x () ξ de uma variável aleatória X ser um número real, enquanto que uma realização do

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1 3 Snas Aleaóros em empo Conínuo. Pare II: Modelos de Fones de Informação e de uído. No capíulo aneror vemos oporundade de recordar os conceos báscos da eora das probabldades e das varáves aleaóras. Nese capíulo faremos uso desas ferramenas de modo a consrur o modelo de um processo esocásco. se po de snas será enão usado para nroduzr alguns modelos de fones de nformação e de ruído. 3. Conceos Báscos Como vmos anerormene, um processo esocásco () pode ser vso como um conjuno de snas deermníscos ( ; ξ ), desgnados por funções amosra, onde ξ é um dos resulados elemenares de um fenómeno físco compleamene caracerzado pelo conjuno p de odos os resulados epermenas drecos. Nese caso, dado o espaço de probabldade, faz-se corresponder a cada elemeno ξ p um snal deermnísco ( ;ξ) al como se represena na Fgura 3. para ξ ξ, ξ, ξ3, ξ. Noe-se que ese po de modelação é muo semelhane à de uma varável aleaóra. A dferença resde no faco de cada realzação () ξ de uma varável aleaóra ser um número real, enquano que uma realzação do processo () é um snal ( ;ξ) que vara ao longo do empo. A cada nsane e a cada elemeno ξ p corresponde um número ( ;ξ), como ambém se lusra na Fgura 3.. ses números correspondem a realzações da varável aleaóra ( ). Por ouras palavras: em qualquer nsane de empo, o "valor" de um processo esocásco é uma varável aleaóra. ( ; ξ ) p ξ 3 ξ ξ ξ 7 ξ j ( ; ξ ) 3 ( ; ξ ) ( ; ξ ) ξ ( p,ω,p( ) ) ( ; ξ ) ( ; ξ ) ( ; ξ ) ( ; ξ 3) Fgura 3.: Modelação de um processo esocásco O faco aneror sugere ouro modo de modelar um processo esocásco. mbora menos nuvo, o modelo que a segur nroduzmos é mas aproprado para um desenvolvmeno maemáco precso da eora dos processos esocáscos. Def. 3.- Um processo esocásco é uma coleção de varáves aleaóras { ( ), ( ),} defndas nos nsanes,, ou, com generaldade, Um processo esocásco será sempre desgnado por uma lera maúscula em álco. 3-

2 () { (), }. Dese pono de vsa, um processo esocásco é represenado por uma coleção de varáves aleaóras ndeadas por um conjuno em : se aquele conjuno for, enão o processo é conínuo; se for um conjuno conável de ponos em, enão o processo não é mas do que uma sequênca emporal de varáves aleaóras. 3. Descrção de um Processo socásco A descrção complea de um processo esocásco () envolve a especfcação da,,, para densdade de probabldade conjuna das varáves aleaóras { ( ) ( ) ( n )} Q odas as escolhas possíves de {,,, } n e para odos os neros posvos, n,, A descrção de ordem N de um processo esocásco () defne-se como a aneror mas agora para n,,, N. Um caso parcular, muo mporane no esudo de ssemas de elecomuncações, é o de N. Nese caso, descrção de segunda ordem, são conhecdas: a densdade de probabldade f ()() de () para odos os valores de, e a densdade de probabldade conjuna f ( ) ( )(, ) do par { ( ), ( )} {, }. Noe-se que, em geral, f ()() e f ( ) ( )(, ) varam com e {, } para odos os pares de valores, respecvamene. mbora esam problemas cuja abordagem mplca o recurso a descrções de ordem superor, ouros, como os que remos consderar, podem ser raados usando apenas descrções de segunda ordem. Daí que, no que se segue, venhamos a consderar apenas descrções de segunda ordem. 3.. Médas saíscas A méda, ou valor epecável, de um processo () é uma função deermnísca do empo m () que se defne em cada nsane como o valor epecável da varável aleaóra (). Def. 3.- Méda. Seja f ()() a função densdade de probabldade da varável aleaóra () que em cada nsane consu a descrção de prmera ordem do processo (). não, a méda de () é () { () } µ f ()( µ ) dµ, m. (3.) Como fo evdencado anerormene, f ()() é, em geral, varane com o que mplca a varabldade emporal da méda de um processo esocásco. Def Auocorrelação. Seja f ( ) ( )(, ) conjuna das varáves aleaóras { ( ), ( )} a função densdade de probabldade que para cada par de nsanes 3-

3 {, } consuem a descrção de segunda ordem do processo (). não, a auocorrelação de () é (, ) { ( ) ( )} µνf ( ) ( )( µ, ν), dµ dν {, }. (3.) Aqu repee-se o comenáro feo a propóso da méda. Uma vez que f ( ) ( )(, ) depende de {, }, o mesmo aconece, em geral, com a auocorrelação. 3.3 saconaredade de Processos de Segunda Ordem Muas das propredades dos processos mas frequenemene usados em problemas de neresse práco são convenenemene nerpreáves recorrendo às descrções aé à segunda ordem. Nesa secção, remos nroduzr o conceo de esaconaredade. Def saconaredade em sendo esro. Um processo () é esaconáro em sendo esro sse:., f ()() f ( )() ; (3.3) +.,, f ( ) ( )(, ) f ( ) ( )( ) + +,. (3.4) A esaconaredade esra é uma propredade muo parcular que poucos processos físcos verfcam. A condção (3.3) sgnfca que f ()() é nvarane no empo, enquano que (3.4) afrma que f ( ) ( )(, ) [, ]. é nvarane relavamene a qualquer ranslação do nervalo Podemos ambém nroduzr uma oura noção de esaconaredade, menos resrva, e que em domíno de aplcabldade mas amplo. Def saconaredade em sendo lao. Um processo () é esaconáro em sendo lao sse: { }. () m ; (3.5)., τ { () ( τ) } ( τ). (3.6) Ao conráro da esaconaredade em sendo esro que mpõe resrções muo fores drecamene sobre a descrção probablísca do processo (), a esaconaredade em sendo lao apenas resrnge as esaíscas de (). Mas especfcamene, (3.5) mplca que a méda de () é consane no empo, e (3.6) dz que a respecva auocorrelação não depende eplcamene dos nsanes {, } mas apenas da dferença τ enre os,. eremos do nervalo [ ] 3-3

4 Faco 3.: Seja () um processo esaconáro em sendo esro. não () é esaconáro em sendo lao. O conráro não é, em geral, verdadero. A demonsração dese faco não é aqu fea, sendo deada como eercíco. No segumeno, e salvaguardadas algumas suações que serão devdamene eplcadas, consderaremos apenas processos esaconáros em sendo lao Propredades da Auocorrelação de Processos saconáros A função de auocorrelação de um processo (), esaconáro em sendo lao, goza das segunes propredades: P. A auocorrelação é uma função par: τ : () τ { () ( τ) } { ( τ) ( ) } ( τ) (3.7) P. A auocorrelação em um mámo em τ : () τ () τ :. (3.8) { } Fazendo uso de P e do faco de [ () ( τ) ] ± ser uma quandade não negava, a propredade P é faclmene demonsrada. A auocorrelação provdenca um meo de descrever a nerdependênca de duas varáves aleaóras () e ( τ) que modelam as realzações do processo () em dos nsanes de empo separados de τ segundos. É aparene que quano maor for a aa de varação emporal de (), mas rapdamene a auocorrelação decrescerá relavamene ao mámo () quando τ aumena. se decrescmeno pode ser quanfcado pelo empo de descorrelação, so é, o valor de τ a parr do qual () τ permanece abao de um lmar prevamene especfcado. 3.4 rgodcdade Para um processo (), esaconáro em sendo esro, podemos defnr dos pos de méda:. a méda de conjuno já nroduzda na Def. 3., eq. (3.), e cuja parcularzação para o caso de neresse aqu se apresena: ( µ ) m µ f dµ, (3.9) onde se fez desaparecer a dependênca eplíca no empo da densdade de probabldade, ; da amplude () 3-4

5 . a méda emporal ( ) ( ) + m ξ ; ξ lm ( ; ξ ) d, (3.) - calculada drecamene a parr de uma função amosra ( ; ) Noe-se que a méda emporal ( ) aleaóra onde (), ξ do processo (). m ξ deve ser encarada como uma amosra da varável + M lm () d, (3.) -, é a varável aleaóra que em cada nsane de empo deermna a descrção de prmera ordem do processo () (ver dscussão no níco da secção 3.) rgodcdade na Méda Def rgodcdade na méda. O processo (), esaconáro em sendo esro, é ergódco na méda sse ξ ( ξ ) m m. (3.) Por ouras palavras, podemos afrmar que, sendo o processo ergódco na méda, enão podemos usar o operador méda emporal (3.) aplcado a qualquer função amosra e ober o valor epecável da amplude do processo consderado. Noe-se que a gualdade epressa em (3.) só é válda no lme quando. Na práca, usa-se o esmador obendo-se uma amosra da varável aleaóra ( ) + mˆ ; ξ ( ; ξ ) d, (3.3) - ( ) + Mˆ () d. (3.4) - Faco 3.: Uma condção necessára e sufcene para que o processo (), esaconáro em sendo esro, seja ergódco na méda com probabldade é: lm Mˆ lm σ { ( ) } Mˆ m ( ). (3.5) A condção na méda, mpondo que, no lme, o valor epecável das esmavas guale o valor epecável da grandeza esmada, garane que o esmador é não envezado. A condção na varânca (recorde-se a desgualdade de Chebshev nroduzda no capíulo ) garane que, no lme, o esmador produz uma esmava que é gual à grandeza a esmar com probabldade. 3-5

6 3.4. rgodcdade na Correlação Def rgodcdade na correlação. O processo (), esaconáro em sendo esro, é ergódco na correlação sse () { () ( )} + τ, ξ τ τ lm ( ; ξ ) ( τ; ξ ) dτ. (3.6) al como no caso da méda, a gualdade aneror só é válda no lme quando práca, usa-se o esmador. Na τ () + ˆ τ ( ; ξ ) ( τ; ξ ) dτ. (3.7) Faco 3.3: O processo (), esaconáro em sendo esro, é ergódco na correlação com probabldade sse, no lme quando, o esmador (3.7) for não envezado e a varânca das esmavas for nula. 3.5 Poênca e nerga Como se sabe, os snas deermníscos dvdem-se em duas grandes classes: os snas de energa e os snas de poênca. Consderemos um processo () e uma qualquer das respecvas funções amosra ( ; ξ ). Por defnção, a energa e a poênca P de ( ; ξ ) são dadas por P lm ( ; ξ ) + d ( ; ξ ) d. Noe-se que e ; ξ e, porano, são realzações de duas varáves aleaóras e P, respecvamene. A poênca méda e a energa méda do processo () são enão defndas como P dependem da função amosra ( ) P { P } { }, (3.8) respecvamene. Formalmene, P lm + () d. () d (3.9) Subsundo (3.9) em (3.8) e endo em cona a Def. 3.3, eq. (3.), obém-se 3-6

7 + + P lm () d lm (, ) d (3.) () d (, ) d Supondo que () é esaconáro, enão de (3.) resula, para o caso da energa, Se o processo () () d. fosse de energa, al mplcara que fosse uma quandade fna, o que só sera possível se, () { () }, ou seja, se, () com probabldade. m conclusão, no caso dos processos esaconáros, apenas os processos de poênca êm neresse eórco e práco. Aendendo a (3.), podemos enão conclur o segune: Faco 3.4: Os processos esocáscos esaconáros perencem à classe dos snas de poênca, e êm poênca méda { } () () P. (3.) No caso dos processos ergódcos de segunda ordem, { } P ξ () () P (3.) A propóso das conclusões do esudo aneror, podemos anda acrescenar o segune comenáro: as represenações de frequênca normalmene usadas não êm aplcação dreca no caso dos snas não deermníscos. Com efeo, a ransformada de Fourer defne-se, salvo casos muo parculares, apenas para snas de energa e a sére de Fourer aplca-se no caso dos snas peródcos. Os snas aleaóros perencem, como vmos, à classe dos snas de poênca mas não são necessaramene peródcos. Porano, não podemos, em geral, usar quer a ransformada quer a sére de Fourer para represenar na frequênca as funções amosra de um processo esocásco. 3.6 Processos Múlplos Def Independênca esaísca. Dos processos () e () são esascamene ndependenes sse, para odos os pares (, ) aleaóras ( ) e ( ) forem esascamene ndependenes., as varáves Def Processos ncorrelaconados. Dos processos () e () são ncorrelaconados sse, para odos os pares (, ) ( ) e ( ) forem ncorrelaconadas., as varáves aleaóras Def: 3.- Processos orogonas. Dos processos () e () são orogonas sse, para odos os pares (, ), as varáves aleaóras ( ) e ( ) orogonas. forem 3-7

8 Def. 3.- Correlação cruzada. A correlação enre dos processos () e () é defnda por,,. (3.3) ( ) { ( ) ( )} ( ) Def. 3.- saconaredade conjuna. Dos processos () e () são conjunamene esaconáros sse () e () forem esaconáros e (, ) só depender eplcamene de τ. 3.7 ransmssão de Processos socáscos aravés de Ssemas Lneares Invaranes no empo (SLIs) Nesa secção vamos esabelecer as relações de enrada saída de SLIs quando a enrada é um processo esocásco. No esudo dese problema, consderaremos as represenações no empo e na frequênca elações nrada Saída no Domíno do empo Consderemos um SLI descro pela respecva resposa mpulsonal h (), como se lusra na Fgura 3., onde () e () represenam os processos de enrada e de saída, respecvamene. Fgura 3.: Ssema lnear nvarane no empo Se a enrada do SLI for uma realzação 3 () realzação () y do processo () dada por () h() τ ( τ) do processo (), eremos na saída uma y dτ, (3.4) so é, pelo negral de convolução enre a enrada e a resposa mpulsonal do SLI. Mas uma vez se sublnha que, ocorrendo a enrada () aleaoramene, enão a saída y () é ambém aleaóra. De acordo com o modelo que emos vndo a usar, o processo () é represenado no nsane pela varável aleaóra () e o processo () é represenado no nsane τ τ. Formalmene podemos enão escrever pela varável aleaóra ( ) () () h() () h() τ ( τ) dτ h (). (3.5) A resposa mpulsonal de um SLI é o snal de saída quando a enrada é um mpulso de Drac. ; ξ. 3 Para smplfcar a noação, passaremos a usar () para desgnar a função amosra ( ) 3-8

9 3.7.. Méda da Saída endo em cona que o valor epecável é lnear e que a resposa mpulsonal é deermnísca, de (3.5) vem m () { () } { h ( ) } h { ( ) } h m ( ), (3.6) ou seja, a méda do processo de saída é dada pelo negral de convolução enre a resposa mpulsonal do SLI e a méda do processo de enrada. nrada esaconára na méda. No caso em que o processo de enrada é esaconáro, m m, e de (3.6) resula medaamene () so é, onde m () h( τ) m () τ dτ h() τ dτ m () m m H, (3.7) () h() H f jπf e d, (3.8) é a função de ransferênca do SLI dada pela ransformada de Fourer da respecva resposa mpulsonal. Porano, se o processo de enrada do SLI for esaconáro na méda, enão a saída é ambém esaconára na méda Correlações Cruzadas nrada Saída Usando a Def. 3., eq. (3.3), podemos calcular a correlação enre o processo de saída do SLI () e o de enrada () : e, porano, (, τ) { ( ) ( τ) } ( u) h( u) du ( τ) { ( u) ( τ) } h( u) (, τ) ( u, τ) h( u) du. (3.9) du ecorrendo anda à Def. 3., eq. (3.3), e a (3.9), podemos ambém conclur que 3-9

10 (, τ) ( τ, ) ( τ u, ) h( u) du. (3.3) nrada esaconára na correlação. No caso em que o processo de enrada é esaconáro na correlação, (, τ) ( τ), so é, a auocorrelação depende apenas da dferença enre os nsanes de empo e τ. Fazendo nervr ese faco em (3.9) e (3.3) obemos, respecvamene, e onde se usa a noação () τ ( τ u)() h u du () τ h () τ (3.3) () τ ( τ + u)() h u du h () τ, (3.3) h () h( ). (3.33) Auocorrelação da Saída Por ser a suação de maor neresse para os assunos que remos esudar, consderaremos aqu apenas o caso em que o processo de enrada é esaconáro. nrada esaconára na correlação. Nese caso, (, τ) { ( ) ( τ) } { ( ) [ h ( τ) ]} h ( τ), onde se fez uso de (3.5) e (3.33). Fnalmene, e endo em cona (3.3), () τ h h () τ. (3.34) Porano, se o processo de enrada for esaconáro na correlação, enão o processo de saída ambém o é e em auocorrelação dada por (3.34). Sínese. A conclusão mas mporane a reer da dscussão conduzda nesa secção resume-se no segune: Faco 3.5: Seja () um processo esaconáro de segunda ordem. Suponhamos anda que um SLI caracerzado pelas respecvas resposa mpulsonal h () e função de ransferênca H () f processa funções amosra () de (). não as saídas y () consuem as funções amosra de um processo (). O processo () é ambém esaconáro de segunda ordem: a relação enre as médas de saída e de enrada é dada por (3.7), e a relação enre as auocorrelaçãoes de saída e de enrada epressa-se em (3.34). 3-

11 3.7. elações nrada Saída no Domíno da Frequênca Anes de esudarmos o problema das represenações na frequênca das relações de enrada saída no coneo dos snas aleaóros, é necessáro nroduzr o conceo de densdade especral de poênca Densdade specral de Poênca m dscussão aneror, ver secção 3.5, concluímos que os processos de neresse eórco e práco perencem à classe dos snas de poênca. Consderemos enão um processo de segunda ordem (), esaconáro, e cuja poênca méda pode, de acordo com (3.), ser escra na forma onde P lm () d, (3.35) (), I (), endo I comprmeno. (3.36), I () Obvamene, as funções amosra () do processo () êm duração lmada e, porano, () perencem à classe dos snas de energa. Porano, êm ransformada de Fourer ~ () f. Seja () a varável aleaóra que em cada nsane represena a amplude das amosras do processo (). Formalmene, podemos enão defnr a varável aleaóra cujas amosras são ~ jπf () f () e d, (3.37) () () () jπf ~ f () e d. (3.38) É conhecdo que qualquer snal de energa e a respecva ransformada de Fourer verfcam o eorema de aylegh, so é, df, () () () d () d ~ () () f onde se eve em cona que esamos a consderar processos reas. A relação aneror reporase às amosras das varáves aleaóras () e ~ () f e, porano, formalmene, () ~ d () f df. (3.39) Subsundo (3.39) em (3.35) e rearranjando os dversos ermos, obemos a epressão 3-

12 lm ~ P () f df, a qual se pode anda escrever na forma onde () f P df, (3.4) G G () ~ () f lm f. (3.4) O pono mporane a salenar desde já é que a poênca méda oal do processo esaconáro de segunda ordem () vem dada pela área delmada por uma função da frequênca. Por ouro lado, esa função em, como se pode ver a parr de (3.4), as dmensões físcas de uma poênca. Veremos em seguda que G () f, al como defnda em (3.4), goza de propredades muo mporanes eorema de Wener Khnchne Seja () um processo esaconáro em sendo lao com função de auocorrelação () τ. não () τ e () f, al como defnda em (3.4), formam um par de Fourer: G () f () τ j π fτ G e dτ, (3.4) () τ G () f jπfτ e df. (3.43) Volando a (3.4), podemos escrever ~ dτ jπf + jπfτ () f () e d () τ e, onde podemos subsur () por () desde que se ajusem os lmes de negração em conformdade. Assm, ~ jπf ( τ) () f ( τ) e D ddτ, (3.44) onde D é a regão de negração lusrada na Fgura 3.3. Fazendo a mudança de varáves ndcada na Fgura 3.3, (3.44) oma a forma equvalene 3-

13 ou seja, ~ ~ j () ( λ) π fλ f e dµ dλ + ( λ) j π fλ µ λ e d d λ+, j () ( λ + ) ( λ) π fλ f e dλ + ( λ + ) ( λ) λ jπfλ e dλ, -/ µ µ / / λ τ D / τ -/ -/ D - λ e, por fm, Fgura 3.3: ransformação das regões de negração π λ () λ j f ~ f ( λ) λ e d. (3.45) Assumndo que, quando λ λ se maném lmada, enão de (3.45) obém-se medaamene (3.4) e o eorema de Wener-Khnchne fca demonsrado., a função ( ) Densdades specras de Poênca Cruzadas nrada Saída Aplcando a propredade da ransformada de Fourer da convolução, de (3.3) e (3.3) obemos de medao as densdades especras de poênca cruzadas enre a saída e a enrada e vce versa. e respecvamene. () f H() f G () f G (3.46) G () f H () f G () f, (3.47) Densdade specral de Poênca da Saída Procedendo como anerormene, podemos ober a densdade especral de poênca da saída drecamene a parr de (3.34): () f H() f G () f G. (3.48) 3-3

14 f emplo 3.: Consdere o dagrama de blocos da Fgura.4, onde () H f H Π, B f G () f Λ e B > B. A poênca méda oal do processo de enrada é, de acordo com B (3.4), a área delmada pela densdade especral de poênca G () f, so é, a área do rângulo: P B. Por ouro lado, a densdade especral de poênca da saída G () f, dada por (3.48), adqure a forma lusrada na Fgura.4. Porano, calculando a área delmada por B G () f, obém-se P H B. B G () f H() f G () f H B f B Fgura.4: Flragem de um processo esaconáro f endo em cona que a função G () f se pode escrever na forma () B f B f G f H Π + Λ, B B B B podemos ober a auocorrelação () τ recorrendo a (3.43): () B B H B snc( B τ) + snc ( τ) τ B. B B Noe-se anda que () H B P B, B o que confrma o Faco 3.4, eq. (3.). 3.8 Caracerzação da Soma de Processos socáscos Nesa secção vamos esudar a descrção esaísca do processo que resula da soma de város processos esocáscos. Para smplfcar a apresenação, e porque os resulados que vamos ober são medaamene generalzáves para o caso geral, consderaremos apenas o caso da soma de dos processos. Seja Z + (3.49) () () () a soma de dos processos () e () com médas m () e m (), respecvamene. Da Def. 3., eq. (3.), e aendendo anda à lneardade do operador valor epecável, resula o segune: 3-4

15 Faco 3.6: A méda da soma de dos processos esocáscos é a soma das médas das parcelas m m m. (3.5) () () () Z + Se ambos os processos () e () forem esaconáros na méda, enão a soma é ambém esaconára na méda. Usando as Def. (3.3), eq. (3.), Def. (3.), eq. (3.3), e a lneardade do operador valor epecável, a auocorrelação de Z () é Z (, τ) (, τ) + (, τ) + (, τ) + (, τ) Se () e () forem esaconáros na correlação, enão Z (, τ) ( τ) + (, τ) + (, τ) + ( τ) ; (3.5), (3.5) so é, o faco de () e () serem esaconáros na correlação não é sufcene para que a sua soma ambém o seja. No enano, se forem conjunamene esaconáros, enão e dependem apenas da dferença enre os argumenos, (3.5) oma a forma Z () τ () τ + () τ + () τ + () τ e o processo Z () é ambém esaconáro na correlação. Ou seja: Faco 3.7: O processo Z () () + () processos (), (3.53) é esaconáro na correlação se os e () forem conjunameno esaconáros de segunda ordem. Se em (3.53) usarmos o Faco 3.4, eq. (3.), concluímos que Z () + () P P P + +, (3.54) fcando claro que a poênca da soma de dos processos não é, em geral, gual à soma das poêncas das parcelas. Faco 3.8: Se os processos () e () forem orogonas, enão da Def. 3. concluímos que (, τ) (, τ), τ e de (3.5) vem (, τ) (, τ) + (, τ) Z. (3.55) 3-5

16 Faco 3.9: No caso de processos esaconáros orogonas, (3.53) e (3.54) omam a forma parcular e Z () τ () τ + () τ (3.56) Z P P + P, (3.57) respecvamene. Por ouro lado, de (3.56) e (3.4) resula anda G () f G () f G () f. (3.58) Z + m resumo: a correlação do processo soma é a soma das correlações das parcelas apenas no caso de esas serem processos orogonas; no caso de processos conjunamene esaconáros, a poênca méda (correlação/densdade especral de poênca) do processo soma é a soma das poêncas médas (correlações/densdades especras de poênca) das parcelas apenas no caso de esas serem processos orogonas. 3.9 Processos Gaussanos Def Consdere-se a funconal β α () () g d, (3.59) onde () é fno, e () é a varável aleaóra que modela a amplude do processo () defndo no nervalo α β. Se for uma varável aleaóra gaussana, enão o processo () é gaussano. g é al que { } Indvdualzar os processos gaussanos relavamene a ouras classes de processos esocáscos enconra jusfcação em duas ordens de razões. A prmera, pragmáca, em a ver com as propredades parculares dos processos gaussanos que faclam o raameno analíco de muos problemas. A segunda resula do faco de os processos físcos que se preendem modelar serem as que o eorema do lme cenral é aplcável e, porano, o modelo gaussano orna-se o mas adequado. Os processos gaussanos gozam de um conjuno de propredades, das quas salenaremos as que se seguem. P. Seja () o processo de enrada de um ssema lnear esável. Se () for um processo gaussano, enão o processo de saída () é ambém um processo gaussano. P. Seja { ( )} n k k processo () o conjuno de varáves aleaóras que modelam observações do. Se o processo () for gaussano, enão para nos nsanes { } n k k 3-6

17 qualquer valor de n aquelas varáves aleaóras são conjunamene gaussanas, sendo compleamene defndas pela especfcação das médas ( ) { ( )} e das funções de correlação { ( ) { ( ) ( ) } n k k,k. { m } n k k k P3. Se um processo gaussano for esaconáro em sendo lao, enão é ambém esaconáro em sendo esro. P4. Seja { ( )} n k k processo gaussano () ncorrelaconadas, so é, o conjuno de varáves aleaóras que modelam observações do C nos nsanes { } n k k ( ) ( ), k,,, n k enão são ambém esascamene ndependenes.. Se aquelas varáves aleaóras forem Seja () o processo de saída de um saema lnear cuja enrada é um processo gaussano (). não, podemos escrever β () h(, τ) () τ dτ, γ δ α. (3.6) Na relação aneror, (, τ) mpulso de Drac que ocorre no nsane τ. Assume-se que (, τ) () <,, { } γ δ h é a resposa no nsane do ssema lnear quando a enrada é um h é al que. endo em cona a Def. 3.3, é claro que () γ δ, é uma varável aleaóra gaussana. Para mosrar que () é um processo gaussano basa mosrar que qualquer funconal onde () escrever ou δ γ g é al que { Z } < onde se defnu () () Z g d, (3.6) Z δ γ β α g, é uma varável aleaóra gaussana. Usando (3.6), podemos β () h(, τ) () τ dτd α () τ () τ Z g dτ, (3.6) δ () τ g ()( h, τ) g d. γ Uma vez que () é um processo gaussano, enão, por defnção, Z é uma varável aleaóra gaussana. A propredade P fca assm demonsrada. A propredade P resula drecamene da defnção de processo gaussano e mplca de medao as propredades P3 e P4. 3-7

18 3. Modelos de Fones de Informação Iremos consderar dos pos fundamenas de fones de nformação: analógcas em empo conínuo e dgas em empo dscreo ou conínuo. Consderaremos anda o caso de processos dgas em empo conínuo. 3.. Fones Analógcas em empo Conínuo A Fgura.5 mosra uma função amosra gerada por uma fone analógca em empo conínuo. Nese caso, a fone é modelada por um processo esocásco () cuja amplude é,. modelada por uma varável aleaóra () ( ; ξ ) Fgura.5:Amosra gerada por uma fone analógca em empo conínuo m geral, assumremos que o processo () é gaussano, esaconáro, com méda nula e correlação conhecda. Nauralmene, a respecva densdade especral de poênca, sendo uma represenação na frequênca, deermna a largura de banda da fone. 3.. Fones Dgas em empo Dscreo Nese caso, a fone dgal é modelada por um processo () especfcado pelo conjuno de varáves aleaóras dscreas ( ), ( ),, ( n ), defndas nos nsanes,,, n,. pcamene, consderaremos varáves aleaóras bnáras defndas em nsanes dsrbuídos unformemene ao longo da reca real. A Fgura.6 lusra uma sequênca bnára aleaóra passível de ser gerada por uma fone do po aqu consderado. k k Fgura.6: Amosra gerada por uma fone dgal em empo dscreo 3..3 Fones Dgas em empo Conínuo se po de fones resula do caso aneror quando se faz uso de um qualquer esquema de snalzação. se pode conssr no uso de mpulsos p () do po recangular com duração gual ao espaçameno emporal enre ocorrêncas consecuvas de símbolos. A Fgura.7 mosra um snal amosra de uma fone do po aqu consderado quando se aplca o esquema de snalzação referdo à sequênca aleaóra da Fgura

19 p() k Fgura.7: Amosra gerada por uma fone dgal em empo conínuo 3. uído Branco Gaussano O ermo ruído branco é usado para ndcar o processo esocásco caracerzado pelo faco de odas as suas componenes de frequênca erem a mesma poênca, so é, o especro (ou densdade especral) de poênca é consane. se é um conceo paralelo ao de luz branca, a qual é consuída por uma msura de odas as cores. Def Um processo () é um processo branco se ver um especro de poênca consane, so é, η G () f,. (3.63) A mporânca dos processo brancos na práca prende-se ao faco de o ruído érmco er um especro de poênca apromadamene consane numa banda de frequêncas muo larga, da ordem de Hz. Porano, para as larguras de banda dos snas e ssemas que remos consderar, o ruído érmco é adequadamene modelado como um processo branco. Por ouro lado, o processo físco (movmeno aleaóro de elecrões por efeo érmco) de geração do ruído érmco leva a que, por recurso ao eorema do lme cenral, seja modelado como um processo gaussano. Nos esudos que remos desenvolver, consderaremos enão que o ruído érmco é modelado como um processo branco gaussano, cujo especro de poênca é dado por (3.63) e cuja correlação é, por consequênca, dada por η () δ(),. (3.64) Como comenáro fnal, chama-se a aenção para o faco de um processo branco não er sgnfcado do pono de vsa físco. Com efeo, de (3.63) conclu-se que a poênca méda oal é nfna. Porano, deve sempre er-se em cona que ese po de processos são usados como modelos absracos de processos físcos com propredades semelhanes. 3-9

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