargas que mulplcam os faores, e 3, angem seus valores máxmos. O modelo de Svensson se orna dênco ao modelo de Nelson e Segel ou. quando 3,,, Tomando os lmes da equação acma, em-se que lm y ( ),, (curo prazo) e lm y ( ), (longo prazo) 9. Os parâmeros e,, assocados com as funções, exponencas, capuram a velocdade de ransção enre as axas de curo e longo prazo e as dsorções (corcovas) da curva. Para que a função y ( ) faça sendo econômco, os parâmeros do modelo de Svensson devem sasfazer as segunes resrções: ; ; ; (3),,,,, O modelo de Svensson propõe uma forma funconal smples para descrever oda a esruura a ermo das axas de juros com apenas ses parâmeros. O formao da equação perme uma esruura suave e flexível que acomoda os dversos formaos de ETTJ observados na práca (Anbma, ). Por sso, ese modelo é muo usado para a nerpolação das curvas de juros, 8 Por sso, nas suações onde a curva de axas a ermo apresena uma forma mas complexa, o modelo de Svensson pode se mosrar sgnfcavamene superor ao modelo de Nelson e Segel. 9 Esse resulado vale ambém para o modelo de Nelson-Segel.

13 podendo ser usado ambém para a exrapolação dessas curvas, denro de deermnada faxa de prazos, para além do úlmo vérce dsponível na base de dados Esmação dos parâmeros da esruura a ermo As curvas de juros foram esmadas adoando o modelo de Svensson e usando dos procedmenos dsnos: () um méodo radconal de omzação não-lnear (Quas-Newon); () uma combnação de algormo genéco e méodo Quas-Newon. A prmera eapa para a esmação dos parâmeros do modelo é defnr se o objeo de esmação é o preço do íulo, a axa de juros à vsa ou a axa a ermo. Os preços dos nsrumenos fnanceros de cura maurdade são menos sensíves a varações nas axas de juros do que os de longa maurdade: pequenas alerações nos preços dos íulos de curo prazo mplcam em grandes alerações nas axas de juros, o conráro aconecendo para íulos de longo prazo. Por um lado, o procedmeno de mnmzação da soma do erro quadráco das axas de juros resula em um resulado heerocedásco para os erros dos preços (erros elevados para os preços dos íulos de longo prazo). Por ouro lado, o procedmeno de mnmzação da soma do erro quadráco dos preços dos íulos resula em um resulado heerocedásco para os erros das axas à vsa (erros elevados para as axas à vsa de curo prazo); uma abordagem para corrgr o problema de heerocedascdade nas axas à vsa é ponderar o erro quadráco do preço de cada íulo pelo nverso da duraon de Macaulay, dando mas relevânca para os erros dos íulos de curo prazo. Dependendo do objeo de esmação, os resíduos/erros nos preços e nas axas podem ser homocedáscos ou heerocedáscos: se o objeo de esmação for o preço do íulo, os resíduos serão homocedáscos nos preços e heerocedáscos nas axas; se o objeo de esmação for a axa de juros à vsa, os resíduos/erros serão homocedáscos nas axas e heerocedáscos nos preços 3. () Se o objeo de esmação for o preço do íulo, a função descono P ( ) é esmada, para cada daa de pregão, de al forma a mnmzar a soma dos quadrados dos erros dos preços (esmados e observados) de um conjuno de íulos públcos federas lvres de rscos. Ou seja, para um deermnado conjuno de parâmeros (solução ncal), a função descono é usada para calcular o preço esmado de cada íulo, de acordo com a equação (5), e execua-se um algormo de omzação com o objevo de mnmzar a 3 A base de dados usada para a curva de cupom de IPCA, por exemplo, coném íulos com maurdades de aé 4 anos. 3 Em geral, deseja-se para a ETTJ um resulado que seja homocedásco nas axas de juros o que mplca em heerocedascdade nos preços. 3

14 soma dos quadrados dos erros enre os preços esmados e observados para cada íulo. () Se o objeo de esmação for a axa de juros, a função axa à vsa y ( ) é esmada, para cada daa de pregão, de al forma a mnmzar a soma dos quadrados dos erros das axas à vsa (esmadas e observadas) lvres de rsco. Ou seja, para um deermnado conjuno de parâmeros (solução ncal), a axa à vsa é esmada para cada pono observado da curva de juros, de acordo com a equação do modelo 3, e execua-se um algormo de omzação com o objevo de mnmzar a soma dos quadrados dos erros enre as axas esmadas e observadas (para os ponos/dados observados da curva de juros). Porano, para a consrução das curvas de axas pré, cupom cambal, cupom de IGPM e cupom de TR, onde foram usados dados e nformações do mercado de dervavos, o objeo de esmação é a axa de juros, enquano que para a curva de juros de cupom de IPCA, onde foram usados preços de mercado das NTN-B, o objeo de esmação é o preço de cada íulo (com o erro quadráco ponderado pelo nverso da duraon). 4. Méodos radconas de omzação não-lnear Um problema genérco de omzação não-lnear consse em enconrar um veor que maxmze (ou mnmze) uma função ( ) sére de resrções expressas na forma: c ( ),,..., p c ( ), p,..., n T,, q, sujeo a uma... f, q Para a esmação dos parâmeros do modelo de Svensson 33 formulações dsnas para o problema de omzação não-lnear: foram consderadas duas () Para a curva de juros de cupom de IPCA 34, a função objevo que se quer mnmzar é dada por 35 : 3 Equações () e () para os modelos Nelson-Segel e Svensson, respecvamene. 33 Noe que o modelo de Nelson e Segel pode ser vso como um caso parcular do modelo de Svensson ou. quando 3,,, 34 Onde foram usados dados de mercado das NTN-B e o objeo de esmação fo o preço de cada íulo ponderado pelo nverso da duraon. 35 Para smplfcar a noação, o índce (referene à daa de pregão/negocação do íulo) fo suprmdo para a maora dos ermos da função objevo; o índce fo mando apenas nas suações onde a sua omssão prejudcara a compreensão do exo. 4

15 FOBJ Onde: : Mn{ N w.( P k NTN B, exp[ j,. y ( j, )]. Fj, ) j } (4) P NTN B, é o preço observado da NTN-B de índce k é o número de pagamenos da NTN-B (nclu cupom e prncpal) F j, é o j-ésmo pagameno da NTN-B j, é o prazo (em das úes) em que ocorre o j-ésmo pagameno da NTN-B N é o número de NTN-B negocadas/ observadas na daa de pregão ( ) y ( j, ) é a axa à vsa esmada na daa para o prazo enre e j, (para o modelo de Svensson, veja a equação ()) w é o nverso da duraon da NTN-B ( w ) duraon () Para as curvas de axas pré, cupom cambal, cupom de IGPM e cupom de TR 36 a função objevo que se quer mnmzar é dada por: FOBJ : Mn{ M ( TxRef ( ) y ( )) } Onde: TxRef ( ) é a axa à vsa referencal na daa para o prazo enre e (conforme descro na seção do argo em bases de dados ) y ( ) é a axa à vsa esmada na daa para o prazo enre e (para o modelo de Svensson, veja a equação ()) (5) M é o número de axas referencas usadas (base de dados) na daa de pregão ( ) Em ambos os casos, os parâmeros do modelo de Svensson devem sasfazer as resrções mosradas na equação (3). Os algormos radconas de omzação não-lnear, em geral, não garanem que o ómo global do problema seja enconrado. Ao nvés dsso, em-se, na maora das vezes, apenas um ómo local 37 (Bersekas, 999). Em parcular, a ala não lneardade das funções em (4) e (5) faz 36 Onde foram usados dados/nformações do mercado de dervavos e o objeo de esmação fo a axa de juros. 37 Somene quando a função objevo e as resrções do problema sasfazem deermnadas propredades específcas é que se pode garanr o alcance do ómo global de um problema de omzação não-lnear. 5

16 com que o rsco de falsa convergênca (quando o algormo de omzação enconra um mínmo local, que não é mínmo global) seja elevado, e o resulado da omzação fca muo sensível aos valores ncas empregados (solução ncal vável). 4. Algormos genécos Os algormos genécos (AG), nroduzdos por Holland (975), são algormos de busca baseados em mecansmos de seleção naural e genéca, e consuem écncas heuríscas de omzação global. Eles precsam er rês caraceríscas, ambém chamadas de operadores genécos: seleção, recombnação (cross-over) e muação (Mchell, 998). Traa-se de um méodo alernavo de omzação não-lnear que ende a se ornar basane popular com o avanço da velocdade compuaconal. A consrução do AG começa com a cração de uma represenação cromossomal. A represenação mas comum é a codfcação bnára (Dawd, 999; Arfovc e Gencay, ) e esá baseada na decomposção de cada número em um códgo de cadea bnára 38. Uma represenação cromossomal alernava é a codfcação real, proposa por Davs (989), que é a represenação mas aproprada para problemas de omzação de parâmeros com valores no domíno conínuo (Davs, 99; Wrgh, 99; Eshelman and Shaffer, 993; Herrera e al., 998). Nese rabalho fo usada a codfcação real, onde cada cromossomo é um veor de números reas, e cada elemeno desse veor (gene) represena uma varável do problema de omzação. Fo desenvolvdo um algormo genéco em SPlus v.8. especfcamene volado para a esmação dos parâmeros do modelo de Svensson 39. Ese AG omou como base o rabalho de Gmeno e Nave (6) do Banco Cenral da Espanha, e nroduzu um novo operador de muação (evoluconáro), com o objevo de amplar o espaço de busca para o alcance da solução óma global, e novos parâmeros de ncalzação, para adequar o algormo de busca às caraceríscas do problema em quesão. O projeo de desenvolvmeno dese AG eve como objevo explorar a nformação acumulada em cada eração e orenar as buscas subseqüenes do algormo para subespaços aproprados em busca da solução (ou regão) óma global. O fluxograma da fgura lusra o funconameno do AG. 38 A analoga com a genéca é medaa: um cromossomo é uma seqüênca de genes; na represenação bnára, cada gene corresponde a um b (que pode assumr os valores zero ou um). O conceo represenado por cada b e conjuno de bs é nerene à represenação adoada pelo AG. 39 O modelo de Nelson e Segel pode ser vso como um caso parcular do modelo de Svensson. 6

17 Incalzação da população usando N cromossomos Avalação dos cromossomos Ordenameno para adapação Seleção dos progenores para a reprodução Operadores genécos: cruzameno e muação Sm Tese de parada Nova geração? Não O melhor cromossomo Fgura : Fluxograma de funconameno do AG Populações de ndvíduos (cromossomos) são cradas e submedas aos operadores genécos. Cada cromossomo é avalado, segundo uma função que avala o grau de adequação dese cromossomo como poencal solução para o problema de omzação. Os cromossomos são ordenados e os progenores seleconados aleaoramene segundo uma função dsrbução de probabldade, que arbu maor probabldade de recombnação para os cromossomos melhor avalados. Os operadores de recombnação e muação enram em ação para compor os cromossomos flhos e nroduzr dversdade (aleaóra) nos seus genes. Novas gerações são cradas e avaladas. O AG processa cada geração de cromossomos, que represena o espaço de busca de soluções, e usa os rês operadores genécos (seleção, recombnação e muação) de forma a evolur eravamene as soluções váves em busca da solução óma do problema de omzação. Os algormos evoluconáros 4, em geral, não asseguram a obenção do melhor resulado possível em odas as suas execuções. Eles são bons para varrer odo o espaço em busca da solução óma, mas apresenam dfculdades nerenes para a realzação do ajuse fno local, ou seja, para enconrar o pono de mínmo local denro da regão de mínmo global 4. Por sso, nese rabalho, fo usado uma combnação do algormo genéco com um algormo radconal de omzação não-lnear (Quas-Newon) para a esmação das curvas de juros. 4 Os algormos genécos são um ramo dos algormos evoluconáros. 4 Holland (975) sugere que o AG deve ser usado como um pré-processador para realzar uma busca ncal, anes de passar o processo de busca para um ssema que pode empregar conhecmeno de domíno para guar a busca local. 7

18 Represenação cromossomal A represenação cromossomal adoada consdera cada ndvíduo/cromossomo um canddao a solução do problema de omzação, onde cada cromossomo ( ) é um veor de ses números 6 reas ( ), e cada elemeno desse veor (gene) represena o valor arbuído a um parâmero do modelo de Svensson 4. Uma geração da população consse de N cromossomos e corresponde a uma eração do AG. Desa forma, os N ndvíduos da k-ésma geração da população podem ser assm represenados 43 : k k k k k k k T,,, 3,,, (6) (,..., N ) ( k,,...) Incalzação da população A ncalzação da população começa com a geração de N ndvíduos, a parr de varações aleaóras produzdas sobre um conjuno ncal de cromossomos ( ), formando assm a prmera geração da população ( k )., j, j j,,..., N ; j j,...,3,, j l,,..., N j, l j 3 (7) Onde: j e j são os valores ncas arbuídos aos cromossomos j, ~ N(, j ). j e j, e Em noação veoral, em-se: 4 Os genes são, porano, as varáves do problema de omzação, e o cromossomo/ndvíduo (conjuno de genes) é um canddao a solução óma (uma solução vável). 43 Nese rabalho, N =.. 8

19 9 Conjuno ncal de cromossomos: T 3 Veor aleaóro: ),..., ( 5, 4, 3,,,, N T A prmera geração de N ndvíduos: ),..., (,, 3,,,, N T (8) ),..., ( N ou 3 5, 4, 3,,,,,, 3,,,, Para amplar o espaço de busca do algormo e reduzr o número de erações do AG, os cromossomos ncas (geradores da espéce) foram seleconados por dos procedmenos complemenares: o prmero, baseado em dados passados, usa como valores ncas, os valores ómos esmados para os parâmeros da ETTJ do úlmo da úl do mês aneror; o segundo, baseado em dados correnes, usa como valores ncas nformações sobre as axas de juros dos íulos públcos federas na daa de cada pregão 44. A meade dos ndvíduos fo gerada por cada procedmeno. Foram, porano, crados dos cromossomos ncas ( e ), e a prmera geração de ndvíduos fo composa de:,... ; N e N N,..., ; (9) 44 Para ese segundo procedmeno, é a axa nerna de reorno (TIR) do íulo públco de maor maurdade, é a dferença enre a TIR do íulo de menor maurdade e a TIR do íulo de maor maurdade, 3 (curvas de juros sem corcovas) e e são mesmos valores adoados no prmero procedmeno.

20 Os ermos aleaóros usados para a ncalzação da população ( j, ) permem nroduzr dversdade na população ncal e calbrar a magnude das muações em gerações fuuras 45. O desvo padrão j do ermo aleaóro assocado a cada gene ( j ) depende do valor ncal arbuído ao gene e de um parâmero usado para calbrar o modelo. Para os cromossomos gerados a parr de fo usado: Para os cromossomos gerados a parr de fo adoado: Quano maor o desvo padrão ( ), maores são a dversdade da população ncal e a magnude das muações: um pequeno valor de aumena o rsco de falsa convergênca (quando o algormo enconra um mínmo local e não global); um grande valor de aumena o espaço de busca e o número de erações necessáro para o alcance do mínmo global. Foram realzadas smulações do AG para dferenes valores de, e o valor seleconado para a consrução de cada curva de juros levou em cona o valor ómo da função objevo (valor mínmo da soma dos quadrados dos erros) e o número de erações (gerações) necessáro para o alcance do mínmo 46. Como lusração, o valor de para curva de cupom de IPCA 47 fo seleconado a parr de smulações apresenadas na fgura O mpaco de sobre a magnude da muação será vso mas adane. 46 Para fns de calbragem dos parâmeros do AG (,,, ), o número de erações fo lmado a 5, e a prordade de seleção fo dada para os parâmeros que geraram a menor soma dos erros quadrácos ponderados.