Revisão: Notações Tensorial e Simbólica. e assim, o resultado de um produto escalar dois vetores é um escalar. Na notação tensorial, ter-se-ia u

Transcrição

1 Apêndce B Reão: Noaçõe enoral e mbólca Ee apêndce complemena a reão maemáca ncada no Apêndce A. A relaçõe aq dedda e aplcam a ema de coordenada reanglare, para eore no epaço rdmenonal. O dero po de prodo e operadore apreenado ão ado emnenemene no capílo 6, 7 e 8 da apola. Na medda do poíel, oda a operaçõe ão apreenada na noaçõe eoral, enoral, marcal e mbólca. Ao leor nereado em e aprofndar no ano, recomenda-e conlar a referênca [], [] e []., defne- B.- Prodo ecalar enre eore Como e abe, dado do eore e o prodo ecalar ngle do de e como: e B. e am, o relado de m prodo ecalar do eore é m ecalar. Na noação enoral, er-e-a,, onde o índce repedo mplca em omaóro para =, e : B. endo o dela de Kronecer. Como omene para = e e alor é náro, em-e ambém B. Em noação marcal, o prodo ecalar do eore e é dado por B.4 B. Noação de prodo dádco A noação de prodo dádco para enore ngle do, ambém, qe defne a forma para e ecreer o prodo marcal

2 B.5 n nn n nm ema de coordenada reanglar, é B.6 Reala-e qe ea repreenação mbólca não dee er nerpreada omene como ma ora forma de e ecreer o prodo marcal. Na erdade, mbola ma operação qe relacona m eor fíco o geomérco com oro, endo qe não e depende do ema de coordenada ado para a repreenação. Por oro lado, é o prodo maemáco de mare aproprada da componene de e de nm dado ema de coordenada. Condo, nm ema de coordenada reanglar, a forma marcal empre pode er ada para repreenar a operação. Algn aore am a noação de operação mbólca de prodo dádco em o pono: B.7 É mporane enfaar qe o prodo dádco conere o prodo de ma mar por m eor em oro eor. A egr, apreenam-e algma propredade da dádca para coordenada reanglare: a eqale a B.8 a b B.8 b c B.8 c d V V B.8 d e B.8 e f B.8 f g B.8 g h B.8 h B.- Prodo ecalar de do enore O prodo ecalar de do enore é denoado por reanglare a : : e correponde em coordenada B.9 e rela nm ecalar. De fao, percebe-e qe

3 : B. é m ecalar. A egr, apreenam-e algma propredade do prodo ecalar de do enore: a : : B. a b : V : : V B. b c : : : B. c d : a não er qe B. d enão Dado o eore, em noação marcal, a ], b ], ec, [ [ a b c d : e f a d b e c f a d b e c f B. B.4 Prodo enor de do eore O prodo enor o prodo abero de do eore, denoado por ab o enor de egnda ordem o dádca, defndo pela egne egênca o a b, é m ab a b B. a a b a b B. b para odo o eore, endo qe denoa prodo dádco e é o prodo ecalar enre eore. Enão, e ab, ocorre a b B.4 para odo, em conformdade com a dcão da eção B., onde e eabelece qe o prodo dádco enre mar e eor rela em eor. Em coordenada reanglare, em-e qe correponde à a b, para,=,, B.5 relando em cada elemeno do enor.

4 Em noação marcal, o prodo enor ab a a b é dado por: a a a b [a a a ] b B.6 a a a a b endo a a a ] e b b b ]. [ a B.5 Prodo de da dádca [ b O prodo de do enore de egnda ordem dádca, denoado por., degna a compoção de da operaçõe e, com a de realada prmero, defnda pela egênca:. B.7 para odo o eore, onde denoa prodo dádco de mar por eor. Obere qe o orna neceáro qe. rele nma dádca. e P., em noação enoral, em-e P B.8 o em noação marcal P B.9 A egr, apreenam-e algma propredade do prodo de da dádca: a.. R.. R B. a b. R.. R B. b c R.. R. B. c d... B. d e.. B. e B.6 Gradene de fnção ecalar O gradene de ma fnção ecalar é defndo por F F B. onde e fornece cada componene. Em noação mbólca em coordenada reanglare, eme

5 F F, para =,, B. Como e obera, ee po de gradene ranforma m ecalar nm eor. Ora noaçõe ada na lerara ão: e F F F, F F F,, para =,, B. a B. b e o operador for raado como o eor mbólco, enão, o gradene correponde ao mple prodo enre o eor e o ecalar F em coordenada reanglare. B.7 Dergene de m eor O dergene de m eor, em coordenada reanglare, é defndo por o B.4 B.5, Verfca-e, am, qe o dergene de m eor rela nm ecalar ao conráro do gradene. Com o, erfca-e qe e for raado como m eor, a dergênca correponde ao prodo ecalar enre eore edado na eção B.. B.8 Roaconal de m eor O roaconal de m eor é defndo, em coordenada reanglare, como B.6, endo qe é o enor permação, defndo como, qando o conno de índce é obdo porcomaçãocíclca de, qando o conno de índce é obdo porcomaçãocíclca de B.7, qando do índce ão repedo

6 O ermo, correponde à como decro na eção B.6,. A forma enoral em B.6 em índce, e repedo, mplcando em omaóro rplo. Como e obera, o roaconal de m eor rela nm oro eor. B.9 Laplacano de fnção ecalar O operador laplacano de ma fnção ecalar é defndo como F F F F F B.8 Nee cao, ano F qano o e laplacano relane ão fnçõe ecalare. Em noação enoral, coma-e ecreer B.8 como B.9 F F, onde a repreenação com írgla, F,, ndca ma deração em relação a. O dplo índce, mplca ano em derada dpla em relação a, qano omaóro po o índce é repedo, o ea F B., F, B.- O gradene de m eor Na eção B.6 e dc o gradene de m ecalar. A fm de e nrodr o conceo de gradene de m eor de forma maemacamene preca, condere-e o eemplo de m delocameno de m pono em com relação a ma orgem arbrára, como eqemaado na Fg. B.. Fgra B. Delocameno generalado de m egmeno de lnha d. O pono e deloca de ma qandade, enqano o oro pono eremo, d, deloca-e por d. : omando-e o do prmero ermo da ére de alor da epreão de em orno de d... para =,, B. endo a componene do eor. O índce repedo mplca em omaóro. O ermo

7 repreena a ranlação de corpo óldo, po odo o pono na nhança de comparlham o memo delocameno. Epandndo-e B. ando-e apena a da prmera parcela da ére de alor, em-e: d B. a d B. b d B. c o enão, na forma marcal para =, e d d d B. Em noação eoral, B. é ecro como d B.4 onde o é denomnado de enor gradene do delocameno. Como e obera, o gradene de m eor rela nma mar. Infelmene, o enor não é mérco, o qe lma dreamene e lme de aplcação. O enor gradene do delocameno pode er eparado na pare mérca e anmérca como: d d B.5 o qa podem er aocado a enore de deformação e roação. Epandndo B.5 e epreando na forma marcal: d d d

8 d d d B.6 Am, d d A B.7 endo A B.8 a R B.8 b e onde e R ão defndo abao. A pare mérca do enor gradene do delocameno é B.9 o enão er Capílo 6:, para,=, e B.4 A pare an-mérca do enor gradene do delocameno é A B.4 o enão er Capílo 6:

9 R, para,=, e B.4 Am, B.7 pode er ecra como: d R d B.4 B.- Noação mbólca para ran Parndo-e da epreão B.4, para,=, e, em-e: B.44 a B.44 b B.44 c B.44 d B.44 e B.44 f A parr daí, defne-e a mar como B.45 onde fo empregada a noação de Vog,,, 4, 5, 6. A relação B.45 ambém coma er eprea no eo de mecânca do óldo como []: B.46 Em noação mbólca, B.46 é ecra como:

10 B.47 onde é a pare mérca do gradene de. Derando B.47 no empo, em-e B.48 Como o operador em B.46 é ma mar 6, enão, ambém e a a repreenação: I, para I=,..., 6 6 lnha e =, e colna, o ea I I IJ B.49 Noa-e qe, e não hoer roação, enão R, e, o é, orna-e gal ao gradene oal. De fao, e não há roação, enão, B.5 a B.5 b e enão, B.4 orna-e, para =. d d d B.5 e dem para e. Nea ação, pode-e ecreer qe d. B.5 como haa do anncado em B.4, porém, agora, com. Nea ação, B.48 orna-e B.5 o enão B.54

11 O ea, e não há roação, ó ebe a pare mérca, o qal paa a er mplemene a mar com,, ec. Como dcdo no capílo 6, eqale a e er ânglo drane a deformação. B.- Dlaação A dlaação do eor,, correponde a m dergene de eor, defndo conforme B.55 o enão, em noação marcal. B.56 B.- re A eqação de momeno le de Newon decra no Capílo 6, por 6.84, eabelece qe B.57 a qal, na erão epandda, orna-e B.58 O ema B.58 pode er ecro como o prodo de m eor por ma mar dádca: B.59 Nee eágo, pode-e recorrer à defnção de prodo dádco ngle do edado na eção B., e e ecreer B.59 como

12 B.6 dede qe e opere no ema de coordenada reanglare. Conforme haa do eabelecdo na defnção do prodo dádco, o operador dergene marcal ranforma ma dádca m mar nm eor. Em noação de índce reddo, o enor re dado em B.59 é ecro como B.6 no qal obera-e qe o faore ½ [como o ado em B.45] não ão neceáro. Já a eqação de momeno B.57 orna-e B.6 Em noação mbólca, a eqação de momeno B.57, o B.6, para índce reddo, fca como B.6 onde fo neceáro e aplcar, a ranpoa de. Am, raando-e na forma de mar colna, dada em B.6, em-e B.64 O operador marcal é ma mar 6, al qe: J, endo =, e, e, J=,..., 6. B.4 Bbografa [] mrno, A. V. Inrodcon o enor Calcl, Lecre noe, 4. [] Jarc, J. P., Kmanoc, D., Golboc, Z., On enor of Elac, heore. Appl. Mech., ol. 5, no., pp.9-6, 8. [] Kno, Gordon., Acoc Wae: Dece, Imagng, and Analog gnal Proceng Prence-Hall gnal Proceng ere, 987, 688 p.