8.6 A corrente de deslocamento e as equações de Maxwell

Transcrição

1 8.6 A correne de delocameno e a equaçõe de Maxwell Michael Faraday decobriu uma da dua lei báica que regem o fenômeno não eacionário do eleromagneimo. Nela aparece uma derivada emporal do campo magnéico. A oura lei báica do eleromagneimo que coném uma derivada emporal de um campo foi decobera pelo eu admirador, Jame Clerk Maxwell. Ao conrário da decobera de Faraday, ea não foi feia a parir de experiência, ma aiu de uma análie lógica da lei já conhecida. Com o conhecimeno que adquirimo durane noo eudo do eleromagneimo, emo oda a condiçõe para redecobrir ea lei com o pao de Maxwell. A própria lei de indução de Faraday no eninou o pono de parida. imo que a lei de indução B E dl = d (8.6.) abriga um perigo poencial de inconiência maemáica. Dua uperfície orienávei e que êm a mema beirada poderiam fornecer doi valore diferene para a inegral do lado direio da equação (8.6.). Ma com = o lado equerdo da equação em omene um valor. O que garane que al inconiência não ocorre é a equação div B = (8.6.) da qual podemo concluir que para qualquer uperfície fechada. Io garane que B B d = d B d = (8.6.3) (8.6.4), poi com e podemo formar a uperfície fechada de al forma que (8.6.3) com ea uperfície implique em (8.6.4). O memo perigo de inconiência maemáica exie com a lei de Ampère. Ela em uma forma muio parecida com a fórmula (8.6.): j d (8.6.5). Para não reularem inconiência eria que valer j d = para qualquer uperfície fechada. De fao vale j d = enquano o ecoameno de carga forem eacionário. Nee cao oda carga que enra num volume neceariamene ai. Ma durane proceo não eacionário o eoque de carga denro de um volume pode mudar e nee cao enrada e aída de carga não ão iguai. Enão a fórmula (8.6.5) não pode er válida para iuaçõe não eacionária. Maxwell percebeu io e propô uma modificação da lei de Ampère que vale ambém para proceo não eacionário. amo penar como conerar a lei de Ampère. No lugar da denidade de correne j devemo er um ouro campo veorial J que cumpre 435

2 J d = (8.6.6) para qualquer uperfície fechada, ou eja, um campo em fone. Além dio, ee campo deve coincidir com a denidade de correne j em iuaçõe eacionária. O que garane j d = em cao eacionário é a conervação de carga elérica. Para adivinhar qual é o novo campo J, vamo formular a conervação de carga para iuaçõe não eacionária. Em palavra podemo formular ea lei da eguine forma: a axa líquida de carga que ai de um volume pela uperfície em que er igual à axa de diminuição do eoque de carga denro do volume. A axa de diminuição do eoque é o negaivo da axa do aumeno do eoque. Enão a conervação de carga ignifica ou d j d = ρd d d j d + ρ d = d (8.6.7) (8.6.8), endo ρ a denidade de carga. Aqui uamo a denidade oal de carga incluindo ambém a carga de polarização prea denro da molécula. Agora podemo combinar ea afirmação com a lei de Gau e ecrever ε E d no lugar de d : d j d + ε = d E d Para um volume que não depende do empo vale d ε E E d d ε = e a conervação de carga oma a eguine forma ε E j d + d = d Como a inegração é uma operação linear, podemo ecrever io ainda como εe j + d = ρ (8.6.9) (8.6.) (8.6.). (8.6.). Prono! Enconramo um campo em fone e que e reduz à denidade de correne em iuaçõe eacionária; o campo J = j + ε E / aifaz a dua exigência poa. Enão podemo conerar a lei de Ampère e orná-la válida ambém para iuaçõe não eacionária: εe j + d (8.6.3) 436

3 Ea nova verão da lei de Ampère recebeu o nome de lei de Ampère-Maxwell e o ermo exra ε E / é chamado de denidade de correne de delocameno. Ee nome em ua origem numa eranha inerpreação do campo elérico. Maxwell imaginava o epaço repleo de carga poiiva e negaiva e inerpreava o campo elérico como um pequeno delocameno da carga. Correpondenemene uma axa de mudança do campo elérico correponderia a uma denidade de correne. Hoje não e acredia mai nea ideia, ma o nome de denidade de correne de delocameno ficou. Chegamo ao pono de poder compilar a quaro equaçõe fundamenai que deerminam a dinâmica do campo elérico e magnéico. Ela ão chamada de equaçõe de Maxwell: E d = ρd ε (8.6.4) ε E j + d B E dl = d (8.6.5) (8.6.6) B d = (8.6.7) Com o eorema de Gau e oke podemo ecrever ea equaçõe ambém em forma local como equaçõe diferenciai: div E = ρ ε (8.6.8) ro B E j + µ ε (8.6.9) B ro E + = div B = (8.6.) (8.6.) Qualquer fíico deve er ea equaçõe empre prona na cabeça e deve er plena conciência do ignificado dela. Maxwell percebeu que ea equaçõe pouem oluçõe com um comporameno de onda. De fao é relaivamene fácil fazer a conexão dea equaçõe com equaçõe diferenciai que foram apreenada como equaçõe de onda na Fíica II. Por exemplo, 437

4 aprendeu-e na Fíica II que uma onda onora num gá poui uma dinâmica decria pela equação de onda P P P P + + = x y z c (8.6.) Nea equação P é a preão do gá e c, a velocidade ecalar de propagação da onda onora. Ea equação pode ambém er ecria com o operador Laplaciano : P = c P (8.6.3) Da equaçõe de Maxwell podemo exrair algo muio parecido. amo coniderar uma região do epaço em maéria. Enão nea região não há carga nem correne; ρ =, j =. upondo io, vamo calcular a derivada emporal da equação de Ampère- Maxwell (8.6.9): B ro ε (8.6.4) Agora podemo uar a lei de indução (8.6.) para ubiuir a derivada B / pelo negaivo do roacional do campo elérico: ro ro E ε (8.6.5) Com a regra do bacmenocab emo ro ro = grad div : grad ( div E) + E ε (8.6.6) Na auência de carga emo com a lei de Gau que div E =. Enão chegamo a uma equação diferencial exaamene da forma da equação via na Fíica II: E ε (8.6.7) Podemo concluir que o campo elérico e magnéico podem propagar aleraçõe localizada do eu valore de forma parecida a como aleraçõe locai da preão ão propagada numa onda onora. A velocidade ecalar c dea onda eleromagnéica pode er lida da equação (8.6.7): c = µ ε (8.6.8) Maxwell chegou a ee reulado e ubiuiu o valore conhecido da conane e chegou a um reulado exraordinário: Maxwell, Jame Clerk (865). "A dynamical heory of he elecromagneic field". Philoophical Tranacion of he Royal ociey of London. 55: Bibcode: 865RPT C. doi:.98/rl

5 m 8 c 3, 7 4π A m 8,85 A m (8.6.9) Na época de Maxwell já havia divera medida da velocidade da luz. O valor que Maxwell enconrou para a velocidade ecalar da onda eleromagnéica coincidia denro da incereza experimenal com o valore experimenai da velocidade da luz. Io levou à hipóee de que a luz eria uma onda eleromagnéica. Hoje ea inerpreação da luz como onda eleromagnéica eá perfeiamene comprovada, embora o próprio conceio de campo eleromagnéico enha ofrido profunda modificaçõe pela decobera da fíica quânica. Enão a elaboração da eoria eleromagnéica reolveu um enigma que ocupava o penadore durane éculo; a perguna o que é luz finalmene recebeu uma repoa. Na época dea decobera a onda eleromagnéica eram apena uma hipóee e falava uma demonração experimenal dea onda. Em 886 Heinrich Herz coneguiu gerar onda eleromagnéica a parir de ocilaçõe elérica. Ocilaçõe elérica erão o auno do noo próximo capíulo. No ano 886 aé 889 Herz inveigou a propriedade da onda eleromagnéica dealhadamene e morou que ela inham oda a propriedade previa pela equaçõe de Maxwell. Ea onda Herziana ão a bae de muio iema moderno de elecomunicação. O eu elefone celular e comunica com uma eação bae com a ajuda dee ipo de onda. Exercício: E 8.6.: Um capacior de placa paralela é feio de doi dico circulare com raio R e diancia d << R. O fio, que ervem para carregar o capacior, ão barra meálica rea muio longa aindo do cenro do dico. e I I carregarmo ee ipo de capacior com uma correne conane, aparece, durane o proceo de carregameno, um campo magnéico enre a placa. Calcule ee campo. Fig Capacior de placa paralela endo carregado. E 8.6.: Uamo a conervação de carga e a lei de Gau para redecobrir a lei de Ampère-Maxwell. Ue inveramene a equaçõe de Maxwell para morar que carga elérica é conervada. E 8.6.3: Deduzimo uma equação de onda para o campo elérico. Deduza uma equação de onda para o campo magnéico a parir da equaçõe de Maxwell. E 8.6.4: Ecreva o pono de deaque dea eção. H. Herz: Über ehr chnelle elekriche chwingungen Annalen der Phyik (887) 3 p H. Herz: Über die Einwirkung einer geradlinigen elekrichen chwingung auf eine benachbare rombahn. In: Annalen der Phyik und Chemie. Band 7, Joh. Ambr. Barh, Leipzig 888, H. Herz: Über die Aubreiunggechwindigkei der elecrodynamichen Wirkungen. In: Annalen der Phyik und Chemie. Band 7, Joh. Ambr. Barh, Leipzig 888, H. Herz: Über elecrodynamiche Wellen im Lufraume und deren Reflexion. In: Annalen der Phyik und Chemie. Band 7, Joh. Ambr. Barh, Leipzig 888,