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1 A Prevsão com o Modelo de Regressão.... Inrodução ao Modelo de Regressão.... Exemplos de Modelos Lneares Dervação dos Mínmos Quadrados no Modelo de Regressão A Naureza Probablísca do Modelo de Regressão Propredades Esaíscas dos Esmadores Créros de Avalação dos Esmadores Obenção da Méda e o Desvo Padrão dos Melhores Esmadores Lneares Não Tendencosos ou Bes Lnear Unbased Esmaors (BLUEs) Aplcação de Teses de Hpóeses e Inervalos de Confança aos EsmadoresErro! Indcador não defndo. 9. O Coefcene de Ajusameno ou Deermnação: Erro! Indcador não defndo. 0. Inerpreação da Varação em Y em ermos da Análse de VarâncaErro! Indcador não defndo.. O Modelo de Regressão Múlpla... Erro! Indcador não defndo.. Consderações Adconas: a Correlação Parcal Tese de Chow: um Tese para a Esabldade Esruural dos Modelos O Modelo de Regressão Múlpla com Varáves Explanaóras Esocáscas Volação dos Pressuposos Báscos do Modelo de Regressão Clássco O Problema da Mulcolneardade O Problema de Heeroscedascdade O Problema da Correlação Seral... Erro! Indcador não defndo. 9. A Prevsão com o Modelo de Regressão... Erro! Indcador não defndo. Leuras recomendadas (Pndyck e Rubnfeld(976)):. Varáves nsrumenas e mínmos quadrados em dos eságos (Leura recomendada) (Pndyck e Rubnfeld). Tópcos avançados em esmação de uma equação sngular (Leura recomendada) 3. Modelos de escolha qualava (Leura recomendada) (Pndyck e Rubnfeld) Referêncas Bblográfcas: Kmena, Jan, Elemenos de Economera, Ed. Alas. Thomas, J. J. (978), Inrodução à Análse Esaísca para Economsas, Zahar Edores. Pndyck, R. S. e Rubnfeld, D. L. (976), Economerc Models and Economc Forecass, McGraw-Hll Kogakusha Ld., Tokyo. Pndyck, R.S. e Rubnfeld, D.L. (99), Economerc Models and Economc Forecass, Mcgraw-Hll Inernaonal Edors. Bowerman, B.L. e O`Connel, R.T. (987), Tmes Seres Forecasng-Unfed Conceps and Compuer Implemenaon, Duxbury Press, Boson. Levenbach, H. e Cleary, J.P. (984), The Modern Forecaser: The Forecasng Process Through Daa Analyss, Lfeme Learnng Publcaons, Belmonn, Calfórna.

2 A Prevsão com o Modelo de Regressão. Inrodução ao Modelo de Regressão A eora da Regressão perme que se esabeleçam relações enre varáves que se nerrelaconam cujas nformações esão dsponíves (dados pré-coleados), relações às quas assocam-se os modelos de regressão. Dessa forma, os economsas e os admnsradores procuram compreender a naureza e o funconameno de ssemas econômcos que são descros por meo dessas varáves. Por exemplo, o volume do comérco nernaconal pode ser modelado como uma função lnear do produo nerno bruo dos países. As vendas de um produo podem ser esmadas por uma relação enre a varável que as represena e varáves relavas aos preços desse produo e de seus concorrenes no mercado e aos respecvos gasos relavos com propaganda. Uma vez esabelecda essa relação pelo modelo de regressão, é precso avalar a confança que nela se pode colocar, realzando eses esaíscos. Temos dos pos báscos de nformação a consderar: () Informação descrevendo as mudanças assumdas por uma varável aravés do empo (dados de séres emporas) () Informação descrevendo as avdades de pessoas, frmas ec. num dado nsane de empo (dados de core ransversal) Para esses dos pos de nformação é possível esabelecer relações que descrevem as suações observadas por meo de modelos de regressão. Ou seja, dado um conjuno fno de observações e Y, por meo do modelo de regressão é buscado esabelecer relações enre e Y. Esse conjuno fno de observações corresponde a uma amosra represenava do unverso de nformações ou população, a qual permra esabelecer a verdadera relação enre e Y (Fgura ). Amosra População (verdadera relação enre e Y) Fgura - Relação enre a amosra e a população ou unverso de nformações

3 Tome-se por hpóese que exsa a relação lnear l enre e Y. No dagrama de dspersão da Fgura são represenadas as lnhas l e l que se procurou ajusar ao conjuno de pares ordenados (, Y) do conjuno amosral, assm como os desvos (posvos e negavos) em relação a l. Fgura - Dagrama de dspersão e desvos em relação à lnha ajusada Defnem-se desvos como os valores, segundo Y, das dferenças enre os valores observados e os valores sobre a lnha l ajusada ao conjuno de pares (, Y). Como regra esabelece-se que a melhor lnha l corresponde àquela cujo somaóro dos desvos ende a zero (é mnmzado). A melhor lnha ajusada defne o modelo de regressão e pode ser obda pela dervação de mínmos quadrados ordnáros, apresenada mas à frene.. Exemplos de Modelos Lneares (A) Modelagem de Tendênca e Sazonaldade aravés de Funções do Tempo Seja por exemplo o modelo Y = S + T, onde T represena a endênca no período. Por ouro lado, S represena a sazonaldade no período, sendo L o comprmeno da sazonaldade. Exemplos de suações onde a endênca é modelada, em que β 0, β e β são os parâmeros do modelo, são:

4 Tendênca nexsene, ou consane horzonal Tendênca lnear Modelo T = β 0 T = β 0 + β Tendênca quadráca (Fgura 3) T = β 0 + β + β T T que se ransforma em: T = β 0 + β + β v, fazendo v=, o que orna possível ransformação do grau da relação. T T Fgura 3- Gráfcos de dados com endênca quadráca Em algumas suações observa-se sazonaldade ou seja, os valores observados varam de forma caracerísca por período de empo ao longo do comprmeno da sazonaldade. Assm, pode-se escrever que: S = β + β β S S, S S, S(L ) S(L ), Varáves dummes Defne-se cada varável dummy por: S, = se é o período sazonal 0 senão S, = se é o período sazonal 0 senão S (L-), = se é o período sazonal (L-) 0 senão 3

5 Observa-se que o período sazonal L corresponde ao período base da represenação de S (podera ser ouro qualquer, defnndo-o a pror). (B) Exemplos de Transformação Lnear Seja o modelo: y y = e a+bx log e y = (a + bx) log e e y = a + bx (ransformação lnear). Subsundo-se x = /, obém-se a curva S ou curva do aprendzado (Fgura 4): Fgura 4- Gráfco da curva do aprendzado Modelo recíproco Y = a + bx Y = a + bx y=a+bx (ransformação lnear) Modelo semlogarímco Y = a + b log x Y = a + bv (ransformação lnear) v Da mesma forma: Y = α 0 + α x + α log x Y = α 0 + α V + α V V V Seja a equação não lnear nas varáves ndependenes: Y = α 0 x α α x Esa equação é não lnear nos coefcenes, mas lnearzável, por meo de aplcação de logarmos. 4

6 Seja o exemplo das vendas de um produo nroduzdo no mercado e com vendas, poserormene, em expansão. Esa suação é ípca do modelo que represena a curva do aprendzado do po Y = e a (b/), pos observa-se o começo leno, crescmeno fore e período de sauração (Fgura 5). Dados,478 (5,786/) Y = e Resulados do ajuse do modelo ao conjuno de observações: Parâmeros (a) (b) R = 0.953, F ese = 44.6 empo() vendas(y) / Log e (vendas) Fgura 5- Exemplo de suação ípca da curva do aprendzado (vendas de T.V. a cores, Makrdaks e Wheelwrgh, Forecasng, pág. 03) (C) Uso do empo como uma das varáves explanaóras Suações-Exemplo: ) Q = γ L α K β A() ε função de produção mudança écnca funconal de ex.: A() = e δ ) Inclusão da varável empo em modelo pouco aderene Y = β + β x + β 3 + ε, sendo que o ermo β 3 modela o efeo líqudo de conjuno de varáves excluídas. O efeo da nclusão desse ermo é esaísco. 5

7 3. Dervação dos Mínmos Quadrados no Modelo de Regressão A dervação dos mínmos quadrados perme eses esaíscos sobre o ajusameno enre e Y, da forma Y = a + b, sendo, por hpóese, Y a varável dependene e a varável ndependene. Y = a + b Varável dependene Varável ndependene Fgura 6 Lnha de mínmos quadrados ajusada ao conjuno amosral Defne-se o resíduo ou desvo (ε ) como ε = corresponde ao número de observações amosras. N Y Ŷ, onde Ŷ = a + b, e N Busca-se ober Mn (Y a b ou seja, a mnmzação do somaóro dos N = desvos ao quadrado (Fgura 6). ) Dessa forma, defne-se o ssema de equações normas: (Y a b ) = 0 a - ε = 0 equações normas... Y = a N + b - ε = 0 (Y a b ) = 0... Y = a + b b que mulplcadas, respecvamene, por e N, são reescras: ε (I) (II) 6

8 (I) equações ( ) Y = ( ) (a N + b ) (II) N normas ( N) Y = ( N) (a + b ) Fazendo (II) (I), pode-se ober os parâmeros (a e b) do modelo de regressão: b = N Y Y N ( ) nclnação coefcene lnear a = Y N Y b N nercepo consane onde se defnem as médas amosras Y e. Se Y = = 0 so sgnfca a = 0, e Y... ( ) N b = ( ) N b = ( Y / N) N (Σ/N) (ΣY /N), que pode ser escro: (Σ /N) b = ( Y /N) Y N - ( Y /N) Tomando-se a suação onde = Y = 0 b =. ( /N) Esses resulados sugerem a convenênca de escrever a esmava de mínmos quadrados por meo de varáves que represenam desvos em relação às médas, sejam essas nulas ou não. Dessa forma, deve-se ober a ransformação: x = - e y = Y - Y, pos x Σx = = 0 = y (são nulas as médas das varáves que correspondem à uma N ransformação de defasagem em relação às médas das varáves orgnas, pos: ( ) N x = = = 0 ). N N N Assm, reescrevem-se as esmavas dos parâmeros de mínmos quadrados da relação lnear ajusada enre e Y, anes da ransformação, como: 7

9 Σx y b = Σx a = onde o sgnfcado dessas esmavas de a e b é: Y b dy b d razão da varação (margnal) em Y com a varação em. a Y = a, quando = 0 al conclusão em geral não dz mua cosa sobre o eveno observado, sendo apenas um valor para o nercepo da relação lnear do ajuse feo. Para que essa nformação enha sgnfcado para a suação modelada, deve-se er nformação próxma de = 0. Na Tabela a segur exemplfca-se a obenção dos valores de a e b, sendo os gráfcos da lnha ajusada represenados na Fgura 7. Tabela - Obenção das esmavas dos parâmeros (nroduzr planlha ECEL) Y Calcula-se: = 3.5 e Y = 3.0 x = 0 y = 0 x y = 9.50 x = 6.00 Σxy b = Σx = 0,0 a =,375 Ŷ =, , (R = 0.77; F,6 =.) 8

10 Regressão ransformada Fgura 7- Exemplo do ajusameno da lnha de regressão e da lnha de regressão ransformada Exercíco (casa) Prove que a lnha de regressão esmada passa sobre o pono de méda (,Y). Sugesão: mosre que e Y sasfazem à equação Y = a + b, sendo a e b defndos como: b = N Y Y N ( ) Y e a = N b N 4. A Naureza Probablísca do Modelo de Regressão Para que se possa avalar a qualdade da relação lnear ajusada às nformações amosras das varáves, é precso realzar eses esaíscos no modelo de regressão. Por exemplo, como realzar esses eses esaíscos no modelo de regressão de mínmos quadrados com uma varável ndependene e uma varável dependene? Para sso, é precso, em prmero lugar, reconhecer a naureza probablísca do modelo de regressão. Seja o exemplo da Fgura 8, no qual observa-se que para um mesmo valor de (renda) exsem város valores de Y (gasos com almenação). Iso se explca porque, embora a renda de grupos de ndvíduos eseja, por exemplo, em orno de R$ /ano, o meo e faores aleaóros fazem exsr uma sgnfcava osclação nos gasos com almenação nessa faxa de renda. 9

11 Y observados ε Renda dos Indvíduos Meo/ Faores aleaóros Gasos com almenação Fgura 8- Relação enre amosra de renda dos ndvíduos e seus gasos com almenação Dessa forma, defnem-se as varáves aleaóras Y e e, por hpóese, a verdadera relação lnear enre elas, como Y = α + β + ε (Fgura 9). varável aleaóra Y = α + β + ε Fxados (dsrbução de probabldade) TRUE MODEL (população) erro aleaóro (omssão de varáves explcavas) (erro de colea de dados) Fgura 9- A verdadera relação lnear ou rue model enre as varáves aleaóras O valor esperado E(Y ) = E(α + β + ε ) = α + β corresponde ao verdadero modelo, represenado na Fgura 0 a segur. Embora s enham seus valores fxados, são varáves aleaóras com dsrbução de probabldades. Fgura 0 Naureza probablísca das varáves do modelo de regressão 0

12 Assm, são pressuposos báscos do modelo clássco de regressão lnear a duas varáves: () () Relação lnear enre Y e como descra em Y = α + β + ε `s não-esocáscos e fxados (será relaxado mas arde) () a) O erro ε em E (ε (zero) e E(ε ) = σ ) = 0 (consane), para odas as observações. b) ε `s não correlaconados esascamene, de forma que: E (ε ε j ) = 0, para j. No caso de (), supondo-se E (ε ) = α`, sendo α` um valor consane qualquer, pode-se escrever: Y = α + β + ε + (α` - α`) = (α + α`) + β + (ε - α`), defnndo-se assm um novo coefcene α*. α* ε * Obém-se E (ε * ) como: E (ε - α`) = E (ε ) E (α`) = E (ε ) - α` = 0 (!), consane α` ou seja: E (ε * ) = 0, manendo váldas as suposções do modelo de regressão clássco. As suposções () (a) e (b) raam de garanr a homocedascdade (varânca do erro aleaóro consane) e a ausênca de correlação seral. No caso conráro, em-se a presença de heeroscedascdade e correlação seral (Fguras e ): ) Presença de heeroscedascdade: E(ε ) não é consane e gual a σ ) Erros correlaconados correlação seral ou auocorrelação, onde E (ε ε j ) 0 (exse um padrão na dsposção dos dados em relação à lnha ajusada)

13 Varânca decresce ou cresce (heeroscedascdade) Fgura - Exemplos de heeroscedascdade Correlação seral negava Fgura - Exemplos de correlação seral Correlação seral posva Às afrmações acma deve-se acrescenar as segunes observações: * Coroláro de () e (a) E ( ε ) = E (ε ) = 0, ou seja: erro aleaóro não correlaconado com, onde `s são valores fxados. * E ( ε ) = E (ε ) = 0, que se refere a uma amosra de erros de uma população, sendo que esses erros são não-correlaconados. Além dsso, são váldas as segunes suposções do modelo de regressão em ermos da dsrbução de probabldade da varável Y:

14 () (a`) Y E (Y ) = α + β VAR (Y ) = σ, sendo α, β e σ a deermnar. (b`) Y `s não correlaconados 5. Propredades Esaíscas dos Esmadores Assume-se que: () c) O ermo do erro é normalmene dsrbuído (erros de medda e omssão de varáves pequenos e ndependenes enre s). Y combnação dos ε `s, normalmene dsrbuída, sendo: Y = α + β +ε. Assm, a lnha de regressão esmada Ŷ = αˆ + βˆ deve esar próxma ao verdadero modelo Y = α + β, onde as esmavas de α e β, os esmadores αˆ e βˆ, são varáves aleaóras ou seja, em E ( αˆ ), VAR( αˆ ), E (βˆ ) e VAR (βˆ ) (Fgura 3). Para que se possa enender melhor ese pono supõe-se que se enha N valores fxados de, em uma deermnada amosra (A ), de forma que se enha Y valores assocados a esses N valores de. Com esses valores de e Y, esma-se β ( βˆ ). β / ( βˆ ) α / ( αˆ ) E ( βˆ ) e VAR ( βˆ ), E ( αˆ ) e VAR ( αˆ ). população Y A A Y N Fgura 3- A naureza probablísca dos esmadores αˆ e βˆ 3

15 Toma-se oura amosra de pares de valores e Y, obendo novos N valores de Y assocados aos N valores de, com os quas esma-se um novo β ( βˆ ). Noe-se que os ε `s são dferenes, sempre. Com esse procedmeno, pode-se ober uma dsrbução de x y esmavas de β ( βˆ ), sendo: βˆ = x com respecvos valor esperado e varânca, aos quas aplca-se os eses esaíscos. O mesmo racocíno se esende ao esmador αˆ. 6. Créros de Avalação dos Esmadores (Fgura 4). São exemplcados a segur quaro créros de avalação dos esmadores. ) Ausênca de endencosdade (vés = 0) Defne-se o vés como: Vés = E ( βˆ ) - β, onde β é o verdadero parâmero Fgura 4- Exemplo de vés Quando N número grande, N é esmador não-vesado da verdadera méda da população. Da mesma forma, observa-se que: ( ) N é esmador não-vesado da verdadera varânca da população, em cujo denomnador em-se N-, pos fo fxado para esabelecer os desvos. ) Efcênca 4

16 βˆ é um esmador não-vesado efcene se a VAR ( βˆ ) é menor que a varânca de qualquer ouro esmador não-vesado. Maor efcênca mplca que são mas fores as afrmações esaíscas sobre os esmadores. Quando a varânca é gual a zero (0), so mplca que se esá raando do parâmero verdadero da regressão. E ( βˆ ) = βˆ. 3) Erro Quadráco Médo Mínmo (MSE) MSE ( βˆ ) = E ( = E [ βˆ -β) ( βˆ -βˆ) (βˆ + β)] =... = VAR ) ( βˆ + [vés ( βˆ ) ], sendo Observa-se uma nerrelação ( rade-off ) enre vés e varânca para se ober maor precsão ou seja, o rade-off de maor precsão enre o vés e a varânca mplcando pequena varânca e algum vés. 4) Conssênca Ese créro dz respeo a quando o amanho da amosra N ender a ser grande (Fgura 5) verfcar-se propredades assnócas, defndas pelo lme em probabldade de βˆ ou p lm βˆ : p lm βˆ lm Prob (( β -βˆ ) < δ) =, de forma que: p lm βˆ = β. N δ > 0, pequeno Prob βˆ N muo grande Pequeno N β βˆ Fgura 5- Exemplo das propredades assnócas com aumeno do amanho amosral Na práca, o créro de esmação é a conssênca ou seja: esmador vesado mas conssene pode não ser gual ao valor de β na méda mas aproxma-se dele para N muo 5

17 grande. Como exemplo, usa-se N no denomnador para ober esmador da varânca ( populaconal, de forma a er ) N varânca populaconal (base das esmações robusas). como um esmador vesado mas conssene da Como alernava para a conssênca pode-se er por créro: MSE 0 quando N, o que sgnfca que se em um esmador não-vesado assnócamene cuja varânca 0 quando N. 7. Obenção da Méda e o Desvo Padrão dos Melhores Esmadores Lneares Não Tendencosos ou Bes Lnear Unbased Esmaors (BLUEs) Consderando-se que αˆ e βˆ são os esmadores de mínmos quadrados do modelo de regressão Y = α + β + ε, pelo Teorema de Gauss-Markov se esabelece que αˆ são os melhores (mas efcenes) esmadores lneares não endencosos de α e β no sendo de que esses esmadores em varânca mínma em relação aos esmadores não endencosos de α e β, ou seja: αˆ e βˆ são BLUEs. O Teorema não se aplca a esmadores não-lneares. É possível que exsam esmadores não-lneares não endencosos e com varânca menor que a dos esmadores de mínmos quadrados. Além dsso, um esmador endencoso pode er varânca menor que os esmadores de mínmos quadrados. Esmadores dos robusos, não-lneares e endencosos, com mínmos MSE, em sdo esudados e ulzados em aplcações prácas (embora não sejam objeo do presene esudo). e βˆ Como já vso, os esmadores αˆ e βˆ são varáves aleaóras, com respecvas méda e varânca. Consderando-se que x = e y = Y Y, pode-se escrever E (y ) = βx e βˆ = x y / x, onde é defnda a consane c = x de forma que x N βˆ = c. y = Assm: βˆ = c y c (βx + ε ) = c βx + c ε (I) Obém-se: = 6

18 E ( βˆ ) = c βx + c E(ε ) * E ( βˆ ) = c βx = β c x β =, logo βˆ é esmador não endencoso, x onde c x = x = x (II) De modo smlar: VAR ( βˆ ) = E ( βˆ - β) 0 Subsundo (I) em VAR ( βˆ ), em-se que VAR ( βˆ ) = E [ c βx. + cε β] Observa-se que βˆ - β = c βx + c ε β= c x )β + c ε ( βˆ - β De (II) em-se que c x, logo = βˆ - β = c ε, sendo ( βˆ - β ) = ( c ε ) VAR ( βˆ ) = E ( βˆ - β ) = E [ c ε ] VAR ( βˆ ) = E [( c ε ) + ( c ε ) +...] + E [(c c ε ε ) +...] Ora, E (ε ε j ) = 0, j, assm: VAR ( βˆ ) = E ( c ε ) + E ( c ε ) +... = = c E (ε ) + c E (ε ) +... = = c σ + c σ homocedascdade, E (ε ) = ce = σ = σ = σ c, pos, na presença de Ora, c = x ( x ) = x, logo: VAR ( βˆ ) = σ / x, x = - De forma smlar pode-se ober que: E ( αˆ ) = α 7

19 VAR ( αˆ ) = σ N ( ) σ COV ( αˆ, βˆ ) = x É precso remarcar que se βˆ = c é uma combnação lnear de varáves y e se y y é normalmene dsrbuída, βˆ é uma varável aleaóra normalmene dsrbuída, o que mplca que os eses de hpóese são váldos para βˆ. Além dsso, observa-se que, de acordo com o Teorema do Lme Cenral, se o amanho da amosra cresce, a dsrbução da méda amosral de uma varável ndependenemene dsrbuída ende para a normaldade. Com sso pode-se afrmar que, mesmo no caso dos y não serem normalmene dsrbuídos, a dsrbução de βˆ é, anda assm, assnócamene normal. Ou seja, para amosras de grande amanho: σ βˆ ~ N β, x, de onde exra-se o créro amosral: maor varânca na amosra de leva a menor varânca de βˆ. αˆ ~ N α, σ N x, cuja varânca reduz-se a σ /N se = 0 na amosra. σ COV (αˆ,βˆ) =, onde se observa que, se > 0, superesmar αˆ corresponde x a subesmar βˆ e vce-versa. Observa-se que: σ é o verdadero valor da varânca do erro. Ulza-se S como esmador não-vesado σˆ de σ ou seja: S = σˆ = εˆ (Y αˆ βˆ ) = N N. 8. Aplcação de Teses de Hpóeses e Inervalos de Confança aos Esmadores Defne-se o nervalo de confança como o nervalo de valores que coném, com uma deermnada probabldade (-n.s.), ou um nível de sgnfcânca esaísca (n.s.), os verdaderos parâmeros da regressão. Nele se baseam os eses de hpóeses esaíscas. 8

20 Em geral esabelece-se a hpóese nula ou seja, de que o efeo não esá presene. Para o modelo ser explcavo, a hpóese nula deve ser rejeada. Ao assocar-se ao conjuno amosral um modelo de regressão, é objevo analsar os dados de forma a esar o modelo ajusado e avalar a adequação de novos modelos. Desa forma, realzam-se os eses de hpóeses, endo resulados que podem levar a uma seqüênca de eses de modelos. Ou seja: (a) Informação nconssene com o modelo: Rejeção do modelo; novo modelo é consderado. (b) Informação conssene com o modelo: Modelo aceo aé que novas hpóeses ou nova nformação permam novos eses. Os eses são aplcados a um nível de sgnfcânca (n.s.). Por exemplo, o que sgnfca: nível de sgnfcânca de 5%? Sgnfca que, se a hpóese nula for rejeada nese nível, é fao que ela esava correa pelo menos 5% das vezes. O nível de sgnfcânca pode ser compreenddo como o índce de erro aceo ao esabelecer o modelo de regressão (ou erro Tpo ). O ese esaísco para rejear a hpóese nula assocada ao coefcene da regressão basea-se usualmene na dsrbução de Sudens. Essa dsrbução é relevane pos nela ulza-se a esmava amosral da varânca do erro, ao nvés de seu valor verdadero (na população). Para compreender a formação dos nervalos de confança e o procedmeno do ese, ncalmene obém-se a esaísca com N- graus de lberdade (consderando-se o modelo com dos esmadores) como: βˆ β βˆ β N- = = / S S/( x βˆ ), com a qual se obém a padronzação do valor esmado βˆ. Consró-se em orno de esaísca N- um nervalo de confança al que: - c < N- < c, que em (-n.s.)% de probabldade de coner o verdadero valor do parâmero, onde c corresponde ao valor abelado da esaísca de Sudens para um nível de sgnfcânca (n.s.) ou probabldade (-n.s.), com N- graus de lberdade (N é o amanho da amosra e represena o número de esmadores). 9

21 Assm, seja por exemplo a probabldade de 95% de que o valor padronzado perença ao nervalo de confança: Prob (- c < N- < c ) = 0,95 por exemplo, onde c =,96, com N graus de lberdade, N endendo a um número grande. βˆ β Prob c < < c = 0,95 / sgnfca que há 95% de probabldade de S/( x ) S que β esá condo no nervalo enre βˆ ± c / ( x ) = βˆ ± c Sβˆ. Da mesma forma, esabelece-se o nervalo: αˆ ± c S αˆ = αˆ ± c S( ) (N x / / ) O ese de hpóese é defndo de forma que: H o = hpóese nula β = 0, Hpóese alernava β 0. Nesse caso, sendo o valor padronzado: βˆ β βˆ, se β = 0, sendo S c c =,96, por exemplo. S βˆ βˆ.96 condção de rejeção de H o βˆ Como regra práca: a 5% n.s., se > rejeo H o. Ŝ β Deve ser remarcado que não rejear H o não sgnfca aceá-la. O procedmeno de ese nos fala sobre a suação de rejear a hpóese nula (e acear a esmava de β) quando na verdade a hpóese nula é verdadera em n.s. % das vezes. São exemplos de eses de hpóeses para suações com presença de sazonaldade: Caso 0

22 C = β + β Y + ε não há varação do po sazonal, logo não há ese de hpóese para avalar a presença de sazonaldade. Caso C = β + β Y + α D + ε, onde D represena a varação sazonal. guerra 0 paz E (C ) = β + β E (Y ) ou E (C ) = (β + α) + β E (Y ) σ consane ese: α=0, verfca se a mudança é sgnfcava enre dferenes períodos. Caso 3 C = β + β Y + γ (D Y ) + ε Caso 4 E (C ) = β + β Y ou E (C ) = β + (β + γ) Y C = β + β Y + α D + γ (D Y ) + ε ese: γ=0, verfca se a mudança é sgnfcava e alera a axa de mudança em C assocada a Y. Os eses para α=0 e para γ=0 avalam se há mudança sgnfcava enre dferenes períodos sazonas. 9. O Coefcene de Ajusameno ou Deermnação: Os resíduos de uma regressão dão uma medda da qualdade do ajusameno. Como regra, em-se que:

23 Grandes resíduos ajuse rum Pequenos resíduos bom ajuse Observe-se que os resíduos êm undade relava ao problema. Inuvamene, ao ( resíduo) ober-se σ y em-se a geração de parâmeros para comparações. É esse racocíno que nspra a defnção de uma medda de qualdade do ajusameno ou aderênca, o coefcene de ajusameno R (ou coefcene de deermnação). Seja a Fgura 6 a segur, onde se em a represenação da lnha ajusada a um conjuno de observações de e Y. Fgura 6- Obenção dos desvos enre a varável observada, a lnha ajusada e o seu valor médo Analsando o valor Y, pode-se ober a varação oal de Y como o somaóro do quadrado dos desvos das observações em relação à méda amosral: Varação (Y) = (Y Y, onde: ) Y Y = (Y Ŷ ) + (Ŷ Y), De forma que:

24 (Y Y) = (Y Ŷ ) + (Ŷ Y) + (Y Ŷ )(Ŷ Y) εˆ ŷ varação oal de Y (TSS) varação resdual de Y (não explcada) (ESS) De forma smbólca, escreve-se: TSS = ESS + RSS varação explcada de Y (RSS) βˆx ε 0 ŷ = βˆ x Toal Erro Regressão Dvdndo-se os dos lados da equação por TSS (a varação oal de Y): = ESS + TSS RSS TSS Defne-se o coefcene de ajusameno R como a relação enre a varação de Y explcada pela regressão e a varação oal. Assm, R ESS RSS = - =, sem, 0 R. TSS TSS Observe-se que R é função dos parâmeros esmados. Na Fgura 7 são represenadas duas suações-lme para o valor de R : ajusameno perfeo (a), e caso em que a relação lnear não se ajusa aos dados amosras (b). Fgura 7 Exemplos de suações-lme do ajusameno 3

25 Uma oura manera de se ober R é mosrada a segur. Seja: y = Y Y ; x = ŷ = βˆ x y = ŷ + εˆ y ŷ + εˆ + = ŷ εˆ Resíduo da regressão βˆx εˆ βˆ x εˆ = 0 (nas equações normas da regressão) y = βˆ x + + ( βˆ 0 = 0 ), onde εˆ βˆ x = y - εˆ. Lembrando que o coefcene de ajusameno é função de ŷ e y, ou seja, as varações ( Ŷ e Y) (Y, e consderando-se a relação aneror obda: Y) R = (explcado) RSS TSS (oal) ŷ x y = = βˆ y => R εˆ = - y 0. Inerpreação da Varação em Y em ermos da Análse de Varânca As meddas relavas a TSS, RSS e ESS devem ser converdas em varâncas, por sua dvsão pelos graus de lberdade assocados ao processo de sua obenção. Assm, Varânca oal em Y = TSS N méda Varânca explcada em Y = RSS 4

26 Varânca resdual em Y = ESS N αˆ, βˆ ou, βˆ Defne-se a relação de varâncas: varânca explcada, como uma boa varânca não explcada medda (complemenar ao coefcene de deermnação) da qualdade do ajusameno, permndo que se avale a exsênca de relação lnear em Y e. Essa medda perme que se aplque o ese esaísco da equação de regressão. O ese da equação de regressão que esa a exsênca de relação lnear enre Y e basea-se na esaísca F de Snedecor assocada à essa relação de varâncas. Assm, obém-se a esaísca F,N-, com e N- graus de lberdade, como: F,N- = varânca explcada varânca não explcada = RSS/ ESS/N, que segue a dsrbução F com, N- graus de lberdade no numerador e no denomnador, respecvamene. S βˆ x F, N- = S RSS F, N- = 0 somene quando = 0, onde S = εˆ N - F, N- pequenos Como orenação, Relação lnear fraca Relação lnear fore F, N- grandes Dessa forma, esabelece-se o ese da equação de regressão onde: Hpóese Nula (H 0 ): Relação lnear não explcada (F, N- = 0) 5

27 Os valores da dsrbução F esão abelados, onde se obém valores de F críco (F c ). Dessa forma, se F, N- > F c rejeo H o Tabela F, N- F c se F, N- < F c não posso rejear n.s. %, N- graus de lberdade. O Modelo de Regressão Múlpla O caso geral de modelo de regressão múlpla sgnfca que exsem váras varáves explcavas da varação em uma oura (Y ). Assm, escreve-se o modelo de regressão múlpla a k varáves ou parâmeros: Y = β + β β k k + ε onde = =,,, N β, β,... β k são os coefcenes parcas da regressão. São váldas as segunes suposções para o modelo: ) A especfcação do modelo é lnear ) `s não-esocáscos. Não há relação lnear exaa enre os `s (senão: mulcolneardade). ) E (ε ) = 0 E (ε ) = σ E (ε. ε j ) = 0, j ε ~ N [0, σ ] Por smplcdade, consdere-se o modelo a varáves ndependenes: Y = β + β + β ε Ŷ = βˆ + βˆ + βˆ 3 3 E (Y ) = β + β + β 3 3 E (Y ) = σ σˆ = S Os coefcenes da regressão podem ser obdos por: 6

28 βˆ βˆ βˆ = Y ( = ( = βˆ βˆ x y )( x ) ( x 3y )( 3 ( x )( x ) ( x 3 x 3 x 3 y )( x ) ( x y )( ( x )( x ) ( x 3 x 3 sendo que as esmavas das varâncas podem ser obdas por: x ) ) x σ x [ x x ( x x 3 ) ] =... E[(b = 3 3 = βˆ β ) ] [ x. x ( x x ) ] S j j =,..., k x x 3 3 ) ) 3 3 k = 3 σ x 3 x x 3 ( = x x 3 ) βˆ = b E[(b 3 - β 3 ) ] =... βˆ 3 = b 3 Pode-se demonsrar ambém que: σ x x x 3 ( = x x 3 ) σ [ 3 ( 3 ) E[(b β) ] =, sendo b βˆ. N [ x x ( x x ) ] = σ x x 3 Cov (b, b 3 ) = x x ( x x ) (a) A Sgnfcânca dos Coefcenes do Modelo de Regressão Múlpla A dervação das esaíscas dos esmadores no modelo de regressão múlpla é obda aravés da Álgebra Marcal. Apresena-se a segur sumáro dos resulados mas relevanes: ) Os esmadores de mínmos quadrados de β j, j =,..., k são BLUEs Quando o erro ~ N (0, σ ), eses esmadores são ambém os esmadores de máxma verossmlhança. 7

29 ) S = εˆ N k é uma esmava conssene e não-vesada de σ. ) Quando o erro é normalmene dsrbuído, eses podem ser aplcados pos os valores padronzados dos parâmeros β j seguem essa dsrbução de probabldade de forma que: βˆ β j S βˆj j ~ N-k, j =,..., k (b) Avalação da Qualdade do Ajusameno: Tese F, R e R Corrgdo Seja: Y = β + β ε, com k varáves ou k parâmeros Y - Y = (Y Ŷ ) + (Ŷ Y) Toal = Resdual + Explcada (Y = - Y) (Y Ŷ ) + (Ŷ Y) TSS = ESS + RSS O coefcene de ajusameno: R = RSS (Ŷ Y) = TSS (Y Y) εˆ = (Y Y) mede a qualdade do ajusameno Algumas quesões se mpõem ao uso solado do R como medda do ajusameno. Enre elas: ) Em sua obenção pare-se do pressuposo da boa especfcação ) R depende do número de varáves ndependenes. A adção de varável ndependene pode não ser adequada, mas não deve baxar R Além dsso, o uso solado do R em valor lmado, pos pode ocorrer bom ajusameno (lea-se aqu: bom R ) do modelo global porque varáves ndependenes esão foremene correlaconadas enre s, com baxos valores de e alos desvos padrão ndvduas. 8

30 Para avalar a sgnfcânca do R realza-se o ese F k-, N-k, com k- e N-k graus de lberdade no numerador e denomnador, respecvamene, represenando o número de varáves ndependenes e o grau de varação não explcada. Para realzar o ese de hpóese F k-, N-k, obém-se: F k-, N-k = R R N k k Defne-se medda complemenar da qualdade do ajusameno: R corrgdo ou que é obdo, por defnção, em função de varâncas. var(εˆ) R = - var(y) S εˆ = N k R, (Y Y) N Noe-se que: Varação não explcada R εˆ = - (Y Y) é gual a - Varação oal S (N k) var(y) (N -) Assm, pode-se dervar a relação enre R e R : R = ( R ) N (N>k), para a qual: N k. k = R = R. k >, R R, sendo que R pode ser negavo. R é sensível à nformação usada para esmar k parâmeros. 9

31 (c) Comparando Modelos de Regressão Seja o R obdo por: S Var(εˆ) R = - Var(Y) -, onde ( - R ) = SY S e S = ( - R ) S Y. S Y A equação de S perme conclur que S decresce se R aumena, pos S Y (varânca de Y) depende de Y e Y e ndepende do modelo formulado. Nese pono são necessáras algumas consderações. Por exemplo, R ndca bom modelo explcavo. Mas qual é seu valor na prevsão? Para norear essa resposa, deve ser desacado que R deve aumenar ao adconarse uma varável explcava pouco mporane ao modelo, mas se esse aumeno ocorrer com um decréscmo em R e um aumeno em S (mpaca a varânca do erro de prevsão; sgnfca perda de precsão do modelo de prevsão), essa varável não deve consar da formulação defnva do modelo. Noa-se que a adção de uma varável explcava (k cresce) rá dmnur a N varação não explcada em Y (ESS = (Y Ŷ) ), enreano a varânca S ESS = = N k poderá dmnur ou aumenar (depende da varação do numerador e do denomnador). (d) Consrundo Modelos de Regressão com o Méodo de Máxma Melhora em R (MAR) O Méodo da Máxma Melhora em R é composo de eapas sucessvas para ajusar modelo composo de n varáves explcavas aos dados: Y... n 30

32 Eapas: ) Avalação dos coefcenes de ajusameno dos modelos a varáves: Ŷ = â + bˆ..., Ŷ = â + bˆ,... Ŷ = â + bˆ n,n n R R R n Busca do maor R : Ŷ = â + bˆ bˆ = bˆ, do modelo com o maor R Assm, Ŷ = â + bˆ x modelo a duas varáves ) Modelos a 3 varáves: Ŷ = â + bˆ + bˆ, novo modelo, onde p é a varável assocada ao maor R,p p (valor abaxo do R do modelo escolhdo na eapa aneror). Esraéga: Troca-se cada varável no modelo ( e p ) com cada varável fora do modelo, de forma a saber se haverá uma roca de varável (enre as denro e as fora do modelo) que rá melhorar o R do modelo. Resulado: Novo modelo a rês varáves. 3) Modelos a 4 varáves: Toma-se o melhor modelo a rês varáves e adcona-se uma nova varável (aquela assocada ao maor R na eapa, por exemplo). Procede-se à roca enre as rês varáves de denro com as de fora do modelo. A composção com maor R novo modelo a 4 varáves. 4) Repee-se o procedmeno, aé ober o modelo a n varáves. 3

33 Exercíco - Regressão Esabeleça, com suas palavras, um paralelo enre o méodo MAR e o processo de comparação de modelos a parr de R, R e S, consderando-se o modelo de vendas do deergene Fresh (30 observações semanas) (Bowerman e O Connel, 987), onde: Y cenenas de mlhares de embalagens venddas em cada período de observações ; x preço (US$) do deergene Fresh no período ; x o preço médo dos deergenes compedores (US$); x 3 o gaso em propaganda no período (em cenenas de mlhares de US$); x 4 x x dferença de preços enre a méda do mercado e o Fresh; x 5 x x razão enre preços (alernava a x 4 ). O modelo a quaro varáves ndependenes (ou a 5 varáves): Y = β o + β x 4 + β x 3 + β 3 x 3 + β 4 x 4 x 3 + ε em as segunes esaíscas assocadas:. ESS =,0644. Varação Explcada =, R Varação Explcada,394 = = = 0, 909 Varação Toal 3, S ESS,0644,0644 = = = = 0, 046 N k k N R = R = N N k 5 30 = 0,909 = 0, O mesmo que v ( lnearzado)...) R v N = ( R ) N > k N k Adconando-se a varável ndependene x 4 x 3 v 3 3

34 Y = β o + β x 4 + β x 3 + β 3 x 3 + β 4 x 4 x 3 + β 5 x 4 x 3 + ε. ESS decresce para,045. Varação explcada pelo modelo cresce para,46 3. R,46 (cresce) = = 0, 95 3, S ESS,045 (cresce) = = = 0,0434 N np R = 0,870 Embora R cresça, S cresce e R dmnu, logo o poder predvo decresce, desaconselhando a maner a nova varável ndependene no modelo. 33

35 Exemplo: DATA (QUATERLY, 954- aé 97-4, em US$) Função de con.s.umo (C ) mod I C = α + β y + ε mod II C = α + β y + γ C - + ε Varáves ndependenes: y renda dsponível, C - con.s.umo no período aneror. Modelo III S = Y - C varável dependene represenando renda dsponível após con.s.umo ( savngs funcon ). S = α 3 + β 3 Y + ε 3 Cresceu pos não há mulcolneardade Modelo I Modelo II Coefcenes Valores Esaísco αˆ 4,5 7,03 βˆ 0,88 73,06 R = 0,9977 ESS = 966,50 SER = 3,7 αˆ 5,5 3,06 βˆ 0,3 4,85 ŷ 0,65 8,78 R = 0,9989 ESS = 440,70 SER =,55 dsposção ao con.s.umo 0,3 = 0,88 ( 0,65) sgnfcane Modelo III αˆ 3 βˆ 3 R = 0,896-4,5 0, ESS = 966,5-7,03 4,57 SER = 3,7 Abaxou em relação ao R mod. I σ. Consderações Adconas: a Correlação Parcal As correlações parcas varam no nervalo [-,]. Elas são medda de mporânca relava das varáves ndependenes no modelo. Seja: Y = β + β + β + ε

36 O coefcene de correlação parcal enre Y e mede o efeo de em Y sem levar em cona oura varável do modelo. Os passos para sua obenção são:. Regressão Y em 3 Ŷ = αˆ + αˆ 3. Regressão em 3 ˆ = γˆ + γˆ 3 3. Remover nfluênca de 3 em Y e Assm, obém-se: Y* = Y Ŷ * = - ˆ 4. A correlação parcal enre e Y é a correlação smples enre Y * e *. Conhecendo-se a defnção de correlação parcal, pode-se dervar a relação enre a correlação parcal e a correlação smples ( r Y, r Y, r 3 Y3 ), de forma que: r Y. 3 r Y Y.3 ry ry. r 3 3 r =, onde: / / ( r ) ( r ) 3 Y 3 r Y 3 ry.3 é o coefcene de correlação parcal r. 3 É possível ambém dervar a segune relação enre o coefcene de ajusameno R, que mede a múlpla correlação no modelo, e a correlação parcal: R Y r. = 3 Y 3 r Y3 r ou -R = ( r Y3 )( r Y.3 ) Observa-se uso freqüene do coefcene de correlação parcal como apoo nas escolhas do procedmeno de composção do modelo de regressão denomnado Sepwse (as varáves adconadas ao modelo devem maxmzar R ). Esse coefcene dá medda do mpaco de cada varável ndependene sobre a varável dependene, sendo parcularmene úl com grande número de varáves ndependenes. 35

37 3. Tese de Chow: um Tese para a Esabldade Esruural dos Modelos É mporane saber se a esabldade esruural do modelo se maném ao longo do empo em que se obém nformações de suas varáves. O ese de Chow é um ese da esaísca F que perme avalar se um modelo adequado a um conjuno de nformações connua váldo para valores mas recenes amosras. O procedmeno do ese é o segune: Combnar odas as (N + N ) nformações e ajusar um modelo de regressão a esse conjuno amosral. Calcular a soma do quadrado dos resíduos (ESS 0 ) com N + N k graus de lberdade, onde k é o número de parâmeros esmados (nclundo o ermo consane). Ajusar dos modelos aos N e N subconjunos amosras, que não precsam ser de mesmo amanho, calculando as respecvas somas do quadrado dos resíduos (ESS e ESS ), com graus de lberdade N -k e N -k. Adconar as somas do quadrado dos resíduos desses dos subconjunos amosras e subrar essa adção do valor ESS 0 ncalmene calculado (modelo ajusado ao conjuno oal de dados). Calcular a esaísca F: { ESS0 ( ESS + ESS )}/ k F =, com k e N + N k graus de lberdade. ( ESS + ESS ) /(N + N k) Se o valor da esaísca F for sgnfcavo a n.s. %, a hpóese de que não exse sgnfcava dferença enre os modelos deve ser rejeada e pode-se conclur que o modelo compleo é esruuralmene nsável. Observe-se que: S ESS = N k, onde ESS é soma do quadrado dos resíduos e S é a esmava amosral da varânca do erro para amosras de amanho N. 4. O Modelo de Regressão Múlpla com Varáves Explanaóras Esocáscas Suposção: s ~ dsrbução de probabldade. São pressuposos:. A dsrbução de cada varável explanaóra é ndependene dos verdaderos parâmeros de regressão. 36

38 . Cada varável explanaóra é dsrbuída ndependene dos verdaderos erros no modelo. Pode-se afrmar que as propredades dos esmadores de mínmos quadrados ordnáros (MQO) de conssênca e efcênca permanecem para grandes amosras, não sendo afeadas na condção de que os valores das varáves ndependenes e os erros sejam ndependenes um do ouro. Os parâmeros de regressão esmados são esmados condconados a deermnados valores de `s. Sob os pressuposos acma, connuam a ser esmadores de máxma verossmlhança. 5. Volação dos Pressuposos Báscos do Modelo de Regressão Clássco É precso deermnar quando os pressuposos são volados e quas os procedmenos de esmação são adequados nesses casos. Sejam exemplos de volação: ) Em relação à forma funconal: Y = β + β β k k + ε erro de especfcação erro de consrução do modelo ) Em relação às varáves explanaóras: `s méda e varânca fnas não correlaconadas com erros (varável esocásca) erros de medda solução aravés de varáves nsrumenas não exse relação lnear enre s fore relação lnear enre varáves explanaóras (mulcolneardade) 3) Em relação ao pressuposo de normaldade dos resíduos: ε ~ N (0, σ ) e dsrbuídos ndependenemene E (ε ) 0 muda nercepo (α*) ausênca de normaldade: os esmadores de MQO permanecem nãovesados e conssenes mas nada se pode dzer sobre a verossmlhança. 37

39 Nesse caso dz-se que os eses são aproxmadamene váldos ou seja, são váldos quando o amanho da amosra N. Ouras volações são os casos de heeroscedascdade e correlação seral, dscudos a segur. 6. O Problema da Mulcolneardade Uma forma de deecar mulcolneardade é aravés da porcenagem de varação explcada (RSS/TSS) assocada a alguma varável sendo nroduzda no modelo de regressão. Se a porcenagem RSS/TSS decrescer, a mulcolneardade explca ese fao. Como regra práca, quando o coefcene de correlação smples enre duas varáves aleaóras ndependenes for 0,7, sso sgnfca ndíco de problema de mulcolnearedade. A mulcolneardade é um problema assocado à amosra de dados. A presença da mulcolneardade mplca que há pouca nformação na amosra para dar confança na nerpreação da suação em análse. Se exse mulcolnearedade, os resulados da regressão podem esar errados. Passos para avalar a mulcolnearedade: Passo n o : Tesar nova amosra de dados. Há ndcação de mulcolnearedade, por exemplo, quando o ese ndca nsgnfcânca esaísca dos esmadores e R ou esaísca F são alos. Passo n o : Nessa suação, a marz de correlação deve ser nvesgada. Todas as varáves ndependenes alamene correlaconadas devem ser reradas exceo uma. Embora essa seja uma solução, há perda de valor dos esmadores dos parâmeros. É mporane ressalar que:. É possível haver varáves ndependenes alamene correlaconadas (alos coefcenes de correlação) e a regressão não er problemas de mulcolneardade.. Se o ese ndcar sgnfcânca do esmador, é snal que a mulcolneardade não é séra para fns de prevsão. 38

40 Enreano na presença de mulcolneardade os parâmeros ndvduas não são valores sasfaóros. O exame dos desvos padrão dos coefcenes pode ndcar se a mulcolneardade esá causando problemas. Assm, se város coefcenes em alos desvos padrão e, ao rerar-se duas ou mas varáves do modelo, observa-se baxarem os desvos padrão, a mulcolneardade é provavelmene a orgem dso. Uma oura regra práca, válda para o caso de duas varáves ndependenes: Se a correlação smples enre duas varáves ndependenes for maor que a correlação de pelo menos uma delas com a varável dependene, a mulcolneardade é um problema. A mulcolneardade é um problema compuaconal que se ampla quando duas ou mas varáves ndependenes esão alamene correlaconadas (nos cálculos aparece a ndeermnação 0/0). (a) Explcação do Problema Consdere-se o modelo: Y = β + β + β + ε, =,..., N 3 3 No caso exremo, por exemplo, em-se: essa relação for conhecda: não há problema. = γ + δ, uma relação exaa. Se 3 Essa relação pode ser reescra: x = δx 3, fazendo x = e x 3 =, por exemplo. Dessa forma, 3 3 βˆ δ yx 3 x 3 δ yx 3 x 3 0 = e δ ( x ) δ ( x ) 0 = βˆ 3 =... = ndeermnação. 0 Var ( βˆ ) = x σ x 3 x 3 ( x correlação smples enre e 3, de forma que: x 3 ) = x σ ( r 3, onde r 3 é o coefcene de ) r 3 = x ( x x x 3 3 ) (Thomas, (978), págs. 3, 7). 39

41 Como r 3 ± (ala correlação), e Var ( βˆ ) e Var ( βˆ 3 ), a aplcação dos mínmos quadrados falha nese caso. O problema da mulcolneardade é razoavelmene fácl de reconhecer, mas dfícl de resolver, pos exge soluções como a rerada de varáves explcavas do modelo, o que não deve ser feo sob rsco de rerar-se mporane varável por causa de seu baxo valor de. Quando o modelo é projeado para a prevsão, muas vezes é preferível maner no modelo as varáves que a eora ndca que explcam a varável ndependene e que sejam fáces de prever. Uma vez que a mulcolneardade enha sdo resolvda, deve-se verfcar se ouros pressuposos do modelo clássco foram volados. 7. O Problema de Heeroscedascdade A heeroscedascdade ocorre quando as varâncas são varáves. Seja por exemplo os gasos de ndvíduos de renda baxa e ala. É esperado que exsa uma mpossbldade de varar no caso de renda baxa e uma grande varabldade nos gasos de ndvíduos de renda ala, com excedene em relação aos gasos obrgaóros mensas (Fgura 8). baxa Gasos de ndvíduos de renda ala Fgura 8- Varabldade nos gasos de ndvíduos de acordo com a renda Em conjunos de dados de séres emporas, é raro observar-se a heeroscedascdade, pos a relação é com empo. Enreano, ela é frequene em conjunos de dados de core ransversal, como o exemplo cado acma. Na presença de heeroscedascdade, assume-se; ε ~ N (0, σ ) Var(ε ) = E(ε ) = σ 40

42 Em presença de σ, o procedmeno de MQO dá maor peso, nauralmene, às observações com maores varâncas, o que leva a esmadores não-vesados e conssenes, mas que não são efcenes (varâncas do MQO não são as mínmas). Na dervação de βˆ, onde ŷ = βˆ x, y = βx + ε, logo y = ŷ + ε, x y xε βˆ = β + x x Ŷ = αˆ + βˆ ou, com a ransformação de varáves, E( x ε) E ( βˆ ) = β + = β, logo σ não mpora na dervação do valor esperado. x σ Enreano, na dervação de Var ( βˆ ) = x, σ não pode ser concluído. O uso da σ expressão Var ( βˆ ) = x para obenção da varânca do esmador leva a esmavas endencosas das verdaderas varâncas e a aplcação dos eses a resulados ncorreos. Dessa manera são defndos procedmenos para a correção e ese da heeroscedascdade. (a) Procedmenos para correção da heeroscedascdade Caso : Varâncas são conhecdas Var(ε ) = σ conhecdas a pror. Uso dos Mínmos Quadrados Ponderados (caso especal dos mínmos quadrados generalzados). Seja o modelo a duas varáves: Ŷ = αˆ + βˆ mn Y αˆ βˆ σ ou mn y βˆx σ βˆ = x (x * * y * ), x * x = e σ y * y =, σ onde prmero obém-se a ransformação das varáves dvdndo-as por σ, para em seguda subraí-las dos seus valores médos. 4

43 No caso do modelo de regressão múlpla, obém-se: Y * Y =, σ * j j =, σ ε * ε =, j =,..., k σ * * * * Y = β + β ε, onde * = ou seja, a equação ajusada não em σ nercepo, sendo que: Var(ε * ) = Var ε σ Var(ε ) σ = = =. σ σ Caso : Varâncas desconhecdas mas esmadas nas amosras Seja a Tabela, onde são abulados os gasos com a casa de ndvíduos, agrupados em grupos de acordo com a varação nesses gasos, com as faxas de renda famlar varando enre R$ 5.000,00 e R$0.000,00. Após proceder à análse dos dados em que observa-se que os gasos varam dferenemene por cada uma das faxas de renda, obémse as varâncas desses gasos por grupo, o que é apresenado na Tabela 3. Tabela Grupos (Y ) gasos com a casa ($.000) ( ) renda famlar ($.000),8,0,0,0, 5,0 3,0 3, 3,5 3,5 3,6 = α + β + ε 0,0 Y 3 4, 4, 4,5 4,8 5,0 5,0 4 4,8 5,0 5,7 6,0 6, 0,0 Y = 890,0 + 0,37 (4,4) (5,9) esmava de MQO R = 0,93 F = 5,7 Análse do Dados (ploar) Heeroscedascdade As varâncas esmadas por grupo represenam uma possbldade de correção para o Caso. A correção sugerda sege a correção do Caso, por exemplo. Tabela 3- Varâncas esmadas por grupo A correção sugerda segue a correção do Caso. 4

44 Caso 3: Varâncas do erro varam dreamene com uma varável ndependene Assume-se: Var(ε ) = C uma das varáves ndependenes 0 Por exemplo: Var(ε ) = C em Y = β+ β β k k + ε onde a ransformação das varáves do modelo defne o novo nercepo: β = β. Aplca-se os mínmos quadrados ponderados com as varáves: * Y Y = * j = j * ε ε = onde: Var(ε * ) = Var ε Var(ε ) = = C A esmação com dados do exemplo do Caso perme ober: Y = β * + α * + ε * Y = 0, ,9 R = 0,76 F = 58,7 Houve ransformação na varável dependene (R não deve ser comparado ao aneror). (b) Teses para Verfcar Heeroscedascdade Hpóese Nula (H o ): σ = σ =... = σ N, em N observações (Homocedascdade) Hpóese Alernava: Heeroscedascdade Tese : Tese de Barle (a parr dos dados amosras). Passos do ese: 43

45 . Esma-se S g = onde: S g = σˆ g N g Ng (Y Y para cada grupo de observações, g =,,..., G, = ). Tese S, sendo S = N log[ (N G G g/n)sg g= g= ] N + [/3(G )][ (/N G g= g g logs g ) (/N)] 3. Na suação de homocedascdade S ~ Qu-quadrado com (G-) graus de lberdade Hpóese Nula: Varâncas guas em odos os grupos Se S > S críco (abela χ ) rejeo H o 4. Rejeção de H o modfcação de MQO No exemplo do Caso : S = 0,7 S críco, 3 graus de lberdade = 7,8, 5% n.s. Tese : Tese de Goldfeld-Quand Hpóese Nula: Homocedascdade Hpóese Alernava: σ = C 44

46 Procedmenos geras do ese: Lnha de regressão com dados assocados às baxas varâncas * Cálculo de duas lnhas de regressão + lnha de regressão com dados assocados às grandes varâncas Assm:. Ordenação dos dados de acordo com a magnude de uma das varáves ndependenes (relaconada à magnude da varânca do erro).. Ome-se d nformações cenras (d /5 N), e ajusa-se regressões aos (N d) e k graus de lberdade. 3 Calcula-se ESS (menores valores) e ESS. N d dados 4. Pressupõe-se Erros normalmene dsrbuídos Erros não correlaconados seralmene ESS ESS dsrbução F[N-d-k)/ graus de lberdade no numerador e no denomnador] Se ESS ESS > F críco rejeo H o Ao ulzar-se maores valores de d, melhora-se o ese. 45

47 Seja o mesmo exemplo aneror (em que d = 0):. Rendas menores ($5.000 e $0.000) Y = 600,00 + 0,76 (3,) (,3) R = 0,94 ESS = 3,0 x 0 5. Rendas maores ($5.000 e $0.000) Y =.540,0 + 0,0 (,4) (3,) R = 0,55 ESS = 0, x 0 5 ESS = 6,7 ESS F críco = 6,03 (8,8) graus de lberdade 6,7 > 6,3, logo, rejeo H o Tese 3: Tese de Whe O procedmeno do ese de Whe deermna que, em um prmero passo, se avale o ajusameno enre os resíduos da regressão orgnal esmada e as varáves explanaóras formuladas conforme o modelo: ε = γ+ φ + δ Z + θ Z + ν, que perme não-lneardades e para o qual se obém o coefcene de ajusameno ou deermnação R, sendo que Z e correspondem às varáves explanaóras da regressão orgnal das quas se suspea serem a orgem da heeroscedascdade. valor: Em seguda é obda a esaísca Qu-quadrado para o ese, em que se calcula o χ = N R, onde N é o amanho da amosra que ajusou a regressão que deu orgem aos resíduos ε. Se N R for um valor sgnfcavo com p graus de lberdade e (-n.s.)% de probabldade sgnfca que o modelo sugerdo para relaconar o quadrado dos resíduos e as p varáves explanaóras ndca heeroscedascdade (no modelo formulado, p=3). 46

48 Por exemplo, se for a únca varável da qual se suspea ser a orgem da heeroscedascdade, deve-se calcular a esaísca χ para o modelo: a) ε = γ+ φ + ν, e avalar sua sgnfcânca com grau de lberdade, ou b) Sugere-se que o modelo nclua as varáves explanaóras e, e o ese seja feo com graus de lberdade. 47

49 Exemplo Consdere-se o modelo de regressão esmado: ŜD = βˆ + βˆ DI βˆ βˆ βˆ βˆ P (hghly rended me-seres) IS + 4I + 5E + 6 N = 88 graus de lberdade = 8 S = 63,4 R = 0,93 R = 0,9 Soma dos (Resíduos ) = 5,7 x 0 6 F 5,8 = 0,6 Coefcene Valor Desvo Padrão Méda βˆ.09,0.3,0 5,,0 Coefcenes parcas (de correlação) βˆ 0,09 0,06, ,9 0,9373 βˆ ,3 483,6-3,5,96-0,3600 βˆ 4-76, 65,6 -, 5,8-0,79 βˆ ,6 974,4 5,7,96 0,53486 βˆ -75,6 34,4-5, 05, (coef. corr. parcal) = (0,53) = 0,8 da varânca da varável dependene SD. Exercíco: Quesão escolher uma sére sazonal e esmar seus parâmeros, R, eses,... 48

50 8. O Problema da Correlação Seral Na análse de dados de séres emporas, prncpalmene, é freqüene a correlação enre os ermos de erro em períodos de empo adjacenes. A presença de correlação seral de ª ordem sgnfca que os erros em um período esão correlaconados dreamene aos erros no período segune. Por exemplo, a prevsão superesmada de axa de vendas para um período provavelmene nduz a superesmavas dos períodos segunes (exemplo de correlação seral posva). A correlação seral enre ermos de erro é posva, na maora das séres emporas. Iso deve-se, por exemplo, ao efeo de varáves omdas ou erros de medda. Como regra geral, a presença de correlação seral não afea a não-endencosdade e a conssênca dos esmadores de mínmos quadrados (MQO) mas afea a efcênca (varânca). No caso de correlação seral posva a perda de efcênca é mascarada pelo fao de que as esmavas dos desvos padrão obdas (pelo MQO) são menores que os verdaderos desvos padrão (desvo padrão vesado para menos). Com sso os parâmeros da regressão podem ser consderados mas precsos do que realmene são. Além dsso, o nervalo de confança é mas esreo, fazendo com que a hpóese nula seja rejeada quando ela não devera sê-lo. Inuvamene, as duas suações da Fgura 9 ocorrem: Fgura 9- Exemplos de ajusamenos de modelos de regressão a dados seralmene correlaconados (posvamene) No caso de correlação seral posva, R é melhor do que devera ser. Como represenado na Fgura 9, são observadas duas suações de ajusameno ao longo do 49

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