INTRODUÇÃO AS EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS

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1 INTROUÇÃO S QUÇÕS IFRNIIS PRIIS. INTROUÇÃO Porqe esdar as qações ferencas Parcas? Smplesmene porqe a maora dos fenômenos físcos qe ocorrem na nareza são descros por eqações dferencas parcas como por eemplo: a dnâmca dos fldos o eleromagnesmo a deformação dos maeras eláscos a dfsão de nerons a dfsão de calor as vbrações em meos eláscos a dnâmca poplaconal a propagação de vírs a dnâmca genéca modelos econômcos a ransmssão do esímlo nervoso aravés do aôno e mas recenemene as reações qímcas qe ocorrem na sperfíce do N. Iso para car apenas algns eemplos. emplos: eqação do calor ndmensonal eqação do calor bdmensonal c eqação da onda ndmensonal eqação do elégrafo eqação de Laplace rdmensonal eora do poencal zz k eqação da vga engasada d eqação de Pohozaev; vbrações ransversas de ma vga Palo Marcelo as de Magalhães UFOP

2 sen eqação de Sne-Gordon; óca não-lnear e / eqação da combsão eqação de rger para o fldo compressível vscoso eqação de Koreweg-deVres para as ondas de ága-rasa n ; n eqação da percolação eqação de Shrödnger para o eléron lvre Ssema de FzHgh-Nagmo para o poencal de ação do nerôno: a v v b cv Ssema de I. Segal para a neração enre dos campos escalares relavíscos m v v v mv v 3. efnção: Uma eqação dferencal parcal P de ordem m é ma galdade envolvendo ma fnção de n varáves n e sas respecvas dervadas parcas de aé ordem m m o seja é ma galdade do po m F... n m onde... e F é ma fnção qalqer. n n n OS: Se F aar lnearmene na varável dependene e em sas dervadas enão a P pode ser consderada como m operador lnear aando em algm espaço veoral fnconal. Palo Marcelo as de Magalhães UFOP

3 omo resolver as P s? sa é ma pergna profnda pos no caso das P s não lneares cada P ege ma écnca especal. e m modo geral o méodo mas lzado consse em ransformar a P em das o váras O s. s écncas mas empregadas são as segnes: Separação de varáves: esa écnca redz ma P com n varáves ndependenes à n O s. Transformadas negras: esa écnca redz ma P com n varáves a ma P com n- varáves. Mdanças de coordenadas: esa écnca ransforma a P em ma P mas smples o mesmo em ma O aravés de ma mdança das varáves ndependenes. Transformação da varável dependene: esa écnca ransforma a varável dependene em ma ora na qal a P é mas fácl de se resolver. Méodos nmércos: são méodos qe redzem ma P a m ssema de eqações de dferenças qe podem ser resolvdas aravés de écncas recrsvas va compador. m mos casos esa é a únca écnca. lém de dscrezação de ma P esem os qe enam apromar as solções por sperfíces polnomas splne appromaons. Méodos perrbavos: esses méodos ransformam ma P não-lnear em ma seqüênca de P s lneares qe apromam a eqação orgnal. Técncas mplso-resposa: esa écnca decompõe as condções ncas e de fronera do problema em mplsos smples e acha a resposa para cada mplso. solção complea é obda por adção das resposas parcas. qações negras: esa écnca ransforma a P em ma eqação negral. s eqações negras possem sas própras écncas de resolção. Méodos varaconas: são méodos qe reformlam o problema de obenção da solção em m problema de mnmzação de ceros fnconas sendo a solção dada pela fnção mnmzane. lassfcação das P s: a mporânca de se classfcar as P s resde no fao de qe cada classe poss sas própras écncas de resolção. s ses classfcações báscas são as segnes: a Ordem: a ordem de ma P é a ordem da dervada mas ala qe nela aparece. segnda ordem prmera ordem cos ercera ordem Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 3

4 k Qara ordem a Número de varáves ndependenes: varáves ndependenes; e 3 varáves ndependenes; e 4 varáves ndependenes; z e zz 3 a Homogenedade: se na P não aparece ma fnção apenas das varáves ndependenes solada a eqação é da homogênea. aso conráro é não homogênea. 4 a oefcenes: ma P pode apresenar coefcenes consanes o dependenes das varáves de F. sen e coefcenes varáves coefcenes varáves r r rr r coefcenes consanes 5 a Lneardade: ma P é da lnear se aa lnearmene sobre a varável dependene e sas dervadas. Usalmene se classfcam apenas as P s lneares de segnda ordem. forma geral de al P é dada por n n a b c d * j j j onde... R n e evenalmene pode se er n qando se raar de n fenômenos qe evolem no empo. pare prncpal de ma P é a pare da eqação qe coném os ermos com dervadas de maor ordem. Por eemplo a pare prncpal de * é dada por n j a j j Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 4

5 Uma classfcação mas geral qano a lneardade para P s de a ordem pode ser dada do segne modo: seja a P onde dada por onde = F j j... n... n j. Resrngndo-se a sbfamíla n... j a j j N ** j... n é a pare prncpal. Nese caso em-se qe ** é qase-lnear se a j a j N N. ** é sem-lnear se a a N N. j j ** é lnear se a a N b c d. j j OS: Qando não aconece nenhm dos casos acma dz-se qe a P é não-lnear. emplos: sem-lnear sen sem-lnear d qase-lnear e não-lnear 6 a rqépos Fndamenas da Físca-Maemáca: essa classfcação é orgnára da classfcação das côncas realzada na geomera analíca por sso se aplca apenas as P s lneares de a ordem com das varáves ndependenes o seja as eqações do po Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 5

6 F G L onde F e G são fnções de das varáves ndependenes. efnção: Uma P do po L é elípca em se d 4. parabólca em se d. hperbólca em se d. plcações: eqações elípcas descrevem fenômenos em regme permanene sead-sae. eqações parabólcas descrevem fenômenos dfsvos. eqações hperbólcas descrevem fenômenos ondlaóros. emplos: arqépos anôncos d parabólca c c d 4c hperbólca d 4 elípca OS: m geral d pode depender das varáves ndependenes de modo qe ma mesma P pode mdar de arqépo em dferenes regões do se domíno. Por eemplo a eqação de Trcom da dnâmca dos gases Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 6

7 elípca se d 4 parabólca se hperbólca se ada m dos rês arqépos fndamenas poss ma o das forma canônca qe sempre pode ser obda aravés de ma mdança das coordenadas. Os represenanes canôncos são os segnes rqépo elípco rqépo parabólco rqépo hperbólco o OS: Onde são lneares em e sas dervadas. Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 7

8 Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 8. FORM NÔNI PR P LINR ORM O TIPO HIPRÓLIO: ada a P F G com 4 o objevo é achar ma mdança das varáves ndependenes qe redza a ma das das formas canôncas. Para sso omamos ma mdança arbrára e Vejamos qas condções e devem sasfazer para aender o objevo acma. Ulzando a regra da cadea compemos as segnes dervadas OS: Uso-se o lema de Schwarz. Sbsndo em obém-se qe G F onde

9 Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 9 enão se oberemos a forma canônca desejada. Para sso em-se qe er Podemos spor qe e o qe e pos qeremos ma mdança com novas varáves fnconalmene ndependenes o seja / e ober qe / / / / de modo qe d / / onde d 4. Para qe enhamos das novas varáves dsnas omamos

10 / d e o / d / d e η /η - d s eqações acma são chamadas eqações caraceríscas. Porano o problema se redz a acharmos das fnções e as qe as dervadas parcas sasfaçam as respecvas eqações caraceríscas. Para sso olhamos para as crvas de nível dessas fnções so é para as crvas crvas caraceríscas dadas pelas eqações e. e. s dferencas oas dessas crvas aendem as eqações d d d e d d d o qe mplca em d d e d d e negrando obém-se qe d d d e. d e. o seja a mdança de varáves desejada é dada pelas própras crvas caraceríscas! Palo Marcelo as de Magalhães UFOP

11 emplo: Redzr a forma canônca a P. Tem-se qe d 4 4. e modo qe a eqação é hperbólca eceo nos eos coordenados onde se degenera. s crvas caraceríscas são dadas por d d d e d d d Lembre-se qe essas eqações são conseqüênca de se mpor. Inegrando as das O s acma qe são do po varáves separadas obém-se e. e modo qe as novas varáves ndependenes são dadas por e. Iso é qando varam em as crvas de nível de e descrevem hpérboles e círclos no plano. om as novas varáves obemos qe logo Palo Marcelo as de Magalhães UFOP

12 Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 6 Sbsndo na P ransformada G F obém-se qe 8 Fnalmene colocando em fnção de obém-se a segne forma canônca.

13 . FORM NÔNI PR P LINR ORM O TIPO PRÓLIO: ada a P F G com 4. O objevo é achar ma mdança das varáves ndependenes qe a forma canônca do arqépo parabólco. Para sso procramos ma mdança de coordenadas e al qe nas novas coordenadas seja da forma e modo qe em F G enhamos. e obém-se qe e porano a eqação caracerísca é dada por / / d d. Inegrando a eqação acma se obém a crva caracerísca. gora como enão Por oro lado como Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 3

14 enão. Logo para al em-se qe ndependenemene de a qal pode ser omada como sendo a própra varável. emplo: Redzr à forma canônca a P Tem-se qe. não 4 donde a P é parabólca. a eapa: obenção da eqação caracerísca. Tem-se qe d d. Inegrando obém-se a mdança de coordenadas qe anla : d d. Para a mdança de coordenadas omamos. a eapa: obenção da P nas novas varáves. Tem-se qe Sbsndo obém-se F G. Porano a forma canônca é dada por. Observe qe esa eqação pode ser resolvda faclmene basa negrar das vezes em relação à. prmera negração fornece f Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 4

15 onde f é ma fnção arbrára. segnda negração nos leva a f g onde g é ma fnção arbrára. e modo qe volando as varáves ncas obém-se qe f g é solção da P para qalqer par de fnções f e g das vezes dferencável. Porano ese ma nfndade não enmerável de solções. Por eemplo cosh e é ma possível solção para a P..3 FORM NÔNI PR P LINR ORM O TIPO LÍPTIO: ada a P F G com 4 qeremos ma mdança de coordenadas e al qe nas novas coordenadas seja da forma Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 5

16 Para sso é necessáro qe na eqação ransformada F G se enha e. Nese caso como se em d não esram crvas caraceríscas reas. Por sso eremos qe realzar das mdanças de coordenadas para obermos a forma canônca desejada. Na prmera repemos formalmene o qe fo feo no caso hperbólco obendo com sso a forma hperbólca complea aravés de ma mdança de coordenadas complea conjgada qe são dadas pelas raízes das eqações caraceríscas. Na Segnda mdança redzmos a forma hperbólca complea obda à forma canônca desejada aravés da mdança de coordenadas reas dada por e 3 sse procedmeno formal pode ser jsfcado sem dfcldades se as fnções pderem ser esenddas analcamene à ma regão do plano compleo conendo o domíno onde a P aa. Qando al eensão não é possível a redção se orna mo complcada. a mdança: redção à forma hperbólca complea Sejam as qe d d. Resolvendo as eqações caraceríscas acma obém-se as crvas caraceríscas compleas qe redzem a P à forma hperbólca complea. a mdança: redção à forma elípca real Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 6

17 Para sso obemos a mdança defnva dada por 3 a qal redzrá a forma hperbólca complea à forma elípca real acma. emplo: Redzr à forma canônca a P. Tem-se qe d 4. e modo qe a P é do po elípco. a mdança: redção à forma hperbólca complea. qações caraceríscas d d d d 4 4 d d d d rvas caraceríscas * logo e modo qe Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 7

18 Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 8 OS: e * obém-se qe e não. 4 Sbsndo em obém-se a forma hperbólca complea da P 4 o seja a mdança: forma elípca real. rvas caraceríscas e. onde e modo qe a forma elípca real será dada por G F 4 onde

19 Palo Marcelo as de Magalhães UFOP 9 o seja Sbsndo em 4 obém-se o seja.

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