Curso de Análise Matricial de Estruturas 1 II.6 FORMULAÇÃO DAS MATRIZES DE FLEXIBILIDADE E RIGIDEZ EM TERMOS DE ENERGIA

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1 Cso de nálse Matcal de sttas II. FOMÇÃO DS MTIZS D FXIBIIDD IGIDZ M TMOS D NGI II.. Tabalho, nega de Defomação e nega Complementa de Defomação Defnções: dτ d tabalho o enega de defomação; dτ d tabalho o enega complemeta de defomação. C Smplfcadamente, pode-se entende nega de Defomação como o tabalho acmlado po ma estta ao se defoma τ d o paa esfoços de momento, θ τ Mdθ * * τ d o, τ θ dm c c c c M aa esttas lneaes e elástcas: C O tabalho complementa é epesentado pela áea ente a cva caga-deslocamento e o eo vetcal. le não tem m sgnfcado físco óbvo como o tabalho τ, mas no sentdo geométco, consste no complemento do tabalho de defomação τ poqe completa o etânglo mostado no gáfco ctado.

2 Notas de la - z. C. Monz de agão Flho II.. Teoemas de Castglano valando-se a enega de defomação acmlada po ma mola smples ao se estabelece pogessvamente m deslocamento, tem-se: ( ) d τ aa a estta composta de das hastes com solctação aal, obtêm-se: ( ) º Teoema de Castglano: devada da enega de defomação em elação a m dos deslocamentos fonece a ação mecânca aplcada na deção desse deslocamento. e ogo, sendo o coefcente de gdez j, po defnção, a foça na deção po deslocamento na deção j, o seja, j j, pode-se obte os valoes de cada m dos coefcentes de gdez da estta atavés da dpla devação da epessão da enega de defomação: j j e

3 Cso de nálse Matcal de sttas ssm, paa a estta composta de das hastes sob solctação nomal, tem-se: valando-se agoa a enega de defomação complementa acmlada po ma mola smples ao se aplca pogessvamente ma foça, obtêm-se: ( ) d d * δ δ valando-se agoa, paa a estta composta de das hastes com solctação aal, obtêm-se: δ ( ) * ( ) * *

4 Notas de la - z. C. Monz de agão Flho º Teoema de Castglano: devada da enega de defomação complemeta * em elação a ma das ações mecâncas fonece o deslocamento na deção dessa ação. * * e ogo, sendo o coefcente de flebldade f j, po defnção, o deslocamento na deção po foça na deção j, o seja, j f, podem-se assm seem obtdos os valoes de cada m dos coefcentes de flebldade da estta atavés da dpla devação da epessão da enega de defomação, agoa em elação às foças: j f j * * e f j ssm, paa o caso da estta composta de das hastes sob solctação nomal, tem-se: * f * f f * f

5 Cso de nálse Matcal de sttas 5 II.. emplo da Vga ngastada e ve (elemento de vga) Obte a matz de gdez da estta abao pela enega de defomação e pela defnção dos coefcentes de gdez: d v d v d v τ Mdϕ onde v() epessão da elástca (defomada). pat da eqação da elástca da vga ( ) d v z q y, consdeando-se qe a estta não poss cagas ao longo de se compmento (apenas nos nós), o seja, q y, e qe as condções de compatbldade cnemátca nos apoos da vga são: e em sa etemdade são: v ( ) ( ) ( ) ( ) v es Mat pode-se obte a eqação da elástca em temos de.

6 Notas de la - z. C. Monz de agão Flho ntegação deta da elástca fonece o segnte polnômo do º ga: ( ) a b c d v onde as constantes de ntegação podem se detemnadas pelas condções de contono cnemátcas: ( ) v d ( ) c ( ) v a b ( ) a b Sbsttndo as constantes de ntegação na eqação da elástca, e ntegando a epessão do tabalho dfeencal de defomação, obtêm-se a epessão fnal da enega de defomação em temos dos deslocamentos: ogo, [ K]

7 Cso de nálse Matcal de sttas 7 II.. Obtenção Matz de gdez do lemento de ótco lano Obte a matz de gdez da estta (elemento de pótco plano) e sstema de coodenadas abao, tlzando-se do º Teoema de Castglano: Incalmente deve-se lemba qe na teoa elástca lnea os deslocamentos e otações são consdeados peqenos e, po sto, os efetos de ª odem podem se despezados, o seja: 5 5 sto é, despezam-se os esfoços aas despetados pela mposção dos deslocamentos,, 5 e, e, natalmente, as elações ecípocas: o smeta, tem-se: ; ; ; 5 5 ; 5 5;. aa gaant o eqlíbo nos nós, tem-se anda as segntes elações: 5 ; ; 5 ; ; 5 ; esta alta, obseva-se qe com todas estas elações apesentadas é possível obte todos os coefcentes não nlos da matz de gdez em fnção de apenas delas:,, e.

8 8 Notas de la - z. C. Monz de agão Flho são: ela esstênca dos Mateas tem-se qe as eqações dfeencas da elástca d d v q qy z Consdeando-se o elemento sem caegamento ao longo de se compmento (somente nos nós), o seja, q q, tem-se: y d v v() a b c d d () e f s condções de contono cnemátcas podem se epessas em temos dos deslocamentos nos nós, segndo o sstema de coodenadas estabelecdo: ( ) ( ) ( ) v ( ) 5 v ( ) ( )

9 Cso de nálse Matcal de sttas 9 Sbsttndo-se nas eqações () e v(), obtém-se os valoes das constantes de ntegação em fnção dos deslocamentos : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 v v d d Sbsttndo-se as fnções de deslocamento () e v() obtdas anteomente, e ntegando a epessão da enega, tem-se: ( ) ( ) ( )( ) ( ) 5 5 plcando-se o º Teoema de Castglano, obtêm-se: ; ; [ ] K

10 Notas de la - z. C. Monz de agão Flho Os valoes dos coefcentes da matz de gdez demonstados acma coespondem aos esltados apesentados na tabela de elações foças/deslocamentos, do lvo dos atoes Gee & Weave (tabela B.): ções de ngastamento podzdas po deslocamentos de etemdade