Física Geral I - F Aula 11 Cinemática e Dinâmica das Rotações. 1º semestre, 2012

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1 Físca Geral I - F -8 Aula Cnemáca e Dnâmca das oações º semesre, 0

2 Movmeno de um corpo rígdo Vamos abandonar o modelo de parícula: passamos a levar em cona as dmensões do corpo, nroduzndo o conceo de corpo rígdo (C): é aquele em que a dsânca enre quasquer dos de seus ponos é consane. Sendo e j dos ponos quasquer de um C: c j r j c j : consane caracerísca do par (, j) O po mas geral de movmeno de um C é uma combnação de uma ranslação com uma roação. Nese capíulo consderaremos apenas o caso de roação de um C em orno de um exo fxo, como é o caso do movmeno de roldanas, roores, CDs, ec. Excluremos, por exemplo, movmenos como o do Sol (não rígdo) ou o de uma bola de bolche, cuja roação se dá em orno de um exo que não é fxo (rolameno). F8 o Semesre de 0

3 oação de um corpo rígdo Queremos esudar a roação de um corpo rígdo em orno de um exo fxo. O exo fxo é denomnado exo de roação. z Por convenênca, vamos omar o exo de roação (fxo) como sendo o exo z. y O exo de roação não precsa ser um dos exos de smera do corpo. x É convenene escolher uma lnha de referênca (arbrára) presa ao corpo, perpendcular ao exo z, para defnr as varáves angulares em relação a ela. F8 o Semesre de 0 3

4 Varáves roaconas a) Posção angular A posção da lnha de referênca (fxa ao corpo) defne o ângulo de roação do corpo rígdo em orno do exo. é a posção angular do corpo rígdo. O sendo da roação é dado pela regra da mão drea. posvo z negavo F8 o Semesre de 0 4

5 Varáves roaconas Cada pono do corpo rígdo execua um movmeno crcular de rao r em orno do exo. dsânca percorrda pelo pono: z s r sr ( em radanos) b) Deslocameno angular x s y O deslocameno angular é defndo como: z Δ Esa varável em módulo (Δ), dreção e sendo ( ) a ela assocados. ẑ r y Veor Δ ẑ? x Δ F8 o Semesre de 0 5

6 Varáves roaconas Precsamos er cauelosos ao assocar um veor a uma roação, pos veores devem obedecer às regras da soma veoral, o que não aconece com as roações. Por exemplo, a soma veoral é comuava ( A B B A), mas duas roações sucessvas feas em ordens dferenes dão resulados dferenes! O exemplo ao lado mosra duas roações sucessvas de π / em orno dos exos x e y nas duas ordens possíves: o resulado fnal depende da ordem! Δ xˆ Δ yˆ Δ yˆ Δ Enão: xˆ Δ ẑ não é um veor! (a menos que os ângulos de roação sejam nfnesmas). F8 o Semesre de 0 6

7 Varáves roaconas c) Velocdade angular Deslocameno angular: Δ( ) ( Δ) ( ) Velocdade angular (escalar) méda Δ ω Δ Velocdade angular nsanânea (veor) Δ d ω lm nˆ Δ 0 Δ d Deslocameno angular em orno de nˆ : nˆ zˆ nˆ ω r () ( Δ) Δ() A velocdade angular é uma caracerísca do corpo como um odo e não somene de um pono parcular nele suado. x ( ) ( ) ω ( ) d y F8 o Semesre de 0 7

8 Exemplo Cálculo da velocdade angular da Terra em orno do seu exo. A Terra complea uma revolução a cada 3h56mn (da sderal). O módulo da sua velocdade angular é π rad 6,8 rad 5 rad ω 7, 3 0 da 8660 s s e a sua dreção apona para o nore ao longo do exo de roação, cujo período de precessão é de aproxmadamene anos (analsaremos a quesão da precessão mas arde). ω F8 o Semesre de 0 8

9 Varáves oaconas c) Aceleração angular Varação da velocdade angular Aceleração angular méda Δ Δω dω Aceleração angular nsanânea α lm Δ 0 Δ A aceleração angular nsanânea é um veor paralelo a d ω quando o exo de roação é fxo! ' ' ω( ) ω( ) α( ) d Velocdade angular em função de α ω ) ω( ) α( ) d na dreção fxa ( nˆ ): ω ( ) ω ( ) α( ) d Δω ω( Δ ) ω( ) Δ α ω ( F8 o Semesre de 0 9

10 Movmeno crcular unformemene acelerado Dadas as condções ncas: Temos, para a consane: Comparando com as varáves do movmeno lnear: Em capíulo aneror já esudamos o movmeno crcular unforme. Vamos esudar agora o 0 0 ) (0 e (0) e 0 ω ω ) ( ) ( ; ) ( α ω ω α ω α ω ω ) ( ) ( ); ( ) ( ); ( ) ( a v x α ω Cnemáca angular F8 o Semesre de 0 0

11 Exemplo Pão sujeo à aceleração angular: α( ) a 3 b Calcular ω () e (). 5 3 Parâmeros: a 5 rad/s e b 4 rad/s Condções ncas: ω(0) 5 rad/s e ϕ(0) rad 4 3 ω( ) ω(0) ( a b ) d a b ( ) (0) ω(0) a b d (0) a b 4 ω Usando os valores numércos: 4 ω ( ) 5 5 (rad/s) ϕ () 5 (rad) 4 3 F8 o Semesre de 0

12 elação com as varáves lneares Posção: s r z ω r v Velocdade: v ds d v r rω d d é angene à rajeóra no pono consderado x s y Veoralmene: v ω r Em módulo: v ω r ω r (pos nese caso) F8 o Semesre de 0

13 elação com as varáves lneares Aceleração dv d a ( ω r ) d d dω dr r ω d d a a N a a α rα rvˆ ω v ω ( ω r) ω r rˆ N a α r (em módulo: ) (em módulo: a N ω r) vˆ é o veor unáro angene à rajeóra; rˆ é o veor unáro na dreção que va do exo de roação aé a parícula (versor da dreção radal) xˆ α ẑ ω s r a N a v ŷ F8 o Semesre de 0 3

14 Q: Baraa carrosel Uma baraa esá na borda de um carrossel em movmeno. Se a velocdade angular do ssema carrossel baraa esá dmnundo enão a baraa possu: A. Somene aceleração angular B. Somene aceleração cenrípea C. aceleração angular e cenrípea; D. Não possu nenhuma aceleração [MC Types] F8 o Semesre de 0 4

15 Exemplo 3 Velocdade e aceleração de um pono na superfíce da Terra a uma dada co-laude: (aproxmação de esfera perfea). ω 6 5 v ω 6, 4 0 m e ω 7, 0 rad/ s ωsn ˆv 470sn m/s ˆv Como a aceleração angular é nula: a α rv ˆ 0 A aceleração cenrípea é a N ω ( ω r) ω rrˆ ω sen rˆ 3,4 0 sen m/ s rˆ Noa: A ª le de Newon, para ser correa quando escra em um referencal acelerado (não nercal) com aceleração a 0 precsa ser corrgda como: F F 0 ma, onde F m r 0 a 0 a N v F8 o Semesre de 0 5

16 Peso aparene: corpo de massa M em equlíbro Num referencal nercal (porano fora da Terra!) eremos que: F M a ou seja, M g N F a M a N Esa gualdade vale para odos os nsanes. Para enconrarmos o valor do peso aparene, N e da força de aro, F a, nossa esraéga será decompor odas esas forças nas dreções paralela e normal à aceleração cenrípea (em um nsane qualquer). ω a N F a Mg ŷ N xˆ ˆx : ( N Mg)sn F a cos Ma N ŷ : ( N Mg)cos F a sn 0 O que resula em: N Mg Ma N sn M g ω sn ( ) N M g 3,4 0 sn ( ) O peso aparene dmnu à medda que nos aproxmamos do Equador F8 o o Semesre de 0 6

17 Peso aparene: corpo de massa M em equlíbro Para a força de aro eremos: ˆx : ŷ : ( N Mg)sn F a cos Ma N ( N Mg)cos F a sn 0 F a Ma N cos Mω cos sn A força de aro esáco que maném um objeo parado na superfíce da Terra é máxma a 45 graus e apona para o nore no hemsféro nore e para o sul no hemsféro sul. ω a N F a Mg ŷ N xˆ E se não houver a força de aro? à Condção de não equlíbro. F8 o o Semesre de 0 7

18 Condção de não equlíbro: Achaameno Se não houver força de aro, eremos de modfcar as equações anerores para: ˆx : ŷ : ( N Mg)sn Ma N ( N Mg)cos Ma y Ou seja, nauralmene aparecerá uma aceleração na dreção y (força resulane não nula nesa dreção!), al que: ω a N Mg ŷ N xˆ a y a N sn cos ω cos Esa aceleração sempre apona para o equador, não mporando se esamos no hemsféro nore ou hemsféro sul. F8 o o Semesre de 0 8

19 Achaameno do pólos Assm, qualquer corpo sobre o qual não aua nenhuma força horzonal (com respeo à superfíce da Terra) se desloca na dreção do Equador (sul no hemsféro nore e nore no hemsféro sul)! à desvo dmnuo de laude dos corpos em queda lvre na dreção do Equador. à achaameno dos pólos ocorre pelo mesmo efeo e reduz o desvo menconado (aparece uma pequena força horzonal) Mg N F8 o o Semesre de 0 9

20 Energa cnéca de roação A energa cnéca de um corpo em roação é a soma: m v K m v m v... m v n n No corpo em roação, odos os ponos, exceo os radas, êm mesma velocdade angular ω. Enão: ( ) ω K m ( ωr ) m r r v m A grandeza enre parêneses é defnda como o momeno de nérca I do corpo em relação ao exo de roação. Iso é: ou seja: I m r K Iω (energa cnéca de roação) F8 o Semesre de 0 0

21 Cálculo do momeno de nérca No caso de parículas punformes, vmos: I m r No caso de uma dsrbução conínua de massa: I r dm, r dm onde dm é uma massa nfnesmal, que pode ser a de um fo, a de uma superfíce ou a de um volume: λ dl : em um fo λ : densdade lnear de massa dm σ da : em uma superfíce σ : densdade superfcal de massa ρ dv : em um volume ρ : densdade volumérca de massa F8 o Semesre de 0

22 Cálculo do momeno de nérca Exemplos: a) Anel de rao e massa M unformemene dsrbuída λ M π dm M d π M d dld π M I dm d M π 0 b) Dsco de rao e massa M (dem) M M σ dm σ da π rdr π π I r dm 0 r M M r dr 4 r 4 0 M dr dm r daπ rdr F8 o Semesre de 0

23 Cálculo do momeno de nérca c) Clndro de rao e massa m (dem) Consderando o clndro como superposção de dscos de alura dy: Mas di dm m dm ρ dv π h π dy dy y h I h dm 0 m h dy Ou seja, o momeno de nérca de um clndro não depende de sua alura. m F8 o Semesre de 0 3

24 Alguns momenos de nérca F8 o Semesre de 0 4

25 Q: Energa cnéca Três clndros dêncos rodam com velocdade angular w ao redor dos exos assnalados abaxo. Em quas dos casos a energa cnéca é de roação é maor (consdere que o dâmero é muo menor que o comprmeno da barra)? ω ω A. I B. II C. III ω [MC Types] I II III F8 o Semesre de 0 5

26 Teorema dos exos paralelos Se conhecermos o momeno de nérca I CM de um corpo em relação a um exo que passa pelo seu cenro de massa, podemos faclmene deermnar I O do corpo em relação a um exo paralelo que passa por O. De fao: r r h r ( r h) ( r h) Mas: m r mr mh h m r m r h m ( ) 0 r h mr 0 m Enão: I O mr ICM Mh o h r r CM dm (eorema dos exos paralelos) F8 o Semesre de 0 6

27 Torque e a Le de Newon da roação Vamos ober a relação enre as forças que auam sobre um corpo em roação (com exo fxo) e sua aceleração angular. Noamos que apenas as forças que êm uma componene orogonal ano ao exo quano à dreção radal podem colocar um corpo em roação. ẑ Decompomos a força F que aua sobre uma α ω parícula de massa m do corpo rígdo nas dreções a angencal F e radal : a ( ) F ( ) N v F F ( ) vˆ F( ) rˆ Segunda le de Newon: F m a mα r vˆ F m α r m a ( ) ( ) mω F r m m ω r a N rˆ Provoca a aceleração angular Não alera a velocdade angular (é uma força cenrípea). xˆ s r ŷ F8 o Semesre de 0 7

28 Torque e a Le de Newon da roação F F senϕ m rα ( ) No plano perpendcular ao exo de roação: Veoralmene: Defnção: r F τ r F m r F senϕ m r α τ exerna F sobre a -ésma parícula do corpo rígdo (é um veor sando do plano do desenho) Fnalmene: τ res τ é o orque da força τ res Iα ( m r ) α Iα r α No caso em que váras forças agem sobre a parícula, o orque oal é: τ F ( ) (.a le de Newon da roação) F r F ( ) ϕ F8 o Semesre de 0 8

29 Torque e a Le de Newon da roação τ F F ( ) r F ( ) ϕ F8 o Semesre de 0 9

30 Q3: Dreção do orque O módulo do orque produzdo pelas forças e são: F F F y A. Posvo em ambos os casos B. Posvo para e negavo para F F C. Negavo para e posvo para D. Negavo em ambos os casos F F F x [MC Types] 30

31 Torque e a Le de Newon da roação F τ F r F ( r ) F ( ) ϕ F A força F ende a rodar o objeo no sendo an-horáro e F ende a rodá-lo no sendo horáro. ( snas assocados ao orque). F8 o Semesre de 0 3

32 Exemplo 4 Máquna de Awood com uma pola com massa Massa m F y m g T m a () Massa m F y T m g m a () τ T T M a Iα Ma T T Pola Ma (3) F Enão, resolvendo (), () e (3): a m m m g m M T m g T T Mg T m g F8 o Semesre de 0 3

33 O rabalho no deslocameno angular Seja uma força exerna F aplcada a uma parícula no pono P. O rabalho nfnesmal num deslocameno ds r d é: dw F ds ( F senϕ ) r d τ d ( F senϕ é a componene angencal de F ; a componene radal não rabalha). Enão: τ d W τ d Como : dω W Iαd I ωd d ω f W Iωdω I ω f ω τ Iα I ω ΔK ds r (eorema do rabalho-energa cnéca na roação) F ϕ F8 o Semesre de 0 33

34 Poênca no deslocameno angular Usando a defnção do momeno de nérca: W Iω Iω m ρ ω m ρ ω f k k kf k k k k k mv mv ΔK k k kf k k k que é o eorema do rabalho-energa em sua forma usual. Poênca: é a axa com que se realza rabalho: P ΔW Δ Δ dw τ τω Δ d Compare com P ΔW Δ F v F8 o Semesre de 0 34

35 Equações do movmeno lnear e roaconal Movmeno lnear velocdade lnear aceleração lnear força resulane a consane rabalho energa cnéca poênca W dx v d dv a d F ma v 0 a v x x 0 v 0 a v v0 a( x x0 ) x f x P Fv Fdx K mv Movmeno de roação (exo fxo) velocdade angular aceleração angular orque resulane αconsane rabalho α ω0 α ( 0 ) ω ω α ω ω W energa cnéca poênca f τ d P τk ω d ω d dω α d τ Iα Iω massa m Momeno de nérca I F8 o Semesre de 0 35

36 Q4: Torque Uma pedra ca do alo de um edfífco conforme mosra a fgura. Qual o orque nesa pedra em relação ao pono O? O D h A. Zero, pos orque só exse no movmeno crcular. B. Zero, pos o angulo enre o deslocameno e o pono O é zero. C. mgh D. mgd [MC Types] F8 o Semesre de 0 36

37 Trabalho em uma máquna de Awood Se os corpos parem do repouso ( ): Velocdade angular: g M m m m m a v v f / g M m m m m v f f / ω f f f ssema I v m m v K ω / ) ( g M m m m m Esa varação da energa cnéca é gual ao rabalho das forças peso no ssema (verfcar). T T g m g m 0 v Exemplo 5 F8 o Semesre de 0 37

38 Exemplo 6 Um fo esá enrolado num dsco de rao e massa m, e sua exremdade esá amarrada numa hase. O dsco, ncalmene em repouso, é lberado e nca um movmeno de ranslação e roação enquano o fo va se desenrolando dele. a) calcule a aceleração do cenro de massa; b) calcule o valor da ensão no fo; c) ulzando conservação de energa, deermne a velocdade do cenro de massa em função de h. a) mg T ma T Iα CM m ( ) a CM T m a CM () a CM 3 g b) mg T 3 c) 3 mgh mv m ω 4 4 v CM 3 gh CM mv CM F8 o Semesre de 0 38