Arbitragem na Estrutura a Termo das Taxas de Juros: Uma Abordagem Bayesiana

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1 Arbragem na Esruura a ermo das axas de Juros: Uma Abordagem Bayesana Márco Pole Laurn Armêno Das Wesn Neo Insper Workng Paper WPE: /

2 Copyrgh Insper. odos os dreos reservados. É probda a reprodução parcal ou negral do coneúdo dese documeno por qualquer meo de dsrbução dgal ou mpresso sem a expressa auorzação do Insper ou de seu auor. A reprodução para fns ddácos é permda observando-sea cação complea do documeno

3 ARBIRAGEM NA ESRUURA A ERMO DAS AAS DE JUROS: UMA ABORDAGEM BAYESIANA Márco Pole Laurn Armêno Das Wesn Neo Resumo - Nese rabalho é realzada uma análse da presença de oporundades de arbragem na esruura a ermo de axas de juros aravés da esmação do modelo Nelson-Segel generalzado com correção para nãoarbragem para os dados da esruura a ermo das axas de juros braslera presenes no conrao de negocação DI da Bolsa de Mercadoras e Fuuros BM&F. Para verfcar a necessdade de mposção de resrções de não-arbragem propomos uma análse baseada na esmação Bayesana dese modelo. Os resulados desa análse ndcam que correções de não-arbragem não são necessáras e que ese modelo represena uma especfcação adequada para esa esruura a ermo de axas de juros. Palavras-chave: Arbragem Esruura a ermo das axas de juros; Faores laenes; Componenes de médo curo e longo prazo. JEL Codes: G C C. Insper Insuo de Ensno e Pesqusa e Imecc-Uncamp. Emal Insper Insuo de Ensno e Pesqusa Emal

4 . INRODUÇÃO O desempenho de fundos de nvesmenos esá relaconado com a eração enre o gesor do fundo e os dados de axas de juros de modo que sua modelagem orna-se fundamenal para a admnsração de careras de íulos públcos e ao mesmo empo as probabldades assocadas a cada eveno prevso são crucas no gerencameno do rsco e na precfcação de dervavos. Por sso a nvesgação da dnâmca da curva de juros em desperado grande aenção de acadêmcos conduores de polícas econômcas nvesdores e parcpanes do mercado o que levou à ampla varedade de modelos exsenes. Denre os modelos esudados na leraura exse uma dferença fundamenal enre modelos puramene esaíscos e modelos que são baseados em condções de não-arbragem. Enre os modelos esaíscos a prncpal referênca é a decomposção proposa no argo de Lerman e Schenkman 99 que ulza o méodo de componenes prncpas para ober uma decomposção orogonal dos movmenos da esruura a ermo de axas de juros. Neses modelos as écncas ulzadas permem ajuses e prevsões da curva de juros mas eses modelos não são conssenes com a mposção de condções de não-arbragem dadas pela eora de precfcação de avos fnanceros. A mposção de condções de não-arbragem além de assegurar conssênca com a precfcação no sendo proposo por Harrson e Kreps 979 Harrson e Plska 98 e Delbaen e Schachermayer 994 ambém pode afear o ajuse e prevsões do modelo. Ang e Pazzes 3 e Almeda e Vcene 8 ndcam que a mposção de correções para não-arbragem leva a uma melhora nas

5 prevsões para a esruura a ermo e assm forçar a conssênca com nãoarbragem represenara melhores ajuses e prevsões em modelos para a esruura a ermo de axas de juros. Uma nerpreação alernava para esa problema pode ser enconrada em Duffee 8 que ndca que na esruura de modelos afns Affne erm Srucure Models - ASM em modelos correamene especfcados a mposção de correções de não-arbragem é rrelevane e assm a mposção de não-arbragem não deve represenar uma melhora no poencal predvo ou de ajuse do modelo. Nesa nerpreação condções de não-arbragem só são relevanes na presença de problemas de especfcação ncorrea e desa forma a presença de oporundades de arbragem podem ser nerpreadas como dagnóscos de problemas de especfcação em modelos para a esruura a ermo de axas de juros. Vsa a relevânca do ema o propóso dese rabalho será modelar dnamcamene a esruura a ermo das axas de juros no Brasl com base na versão proposa por Chrsensen Debold e Rudebusch 9 onde é combnado o melhor das duas radconas écncas de modelagem da curva de juros: os affne models e a versão dnamzada do modelo Nelson-Segel desenvolvdo por Debold e L 6. Aravés de esmação de versões com e sem a resrção de não-arbragem para esa classe de modelos propomos um ese baseado no uso de faores de Bayes para a valdade de condções de não-arbragem. Ese ese é possblado pelo uso de uma meodologa Bayesana usando méodos de Markov Chan Mone Carlo na esmação o que possbla mecansmos de obenção das dsrbuções em amosras fnas de parâmeros faores laenes e prevsões dese modelo.

6 Em lnhas geras ese rabalho esá esruurado em see seções já nclundo esa prmera. Na segunda seção é fea uma breve revsão de rabalhos relevanes desenvolvdos aé agora e que susenam a abordagem raada aqu. Na próxma seção por sua vez é exposa a meodologa presene nese rabalho assm como as razões pelo créro de escolha. Já na quara seção enconra-se a análse descrva dos dados ulzados e alguns aspecos eslzados da esruura a ermo das axas de juros no Brasl. Na seção segune é realzada a esmação do modelo proposo e uma análse dos resulados desa esmação. Poserormene na seção ses enconra-se o ópco com o ese proposo para a presença de condções de nãoarbragem e seus resulados. Por fm na seção see enconra-se a conclusão do rabalho.. MODELAGEM DA ESRUURA A ERMO DE AAS DE JUROS A maora dos modelos para a esruura a ermo de axas de juros assume que nas axas observadas dos íulos não há oporundade de arbragem. Esa hpóese enreano só é conssene quando esses íulos são ampla e smulaneamene líqudos no mercado como por exemplo é o caso dos íulos de dívda do governo dos Esados Undos. Nese po de mercado enão os agenes raconas observam conssênca enre as axas das dferenes maurdades exsenes. Segundo Debold e L 6 os úlmos 5 anos êm sdo de grandes avanços em modelos eórcos para a esruura a ermo das axas de juros. Duas das prncpas abordagens populares da esruura a ermo são os modelos calcados na

7 hpóese de não-arbragem e equlíbro geral. Anda sob a óca da prevsão referene aos noáves modelos de axas de juros segundo Debold e L 6 apesar dos avanços eórcos muas vezes mprecsos da economa fnancera frene à curva de juros pouca aenção em sdo dedca ao problema práco da prevsão da curva de juros. A leraura sobre esruura a ermo dos modelos de nãoarbragem em pouco a nferr sobre a dnâmca ou a prevsão dada que esá focada prncpalmene no ajuse da esruura a ermo das axas a ermo num dado nsane de empo. Já a leraura sobre esruura a ermo dos modelos de equlíbro geral em geral em seu foco na dnâmca dervada da axa de juros de curo prazo o que poencalmene a relacona com a prevsão mas os resulados empírcos dos modelos de equlíbro geral como os modelos de Vascek 979 e Cox Ingersoll e Ross 985 ndcam que o ajuse denro da amosra e prevsões resulanes deses modelos são basane pobres. De uma forma geral bascamene sera convenene para um bom modelo dnâmco reproduzr o hsórco dos faos eslzados relaconando-o ao formao médo da curva e às suas dferenes formas no ranscorrer do empo. Assm como exposo por Debold e L 6 é esperado que os modelos sumarzem alguns dos faos eslzados mas mporanes denre odas as curvas de juros exsenes que são: o formao médo da curva de juros é crescene e côncavo ceramene assocado ao valor médo dos parâmeros esmados para cada faor; a curva de juros em formaos varados no empo fao relaconado à varação dos parâmeros esmados para cada faor; as dnâmcas dos juros são perssenes e as dos spreads não o que geralmene reflee a ala perssênca do nível da sére e a

8 baxa perssênca da nclnação da curva de juros respecvamene; v maor volaldade da curva de juros no curo prazo; v maor perssênca paras as axas de longo prazo. Um modelo básco para a esruura a ermo das axas de juros fo proposo por Nelson e Segel 987. raa-se de um modelo esáco amplamene dfunddo no mercado fnancero e ambém ulzado por bancos cenras devdo a sua facldade na mplemenação e ao seu poder predvo onde se procede de forma parcmonosa ao ajuse cross-secon da curva de juros. A represenação desse radconal modelo é dada pela equação abaxo: τ τ e e τ y τ = β + β + β e τ τ em que yτ é o veor com as axas de juros observadas no nsane de empo para as maurdades τ e β β β e são parâmeros do modelo. Para enender a evolução da curva de juros no decorrer o empo ou seja da esruura a ermo Debold e L 6 ornaram o modelo aneror dado pela equação dnâmco subsundo os parâmeros por faores varanes no empo. Procedendo conforme o esudo de componenes prncpas desenvolvdo por Lerman e Schekman 99 os novos parâmeros ou faores assumram a nerpreação de nível nclnação e curvaura. A nova represenação segundo essa formulação proposa fca sendo enão dada pela equação abaxo:

9 τ τ e e τ y τ = β + β + β e τ τ β β β 3 µ = µ µ 3 + Φ β β β 3 + ε β em que y τ é o veor com as axas nomnas de um íulo que não paga cupons conforme as maurdades τ e β β β e são os faores ou novos parâmeros podendo varar no empo. Denre eles β β e β represenam respecvamene as componenes de longo curo e médo prazo das axas de juros. Essa varação do modelo Nelson-Segel com esruura exponencal de modelagem período-a-período da curva de juros em conformdade com rês parâmeros fornece dnâmca ao modelo. Os rês parâmeros podem ser nerpreados como faores segundo Debold e L 6 pos a esruura Nelson- Segel gera uma esruura no efeo de cada um desses faores o que possbla uma precsa esmação deles permndo por fm nerpreá-los como faores laenes não dreamene observáves de nível nclnação e curvaura respecvamene. Em especal a nerpreação arelada ao faor nível é da méda das axas pracadas para as dferenes maurdades exsenes. Já o segundo faor o de nclnação mosra se o formao da curva é crescene ou decrescene à medda que se aumena a maurdade enquano que o ercero o de curvaura por sua vez reflee a velocdade com que a curva esá crescendo ou decrescendo.

10 Adconalmene represena o parâmero de decameno médo da curva normalmene mando consane podendo varar no empo de modo a reproduzr o fao eslzado da nsabldade em curvas de países emergenes como a do Brasl por exemplo. Denre a maora dos rabalhos que usam a abordagem proposa pela equação verfca-se amplamene que o ajuse é sasfaóro apenas para as maurdades mas curas ou seja o modelo consegue capar a esruura das axas de curo e de médo prazo. odava para as axas mas longas muas vezes o modelo fornece uma curva de juros que se orna esável no longo prazo fao que não é conssene com curvas que mudam de formao não só em sua evolução emporal mas ambém conforme as própras maurdades. Na procura por soluconar o problema descro anerormene fo proposa uma exensão ao modelo caracerzado pela equação. raa-se do rabalho feo por Svennson 994 onde é fea uma generalzação do modelo de Nelson e Segel 987 no qual é adconado mas um faor de curvaura para melhor ajusar as axas de juros para as maurdades de longo prazo. A represenação da versão esendda proposa por Svensson 994 segundo Chrsensen Debold e Rudebusch 9 já nclundo a dnâmca emporal é dada pela equação 3 abaxo: τ τ τ e e τ e 3 τ y τ = β + β + β + β e 3 e τ τ τ em que y τ é o veor com as axas nomnas de um íulo que não paga cupons conforme as maurdades τ e β β β 3 β e são os faores podendo

11 varar no empo. Nese caso β β β β 3 connuam represenado respecvamene as componenes de longo curo e médo prazo das axas de juros agora com dos faores de curvaura. No enando como aponado por Flpovc 999 o modelo de Nelson e Segel 987 nunca é conssene com não-arbragem e exse apenas uma resrção sobre o modelo de Svensson conssene com não-arbragem mas esa esruura é resrva demas para ulzação práca. No enano algumas modfcações permem uma classe smlar de modelos com a propredade de não-arbragem como mosrado em Chrsensen Debold e Rudebusch 7 para a famíla de Nelson- Segel e Chrsensen Debold e Rudebusch 9 para a famíla de Svensson. Para ober esa famíla de modelos lvre de arbragem Chrsensen Debold e Rudebusch 9 ulzam uma esruura de modelos afns de esruura a ermo Affne erm Srucure Models - ASM. Esa esruura é basane úl dado que apresena propredades analícas neressanes como por exemplo a exsênca de soluções analícas para precfcação de avos e são caracerzados por uma esruura comum que perme encompassar dversos modelos esudados na leraura como mosram Da e Sngleon. Segundo Duffe e Kan 996 para caracerzar a esruura dos modelos afns de esruura a ermo ASM parmos do preço de um íulo zero cupom no período com maurdade na medda marngale equvalene Q dado por: 4 Q P = E e r s ds

12 onde r represena a axa nsanânea de juros shor rae. Nesa classe de modelos r é uma função afm de um veor de varáves de esado faores laenes não observados : ' 5 r = δ + δ N y = onde os δ s represenam parâmeros e cada é uma dfusão afm com a esruura dada pela segune equação dferencal esocásca: 6 dy = κ θ Y d + S dw com κ e θ sendo parâmeros dw represena um movmeno Brownano Padrão e e S é uma marz dagonal com -ésmo elemeno dado por: ' 7 S = α + β Duffe e Kan 996 mosram nesa classe de modelos o preço do íulo é uma função afm dada por: A τ B τ 8 P τ = e ' onde A τ e B τ são obdos como solução do segune ssema de equações dferencas ordnáras::

13 9 [ ] [ ] y N N B B d db B B d da δ β τ τ κ τ δ α τ τ κ θ τ + + ' = ' ' = ' ' = = Para ober uma represenação lvre de arbragem para a famíla de modelos de esruura a ermo defndos pela curva de Svensson 3 Chrsensen Debold e Rudebusch 9 modfcam esa esruura afm assumndo que a shor rae é dada pela soma dos rês prmeros faores laenes: 3 = r + + e os faores laenes evoluem aravés do segune ssema de equações dferencas esocáscas: = Q Q Q Q Q d d d d d θ θ θ θ θ Nese modelo em acordo com a equação 8 preços de íulos zero-cupom são dados pela segune expressão: 3 A dervação para a famíla Nelson-Segel é um caso parcular ulzando apenas os faores laenes 3 e. Na represenação do modelo generalzado a shor rae é uma função apenas dos rês prmeros faores para possblar a denfcação do modelo mas noe que a esruura é composa por cnco faores.

14 = ] [ = C B B B B B exp e E P du u r Q onde os ermos B e C são defndos como as soluções para os segunes ssemas de equações dferencas ordnáras: = B B B B B d db d db d db d db d db 3 j j j Q Q B B B d dc ' ' 5 = ' = θ κ Nesa formulação agora os zero-cupom yelds são dados por: = e e y

15 C e e e e que pode ser nerpreada como a curva de Svensson com a subsução da noação de faores laenes β para com a adção de um faor de correção para não-arbragem dado pelo ermo C dado pela segune expressão 4 : 5 = 5 = s B s B C j onde denoa a marz de covarâncas dos faores laenes. Ese faor de correção é uma função das varâncas dos faores laenes e ambém dos parâmeros de decameno do modelo assumdos consanes. Um pono mporane é que para o uso da correção para não-arbragem precsamos de uma esruura com cnco faores laenes o que mplca um faores adconas de nclnação e curvaura no modelo de Svensson. Essa especfcação ambém perme corrgr a falha no ajuse nas maurdades de longo prazo para os modelos da classe Nelson-Segel. Segundo Chrsensen Debold e Rudebusch 9 a maora dos modelos procede correamene no ajuse apenas para as maurdades de curo prazo dexando a desejar com relação ao ajuse para as axas longas. Por sso a ncava de nserr mas faores laenes alás de parear um faor de nclnação com ouro de curvaura ano para o curo quano para o longo prazo em por nuo o melhor ajuse nas axas de curo prazo que já eram evdencados e 4 A expressão analíca para ese ermo de correção se enconra no apêndce do argo Chrsensen Debold e Rudebusch 9 e é omda por quesões de espaço.

16 ober ganhos nas esmações para as longas pos na maora dos modelos de esruura a ermo a curva se ornava esável para as axas com maor maurdade. Esmaremos duas versões do modelo proposo por Chrsensen Debold e Rudebusch 9. A prmera consse na forma com a correção de arbragem denoada por: e e y 3 = β β β C e e e e β β Φ + = β µ β e nesa expressão a úlma equação descreve o veor auoregressvo dos faores laenes. A segundo forma consse no modelo sem a correção de não-arbragem e assm não é ncluída a especfcação do ermo C. 4. ESIMAÇÃO BAYESIANA POR MCMC Por fm a consderação que resa ser exposa é quano ao po de esmação adoada. A opção escolhda nese rabalho fo a esmação Bayesana segundo a abordagem proposa por Laurn e Hoa 7. A abordagem Bayesana é vanajosa já que é não precso assumr as resrções usuas de esmação e

17 denfcação usualmene assumdas na esmação clássca de modelos de esruura a ermo de axas de juros. Ao nvés de fazer a esmação va Mínmos Quadrados Ordnáros em Dos Eságos ou va Flro de Kalman méodos que mpossblam a consrução de nervalos de confança ano para os parâmeros quano para as prevsões devdo a problemas com a perda de efcênca no segundo eságo e com máxmos locas na função de verossmlhança respecvamene a esmação será realzada pela meodologa Bayesana aravés do nsrumeno de smulações de Markov Chan Mone Carlo MCMC possblando ober nervalos de credbldade exaos ano para os faores laenes e para os parâmeros quano para as prevsões geradas acerca do modelo. De manera geral a nferênca Bayesana perme enconrar a dsrbução a poseror dos parâmeros condconal a amosra observada. Esa dsrbução é resulane da aualzação da dsrbução a pror assumda para os parâmeros conforme a função de verossmlhança. Esa dsrbução a poseror denoada por p Θ y é o resulado da aualzação da dsrbução a pror assumda para os parâmeros com a nformação exsene na amosra dada pela função de verossmlhança. Para-se ober a dsrbução poseror dos parâmeros condconados a amosra usa-se o lema de Bayes: 7 p Θ y = p Θ y/ p y = p y Θ p Θ / p y

18 onde p y Θ é a verossmlhança do modelo pθ denoa a dsrbução a pror assumda para o parâmero e e p y é a dsrbução margnal da amosra observada conhecda aé uma consane de negração.e: 8 p Θ y = p Θ y/ p Θ = p y Θ p Θ / c e desa manera a dsrbução a poseror é proporconal ao produo da verossmlhança pela dsrbução a pror: 9 p Θ y p y Θ p Θ Após a obenção da dsrbução a poseror a sumarzação dos resulados pode ser realzada por exemplo calculando-se os valores esperados e a varânca da dsrbução poseror: E θ y = θ p Θ y dθ k k Var θ k y = θ k p Θ y dθ [ E θ k y ] e avalamos a densdade margnal de parâmero θ j com a expressão: p θ j y = p Θ y dθ dθ... dθ d

19 Exceo em alguns casos específcos em geral ulzando dsrbuções conjugadas a dsrbução a pror é da mesma famíla da dsrbução a poseror não exsem formas analícas para esas poserores. Nesas suações é possível recorrer a écncas de negração numérca usando méodos de Mone Carlo. Uma meodologa de Mone Carlo fundamenal em méodos de esmação Bayesana é o méodo de Markov Chan Mone Carlo MCMC. A déa fundamenal dos méodos de MCMC e.g. Rober e Casella 5 é smular uma cadea de Markov cuja dsrbução esaconára convrja para a dsrbução p Θ y. Um resulado fundamenal é que a esmação de p Θ y pode ser faorada ulzando um méodo de amosragem das dsrbuções condconas dos parâmeros. Esas condconas são de dmensão nferor e que podem ser smuladas de forma mas smples. O procedmeno pode ser resumdo pela sequenca de erações: 3 p Θ p Θ p Θ n Θ Θ Θ Θ Θ Θ Θ... Θ... Θ n y n n y y Quando odas as dsrbuções condconas são conhecdas o algormo de MCMC é o chamado Gbbs Samplng aonde a esmação é realzada amosrando-se das dsrbuções condconas conhecdas. Caso não seja possível amosrar da desa dsrbução condconal analíca é possível realzar a amosragem desas condconas ulzando o algormo de Meropols-Hasngs que consse em um méodo de aceação-rejeção de smulação de varáves aleaóras para a amosragem de dsrbuções condconas.

20 Sob ceras condções de regulardade ese conjuno de dsrbuções condconas converge uncamene para a dsrbução de p Θ y resulado conhecdo como eorema de Clfford-Hammersley. Uma vanagem desa meodologa é que ela não envolve nenhuma meodologa de maxmzação numérca e desa forma evamos os problemas numércos envolvdos em maxmzação de funções não lneares e os problemas de múlplos máxmos locas exsenes na esmação de modelos de esruura a ermo de axas de juros como aponado por Duffee. Para caracerzar compleamene nosso modelo é necessáro dscur quas as dsrbuções a pror ulzadas. Para os faores laenes β ulzamos a pror Normal-Gamma Inversa com uma nversa-wshar para a marz de varânca.deses faores laenes e para uma log-normal. Para o parâmero do veor auoregressvo Φ assummos uma esruura normal mulvarada com marz de varânca dada por uma dsrbução nversa Wshar. A especfcação do modelo é complea assumndo uma verossmlhança Normal mulvarada para a esruura a ermo observada permndo recuperar a dsrbução a poseror dos parâmeros aravés do uso dos algormos de esmação por MCMC. Para ober dsrbução predva do modelo um passo a frene ulzamos a relação: 4 p y + y = p y + Θ p Θ y p Θ dθ

21 que é verossmlhança fuura ponderada pelo dsrbução poseror dos parâmeros onde y são as observações aé o período. Sumarzamos as prevsões um passo a frene usando a méda e os percens da dsrbução predva dada por 4. Na esmação dos modelos ulzamos 5 smulações da cadea de Markov descarando as prmeras 5 como período de burn-n. As ferramenas de dagnóscos Gelman-Rubn ndcam convergênca das cadeas para os dos modelos esmados. 5 - BASES DE DADOS Para o procedmeno do rabalho proposo foram coleados os dados do Bolem Dáro com o resumo esaísco do pregão da Bolsa de Mercadoras e Fuuros BM&F localzada na cdade de São Paulo SP. Denre os produos fornecdos e negocados pela nsução enconra-se um nsrumeno fnancero mporane no mercado do País que é do Conrao Fuuro de DI de Um Da. O Conrao Fuuro de DI de Um Da cujo códgo de negocação no mercado é DI é coado em axa de juro efeva anual com base em duzenos e cnqüena e dos das úes. Suas maurdades esão dsrbuídas da segune forma: há coação para os quaro prmeros meses após o mês de realzação de uma operação com ese po de conrao e a parr daí nos meses que são consderados como níco de rmesres. O período que compreende os dados coleados para a análse do modelo va de de janero de 7 a 3 de seembro de 9 oalzando sescenos e seena

22 e quaro observações dáras. Denre as causas que levaram a escolha desse nervalo é mporane menconar que só a parr de 7 é que exse um maor número de axas observadas para as maurdades exsenes ou seja um maor número de vérces do que nos anos anerores. Ese fao eslzado va de enconro com a evolução recene da economa do País e de suas nsuções o que permu que com o passar dos anos os nvesdores vessem uma maor confança com os produos fnanceros daqu mpacando no horzone de negocação das axas do conrao DI. Há cerca de dez anos por exemplo era possível realzar esse po de ransação com no máxmo dos anos à frene para as maurdades verfcadas. No procedmeno de esmação nós apenas rabalhamos com vérces de DI observados no mercado e assm para cada da da curva de juros podemos er dsnas maurdades já que cera maurdade específca pode não er sdo ransaconada nese da. Desa forma não esamos realzando nenhum procedmeno de nerpolação para gerar uma curva com maurdades fxas. Evamos realzar ese procedmeno de nerpolação já que ele podera alerar os resulados do ese para a presença de condções de não-arbragem já que em geral os procedmenos de nerpolação de curvas de juros podem levar a condções de arbragem como aponado por Laurn e Moura 9. Os dados ulzados conêm maurdades de a 376 das e suas esaíscas descrvas esão colocadas na abela no apêndce e uma vsualzação deses dados pode ser vsa na Fgura que mosra como o número de observações de cada vérce oscla denro da amosra observada.

23 Fgura Esruura a ermo DI. 5. RESULADOS Os resulados da esmação Bayesana para os cncos parâmeros que compõem o modelo da equação 6 com a correção de não-arbragem esão exposos nas fguras a segur. Vale comenar que para a esmação dos faores laenes foram esmados os valores dos parâmeros de decameno das componenes de nclnação e curvaura sendo obdos 8 e 4 para qualquer nsane de empo = denro do nervalo da amosra em análse para as axas de juros do DI. =

24 Prmeramene na fgura enconra-se a evolução do faor nível das axas do modelo denoado β represenando a componene de longo prazo da esruura a ermo das axas de juros braslera. Numa prmera análse do gráfco da fgura fca claro quão varane foram os valores assumdos pelo faor responsável pelos valores médos das axas de juros conforme a evolução na maurdade o que acaba dfculando sua nerpreação se for fea uma comparação com a evolução dos ouros quaro faores. Enreano observando com cudado o ambene macroeconômco vvdo pelo País no nervalo de empo em quesão da análse aqu desenvolvda o padrão da evolução do β faz sendo. Incalmene chama aenção a queda brusca verfcada na meade do nervalo de esudo. Ese período fo caracerzado pelo níco da Crse Fnancera de 8. Anerormene a ela mas no mesmo ano de 8 o País presencava alas axas de crescmeno e ao mesmo empo nha arelada uma axa de juros mas elevada em crcunsânca de uma possível quebra da mea de nflação. Com o níco da crse odo o cenáro de crescmeno deu lugar a um cenáro de níco de recessão onde não hava crédo e conseqüenemene o crescmeno verfcado anerormene podera ser deerorado com o decrescmeno observado ao fnal do ercero e durane quaro rmesre. O mpaco dsso se deu é claro na curva de juros do conrao DI onde em sua maora as curvas veram um deslocameno para baxo sem alerar em demasa os valores ncas da esruura. Logo oda a esruura de movmeno a ser capada pelo modelo sau da componene de longoprazo ou seja do faor nível e passou para as componenes de médo e curo prazo so é os faores de nclnação e curvaura jusfcando assm o decrescmeno do faor β durane o ano de 8.

25 Fgura. Evolução do Faor Nível Esmado. Do sso a análse da Fgura 3 e da Fgura 4 perme complemenar anda mas os aspecos relevanes observados anerormene. No período aneror à crse especalmene no ano de 7 a curva não se mosra muo volál sem fores varações ano na forma quano no aspeco endo seu formao médo dado pela curva do mês de julho de 7. Essa esabldade faz com que a carga de explcação do faor nível seja maor nesse período do que a carga verfcada no segundo semesre do ano de 8 o que é verfcado na evolução de β conforme a Fgura.

26 Adconalmene no período poseror à fase mas críca da crse fnancera prncpalmene a parr do segundo rmesre de 9 o País conseguu verfcar crescmeno econômco devdo às polícas governamenas e ao mesmo empo ao dnamsmo da auordade moneára e à nflação saudável que mplcaram em uma axa de juros básca suada em níves poucas vezes verfcados anerormene conforme pode se verfcar na curva fornecda pela Fgura 3. Por sso a componene de longo prazo assume valores mas nensos na explcação da esruura a ermo das axas de juros nos conraos DI haja vsa que há ndícos de aualmene esar em curso o níco de uma esabldade duradoura dos juros pracados no País. 6% Curvas do Conrao DI 4% dez/8 jul/8 % jul/9 % jul/7 8% Fgura 3. Curvas da Esruura a ermo do País.

27 Na seqüênca dando connudade à exposção de como evoluíram os faores de cargas do modelo a Fgura 4 é composa por dos gráfcos onde é exposa a evolução dos dos faores de nclnação esmados conforme o modelo da equação 6. A análse de ambas as magens perme noar que os dos faores capam a nclnação da esruura a ermo de manera dferene enre s afnal em ceros momenos quando a carga de um faor é elevada a oura carga por sua vez é baxa. Essa complemenardade dos faores arbu qualdade ao ajuse do modelo. Especfcamene vale noar que os faores de nclnação β e β 3 represenam as componenes de curo prazo da esruura a ermo e esão assocados respecvamene aos parâmeros de decameno médo da curva de juros e. De uma forma geral noa-se que uma endênca de decrescmeno da carga verfcada para o faor β com exceção do período referene à crse fnancera onde as curvas apresenaram varações fores em relação ao padrão verfcado denro da amosra observada. Ao mesmo empo a carga verfcada do faor de nclnação β 3 e apresenou uma endênca de crescmeno além das peculardades comuns devdo ao fao da crse. Assm a conclusão que se faz pernene quano aos faores de nclnação é que em vrude da aleração do formao médo da curva de juros braslera que passou de decrescene e convexa para crescene e côncava conforme as maurdades o faor de nclnação relaconado a um parâmero de decameno menor endera a dmnur sua carga ao passo que o faor do mesmo po mas relaconado a um parâmero de decameno maor endera a aumenar. Essa descrção é exaamene o que ocorre com β e β 3 na Fgura 4.

28 A Evolução do º Faor de Inclnação. B Evolução do º Faor de Inclnação. Fgura 4. Evolução dos Faores de Inclnação Esmados. Referene aos faores de curvaura que refleem as componenes de médo prazo para a esruura a ermo percebe-se a parr da Fgura 5 que ambos os faores apresenaram uma evolução smlar no ajuse para a amosra dferencandose apenas com relação ao valor da carga o que decorre em crcunsânca de cada faor esar relaconado a parâmeros de decameno médo que possuem nensdades varadas como vso anerormene nesa mesma seção. Em lnhas geras a evolução ncal de ambos os faores de nclnação mosra que a esruura a ermo esava se modfcando velozmene conforme a evolução crescene e côncava durane o prmero semesre de 8. Com a crse e conseqüenemene o urblhão na evolução da esruura a ermo os faores de nclnação exbram nversão em seu comporameno mosrando que a curva esava

29 adqurndo uma forma mas lnearzada e ao mesmo empo reerando o aumeno das cargas verfcadas pelos faores de nclnação. C Evolução do º Faor de Curvaura. D Evolução do º Faor de Curvaura. Fgura 5. Evolução dos Faores de Curvaura Esmados. Verfcada a evolução dos faores que compõem a esruura do modelo dnâmco o próxmo passo é a análse aravés dos gráfcos gerados do ajuse fornecdo pelo modelo proposo. A parr da Fgura 6 ncalmene observa-se o rerao do ajuse do modelo para uma curva pcamene presenes na leraura da esruura a ermo com formaos crescenes e côncavos para a curva de juros do da 7//8.

30 Fgura 6. Ajuse do Modelo para uma curva crescenes e côncavas no conrao DI- 7//8 Para as curvas de juros comuns à esruura a ermo braslera que apresena mas de uma mudança na curvaura e ambém varação fore na nclnação o modelo proposo com a correção de não-arbragem fornece novamene um bom ajuse para as axas de maurdades de médo e de longo prazo. Observe a Fgura 7 como exemplo dese ajuse.

31 Fgura 7. Ajuse do Modelo para duas curvas do DI ípcas da esruura braslera /6/8 e 6/3/9. Em uma análse prelmnar da mporânca das correções de não-arbragem nas Fguras 8 e 9 são exposos gráfcos conendo o ajuse do modelo esmado com a resrção de não-arbragem dado pela lnha conínua e o ajuse do mesmo formao de modelo porém agora sem a condção cada dado pela lnha ponlhada. De um modo genérco é mporane noar que o ajuse para as axas de médo e de longo prazo de ambos os modelos se não for o mesmo pelo menos é quase dênco afnal ambas as lnhas parecem esar em sobreposção no ajuse fornecdo para os prazos médo e longo nas fguras 8 e 9 respecvamene. Enreano para as axas de curo prazo os ajuses fornecdos pelo modelo sem a correção de não-arbragem se mosraram melhores capando ano a forma da curva quano a nclnação nesses rechos embora a dferença seja margnal. Fgura 9. Ajuse dos modelos com lnha conínua e sem lnha ponlhada a resrção de arbragem. Da - /6/8

32 Fgura - Ajuse dos modelos com lnha conínua e sem lnha ponlhada a resrção de arbragem. Da. 6//8. 6. Valdade das Condções de Não-Arbragem Para verfcar esascamene a valdade das condções de não-arbragem ulzamos uma meodologa Bayesana de eses de hpóeses. Noe que a hpóese nula de que as correções de não-arbragem não são relevanes equvale a hpóese nula que o faor de correção para não-arbragem dado pelo ermo C é gual a zero conra uma hpóese alernava que esa correção é dferene de zero. No enano sob a perspecva Bayesana ese problema não é bem formulado já que nesa perspecva o objevo é recuperar dsrbuções a poseror dos parâmeros o que corresponde a uma esmação por nervalos e assm essa hpóese nula em medda zero. No enano ese problema pode ser formulado como

33 um problema de seleção de modelos e desa forma um problema de decsão. Nese problema o objevo é enconrar o modelo com a maor probabldade a poseror denre os modelos possíves. Em nosso problema os dos modelos possíves são aquele sem a correção de não-arbragem e o modelo com a correção mposa. O mecansmo de eses de hpóeses Bayesanos nese conexo é baseado no uso dos chamados Faores de Bayes. A probabldade poseror do modelo M é dada por: 5 p y M p M p M y = p y em que p y M denoa a verossmlhança margnal do modelo e o faor de Bayes é dado por: 6 K = p M p M j y y = p Θ p Θ M p M M j p M j p y p y M Θ dθ M j Θ dθ. Nexa expressão podemos noar que o cálculo do faor de Bayes envolve ober as verossmlhanças margnas o que necessa de negração da verossmlhança em relação ao veor de parâmeros. Exceo em modelos smples esse cálculo não é possível de ser realzado com formas analícas e necessa de méodos de negração numérca. O méodo ulzado para o cálculo de verossmlhança margnal ambém conhecda como verossmlhança negrada ulzado em nosso argo é a meodologa proposa por Rafery e. al. 7 que ulza a méda harmônca modfcada das verossmlhanças obdas durane o processo de smulação de MCMC como esmador da verossmlhança negrada.

34 Valores superores a ndcam evdênca a favor do modelo enquano que valores menores que um ndcam evdênca a favor do modelo j na equação 6. Em nossa análse o modelo é dado pelo modelo sem correções de não-arbragem e o modelo j corresponde ao modelo com a mposção das resrções de não-arbragem. O valor calculado para o faor de Bayes enre o modelo sem resrções o modelo com resrções de não-arbragem fo de.443. Na nerpreação proposa por Jeffreys 96 para os resulados do faor de Bayes apenas valores superores a 3 ndcam alguma evdênca do modelo sem correções de não-arbragem em relação ao modelo com correções de não-arbragem e desa forma pelo faor de Bayes os modelos são equvalenes ndcando que a correção por não-arbragem não é necessára para esa esruura a ermo de axas de juros de nsrumenos de DI nesa amosra observada. 7. CONCLUSÃO O propóso dese rabalho fo o de colaborar com a modelagem da esruura a ermo das axas de juros no Brasl verfcando a mporânca de correções de nãoarbragem denro de um modelo paramérco baseado na formulação de Chrsensen Debold e Rudebusch 9. A parr da radconal écnca de modelagem acerca do ema escolheu-se por expandr esse modelo adoando assm cnco faores laenes para capar os movmenos da curva de juros denro do conrao de negocação DI. Adconalmene para acrescenar conssênca no

35 modelo adconou-se o ermo de correção de não-arbragem denro da curva de juros de modo a esar alnhado com a eora das fnanças. Os resulados obdos ndcam que na esruura do modelo paramérco adoado correções de não-arbragem não são esascamene sgnfcanes. Noe que podemos nerprear ese resulado de duas formas. A prmera forma sera a leura de que na curva de juros analsada não exsem oporundades de arbragem o que sera podera ser nerpreado como o resulado de um mercado líqudo em que odas as oporundades de arbragem são esgoadas pelos agenes e desa forma preços de equlíbro são lvres de arbragem. No enano a nerpreação alernava baseada em Duffee 8 parece mas conssene com os resulados e a meodologa ulzada. Duffee 8 mosra que denro da esruura de modelos afns em modelos correamene especfcados correções de não-arbragem não são relevanes e desa forma esas correções só sgnfcam melhores prevsões e ajuses para modelos com problemas de especfcação como por exemplo um número nadequado de faores ou com varáves omdas. Nesa suação correções para não-arbragem levam a uma redução do espaço de preços possíves assm melhorando os resulados do modelo. No modelo paramérco proposo baseado na formulação de Chrsensen Debold e Rudebusch 9 esamos adoando uma esruura paramérca com cnco faores laenes o que sgnfca uma forma funconal basane flexível que perme um ajuse adequado denro de amosra observada mesmo para a curva de juros de DI que pode apresenar formaos mas complexos com múlplas mudanças

36 de nclnação e curvaura. Dado esa forma funconal mas flexível e noando que o modelo lvre de arbragem proposo por Chrsensen Debold e Rudebusch 9 é um modelo afm o resulado obdo de que o modelo com a mposção de correções de não-arbragem é esascamene equvalene ao modelo sem correções pode ser compreenddo como uma evdênca a favor da esruura de cnco faores presene nesa formulação dando supore ao uso dese modelo na análse da esruura a ermo de axas de juros no Brasl. Com relação à evolução emporal dos cnco faores laenes fo possível perceber que eles refleram as dferenes suações macroeconômcas vvdas pelo País e que conseqüenemene por sua vez mpacaram a esruura das axas de juros negocadas do conrao de DI. Em especal chama a aenção o fao de oda a dnâmca da varação da esruura dos juros durane a crse er saído do faor nível componene de longo prazo e er do para os dos dos faores de nclnação e para os dos faores de curvaura que são as componenes de médo e de curo prazo respecvamene. Uma possível exensão da meodologa proposa é ulzar faores de Bayes predvos.e. ulzando nformações de períodos à frene na amosra o que permra uma análse da mporânca de condções de não-arbragem nas prevsões dervadas do modelo smlar a análse realzada por Almeda e Vcene 8 e não somene no ajuse denro da amosra. REFERÊNCIAS

37 Almeda C I. e Vcene J. 8. he role of no-arbrage on forecasng: Lessons from a paramerc. erm srucure model. Journal of Bankng & Fnance 3: Ang A. e M. Pazzes 3. A no-arbrage vecor auoregresson of erm srucure dynamcs wh macroeconomc and laen varables Journal of Moneary Economcs 5: Chrsensen J.H.E. Debold F.. and Rudebusch G.D. 7. Arbrage-Free Class of Nelson-Segel erm Srucure Models. he Affne Manuscrp Unversy of Pennsylvana and Federal Reserve Bank of San Francsco. Chrsensen J. H. E.; Debold F..; Rudebush G. D.9. An Arbrage-Free Generalzed Nelson-Segel erm Srucure Model. Economercs Journal : Cox J. C. Ingersoll J. E. e Ross S. A A heory of he erm srucure of neres raes. Economerca 53: Da Q. e Sngleon K.. Specfcaon analyss of affne erm srucure models. Journal of Fnance 55: Delbaen F. e Schachermayer W A general verson of he fundamenal heory of asse prcng. Mahemasche Annalen 3:

38 Debold F.. e LI C. 6. Forecasng he erm srucure of governmen Bond yelds. Journal of Economercs 3 : Debold F. Rudebush G D.; Aruoba S. B. he macroeconomy and he yeld curve: a dynamc laen facor approach. Journal of Economercs 3: 39:338. Duffee G.. erm prema and neres rae forecass n affne models. Journal of Fnance 57: Duffee G. 8. Forecasng wh he erm srucure: he role of no-arbrage. Workng Paper Unversy of Calforna Berkeley. Duffe D. e R. Kan 996. A yeld-facor model of neres raes. Mahemacal Fnance 6: Flpovc D A noe on he Nelson-Segel famly. Mahemacal Fnance 94: Harrson J. M. e Kreps D Marngales and arbrage n mulperod secures markes. Journal of Economc heory : Harrson J. M. e Plska S. 98. Marngales and sochasc negrals n he heory of connous radng. Sochasc Processes and her Applcaons : 5 6.

39 Jeffreys H. he heory of Probably 3e Oxford 96; p. 43 Laurn M. P e Hoa L. K. 7. Bayesan Exensons o Debold-L erm Srucure Model. IBMEC Workng Papel Dsponível em <hp://deas.repec.org/p/bm/ bmecp/wpe_.hml>. Laurn M.P. and Moura M. 9. Consraned smoohng B-splnes for he erm srucure of neres raes. Insurance: Mahemacs and Economcs no prelo do:.6/j.nsmaheco.9..8 Lerman R. e Schenkman J. 99 Common Facors Affecng Bond Reurns. Journal of Fxed Income : Nelson C. R. e Segel A. F. Parsmonous modelng of yeld curves. Journal of Busness 6 4: Rafery A. E. NewonA. M. Saagopan J. M. e Krvsky P. N. Esmang he Inegraed Lkelhood va Poseror Smulaon Usng he Harmonc Mean Ideny. Bayesan Sascs 8: 45. Rober C. P. e G. Casella 5. Mone Carlo Sascal Mehods. Sprnger. Vascek O An equlbrum characerzaon of he erm srucure. Journal of Fnancal Economcs 5:

40 Apêndce Esaíscas Descrvas Méda Medana Max. Mn. Desv.p. Smera Curose Obs. M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M abela - Esaíscas Descrvas

41

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