CAPÍTULO XI DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA FUNCIONAIS

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1 CAPÍTUO XI DEPENDÊNCIA E INDEPENDÊNCIA FUNCIONAIS. Conceto báco Condee-e unçõe ea ( ) ( ) ( ) toda co doíno e ceto abeto A R n onde e upõe de clae C to é adte-e que a pea devada paca da ( ) ão unçõe contínua no abeto A. A unçõe e caua dze-e unconalente dependente e A e e ó e ete ua unção g (y y y ) de clae C nu abeto de R que contenha o conjunto (A) (A) (A) e tal que : {(y y y ) : y (A) y (A) y (A) } a) A unção g te pea devada paca não conjuntaente nula e qualque do ponto do conjunto (A) (A) (A) ; b) Qualque que eja A te-e g [ ( ) ( ) ( )]. E patcula e e eg adconalente que a unção g eja lnea to é g (y y y ) c y + c y + + c y co o coecente c contante dz-e que a unçõe ( ) ão lneaente dependente. Obeve-e que no cao da dependênca lnea a condção a) da denção equvale a e não nula pelo eno ua da contante c. Quando não et a unção g na condçõe ndcada dz-e que a unçõe ( ) ão unconalente ndependente (lneaente ndependente no cao de não et nenhua unção lnea na condçõe deejada). 364

2 Evdenteente que a dependênca lnea de unçõe plca a epect-va dependênca unconal a a ecípoca não é vedadea coo ota o eeplo egunte. A unçõe y ( y) e ( y) + y + y ão unconalente dependente no abeto A R - {()} po vê-e co acldade que co a unção g (y y ) y + y é ateta a epectva denção. Contudo a ea unçõe não ão lneaente dependente dado não ete contante c e c não aba nula e ta que y c + c + y + y qualque que eja ( y) A : co eeto paa e y a gualdade anteo ege que c ; paa e y a ea gualdade ege que c.. Teoea undaenta obe dependênca e ndependênca uncona O teoea egunte aclta o etudo da dependênca e ndependênca uncona de u tea de unçõe. Teoea : Dada a unçõe ea ( ) ( ) ( ) toda de clae C no abeto A R n e algua dela pode ep-e na etante po eeplo ( ) F [ ( ) ( )] A co F (y y ) de clae C e ceto abeto que contenha o conjunto (A) (A) então a unçõe dada ão unconalente dependente no abeto A Deontação : Sendo po eeplo ( ) F [ ( ) ( )] qualque que eja A bata condea g (y y y ) y - F (y y ) e atende à hpótee quanto à unção F paa e te pela denção a dependênca unconal da unçõe ( ). Teoea : Dada a unçõe ea ( ) ( ) ( ) toda de clae C no abeto A R n e oe unconalente dependente e A então paa qualque a A ete ua V ε ( a ) na qual algua da ( ) eja ( ) e pode ep na etante to é ( ) F[ ( ) - ( ) + ( ) ( )] V ε ( a ) e que F é de clae C e ceto abeto que conté o conjunto [V ε ( a )] - [V ε ( a )] + [V ε ( a )] [V ε ( a )] 365

3 Deontação : Vecada a hpótee ete ua unção g (y y y ) de clae C nu abeto de R que conté o conjunto (A) (A) (A) na egunte condçõe : g te devada paca não conjuntaente nula e nenhu ponto do enconado conjunto (A) (A) (A) ; e po outo lado g [ ( ) ( ) ( )] A. Fando u qualque a A no ponto coepondente b ( b b b ) co b ( a ) paa a unção g (y y y ) te ua da ua devada paca não nula. Adtae e peda de genealdade e po convenênca de notação que g ( b ) (). Po e g( b ) e g ( b ) o teoea etudado no Capítulo I obe unçõe y denda plctaente enna que a equação g (y y y ) dene plctaente e ceta V δ (b b ) ua únca unção contínua y F (y y ) tal que b F (b b ) e po outo lado ea unção é de clae C naquela V δ (b b ) ; te-e então paa cada (y y ) V δ (b b ) g[ F (y y ) y y ]. Coo a ( ) ão po hpótee contínua ete ua V θ ( a ) A tal que V θ ( a ) [ ( ) ( )] V δ (b b ) e então paa qualque V θ ( a ) te-e-á g { F[ ( ) ( )] ( ) ( )} o que ota e y F[ ( ) ( )] denda plctaente e V θ ( a ) pela equação g [ y ( ) ( )]. a eta últa equação adte coo olução y b ( a ) a e po outo lado nete ponto te-e g ( b ) ; a equação e caua dene então plctaente e ceta vznhança y V η ( a ) A ua únca unção contínua y h ( ) tal que b h ( a ). Oa coo vo anteoente a unção y F[ ( ) ( )] é tabé denda plctaente pela ea equação e V θ ( a ) é contínua (copoção de unçõe contínua) e é tal que b F[ ( a ) ( a )] ; te-e então () O aguento a deenvolve vale co adaptaçõe óbva e o não anulaento e veca paa qualque da devada paca da unção g (y y y ) y h ( ) F[ ( ) ( )] V θ ( a ) V η ( a ). 366

4 Repae-e agoa y ( ) é gualente denda plctaente pela equação g [ y ( ) ( )] e A e potanto po aoa de azão e V ε ( a ) co ε ín {θ η } ; é tabé contínua e tal que b ( a ). Deveá potanto e h ( ) F[ ( ) ( )] ( ) V ε ( a ) altando apena pova paa conclu a deontação que F (y y ) é de clae C e ceto abeto que conté o conjunto [V ε ( a )] [V ε ( a )]. Vu-e ante que F (y y ) é de clae C no conjunto abeto V δ (b b ) ; oa [V ε ( a )] [V ε ( a )] V δ (b b ) dede que o ε ín {θ η} eja toado ucenteente pequeno (devdo à contnudade da unçõe e a ). Relatvaente à deontação que acaba de e eta obeve-e anda que : ) Sendo g ( b ) é ( ) que e conegue ep na etante ( ) ; ) Paa y deente a A podeá e deente a ( ) que e epe na etante ( ). Teoea 3 : Dada a unçõe ea ( ) ( ) ( ) toda de clae C no abeto A R n e oe unconalente dependente e A então paa qualque A a caacteítca da atz Jacobana G [ / j ] ( ; j n) é neo a Deontação : Vecada a hpótee ete ua unção g (y y y ) de clae C nu abeto de R que conté o conjunto (A) (A) (A) na egunte condçõe : g te devada paca não conjuntaente nula e nenhu ponto do enconado conjunto (A) (A) (A) ; e po outo lado g [ ( ) ( ) ( )] A. Te-e então paa j n [ ( ) ( ) ( )] g j paa todo o ponto A. Utlzando a ega de devação de ua unção copota obté-e então 367

5 g y j g g y y j j K n j e que a devada paca g / y deve e toada paa cada A no ponto [ ( ) ( )] (A) (A). Coo paa cada A pelo eno ua da g / y toada no ponto ndcado é não nula tal gnca que o tea hoogéneo ξ + ξ + + ξ j j j K n j de n equaçõe na ncógnta ξ ξ ξ adte (paa cada ponto A ) oluçõe não nula e tal obga a que a caacteítca da atz do tea ou eja da atz G [ / j ] tenha de e neo a coo e petenda pova. Do teoea pecedente decoe edataente o egunte cooláo: Cooláo : Dada a unçõe ea ( ) ( ) ( ) toda de clae C no abeto A R n e paa ceto A a caacteítca da atz Jacobana G [ / j ] ( ; j n) o gual a então a unçõe e caua ão unconalente ndependente e A Deontação : É evdente ace ao dpoto no teoea 3. Cooláo : Dada a unçõe ea ( ) ( ) n ( ) toda de clae C no abeto A R n ela ão unconalente ndependente e o detenante Jacobano não e anula dentcaente e A / j ( n ; j n) Deontação : Reulta edataente do cooláo anteo notando que e paa ceto A então paa ee a caacteítca da atz G [ / j ] ( n ; j n) é gual a n. Deonta-e egudaente aquele que pode e condeado o teoea undaental e atéa de dependênca e ndependênca unconal. Teoea 4 : Dada a unçõe ea ( ) ( ) n ( ) toda de clae C no abeto A R n paa cada A epeente-e po ( ) a caacteítca da atz Jacobana 368

6 G [ / j ] ( ; j n) e eja á { ( ) : A }. Então : a) Ete ente a unçõe ( ) que ão unconalente ndependente e A ; b) Cada ua da etante - unçõe ( ) epe-e na eeda e a) e ceta vznhança V ε (a ) de cada ponto a A onde eja gual a a caacteítca da atz Jacobana dea unçõe. Deontação : a) Na condçõe do enuncado ete u ponto tal que a atz G [ / j ] te caacteítca. Eta atz pou então lnha ndepen-dente e paa a unçõe coepondente a ea lnha a epectva atz Jacobana te caacteítca paa. ogo egundo o cooláo do teoea 3 (toado agoa co no luga de ) ea unçõe ( ) ão unconalente ndependente no abeto A. b) Vejao então que cada ua da etante - unçõe ( ) e pode ep na eeda e a) e ceta V ε ( a ) de cada ponto a A onde eja gual a a caacteítca da atz Jacobana dea unçõe. Se peda de genealdade e po convenênca de notação vao adt que a unçõe unconalente ndependente eeda e a) ão pecaente ( ) ( ) ( ). Paa elho teatzação vao dvd e alínea a deontação a eectua coeçando po obte do eultado aulae a utlza poteoente. ) Condee-e u ponto a A onde eja a caacteítca da atz Jacobana G n [ / j ] ( ; j n ) dea unçõe. Novaente e peda de genealdade e po convenênca de notação adteo que a ubatz quadada de ode contda e G n cujo detenante não e anula e a é G [ / j ] ( ; j ). Te-e-á então G e a e devdo à contnudade da / j conclu-e que tabé G paa V θ ( a ) A. a : pode e va ecolhe-e θ ucenteente pequeno po oa que toando a devada da pea lnha de G e V θ ( a ) a da egunda lnha e V θ ( a ) etc. eja tabé G. Contundo a pat de G o detenante 369

7 G ( ; ) co > e > ete detenante teá de e dentcaente nulo no abeto A. Co eeto e paa ceto A oe G ( ; ) a atz Jacobana da unçõe ( ) ( ) ( ) tea caacteítca upeo a e ceto A o que ea contáo à hpótee de e á { ( ) : A }. ) Condee-e agoa o tea ( K + K n ) y ( K + K n ) y que adte coo olução (a a n b b ) co b ( a ) paa. Coo o detenante Jacobano da unçõe do peo ebo da equaçõe do tea e elação a e toado e (a a n b b ) concde co G toado e a tal detenante é não nulo e potanto o tea dene plctaente e ceta vznhança V δ ( a + a n b b ) u únco tea de unçõe de clae C ϕ ( + K n y K ϕ ( + K y K n y ) y ) ta que a ϕ (a + a n b b ) paa ; o valo δ upõe-e ecolhdo ucenteente pequeno de oa que paa todo o e tenha ( + n y y ) V δ ( a + a n b b ) [ ϕ ( ) ϕ ( ) + n ] V θ ( a ) A e que po plcação ( ) ( + n y y ) endo tal epe poível devdo à contnudade da unçõe ϕ. ) Toando ε θ ucenteente pequeno de oa que paa todo o ponto V ε ( a ) e tenha 37

8 [ + n ( ) ( )] V δ ( a + a n b b ) o que é epe poível devdo à contnudade da ( ) açao e eguda * ϕ [ + n ( ) ( )] ; o que e de na pate nal de ) obe a ecolha do valo δ pete conclu que ( * * + n ) V θ ( a ). Vao pova e eguda que paa todo o V ε ( a ) deveá e *. Co eeto po ubttução do * no tea que dene plctaente a unçõe ϕ pode obte-e : * * ( K + K n ) ( ) * * ( K + K n ) ( ) ; aplcando o teoea do acéco nto a cada u peo ebo da gualdade pecedente obté-e: * * ( ). ( ) + + ( ). ( ) * * ( ). ( ) + + ( ). ( ) co ceto K V θ ( a ). A condção que pedu à ecolha de θ gaante que ( ) ( ) ( ) ( ) pelo que a gualdade obtda ao aplcao o teoea do acéco nto plca que * * * coo e quea pova. Ou eja paa todo o V ε ( a ) te-e : ϕ [ + n ( ) ( )]. v) Condee-e agoa ua unção ( ) co > e paa aça-e a copoção ( + n y y ) V δ ( a + a n b b ) [ ϕ ( ) ϕ ( ) + n ] 37

9 e que ( ) ( + n y y ). Subttundo neta unção copota y po ( ) paa V ε ( a ) obté-e ace ao eultado de ) e potanto e povao que ( + n ) ( ) [ ϕ ( ) ϕ ( ) + n ] é ua unção Φ ( y y ) ó do y (contante e elação à vaáve + n ) conclu-e que ( ) Φ [ ( ) ( )] ou eja ( ) co > pode ep-e e teo da unçõe ( ) ( ) e V ε ( a ). v) Vejao então que a unção Φ ( + n y y ) [ ϕ ( ) ϕ ( ) + n ] e que ( ) ( + n y y ) é contante e elação à vaáve + n e V δ ( a + a n b b ) o que coo e de no nal de v) concluá a deontação do teoea. O teoea do acéco nto gaante ete dedeato dede que eja Φ + Φ + Φ n naquela vznhança. Oa a devada ϕ / > da unçõe ϕ denda plctaente pelo tea de ) veca a elaçõe ϕ ϕ ϕ ϕ e po outo lado Φ ϕ ϕ

10 devendo e toda a gualdade pecedente a devada ϕ / ee toada no ponto ( + n y y ) V δ ( a + a n b b ) e a / j no ponto coepondente [ ϕ ( ) ϕ ( ) + n ] V θ ( a ) A. Retoe-e agoa o detenante G ( ; ) condeado da alínea ) e adcone-e à últa coluna o poduto da pea po ϕ / o poduto da egunda po ϕ / etc. a e obtendo G ( ; ) ϕ ϕ ϕ k k k k k k k k k ( ) ( ) ( ) Condeando no detenante anteo a devada ϕ / e / j toada no ponto anteoente eedo obté-e : G ( ; ) Φ Φ.. 373

11 Oa coo vo e ) ete detenante deve e nulo paa qualque A ; e co qualque te-e o que plca ( + n y y ) V δ ( a + a n b b ) [ ϕ ( ) ϕ ( ) + n ] V θ ( a ) A. Reulta então Φ a e conclundo que e ( + n y y ) V δ ( a + a n b b ) e te Φ ( + n) coo e quea pova. O teoea etá a copletaente deontado. Vejao do eeplo de aplcação do teoea anteo: ) Paa a unçõe denda e R y co + en y e y en + co y te-e en co co y en y en en y - co co y não dentcaente nulo e R ndependente e R. e potanto a unçõe dada ão unconalente ) Paa a unçõe denda e R a epectva atz Jacobana y + y - y - y + e y 3 374

12 y y 4 te caacteítca áa á { ( y) : ( y ) R }. Então dua da unçõe dada ão unconalente ndependente e R po eeplo coo acontece co y e y e a tecea (y 3 ) pode ep-e naquela e algua vznhança de cada (a b) R onde eja gual a do a caacteítca da atz Jacobana de y e y. No cao peente conegue eo ep-e a unção y 3 e teo de y e y atavé de ua elação globalente válda e R e não apena na vznhança de cada ponto na condçõe ndcada : y 3 y + y ( y ) R. 3. Devação de u detenante unconal Condee-e o detenante unconal D() ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) n n nn e que cada j () é ua unção eal de vaável eal co devada nta no ntevalo I. Vao deduz ua ega que pete obte a devada de D() coo ua oa de detenante. Coo e abe po denção de detenante θ D() ( ). ( ). ( ). K. n ( ) e que θ degna o núeo de nveõe da peutação n elatvaente à peutação pncpal n. Uando a ega de devação de ua oa e de u poduto de unçõe te-e θ D () ( ). ( ). ( ). K. n ( ) + θ + ( ). ( ). ( ). K. n ( ) + + θ + ( ). ( ). ( ). K. n ( ) e conclu-e edataente que cada u do oatóo da epeão pecedente coeponde ao valo de u detenante obtdo a pat de D() devando cada ua da ua lnha ou eja n n n n 375

13 D () n ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) n n nn + ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) n ( ) + + ( ) ( ) ( ) n n nn + ( ) ( ) ( ) n ( ) ( ) ( ) n n n nn ( ) ( ) ( ). Dado que a tanpoção de ua atz não altea o valo do epectvo detenante a ega de devação pecedente é tabé válda quando aplcada po coluna. Po eeplo endo D() te-e D () E altenatva devando po coluna te-e ; D () + + Se calculao peo D() obté-e D() cona e D () o que pete 4. Etudo epecal da dependênca lnea paa a unçõe ea de vaável eal Na lnha do que e vu anteoente dada unçõe ea de vaável eal denda nu ntevalo [ a b] y () y () y () 376

14 dze-e lneaente dependente no ntevalo quando ete contante c c c não toda nula e ta que qualque que eja [ a b]. c. () + c. () + + c. () Dze-e lneaente ndependente no cao contáo. Note-e que paa a denção de dependênca lnea equvale a dze que () é dentcaente nula no ntevalo [ a b]. Tendo e vta apeenta algun teoea obe dependênca lnea dene-e egudaente o chaado detenante Wonkano. Dada unçõe ea de vaável eal denda no ntevalo [ a b] () () () upota deváve no ntevalo até à ode - o eu detenante Wonkano é o detenante: W ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ). Podeo agoa deonta o teoea egunte : ( Teoea 5 : Sendo o copleento algébco de ) ( ) upondo a () deváve até à ode então te-e : no Wonkano W e j K ( j ) ( ). W j W j Deontação : Paa j - etá e caua a oa do poduto do eleento de ua lnha de W pelo copleento algébco de outa lnha que coo e abe é gual a zeo. 377

15 Paa j - etá e caua a oa do poduto do eleento da últa lnha de W pelo epectvo copleento algébco que coo e abe é gual ao valo do detenante (teoea de aplace). Vejao o cao j. Pela ega de devação de u detenante un-conal tee: W + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) " " " ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) e co ecepção do últo todo o detenante envolvdo na devada de W ão nulo (tê dua lnha gua). Deenvolvendo o últo detenante pelo teoea de aplace egundo o eleento da últa lnha obté-e então ( W ) ( ). que é a elação que e petenda etabelece. Relatvaente ao teoea que acaba de e deontado convé anda nota que a hpótee de a unçõe () ee deváve até à ode apena é neceáa paa etabelece a elação coepondente ao cao j. Paa o cao j - bata adt a devabldade da unçõe até à ode -. Etao agoa e condçõe de deonta do teoea undaenta obe dependênca lnea de unçõe ea de vaável eal. Teoea 6 : Se a unçõe () () upota deváve até à ode - no ntevalo [ a b] ão lneaente dependente nete ntevalo então o detenante Wonkano é dentcaente nulo no eo ntevalo 378

16 Deontação : Da denção c. () + c. () + + c. () e [ a b] obté-e po devação uceva tabé paa todo o [ a b] c. ( ) + c. ( ) + + c. ( ) " " " c. ( ) + c. ( ) + + c. ( ) ( ) ( ) ( ) c. ( ) + c. ( ) + + c. ( ). Foando u tea lnea co eta - gualdade a a que lhe deu oge teo paa cada [ a b] u tea hoogéneo na ncógnta c cujo detenante é pecaente o Wonkano W. Paa que o tea poa e vecado co c não todo nulo ( coo põe o conceto de dependênca lnea) deve te-e neceaaente W paa todo o [ a b] coo e quea deonta. Teoea 7 : Se o Wonkano W o dentcaente nulo e [ a b] e e nenhu ponto de ] a b[ e anula ultaneaente o copleento algébco ( ) do eleento da ua últa lnha então a unçõe () () ão lneaente dependente no ntevalo [ a b] Deontação : Sendo E o copleento algébco do eleento da penúlta lnha de W po u aguento eelhante ao uado na deontação do teoea 5 conclu-e que - E e que coo anteoente o ão o copleento algébco do eleento da últa lnha de W. Po outo lado dado não ee ultaneaente nulo e nenhu ponto ] a b[ todo o e ao eo tepo dado que W no ntevalo [ a b] conclu-e que paa qualque ] a b[ W te caacteítca gual a -. Note-e e eguda que o teoea 5 e u eultado análogo paa o copleento algébco E pete eceve ( ). + + ( ). ( ). + + ( ). ( ) ( ) ( ). + + ( ). ( ) ( ) ( ). + + ( ). W e tabé 379

17 ( ). E + + ( ). E ( ). E + + ( ). E ( ) ( ) ( ). E + + ( ). E W ( ) ( ) ( ). E + + ( ). E A gualdade anteoe ota que ( ) e ( E E E ). ão dua oluçõe do eo tea hoogéneo cujo detenante é pecaente W. Coo paa qualque ]a b[ W te caacteítca gual a - paa ee valoe de o tea hoogéneo e caua é ndetenado de gau u ; dado que ( ) é ua olução não nula dee tea qualque outa olução e patcula ( E E E ) pode obte-e pela elaçõe paa qualque ] a b[. E β (). Atendendo agoa a que coo vo - E eulta - β (). paa qualque ] a b[. Fazendo e eguda te-e no ntevalo ] a b[ e então donde e ta. β () β ( ). + β ( ). + + β ( ).... β () ( ) ( ) ( ). 38

18 Oa.. + β ( ). e ] a b[ ; então c (contante no ntevalo ] a b[ ) e clao que a contante c não ão toda nula (poque o eo acontece co o ). a pelo teoea 5 e a pat daqu a ucevaente ( ). ( ).. c e ( ). c ( po e ) paa ] a b[ co a contante c não toda nula. Pela contnudade da () e [a b] então tabé a últa gualdade e veca na etedade do ntevalo ou eja ( ). c paa qualque [a b] co a contante c não toda nula. Po outa palava a unçõe () ão lneaente dependente e [a b] coo e petenda deonta. 38

19 5. Eecíco 5. - ote que a unçõe () en e g() co ão unconalente dependente no ntevalo ] π/[. ote que no entanto ão lneaente ndependente Etude a dependênca unconal e R 3 da egunte unçõe : y y e y Deonte que não ão ndependente a unçõe u y e v y + y e ndque ua elação que a lga Detene a caacteítca da atz Jacobana da egunte unçõe denda e R 3 : u + y v + z e w y + z - y z. Obtenha ua elação ente a unçõe Deonte a dependênca lnea a unçõe u + v - e w Condee a unçõe u e v.. a) ote que o epectvo detenante Wonkano é dentcaente nulo e R e que no entanto a unçõe dada não ão lneaente dependente e qualque ntevalo que nclua a oge no eu nteo; b) A que e deve eta anoala elatvaente ao teoea que dá a condção ucente de dependênca lnea a) Sendo () () () lneaente dependente e deváve no ntevalo [a b] ote que então ão tabé lneaente dependente a unçõe () () () ; b) Baeando-e no eultado da alínea anteo ote que endo a unçõe () () () lneaente dependente e deváve até à ode no ntevalo ( [ a b] então é nulo o detenante unconal ) ( ) ( ; j ) ; j 38

20 c) Utlzando coo eeplo a unçõe () () e 3 () + ote que a popoção ecípoca de a) não é vedadea ; d) ote que não obtante c) endo () () () lneaente dependente e [a b] e etndo ptva F () da unçõe () nee ntevalo então toando paa toda a () ptva que e anule nu eo c [a b] eta patculae ptva ão tabé lneaente dependente no ntevalo e caua. 5.8* - Se a unçõe u () u () u n () ão contínua no nteva-lo [ a b] azendo b I j u ( ) u ( ) d a ote que a condção neceáa e ucente paa que a unçõe dada eja lneaente dependente é que e anule o detenante de Ga : j G I I I n I I I n I I I n n n n. Aplque ete eultado paa ota que ão lneaente ndependente a unçõe do eecíco 5.. RESPOSTAS : 5. - São unconalente dependente : y 3 y - y (u + ) v - u A caacteítca é gual a. Eeplo de elação ente a unçõe : w (u - v) b) Deve-e ao acto de o copleento algébco do eleento da últa lnha do detenante Wonkano ee todo nulo paa. 383