3.2 Processo de Wiener

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1 3. Proceo de Wener Proceo de Wener, ou Movmeno Brownano, é um po parcular de Proceo de Markov, muo ulzado na fíca para decrever o movmeno de uma parícula que eá ujea a um grande número de pequeno choque moleculare. Grande pare do modelo deenvolvdo nee lvro ão baeado nee proceo de empo conínuo. Proceo de Wener é um proceo em empo conínuo com rê propredade mporane:. É um Proceo de Markov (mua veze o Proceo de Wener é conderado como um Proceo de Markov de empo conínuo). Am, udo que e preca para fazer uma prevão do valor fuuro da varável é a ua drbução de probabldade e o eu valor aual.. Pou ncremeno ndependene. 3. Mudança no proceo obre qualquer nervalo de empo ão normalmene drbuída, com uma varânca que aumena lnearmene com o nervalo de empo. A rê propredade acma decra podem parecer er rerva, po abemo, por eemplo, que o preço da açõe egue uma drbução log-normal (preço de uma ação nunca ca abao de zero). Para conornarmo ee problema, baa modelarmo o logarmo do preço como um Proceo de Wener. Ma formalmene, condere que agora que ) eja um Proceo de Wener. Enão qualquer varação em z, z (correpondene a um nervalo de empo ), afaz a egune condçõe: ~. A relação enre z e é dada por z ~, onde ~ ~ (,). A varável aleaóra não pou correlação eral, o é, ), para. Dea forma, o valore de z para do quaquer do nervalo dferene ão ndependene, de forma que ) egue um proceo de Markov. Probabldade,4 Drbução de (,), Drbução Cumulava de (,),3,75,,5,,5 Valor de, -4, -3, -, -,,,, 3, 4,, -4, -3, -, -,,,, 3, 4, D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 6

2 Da propredade egue que z em drbução normal com: Méda: ~ z) ~ ) ~ ) Varânca: ~ z ) ~ ) ~ ). ~ z ) Podemo conclur enão que o ncremeno do Proceo de Wener eguem uma drbução normal com parâmero ~ z ~ (, ) Já a propredade mplca que ) egue um Proceo de Markov. Iremo a egur demonrar a propredade que dz que a varável aleaóra não pou correlação eral. Já abemo do Proceo de Wener que eu ncremeno ão ndependene un do ouro para nervalo de empo dferene. Am abemo que Corr ( z, z ) Ma ambém abemo que Enão Corr( z, z ) Cov( a, b) Corr( a, b) ρab, a. b Cov( z, z) z ). z ) Subundo o valore de z, eremo Cov( ~ ~, ) Corr( z, z ) (, ) ( ~ Corr z, ~ ) ( ~ z Cov Cov, ~ ) b gb g podemo lembrando da defnção de covarânca que Cov( a, b) E a a) b b) ecrever: Cov(, ) E [( )][ )] Cov(, ) El[( ][ ] q Cov(, ) ) ) l q Agora remo verfcar como o Proceo e compora em um nervalo de empo longo. Condere um ncremeno no valor de z durane um nervalo de empo relavamene longo. D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 7

3 Moraremo que ) ), onde é o número de nervalo de empo. Supondo que,,,..., enha nervalo de empo enão ) ) ) ) ) 3 ) z ( ) z ( ) omando oda ea epreõe eremo 3 ) ) ) ) Equação 4 como o ão ndependene un do ouro, eremo: E[ ) )] E[ E[ ) )] E[ ) )] E[ ) E[ ) )] e agora calcularemo a varânca ] ] Var ) ) Var Var M Var ) ). Var Ma abemo que Var E E QP e E E. E E. E Fcamo enão com M QP Var E D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 8

4 embrando que: ( + y + z) + y + z y + y + yz z + z + yz + y + z + (y + z + yz) ( ) Enão M j j+ j QP + e j + M E E j E E j M QP + j + Q P + j + Var E Volando a equação orgnal da varânca, emo: Var ) ). Var Var ) ). Var ) ) ura manera de fazer, lembrando que a) E a a) Varz [ ( ) )] E[ z ( ) )] Ez [ ( ) )] Varz [( ) )] E[( z) )] M Q P Varz [( ) )] E Varz [( ) )] E + Varz [( ) )] ) + R S M j + j+ j Q P ) j U V W j D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 9

5 como do anerormene, chegarmo à epreão ) j enão podemo elmnar o omaóro duplo e Var[ ) )] j ) vmo ambém que ), e fnalmene enconramo Var[ ) )] Var[ ) )] Com a méda e varânca de )-) podemo nferr que ) )~ (, ) onde ( µ, ) Am, devemo conclur que o Proceo de Wener é um proceo eocáco nãoeaconáro, po ua varânca crece lnearmene com o horzone de empo. Se conderarmo um nervalo de empo, poderemo repreenar o ncremeno do Proceo de Wener em empo conínuo: dz Equação 5 Edz ( ) dz) d dz ~ (, d ) ( dz) d R S 3... Proceo de Wener Generalzado Proceo de Wener Generalzado, ambém conhecdo como Movmeno Brownano com drf, para uma varável pode er defndo em ermo de dz (ncremeno de Wener) como a egur: onde d α d + dz Equação 6 dz d e ~ (,) α é conhecdo como parâmero drf, e como parâmero de varânca, ambo ão conane. Condere um nervalo de empo, a mudança em, denoada por pou drbução normal e com o egune parâmero D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho

6 Méda ) α + z) ) α ) + z) ) α + z) ) α e Varânca ) E[ )] ) E[ α ] ) E[ α + z α ] ) E[ z] ) E[ ] ) ) ) am ~ ( α, ). ura manera de calcular a varânca: Ma ) Var α + z ) Var α + Cov α, z + Var z α ) α conane M Cov α, z E ( α E ( α ))( z z)) P P Q Enão: ) Var z Var ) Var ) Como eemplo, condere α. por ano e. por ano um camnho aleaóro egundo o Proceo de Wener Generalzado. Ee camnho mora uma varação ao longo de 5 ano no preço de uma commody qualquer. nervalo de empo do dado e do gráfco é de mê, porano, devemo dvdr o nervalo de empo anual em mee ( /). ogo a equação que modela ee camnho é dada por: D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho

7 α + z, +, Equação 7 onde e. Valor de é o reulado da nerção de uma varável aleaóra enre (,) na Drbução ormal Padrão Cumulava, conforme gráfco a egur:, Drbução Cumulava de,75,5,5 Varável Aleaóra, Valor de -4, -3, -, -,,,, 3, 4, A fgura 3. mora 3 camnho gerado ulzando a equação de e a lnha de endênca, o é, a equação de quando. BS: dz d z α + z α $, /ano mê / ano, /ano. ano /, / + z D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho

8 Movmeno Arméco Brownano - Fg (5) Agora, remo upor que a equação de rá gerar um camnho para o egune nervalo de empo (95,974). A parr de Dez/974 remo prever a varação do preço aé. Pela propredade de Markov, omene o valor de para dezembro de 974 é neceáro para modelar a prevão. Am o valor emado de para um empo mee a frene de Dez/74 ( 974+ ) é dado por: E974+ E974 + E Eα + z E + E, 667 +, E , 667 +, Podemo ambém modelar ea prevão ulzando um nervalo de confança, de por eemplo 66%, aí eremo a egune equação α ± z66% ± z66% ± ± A fgura abao mora o camnho, agora com valore prevo a parr de janero de 975, com um nervalo de confança de 66%. D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 3

9 4 Movmeno Arméco Brownano - Fg 3.3 Inervalo de Confança de 66% () Da dua fgura anerore, nó podemo obervar que no longo prazo a endênca de crecmeno é domnane, já no curo prazo a volaldade do proceo é domnane Repreenação de Camnho Aleaóro de Movmeno Brownano ó moramo no em aneror que o Proceo de Wener, ambém conhecdo como Movmeno Brownano é regdo pela egune equação: d α d + dz, onde dz d e ~ (,) Agora, moraremo que o Proceo de Wener pode er obdo como lme conínuo de um camnho aleaóro (Random Walk) dcreo. Dcrezaremo o empo em período de comprmeno e, em cada período, a varável move-e para cma ou para bao. A probabldade de ubda é p e de decda q-p. A fgura a egur mora o valore poíve de em cada um do período, aumndo que começa em. berve que de um período para ouro, é uma varável aleaóra que pode aumr o valore ±. D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 4

10 X +3Dh X +Dh X +Dh p p p 3 3p q ) ) ) ( p + p) ) ( p + p) ) p( p + ( p q) ) ( p q) ) ( p q) + ) + ( p)( + p + ( p) ) ( p) + ( p + p) + ( p + p) X pq Agora podemo calcular E[( ) ] X -Dh q 3pq E[( ) ] p( ) + ( p)( ) X -Dh q E[( ) ] ( p + p)( ) E[( ) ] ( ) X -3Dh q 3 ambém: p p () ( ) q q ( ) E[ ] p+ q( ) ( p q) E[( ) ] p( ) + q( ) E[( ) ] ( p+ q)( ) ( ) Com o valore acma podemo calcular ) : ) E{[ )] } ) E{( ) ) + [ )] } ) E[( ) ] ) ) + [ )] ) E[( ) ] [ )] ) ( ) [( p q)( )] ) [ ( p q) ]( ) embrando que: a - b (a+b)(a-b) D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 5

11 emo: - (p-q) (p+q) (p-q) (p + q + p - q) ( p + q - (p - q)) p.q 4pq Enao: ) 4 pq( ) Equação 8 Se conderarmo um nervalo de empo com n /, podemo calcular a méda e varânca de uma drbução bnomal para -. Condere a repreenação de Random Walk aneror. omando o Valor Eperado de cada nervalo, podemo ober: E [ ] E[ ] ( p q) E [ ] E[ ] ( p q) E [ 3 ] E[ ] ( p q)... E [ ] E[ ] ( p q) Somando cada uma da parcela, oberemo E [ ] + E [ ] +... E [ ] np ( q) E [ ] E [ ] + E [ ] E [ ] +... E [ ] E [ ] n( p q) E [ ] E [ ] np ( q) E [ ] np ( q) E ( ) p ( q) A varânca de - pode er obda e conderarmo Como o ncremeno ão ndependene, o é, o ão d, ρ, e marz var/covar ó erá valore na dagonal, e enão podemo aplcar ) e obermo: ) ) ) + ) 4 pq( ) ) 4npq( ) pq( ) ) ) pq( ) ) ) pq( ) ubundo o valor de n eremo: D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 6

12 ( ) ) (4 pq) Sera nereane e pudéemo ecolher valore de p, q, e al que a méda e varânca de - permaneceem nalerada e foem ndependene dee valore. Além do goaríamo de angr a equação d α d + dz no lme, quando, e onde dz d e ~ (,). Eabelecendo o egune valor para : Equação 9 podemo em eguda calcular o valore de p e q que afazem: ) ( p q) α ( p q) α ( p ) α α α p p + q [ α ] [ α ] Equação eremo α α p q Subundo o valore acma na equaçõe enconrada para a méda e varânca de -, além do valor de poderemo enconrar: α α ) ( ) α e α ) [ ( ) ]( ) α ) [ ( ) ]( ) α ) [ ( )]( ) α ) [ ( )] D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 7

13 Se rabalharmo com nervalo de empo nfnamene pequeno, ou eja, e levarmo, enconraremo lm ) Ao compararmo ee valore com o parâmero do Movmeno Brownano, veremo que ão o memo, onde α é o parâmero drf e o parâmero de varânca. oe que no lme ambo, a varânca e a méda de ( - ), ão ndependene de p, q, e. Am pudemo morar que quando o nervalo de empo ende para zero, o Random Walk ende para o Movmeno Brownano, preervando a equação. A relação enre e não é arbrára, é uma manera de não ermo a varânca de ( - ) dependendo do número de pao, ma m, dependendo de. Com o, fca claro o movo pelo qual na equação do Movmeno Brownano d depende da raz quadrada de d e não de d omene. Uma propredade nereane do Movmeno Brownano é que quando, a dânca oal percorrda em qualquer nervalo de empo orna-e nfna. Como vmo anerormene e ) logo o comprmeno oal eperado do camnho para um nervalo de empo de comprmeno é dado por: n Quando enão o comprmeno oal eperado do camnho ende para o nfno. Do memo modo, + e e + Am, podemo confrmar a forma de um camnho que egue um movmeno Brownano, como na fgura e 3, pouem mua ubda e decda e ão ponagudo (não ão dferencáve). D and Pndyck Ch 3..doc uz Brandão/PUC-Ro Julho 8