ESPAÇO VETORIAL REAL DE DIMENSÃO FINITA

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1 EPÇO ETORIL REL DE DIMENÃO FINIT Defnção ejam um conjuno não ao o conjuno do númeo ea R e dua opeaçõe bnáa adção e mulplcação po ecala : : R u a u a é um Epaço eoal obe R ou Epaço eoal Real ou um R-epaço eoal com ea opeaçõe e a popedade abao chamada aoma do epaço eoal foem afea: E ocaa Paa quaque u w u w u w E Comuaa Paa odo u u u E Elemeno Neuo Ee e al que paa odo e e Noação: e E4 Elemeno méco Paa odo ee ' al que ' ' Noação: ' m u u E5 Paa quaque R e paa odo E6 Paa quaque R e paa odo E7 Paa odo R e paa quaque u u u E8 Paa odo O elemeno de um epaço eoal ão denomnado eoe e o númeo ea de ecalae Eemplo: R com a opeaçõe: É um epaço eoal po o oo aoma acma ão efcado cabe lemba que o elemeno neuo da adção é o pa odenado R n com a opeaçõe: n n n n n n É um epaço eoal O conjuno da mae ea de odem m n com a opeaçõe uua é um epaço eoal al que o elemeno neuo da adção é a ma nula 4 O conjuno do polnômo com coefcene ea de gau meno ou gual a n com a opeaçõe abao: n p q a b a b a n n b n p an a a n n an a q bn b onde p a e b É um epaço eoal onde o elemeno neuo da adção é o polnômo n 9

2 5 R com a opeaçõe abao não é um epaço eoal Não pou elemeno neuo po: eja e e al que e e e e e e Ma m Poano paa odo R Logo não ee elemeno neuo ubepaço eoal Um ubepaço eoal de é um ubconjuno não ao com a egune popedade: Noação: ub ub Fechameno de em elação à opeação de dção e u e enão u ub Fechameno de em elação à opeação de Mulplcação po Ecala e u e R enão u Eemplo: R} é um ubepaço eoal do R com a opeaçõe de adção e mulplcação po ecala uua Um eo u peence ao ubepaço quando pou a ª e ª coodenada gua a eo efcando a popedade de ubepaço? m e u e enão u? ejam u e Enão u Logo é fechado ob a opeação de adção de eoe e u e R enão u? eja u Enão u Logo é fechado ob a opeação de mulplcação po ecala O ubepaço podea e deco anda po R e } O conjuno R e } não é um ubepaço eoal do R com a opeaçõe uua efcando a popedade:? m afa a condçõe e e u e enão u? ejam u e com e Enão u com Logo é fechado ob a opeação de adção de eoe e u e R enão u? 4

3 Não Cona-eemplo ejam 4 e R 4 8 po 8 R } não é um ubepaço do R po O fao do eo peence ao conjuno não mplca que ee eja um ubepaço Todo epaço eoal adme pelo meno do ubepaço: o pópo epaço e o conjuno } chamado ubepaço nulo Ee do ubepaço ão denomnado ubepaço a de e o dema ubepaço pópo de Combnação Lnea ejam o eoe n Um eo w eá eco como combnação lnea do eoe n quando w n n onde n R Eemplo: O eo é uma combnação lnea do eoe e 5 po: 5 O eo não pode e eco como combnação lnea do eoe e po: * m O ema é mpoíel Logo não eem aloe ea paa e que afaçam a gualdade * Deemnando a le que defne odo o eoe que podem e eco como combnação lnea de e m O ema é poíel quando e paa quaque R m R } é o conjuno de odo o eoe eco como combnação lnea de e Geomecamene aa-e do plano XZ 4

4 ubepaço eoal Geado e Conjuno Geado ejam o eoe n e n ] o conjuno de oda a combnaçõe lneae dee eoe O conjuno ] é um ubepaço eoal de denomnado ubepaço eoal geado pelo eoe n n O conjuno } é o conjuno geado do ubepaço ] n n Eemplo: O eo R gea o conjuno ] R} m O conjuno de oda a combnaçõe lneae do eo é o conjuno de odo o eu múlplo ecalae Geomecamene ] é uma ea defnda pela equação ] R } m Ma amplada e ma ecalonada Paa e deemna o eoe que ão combnaçõe lneae de e é neceáo que o ema eja poíel o é Logo ] R } R} Geomecamene ] é um plano no 4] R 4 4 R com equação 4 m 4 4 Ma amplada e ma ecalonada Como o ema é poíel e deemnado nenhuma condção dee e afea Logo 4] R 4

5 4 Encone a equação do epaço geado pelo eoe e O epaço geado é o conjuno de eoe R que poam e eco como combnação lnea do eoe dado o é m Ma amplada e ma ecalonada Paa que o ema eja poíel é neceáo que 5 5 m com ea condção afea obém-e eoe R que ão combnação lnea do eoe dado Poano o epaço geado é R 5 } que geomecamene epeena um plano em R eoe Lneamene Independene e Lneamene Dependene Um conjuno de eoe n } é lneamene ndependene LI quando n n e e omene e n e e pelo meno um com n enão o conjuno é lneamene dependene LD Eemplo: 4} é LI po: m 4 4 Ma amplada e ma ecalonada O ema é poíel e deemnado com m o conjuno é LI Um do eoe não é múlplo ecala do ouo Fo o que o epaço geado po 4} é R ou eja 4] R 6} é LD po: 6 6 m 6 Ma amplada e ma ecalonada 6 4

6 O ema é poíel e ndeemnado com Enão o conjuno é LD po 6 O eoe e 6 peencem a uma mema ea O epaço geado pelo conjuno 6} é R } o é 6] R } 58} é LD po: 5 8 m 5 8 Ma amplada e ma ecalonada 5 8 Como o ema é poíel e ndeemnado o conjuno é LD ae e Dmenão de um Epaço eoal eja um conjuno fno D-e que é uma bae do epaço eoal quando é um conjuno lneamene ndependene e gea o é ] O númeo de elemeno cadnaldade de uma bae do epaço eoal é denomnado dmenão do epaço eoal e a dmenão de é gual a n d-e que é um epaço eoal fno n-dmenonal Em pacula a dmenão do epaço nulo } é eo Não há bae paa o epaço nulo Noação: dm Eemplo: O conjuno } e 4} ão bae do R O conjuno 5 } não é bae do R po apea de gea R não é LI O conjuno } é LI ma não gea o R poano ambém não é uma bae do R Toda bae de R em do eoe de R que geam R e que ão LI Logo dm R -} é uma bae do R O conjuno -} é LI ma não gea o R Logo não é bae do R O conjuno -4} gea o R ma não é LI Também não é uma bae do R Toda bae de R é fomada po ê eoe LI de R Logo dm R Um eo qualque R pode e eco como m } gea o R o é ] R lém do ee conjuno é LI Logo } é uma bae do R denomnada a bae canônca do R Do memo modo em-e: 44

7 Epaço eoal ae Canônca Dmenão R } R } R 4 } 4 Ma R Polnômo com coefcene ea de gau meno ou gual a 4 } Opeaçõe com ubepaço eoa Ineeção ejam e ubepaço do epaço eoal eal O conjuno neeção de e e } é ambém um ubepaço eoal de ub? po po m ub e e u enão u? e u u e u Enão u e u Logo u ub e e R enão? e Enão e Logo Eemplo: ejam com } e R } R R e } m Logo } Geomecamene em-e uma ea e um plano no R que e necepam na ogem ejam R } e R } R e } 45

8 46 m 9 Logo } 9 R ou eja } 9 R Geomecamene a neeção é epeenada po uma ea que paa pelo pono e 9 oma ejam e ubepaço do epaço eoal eal O conjuno oma de } e com e é ambém um ubepaço eoal de Eemplo: ejam } R e } R } e com R Tem-e que e paa quaque R Ma e paa quaque R m } é bae do ubepaço e } é uma bae do ubepaço Enão quando m ema poíel logo R ejam } }e R R 4 } e com 4 R Tem-e que e paa quaque R Ma e paa quaque R quando 4 m 4 Paa que o ema eja poíel é neceáo que Enão } 4 R

9 eja um epaço eoal n-dmenonal e e ão ubepaço de enão: dm dm dm dm Ee eulado é conhecdo como Teoema da Dmenão oma Dea ejam e ubepaço do epaço eoal eal oma de e é denomnada oma dea quando } Noação: Coodenada de um eo em elação a uma ae Odenada eja é um epaço eoal n-dmenonal qualque conjuno LI com n eoe é uma bae de o e ecolhe uma bae paa o epaço eoal eá-e adoando um ema efeencal no qual pode-e epea qualque eo de Condee n} uma bae qualque eo pode e epeo de manea únca como combnação lnea do eoe da bae n n onde n R ão a coodenada do eo em elação a bae odenada Noação: n e na foma macal ] n Toda e que a epeão coodenada em elação a uma bae é ulada uma bae odenada eá endo condeada Eemplo: O eo pode e eco: Condeando a bae canônca do R ou eja ] Condeando a bae } m Logo e Poano e ] 47

10 Ma de Tanção de uma ae paa uma oua ae Que elação ee ene a coodenada de um eo no ango efeencal e em um noo efeencal? Uma ma pemá a elação ene ee efeenca a bae do epaço eoal Ea ma é denomnada ma de anção ou ma mudança de bae O deenolmeno a egu condea dua bae do R no enano o memo acocíno pode e ulado paa qualque epaço eoal n-dmenonal ejam u u } e w } bae do R w Paa qualque R em-e: a u b u a o é ] b Como u e u ão eoe do R podem e eco como combnação lnea do eoe da bae u a w a w u a w a w ubundo em : a a w a w b a w a w a a b a w a a b a w Poano a a b a e a a b a ão a coodenada de em elação à bae a a b a m ] a a b a a a a Podendo e eco como ] a a b a a ma acma é denoada po a a paa a bae coluna da ma I] endo denomnada a ma de anção da bae I] ão a coodenada do eoe da bae em elação à bae ] I] ] Obém-e a equação macal nalogamene ] I] ] paa mudança da bae paa a bae ] I] ] I] ] I] I] ] Obee que Como ] ] Tem-e que Como ] I ] n Enão I I] I ] n Logo I ] I] Eecíco efque e R com a opeaçõe defnda abao é um epaço eoal a 48

11 b c d e f g Condee o conjuno Fun R de oda a funçõe f : R R Defnem-e dua opeaçõe bnáa : Fun R Fun R Fun R al que f g f g e : R Fun R Fun R al que f f Ea opeaçõe defnem um epaço eoal? efque e o egune ubconjuno ão ubepaço de R a R } b R } c R } d R > } e R } f R} 4 efque e o conjuno olução do ema 4 é um ubepaço eoal de R 5 Ecea u como combnação lnea de e 6 O eo pode e eco como combnação lnea do eoe e? 7 Ecea p como combnação lnea de 4 q e 8 O conjuno } gea o R? 9 Deemne a equação do plano geado pelo eoe e 5 49

12 efque e o conjuno abao ão LI ou LD a 55} b } c 5} d } e } Moe que e u w} é LI enão u u w w} ambém é um conjuno LI Complee com edadeo ou Falo 4 ] é um plano no R que paa pela ogem ] é um plano no R que paa pela ogem n } é LD quando pelo meno um dee eoe é combnação lnea do dema } gea o R O conjuno 5} é LI e n } é LI enão qualque um do eu ubconjuno ambém é LI e odo ubconjuno pópo de n } é LI enão n } é LI Paa que aloe de o eoe e geam um epaço dmenonal? 4 Deemne uma bae e a dmenão do egune ubepaço de R a R e } b R } c R e } 5 Encone uma bae e a dmenão paa o conjuno olução do ema 4 6 Complee com edadeo ou Falo ] pou omene dua bae } e 4} 478} é bae de 478] Todo conjuno LI de eoe é uma bae de eu ubepaço geado 5} é bae do R 4579} gea o R enão 45} 79} e 4579} ão bae do R e ] R enão quaque ê eoe dee conjuno fomam uma bae do R 4 Um conjuno com ê eoe do R é bae do R Um conjuno com ma do que ê eoe do R não eá uma bae do R } é bae do R Qualque bae de um epaço eoal em empe o memo númeo de elemeno } é bae do R quando ] ejam um epaço eoal n-dmenonal e o conjuno } n LI Enão n } é bae de qualque que eja o eo e dm n enão qualque conjuno LI com n eoe é uma bae de } gea R Todo conjuno geado de um epaço eoal é uma bae paa e 4] enão dm 5

13 7 Moe que a oma de ubepaço é ambém um ubepaço 8 Deemne o ubepaço neeção e o ubepaço oma paa o cao abao ndcando quando a oma é dea a R } e R } b R } e R } 9 ejam R } e ] Deemne e ndcando uma bae e a dmenão em cada um do cao eja e a bae 75 6} Indque ] Condee } uma bae paa o R Encone a coodenada de 5 em elação a ea bae eja } e Deemne endo } uma bae paa o R e ] Encone: 5 a coodenada de na bae canônca b coodenada de na bae 5 } 4 Encone a coodenada do eo Ma R em elação à bae 5 Dada a bae do R } e } a Deemne I] b Condee ] Calcule ] 6 Condee a bae 6 } e } a cha a ma mudança de bae de paa b Dado 58 5 calcule ] 7 eja I ] e } Deemne a bae 8 eja a ma mudança de bae de paa Deemna a bae abendo que } 5

14 9 abendo que u u} e w w} ão bae do R a que: ] w u u e w u u deemne ] Condee } e } Deemne a mae mudança de bae Repoa Nenhum é epaço eoal abd Não cef m 8 a 5 } R R R R b } Nenhum é oma dea 7 9 R} bae : 7}e dm R bae : }e dm 5 4 Não ] m e p q a ] b ] ] 6 ade LI 5a I] bc LD b ] FFFF 6a I ] b ] 6 ou 7 84} a bae : }e dm b bae : }e dm 8 } 5

15 5 c bae : }e dm 5 bae : } 5 5 dm 9 ] 6 FFFFFFFFF ] I e ] I

16 pêndce Teoema Teo O elemeno neuo é únco Demonação po Redução ao budo R ' ' upondo que o elemeno neuo não é únco o é eem ambo elemeno neuo ' ' po E é elemeno neuo à dea ' ' po E é elemeno neuo à equeda ' Enão Conadção! Logo ó ee um elemeno neuo paa a opeação de adção em Teo Le do Coe ou Le do Cancelameno Paa quaque u w e u w enão u w dem: Po hpóee u w Pelo aoma E4 u w Po E u w Po E4 u w Po E u w Teo O elemeno méco é únco Teo4 Paa quaque u e u enão u dem: Po hpóee u Pelo aoma E m u Pela Le do Coe u Teo5 Paa quaque u e u enão u Teo6 Paa odo dem: Condee o eo po E8 po E6 é o elemeno neuo da adção em R po E8 po E m Pela Le do Coe Teo7 Paa odo R dem: Condee o eo po E6 po E po E 54

17 m Pela Le do Coe Teo8 Paa odo e paa odo R dem: R upondo que e po E8 po hpóee e pela eênca de elemeno neo em R po E5 po hpóee pela Teo5 m Conadção! Logo Cooláo8 Paa odo e paa odo R e enão ou Teo9 Paa odo dem: Condee o eo po E8 po E6 é o elemeno neuo da adção em R po E8 m Enão Pela Le do Coe Teo Paa odo e paa odo n N } n oma com n pacela Demonação uando ndução em n ae: Paa Po E8 Pao: Hpóee de Indução upo que ale a gualdade paa N > o é 44 4 pacela ale a gualdade paa? po E6 po E8 po hpóee de ndução po E pacela 55

18 44 4 pacela m 44 4 pacela Logo ale a gualdade paa odo n N } Teo Todo ubepaço eoal é um epaço eoal Teo e } enão ] é um ubepaço eoal de Teo ejam } e e é uma combnação lnea do eoe enão ] ] dem: ] ]? com R eja u ] qualque Enão u l l l com l l R ubundo em u l l l po E7 l l l l po E5 e E l l l l po E l l l l po E6 l l l l pelo fechameno da mulplcação e da adção em R m m com m m R m u m m com m m R Logo u ] ] ]? eecíco Teo4 ejam } e u u u} ] u u u ] e e omene e cada um do eoe do conjuno } é uma combnação lnea do eoe u u u e cada um do eoe do conjuno u u u} é uma combnação lnea do eoe Teo5 eja } é lneamene ndependene Teo6 eja } e paa algum enão } é lneamene dependene dem: Paa qualque R Logo o conjuno } é LD Teo7 eja } O conjuno } é lneamene dependene e e omene e pelo meno um dee eoe é combnação lnea do dema dem: e } é lneamene dependene enão pelo meno um dee eoe é combnação lnea do dema? 56

19 Enão ee um R com ] Pelo E4 e o Teo7 Mulplcando ambo o lado da gualdade po R Po E5 E7 e popedade em R Po E5 Po E8 e popedade em R m m m m m Logo com ] é combnação lnea do dema eoe e pelo meno um dee eoe é combnação lnea do dema enão } é lneamene dependene? eja ee eo com ] m Enão Logo } é lneamene dependene Cooláo7 ejam } e e } é lneamene ndependene e } é lneamene dependene enão é uma combnação lnea do eoe dem: } é LD Pelo Teo7 pelo meno um dee eoe é combnação lnea do dema Ma } é LI Logo ee eo é o eo Teo8 eja } al que e é lneamene dependene enão } é lneamene dependene dem: eja } qualque } com } paa odo p p é LD Pela Teo7 ee j Ma } j que é combnação lnea do dema eoe de 57

20 Enão j } que é combnação lnea dee eoe Logo } é LD Teo9 ejam } um conjuno lneamene ndependene e l l R e l l enão l paa odo Cooláo9 eja n } e n } é uma bae de enão odo eo pode e eco de foma únca como combnação lnea do eoe n da bae Teo eja } O conjuno } é lneamene ndependene e e omene e nenhum dee eoe é combnação lnea do dema Cooláoa eja u} O conjuno u} é lneamene ndependene e e omene e um eo não é múlplo ecala do ouo Cooláob eja } um conjuno lneamene ndependene e e ] enão } é um conjuno lneamene ndependene Teo eja } e } é lneamene ndependene enão qualque um de eu ubconjuno é lneamene ndependene Teo eja } e ] enão ee uma bae de al que } dem: e } é LI enão } é uma bae de e } é LD Enão pelo Teo7 ee } com ] al que: ] ] ] Pelo Teo ] ] Como po hpóee m e } é LI enão } é uma bae de Cao conáo ee poceo connua aé a obenção de um ceo conjuno } LI e al que ] m é uma bae do epaço eoal Cooláoa eja } e } gea o epaço eoal enão qualque conjuno de eoe de com ma do que elemeno é lneamene dependene Cooláob eja } e } gea enão qualque conjuno de eoe de lneamene ndependene em no mámo elemeno Teo eja } e } é lneamene ndependene enão pode-e eende o conjuno } a um conjuno bae de dem: e ] enão } é uma bae de 58

21 e ] Enão eja al que ] Pelo Coolb } é LI e ] enão } é uma bae de Cao conáo ee poceo connua aé a obenção de um ceo conjuno al que } é LI e ] m é uma bae do epaço eoal Teo4 ejam dm n e n} O conjuno n} é uma bae de e é lneamene ndependene ou e gea o epaço eoal Teo5 eja } uma bae do epaço eoal e u u u } m n e m > n enão o conjuno u u u } é lneamene dependene m u um e m < n enão o conjuno u } não gea o epaço eoal Teo6 Toda a bae de um epaço eoal pouem o memo númeo de eoe Teo7 Paa quaque ubepaço eoa dem: U U m U e U Logo U e U e U de U e U Teo8 Paa quaque ubepaço eoa Teo9 Paa quaque ubepaço eoa e U de U é um ubepaço eoal de e U de U é um ubepaço eoal de Teo eja é um ubepaço eoal de al que } Enão dm dm Teo e é a oma dea do ubepaço eoa e U enão odo eo é eco de manea únca na foma u com e u U dem: eca Como U Enão paa odo u paa algum e u U uncdade R upondo que eam ' ' e uu' Uu u' a que u e ' u' u ' u' po E4 u u ' ' u' u ' po E e E ' u u ' ' u' u po E4 ' u' u po E ' u' u Como ' Como U u' u U m ' U e u' u U Ma po hpóee U } Enão ' e u' u m ' e u' u Conadção! 59

22 Logo ale a uncdade Teo Teoema da Dmenão e e U ão ubepaço eoa de enão dm U dm dmu dm U dem: eja } uma bae do ubepaço neeção U Pelo Teo w w w } é uma bae do ubepaço u u u nalogamene } é uma bae do ubepaço U O ubepaço oma U w w u u ] eja Ma m Ma m U é geado pelo conjuno w w u u } o é l w l w m u m u m u m u l w l w m u m u m u m u U m u m u p p paa ceo p p p R m m m l w l w w w w é uma bae l l w w u u é LI w w u u é uma bae paa o ubepaço oma U Como u u u } é uma bae Enão ubundo em : Como } Tem-e Enão } Logo } m dm dmu dm U dm U Logo dm U dm dmu dm U Cooláo eja é um ubepaço eoal de e dm dm enão 6

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