4 a 7 de novembro de 2003, Natal-RN. A pesquisa Operacional e os Recursos Renováveis

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1 A pequa Operacona e o Recuro Renováve 4 a 7 de novembro de 2003, Naa-RN DESENVOLVIMENO DE UM SISEMA DE APOIO À DECISÃO DEDICADO AO ESUDO DE PROBLEMAS DE LOCALIZAÇÃO DINÂMICA DE EQUIPAMENOS PARA RANSFERÊNCIA, RAAMENO E DEPOSIÇÃO DE RESÍDUOS SÓLIDOS Joana Da FACULDADE DE ECONOMIA E INESC COIMBRA - UNIVERSIDADE DE COIMBRA Av. Da da Sva, Combra, Poruga oana@fe.uc.p M. Eugéna Capvo DEIO e CIO - Facudade de Cênca da Unverdade de Lboa Campo Grande, Boco C2, Po Lboa, Poruga mecapvo@fc.u.p João Címaco Facudade de Economa e INESCC - Unverdade de Combra Av. Da da Sva Combra, Poruga cmaco@necc.p Reumo: Nee rabaho propõe-e o deenvovmeno de um ema de apoo à decão dedcado ao eudo de probema de ocazação dnâmca de equpameno para ranferênca, raameno e depoção de reíduo ódo. Apreenam-e o modeo de programação maemáca á conruído. Faz-e uma decrção umára da abordagen em eudo e dcuem-e agun reuado compuacona de procedmeno á deenvovdo. Fnamene equemaza-e o rabaho que anda é neceáro reazar com va ao deenvovmeno do ema de apoo à decão preenddo. Paavra-chave: Locazação Dnâmca; Sema de Apoo à Decão Abrac: In h paper he deveopmen of a decon uppor yem dedcaed o dynamc ocaon probem regardng ranfer, proceng and dpoa of od wae propoed. Mxed Ineger Lnear Programmng mode are preened. he approache under udy are decrbed and compuaona reu of procedure aready deveoped are dcued. Fnay, fuure wor regardng he mpemenaon of he compee decon uppor yem ouned. Keyword: Dynamc Locaon; Decon Suppor Syem

2 1. Inrodução O probema da recoha, ranpore, raameno e depoção de reíduo ódo eá na ordem do da em Poruga. raa-e de probema compexo que mpcam opçõe, nem empre fáce, e decõe de naureza poíca e/ou écnca envovendo dvero acore, por veze coocado em dferene níve herárquco de decão. pfcámo uma cae de probema que e ncu no acma referdo, e o deafo que he eão aocado no domíno do apoo à decão, anaando rabaho reazado e/ou a reazar pea ERSUC, Reíduo Sódo do Cenro S. A. e pea Aocação de Muncípo do Panao Berão. O probema de ocazação que no propomo eudar pode er decro umaramene da forma egune: Preende-e ocazar rê po de ervço dno - aerro anáro, poo de ranferênca e ncneradora cuo número pode er, ou não, conhecdo à parda, havendo um número mado, e conhecdo, de ocazaçõe poíve. Apear do eudo da roa ópma para a crcuação do reíduo ear nmamene gado ao probema de ocazação referdo, opámo por eudar apena a ocazação do ervço referdo aocada à afecação do reíduo provenene do váro pono orgem. Procedemo, porano, a uma decompoção do probema que, como é óbvo ma a quadade do reuado, ma que e orna neceára devdo à compexdade do probema. raa-e, como abemo, de um procedmeno comum na apcação do méodo cenífco. O prncpa nervenene no proceo de decão ão a vára auarqua, o Eado e a emprea conceonára. É de eperar que ee acore enham preocupaçõe dna. A emprea conceonára em como obecvo prncpa a mnmzação do cuo e a maxmzação da recea. A auarqua quererão mnmzar o cuo de ranpore, mnmzar o pagameno à emprea conceonára, maxmzar a dânca da ua popuaçõe ao aerro e ncneradora, bem como mnmzar a dânca ao poo de ranferênca. Preender-e-á anda mnmzar a coneação da popuaçõe, o que gnfca, por exempo, mar a capacdade de um aerro anáro que evenuamene poa vr a er ocazado no eu conceho. Conudo, não e pode equecer que a auarqua ambém podem er neree na emprea conceonára. Fnamene, ao Eado cabe uma função reguadora, promovendo a equdade e um níve de quadade do ervço aceáve na ocedade como um odo. Na ecção 2 dee rabaho apreena-e a eruura do Sema de Apoo à Decão que propomo, am como uma decrção umára da funconadade do váro móduo que o conuem. Na ecção 3 apreenam-e o modeo de Programação Maemáca á conruído. Na ecção 4 faz-e uma decrção umára da abordagem em eudo, e dcuem-e agun reuado compuacona de procedmeno á deenvovdo. Fnamene na ecção 5 equemaza-e o rabaho fuuro e ram-e aguma concuõe. 2. Eruura do Sema de Apoo à Decão A fgura 1 apreena a eruura do Sema de Apoo à Decão que propomo. Em eguda vamo apreenar uma decrção ucna do que e preende com cada um do móduo repreenado na fgura 1. 1 Dado Auarqua, Eado e emprea conceonára devem er em cona que boa prevõe de procura, boa emava de dponbdade fnancera e a cração de condçõe para erem conderada a vára opçõe écnca, evenuamene adequada, condconam foremene o êxo do apoo à decão que o ema poderá vr a prear. Efecvamene, apó a uzação do móduo anáe de enbdade e de robuez (móduo 4 podem fazer-e agun aue, ma orna-e dfíc corrgr vaore nca demaado groero. 907

3 1 DADOS ESADO 7 2 MODELOS MAEMÁICOS Procura de coneno obre o modeo a uzar Reguação 3 ÉCNICAS OPIMIZANES Fxação de parâmero Souçõe PROCESSO DE DECISÃO EM GRUPO 6 Anáe de ouçõe 4 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE E DE ROBUSEZ 5 ANÁLISE A POSERIORI SOLUÇÃO A ADOPAR Fgura 1 2 Modeo Maemáco Em prmero ugar há que deacar que o modeo maemáco prncpa erão modeo combnaóro mucréro dedcado à ocazação-afecação do ervço. Na ecção egune apreena-e a verão acua, anda monocréro, do modeo que emo vndo a deenvover. A uane da anáe efecuada com o modeo de Programação Maemáca, em muo cao ufcar-e-á uma anáe ma deahada uzando um modeo muarbuo. A aernava a conderar no modeo muarbuo reuam da uzação do modeo combnaóro e do proceo de decão em grupo. Deve aenar-e que, em muo cao não é poíve conenuazar a uzação de um modeo únco, acee por odo o nervenene no proceo de decão em grupo, ma deve promover-e uma enava nee endo e, e a não for poíve, devem, peo meno, denfcar-e a dferença rreconcáve e carfcar a ua radução no modeo adopado. 3 écnca Opmzane Ee móduo é conuído por um conuno de ferramena que permem ober ouçõe afaóra para o modeo maemáco decro no móduo2. raa-e, em muo cao, de procedmeno heuríco, vo que a compexdade combnaóra de váro probema deaconeha a uzação de agormo exaco. 4 Anáe de Senbdade e de Robuez O deconhecmeno exaco do vaor de agun dado e a fxação de ouro parâmero écnco raduz-e numa da dfcudade cáca da uzação de muo modeo de Invegação Operacona. Procura mgar-e ea dfcudade procedendo-e a uma anáe de enbdade da ouçõe à varação de um ou ma parâmero em orno de vaore cenra de bae, e/ou aravé de uma anáe de robuez do reuado, admndo à parda uma mprecão quanfcada no vaor de parâmero, e procurando concur que reuado ão 908

4 aceáve para quaquer do vaore admíve dee parâmero. 5 Anáe A Poeror Deve er-e em cona que, durane o proceo de decão, exem empre número eemeno que não é poíve ncur no modeo. Nee móduo, preende-e avaar, endo em cona dmenõe não conderada no modeo, ouçõe admíve eecconada durane o proceo de decão em grupo. Ee móduo poderá vr a ncur, enre ouro, um procedmeno de anáe wha f. 6 Proceo de Decão em Grupo Nee móduo conugam-e, de forma neracva, o oupu do móduo decro ará, com um proceo de negocação meno eruurado. Adopa-e a degnação genérca de decão em grupo, vo que, embora a componene de negocação ea gnfcava, não e pode equecer que em muo apeco e raa de um proceo cooperavo, em que predomna a roca de nformaçõe e de experênca, em buca de coneno. 7 Eado O pape do Eado é em cera medda exeror ao noo ema de apoo à decão. Conudo, é deeáve que, para aém do eabeecmeno da regra (e e da defnção da dponbdade fnancera, promova de forma crecene uma acvdade reguadora em buca da equdade e da quadade. 3. Modeo 3.1. Modeo 1 Condere-e: I {1,...,n} conuno de índce da ocadade produora de reíduo. J {1,...,m} conuno de índce da poíve ocazaçõe para o aerro anáro. K {1,...,p} conuno de índce da poíve ocazaçõe para o poo de ranferênca. L {1,...,r} conuno de índce da poíve ocazaçõe para uma ncneradora. S {1,...,q} conuno de índce da poíve dmenõe para o móduo que conuem o poo de ranferênca a ocazar, ordenado por ordem crecene de dmenão. Um móduo de dmenão S erá dmenão Q. 1 N max Número máxmo de móduo que podem er naado em. d quandade de reíduo produzdo na ocadade no período. número de período empora a conderar. Q capacdade máxma do aerro ocazado em, aquando da ua aberura ou aquando do aumeno da ua capacdade. Qmn, Qmax Capacdade mínma e máxma de uma ncneradora na ocadade. α percenagem de reíduo reuane da ncneração em (geramene na forma de cnza que êm de er depoado em aerro. FA cuo fxo de abrr um poo de ranferênca naando um móduo de dmenão em, no níco do período, abendo que em não exe nenhum poo de ranferênca abero, e que ee móduo e rá maner abero aé ao fm do horzone empora conderado (deverão, por o, er-e em cona o cuo fxo de aberura ma o cuo fxo de funconameno aé ao fm do horzone empora. FR cuo fxo de abrr um móduo de dmenão em no níco do período, abendo que em á exe um poo de ranferênca em funconameno, e que ee móduo e rá maner abero aé ao fm do horzone empora conderado (deverão, por o, er-e 1 Condera-e que um poo de ranferênca pode er conuído por váro móduo de dferene dmenõe. 909

5 em cona o cuo fxo de aberura, ma o cuo fxo de funconameno aé ao fm do horzone empora. 2 FA cuo fxo de abrr um aerro anáro em, no níco do período, abendo que ee aerro rá ear em funconameno aé ao fm do período. Deverão er-e em cona o cuo fxo de aberura do aerro, ma o cuo fxo de funconameno do aerro durane o período conderado, ma cuo fxo de encerrameno do aerro e evenua cuo de manuenção apó o encerrameno. FR cuo fxo de reabrr um aerro anáro em, no níco do período, abendo que ee aerro rá ear em funconameno aé ao fm do período. Deverão er-e em cona o cuo fxo de reaberura do aerro, ma o cuo fxo de funconameno do aerro durane o período conderado, ma cuo fxo de encerrameno do aerro, e evenua cuo de manuenção apó o encerrameno. F cuo fxo de naar uma ncneradora em no níco do período, e manê-a em funconameno aé ao fm do horzone empora conderado. Deverão er-e em cona o cuo fxo de aberura da ncneradora, ma o cuo fxo de funconameno aé ao fm do horzone empora. c c c c c c cuo unáro de ranpore de reíduo da ocadade para o móduo de dmenão do poo de ranferênca ocazado em, e cuo unáro de manpuação do reíduo no poo de ranferênca. cuo unáro de ranpore de reíduo da ocadade para o aerro anáro ocazado em, e cuo unáro de raameno do reíduo no aerro. cuo unáro de ranpore de reíduo da ocadade para a ncneradora ocazada em, e cuo unáro de raameno do reíduo na ncneradora. cuo unáro de ranpore de reíduo do poo de ranferênca ocazado em para o aerro anáro ocazado em, e cuo unáro de raameno do reíduo no aerro. cuo unáro de ranpore de reíduo do poo de ranferênca ocazado em para o aerro anáro ocazado em, e cuo unáro de raameno do reíduo no aerro. cuo unáro de ranpore de reíduo da ncneradora ocazada em para o aerro anáro ocazado em, e cuo unáro de raameno do reíduo no aerro. x y h z Varáve de decão fracção de reíduo da ocadade que ão ranporado para o móduo de dmenão do poo de ranferênca ocazado em, no período, S, I, K, 1,...,. fracção do reíduo da ocadade que ão ranporado para o aerro anáro ocazado em, no período, I, J, 1,...,. fracção do reíduo da ocadade que ão ranporado para a ncneradora ocazada em, no período, I, L, 1,...,. quandade de reíduo ranporado do poo de ranferênca ocazado em para o aerro anáro ocazado em, no período, K, J, 1,...,. 2 Ee cuo correponde ao cuo de aumeno de capacdade de um poo de ranferênca, pea naação de ma móduo de dmenão gua ou dferene do á naado. O cuo FA e FR deverão er gua à excepção de evenua cuo que ó e verfquem no momeno de aberura do poo de ranferênca (como cuo de aqução de erreno, cuo de nfra-eruura, de eudo de mpaco ambena, ec. e que deverão er conabzado no prmero cuo. 910

6 p quandade de reíduo ranporado do poo de ranferênca ocazado em para a ncneradora ocazada em, no período, K, L, 1,...,. q quandade de reíduo ranporado da ncneradora ocazada em para o aerro anáro ocazado em, no período, J, L, 1,...,. 1, e o poo de ranferênca ocazado em a é abero no período com dmenão 0, em cao conráro K, S, 1,...,. r número de móduo de dmenão que e ocazam no poo de ranferênca em, no período, abendo que em á exe um poo de ranferênca em funconameno; K, S, 1,...,. 1, e o aerro ocazado em é abero em a e e maném abero aé ao período J, 1,...,,,,. 0, em cao conráro 1, e o aerro ocazado em é reabero (por aumeno da capacdade em e e r J, 2,...,,,,. maném abero aé ao período 0, em cao conráro 1, e a ncneradora é abera em no período y L, 1,...,. 0, em cao conráro A conderação de varáve x em vez de varáve x (que repreenaram a oadade de reíduo ranporado dede a ocadade aé, perme que e dferencem cuo de manpuação de reíduo no móduo que conuem o poo de ranferênca, endo em cona a ua dmenão. É naura que o móduo de menor dmenão erão cuo unáro de manpuação de reíduo uperore ao móduo de maore dmenõe. A conderação da varáve a e r perme dferencar o cuo de e naar pea prmera vez um poo de ranferênca ou de e naarem móduo onde á e enconra em funconameno um poo de ranferênca. Será ú fazer ea dnção po é naura que o cuo de aberura de um poo de ranferênca numa ocadade, onde não exa nenhum, enham de er em cona cuo de aqução de erreno, mehora em nfra-eruura, ec., que não êm de e er em cona em naaçõe poerore de ouro móduo no memo poo de ranferênca. Condera-e que e naa apena um móduo aquando da aberura do poo de ranferênca numa ocadade (por ee movo a varáve correpondene ão bnára. Se e quer ocazar ma do que um móduo aquando da aberura do poo de ranferênca, deverão conderar-e a varáve r. O cuo FA deverão er gua ao cuo FR ma o cuo nerene à aberura, pea prmera vez, de um poo de ranferênca em Formuação Conderando a defnçõe anerore, e com o obecvo de mnmzar o cuo oa, podemo agora conrur o egune modeo em Programação Lnear Inera Ma. Mnmzar + ( FA a FR r + FA a + FR r + F y c x d + c yd + ch d + 911

7 ueo a: c + + z c p x + y + h 1,, (1 z + p xd,, p + h d 1 α z + q + y d Q 1 x h d d Q + q ( a + r p Q (2,,,0 < α < 1 (3 ( a + r (4 c q,,,,, max y, (5, (6 hd + p Qmax,, (6 x y z q ( a + r,,,, ( a + r 1 Q N Q (7,,, ( a + r max 1 ( a + r max 1 h y p Q h d, max + y p, (8,,, (9,,, Q mn y, (10 (11 (12 (13,,,,, 912

8 1 a 1, 1 1 r a 1 ( a + r r N 1 (14,,>1 (15,, (16 a 1, max a, ( a + r N (17 (18,, max, (19 y 1, (20 z, p, q 0,,,,1,, (21 a, r, a, y,,,,, 1,,,,, { 0,1} (22 0 x, y, h 1,,,,,, 1,, (23 r 0 e nero,,, 1,, (24 Para cada rerção apreenamo em eguda o eu gnfcado. (1: odo reíduo produzdo na ocadade, no período, erão de er ranporado para o poo de ranferênca, aerro e/ou ncneradora. (2: odo o reíduo que chegam ao poo de ranferênca ocazado em, no período, êm de er ranporado para o aerro anáro ou para a ncneradora. (3: A percenagem do reíduo reuane da ncneração em vão er de er ranporado para o aerro. (4: A oadade do reíduo ranporado para o aerro anáro ocazado em não pode exceder a ua capacdade em nenhum do período. (5: A oadade de reíduo que chegam ao móduo de dmenão do poo de ranferênca ocazado em não podem exceder a ua capacdade. (6,(6 : A oadade de reíduo que chegam à ncneradora não pode urapaar a ua capacdade máxma. 3 3 A rerçõe (6 e (6 ão equvaene devdo à rerçõe (11 e (1. 913

9 (7: Só podem er ranporado reíduo para o móduo de dmenão do poo de ranferênca ocazado em e ee móduo everem em funconameno no período. 4 (8: Só podem er ranporado reíduo da ocadade para o aerro anáro ocazado em e, no período, o aerro ever em funconameno. (9: Só podem er ranporado reíduo do poo de ranferênca em para o aerro anáro em e o aerro ever em funconameno no período. (10: Só podem er ranporado reíduo da ncneradora em para o aerro anáro em e o aerro ever em funconameno no período. (11: Só podem er ranporado reíduo da ocadade para a ncneradora ocazada em e ea ever em funconameno no período. 5 (12: Só podem er ranporado reíduo do poo de ranferênca em para a ncneradora ocazada em e ea ever em funconameno no período. 7 (13: A ncneradora ocazada em em uma capacdade mínma de funconameno. (14: Na ocadade pode er abero no máxmo um aerro anáro. (15: Um aerro anáro ó poderá er reabero no níco do período e á ver do abero anerormene e não e enconrar em funconameno. (16: Não pode haver obrepoçõe enre o empo de funconameno da varáve de aberura e reaberura do aerro anáro. (17: Na ocadade ó e pode abrr no máxmo um poo de ranferênca (ndependenemene do móduo que á venham a er naado. (18: Só poderá er naado um novo móduo num poo de ranferênca de dmenão em, e em á ver do abero um poo de ranferênca, de quaquer dmenão. 6 (19: O número máxmo de poo de ranferênca a ocazar numa ocadade eá mado uperormene. (20: Numa ocadade ó pode er abera uma ncneradora durane odo o horzone empora. (21-(24: Domíno de varação da varáve 3.2. Modeo 2 Condere-e a noação defnda para o modeo 1 e anda: P conuno de camnho poíve por onde rão er ranporado o reíduo. P( ubconuno de P que ncu odo o camnho p a que perence o aerro ocazado em. P( ubconuno de P que ncu odo o camnho p a que perence a ncneradora ocazada em. P(, ubconuno de P que ncu odo o camnho p a que perence um poo de ranferênca de dmenão ocazado em. c p cuo de ranporar uma undade de reíduo da ocadade aravé do camnho p no período. 7 O camnho p P podem er conuído por: um aerro ; uma ncneradora e um aerro ; um poo de ranferênca de dmenão e um aerro ; um poo de ranferênca de dmenão, uma ncneradora e um aerro. 4 Ea rerção é redundane por caua de (5. 5 Ea rerção é redundane cao e condere (6 e não (6. 6 Como e condera que o poo de ranferênca podem er conuído por móduo de dferene dmenõe, perme-e que váro móduo de gua ou dferene dmenõe eam naado muaneamene. Noe-e que ea rerção perme que no nane em que e abre pea prmera vez um poo de ranferênca em e poam naar ouro móduo de dferene dmenõe. 7 O cuo c p pode er facmene cacuado aravé do cuo apreenado para o modeo

10 Varáve de decão 1, e o poo de ranferênca ocazado em a é abero no período com dmenão K, S, 1,...,. 0, em cao conráro número de móduo de dmenão que e ocazam no poo de ranferênca em no período, abendo que em á exe um poo de ranferênca em funconameno; K, S, 1,...,. 1, e o aerro ocazado em é abero em a e e maném abero aé ao período J, 1,...,,,,. 0, em cao conráro 1, e o aerro ocazado em é reabero (por aumeno da capacdade em e e r J, 2,...,,,,. maném abero aé ao período 0, em cao conráro 1, e a ncneradora é abera em no período y L, 1,...,. 0, em cao conráro r x p fracção de reíduo da ocadade que e afecam ao camnho p. α, e perence a p θ p 1, em cao conráro Formuação Conderando a defnçõe anerore podemo agora conrur o egune modeo em Programação Lnear Inera Ma. Mnmzar p + ( FA a FR r + FA a + FR r + F y + c p x p 1 2 ueo a: x 1,, (25 p x p p ( a + r 1,,,p P( (26 x p y,,,p P( (27 x Q Q p ( a + r ( a + r,,,p P(, (28 d x pθ p,, (29 1 p P ( 1 'mn y p P d x ( p Q max y,, (30 915

11 ( d x p Q a + r,,, (31 p P (, (14 - (20, (22, (24 0 x 1,,p, 1,, (32 p Para cada uma da nova rerçõe apreenamo em eguda o eu gnfcado. (25: a oadade de reíduo provenene da ocadade em de er afecada a um ou ma camnho p, em cada período empora. (26-(28: o reíduo ó poderão er afecado a um camnho p no período e odo o ervço que conuem ee camnho everem abero no período. (29: a oadade do reíduo ranporado para o aerro ocazado em não pode exceder a ua capacdade em nenhum do período. (30: a ncneradora ocazada em em, em cada período empora, capacdade mínma e máxma de funconameno. (31: a oadade do reíduo ranporado para o móduo de dmenão do poo de ranferênca ocazado em não pode exceder a ua capacdade máxma, em nenhum do período empora. 4. Abordagem Uzada Quaquer do do modeo apreenado é ufcenemene compexo para não er poíve raá-o drecamene. Conudo, é poíve denfcar ubprobema para o qua, de acordo com rabaho á deenvovdo, e prevê a pobdade de vr a ober agormo efcene. Para a, é neceáro reaxar aguma rerçõe de forma a denfcar o váro ubprobema envovdo. Vamo apreenar a abordagem em deenvovmeno para o cao do Modeo 1, vo que é aquea para que á e obveram agun reuado parca. Com va a fazer uma reaxação agrangeana do Modeo 1, apreenado na ecção 3.1, conderem-e a egune varáve e rerçõe adcona: x x,,, 1,, (33 x ' xd,,,, 1,, (34 y ' yd,,, 1,, (35 h ' hd,,, 1,, (36 1 q' q,,, 1,, α (37 Podemo agora reaxar agrangeanamene a rerçõe (4, aocando mupcadore λ1 0, a rerçõe (5 com mupcadore λ 0, a rerçõe (9 com mupcadore λ3 0, a rerçõe (10 com mupcadore 2 4 λ5 0, e a rerçõe (33 a (37 com mupcadore λ 0, a rerçõe (12 com mupcadore π 1, π 2, π 3, π 4, π 5, repecvamene, odo vre em na. O probema reaxado decompõe-e em rê ubprobema. Sendo Z * r o vaor ópmo da função obecvo do ubprobema r, para r1, 2, 3, o vaor ópmo da reaxação agrangeana erá dado por: Z * Z * 1 + Z * 2 + Z * 3 916

12 Um do ubprobema correponde ao Probema de Locazação Dnâmca com Aberura, Fecho e Reaberura de Servço (PLDAFR, que é um probema NP-Hard. Ee probema fo eudado em Da e a. (2002 e em Da e a. (2003. Nee úmo apreenam-e reuado de uma heuríca prma-dua deenvovda, nprada no rabaho de Erenoer (1978, Van Roy e Erenoer (1982, Sadanha da Gama e Capvo (2002 e Sadanha da Gama (2002. A heuríca reveou-e muo efcene, endo do ncuída num procedmeno de pequa em árvore que perme ober a oução ópma do probema. Eá ambém em fae fna de ee compuacona a adapação dea heuríca prma-dua ao cao em que e ncuem rerçõe de capacdade no ervço. Ouro ubprobema dz repeo ao ranpore do reíduo enre a vára ocadade e pode er decompoo em probema de fuxo de cuo mínmo que podem er reovdo de forma efcene. O ercero ubprobema é de reoução muo mpe. Quano a uma poíve heuríca para cácuo de ouçõe admíve, repare-e que a rerçõe que eão a er reaxada dzem repeo a rerçõe de capacdade e de coerênca enre quandade ranporada, e o período de funconameno de ervço. Se ea rerçõe forem afea pea ouçõe enconrada para o ubprobema, enconrou-e uma oução admíve para o probema goba. Cao conráro, e a rerçõe que everem a er voada forem a de coerênca enre a quandade ranporada e a aberura/fecho/reaberura de ervço, enão podem reover-e probema de fuxo de cuo mínmo, endo em cona a oução obda no ubprobema 1. Se a rerçõe de capacdade everem a er voada, deverão abrr-e ma ervço endo como bae a oução do ubprobema 2, ou aerar-e o equema de ranpore de reíduo Subprobema 1 O ubprobema 1 é o probema de ocazação do ervço que ervem a ocadade I, e pode er ranformado no probema de ocazação dnâmca com aberura, fecho e reaberura de ervço (PLDAFR. + Mnmzar c x d y d + h d ( FA' a + FR' r + FA' a + FR' r F' y ueo a: (1 8, (8, (11, (14, (15, (16, (17, (18, (19, (20, (21 x (7 9 ( a + r,,, Sendo que: c π1,,, c + λ1 π 3,,, c π 4,,, F' F Qmax λ5,, 8 Conderando a ubução (33. 9 Ea rerção é uma rerção redundane no probema orgna devdo à rerçõe (5. 917

13 FA' FA Q λ1 Q N max λ3 + Qmaxλ4,,,,, FR' FR Q λ1 Q N max λ3 + Qmaxλ4,,,,, FA' FA Q λ2,,, FR' FR Q λ2,,, Para ranformar ee ubprobema no probema de ocazação dnâmca com aberura, fecho e reaberura de ervço, no que dz repeo ao aerro anáro, não é neceáro fazer quaquer aeração à formuação. No que dz repeo à ncneradora, baará conderar: a y ; a 0,,, 1,..., r 0,, 1,...,,,..., A ncneradora ão abera no níco de um período empora, manendo-e abera aé ao fm do horzone empora conderado, não havendo pobdade de reaberura. No que dz repeo ao poo de ranferênca, a varáve de decão uzada no probema orgna êm em cona a dmenão do poo de ranferênca a ocazar. Repare-e que, nee ubprobema, não e conderam quaquer rerçõe de capacdade. Aém do, quando e abre um poo de ranferênca na ocadade, ee maner-e-á em funconameno aé ao fm do horzone empora conderado. Pode, de medao, concur-e que, na oução ópma do probema, oda a varáve r, cuo cuo eam povo, erão gua a zero. A únca varáve r que poderão er dferene de zero ão a que êm cuo negavo. Pode ambém concur-e que, para cada ocadade e para cada período, a únca varáve a e r que poderão er dferene de zero ão a que correpondem ao menore cuo fxo, ou ea, podem conderar-e varáve a a (1 e r r (2 a que: FA ( 1 mn{ FA } e 2 { FR } FR ( mn. Para que e poa rabahar com o probema de ocazação dnâmca com aberura, fecho e reaberura de ervço não baa conderar a a e a 0,, à emehança do que e fez com a varáve reava à naação da ncneradora. Se e fzee o ear-e-a auomacamene a coocar oda a varáve de reaberura gua a zero, o que não é aceáve. Exem anda ma dua compcaçõe adcona: 1. No PLDAFR, a varáve de reaberura ó podem omar vaore bnáro, ma no cao do poo de ranferênca a varáve de reaberura podem omar vaore nero e não bnáro. 2. No PLDAFR a varáve de aberura e reaberura de ervço numa dada ocadade, e que eam maore do que zero, não podem compreender nervao de empo que e obreponham. No probema de ocazação do poo de ranferênca podemo abrr e reabrr um ervço no memo período, e o período de funconameno podem obrepor-e. Como e poderá enão ranformar ee probema de modo a que ee e aemehe ao PLDAFR? Conderando a varáve a e r abe-e que, e for vanaoo fazer a varáve r omar vaore dferene de zero (ou ea, e r omar vaore dferene de zero na oução ópma, o mehor erá que ea varáve ome o maor vaor poíve. Sendo am, e como e conhece à parda o número máxmo de poo de ranferênca a ocazar em cada ocadade (rerçõe (19, o maor vaor que a varáve r pode omar é gua a ee vaor máxmo ( N max meno um (que correponde ao poo de ranferênca de aberura varáve a. Conderem-e enão a egune varáve: 918

14 a,, 1,...,,,...,, a que o cuo fxo aocado a oda a varáve a,,..., é FA (1. Se oda a varáve verem aocada o memo cuo fxo, o va permr a reaberura de um ervço numa dada ocadade, empre que a ea favoráve. Apear de o ervço que e abru, na readade, e r maner em funconameno aé ao fm do horzone empora, em ermo da varáve do probema podemo conderar que ee é fechado de modo a dar a pobdade de er reabero. r ( + 1,, 1,...,, a que o cuo fxo aocado à varáve r ( + 1 é (FR (2.( N max 1; r 0, ( + 1. A varáve de reaberura no período rão correponder, na readade, a varáve de reaberura no período 1. Io va permr que e enha em cona a aberura e reaberura muânea. Reovendo o probema conderando ea varáve de decão pode enconrar-e a oução exprea na varáve de decão orgna fazendo: a ( 1 a ; a 0, 1; + 1 ( N 1 r ; r 0, 2 r Dea forma pode ranformar-e o ubprobema 1 no PLDAFR, conderando-e um horzone empora de +1 período em que: a 0; r 0,, 1,,+1 ( 2 max ( + 1. a 0,, 1,,+1, r 0,, 1,,+1,,,+1 r 0,, 1,,+1, +1 Z * 1 é o vaor ópmo da função obecvo do ubprobema Subprobema 2 O ubprobema 2 dz repeo ao ranpore do reíduo enre a vára ocadade. + Mnmzar ' x' ' y' + ' h' + ueo a: 1 1 z y' + 1 p ' x ' h' d,, (1 x' Q N max,,, (38 10 (2 11, (3 14, (6 14, (13, (21 Sendo que: ' π 2,,, q' 10 Rerção váda ma redundane no probema orgna. 11 Com a devda aeraçõe, conderando a ubuçõe (34, (35 e (

15 ' π 3,,, ' π 4,,, c + λ3 + λ1,,, c + λ5,,, ' π 5,,, Ee probema pode er decompoo em probema de fuxo de cuo mínmo. Para cada período conderam-e como fone a ocadade I com ofera d, como deno o aerro anáro J, com procura máxma maore do que a oma de oda a ofera (para que não e eea a nerr uma rerção não váda no probema, e com pono de ranhpmen ( L e (,, com K e S com capacdade máxma. Para que e garana que a capacdade máxma e mínma da ncneradora em ão verfcada, cada ocadade L erá dedobrada em do nodo e, endo que o arco que une ee do nodo erá me nferor gua à capacdade mínma da ncneradora em e me uperor gua à capacdade máxma da ncneradora em. Graça à rerçõe de conervação de fuxo, garane-e que o omaóro do reíduo que chegam a não é uperor à ua capacdade máxma nem nferor à ua capacdade mínma. [ Q mn, Qmax ] ' Fgura 2: Repreenação da ncneradora em na rede: [capacdade máxma do arco] Cada par (, correponderá a um nodo na rede. De cada um dee nodo ará um arco aé ao nodo que repreena o poo de ranferênca em K. A capacdade do arco de (, para erão gua à capacdade oa máxma do móduo em de dmenão (aendendo à rerçõe (18 e (19 ee vaor erá dado por Q N max (38. O nodo erá dedobrado em do c (x f f0.2 w.1(m2(/eena o poo O nodo 920

16 odo o ouro arco na rede erão capacdade nfna. O arco exene na rede correpondem a oda a varáve do probema, em que o cuo aocado ao arco ão o cuo aocado à repecva varáve. O probema de fuxo de cuo mínmo pode er reovdo de forma efcene uzando o Newor Smpex Mehod, que eá mpemenado no CPLEX. Sea Z * 2 o vaor ópmo para o probema de fuxo de cuo mínmo na rede conruída como decro, conderando o período. Sea Z * 2 o vaor ópmo da função obecvo do ubprobema 2. Enão: Z * Subprobema 3 e vaor da função obecvo oa O ubprobema 3 é: Mnmzar 1 ueo a: [ 0,1] x + 1 x,,,, 0 q Q 12 max,,, Sendo que: c + λ2 π 2 d π1,,,, ( ' c + 1 c λ1 + λ4 π 5,,, α Ee probema é de reoução rva: a varáve, cuo coefcene na função obecvo é menor do que zero, guaam-e ao eu me uperor. oda a oura erão gua a zero. Io faz com que o vaor ópmo da função obecvo poa er cacuado como: Z 0, mn{ 0, } + mn{ 0, c Qmax } * 3 ' mn. 1 1 q Z * 2 5. Concuõe e rabaho em Curo Como á refermo, o agormo para a reoução do ubprobema1 oadamene deram reuado baane bon. Eamo anaar e a nrodução da rerçõe de capacdade denro dee ubprobema não aera gnfcavamene a quadade dee reuado. Só depo podemo rar concuõe fundamenada obre o deempenho dea abordagem. De quaquer forma é anda neceáro compabzar a ouçõe do váro ubprobema e ear a quadade da ouçõe am obda. Maxmzando o vaor da Lagrangeana peo méodo do ubgradene eremo um me nferor no vaor ópmo do probema goba. O ee premnare á reazado parecem morar que a quadade do me no vaor ópmo do probema goba, obdo dea forma não é ão boa quano era deeáve, parcuarmene no que dz repeo ao me nferor. Eamo a anaar oura reaxaçõe agrangeana do Modeo 1, nomeadamene, a reaxação da rerçõe (1 aocando mupcadore λ 1, a rerçõe (2 com mupcadore λ 2, a rerçõe (3 com mupcadore λ 3 e a rerçõe (4 com mupcadore λ4 0. ambém, nee cao, é neceáro nroduzr aguma varáve e rerçõe adcona que erão ambém reaxada agrangeanamene. Nee cao, o probema reaxado pode er decompoo em quaro ubprobema, o prmero aocado ao poo de 12 Lme uperor vádo para o probema orgna. 921

17 ranferênca, o egundo aocado à ncneradora, o ercero aocado ao aerro anáro e o quaro aocado ao ranpore de reíduo para o aerro anáro. Eão ambém a er deenvovda heuríca prma-dua para o ubprobema que e obêm no cao do Modeo 2, nomeadamene, probema de ocazação dnâmca mu-níve com e em rerçõe de capacdade. Como refermo na nrodução, no probema que preendemo eudar devem er conderado váro obecvo, confuoo enre, e não apena a mnmzação do cuo oa. A nrodução de ma obecvo, aocado nomeadamene à mnmzação do rco e à maxmzação da equdade, evará a um modeo ma dfíc de raar do que o apreenado na ecção 3. Penamo am que é neceáro enveredar pea uzação de heuríca para a obenção de boa ouçõe admíve. Com ee propóo penamo começar por deenvover agormo genéco. O móduo reavo ao Proceo de Decão em Grupo, am como o reavo a Anáe de Senbdade e Robuez, e à Anáe A Poeror anda não foram ncado. 6. Bbografa CPLEX (2001, Ung he CPLEX caabe brary Da, J., Capvo, M.E., Címaco, J. (2002 Probema de Locazação Dnâmca com Aberura, Fecho e Reaberura de Servço: Formuação e Heuríca Prma-Dua, Reearch Repor nº 6/2002, Inec-Combra Da, J., Capvo, M.E., Címaco, J. (2003 Effcen Prma-Dua Heurc for he Dynamc Locaon Probem wh Openng, Coure and Reopenng of Face, ubmedo para pubcação Erenoer, D. (1978, A Dua-Baed Procedure for Uncapacaed Facy Locaon, 922

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