ELECTROMAGNETISMO E ÓPTICA Cursos: MEBiom + MEFT + LMAC 1 o TESTE (16/4/2016) Grupo I

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1 ELECTROMAGNETIMO E ÓPTICA Cusos: MEBom + MEFT + LMAC o TETE (6/4/06) Gupo I A fgua epesenta um conensao esféco e um conuto eteo 3 também esféco. O conensao é consttuío po um conuto nteo e ao R cm e po uma cooa esféca e aos 8 cm e cm, seno o espaço ente amauas peencho po um elétco LHI e pemtvae elatva ε 3, ente R e R 4 cm, e po vácuo no espaço estante. O conuto eteo 3 tem e ao R cm e está stuao a uma stânca 30 cm o cento o conensao. abeno que as amauas o conensao estão caegaas com nc (nteo) e q nc (eteo) e que o conuto eteo tem a caga q 3 nc, etemne: [.0] a) A feença e potencal elétco ente as amauas o conensao. [.5] b) As ensaes e caga e polazação no elétco e a pessão eletostátca eeca na supefíce nteo a amaua eteo o conensao. (Obs. Não pecsa apesenta cálculos numécos nesta alínea.) [.5] c) O potencal a amaua eteo o conensao e o potencal o conuto esféco eteo. (Obs. Consee que R, mas não espeze os efetos a nfluênca elétca.) Dao: 4 Π ε m F. () R ε o ε () (3) R R Fgua

2 R: I-a) Conseano uma supefíce esféca genéca e ao, com R < <, e aplcano o teoema e Gauss, escto em temos o veto D, obtém-se D n D 4 Π D Os campos elétcos em R < < R e R < < são então, espetvamente E e 4 Π ε e A feença e potencal ente amauas é potanto 4 Π e () E e e () V V R R E e E e R ubsttuno valoes numécos, obtém-se 4 Π ε R R R (3) V V V (4) R: I-b) Como o elétco é LHI e não se enconta eletzao Ρ 0 tem-se Ρ 0. No espetante à ensae e caga e polazação em supefíce, obtém-se Σ R P n et R ε o Χ e E e R e ε ε o Dao que q q 0, tem-se em R Σ R R R Σ 4 Π ε ε ε 4 Π (5) R ε (6) ε 4 Π R A pessão eletostátca na supefíce nteo a amaua eteo o conensao tem o valo p e R q 4 Π E e R 4 Π q 8 Π ε o e Σnt ε o e (7) com Σ nt a ensae e caga na supefíce nteo a amaua. 4 Π esultao poe obte-se também a pat a enega o conensao p e 4 Π Este W e e R (8) qc te one W e q V V sée, Tem-se assm p e 4 Π q que é o esultao anteo. q, one pela ega e assocação e conensaoes em C C 4 Π ε R R C e 4 Π q R. (9) e R 4 Π q 8 Π ε o (0) e

3 R: I-c) O potencal elétco no cento o conuto é ao po (assumno R paa a contbução e q 3 q,) V V 0 q R q R et Σ et q 3 () Emboa a stbução Σ et na supefíce eteo a amaua não seja unfome poemos afma que Σ et q, e o pmeo temo a epessão anteo é et V V, pelo que poemos esceve V V V q q 3 4Πε o () Assm o potencal na amaua eteo eve se V q q V (3) Utlzano os coefcentes e potencal j j paa epm a elação ente potencas e cagas em conutoes, temos V q 3 q 3 (4) e vefcamos a epessão obta acma paa V que o coefcente 3 De foma análoga, a epessão obta paa V e e se conclu que 3. Paa o conuto eteo 3 poemos também esceve. V q 3 q 3 (5) V q 33 q 3 (6) one já obtvemos 3 3, 3 3 e poemos estma que 33 C 3 evo à stânca. Tem-se assm R, V 3 q R q V (7)

4 Gupo II [.5] - Dos fos nfntos unfomemente eletzaos, com uma ensae e caga elétca po unae e compmento Λ, oentaos seguno o eo os zz, estão localzaos nos pontos, y = 0, e 0, (ve fgua ). Calcule o ponto o eo os one o campo eletostátco é mámo e etemne o valo esse campo. y O Fgua R: II- Aplcano o teoema e Gauss a um fo etlíneo nfnto, unfomemente eletzao com ensae Λ, obtém-se paa um clno e compmento l e ao, coaal com o fo, E e n q nt ε o E e Π l Λ l ε o (8) uma vez que o fluo pelas bases é nulo, e na supefíce lateal E e E e, one e é o veso aal num efeencal natual e cooenaas clíncas com o eo z concente com o fo. E e Λ Π ε o e (9) y O E e α α P E e

5 Agoa no caso e os fos, tem-se po smeta paa um ponto P no eo, E e P E e cosα e Λ Π ε o e Λ Π ε o e (0) Paa E e Λ Π ε o e () Os pontos one o campo é mámo são obtos a esolução e E e 0 Λ Λ Π ε o Π ε o 0 () pelo que ±. O valo o campo mámo é E e ± Λ Π ε o Λ Π ε o (3) - Consee um conuto clínco oco e aos R e, com R <, e compmento l, com l, e pemtvae ε e conutvae, cujas paees lateas estão em contacto com os elétoos (como ncao na fgua 3), fazeno com que o conuto oco seja atavessao aalmente po uma coente elétca estaconáa e ntensae. Detemne: [.0] a) A feença e potencal elétco ente supefíces e aos R e e a ensae e caga elétca que se acumula na supefíce e ao R à passagem a coente. [.5] b) O tempo ao fm o qual a ensae e caga elétca na supefíce e ao R passa paa metae, no caso e se nteompe em t = 0 a coente povenente o elétoo nteo e ao R. σc σ c R R l Fgua 3

6 R: II- a) A ntensae e coente que atavessa uma supefíce clínca e ao e compmento l, coaal com o conuto oco, tem o valo J n J Π l (4) e potanto J Π l, one fzemos n e o veso aal um sstema e cooenaas clíncas com o eo z concente com o eo o conuto. Teno em conta que J E e no conuto, poemos esceve a feença e potencal ente os elétoos como V V E e R J Π l R R Π l ln R (5) A ensae e caga estaconáa que se acumula na supefíce e ao R evo à passagem a coente obtém-se e D R D R n Σ ε E e R ε o Ee R Σ (6) Assumno que os elétoos são conutoes pefetos, então E e R 0 pelo que Σ ε E e R ε J R ε Π R l (7) R: II- b) Da equação a contnuae J Ρ obtém-se a vaação e ensae supefcal e t caga Σ num ponto uma supefíce one a nomal é n J J n Σ t (8) e potanto em pontos a supefíce clínca e ao R, one n e, J R J R Σ t (9) e a pat e t 0 se nteompe a coente no elétoo, então J R 0, e ao que J R ε Σ pela alínea anteo, poemos esceve ε Σ Σ t Σ t Σ 0 e ε t (30) Assm, o nstante t em que Σ t Σ 0 vefca e ε t t ε ln ε ln (3) Uma solução altenatva sea consea a vesão ntegal estas equações. e Qt epesenta a caga total que este na supefíce clínca e ao R em caa nstante, a pat o momento t 0 em que se cota a coente o lao o elétoo nteo então eve

7 vefca-se a equação e contnuae num volume com fontea que contém apenas a caga Qt J Qt n (3) t Mas e Σ J E c ε D esulta, aplcano a le e Gauss, que J n ε one se conclu que Qt Q0 e ε t, e assm D n ε Qt Qt t (33) Q t Q0 t ε ln ε ln (34)