Tráfego em Redes de Comutação de Circuitos

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1 Caracerzação do ráfego nálse de ssemas de esados nálse de ráfego em ssemas de erda nálse de ráfego em ssemas de araso Bloqueo em ssemas de andares múllos Máro Jorge Leão Inenconalmene em branco

2 Caracerzação do ráfego 3 Inensdade de ráfego ulzação de um nó de comuação de crcuos (or exemlo, uma cenral elefónca) ou de um gruo de crcuos de ransmssão é deermnada or dos facores: chegada de chamadas; duração de chamadas. O ráfego oma em consderação esas comonenes, odendo quanfcar-se aravés da nensdade em undades de erlang (segundo.k. Erlang, onero dnamarquês da eora do eleráfego): se um ssema suora chamadas, dz-se que ransora erlangs de ráfego (noe-se que esa undade é admensonal). De um modo geral, a nensdade de ráfego num nervalo de emo ode exrmr-se aravés da razão enre o volume de ráfego V - somaóro das durações d de odas as chamadas n ocorrdas no nervalo - e o eríodo de emo T: V T n = = = T d Caracerzação do ráfego 4 Inensdade nsanânea do ráfego oal Inensdade méda de ráfego = 0,5 erlang Volume de ráfego V = 84 chamadas X mnuo cvdade ndvdual dos crcuos Temo (mnuos) cvdade de ráfego num conjuno de crcuos

3 Caracerzação do ráfego 5 Por ouro lado, a axa méda de chegada de chamadas λ e a duração méda das chamadas d m são dadas or: n λ = T d m n = = n d Logo, a nensdade de ráfego vrá: = λ d m nensdade de ráfego é aenas uma medda da ulzação méda durane um eríodo de emo e não reflece a relação enre chegada e duração de chamadas: muas chamadas de cura duração odem roduzr a mesma nensdade de ráfego que oucas chamadas longas. as redes de comuação de crcuos, é geralmene sufcene caracerzar o ráfego aenas em ermos de nensdade de ráfego, odendo or vezes ser necessáro consderar os adrões de chegada de chamadas ou as dsrbuções de durações. Caracerzação do ráfego 6 Varação do ráfego s redes de comuação de crcuos, como a rede elefónca úblca, são camene dmensonadas em ermos da acvdade durane a hora mas carregada do da, rocurando-se um comromsso enre dos exremos: rojecar ara a ulzação méda oal, que nclu emos nocurnos vrualmene sem ráfego; rojecar ara cos de cura duração resulanes de aconecmenos esorádcos (fm de rogramas de TV, concursos or elefone, ec.). É habual consderar dos os de ulzadores no que resea ao ráfego elefónco: resdencas, com ulzação or lnha de 0,05 a 0, erlang na hora mas carregada, e emos médos de duração de chamadas de 3 a 4 mnuos; as cenras de zonas resdencas aresenam maores cargas ao fm do da/noe; emresaras, com ulzações suerores em horas corresondenes ao fm da manhã/meo da arde. O ráfego de acesso à Inerne, caracerzado or chamadas de mas longa duração, nroduz uma carga adconal sgnfcava que alera os adrões radconas.

4 Caracerzação do ráfego hora mas carregada Inensdade de ráfego (erlang) Hora do da Cenral em área resdencal Cenral em área emresaral Inensdade de ráfego elefónco em função da hora do da Caracerzação do ráfego 8 Ssemas de erda e ssemas de esera Há dos grandes os de ssemas usados em redes de comuação de crcuos: ssema de erda, em que as chamadas que excedem em qualquer nsane a caacdade máxma do ssema são rejeadas, odendo ou não regressar em novas enavas; ssemas de esera, em que as chamadas em excesso são colocadas em flas de esera aé esarem dsoníves os recursos necessáros ara as suorar (exceconalmene, se a fla encher, o ssema assa a comorar-se como na suação de erda). os ssemas de erda, o ráfego ransorado é semre menor ou gual ao ráfego oferecdo ao ssema elas fones, enquano nos ssemas de esera esas duas quandades são guas, desde que a méda a longo razo do ráfego oferecdo seja nferor à caacdade máxma do ssema e as flas de esera enham rofunddade sufcene ara absorver os cos. Os ssemas elefóncos clásscos são ssemas de erda. Conudo, são cada vez mas comuns ssemas de esera, sendo exemlos sgnfcavos os cenros de aendmeno (call cenres) e ceros os de redes de comuncação móvel.

5 Caracerzação do ráfego 9 Chegada de chamadas Processo de Posson O rocesso de Posson é o mas usado ara modelzar o ráfego em ssemas de comuncações (ssemas elefóncos e redes de dados). ssume o rncío básco de ndeendênca de chegada de chamadas enre fones, odendo formular-se aravés da robabldade de chegada num nervalo nfnesmal [, +Δ], nroduzndo uma consane de roorconaldade λ: oe-se que um rocesso de Posson não em memóra: um aconecmeno num nervalo Δ é ndeendene de aconecmenos nos nervalos anerores ou fuuros. +Δ emo Inervalo emoral usado ara defnr um rocesso de Posson P (uma chegada no nervalo [, +Δ]) = λδ P (nenhuma chegada no nervalo [, +Δ]) = λδ Δ Caracerzação do ráfego 0 Probabldades de chegada de chamadas Para um nervalo fno T, a robabldade T () de chegadas é dada or: T λt ( ) = ( λt ) e! T = 0,,,... DEMOSTRÇÃO... Δ Δ Δ Δ Dervação da dsrbução de Posson: T = m Δ, Δ 0 emo Esa é a chamada dsrbução de Posson, caracerzada or: Méda: E() =λt Varânca: σ = λt Desvo adrão: σ = λt DEMOSTRÇÃO... lgumas conclusões o arâmero λ é afnal a axa méda de chegada de chamadas (λ = E()/T); como a méda cresce mas radamene do que o desvo adrão, ara valores grandes de λt a dsrbução orna-se mas comaca em orno da méda - logo o número n (aleaóro) de chamadas chegadas num nervalo grande T conduz a uma boa esmava de λ aravés de λ n / T.

6 Caracerzação do ráfego T () 0,4 0, 0,0 0,08 λτ=0 λτ=0 T λt ( ) = ( λt ) e! 0,06 0,04 λτ=50 λτ=00 0, úmero de chamadas Dsrbução de Posson Caracerzação do ráfego Combnação de fones ndeendenes a análse de ráfego em ssemas de comuncação é muas vezes necessáro combnar o ráfego gerado or fones ndeendenes. ssumndo n fones de ráfego de Posson com axas arbráras λ (=,,... n), a defnção de rocesso de Posson conduz drecamene a que o agregado das fones é ambém um rocesso de Posson com axa: λ = n = λ Exrme-se ese faco dzendo que a soma de rocessos de Posson é conservava relavamene à dsrbução: so é, a soma reém a roredade de Posson. oe-se que a robabldade de ocorrênca de uma chegada no nervalo [, +Δ] é a soma das robabldades de chegada de cada uma das n fones ndeendenes (assumese que Δ é ão equeno que não ocorrem múllas chamadas). Ou seja: n n ( λδ) = λ Δ = λδ P (uma chegada no nervalo[, + Δ]) = = =

7 Caracerzação do ráfego 3 Temos enre chegadas de chamadas um rocesso de Posson, o emo c enre aconecmenos consecuvos é uma varável aleaóra com dsrbução exonencal. c chegadas consecuvas Temo enre chegadas de chamadas emo De faco, a robabldade de o emo enre chamadas c ser é: P( c ) = P( c > ) = (0) = e função de densdade de robabldade vrá enão, or dervação: f () = λ e -λ O valor médo e a varânca desa dsrbução exonencal são: c -λ Méda: E( c) = f ( )d = λ 0 c Varânca: σ = λ c Caracerzação do ráfego 4 O valor médo do emo enre chegadas consecuvas arás obdo é o eserado, uma vez que, sendo a axa de chegadas do rocesso de Posson λ, enão o emo enre chegadas será /λ. f c () λ λe -λ /λ Dsrbução exonencal de emos de chegada enre chamadas oe-se que uma varável aleaóra exonencal é a únca varável aleaóra que em a roredade já referda de não memóra: em ermos de chegada de chamadas, a dsrbução emoral dos róxmos evenos é a mesma ndeendenemene do emo resene.

8 Caracerzação do ráfego 5 Duração de chamadas Dsrbução de durações Para as chamadas enradas no ssema, é habual assumr uma dsrbução exonencal da duração d, com valor médo E(d) = /µ: Dsrbução cumulava de robabldades P (d ) = - e -μ Função de densdade de robabldade f d () = µ e -μ f d () μ μe -μ /μ Dsrbução exonencal de duração de chamadas Esa hóese em sdo consderada adequada ara modelzar o ráfego, e em a vanagem de aresenar a caracerísca já referda de "sem memóra": a robabldade de uma chamada ermnar num nervalo Δ é ndeendene da sua duração aneror. Caracerzação do ráfego 6 Probabldade de lberação de chamadas Consdere-se um ssema consuído or uma fla de esera com um cero número de chamadas à esera de serem aenddas e uma únca saída (uma únca chamada de cada vez no ssema com ossbldade de ser lberada). Marquem-se à saída os onos corresondenes à lberação de cada chamada. d lberações consecuvas Temo enre lberações de chamadas emo Uma vez que os nervalos enre lberação de chamadas êm dsrbução exonencal, o rocesso de lberação é análogo ao de chegada de chamadas, odendo conclur-se que os emos de lberação de chamadas reresenam eles róros um rocesso de Posson: P (uma lberação no nervalo [, +Δ]) = μδ P (nenhuma lberação no nervalo [, +Δ]) = μδ

9 Caracerzação do ráfego 7 De gual modo, ara um nervalo fno T, a robabldade T () de lberações vrá: Logo: T μt ( ) ( μt ) e! Méda: E() =μt Varânca: σ = μt = = 0,,,... Desvo adrão: σ = μt O arâmero µ é, orano: μ = axa méda de lberação de chamadas = o caso mas geral de exsrem no ssema chamadas acvas com ossbldade de serem lberadas de forma ndeendene enre s, o rocesso de lberação resulane connuará a ser de Posson (roredade conservava), sendo: Ou seja: μ = μ μ = axa méda de lberação de chamadas = duração méda de chamadas número de chamadas acvas duração méda de chamadas Caracerzação do ráfego 8 Ocorrênca de aconecmenos Taxa méda = α Dsrbução exonencal de emos enre aconecmenos Méda = /α rocesso de Posson Chegada de chamadas Taxa méda = λ Dsrbução exonencal de emos enre chegadas de chamadas Méda = /λ chamada no ssema Lberação de chamadas Taxa méda = μ = /d m chamadas no ssema Lberação de chamadas Taxa méda = μ = /d m chamada no ssema Dsrbução exonencal de emos enre lberações de chamadas Méda = /μ = d m chamadas no ssema Dsrbução exonencal de emos enre lberações de chamadas Méda = /( μ ) = d m / Dsrbução exonencal de durações de chamadas Méda = d m

10 nálse de ssemas de esados 9 Probabldades de ermanênca nos esados do ssema Consdere-se um ssema de esados defndos elo número de chamadas em curso. Para o ssema esar no esado no emo +Δ, oderá, no emo : esar no esado - e chegar uma chamada (robabldade λ - Δ) ou esar no esado + e lberar-se uma chamada (robabldade μ + Δ) ou esar no esado e não ocorrer nenhuma das suações anerores (robabldade λ Δ μ Δ). Os esados do ssema e as ransções enre eles oderão ser modelzados aravés de um dagrama smlfcado: μ μ μ 3 μ μ μ + μ λ 0 λ λ λ λ λ λ + Dagrama de esados de um ssema nálse de ssemas de esados 0 robabldade [] +Δ de o ssema esar no esado no emo +Δ vrá enão: Rearranjando os ermos: [] [ ] ( λ Δ μ Δ) + [ + ] μ Δ + [ ] λ Δ + Δ = + [] [] +Δ Δ = []( λ + μ ) + [ + ] μ+ + [ ] λ Fazendo Δ 0, a equação aneror oderá assar ara a forma dferencal: d [] d []( λ + μ ) + [ + ] μ+ + [ ] λ = oe-se que = 0 é um caso esecal em que: µ 0 = 0 (não há lberação de chamadas no esado 0); λ = 0 (não exse o esado ). Logo: d [] 0 d = [] 0 λ0 + [] μ

11 nálse de ssemas de esados Condção de equlíbro Se as axas de chegada e lberação de chamadas forem consanes, o ssema angrá ao fm de algum emo uma suação de equlíbro em que as robabldades de ermanênca nos esados não varam com o emo (d[]/d = 0). Logo: []( λ + μ ) = [ + ] μ+ + [ ] λ Calculando sucessvamene ara =,,... obém-se a exressão geral: [ ] λ = [] μ Ou seja: (robabldade de esar no esado -) x (axa de chegada de chamadas no esado -) = (robabldade de esar no esado ) x (axa de lberação de chamadas no esado ) Escrevendo a exressão aneror sucessvamene ara =,,... chega-se faclmene a: Para um ssema de esados, a robabldade [0] obém-se nvocando a condção de normalzação: = [] [ ] = λ 0 μ = 0 [ ] = 0 = [] 0 λ 0 = [] μ nálse de ráfego em ssemas de erda Ssema de acesso oal Um ssema de acesso oal é um ssema de M fones e canas, em que qualquer fone lvre em acesso a qualquer canal lvre ndeendenemene do esado do ssema. O exemlo mas smles é uma marz de comuação de M x onos de cruzameno. M enradas Em cada esado (0 ) o ssema é caracerzado elos segunes arâmeros: axa de chegada de chamadas λ =(M-)λ em que λ é a axa de chegada de cada fone lvre; axa de lberação de chamadas μ =μ, em que /μ é a duração méda das chamadas. saídas Ssema de acesso oal

12 nálse de ráfego em ssemas de erda 3 Dsrbução de Erlang-B (M») ese caso, a axa de chegadas λ e o ráfego oferecdo ao ssema são consanes, so é, ndeendenes do número (0 ) de chamadas em curso; logo: λ Mλ = λ S onde λ S é a axa oal de chegada de chamadas ao ssema. ssm a condção de equlíbro vem Efecuando a normalzação =, faclmene se obém 0 =!, elo que Esa equação exrme a dsrbução de robabldade dos esados do ssema (dsrbução de Erlang-B), sendo usada correnemene desde que a hóese de axa de chamadas seja aroxmadamene ndeendene do número de chamadas acvas. Mλ μ = [] [ 0] = λ μ = ( Mλ) (! μ ) =! = 0 = λ S [] [] = 0! [] = = 0! 0 μ = 0 nálse de ráfego em ssemas de erda 4 o caso de o ráfego oferecdo conduzr a um reduzdo número de chamadas em curso relavamene ao número de canas, os úlmos ermos do somaóro da exressão da dsrbução de Erlang vão-se ornando desrezáves, odendo enão ulzar-se a aroxmação: Subsundo: e = 0!! Esa equação evdenca que a dsrbução de Erlang-B é uma forma runcada da dsrbução de Posson. Há uma nerreação smles ara esa relação enre dsrbuções: sendo o ráfego oferecdo =λ S /μ, ode conclur-se que a robabldade [] de o ssema er chamadas acvas num cero nsane é gual à robabldade de erem chegado chamadas no eríodo de emo /μ (duração méda das chamadas) medaamene aneror (no caso de durações consanes guas a /μ, esa relação é óbva). [] = e

13 nálse de ráfego em ssemas de erda 5 Congesão emoral Chama-se congesão emoral E à robabldade de o ssema esar no esado, so é E =! [ ] = = 0! Esa exressão é conhecda como a fórmula de Erlang de o B ara a robabldade de bloqueo em ssemas de erda, consundo um dos resulados fundamenas da eora de ráfego. Os valores da fórmula de Erlang-B odem ser calculados or eração, recorrendo à segune exressão E E = E + E 0 = Em alernava, oderão ser ulzadas abelas ou gráfcos, os quas ermem ober valores com grande radez e com recsão sufcene ara alcações de engenhara de eleráfego. nálse de ráfego em ssemas de erda 6 Congesão de chamadas congesão de chamadas B é a robabldade de uma chamada chegar e enconrar o ssema oalmene ocuado (bloqueado). Logo, ara um nervalo T B = número eserado de chamadas chegadas com o ssema no esado número oal eserado de chamadas chegadas congesão de chamadas ode exrmr-se aravés de uma razão de axas de chegadas, esadas elas robabldades de ocorrênca dos resecvos esados B = λ [ ] λ [ ] = 0 Como a axa de chegada de chamadas é consane e sendo B = [] B = E [] = robabldade de bloqueo erme relaconar drecamene o ráfego oferecdo com o ráfego efecvamene ransorado, sendo a dferença o ráfego erddo: = (-B) = 0 vrá congesão de chamadas = congesão emoral

14 nálse de ráfego em ssemas de erda 7 Probabldade de bloqueo (B) Probabldades de bloqueo (B) de ssemas de erda na suação de Erlang, em função do ráfego oferecdo or canal (/) e do número de canas () Tráfego oferecdo or canal (/) nálse de ráfego em ssemas de erda 8 Tráfego ransorado or canal ( /) Tráfego ransorado or canal ( /) em ssemas de erda na suação de Erlang, em função do número de canas () e da robabldade de bloqueo (B) úmero de canas ()

15 nálse de ráfego em ssemas de erda 9 Dsrbução de Engse (M>) Corresonde ao caso geral, em que o número de fones é sueror ao número de canas, mas não ano que se consdere o ráfego oferecdo ao ssema como consane. ese caso, a condção de equlíbro vem M [] [ 0] = λ μ = ( ) = 0 = μ ormalzando e calculando [0], obém-se a dsrbução de Engse ara a robabldade [] do número de chamadas em curso ( ) M λ [] μ = 0 M λ ( ) = 0 μ Como é óbvo, a dsrbução de Erlang-B é um caso arcular da dsrbução de Engse quando M». λ nálse de ráfego em ssemas de erda 30 Congesão emoral congesão emoral ode calcular-se aravés de E = Congesão de chamadas Pela defnção B = λ Logo [ ] = M ( ) M ( ) λ μ λ = 0 μ [ ] λ [ ] = ( M ) λ [ ] ( M ) λ [] = 0 B = M ( ) M ( ) = 0 λ μ = 0 λ μ

16 nálse de ráfego em ssemas de erda 3 equação aneror exrme B em função da razão enre os arâmeros λ e μ, a qual deverá ser relaconados com o ráfego oferecdo, ou com a acvdade méda ρ de cada fone, mas faclmene mensuráves. Sendo a axa oal λ S de chegada de chamadas ao ssema gual ao roduo do número médo de fones lvres ela axa λ de chegada de cada fone lvre, o ráfego oferecdo vrá = λ S μ = ( M - ) λ μ em que é o ráfego ransorado (número médo de fones ocuadas). Inroduzndo as relações =( B) e ρ =/M obém-se λ μ = M- -B ( ) - ( -B) Embora esa exressão não esabeleça uma relação exlíca enre λ/μ e ou ρ, or nclur B, gualmene função de λ/μ, erme calcular B a arr de ou ρ, or eração. Em alernava, oderão ser ulzadas abelas ou gráfcos, como referdo ara a suação de Erlang. = ρ ρ nálse de ráfego em ssemas de erda 3 fgura segune aresena valores da robabldade de bloqueo ara a dsrbução de Engse, e ambém ara a dsrbução de Erlang, como caso arcular daquela (M= ). Pode verfcar-se que, quando se consdera a suação de Erlang como aroxmação, resulam esmavas essmsas da robabldade de bloqueo ara um dado número de canas, ou o sobre-dmensonameno do ssema ara uma dada robabldade. Probabldade de bloqueo (B) M/ -fones/canas Probabldades de bloqueo (B) de ssemas de erda na suação de Engse, em função do ráfego oferecdo or canal (/) ara dversas combnações de fones e canas Tráfego oferecdo or canal (/)

17 nálse de ráfego em ssemas de erda 33 Dsrbução bnomal (Bernoull) (M ) ese caso só oderão esar ocuadas, no máxmo, M canas, elo que [] = M ( ) M M ( ) λ μ λ = 0 μ 0 M O denomnador é a exansão bnomal de (+λ/μ) M, elo que se se subsur e fzer ( λ μ ) = λ + obém-se a dsrbução bnomal (de Bernoull) M M [] = ( ) ( ) oe-se que desa exressão se ode conclur que =λ/(λ+μ) é recsamene a robabldade de ocuação de cada fone. nálse de ráfego em ssemas de erda 34 Congesão emoral Se M< não há congesão emoral (E=0), uma vez que o esado não é angdo mesmo que as M fones esejam odas acvas (M chamadas). Se M=, obém-se drecamene da dsrbução bnomal a segune exressão ara a congesão emoral: Ese resulado sera de eserar, uma vez que se é a robabldade de ocuação de cada fone, será a robabldade de ocuação das fones/canas. Congesão de chamadas E = [] = ese caso, não haverá congesão de chamadas (B=0), mesmo na suação de M=, uma vez que não haverá novas chamadas quando o ssema esá no esado com odas as fones ocuadas. O ráfego ransorado e o oferecdo são guas ( =) e a robabldade de ocuação de cada fone concde com a resecva acvdade méda (=ρ).

18 nálse de ráfego em ssemas de esera 35 Dsrbução de Erlang-C ese caso, assume-se que as chamadas que não êm recursos dsoníves são colocadas numa fla de esera com rofunddade nfna, elo que λ = λ S μ = μ, μ = μ, < λ S d m = /μ - axa oal de chegada de chamadas - duração méda das chamadas lcando a condção de equlíbro anerormene obda, chega-se à fórmula de Erlang-C ara a robabldade de uma chamada sofrer araso num ssema de esera P ( Δ > 0) = = 0!! ( α ) + B = α + Bα α! - número de canas = λ S /μ - ráfego oferecdo ao ssema α = / - ráfego oferecdo or canal (α < ) B - robabldade de bloqueo de um ssema de erda (Erlang-B) B =! = 0! nálse de ráfego em ssemas de esera 36 Se a fla de esera for de o FIFO, o araso Δ erá uma dsrbução exonencal P ( Δ ) = P( Δ > 0) > e ( ) Inegrando ara odos os valores obém-se o araso médo de odas as chamadas Consderando aenas as chamadas que sofrem araso, resula um araso médo Δ Δ>0 = d Esas equações são normalmene ulzadas ara dmensonar o número de canas (servdores) de um ssema, de forma a sasfazer objecvos de desemenho do o: uma cera robabldade de as chamadas que chegam ao ssema sofrerem um araso sueror a um dado valor; ou um cero valor do araso médo das chamadas. m m ( Δ > ) ( ) Δ = P 0 d ( ) d m

19 nálse de ráfego em ssemas de esera 37 Fla de esera fna ese caso o ssema raa as chegadas de rês formas dferenes: servço medao se um ou mas canas esver lvre; servço com araso se odos os canas esverem ocuados e menos de L eddos na fla de esera; bloqueo se a fla de esera esver reenchda com L eddos endenes. Esa suação corresonde ao caso geral, mas realsa, de um ssema com recursos fnos. Pode demonsrar-se que, ara ese ssema, a robabldade de araso é dada or P ( Δ > 0) =! α L! + α +! = 0 nálse de ráfego em ssemas de esera 38 robabldade de bloqueo ode ober-se aravés de B = = 0 L α α L+! α α + +! L α! = P α α L ( Δ > 0) α L+ O araso médo de odas as chamadas ode ser calculado ela exressão d m m ( Δ > ) ( ) ( d ) Δ = P 0 s dsrbuções de Erlang-B e Erlang-C corresondem a casos exremos da fla de esera de dmensão L: se L=0 obém-se a dsrbução de Erlang-B; se L obém-se a dsrbução de Erlang-C. L B

20 Bloqueo em ssemas de andares múllos 39 Técnca dos grafos de Lee O cálculo de robabldades de bloqueo em ssemas de andares múllos é nerenemene comlexo, odendo conudo recorrer-se a aroxmações, como a roosa or Lee (955) - smles e adequada a muos casos. Lgações báscas Consderam-se as segunes lgações báscas que consuem qualquer ssema: lgação dreca q = robabldade de esar ocuado robabldade de esar lvre lgação em aralelo n B robabldade de bloqueo B = n lgação em sére n B robabldade de bloqueo B = q n = ( n ) Bloqueo em ssemas de andares múllos 40 Marz de 3 andares Consdere-se uma marz x de 3 andares, com os segunes arâmeros de ráfego: axa de chegada de chamadas de cada fone λ duração méda das chamadas /µ robabldade de ocuação das enradas =λ/(λ+μ) (dsrbução bnomal). Os andares são nerlgados enre s como se ndca na fgura /n marzes n marzes /n /n /n marzes n enradas n /n /n n saídas =λ/(λ+μ) n /n /n n Marz de comuação de rês andares

21 Bloqueo em ssemas de andares múllos 4 O grafo de robabldades resulane vrá ' ' ' ' ' ' = λ / (λ + μ) ' = (n / ) robabldade de bloqueo B da marz de 3 andares será enão ssume-se, nas lgações nermédas, robabldades de ocuação ' = (n / ) = / β ndeendenes enre s (β=/n é a razão de exansão). Esa aroxmação só é neramene válda se β = ; se houver exansão (β > ), à medda que cada vez mas rajecos são ocuados, os rajecos resanes são menos rováves de esar ocuados e B será calculado or excesso. O nverso ocorrerá se houver concenração (β < ). Grafo de robabldade de uma marz de 3 andares B = [ ( ' ) ] Bloqueo em ssemas de andares múllos 4 Marz de 5 andares Para uma marz de 5 andares a análse é dênca. n n n n n n n n n n n n n n n enradas n saídas n n n n n n n n n n n n n n Marz de comuação de 5 andares

22 Bloqueo em ssemas de andares múllos 43 n n = ( ) ( ) n = ( ) n = ( ) q = ( λ + ) = λ μ q = = = ( n ) ( n )( n ) Grafo de robabldade de uma marz de 5 andares robabldade de bloqueo da marz de 5 andares vrá B = [ ( q ) ] { q } Bloqueo em ssemas de andares múllos 44 nálse de Jacobaeus Uma aroxmação mas comlexa fo sugerda or Jacobaeus (950), conduzndo a resulados quase exacos, com exceção das suações de grande concenração e elevadas robabldades de bloqueo. análse realzada ara uma marz x de rês andares conduz à segune robabldade de bloqueo de chamadas (usando a noação aneror) Esa exressão é aroxmada, como se verfca ara = n -, a condção de Clos, ara a qual devera ser B = 0, obendo-se um valor muo equeno mas não nulo. o caso de n =, resula B =! B = ( n! ) ( ) ( ) n n! [ ] ( ) = ( ) ou seja, exacamene a aroxmação de Lee que, como se vu, era exaca ara n =.

23 Bloqueo em ssemas de andares múllos 45 lguns exemlos de comaração enre as aroxmações de Lee e Jacobaeus: Comaração de robabldades de bloqueo de uma marz de 3 andares n β=/n Equação de Lee Equação de Jacobeaus Comenáros E E E-06.5 E-05 Lee sub-esma E-08.4 E E E E-.9 E- Valores exacos Lee sub-esma Valores exacos E-04.7 E-05 Lee sobre-esma E E E E- Condção de Clos (B=0) Deve noar-se que as equações de Lee e Jacobaeus arás obdas se alcam aenas à suação de comuação de lnhas ndvduas: uma dada enrada é suosa ser lgada a uma dada saída (comuação de lnha). Pelo conráro, se uma qualquer enrada de um dado gruo de enrada uder ser comuada ara uma qualquer saída de um gruo de saída (comuação de gruo), as robabldades de bloqueo serão menores, exgndo-se uma análse dferene. 46 Inenconalmene em branco