Análise da Confiabilidade de Componentes Não Reparáveis

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1 Análse da onfabldade de omponenes Não Reparáves. omponenes versus Ssemas! Ssema é um conjuno de dos ou mas componenes nerconecados para a realzação de uma ou mas funções! A dsnção enre ssema, sub-ssema e componene é meramene por convenênca de modelagem e deermnada, muas vezes na práca, pelo nível de dealhameno desejado assm como pelo nível de nformação (dados de falha, manuenção, ec) que se em a dsposção. Veja a segune lusração. omponene omponene 3 Sub-Ssema A omponene 2 "ZOOM" Ssema omponene A- omponene A-2 omponene A-3 Sub-Ssema A 2. Ssemas Reparáves versus Não Reparáves! omponene ou Ssema Não Reparável: É aquele que para os objevos da presene análse de confabldade esá operando em (níco do período de observação) e que connua em servço aé o empo de falha em T onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue --

2 Ao ocorrer uma falha, nós não consderamos a possbldade de o mesmo ser reparado e colocado novamene em operação Assm, pode-se consderar que um componene não reparável é aquele que é descarado ou subsuído por um novo componene quando o mesmo falha: A manuenção do mesmo compreendera em sua complea subsução por um novo componene Se o mesmo não é subsuído por um novo componene, consdera-se que a manuenção smplesmene resabelece o componene para o esado operaconal como se fosse novo! Obvamene, cudado é necessáro ao fazer esa consderação Noe que o conceo de componene (ou componene) não reparável é dependene dos objevos da análse de confabldade bem como da nformação dsponível sobre o componene durane a nossa análse Exemplos: Lâmpadas Transsores enes de memóra RAM Alguns elerodoméscos (dependendo do cuso de manuenção versus a compra de um novo equpameno) Alguns pos de saéles não passíves de manuenção A confabldade de ssemas/componenes não reparáves é analsada aravés da dsrbução do empo de falha. Esa dsrbução pode ser represenada pela função de densdade de probabldade (DF), função de dsrbução acumulada (DF), ou axa de falha! omponene ou Ssema Reparável: É aquele que após falhar é colocado novamene em operação aravés de qualquer procedmeno que não seja a complea subsução do mesmo É passível de manuenção Sofre reparo! Nese capíulo ulzaremos o ermo componene para nos referrmos ao em a ser analsado! Modelos e procedmenos serão apresenados e dscudos para a análse de confabldade de componenes (ssemas, sub-ssemas) não reparáves onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -2-

3 3. A Função de onfabldade! onfabldade, R, é defnda como a probabldade que um ssema (componene) rá funconar durane algum período de empo! Sendo T a varável aleaóra conínua que expressa o empo de falha do componene, T, a Função de onfabldade, R ( ), pode ser expressa como: R() R ( ) T ( ) ; onde é o nsane fnal do período durane o qual o componene é observado (é o empo de mssão do mesmo). O componene falha em ou após! A função de confabldade, R ( ), deve sasfazer rês condções: R( ) lm R ( ) R ( ), ou seja, a confabldade é monoônca decrescene (não- crescene) para odo. Veja a segune fgura.! A função de confabldade pode ser nerpreada de duas formas: R ( ) é a probabldade que um deermnado componene eseja operando em Se observarmos um conjuno dos mesmos componenes, R ( ) é a fração esperada da população que esá operaconal em! A função de confabldade pode ser usada para comparar o comporameno de dversos componenes: or exemplo, consdere dos componenes guas produzdos por dferenes fabrcanes cujas curvas de confabldade são mosradas a segur onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -3-

4 R() R () R 2 () omo R () > R () para odo, pode-se dzer que equpamenos 2 feos por fabrcane 2 são superores do que os feos pelo fabrcane quano a confabldade 4. Função de Dsrbução Acumulada (DF)! A Função de Dsrbução Acumulada é defnda como F ( ) R ( ) T ( ) logo, F ( ) T ( < ) que corresponde a probabldade que o componene falhe anes de.! Noe que: F( ) lm F ( ) F ( ) é uma função monoônca decrescene. Veja a próxma fgura F() onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -4-

5 5. Função de Densdade de robabldade (DF)! A Função de Densdade de robabldade é defnda por: df() dr() f () d d! omo vmos, a DF descreve a forma da dsrbução do empo de falha. É a represenação vsual da dsrbução do empo de falha (veja a próxma fgura)! A DF f () possu as segunes propredades: f () f () d, para odo f() Área! Tendo-se a DF f (), podemos ober R ( ) e F ( ) : DF: df() f () d df() f () d negrando, resulando em: F() df() f ( τ) dτ F ( ) F () f( τ) dτ onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -5-

6 onfabldade: dr() f () d dr() f () d negrando, logo, R () R( ) R( ) R () dr () f () v dv dr () f () v dv R () f() vdv! É mporane noar que a função de confabldade, R ( ) e a função de dsrbução acumulada, F ( ), represenam áreas sob a curva defnda pela função densdade de probabldade f () : f() F( ) R( ) F ( ) R ( ) é a probabldade de falha anes de é a probabldade de que a falha ocorra após ou em Assm, se observarmos uma população dos mesmos componenes, F ( ) corresponde à fração de componenes que falharão anes de, e R ( ) é a fração de componenes que rão falhar após ou em T T 2! A probabldade de que uma falha ocorra enre os nsanes e, ou seja, denro do nervalo de empo [, ] é dada por: 2 ( T ) F ( ) F ( ) R ( ) R ( ) 2 2 o que resula em (veja a próxma fgura): onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -6-

7 2 ( T 2) f( d ) f() ( T 2) 2 L Exemplo : Dada a segune função de densdade de probabldade para o empo de falha (em horas de operação) de um compressor, f (). (. + ) 2 ; (a) qual é a confabldade para uma mssão de horas? (b) Qual é a probabldade de falha dese compressor enre horas e horas? 6. Tempo Médo de Falha (MTTF)! O Tempo Médo de Falha (MTTF - Mean Tme To Falure) é defndo por MTTF E( T) f ( ) d o qual corresponde a méda, ou valor esperado, da dsrbução de probabldade do empo de falha T! ode-se mosrar que: MTTF R() d a qual é uma expressão mas fácl de aplcar na práca do que a aneror. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -7-

8 7. Ouras Meddas de Tendênca enral da Dsrbução do Tempo de Falha! A méda, MTTF, do empo de falha de um componene é apenas uma das possíves meddas de endênca cenral da dsrbução de T. Ouras meddas são ambém usadas em análse de confabldade, como as que seguem.! Medana: A medana do empo de falha T de um componene é defnda como: R ( ) T ( ) 5. med med A medana dvde a dsrbução em duas meades com 5% de chance do componene falhar anes da medana do empo de falha e 5% de chance da falha ocorrer após a medana de T Equvalenemene, para uma população de componenes, em-se 5% das falhas ocorrendo anes da medana de T e 5% das falhas aconecendo após (veja a fgura que segue) med f() 5% 5% med Na práca, a medana med é preferível à méda (MTTF) quando a dsrbução de T é alamene não smérca (a dsrbução é skewed )! Moda: A moda de T corresponde ao valor mas provável de ocorrer (de ser observado) do empo de falha, ou seja, f ( ) max f ( ) mod < mod equvale ao máxmo da função de densdade de probabldade (DF) orano, para um nervalo de empo em orno da moda mod, a probabldade de falha será maor nese nervalo do que para qualquer onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -8-

9 ouro nervalo de empo do mesmo amanho (que não nclua mod!)! Observe no próxmo gráfco da densdade de probabldade (DF) as posções relavas enre o MTTF, med, e mod f() mod med MTTF L Exemplo 2 (Resolver): onsdere a segune DF: 2. f (). 2e ; com em horas. Deermne (a) a função de confabldade, (b) o MTTF, a medana med do empo de falha, (d) a moda mod do empo de falha! Imporane: Mesmo que dos componenes possuam o mesmo MTTF, as suas confabldades podem ser bem dsnas para o mesmo empo operaconal! Veja o exemplo que segue. L Exemplo 3: < ara o exemplo 2, com MTTF R () e 5h. 2. onsdere agora que emos um segundo componene cuja confabldade é fornecda pela segune expressão: onde R 2 () ;( ) h MTTF2 5h. Ou seja, ambos os componene possuem empos médos de falha guas: MTTF MTTF. 2 onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -9-

10 orém, para T 4h : R 2. x4 ( 4) e R 2 ( 4) 6. resulando em níves de confabldade subsancalmene dferenes para os componenes em um mesmo período de operação! < Observe o próxmo gráfco represenando a varação da confabldade com o empo para ambos os componenes R() % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% % % Tempo de Operação [h] R() R2() < Logo, o MTTF por s só não caracerza compleamene a dsrbução do empo de falha de um cero componene ou ssema e deve ser ulzado com cauela quando analsando/comparando dsnos componenes ou ssemas < Ouras meddas são necessáras, como a varânca! Varânca: omo vmos, a varânca é uma medda de dspersão dos empos de falha em orno do MTTF (méda): ( MTTF) f () d σ 2 2 A varânca ambém pode ser dada como: onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue --

11 f d σ 2 2 () MTTF 2 a qual compuaconalmene é mas esável e preferível do que a expressão aneror.! Desvo adrão: orresponde a raz quadrada da varânca: σ 2 σ É mas fácl de nerprear do que a varânca σ 2 uma vez que o desvo padrão σ possu a mesma dmensão (undade) do empo de falha T L Exemplo 4 (Resolver): A parr das funções de densdade de probabldade (DF) do exemplo 3, deermne (a) as varâncas (b) e os desvos padrões dos empos de falha de ambos os componenes. 8. Taxa de Falha! Taxa de Falha ou Força de Moraldade Insanânea, h (): É a probabldade de falha por undade de empo do componene (ou ssema) uma vez que o mesmo enha operado aé o nsane : h () f () R () Ou seja, a axa de falha é a probabldade condconal de falha por undade de empo (nsanânea) dado que o componene (ou ssema) já enha operado aé o nsane omo esa expressão é obda? Sabemos que a probabldade de falha em um nervalo de empo, ou seja, de T aé T + é dada por: ( T + ) R ( ) R ( + ) A probabldade condconal de falha no nervalo de empo de aé + dado que o componene (ou ssema) enha operado aé o nsane é: onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue --

12 ( T + T ) [( + ) ( )] T T T ( ) Mas noe que ( T + ) ( T ) T +, logo pode-se escrever [ ] ( T + ) ( T ) ( T + ) orano, ( T + T ) ( T + ) T ( ) Escrevendo em ermos de confabldade: ( T + T ) R () R ( + ) R () Dvdndo pelo nervalo e calculando o lme para : lm ( T + T ) R lm () R ( + ) R () o qual corresponde a probabldade condconal de falha por undade de empo, ou seja, a axa de falha h (): R R h () lm () ( + ) R () Rearrumando o lado dreo, [ R ( ) R ( )] + h () lm R() Logo, h () dr() d R() mas como f () dr() d h () f () R (), em-se onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -2-

13 a qual é a axa de falha ou força de moraldade nsanânea.! Taxa de Falha Acumulada, H ( ) : orresponde a axa de falha acumulada durane um período de empo,.e., [, ] H () h( τ) dτ H ( ) em as segunes propredades: H( ) lm H ( ), ou seja, o componene va falhar! H ( ) É uma função não decrescene 9. aracerzação do Tempo de Falha de um omponene! Uma deermnada função de densdade de probabldade, função de confabldade, função de dsrbução acumulada, axa de falha, ou axa de falha acumulada especfca/caracerza compleamene a dsrbução do empo de falha de um componene! Ou seja, com qualquer uma desas funções, f (), R(), F( f ), h(), H(), pode-se deermnar qualquer uma das ouras funções e assm caracerzar por compleo o comporameno do empo de falha de um componene! or exemplo, a confabldade pode ser obda a parr da axa de falha da segune forma:! Em geral, [ ] R () exp h( ) d τ τ H () h( τ) dτ ln R () f ( τ ) dτ R( τ) L Exemplo 5: Dada a axa de falha lnear h () 5 x 6, onde esá em horas, qual é o empo de operação angdo para uma confabldade desejada de 98%? onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -3-

14 < Tem-se que: 6 [ τ τ] [ 5 τ τ ] R () exp h( ) d exp x d 6 2 [ 25 ] R () exp. x ara um nível de confabldade de 98% o empo operaconal correspondene é: 6 2 [ 98 ] R ( ) exp 25. x resolvendo para 98 : horas Observe no próxmo gráfco o comporameno da axa de falha e da confabldade dese equpameno em função do empo operaconal. Observe que com o aumeno do empo de operação do equpameno, o mesmo apresena uma menor confabldade. Ou seja, é menos provável que ese equpameno complee a sua mssão uma vez que a probabldade condconal de falha do mesmo aumena enquano o equpameno se maném em servço. R() % 8% 6% 4% 2% % 8.E-3 7.E-3 6.E-3 5.E-3 4.E-3 3.E-3 2.E-3.E-3.E Tempo de Operação [horas] h() onfabldade Taxa de Falha L Exemplo 6 (Resolver): No exemplo aneror, qual é a axa de falha acumulada? onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -4-

15 L Exemplo 7 (Resolver): Um compressor em confabldade dada por: 2 R () 2 ; a a onde a é um parâmero represenando o empo máxmo (úl) de operação do compressor. (a) Enconre f (), (b) deermne a axa de falha do compressor, e o seu MTTF, (d) consrur os gráfcos da confabldade, DF e axa de falha dese equpameno em função do seu empo operaconal.. A urva da Banhera! A forma da axa de falha ndca como o componene envelhece, ou seja, a axa de falha mosra as mudanças na probabldade de falha de um componene ao longo de sua operação! omporameno da axa de falha: em geral, podem-se denfcar rês pos báscos da axa de falha (veja a próxma fgura) h() Decrescene onsane rescene rescene: Decrescene: O componene esá sujeo a um processo de desgase O componene possu uma maor probabldade de falha à medda que o empo operaconal aumena O componene possu uma menor probabldade de falha com o passar do empo operaconal Observa-se em geral no níco da operação de um novo onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -5-

16 onsane: componene o qual sofre falhas devdo a defeos de projeo, manufaura ou consrução, ou nsalação do mesmo Da mesma forma, ao se observar um conjuno dos mesmos componenes, uma axa de falha decrescene pode represenar esa população na qual somene alguns componenes são defeuosos. Assm, quando a população de componenes é ncalmene colocada em servço, a axa de falha pode ser relavamene elevada aé que os componenes defeuosos são removdos devdo à falha dos mesmos e a axa de falha observada decresce O componene possu uma axa de falha aproxmadamene consane As falhas são aleaóras, ou seja, a probabldade de falha do componene é a mesma para qualquer valor do empo operaconal! Na práca, um componene pode apresenar uma combnação dos rês pos báscos levando a axa de falha a apresenar um formao de banhera É a chamada urva da Banhera, como mosra a próxma lusração: h() Moraldade Infanl (Burn-n) Vda Úl Desgase Taxa de Falha Decrescene Taxa de Falha onsane Taxa de Falha rescene A axa de falha ncalmene decresce, depos em um período de baxa axa de falha (possvelmene consane), e enão h () cresce à medda que o componene (ou ssema) envelhece Ao observar um grupo de componenes: Os processos de manufaura nroduzem falhas em alguns dos componenes fabrcados Esas falhas não são deecadas, levando a falhas precoces de onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -6-

17 alguns desses componenes O fabrcane enão ulza o Burn-n, ou seja, os componenes são esados na fábrca para assm deecar os componenes falhos(com defeos de fabrcação anes dos mesmos chegarem ao consumdor! A abela que segue resume as prncpas caraceríscas da curva da banhera Eapa aracerzação ausas alavos ara Redução Moraldade Taxa de Falha Defeos de fabrcação: < Burn-n Infanl Decrescene Soldagens < onrole de Fssuras qualdade Rachaduras < Teses de aceação roblemas no conrole de qualdade Erro humano (renameno) Erros de monagem Vda Úl Taxa de Falha argas exernas < Uso de Aproxmadame aleaóras Redundâncas ne onsane Erros humanos < Over-desgn (super- Evenos não especfcações) prevsos (aleaóros) Desgase Taxa de Falha Fadga < Manuenção rescene orrosão prevenva Envelhecmeno < Subsução de (empo componenes operaconal) < Melhora da Frcção ecnologa argas cíclcas < Manuenção cenrada em confabldade onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -7-

18 L Exemplo 8: A axa de falha de um equpameno é dada por: h ().. ;. +. ; > como é mosrado na segune fgura: h(). 2 (a) Enconre a DF (b) Deermne a função de confabldade R ( ) < Sabemos que h () f() R (). Logo, mas, logo, f () h() R() [ ] R () exp h( ) d τ τ [ ] f () h()exp h( ) d ara : logo, τ τ R () exp [ (.. τ) dτ ] 2 R () exp [ ] ( ) [ 5 2 ] f ().. exp. +. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -8-

19 ara > : 2 [ ] R () R( )exp Noe que devemos mulplcar a expressão aneror por R( ) uma vez que o equpameno já em esado em operação por horas. Enão, 2 ( ) [ 5 5] f (). +. R( )exp... Observe na próxma fgura o comporameno da confabldade e da axa de falha dese equpameno. R() % 9% 8% 7% 6% 5% 4% 3% 2% % % Tempo Operaconal [horas] 2.E-2.8E-2.6E-2.4E-2.2E-2.E-2 8.E-3 6.E-3 4.E-3 2.E-3.E+ h() onfabldade Taxa de Falha. onfabldade ondconal! onfabldade ondconal é a probabldade de que um componene (ou ssema) rá operar por um empo adconal dado que o mesmo já enha operado durane um período T : RT ( )! omo esa expressão é obda? RT ( + ) RT ( ) A confabldade de um componene (ou ssema) operar por um empo adconal uma vez que o mesmo já enha operado por um período T é onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -9-

20 omo RT ( ) ( ) RT ( ) T T + T T ( T T + ) ( T T) ( T T + ) [( + ) ( ) ] T ( T + ) T ( T) T ( T) T T T T Em ermos de confabldade, RT ( ) ( + ) RT RT ( ), em-se! A confabldade condconal pode ser expressa em ermos da axa de falha da segune manera: T [ τ τ ] T [ ] + τ τ RT ( ) exp h( ) d RT ( + ) exp h( ) d Subsundo na expressão aneror para RT ( ), obém-se T RT ( ) exp + h( τ) dτ T! Em ermos prácos, o conceo de confabldade condconal é basane úl quando, por exemplo, T corresponde a um período de burn-n ou de garana. Veja o próxmo exemplo. L Exemplo 9: Seja h () 5. 2 com em anos, a axa de falha (decrescene) de um deermnado componene elerônco usado em um ubo de rao-x de ânodo móvel. < Tempo de operação para uma confabldade de 9%: onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -2-

21 [ ]. R () exp h( ) d exp 5 2 τ τ τ dτ R () exp 2 Assm, para uma confabldade alvo de 9% o empo operaconal angdo é: 2 9 R ( 9) exp 9. 9 anos < Suponha agora que o fabrcane realza um burn-n de 6 meses para eses componenes anes de enva-los ao consumdor (.e., o fabrcane dos ubos de rao-x). Temos agora T 6 meses 5. ano. Enão, o empo operaconal para um nível de confabldade de 9% agora é obdo da segune forma: RT ( ) RT ( + ) RT ( ) exp 5. exp obendo-se anos Iso sgnfca um aumeno de mas de 4 anos na vda operaconal dese componene resulane de um período de 6 meses de burn-n!! Noe que o melhor desempenho obdo devdo ao burn-n somene é possível se o componene em quesão ver uma axa de falha decrescene. Veja o exemplo que segue. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -2-

22 L Exemplo : onsdere que um cero po de bomba possu a segune axa de falha: h () 5. onde é meddo em anos. Observe que agora a axa de falha é crescene. < O empo de operação para um nível de confabldade de 9% é dado por: 2 [ 9 ] exp das 9 < Agora, consderando um período de burn-n de mês apenas (.83 ano): RT ( ) obendo-se 2 [ 25( ) ] 2 [ 25( 83) ] exp.. exp das 9. < Logo, o empo operaconal desa bomba dmnu como resulado do burn-n, ou seja, como conseqüênca da mesma já esar operando por mês quando chegou nas mãos do consumdor! < omo a axa de falha é crescene, ese comporameno é esperado pos o equpameno em uma maor probabldade de falhar com o acumulo do empo de operação. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -22-

23 2. Dsrbuções onínuas de robabldade! Nas próxmas seções remos esudar dversas dsrbuções de probabldade ulzadas em confabldade para descrever processos de falha! A dsrbuções a serem dscudas são: Exponencal Webull Normal LogNormal! Esas dsrbuções de probabldade são das eórcas uma vez que as mesmas são obdas maemacamene e não emprcamene. As dsrbuções empírcas de probabldade serão esudadas poserormene nese capíulo 3. A Dsrbução Exponencal! É uma das mas conhecdas e usadas dsrbuções de probabldade em análse de confabldade de ssemas: Fácl de usar: maemacamene smples requerendo apenas a quanfcação de um únco parâmero Aplcável em suações onde a axa de falha é (aproxmadamene) consane: O componene/ssema não apresena maor ou menor probabldade de vr a falhar com o acúmulo do empo operaconal As falhas são aleaóras O componene ou ssema não deerora ou melhora com o empo em operação! aracerzação: are-se do prncípo de que a axa de falha é consane: h () λ ; λ >, onfabldade: Sabemos que como h () λ, [ ] R () exp h( τ) dτ R () λ e onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -23-

24 Função de Dsrbução Acumulada (DF): F ( ) R ( ) logo, F () λ e Função de Densdade de robabldade (DF): f () dr() d enão, f () λ e λ Esas funções esão represenadas nos gráfcos que seguem para dversos valores de λ f() λ.25 λ. λ T R() λ.25 λ. λ T onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -24-

25 F() λ.25 λ. λ T MTTF: MTTF R() d Subsundo a expressão da confabldade para a dsrbução exponencal: λ λ e MTTF e d λ e λ ( ) e λ ( ) noando que corresponde a zero e que é gual a, em-se MTTF λ o qual é o nverso da axa de falha. É mporane ressalar que ese resulado somene é váldo para a dsrbução exponencal. Varânca: σ λ λ λ e d 2 2 logo 2 σ 2 λ onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -25-

26 Desvo adrão: σ λ MTTF Noe que ese resulado mplca que a varabldade do empo de falha aumena com a confabldade (maores valores do MTTF), a qual é uma suação comumene enconrada na práca. Uma mporane caracerísca da dsrbução exponencal é observada ao se ober a confabldade angda para um empo operaconal equvalene ao MTTF: RMTTF e MTTF MTTF MTTF ( ) e e λ R( MTTF). 368 ou seja, um equpameno cujo empo de falha segue a dsrbução exponencal, possu chance um pouco melhor do que /3 de sobrevver aé o seu MTTF!! Quando usar? Idealmene, o período de axa de falha consane deve domnar a vda úl do ssema. Em suações em que a axa de falha do componene ou ssema é consane ou aproxmadamene consane, pode-se usar a dsrbução exponencal Em suações em que um componene possu dsnos comporamenos da axa de falha ao longo do período em que o mesmo é ulzado, a dsrbução exponencal em sdo usada quando a regão de axa de falha consane é domnane com relação as ouras regões da curva da banhera: omponenes elerôncos Alguns componenes mecâncos Análse de ssemas complexos: Méodos analícos para ssemas complexos são complcados, logo smplfcações devem ser feas. Neses casos, a hpóese de axa de falha consane e o uso da dsrbução exponencal smplfcam consderavelmene o problema Dados de falha dsponíves na análse de confabldade de ssemas complexos são em geral lmados e nsufcenes para verfcar ou ajusar uma dsrbução mas complexa. Assm, não é realísco onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -26-

27 empregar uma dsrbução mas complcada do que os dados dsponíves permam! L Exemplo : Um ssema de radar possu uma axa de falha consane de.34 falha por hora de operação. < MTTF λ h < R () e. 34 onfabldade para operação conínua de 3 das: ( 3 das)( 24h da) 72h logo, 72x. 34 R( 3) e. 783 O ssema de radar possu 78.3% de chances de operar durane 3 das sem falhas.! O Modelo Exponencal mplca que um componene não sofre desgase: Esa é uma caracerísca fundamenal da dsrbução exponencal e que acarrea em mporanes mplcações na práca onsderemos que um deermnado componene já enha operado por um período T e que nós esejamos neressados em deermnar a confabldade em um período adconal de empo (veja lusração) T T Ou seja, nós esamos neressados na confabldade condconal dese equpameno complear uma mssão uma vez que o mesmo enha esado em operação (e sem falhas) por T : RT ( ) RT ( + ) RT ( ) e e λ ( T + ) λ ( T ) onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -27-

28 RT ( ) e e λt e λt λ cancelando os ermos, em-se λ RT ( ) e L O empo de falha depende somene do amanho do nervalo de empo de operação () e não do empo operaconal acumulado do equpameno ( ). T Esa caracerísca da dsrbução exponencal mplca que: Um ssema ou componene cujo empo de falha é descro por uma dsrbução exponencal não sofre desgase or exemplo, a probabldade de falha (ou, nversamene, a confabldade) de um componene para uma mssão de 3 horas dado que o mesmo se enconre em operação sem falhas por horas será dênca à de um componene novo (assumndo que ambos seguem a dsrbução exponencal com a mesma axa de falha) Assm, um componene que segue a dsrbução exponencal não se lembra por quano empo o mesmo já operou: L A dsrbução exponencal não possu memóra! L Exemplo 2: Falhas são meramene aleaóras e não relaconadas com o empo operaconal acumulado Noe que qualquer equpameno que sofre processos de desgase como corrosão e fadga (acúmulo do dano sofrdo) não possurá uma axa de falha ndependene do empo (consane) e assm o emprego da dsrbução exponencal não é aproprado. O empo de operação de um deermnado equpameno é dsrbuído exponencalmene com MTTF de 5 h. (a) Qual é a probabldade dese equpameno operar sem falhas por 6 horas? (b) Se o mesmo em esado em operação por 6 horas, qual é a probabldade dese equpameno falhar denro das próxmas horas de operação? onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -28-

29 < omo o MTTF é de 5 h, a axa de falha é λ h MTTF 5 λ R( 6) e e R( 6) e. 32 < robabldade de complear a mssão de h adconas dado que já operou por 6h: RT ( ) R ( + T ) RT ( ) e ( 6+ ) 5 e 6 5 R( 6 ) e 5 Logo, a probabldade de falha nas próxmas h dado que já operou por 6h: 5 F( T 6) R( T 6) e 8. Veja os segunes gráfcos da DF e confabldade/df dese equpameno f() Tempo [h] onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -29-

30 Tempo [h] R() F() Enão, para a dsrbução exponencal ese valor não depende de quano empo o equpameno já enha operado ( T empo adconal consderado ( h). ), mas somene do período de 4. A Dsrbução de Webull! É uma dsrbução de probabldade flexível a qual perme descrever axas de falha consane, crescene e decrescene, sendo uma das mas empregadas em engenhara de confabldade! aracerzação: Taxa de falha: onde β β h () ; αβ, >, α α α, β são os parâmeros da dsrbução: α β é o parâmero de escala ( scale parameer ), admensonal é o parâmero de forma ( shape parameer ), dmensão de empo onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -3-

31 onfabldade: omo τ [ τ τ ] R () exp h( ) d R () exp τ β τ α α β dτ R () ( ) e α β DF: Sendo em-se F ( ) R ( ) ( ) F () e α β DF: Sabemos que f () dr() d logo f () α β α β ( ) e α β Análse da nfluênca do parâmero de forma ( β ) no comporameno da dsrbução de Webull: β afea a forma da dsrbução: vsível na DF Deermna o comporameno da axa de falha h(). Veja a segune abela. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -3-

32 Valor ropredade < β < β < β < 2 β 2 β > 2 3 β 4 h() decrescene h() consane (ds. Exponencal) h() crescene e côncava h() crescene e lnear (ds. Raylegh) h() crescene e convexa h() crescene e aprox. smérca (ds. Normal) Observe os próxmos gráfcos da DF e da axa de falha para a dsrbução de Webull com dferenes valores do parâmero de forma e para um mesmo valor do parâmero de escala ( α 3).2..8 β.5 β.5 β2. β4. f() T onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -32-

33 β.5 β2. β.5 β4. h() T Noe que a dsrbução de Webull é basane flexível podendo represenar uma grande varedade de formaos (comporamenos) do empo de falha de equpamenos Inclusve, a dsrbução de Webull pode ser ulzada para aproxmar ouras dsrbuções de probabldade (veja abela aneror): Quando β, a dsrbução Exponencal é um caso h () parcular da dsrbução de Webull ce λ α α α Quando β 2, em-se a dsrbução de Raylegh: um caso especal da dsrbução de Webull que é caracerzada por uma axa de falha crescene e lnear ara β 25., a dsrbução de Webull é aproxmadamene equvalene a dsrbução LogNormal. Noe, porém, que a LogNormal não é um caso especal da Webull, apenas que para ese valor do parâmero de forma, a dsrbução de Webull possu forma semelhane a da dsrbução LogNormal (DFs semelhanes) onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -33-

34 ara β 36., a dsrbução de Webull é aproxmadamene equvalene a dsrbução Normal. omo anes, a dsrbução Normal não é um caso especal da dsrbução de Webull. Noe que uma axa de falha crescene pode crescer: A uma axa decrescene (côncava) quando < β < 2 A uma axa consane (lnear) quando β 2 A uma axa crescene (convexa) quando β > 2. Em parcular, axas de falha que são convexas refleem um processo de desgase exremamene agressvos É mporane frsar que apesar da dsrbução de Webull ser capaz de represenar odas as rês fases da curva da banhera, ela o faz para dsnos valores do parâmero de forma: Não exse nenhum valor do parâmero de forma que resule em uma axa de falha com a forma da curva da banhera (decrescene, consane e crescene) Observe os segunes gráfcos da confabldade e da DF para dversos valores do parâmero de forma é um mesmo valor do parâmero de escala ( α 3) R() β.5 β.5 β2. β T onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -34-

35 F() β.5 β.5 β2. β T omo é esperado, quano maor o valor do parâmero de forma, menor será a confabldade para um mesmo empo de operaconal Analogamene, para valores mas elevados do parâmero de forma, a probabldade acumulada de falha, DF, é maor para um mesmo empo de mssão Noe nos gráfcos anerores que odas as curvas de confabldade e DF passam aravés do mesmo pono no qual α : ( ) RT ( α) e e αα β RT ( α). 368 Logo, 63.2% de odas as falhas vão ocorrer ao se angr α ndependenemene do valor do parâmero de forma. or sso, o parâmero de escala α é ambém conhecdo como Vda aracerísca Análse do mpaco do parâmero de escala ( α ) no comporameno da dsrbução de Webull: O parâmero de escala nfluenca ano a méda como a dspersão dos empos de falha de um equpameno (observe a próxma fgura) onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -35-

36 R()..9 α.5 α. α T Nese gráfco da confabldade para dsnos valores do parâmero de escala e valor fxo do parâmero de forma ( β 2 ), observa-se que à medda que α aumena, a confabldade ambém aumena para um deermnado nsane Ou seja, em-se uma aumeno na dspersão dos empos de falha O coefcene angular da axa de falha h()dmnu com o aumeno do parâmero de escala (melhora da confabldade), como é observado na próxma fgura h() a.5 a. a T onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -36-

37 MTTF: MTTF α Γ + β onde ( ) Γ x é a função gamma: x y Γ ( x) y e dy Quando x é um nero posvo: Varânca: σ 2 2 α Γ + Γ ( x) ( x! ) 2 Γ + β β 2 L É mporane observar que dferenemene da dsrbução Exponencal, para a dsrbução de Webull não há relação drea enre o MTTF e a axa de falha h()! Quando usar? A flexbldade da dsrbução de Webull a orna em um modelo aproprado para uma grande varedade de problemas enconrados na práca: Análse da ressênca à corrosão Tempo de falha de componenes elerôncos Devdo a sua capacdade de descrever axas de falha crescenes, a dsrbução de Webull é um modelo a ser consderado quando nos deparamos com componenes/ssemas sujeos a desgase L Exemplo 3: (a) Qual é a confabldade de um ssema para um empo operaconal de 4 hrs se o empo de falha do mesmo segue uma dsrbução de Webull com β 8. e α 5h? < ara 4 hrs, R () ( ) e. 5 8 onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -37-

38 Logo,. ( 4 5) R( 4) e % (b) Qual é a axa de falha nese nsane? < Em geral, h () Em 4hrs: h () h Observe no próxmo gráfco o comporameno da confabldade, DF e axa de falha para ese componene. Noe que a axa de falha é aproxmadamene lnear uma vez que β 8. R() - F() Tempo [h] R() F() h() h()! Agora resolva o segune problema: L Exemplo 4 (Resolver): onsderando que o empo de falha de um sensor de emperaura segue uma dsrbução de Webull com β 3e α 6h, enconre: onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -38-

39 (a) R() e consrua o gráfco R x (b) Tpo de comporameno da axa de falha, consrundo o gráfco h x (c) MTTF (d) Varânca (e) A vda caracerísca, ou seja, nsane onde aproxmadamene 63% das falhas ocorrem (f) Tempo operaconal angdo para um nível de confabldade de 9%! onfabldade ondconal: ara a dsrbução de Webull, emos RT ( ) exp β { [( T + ) α] } β ( T ) α exp { [ ] } RT ( ) exp β T + T + α α β L A dsrbução de Webull em memóra! L Exemplo 5: Se no exemplo aneror fosse usado um período de burn-n de horas, qual sera o empo operaconal angdo para um nível de confabldade de 9%? < Incalmene, observe no segune gráfco como a confabldade e a axa de falha se comporam em função do empo operaconal quando o sensor de emperaura não é prevamene submedo ao burn-n onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -39-

40 R() E-3 4.5E-3 4.E-3 3.5E-3 3.E-3 2.5E-3 2.E-3.5E-3.E-3 5.E-4.E Tempo [h] h() R() h() < Agora, dado um período de horas de burn-n, emos que a confabldade do sensor de emperaura para uma dada mssão de horas é: R ( ) exp ara R ( 9 ). 9, em-se Ln( ) resulando em hrs O qual é um aumeno sgnfcavo no empo de operação do sensor de emperaura quando comparado com o valor anerormene obdo de 8.7 horas (exemplo 4). Noe que ese resulado fo possível pos emos uma axa de falha h() decrescene. Observe na fgura que segue o comporameno da confabldade para ambos os casos dscudos. Noe que no caso do sensor er passado por um período de burn-n, emos a confabldade condconal R ( ). onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -4-

41 ..9 onfabldade Tempo [h] R() R( To) 5. A Dsrbução Normal! Tem sdo aplcada na modelagem de processos de fadga e desgase! A função de densdade de probabldade (DF) é dada por: f () 2 µ exp 2πσ 2 σ ; < <, < µ <, σ > onde µ é a méda da dsrbução, σ 2 é a varânca! Uso lmado na análse de confabldade envolvendo empo de falha: A v.a. T pode assumr valores negavos! µ σ Em alguns casos quando é posva e bem maor que, a probabldade de empos negavos é desprezível Observe o gráfco que segue da DF em função do empo de falha. Noe que a dsrbução Normal é smérca com o MTTF (méda), moda e medana concdenes onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -4-

42 f() σ.5 σ T! A axa de falha é sempre crescene com o empo: só pode ser usada para represenar a regão de desgase da curva da banhera (veja a fgura que segue) 4 2 σ.5 σ. h() T onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -42-

43 6. A Dsrbução LogNormal! Se o empo de falha T segue a dsrbução LogNormal, enão o logarmo de em uma dsrbução Normal! aracerzação: DF: f () exp 2πσ 2 Ln() µ σ 2 ;, < µ <, σ > T onde µ ELn [ ()] σ 2 Var[ Ln() ] Noe que a dsrbução LogNormal esá defnda apenas para valores posvos de T, logo é mas aproprada para aplcações em confabldade envolvendo empo de falha do que a dsrbução Normal Observe ambém que µ e σ 2 são a méda e a varânca do logarmo naural do empo de falha (Ln()), respecvamene, e não do empo de falha Veja na fgura que segue a DF em função do empo de falha para dversos valores de σ e méda fxa µ 8. f() σ.5 σ.8 σ T onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -43-

44 Taxa de falha: Noe que o formao da dsrbução LogNormal é semelhane ao da dsrbução de Webull Na práca, freqüenemene dados de falha ajusados pela LogNormal ambém são bem ajusados pela Webull omo vso na próxma fgura, h() ncalmene cresce para depos decrescer com o acúmulo do empo em servço h() σ.5 σ.8 σ T Ese comporameno da axa de falha é pouco comum na práca orém, a axa de crescmeno e decrescmeno de h() depende dos valores de e. Assm, na práca, µ σ A dsrbução LogNormal é aproprada para o empo de falha de componenes/ssemas cujas falhas recenes domnam o comporameno do processo de falha Ou seja, a maor porção da probabldade de falha concenra-se para valores ncas do empo operaconal MTTF do empo de falha: Lembre que é a méda dos logarímos do empo de falha e não µ a méda de T A méda de T é o MTTF fornecdo pela segune expressão: MTTF + exp µ σ 2 2 onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -44-

45 Varânca do empo de falha: Da mesma forma, a varânca de T é Var [ ] ( ) MTTF 2 exp( σ 2 )! aracerzação da dsrbução LogNormal em ermos da dsrbução Normal: Na práca, a análse de dados de falha va a dsrbução LogNormal é baseada no logarmo naural do empo de falha, Ln(), e enão prosseguese a análse em ermos da dsrbução Normal padronzada Ou seja, se T segue uma dsrbução LogNormal com méda µ e varânca σ 2, enão Ln( T) segue uma dsrbução Normal Em parcular, Z Ln( T) µ σ é dsrbuída de acordo com uma dsrbução Normal padronzada, ou seja, com méda zero e varânca unára: φ() z z π z e 2 a qual corresponde a DF da varável Normal padronzada Z, e a DF obda dreamene a parr de abelas. µ σ 2 2 Φ () z Assm, endo-se e podemos faclmene enconrar a DF, confabldade, e a axa de falha de T a parr de valores abelados da varável Normal padronzada Z: DF: F () Φ Ln() µ σ é onfabldade: R ( ) F ( ) logo, R () Φ Ln() µ σ onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -45-

46 Taxa de falha: omo h () f () R () em-se h () Φ f () Ln() σ µ! Quando usar? A dsrbução LogNormal em sdo aplcada Na modelagem de mecansmos de falha devdo a esresses como fadga e corrosão Modelagem do empo de falha de componenes elerôncos e eleromecâncos 7. Obenção e Análse de Dados de Falha (ou Reparo)! Nesa e nas seções subseqüenes dscuremos como dados de falha podem ser usados na seleção de um modelo de probabldade para a análse de confabldade de componenes e ssemas! Os procedmenos para a escolha/ajuse de dsrbuções de probabldade a dados de falha podem ser dvddos em duas caegoras geras: Méodos aramércos: onssem em ajusar uma dsrbução eórca (paramérca) como a Exponencal, Webull, Normal, e LogNormal Méodos Não-aramérco (ou empírcos): onssem em ober a função de confabldade, DF, DF ou axa de falha dreamene dos dados de falha dsponíves! Todos os procedmenos a serem dscudos são aplcáves ano para dados de falha como para dados de reparo, obendo-se a dsrbução do empo de falha ou do empo de reparo, respecvamene! A segur é apresenada uma breve dscussão sobre modos de falha. Enão, a obenção de dados de falha e sua respecva caegorzação são dscudas. oserormene, os méodos não paramércos e paramércos são abordados. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -46-

47 8. Modos de Falha! Ssemas complexos sofrem falhas das mas dversas resulanes de dferenes fenômenos físcos, químcos e/ou bológcos, ou devdo a dsnas caraceríscas de falha de seus componenes ndvduas! Mecansmos de Falha são processos físcos, químcos e/ou bológcos aravés dos quas as falhas se desenvolvem! Modos de Falha são os dferenes pos de falha. ode-se dzer que um modo de falha é uma manfesação de um ou mas mecansmos de falha! Na engenhara de confabldade, cosuma-se separar/dsngur as dsnas falhas de acordo com o mpaco desas na função desempenhada pelo componene ou ssema! Ou seja, as falhas são caegorzadas em modos de falha! or exemplo, uma mesma bomba pode falhar na parda ou em operação (após a parda da mesma er sdo fea com sucesso). Assm, empos de falha correspondenes ao modo de falha Falha da Bomba na arda devem ser analsados separadamene dos empos de falha coleados para o modo de falha Falha da Bomba em Operação 9. Obenção de Dados de Falha! Os méodos de análse de dados de falha (ou reparo) dscudos nese capíulo são específcos para componenes ou ssema não reparáves! Os dados dsponíves correspondem a um conjuno de empos de falha (ou reparo) represenados por,,, 2 n! É assumdo que cada falha represena uma observação ndependene de uma mesma população! Esa população é a dsrbução de odos os possíves empos de falha e pode ser represenada por f(), R(), F(), ou h()! O problema básco consse em ober a dsrbução mas aproprada do empo de falha T a parr do número lmado de n empos de falha condos no conjuno de dados dsponível (veja a próxma lusração) onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -47-

48 ada "pono" é uma ocorrênca de T não observada (não dsponível) n. f() n Dsrbução caracerzando a população (obda a parr dos dados dsponíves, 2,..., n ) L! De onde os dados de falha (ou reparo) são provenenes? Os n empos de falha podem corresponder a observações ndependenes de n componenes dsnos, observando-se uma falha de cada componene (ou ssema) Dados provenenes de um componene/ssema que sofre manuenção podem ser ulzados somene se após a manuenção o mesmo pode ser consderado ão bom quano novo : ada empo de falha pode ser vso como uma observação ndependene dos demas empos de falha observados n empos de falha observados para ese componene/ssema são equvalenes a colocar n componenes novos e ndependenes em ese! Assm, endo-se,,, observações ndependenes, ese conjuno de dados 2 de falha é consderado ordenado: 2 3 n n Esa ordenação é conhecda como Esaísca de Ordem e somene é adequada quando os empos de falha são ndependenes e provenenes de uma mesma população 2. Organzação dos Dados de Falha! Dados de Operação x Dados de Tese: Dados de Operação são aqueles provenenes da operação do componene em campo e refleem o uso do equpameno sob condções normas de operação onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -48-

49 Dados de Tese correspondem a ouras fones de dados provenenes de eses de confabldade como burn-n, eses acelerados, ou eses de melhora da confabldade ( relably growh )! Dados Agrupados x Dados Não-Agrupados: Dados Agrupados são aqueles em que os empos de falha (ou reparo) esão dsrbuídos em nervalos de empo não se endo conhecmeno dos empos ndvdualzados de ocorrênca de cada falha. São geralmene obdos a parr de falhas observadas em operação (campo) Dados Não-Agrupados são aqueles em que se em a dsposção os empos ndvdualzados de ocorrênca de cada falha! Grandes Amosras x equenas Amosras: Dados de campo (operação) em geral são numerosos e muas vezes é convenene agrupa-los em nervalos equenas amosras (geralmene número de falhas nferor a 25) são muas vezes resulanes de eses de confabldade e fornecem em geral nformação mas precsa (não agrupada)! Dados ompleos x Dados ensurados: Dados ensurados (ou suspensos) são ncompleos no sendo de que pelo menos um dos componenes fo removdo de observação anes da falha do mesmo. Assm, em-se valores de empo em que o componene não falhou (empo suspenso ou censurado) Dados ompleos são formados apenas por dados de falha, ou seja, odos os componenes foram observados aé falharem. Todos os empos dsponíves correspondem a ocorrêncas de falhas 2. Méodos Não-aramércos! O objevo consse em ober uma esmava da DF, confabldade, DF, ou axa de falha da população dreamene dos dados de falha (ou reparo) dsponíves! Noe que os méodos empírcos não fornecem nformação além da faxa de dados dsponível: Os méodos não-paramércos devem ser consderados como ferramenas de análse exploraóra e prelmnar dos dados de falha A forma desas funções são geralmene usadas apenas como ndcação da dsrbução de probabldade eórca mas aproprada onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -49-

50 ! Méodos Não-aramércos para Dados ompleos e Não-Agrupados: onsdere um conjuno ordenado de n empos de falha (ou reparo), 2,, n onde 2 n Temos que o número de componenes anda em operação em é n. Assm, uma possível esmava da confabldade R() é smplesmene a fração de sobrevvenes em : R ( ) n n n onde o símbolo ^ é ulzado para ndcar que esamos ulzando uma esmava obda a parr de uma amosra de dados de falha ou reparo. Assm, a esmava para a dsrbução acumulava de probabldade (DF) é obda como F ( ) R ( ) n Noe que F ( n ) nn mplcando que há probabldade zero de qualquer componene operar além do nsane n. omo na práca é muo mprovável que a nossa amosra (lmada) de dados de falha conenha o empo máxmo de operação, esa expressão ende a subesmar a real confabldade do componene ou ssema em quesão. A segur são apresenadas melhores esmavas para a confabldade e DF as quas serão ulzadas nese capíulo. Esmavas Não-aramércas: DF: F ( ) n + Noe que F ( n ) n( n + ) <, logo nós não esamos supondo que a nossa amosra nclu o maor empo possível de operação. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -5-

51 onfabldade: omo R ( ) F ( ) n + emos R ( ) n + n + DF: omo f () dr() d, em-se: f () R ( + ) R ( ) ( )( n + ) + Subsundo a expressão aneror da confabldade, obemos f () ( )( n ) ; < < Taxa de falha: Sabemos que h ( ) f () R ( ). Subsundo as esmavas da confabldade e DF obdas anerormene, h ( ) ( )( n ) ; < < MTTF: Obdo dreamene da méda da amosra MTTF n n Varânca: S 2 n 2 nmttf n 2 onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -5-

52 L Exemplo 6: onsdere os segunes empos de falha em horas: 24.5, 8.9, 54.7, 48.2, 2., 29.3, 5.4, 33.9, 72., 86. Deermne R(), F(), f(), h(), e o MTTF. < Incalmene devemos ordenar os empos de falha. Veja a abela que segue: T[h] R() f() h() or exemplo, + + R ( 54. ) f () ( )( + ) ( 5. 4 )( + ) ; < < 54. h ( ) ( )( + ) ( )( + ) + MTTF hrs. 286 ; 54. < < 8. 9 < Veja a segur os gráfcos da confabldade, DF, e da axa de falha. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -52-

53 R() T f() T h() T onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -53-

54 < Noe que a axa de falha ncalmene aumena para depos decrescer com o acúmulo do empo operaconal. Noadamene, enre 5.4 e 2. horas de operação ocorre uma queda acenuada da confabldade, a DF e a axa de falha apresenam os seus ponos máxmos. Ese comporameno sugere que a dsrbução LogNormal é uma possível canddaa para descrever ese processo de falha.! omo fo do anerormene, odas as expressões apresenadas nesa seção são ambém dreamene aplcáves para empos de reparo. Nese caso, o MTTF é subsuído pelo MTTR, ou seja, Tempo Médo de Reparo. Veja o próxmo exemplo. L Exemplo 7: Os empos de reparo que seguem, em horas, foram observados para a manuenção de um cero po de rocador de calor: 5., 6.2, 2.3, 3.5, 2.7, 8.9, 5.4, 4.6 (a) Esme a DF do empo de reparo, (b) alcule o MTTR, Se o MTTR desejado é de 4 hrs e que 9% dos reparos sejam compleados denro de 8 hrs, os objevos de manuenção esão sendo angdos? < Após ordenar os empos de reparo fornecdos, consruímos a segune abela conendo as esmavas da DF do empo de reparo do nosso rocador de calor. T[h] F() < O MTTR é dado por: MTTR hrs Assm, vemos que o objevo quano ao MTTR esá sendo alcançado. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -54-

55 < Veja na fgura segune o comporameno da DF do empo de reparo. F() Tempo de Reparo[h] orém, aravés da análse dese gráfco, vemos que não esamos angndo o objevo de complear 9% dos reparos em 8 horas, pos emos que hrs!! As esmavas não-paramércas acma apresenadas para dados compleos e nãoagrupados são em geral ulzadas na práca para n < 25 : Iso porém não as nvalda para amosras maores. Apenas sugere que quando emos dsponíves um número maor de dados de falha ou reparo, em geral os mesmos são agrupados em nervalos de empo com o nuo de faclar a análse. Muas vezes, porém, pode ocorrer que nós smplesmene não dspomos das ocorrêncas ndvduas de cada falha, mpossblando o procedmeno apresenado. Veja o procedmeno que segue.! Méodos Não-aramércos para Dados ompleos e Agrupados: Dados agrupados são aqueles em que os empos de falha (ou reparo) esão dsrbuídos denro de um nervalo de empo. Os valores ndvduas de cada ocorrênca/observação não esão dsponíves omo não dspomos das observações ndvduas, sejam n, n 2,, n k o número de componenes operaconas para os empos ordenados,,,, respecvamene 2 onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -55- k

56 As esmavas não-paramércas são: onfabldade: Da defnção de confabldade, uma esmava de R() é: n ( R) ; 2,,, k n onde n é o número oal de componenes operaconas no níco do período de observação, ou seja, para emos n n (no níco, odos os componenes esão operaconas) DF: Da defnção de f(), em-se: f () R ( ) R ( ) + ( ) n + ; < < + subsundo a expressão aneror da confabldade, f () n n + ( ) n + + ; < < + Noe que n n+ corresponde ao número de componenes falhos no nervalo. Logo, f () é uma esmava + da probabldade de falha por undade de empo, onde f() fornece uma ndcação do número de falhas por undade de empo. Taxa de falha: omo h ( ) f () R ( ), emos h ( ) n n + ( ) n + ; < < + Noe que ( n n ) n + é uma esmava da probabldade de falha em, pos é o número de componenes + n operaconas no níco do nervalo em. Dvdndo por, em- se uma esmava da probabldade de falha por undade de empo no nervalo que é jusamene uma esmava de h(), ou seja, a probabldade condconal de falha dos componenes que enham onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -56-

57 operado aé. MTTF: Esmado omando-se como base o pono médo de cada nervalo de empo. Ou seja, MTTF k n n+ ( ) n onde S n Varânca: n k n n + ( ) MTTF n Deve ser noado que a qualdade das esmavas depende de : Se pequenos nervalos são usados, em eora oberíamos esmavas mas precsas Enreano, a conraparda em se usar nervalos reduzdos é o decremeno no número de observações exsenes para ober as esmavas de R(), f(), h() em cada nervalo de empo orano, a escolha do amanho de requer uma crerosa consderação deses dos aspecos Noe que as esmavas não-paramércas acma apresenadas para dados compleos e agrupados ambém são aplcáves para empos de reparo. Nese caso, apenas deve-se subsur MTTF por MTTR L Exemplo 8: Seena compressores foram observados em períodos de 5 meses, obendo-se os segunes números de falha: 3, 7, 8, 9, 3, 8, 2. Deermne R(), f(), h(), MTTF, e o Desvo adrão. onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -57-

58 < Incalmene consruímos a abela que segue começando em com n 7: Lme Superor [meses] Número de Falhas Número de omp. Operaconas R() f() h() or exemplo: R ( ) n 7 logo, 67 R (5) f () n n ( ) n ( 5) ; 5< < h ( ) n n ( ) n ( 5) ; 5 < < MTTF S 2 2.( ) ( 5 2 ) meses x x enão, o desvo padrão é dado por: S 8. 75meses < Veja, a segur, os gráfcos da confabldade, DF, e axa de falha onfabldade e Análse de Rsco Enrque López Drogue -58-

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