Material Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulos e Teorema de Tales. Teorema de Tales - Parte I. Nono Ano do Ensino Fundamental

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1 Maerial Teórico - Módulo de Semelhança de Triângulo e Teorema de Tale Teorema de Tale - are I Nono no do Enino Fundamenal rof. Marcelo Mende de Oliveira rof. nonio aminha M. Neo oral da OME

2 1 Razão de egmeno im, ara organizar a ideia, vamo iniciar com o eguine exemplo. Exemplo 1. onidere um egmeno de amanho Se quiermo achar um pono, inerno ao egmeno e que o divida na razão 3 : 2 a parir de, enão dividimo em 3+2 = 5 pare e marcamo deixando 3 pare à equerda e 2 à direia. 6 4 im, a razão 3 : 2 aparece em = 6 4. Deixando o valore epecífico do exemplo acima de lado (valore ee que erviram apena para implificar a ideia que queremo deenvolver), vemo que denoa a razão em que o pono divide o egmeno. Oberve que o pono aparece ano no numerador quano no denominador; além dio, o exremo do egmeno (no cao, o pono e ) aparecem um no numerador e o ouro no denominador. Exemplo 2. Divida um egmeno, que mede 8cm, na razão 1 : 3 a parir de. Solução. Uma vez que queremo dividir na razão 1 : 3, vamo dividi-lo em quaro pare de amanho 2cm cada, deixando uma de ai pare à equerda do pono de divião. im, eá a uma diância 2cm de e 6cm de. 2 6 Exemplo 3. Divida um egmeno, que mede 8cm, na razão 1 : 2 a parir de. Solução. Queremo dividir na razão 1 : 2, ma, para ano, não podemo dividi-lo em 1+ 2 pare, poi ea quanidade não é um número ineiro. Ma io não é problema. aa uilizarmo a definição, io é, baa obervarmo que queremo um pono no inerior de al que = 1. 2 e, porano, 2 = ( 2+1) = + ( 2+1) = = = = 8( 2 1) oral da OME 8( 2 1) 8(2 2) Exemplo 4. Dado um egmeno, chama-e egmeno áureo de o egmeno, com em, al que =. Se = 10, o comprimeno de vale: (a) (b) (c) (d) (e) 5. Solução. Faça = x. ela condiçõe do enunciado, emo = 10 x = x 10 x x 2 = x x 2 +10x 100 = 0, equação cuja olução poiiva é orano, a repoa correa é o iem (a). 2 O eorema de Tale O eorema de Tale é um reulado fundamenal em Geomeria Euclidiana plana, e pode er enunciado da eguine forma. Teorema 5 (Tale). Sejam r, e rea paralela. Ecolhemo pono, r,, e,, de modo que,, e,, ejam doi erno de pono colineare. Enão, =. hp://maemaica.obmep.org.br/ 1 maemaica@obmep.org.br

3 demonração dee eorema em oda ua generalidade neceia de elaboraçõe que eão além do propóio dea noa; nee enido, ugerimo conular a referência [1]. onudo, na próxima eção apreenaremo a demonração de um cao paricular relevane. Nea eção, vamo no concenrar em aprender como uilizar o eorema de Tale, aplicando-o em algun exemplo imple. Exemplo 6. Na figura abaixo, o egmeno e DE ão paralelo, = 15cm, D = 5cm e E = 6cm. alcule a medida em cenímero do egmeno E. D E Solução. elo Teorema de Tale, emo D = E 5 15 = 6 = 18 r oral da OME E = 12. Exemplo 7. Trê erreno êm frene para a rua e para a rua, como na figura abaixo. divia laerai ão perpendiculare à rua. Qual a medida de frene de cada loe para a rua, abendo que a frene oal para ea rua em 180m? Rua 40m 30m 20m Rua Solução. omo o eorema de Tale garane a proporcionalidade enre a medida de egmeno deerminado por paralela em ranverai, podemo repreenar a medida da frene para a rua por 4k, 3k e 2k. im, 4k +3k +2k = 180 9k = 180 k = 20. orano, a medida da frene do loe para a rua ão 80m, 60m e 40m. Exemplo 8. Uma rea paralela ao lado de um riângulo deermina o pono D em e E em. Sabendoe que D = x, D = x+6, E = 3 e E = 4, calcule o comprimeno do lado do riângulo. x+6 x D E Solução. elo eorema de Tale, emo D D = E E x x+6 = 3 4 4x = 3x+18 3 x = 18. Exemplo 9. onidere o riângulo e o pono e Q obre o lado e, repecivamene. Se = Q Q, more que Q. 4 hp://maemaica.obmep.org.br/ 2 maemaica@obmep.org.br

4 Solução. Suponha que Q não eja paralelo a (veja a figura abaixo). Trace, enão, uma paralela Q por a, como morado na figura. elo eorema de Tale, emo Q = Q Q. Ma, como a igualdade Q é aifeia por hipóee, emo Q Q = Q Q = Q orano, o pono Q e Q ão diino e dividem o lado na mema razão, o que é aburdo. Logo, Q é paralelo a. 3 demonração de um cao paricular do eorema de Tale e mai aplicaçõe onforme promeido na eção anerior, nea eção apreenaremo a demonração de um cao paricular relevane do eorema de Tale. Ee é o coneúdo do eorema a eguir. Teorema 10 (cao paricular de Tale). Sejam r, e rea paralela. Ecolhemo pono, r,, e,, de modo que,, e,, ejam doi erno de pono colineare. Se m e n ão naurai ai que = m n, enão = m n. Em paricular, =. Q oral da OME ara a demonração dee cao paricular do eorema de Tale, preciamo coniderar, inicialmene, o eguine reulado auxiliar. Lema 11. Sejam n um número naural, r 1, r 2,..., r n rea paralela e e rea ranverai a r 1, r 2,..., r n, a quai inerecam ea n rea no pono 1, 2,..., n e 1, 2,..., n, conforme morado na figura a eguir. Se 1 2 = 2 3 =... = n 1 n, enão 1 2 = 2 3 =... = n 1 n. n n n 1 n 1 r n 3 3 r r 2 r n 1 rova. É uficiene provar que 1 2 = = 2 3, uma vez que a demai igualdade podem er obida de forma análoga. ara ano (veja a figura abaixo), race por 3 uma paralela à rea, e ejam 1 e 2 eu pono de inereção com a rea r 1 e r 2, repecivamene. 3 3 r r omo e , emo que e ão paralelogramo. Logo, 1 2 = 1 2 e 2 3 = 2 3, e egue de 1 2 = 2 3 que 1 2 = 2 3. gora, no riângulo 1 1 3, o pono 2 é médio do lado 1 3 e orano, pelo eorema da bae média, 2 é pono médio do lado 1 3, ou, o que é o memo, 1 2 = 2 3. odemo, finalmene, demonrar o cao paricular do eorema de Tale que é o coneúdo do eorema anerior. rova do Teorema 10. Novamene por implicidade, façamo a prova no cao em que m = 2 e n = 3; novamene, a demonração no cao geral é compleamene análoga. Nee cao, upomo que = 2 3 e queremo morar que = 2 3. ara ano (veja a figura abaixo), divida o egmeno em 2+3 = 5 pare iguai, obendo pono 1 =, 2, 3 =, 4, 5, 6 = obre e 1 =, 2, 3 =, 4, 5, 6 = obre. omo 1 2 = 2 3 = = 5 6, egue do lema anerior que 1 2 = 2 3 = = 5 6 = l. Logo, = 2l 3l = 2 3. r 1 r 1 hp://maemaica.obmep.org.br/ 3 maemaica@obmep.org.br

5 Enão, = 6 6 = 5 5 r r 5 3 = 3 = r r 3 = 1 1 = Oberve que, o cao paricular do eorema de Tale demonrado acima não engloba a iuaçõe em que é igual a um número irracional ( 2, por exemplo). Nee cao, aumiremo a validade do eorema em demonração, referindo o leior a [1] para o dealhe. propoição a eguir raz uma conequência muio imporane do eorema de Tale. De fao, ela é o primeiro exemplo de uma emelhança de riângulo, conceio que erá muio imporane na próxima aula. ropoição 12. Se, obre o lado e de um riângulo, marcarmo pono D e E ai que DE e ão paralelo, enão o lado do riângulo e DE ão repecivamene proporcionai. Mai preciamene, D = E = DE. D rova. O eorema de Tale dá a primeira da igualdade do enunciado. ara a egunda igualdade race, pelo pono E (veja a figura acima), a rea paralela à rea, e marque eu pono F de inereção com o lado. Enão, por um lado, o quadriláero FED em lado opoo paralelo, logo, é um paralelogramo e, daí, F = DE. or ouro, uilizando novamene o eorema de Tale (aplicado à paralela e EF, com ranverai e ), obemo F = E. F E r 2 r 1 DE = F = 1 1 F oral da OME = 1 1 E 4 Mai aplicaçõe = E = E. Ea úlima eção morará como o eorema de Tale, aplicado em conjunção com o reulado da propoição anerior, no permie abordar problema bem mai difícei. Exemplo 13. onidere o riângulo e uma ceviana D, como D obre o lado. Sejam e Q pono obre o lado e, ai que Q. Se D inereca Q em R, more que R divide o egmeno Q na mema razão em que D divide o egmeno. R Q Solução. plicando a propoição anerior ao riângulo R e D, obemo R D =. or ouro lado, pelo eorema de Tale, emo = Q. gora, aplicando a propoição anerior ao riângulo RQ e D, obemo Q = RQ D. ombinando a rê igualdade acima, egue que R ou, o que é o memo, D = RQ D D R RQ = D D. Ma io ignifica exaamene que R divide Q na mema razão em que D divide o lado. Exemplo 14. Seja D um rapézio de bae D e. Seja I a inereção da diagonai e D. Na noaçõe da figura a eguir, e o egmeno Q é paralelo à bae do rapézio e paa por I, more que I = QI. hp://maemaica.obmep.org.br/ 4 maemaica@obmep.org.br

6 I Q rova. plicando a ropoição 12 ao riângulo D e I, obemo D I =. or ouro lado, pelo Teorema de Tale, emo = D Q. gora, aplicando a ropoição 12aoriânguloD e QI, egueque D Q = D IQ. ombinando a rê igualdade acima, obemo finalmene de forma que I = IQ. D I = D IQ, ara o próximo exemplo, recordamo que, em odo riângulo, a rê alura paam por um memo pono, conhecido como o orocenro do riângulo. Exemplo 15. É dado um riângulo O, al que Ô = α < 90. Seja M um pono obre o lado, e denoe por e Q o pé da perpendiculare baixada de M ao lado O e O, repecivamene. Se H é o orocenro do riângulo OQ, more que H perence ao egmeno, onde e denoam o pé da alura do riângulo, raçada repecivamene a parir do vérice e. O D oral da OME F H rova. omo H e MQ ão perpendiculare a O, ela ão paralela. nalogamene QH e M ão perpendiculare a O, logo, ambém paralela. orano, o quadriláero HQM em eu pare de lado opoo paralelo, logo, é um paralelogramo. Q M elo eorema de Tale, com M, emo = M. or ouro lado, aplicando a ropoição 12 ao riângulo MQ e, emo M = MQ. ombinando a dua relaçõe acima e levando em cona que MQ = H (uma vez que HQM é um paralelogramo), chegamo a = MQ = H. (1) gora, eja K o pono de inereção enre o egmeno H e (não moramo K na figura acima). omo K H e H, emo K. orano, aplicando uma vez mai a ropoição 12, dea feia ao riângulo K e, obemo = K. (2) ombinando (1) e (2), chegamo à relação H = K, de onde egue que H = K e, daí, H = K. Em paricular, H. Dica para o rofeor O coneúdo dea aula pode er vio em rê enconro de 50 minuo cada. É muio imporane apreenar a demonração do cao paricular do eorema de Tale dicuido nea noa, poi o aluno deve perceber que ele não é um reulado auo-evidene, e que a validade de novo fao geomérico realmene e apoia na validade de ouro reulado mai imple, já eudado. referência [2] coném vário exemplo imple envolvendo o eorema de Tale. ara o leior inereado em aplicaçõe mai elaborada, ugerimo a referência [1]. Sugeõe de Leiura omplemenar 1.. aminha. Tópico de Maemáica Elemenar, Volume 2: Geomeria Euclidiana lana. Rio de Janeiro, Ediora S..M., O. Dolce e J. N. ompeu. O Fundameno da Maemáica Elemenar, Volume 9: Geomeria lana. São aulo, ual Ediora, hp://maemaica.obmep.org.br/ 5 maemaica@obmep.org.br